Notas Seminario de Algebra A

Representaciones lineales de grupos finitos

Bernardo Villarreal

Indice

1 Representaciones y Caracteres 31.1 Generalidades sobre representaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Ejemplos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Subrepresentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Producto tensorial y suma directa de 2 representaciones . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Representacion cuadrado simetrica y cuadrado alternante . . . . . . . . . . . 9

1.2 Teoria de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 El caracter de una representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Lema de Schur; aplicaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Relaciones de ortogonalidad para caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Descomposicion de la representacion regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5 Numero de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Subgrupos, productos y representaciones inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Subgrupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Producto directo de 2 grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Representaciones Inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Representaciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Representaciones en Caracterıstica cero 302.1 El algebra de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Representaciones y modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Descomposicion de C[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 El centro de C[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Propiedades basicas de enteros sobre Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.1 Propiedas enteras de caracteres: aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Representaciones inducidas; el criterio de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 El caracter de una representacion inducida; formula de reciprocidad . . . . . 392.3.3 Restriccion a subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.4 Criterio de Irreducibilidad de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 El Teorema de Artin y el Teorema de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.1 El anillo R(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.2 El Teorema de Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.3 El Teorema de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

Parte 1

Representaciones y Caracteres

Clase 1

1.1 Generalidades sobre representaciones lineales

1.1.1 Definiciones basicas

Grupo de isomorfismos lineales. Sea V un espacio vectorial sobre los numeros complejosC. Denotamos por GL(V ) al conjunto de isomorfismos lineales a : V → V . Bajo la operacioncomposicion GL(V ) × GL(V ) → GL(V ), (a, b) 7→ a ◦ b, GL(V ) tiene estructura de grupo, donde elelemento identidad es Id : V → V y el inverso de un elemento a esta dado por la funcion inversaa−1.

Ejercicio 1. Sea f : V →W una transformacion lineal biyectiva entre espacios vectoriales comple-jos. Probar que f−1 : W → V es lineal.

Al grupo GL(V ) le llamamos grupo de isomorfismos lineales de V .

Supongamos que dimV = n. Cada elemento a ∈ GL(V ) tiene una matriz asociada de n × ndefinida de la siguiente manera. Sea {ei} una base para V . Entonces para cada ej podemos escribirde manera unica

a(ej) =

n∑i=1

aijei

y la matriz asociada es A = (aij).

Ejercicio 2. Probar que det(A) 6= 0.

Podemos identificar GL(V ) con el grupo de matrices invertibles complejas, GLn(C), donde laoperacion de grupo es el producto de matrices (recordemos que la matriz asociada a una composicionde transformaciones lineales T ◦ U es el producto de matrices asociadas AB).

Representaciones lineales. Supongamos que G es un grupo finito, es decir, hay un unicoelemento identidad e ∈ G; una operacion asociativaG×G→ G (usualmente denotada por (s, t) 7→ st)junto con inversos s−1 para cada s ∈ G, tales que se = es = s y ss−1 = s−1s = e. Recordemosque un homomorfismo de grupos es una funcion f : G→ H que respeta la operacioon en G y H, esdecir, f(st) = f(s)f(t).

Ejercicio 3. Probar que f(e) = e y f(s−1) = f(s)−1.

Definicion 1. Una representacion lineal de G en V es un homomorfismo de grupos ρ : G→ GL(V ).

3

En otras palabras, a cada s ∈ G le asociamos un isomorfismo lineal ρ(s) ∈ GL(V ), tal queρ(st) = ρ(s) ◦ ρ(t).

Ejercicio 4. Sea X un conjunto. Una accion (izquierda) de G en X es una funcion G ×X → Xque denotamos como (s, x) 7→ sx tal que ex = x y (st)x = s(tx) para todo s, t ∈ G. Probar que unarepresentacion lineal ρ : G → GL(V ) es equivalente a una accion lineal G × V → V , es decir, unaaccion donde la restriccion {s} × V → V es lineal para cada s ∈ G.

Convencion: Dada una representacion lineal ρ : G → GL(V ), diremos que V es una repre-sentacion de G. Es decir, cuando digamos que V es una representacion de G asumiremos la existenciadel homomorfismo ρ : G→ GL(V ) o equivalentemente la accion lineal G× V → V .

De aquıen adelante asumiremos que V es de dimension finita. Si V es una representacion de G,decimos que el grado de la representacion es dim(V ).

Matrices asociadas a una representacion. Notacion: Para cada s ∈ G, y una representacionlineal ρ de G, escribiremos ρs := ρ(s).

Sea V una representacion de G de grado n y {ei}ni=1 una base de V . Para cada s ∈ G denotemospor Rs a la matriz asociada de ρs. Por lo anterior se sigue que

det(Rs) 6= 0 y que Rst = RsRt

para cada s, t ∈ G. Denotemos por rij(s) a la entrada -ij- de la matriz Rs, es decir, ρs(ej) =∑ni=1 rij(s)ei. De la segunda identidad de arriba (y de la definicion de producto de matrices), se

sigue facilmente que

rik(st) =

n∑j=1

rij(s)rjk(t).

Definicion 2. Sean ρ : G→ GL(V ) y ρ′ : G→ GL(V ′) dos representaciones lineales de G. Decimosque ρ y ρ′ son similares si existe un isomorfismo lineal τ : V → V ′ tal que

τ ◦ ρ(s) = ρ′(s) ◦ τ

para cada s ∈ G. De manera equivalente, sea T la matriz asociada de τ , entonces

R′s = TRsT−1 para cada s ∈ G,

donde Rs y R′s son las matrices asociadas de ρs y ρ′s, respectivamente. En particular si dos repre-sentaciones son similares tienen el mismo grado.

Clase 2

1.1.2 Ejemplos basicos

(1) Representaciones de grado 1. Una representacion de G de grado 1, es un homomorfismo

ρ : G→ GL1(C) ∼= C×

donde C× = C − {0} es el grupo de unidades multiplicativas de C y el isomorfismo de gruposC× → GL1(C) esta dado por λ 7→ (λ · (−) : C→ C).

Ejercicio 5. Probar que si ρ es de grado 1, entonces |ρ(s)| = 1 para cada s ∈ G.

La representacion constante ρ : G→ C× (necesariamente ρ(s) = 1 en C× o ρ(s) = Id : C→ C enGL1(C)) le llamamos representacion trivial.

4

(2) Representacion regular. Sea n el orden de G, y V un espacio vectorial tal que dim(V ) = n.Podemos indicar una base de V por elementos de G, es decir, {vt}t∈G. Para cada s ∈ G definimosregs : V → V en la base como regs(vt) = vst.

Ejercicio 6. Probar que la asociacion s 7→ regs es en efecto un homomorfismo reg : G→ GL(V ).

Notemos que regs(ve) = vs, es decir, las imagenes de ve generan una base de V .

Afirmacion: Esta es una propiedad que caracteriza a la representacion regular.

Demostracion. En efecto, supongamos que W es una representacion de G y hay un elemento w ∈Wcon la propiedad {ρs(w)}s∈G es una base de W . Definimos τ : V → W en la base {vs}s∈G comoτ(vs) = ρs(w). Como τ es una biyeccion en bases la extension lineal es un isomorfismo. Ahora paracada s ∈ G

τ(regs(vt)) = τ(vst) = ρst(w) = ρs(ρt(w)) = ρs(τ(vt))

para cualquier elemento vt de la base {vt}t∈G de V . Extendiendo linealmente se tiene que ρ y regson similares.

Ejemplo 1. Tomemos G = Z/2 = {e, t}, donde t2 = e. En este caso necesitamos un espaciovectorial de dimension 2, digamos C2. Sean ve = (1, 0) y vt = (0, 1). Entonces por definicionregt(ve) = vt y regt(vt) = ve. Es decir, la accion de Z/2 en C2 inducida por la representacion regulares intercamabiar los elementos de la base.

Clase 3

(3) Representacion por permutaciones. Supongamos que G actua (por la izquierda) en unconjunto finito X. En particular para cada s ∈ G hay una biyeccion (o una permutacion de loselementos de X) s · (−) : X → X. Sea V un espacio vectorial con una base indicada por elementosdeX, i.e, {vx}x∈X . Definimos ρs en la base como ρs(vx) = vsx. De manera similar a la representacionregular, ρs define un homomorfismo ρ : G→ GL(V ).

En otras palabras, si G actua en el conjunto de indices de alguna base de V , entonces V es unarepresentacion por permutaciones de G.

Ejemplo 2. El grupo simetrico Σn actua en el conjunto de n elementos {1, ..., n} (dados σ ∈ Σn ei ∈ {1, ..., n} la accion es σ · i = σ(i)). Tomando la base canonica {ei}ni=1 de Cn, se tiene que Cn esuna representacion por permutaciones de Σn de grado n.

1.1.3 Subrepresentaciones

Recordemos que V es una representacion de G es equivalente a una accion lineal G× V → V .

Definicion 3. Sea V una representacion de G y W ⊂ V un subespacio lineal. Decimos que W esinvariante bajo la accion de G (o G-invariante) si dado w ∈W se tiene que sw ∈W (o ρs(w) ∈W ,donde ρ : G→ GL(V )) para cada s ∈ G.

Un subsespacio invariante W ⊂ V define una representacion lineal ρW : G → GL(W ) dada porρWs := ρs|W : W →W para cada s ∈ G.

Ejemplo 3. Sea V la representacion regular de G y W ⊂ V el subespacio de dimension 1 W =spanC〈w〉 donde w =

∑t∈G vt. Para cada s ∈ G tenemos que

regs(w) =∑t∈G

regs(vt) =∑t∈G

vst = w

5

donde la ultima igualdad se sigue de que multiplicar por s en G es una biyeccion (cuyo inverso esmultiplicar por s−1). De la misma manera regs(λw) = λw para cualquier λ ∈ C y s ∈ G, Por lotanto W es G-invariante y mas aun, regW : G→ GL(W ) es la representacion trivial.

Sea W ⊂ V un subsespacio vectorial. Recordemos que un complemento de W es un subsespacioW ′ ⊂ V tal que V es la suma directa V = W⊕W ′. Equivalentemente hay una proyeccion p : V →W(donde p(w) = w para todo w ∈W ) y W ′ = ker p.

Teorema 1. Sea ρ : G→ GL(V ) una representacion lineal y W ⊂ V un subespacio G-invariante.Entonces existe un complemento W 0 de W que es G-invariante.

Demostracion. Sea W ′ un complemento de W en V (por ejemplo podemos considerar un productointerior en V yW ′ = W⊥, el complemento ortogonal deW ) y p : V →W la proyeccion p(w+w′) = w.Definimos el promedio de los conjugados de p como

p0 =1

|G|∑t∈G

ρt ◦ p ◦ ρ−1t : V → V

donde |G| es el orden de G. Notemos que como W es G-invariante la imagen de ρt|p(V )=W estacontenida en W y por lo tanto p0 : V →W .

Afirmacion 1: p0 es una proyeccion de W .

Tomemos w ∈W . Entonces

ρt(p(ρ−1t (w))) = ρt(ρ

−1t (w)) = w

y por lo tanto

p0(w) =1

|G|∑t∈G

w =1

|G||G|w = w

lo cual prueba nuestra afirmacion.

6

Clase 4

Afirmacion 2: W 0 = ker p0 es G-invariante.

Tenemos que probar que dado w0 ∈ W 0 se tiene que ρs(w0) ∈ W 0 para cada s ∈ G. Para esto

notemos que

ρs ◦ p0 ◦ ρ−1s =

1

|G|∑t∈G

ρs ◦ ρt ◦ p ◦ ρ−1t ◦ ρ−1

s =1

|G|∑t∈G

ρst ◦ p ◦ ρ−1st = p0

donde usamos la cadena de igualdades ρ−1t ◦ ρ−1

s = ρt−1 ◦ ρs−1 = ρt−1s−1 = ρ(st)−1 = ρ−1st . Ahora

p0(ρs(w0)) = ρs(p

0(w0)) = 0, pues w0 ∈ ker p0. Por lo tanto ρs(w0) ∈ ker p0, lo cual prueba la

afirmacion.

Supongamos que V tiene un producto interior 〈−,−〉 : V × V → C, es decir 〈x,−〉 es semilinealpara cualquier x ∈ V ; 〈−, y〉 es lineal, para cualquier y ∈ V y 〈x, x〉 > 0 si x 6= 0.

Definicion 4. Sea V una representacion de G. Decimos que 〈−,−〉 : V × V → C es G-invariantesi 〈x, y〉 = 〈ρs(x), ρs(y)〉 para cualquier x, y ∈ V y s ∈ G.

Sea V una represetacion de G con producto interior 〈−,−〉. Podemos definir un producto interiorG-invariante de la siguiente manera.

〈x, y〉pr =∑t∈G〈ρt(x), ρt(y)〉

para cualquier x, y ∈ V .

Ejercicio 7.

1. Probar que en efecto 〈−,−〉pr es G-invariante.

2. Si W ⊂ V es G-invariante, probar que W⊥ es G-invariante (donde el complemento ortogonales con respecto a 〈−,−〉pr).

3. Si tenemos una base ortonormal {ei}ni=1 de V con respecto a 〈−,−〉pr, demuestre que Rs, lamatriz asociada a ρs, es unitaria.

Ahora, sea W ⊂ V un subespacio G-invariante y W 0 un complemento G-invariante. Paracualquier x ∈ V podemos escribir de manera unica x = w + w0, con w ∈ W y w0 ∈ W 0. Masaun, como ambos subespacios son G-invariantes ρs(x) = ρs(w) + ρs(w

0) satisface ρs(w) ∈ W yρs(w

0) ∈ W 0 para cualquier s ∈ G. Cuando la condicion anterior se satisface, decimos que larepresentacion V es suma directa de las subrepresentaciones W y W 0 y escribimos V = W ⊕W 0.

1.1.4 Representaciones irreducibles

Definicion 5. Sea V una representacion de G. Decimos que V es irreducible si V 6= 0 y no sedescompone como suma directa de subrepresentaciones, salvo la descomposicion trivial V = V ⊕ 0.

Ejemplo 4. Las representaciones de grado 1 son irreducibles, pues el unico subespacio propio es el0.

Teorema 2. Cualquier representacion es suma directa de representaciones irreducibles.

7

Demostracion. Sea V una representacion de G. Por induccion sobre dimV . Si dimV = 0, entoncesV = 0 es la suma directa de la familia vacıa de representaciones irreducibles. Supongamos quedimV ≥ 1 y que V no es irreducible. Entonces V = W ⊕W ′ para algunas subrepresentacionesW,W ′. Como 0 < dimW, dimW ′ < dimV , por hipotesis de induccion se sigue que W y W ′ sonirreducibles.

Por el teorema anterior, cualquier representacion V de G se puede descomponer en suma directade subrepresentaciones irreducibles, digamos V = W1 ⊕ · · · ⊕Wk. Podemos preguntarnos si estadescomposicion es unica.

Clase 5

Ejemplo 5. Consideremos V con la representacion trivial, entonces cualquier subespacio es invari-ante (ρs = Id para cualquier s ∈ G) y por lo tanto cualquier descomposicion en subsespacios dedimension 1, V = L1⊕ · · ·⊕Ln es una descomposicion en irreducibles. Pero notemos que el numerode lineas siempre es dim(V ) = n.

Ejemplo 6. Consideremos V = C2 con la representacion regular de Z/2 y la linea Z/2-invarianteL = spanC〈ve + vt〉. Tenemos 2 maneras de encontrar un complemento G-invariante L0.

1) Mediante un complemento arbitrario: cualquier linea que no sea paralela a L es un comple-mento, digamos L′ = spanC〈ve〉. Entonces la proyeccion p : V → L con respecto a L′ esta dadapor p(xve + yvt) = yve + yvt (los elementos en L son de la forma (a, a) ∈ C2 y en L′ de la forma(b, 0) ∈ C2, ası que una pareja (x, y) se escribe de manera unica como (y, y) + (x − y, 0)), dondeidentificamos ve = (1, 0) y vt = (0, 1). Entonces

p0(xve + yvt) =1

2[p(xve + yvt) + ρt(p(ρt(xve + yvt)))] =

1

2[yve + yvt + xve + yvt] =

1

2[(x+ y)ve + (x+ y)vt]

y tenemos que L0 = ker p0 = {(x, y) ∈ C2 | y = −x} = spanC〈vt − ve〉. Notemos que L0 es elcomplemento ortogonal de L con el producto interno estandar de C2.

2) Mediante el producto interior promedio: tenemos que

〈xve + yvt, x′ve + y′vt〉pr = 〈xve + yvt, x

′ve + y′vt〉+ 〈xvt + yve, x′vt + y′ve〉 = 2(xx′ + yy′) =

2〈xve + yvt, x′ve + y′vt〉,

y se sigue que el complemento ortogonal L⊥ = L0 en este caso.

1.1.5 Producto tensorial y suma directa de 2 representaciones

Sea ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) dos representaciones lineales de G. Sean {v1i } y {v2

j }bases de V1 y V2 respectivamente. Recordemos que una base para el producto tensorial V1 ⊗ V2 es{v1i ⊗ v2

j }i,j . Definimos ρ : G→ GL(V1 ⊗ V2) como

ρs(v1i ⊗ v2

j ) = ρ1s(v

1i )⊗ ρ2

s(v2j )

La matriz asociada a ρs es el producto de Kronecker de las matrices asociadas R1s, R

2s, es decir, si

escribimos

ρs(v1i2 ⊗ v

2j2) =

∑i1j1

ri1j1,i2j2(s)v1i1 ⊗ v

2j1

8

entonces ri1j1,i2j2(s) = ri1i2(s)rj1j2(s) donde

ρ1s(v

1i2) =

∑i1

ri1i2(s)v1i1 y ρ2

s(v2j2) =

∑j1

rj1j2(s)v2j1

A ρ le llamamos el producto tensorial de ρ1 y ρ2.De manera similar, {v1

i , v2j }i,j es una base para V1 ⊕ V2 y definimos ρ : G → GL(V1 ⊕ V2) como

ρs = ρ1s(v

1i ) + ρ2

s(v2j ). La matriz asociada a ρs en este caso es

Rs =

(R1s 0

0 R2s

)

1.1.6 Representacion cuadrado simetrica y cuadrado alternante

Sea V una representacion de G con base {vi}. Consideremos V ⊗ V y la transformacion linealθ : V ⊗ V → V ⊗ V definida en la base como θ(vi ⊗ vj) = vj ⊗ vi. Ası, para cualquier par deelementos x, y ∈ V se tiene que θ(x⊗y) = y⊗x y en particular θ no depende de la base. Claramenteθ2 = Id.

Definimos Sym(V ) = {z ∈ V |; θ(z) = z} y Alt(V ) = {z ∈ V | θ(z) = −z}.

Afirmacion: V ⊗ V = Sym(V )⊕Alt(V ).Claramente el unico elemento z ∈ V que satisface θ(z) = z = −z es z = 0. Basta ver que la

suma de las dimensiones de los subespacios generan. Para esto, veamos que {vi⊗ vj − vj ⊗ vi}i<j esuna base para Alt(V ). Supongamos que z esta en Alt(V ) y lo escribimos como z =

∑ij aijvi ⊗ vj .

Entonces aij = −aji para toda 1 ≤ i, j ≤ n. En particular, aii = 0 y se sigue que

z =∑i<j

aij(vi ⊗ vj − vj ⊗ vi)

Cualquier combinacion lineal igual a cero de elementos vi ⊗ vj − vj ⊗ vi con i < j implica que loscoeficientes ai<j son cero pues {vi ⊗ vj} con i 6= j es un conjunto linealmente independiente. Demanera similar podemos ver que {vi ⊗ vj + vj ⊗ vi}i≤j es una base para Sym(V ).

Ademas obtenemos que

dim(Alt(V )) =n(n− 1)

2y dim(Sym(V )) =

n(n− 1)

2+ n =

n(n+ 1)

2.

Clase 6

1.2 Teoria de Caracteres

1.2.1 El caracter de una representacion

Sea V un espacio vectorial de dimension n, y a ∈ GL(V ). Recordemos que la traza del isomorfismolineal a esta dada por

Tr(a) =

n∑i=1

aii

donde aij son los coeficientes de la matriz asociada a a con respecto a alguna base.

Ejercicio 8. Probar que Tr(a) no depende de la eleccion de la base.

9

Definicion 6. Sea ρ : G→ GL(V ) una representacion lineal de G. Definimos χρ : G→ C como

χρ(s) := Tr(ρs).

A la funcion con valores complejos χρ le llamamos caracter de la representacion ρ. Cuando larepresentacion esta implıcita denotamos al caracter como χ.

Proposicion 1. Si χ es el caracter de una representacion ρ de grado n, se tiene que

1. χ(e) = n;

2. χ(s−1) = χ(s), y

3. χ(tst−1) = χ(s).

para cualquier s, t ∈ G.

Demostracion. 1. Por definicion, χ(e) = Tr(ρe) = Tr(Id) = n.2. La traza de ρs es la suma de los eigenvalores (los bloques de la forma canonica de Jordan de

Rs, digamos Js, satisfacen que su traza es la suma de sus eigenvalores; usando que Rs = AJsA−1

para algina matriz invertible A y Tr(AJsA−1) = Tr(Js) se sigue que Tr(Rs) es la suma de sus

eigenvalores contados con multiplicidad), digamos λ1, ..., λn. Ahora, como G es finito, para cadas ∈ G existe ns tal que sns = e y por lo tanto (ρs)

ns = Id. De esto se sigue que Js es diagonal yque los eigenvalores λi son tambieen de orden finito (en particualr se tiene que λns

i = 1), y por lotanto λ−1

i = λi. Entonces

Tr(ρs) =∑i

λi = Tr(ρs−1)

ya que si Rs = ADA−1 con D una matriz diagonal, entonces R−1s = AD−1A−1 y las entradas de

D−1 son los inversos de las correspondientes entradas en D.3. Se sigue de que Tr(ρtst−1) = Tr(ρt ◦ ρs ◦ ρ−1

t ) = Tr(ρs).

Nota 1. Las funciones f : G → C que satisfacen f(tst−1) = f(s) para cualquier s, t ∈ G, se lesllama funciones de clase.

Proposicion 2. Sean V1 y V2 representaciones de G, y χ1 y χ2 sus respectivos caracteres. Entonces

1. El caracter χ de la representacion de la suma directa V1 ⊕ V2 es igual a la suma χ1 + χ2.

2. El caracter ψ de la representacion del producto tensorial V1 ⊗ V2 es igual al producto χ1χ2.

Demostracion. Supongamos que para cada s ∈ G, R1s y R2

s son las matrices asociadas a las repre-sentaciones V1 y V2 respectivamente.

1. Sea Rs la matriz asociada de la representacion de la suma directa. Esta es una matrizdiagonal por bloques, y por lo tanto la traza es la suma de las trazas de los bloques, es decir,Tr(Rs) = Tr(R1

s) + Tr(R2s).

2. Para cada s ∈ G sean rii,i2(s) y rj1j2(s) los coeficientes de R1s y R2

s, respectivamente. Recorde-mos que los coeficientes de la matriz asociada al producto de Kronecker tiene coeficientes en ladiagonal dados por rii(s)rjj(s) y se tiene que

ψ(s) =∑i,j

rii(s)rjj(s) = χ1(s)χ2(s).

10

Clase 7

Ejercicio 9. Sea X un conjunto finito en el que actua G. Denotemos por χX al caracter dela representacion por permutaciones de G. Probar que para cada s ∈ G, χX(s) es el numero deelementos en X que fija s.

Ejercicio 10. Sea ρ : G→ GL(V ) una representacion lineal con caracter χ y sea V † el dual de V .Para x ∈ V y x′ ∈ V † definimos 〈x, x′〉 := x′(x). Demuestre que existe una unica representacionlineal ρ† : G→ GL(V †) tal que

〈ρs(x), ρ†s(x′)〉 = 〈x, x′〉

para cualquier s ∈ G, x ∈ V y x′ ∈ V †. A la representacion ρ† le llamamos representacion dual deρ.

Ejercicio 11. Sea ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) representaciones lineales con caracteresχ1 y χ2, respectivamente. Sea W = Hom(V1, V2) el espacio vectorial de transformaciones linealesf : V1 → V2. Para s ∈ G y f ∈W definimos

ρs(f) = ρ2s ◦ f ◦ (ρ1

s)−1

y en particular ρs(f) ∈ W . Demuestre que esto define una representacion lineal ρ : G → GL(W ),

cuyo caracter es igual a χ†1χ2, donde χ†1 es el caracter de (ρ1)†. La representacion ρ es isomorfa a(ρ1)† ⊗ ρ2.

1.2.2 Lema de Schur; aplicaciones basicas

Proposicion 3. (Lema de Schur). Sea G un grupo (no necesariamente finito). Sean ρ1 : G →GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) representaciones lineales irreducibles de G, y sea f : V1 → V2 unatransformacion lineal tal que ρ2

s ◦ f = f ◦ ρ1s para cualquier s ∈ G. Entonces

1. Si ρ1 y ρ2 no son isomorfas, se tiene que f = 0.

2. Si V1 = V2 y ρ1 = ρ2, f es una homotecia.

Demostracion. 1. Supongamos que f 6= 0 y veamos que ρ1 y ρ2 son similares. Sea W1 = ker f ⊂ V1.Veamos que W1 es G-invariante. Dado x ∈W1 y s ∈ G, se tiene que f(ρ1

s(x)) = ρ2s(f(x)) = 0 y por

lo tanto ρ1s(x) ∈W1. Ahora como V1 es irreducible, se sigue que W1 = V1 o W1 = 0, y por hipotesis,

W1 no puede ser todo V1, es decir, W1 = 0. Basta ver que im f = V2, pero de manera similar, im f esG-invariente (para cualquier s ∈ G, ρ2

s(f(x)) = f(ρ1s(x)) ∈ im f) y como V2 es irreducuble y f 6= 0,

se sigue que im f = V2. Por lo tanto f es un isomorfismo.2. Tomemos V = V1 = V2 y ρ = ρ1 = ρ2. Como V es un espacio vectorial complejo, f al menos

tiene un valor propio, digamos λ. Definimos f ′ = f − λId. Para algun vector propio x 6= 0 de λ, setiene que x ∈ ker f ′ y por lo tanto no es cero. Ahora para cualquier s ∈ G,

ρs(f − λId) = fρs − λρs = (f − λId)ρs

y de manera similar a la parte uno, se tiene que ker f ′ es G-invariante y por lo tanto ker f ′ = V . Esdecir, f = λId.

Corolario 1. Bajo las hipotesis de la proposicion anterior, sea h : V1 → V2 una transformacionlineal y

h0 =1

|G|∑t∈G

(ρ2t )−1 ◦ h ◦ ρ1

t .

Entonces

1. Si ρ1 y ρ2 no son isomorfas, h0 = 0.

11

2. Si V1 = V2 y ρ1 = ρ2, h0 es una homotecia de razon (1/n)Tr(h), donde n = dim(V1).

Demostracion. Veamos que ρ2s ◦ h0 = h0 ◦ ρ1

s.

(ρ2s)−1 ◦ h0ρ1

s =1

|G|∑t∈G

(ρ2s)−1 ◦ (ρ2

t )−1 ◦ h ◦ ρ1

tρ1s

=1

|G|∑t∈G

(ρ2st)−1 ◦ h ◦ ρ1

st

= h0.

Por la proposicion anterior h0 = 0 en el caso 1 y en el caso 2 es una homotecia, digamos λId. Peropor un lado Tr(λId) = dim(V1)λ y por el otro

Tr(λId) =1

|G|∑t∈G

Tr(ρ1t )−1 ◦ h ◦ ρ1

t = Tr(h)

Pot lo tanto λ = (1/dim(V1))Tr(h).

Clase 8 Para cada t ∈ G denotemos las matrices asociadas a ρ1t y ρ2

t como

ρ1t = (r1

i1j2(t)) y ρ2t = (r2

i2j2(t))

y para h : V1 → V2 como h = (xi2i1). De esta manera las entradas de la matrz asociada a h0 son dela forma

x0i2i1 =

1

|G|∑t,j1j2

r2i2j2(t−1)xj2j1r

1j1i1(t).

Corolario 2. Bajo las hipotesis del corolario 1,

1. En el caso 1 se tiene que1

|G|∑t∈G

r2i2j2(t−1)r1

j1i1(t) = 0

para cualquier i1, i2, j1, j2.

2. En el caso 2, rij = r1ij = r2

ij y se tiene que

1

|G|∑t∈G

ri2j2(t−1)rj1i1(t) =1

nδi2i1δj2j1 =

{1/n si i1 = i2 y j1 = j20 en otro caso.

Demostracion. Cada entrada x0i2i1

se puede leer como una transformacion lineal Hom(V1, V2) ∼=Mn×m(C)→ C con respecto a (xj2ji), donde n = dim(V1) y m = dim(V2). En el caso 1 se tiene quex0i2i1

= 0 para cada i2, i1. En particular, si tomamos la base canonica {ej2j1} de Mn×m(C), se siguela parte 1.

En el caso 2 se tiene que h0 es la homotecia (1/n)Tr(h)Id lo que implica que x0i2,i1

= 0 si i1 6= i2y de manera similar a la parte 1, la suma de los productos ri2j2(t−1)rj1i1(t) es cero. Cuando i1 = i2tenemos que

x0ii =

1

|G|∑t,j1j2

rij2(t−1)xj2j1rj1i(t) =1

n

n∑j=1

xjj

y ası, cuando j2 6= j1 se puede ver que 1|G|∑t∈G rij2(t−1)rj1i(t) = 0 y cuando j2 = j1, la suma

1|G|∑t∈G rij(t

−1)rji(t) = 1/n.

12

Nota 2. Sean φ, ψ : G→ C funciones y definimos

〈φ, ψ〉 =1

|G|∑t∈G

φ(t−1)ψ(t) =1

|G|∑t∈G

φ(t)ψ(t−1).

Para cualquier numero complejo λ ∈ C podemos definir el producto escalar (λψ)(s) = λψ(s) paracada s ∈ G; para cualesquiera ψ, φ podemos definir la funcion suma como (ψ + φ)(s) = ψ(s) + φ(s)para cada s ∈ G. Con estas operaciones podemos ver que 〈−,−〉 es “lineal” en ambas entradas. Ası,podemos escribir el corolario 2 en sus respectivas partes como

1. 〈r1i2j2

, r2j1j2〉 = 0.

2. 〈ri2j2 , rj1j2〉 = 1nδi2i1δj2j1 .

Nota 3. Si las matrices (rij(t)) las tomamos con respecto a una base ortonormal, entonces

rij(t−1) = rji(t) y en obtenemos una relacion adicional en el producto

〈rij , nrij〉 = 1

1.2.3 Relaciones de ortogonalidad para caracteres

Definicion 7. Sean φ, ψ : G→ C. Definimos

(φ|ψ) =1

|G|∑t∈G

φ(t)ψ(t).

La funcion (−|−) es lineal en la primera entrada y semilineal en la segunda entrada. Ademas, siψ no es identicamente cero, (ψ|ψ) = (1/|G|)

∑t∈G |ψ(t)|2 > 0.

Recordemos que para un caracter χ : G→ C, se tiene que χ(t−1) = χ(t) y en particular obtenemosla igualdad

(ψ|χ) = 〈ψ, χ〉

para cualquier funcion ψ : G→ C.

Teorema 3.

1. Si χ es el caracter de una representacion irreducible, se tiene que (χ|χ) = 1.

2. Si χ y χ′ son caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas, entonces (χ|χ′) = 0.

Clase 9

Demostracion del Teorema 3. 1. Sea (rij(t)) una matriz asociada a alguna representacion irreduciblecon caracter χ. Por definicion para cualquier t ∈ G, χ(t) =

∑i rii(t) y podemos escribir χ =

∑i rii.

Supongamos que el grado de la representacion es n. Por la parte 2 de la nota anterior (Nota 2) sesigue que

(χ|χ) = 〈χ, χ〉 =∑ij

〈rii, rjj〉 =∑i

〈rii, rii〉 =n

n= 1.

2. De manera similar (χ|χ′) = 〈χ, χ′〉 =∑ij〈rii, r′jj〉 = 0 por la parte 1 de la nota anterior.

Nota 4. Al caracter de una representacion irreducible se le llama caracter irreducible.

13

Teorema 4. Sea V una representacion lineal de G con caracter φ, y supongamos que V se de-scompone como suma de representaciones irreducibles

V = W1 ⊕ · · · ⊕Wk.

Entonces, si W es una representacion irreducible con caracter χ, el numero de Wi’s isomorfas a Wes (ψ|χ) = 〈ψ, χ〉.

Demostracion. Sea χi el caracter de Wi. Por la Proposicion 2, podemos escribir φ = χ1 + · · ·+ χk,de manera que el producto

(φ|χ) = (χ1|χ) + · · ·+ (χk|χ)

Ahora, por el Teorema 3, (χi|χ) = 1 si Wi es isomorfa a W , y de lo contrario es cero; el resultadose sigue de esto.

Corolario 3. Bajo las hipotesis del Teorema 4, el numero de representaciones Wi isomorfas a Wno depende de la descomposicion en subrepresentaciones.

Demostracion. El producto (φ|χ) no depenede de la descomposicion en subrepresentacioens.

Corolario 4. Dos representaciones con el mismo caracter son isomorfas.

Demostracion. Por el coroloraio anterior ambas representaciones contienen el mismo numero desubrepresentaciones irreducibles isomorfas a una dada.

Nota 5. Sea V una representacion de G. Entonces podemos escribir la descomposicion de V enirreducibles como

V ∼= m1W1 ⊕ · · · ⊕mhWh

para algunos enteros mi, donde las Wi’s no son isomorfas por pares. Sean χ1, ..., χh los distintoscaracteres de las subrepresentaciones Wi. Si φ es el caracter de V , entonces φ = m1χ+ · · ·+mhχh,donde mi = (φ|χi). En conclusion, podemos reducir el estudio de representaciones de G al decaracteres irreducibles.

Teorema 5. Si φ es el caracter de una representacion V distinta de cero, (φ|φ) es un enteropositivo; mas aun, (φ|φ) = 1 si y solo si V es irreducible.

Demostracion. Anterioremente vimos que este numero es positivo si φ no es cero, y recordemos queφ(e) = dim(V ) 6= 0. Bajo la notacion de la nota anterior

(φ|φ) =∑i,j

mimj(χiχj) =

h∑i=1

m2i

donde mi es el numero de ves que ocurre una representacion irreducible en la descomposicion de V .Si φ es irreducible, el Teorema 4 nos dice que (φ|φ) = 1. Para la ida supongamos que

∑hi m

2i = 1.

Como cada mi es un numero entero, esto implica que para algun ındice i0, mi0 = 1 y mi = 0 sii 6= i0. En la notacion de la nota anterior, esto dice que φ = χi0 que es irreducible.

Ejercicio 12. Sea ρ : G → GL(V ) una representacion lineal con caracter χ. Pruebe que (χ|1), elnumero de veces que ρ contiene a la representacion trivial 1 : G→ GL1(C), es igual a

1

|G|∑s∈G

χ(s).

Ejercicio 13. Sea X un conjunto finito en el que actua G por la izquierda; sea ρ la correspondienterepresentacion por permutaciones, y sea χ su caracter.

14

(a) Para cada x ∈ X, sea O(x) = {sx ∈ X | s ∈ G} la orbita de x y sea c el numero de orbitasdistintas. Demuestre que c es igual al numero de veces que ρ contiene a la representacion trivial1, es decir, que (χ|1) = c. En particular si la accion es transitiva (i.e. c = 1) ρ se puededescomponer como 1 ⊕ θ, donde θ no contiene a 1, o en terminos de caracteres, si ψ es elcaracter de θ, χ = 1 + ψ con (ψ|1) = 0.

(b) Consideremos la accion diagonal de G en X×X, (s, (x, y)) 7→ (sx, sy). Demuestre que el caracterde la respectiva accion por permutaciones es χ2 (es decir, t 7→ χ(t)2 para cada t ∈ G).

(c) Supongamos que G actua transitivamente (i.e. para cualquier par de elementos x, y ∈ X existes ∈ G tal que sx = y) y que X tiene al menos 2 elementos. Decimos que la accon de G estransitiva en parejas si para cualquier par de parejas ordenadas (x, y) y (x′, y′) tales que x 6= yy x′ 6= y′, existe s ∈ G tal que (sx, sy) = (x′, y′). Demuestre que las siguientes propiedas sonequivalentes:

(i) G actua transitivamente en parejas.

(ii) La accion diagonal de G en X × X tiene 2 orbitas, la diagonal ∆X y su complementoX ×X −∆X.

(iii) (χ2|1) = 2.

(iv) La representacion θ definida en el inciso (a) es irreducible.

15

Clase 10

1.2.4 Descomposicion de la representacion regular

Consideremos la representacion regular de G, reg : G→ GL(V ), donde dim(V ) = |G|; hay una base{vs}s∈G de V tal que regs(vt) = vst para cualquier s, t ∈ G.

Recordemos que reg es un caso particular de la representacion por permutaciones, donde G = Xy la accion es el producto en G. Sea rG el caracter de reg. Por el ejercicio 9, para cada s ∈ G,rG(s) es el numero de elementos que fija s, pero st = t si y solo si s = e y por lo tanto obtenemosel siguiente resultado.

Proposicion 4. El caracter rG de la representacion regular esta dado por

rG(s) =

{|G| si s = e0 en otro caso.

Corolario 5. Cualquier representacion irreducble de G esta contenida en la representacion regular,con multiplicidad igual a su grado.

Demostracion. Sea W un representacion irreducible de G con caracter χ. Entonces el numero deveces que reg contiene a W esta dado por

(rG|χ) =1

|G|∑t∈G

rG(t)χ(t) =1

|G|(|G|dim(W )) = dim(W ).

En particular obtenemos que G tiene un numero finito de representaciones irreducibles salvoisomorfismo.

Notacion: Vamos a denotar a las representaciones irreducibles de G por W1, ...,Wh y a los respec-tivos caracteres irreducibles como χ1, ..., χh; sus respectivos grados los escribiremos como n1, ..., nh,es decir, dimWi = χi(e) = ni.

Corolario 6.

(a) Los grados ni satisfacen la relacion∑hi=1 n

2i = |G|.

(b) Si s ∈ G es diferente del identico, se tiene que∑hi=1 niχi(s) = 0.

Demostracion. (a) Podemos descomponer rG como m1χ1 + · · · + mhχh y por la Proposicion 4,obtenemos para la parte (a)

|G| = rG(e) = m1χ1(e) + · · ·+mhχh(e) =

h∑i=1

n2i

y para la parte (b), si s 6= e,∑hi=1 niχi(s) = rG(s) = 0.

Nota 6. El corolario anterior se puede usar para determinar el numero de representaciones ir-reducibles de un grupo finito G. Supongamos que hemos construido representaciones irreduciblesmutuamente no isomorfas, de grados n1, ..., nk; para que sean todas las representaciones irreduciblesde G salvo isomorfismo, una condicion necesaria y suficiente es que n2

1 + · · ·+ n2k = |G|.

Ejercicio 14. Probar que cada caracter de G que es cero para todo elemento s ∈ G, con s 6= e, esun multiplo entero de rG.

16

1.2.5 Numero de representaciones irreducibles

Recordemos que una funcon de clase en G es una funcion f : G → C tal que f(tst−1) = f(s) paratoda s, t ∈ G.

Definicion 8. Sea f una funcion de clases en G, y ρ : G → GL(V ) una representacion lineal.Definimos ρf : V → V como

ρf =∑t∈G

f(t)ρt,

que resulta una transformacion lineal ya que cada ρt lo es y f(t) es un escalar.

Bajo la notacion de la definicion anterior tenemos lo siguiente.

Proposicion 5. Si V es irreducible de grado n y caracter χ, entonces ρf es una homotecia de radio

1

n

∑t∈G

f(t)χ(t) =|G|n

(f |χ).

Clase 11

Demostracion. Para ver que ρf es una homotecia, basta ver que para cualquier s ∈ G, ρs◦ρf = ρf ◦ρsy usar el Lema de Schur (3). Esto es equivalente a

ρs ◦ ρf ◦ ρ−1s =

∑t∈G

ρs ◦ (f(t)ρt) ◦ ρ−1s

=∑t∈G

f(t)(ρs ◦ ρt ◦ ρs−1)

=∑t∈G

f(t)ρsts−1

=∑t∈G

f(sts−1)ρsts−1

Ahora, como cualquier elemento en G se puede se puede escribir de la forma sts−1, y |G| es finito,se sigue que

∑t∈G f(sts−1)ρsts−1 = ρf . Por el Lema de Schur, ρf = (1/n)Tr(ρf )Id, pero

1

nTr(ρf ) =

1

n

(∑t∈G

Tr(f(t)ρt)

)=

1

n

(∑t∈G

f(t)Tr(ρt)

)=

1

n

∑t∈G

f(t)χ(t).

Hemos visto que el conjunto de funciones de G con valores complejos es cerrado bajo sumas ymultiplicacion por escalares complejos; mas aun, tenemos un producto (−|−) que es un productointerior con respecto a la estructura de espacio vectorial inducida en el conjunto de funciones convalores en C. Vimos que los caracteres irreducibles con respecto a este producto satisfacen relacionesde ortogonalidad. Para contar el numero de representaciones irreducibles de G, primero veamos queeste numero es igual a la dimension del espacio vectorial complejo de funciones de clases, que lodenotaremos por Cl(G).

Teorema 6. Los caracteres irreducibles de G, χ1, ..., χh forman una base para Cl(G).

Demostracion. Por el Teorema 3 (clase 8), tenemos que los caracteres irreducibles forman un sistemaortonormal con respecto a (−|−). Para que {χi}hi=1 genere, basta probar que cualquier funcion de

17

clases que es orogonal a todo χi es cero. Tomemos una funcion de clases f tal que (f |χi) = 0 paratoda i = 1, ..., h. Por la Proposicion 5, para cada i, la transormacion lineal

ρif =

h∑i=1

f(t)ρif = (|G|/ni)(f |χi) = (|G|/ni)(f |χi) = 0,

donde ρi es una representacion con caracter χi y f es el conjugado de f . Definimos

regf =∑t∈G

f(t)regt.

Por el Corolario 5, podemos escribir a la representacion regular V de G como reg = n1ρ1 + · · ·+nhρh

y obtenemos que

regf =∑t∈G

f(t)(n1ρ1t + · · ·+ nhρ

ht ) = 0.

Ahora tomemos el elemento basico ve ∈ V y evaluemos para obtener la identidad

0 = regf (ve) =∑t∈G

f(t)regt(ve) =∑t∈G

f(t)vt

lo cual implica f(t) = 0 para cada t ∈ G y por lo tanto f = f = 0.

Recordemos que la clase de conjugacion de un elemento t ∈ G son todos los elementos sts−1

con s ∈ G, y la denotamos por Ct. Estas clases forman una particion de G, es decir, tomando unrepresentante por cada clase de conjugacion se tiene que G =

⊔Ct.

Teorema 7. El numero de representaciones irreducibles de G (salvo isomorfismo) es igual alnumero de clases de conjugacion de G.

Clase 12

Demostracion. Sea k el numero de clases de conjugacion de G, es decir, Ct1 t · · · t Ctk = G.Cualquier funcion de clases f es constante en cada Cti , es decir, f(t) = λi para cada t ∈ Cti .Definimos ϕ : Cl(G)(G) → Ck como ϕ(f) = (λ1, ..., λk). Notemos que para cualquier coleccion dek-numeros complejos v = (z1, ..., zk), podemos definir fv : G→ C como fv(t) = zi si t ∈ Cti . Comolas clases de conjugacion son ajenas, fv esta bien definida y ademas nos dice que ϕ es suprayectiva,pues por definicion ϕ(fv) = v. Se puede ver facilmente que ϕ es lineal y que ϕ(f) = 0 implica quef = 0. Por lo tanto la dimension de Cl(G) es k y por el Teorema 6, k = h.

Proposicion 6. Sea s ∈ G, y denotemos al numero de elementos en la clase de conjugacion de sen G como c(s). Entonces

(a)∑hi=1 χi(s)χi(s) = |G|/c(s).

(b) Si t no es un conjugado de s, se tiene que∑hi=1 χi(s)χ(t) = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad supongamos que s ∈ Ct1 . Sea e1 = (1, 0, ..., 0) y consid-eremos fe1 como en el teorema anterior. Por el Teorema 6 podemos escribir

fe1 =

h∑i=1

(fe1 |χi)χi

Por otro lado

(fe1 |χi) =1

|G|∑t∈G

fe1(t)χi(t) =1

|G|∑t∈Ct1

χi(t) =c(s)

|G|χi(s)

18

(el valor de χi(t) es el mismo para cualquier t ∈ Ct1). Por lo tanto

fe1 =c(s)

|G|

h∑i=1

χi(s)χi

La parte (a) se sigue de evaluar fe1 en s y la parte (b) de evaluar en t cuando t /∈ Ct1 .

Ejemplo 7. Consideremos el grupo simetrico Σ3 que es de orden 3! = 6. Podemos escribir suselementos como (1), (12), (23), (13), (123), (132). Por los distintos ordenes de los elementos, vemosque hay al menos 3 clases de conjugacion. Para ver que estas son todas las clases, solo hay que probarque todas las transposiciones son conjugados y que los ciclos de orden 3 tambien. Pero esto es claro,por ejemplo (12)(23)(12) = (13), (13)(12)(13) = (23) y (12)(123)(12) = (132). Por el Teorema 7, Σ3

tiene 3 caracteres irreducibles salvo isomorfismo, digamos χ1, χ2, χ3. Por el Corolario 6, los gradosde dichas representaciones deben satisfacer n2

1 +n22 +n2

3 = 6 y la unica posibilidad salvo permutaciones n1 = n2 = 1 y n3 = 2. Por lo tanto hay 2 representaciones irreducibles de grado 1 y una degrado 2. Mas aun podemos obtener los valores de los caracteres usando la representacion regular,pues rΣ3

= χ1 + χ2 + 2χ3. Sabemos que una de las representaciones de grado 1 es la trivial 1, y laotra es la representacion de signo, sgn: Σ3 → Z/2 ⊂ C× donde sgn(σ) es el signo de la permutacionσ. Recordemos que una permutacion se descompone en producto de transposiciones, y se tiene quesgn(σ) = (−1)m, donde m es el numero de transposiciones en la descomposicion de σ. En el casode Σ3 las transposiciones tienen signo −1 y los ciclos de orden 3 tienen signo 1. Sean χ1 = χ1 yχ2 = χsgn. Entonces

χ3 =1

2(rΣ3

− χ1 − χsgn).

Sea τ una transposicion y σ un cıclo de orden 3. En la siguiente tabla exhibimos los valores de loscaracteres irreducibles de Σ3.

(1) τ σχ1 1 1 1χsgn 1 −1 1χ3 2 0 −1

Ejercicio 15. Sea V = {(x1, x2, x3) ∈ C3 | x1 + x2 + x3 = 0}.

1. Sea σ ∈ Σ3. Probar que la asignacion (x1, x2, x3)σ = (xσ(1), xσ(2), xσ(3)) es una accion derechade Σ3 en V .

2. Definimos ρ3 : Σ3 → GL(V ) como ρ3σ(v) = v · σ−1 para cada σ ∈ Σ3 y v ∈ V . Probar que ρ3

es irreducible de grado 2. Deducir de esto que el caracter de ρ3 es χ3.

19

Clase 13

Ejemplo 8. Consideremos el grupo de cuaternios Q8 = 〈a, b | a4 = 1, a2 = b2, ab = ba−1〉. Se puedeidentificar a Q8 con las unidades fundamentales de los cuaterinios {±1,±i,±j,±k} mediante a = i,b = j y ab = k. En este caso las relaciones son i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ij = k, jk = −kj = i,ki = −ik = j. En particular i3 = i−1 = −i y analogamente para j y k. Como 1 y −1 conmutan coni, j,k, conjugar fija a 1 y −1 y por lo tanto definen 2 clases de conjugacion con un solo elemento.Analicemos los conjugados de i: conjugar i por ±1 y ±i fija a i. Ahora, conjuguemos por ±j y ±k

ji(−j) = −kj = −i

ki(−k) = −jk = −i

Por lo tanto Ci = {i,−i}. De manera similar Cj = {j,−j} y Ck = {k,−k}. Ası, hay 5 repre-sentaciones irreducibles de Q8. Ahora, sean n1, ..., n5 los grados de dichas representaciones, quedeben satisfacer n2

1 + · · ·+ n25 = 8. Supongamos que n1 = 1 corresponde a la representacion trivial.

Entonces n22 + · · ·+n2

5 = 7, lo cual, salvo el orden, implica que n2 = n3 = n4 = 1 y n5 = 2. Primeroestudiemos las representaciones de grado uno. Definimos ρi : Q8 → C× como ρi({±1,±i}) = 1 yρi({±j,±k}) = −1 (ρi se puede ver como el cociente Q8 → Q8/〈i〉 = Z/2 ↪→ C×). De manerasimilar definimos ρj y ρk. Sean χi, χj y χk sus respectivos caracteres. En este caso

χ5 =1

2(rQ8 − χ1 − χi − χj − χk)

Podemos completar la tabla de caracteres.

1 −1 i j kχ1 1 1 1 1 1χi 1 1 1 −1 −1χj 1 1 −1 1 −1χk 1 1 −1 −1 1χ5 2 -2 0 0 0

Para encontrar ρ5 : Q8 → GL2(C), recordemos que los cuaternios unitarios se pueden identificarcon SU(2) = {A ∈ GL2(C) |A−1 = A∗ y det(A) = 1} y podemos ver a Q8 como subgrupo de SU(2)tomando

1 =

(1 00 1

), i =

(i 00 −i

), j =

(0 −11 0

)y k =

(0 ii 0

)El caracter de la inclusionon Q8 ↪→ SU(2) ⊂ GL2(C) es precisamente χ5, y por lo tanto la inclusiones la representacion irreducible faltante.

Descomposicion canonica de una representacion

Ahora veamos que la descomposicion de una representacion lineal de G en irreducibles, es unica unavez que la descomposicion es agrupada por tipo de isomorfismo. Sean W1, ...,Wh las representacionesirreducibles de G con caracteres y grados χ1, ..., χh y n1, ..., nh. Sea V una representacion lineal deG y V ∼= U1 ⊕ · · · ⊕ Um es una descomposicion en irreducibles. Definimos

Vi = Ui1 ⊕ · · · ⊕ Uik

donde Uij son todas las subrepresentaciones en el conjunto U1, ..., Um que son isomorfas a Wi.

20

Clase 14

Teorema 8. Sea ρ : G→ GL(V ) una representacion lineal. Entonces

1. La descomposicion V ∼= V1 ⊕ · · · ⊕ Vh no depende de la descomposicon inicial en irreducibles.

2. Las proyecciones pi : V → Vi estan dadas por

pi =ni|G|

∑t∈G

χi(t)ρt

Demostracion. Probaremos 2 y la parte 1 se sigue de esto, ya que las proyecciones solo dependen delas representaciones irreducibles de G y de la representacion ρ.

Sea qi = (ni/|G|)∑t∈G χ(t)ρt : V → V . La restriccion de qi a cualquier subrepresentacion

irreducible Uk es de la forma qi|Uk: Uk → Uk y por la proposicion 5 (Proposicion 2, clase 10),

tomando f = (ni/|G|)χi, obtenemos que qi|Ukes una homotecia de radio (|G|/n)(ni/|G|)(χi|χ) =

(ni/n)(χi|χ), donde χ es el caracter de la representacion irreducible a la cual Uk es isomorfa y n essu grado. Usando las relaciones de ortogonalidad de los caracteres, se sigue que qi es la identidaden Vi y cero en Vj si j 6= i.

Ejemplo 9. Sea G = Z/2 = {e, t}. Se puede ver facilmente que Z/2 solo tiene 2 representacionesirreducibles de grado 1, que son 1 y ρ− = −1. Sea ρ : Z/2 → GL(V ) una representacion de Z/2.Por el teorema anterior, la podemos descomponer como V ∼= V + ⊕ V −, donde V + corresponde a lasuma directa de representaciones triviales y V − a la suma directa de copias isomorfas a ρ. En otraspalabras V + = {x ∈ V | ρt(x) = x} y V − = {x ∈ V | ρt(x) = −1}. Las proyecciones en este casoson

p+(x) =1

2(x+ ρt(x)) y p−(x) =

1

2(x− ρt(x))

para cualquier x ∈ V .

Ejercicio 16. Sea ρ : G→ GL(V ) una representcion lineal. Sea Hi el espacio vectorial de transfor-maciones lineales hi : Wi → V tales que ρs ◦ h = h ◦ ρWi

s para toda s ∈ G, donde ρWi : G→ GL(Wi)es una representacion irreducible.

(a) Probar que la imagen de h esta contenida en Vi.

(b) Probar que la dimension deHi es la multiplicidad deWi en V , es decir, dim(Hi) = dim(Vi)/ dim(Wi).(Hint: reducir al caso V = Wi y usar el Lemma de Schur).

(c) Supongamos que G actua en Hi ⊗Wi mediante la accion trivial en Hi y mediante ρWi en Wi

(esto esta bien definido por lo que vimos en la clase 5). Probar que la transformacion linealF : Hi ⊗Wi → Vi inducida por

F (h⊗ w) = h(w)

donde h ∈ Hi y w ∈Wi, es un isomorfismo. (Hint: igual que la parte (b))

(d) Deduzca que dar una descomposicion de Vi en irreducibles es equivalente a elegir una base paraHi.

1.3 Subgrupos, productos y representaciones inducidas

1.3.1 Subgrupos abelianos

Recordemos que un grupo G es abeliano si para cualquier s, t ∈ G, se tiene que st = ts. Esto esequivalente a pedir que cualquier clase de conjugacion consta de 1 elemento, es decir, Ct = {t}para toda t ∈ G. En particular, cualquier funcion f : G → C es una funcion de clases en G. Lasrepresentaciones lineales en un grupo abeliano son sencillas de clasificar.

21

Teorema 9. Las siguientes propiedades son equivalentes:

(i) G es abeliano.

(ii) Todas las representaciones irreducibles de G son de grado 1.

Demostracion. Supongamos que G es abeliano. Entonces por el Teorema 7 (teorema 2 clase 11) Gtiene |G| representaciones irredicibles, y por lo tanto la relacion entre los grados ni de las repre-sentaciones irreducibles de G y el orden de G es n2

1 + · · ·+ n2|G| = |G|. De esto se sigue que ni = 1

para i = 1, ..., |G|.Si todas las ni = 1 la relacion grados/orden obliga a que G tenga tantas clases de conjugacion

como su orden. Esto solo pasa si cada Ct = {t} para t ∈ G.

Clase 15

Corolario 7. Sea A un subgrupo abeliano de G. Entonces el grado de cada representacion irreduciblede G es menor o igual que |G|/|A| (el ındice de A en G).

Demostracion. Sea ρ : G→ GL(V ) un arepresentacion irreducible de G. Consideremos la restriccionρ|A =: ρA : A → GL(V ). Sea W ⊂ V una subrepresntacion irreducible de A. Por el Teorema 9, setiene que dim(W ) = 1. Ahora sea

V ′ = {ρs(x) | x ∈W y s ∈ G} =⋃s∈G

ρs(W ).

Por definicion V ′ es G-invariante (ρt(ρs(x)) = ρts(x) ∈ V ′ para cada t ∈ G y ρs(x) ∈ V ′), y comoV es irredicible, V ′ = V . Ahora para generar V ′, necesitamos generar las lıneas ρs(W ) con s ∈ G,pero W es A-invariante, lo que implica que ρts(W ) = ρt(W ) para cada s ∈ A y t ∈ G, es decir, haya lo mas |G/A| lıneas distintas.

Ejemplo 10. El grupo dihedrico Dn = 〈r, s | rn = s2 = e , srs = r−1〉 tiene un subgrupo cıclico deındice 2, 〈r〉 = Z/n y por lo tanto sus representaciones irreducibles son de grado 1 o 2.

Ejercicio 17. Domostrar de manera directa usando el Lema de Schur, que las representacionesirreducibles de cualquier grupo abeliano, finito o no, son de grado 1. (Note que el Lema de Schurno necesita la hipotesis de que G sea finito).

Ejercicio 18. Sea ρ una representacion irreducible de G de grado n con caracter χ, y sea Z ⊂ Gel centro de G (i.e., los elementos z en G tales zt = tz para toda t ∈ G).

(a) Pruebe que ρz es una homotecia para cada z ∈ Z. (Usar el Lema de Schur).

(b) Demuestre la desigualdad n2 ≤ |G|/|C|. (Use la formula∑s∈G |χ(s)|2 = |G| y (a)).

(c) Pruebe que si ρ es fiel (i.e., ρ es inyectiva o equivalentemente ρs 6= Id si s 6= e), entonces Z escıclico.

Ejercicio 19. Sea G un grupo abeliano finito, y sea G el conjunto de caracteres irreducibles de G.

1. Pruebe que si χ1, χ2 pertenecen a G, entonces los productos χ1χ2 tambien estan en G. Deduzcaque G tiene estructura de grupo abeliano de orden |G|. Mas aun, deduzca que G = Hom(G,S1),el conjunto (grupo abeliano pues S1 ⊂ C es abeliano) de homomorfismos de G en S1. Al grupo

G se le llama el dual de Pontryagin de G.

2. Pruebe que para cada s ∈ G la funcion s : G → C dada por s(χ) = χ(s) es un caracter

irreducible de G.

3. Prube que la asignacion s → s es un isomorfismo de G enG (a este isomorfismo se le llama

dualidad de Pontryagin).

22

1.3.2 Producto directo de 2 grupos

Sean G1 y G2 2 grupos, y consideremos el producto cartesiano G1 × G2. Recordemos que esteconjunto tiene una estructura de grupo dada por

(s1, s2) · (t1, t2) = (s1t1, s2t2)

para cualquier si, ti ∈ Gi, con i = 1, 2. Al conjunto G1 ×G2 con este producto se le llama productodirecto de G1 y G2. De la definicion de la opercaion el producto, se ve que G1 × {e2} ∼= G1 y{e1} × G2

∼= G2 son subgrupos (canonicos) de G1 × G2, donde ei ∈ Gi es el ıdentico para i = 1, 2.Tambien se sigue que los elementos de la forma (e1, s2) y (s1, e2) conmutan para cualquier si ∈ Gi,i = 1, 2.

Podemos caracterizar al producto directo de la siguiente manera:

Lema 9. Sea G un grupo con subgrupos G1 y G2. Entonces G es isomorfo a G1 ×G2 si y solo si

(i) Cada s ∈ G se puede escribir de manera unica como s = s1s2, con s1 ∈ G1 y s2 ∈ G2.

(ii) Para cualquier s1 ∈ G1 y s2 ∈ G2 se tiene que s1s2 = s2s1.

Demostracion. Ya vimos queG1×G2 cumple (i) y (ii). Supongamos queG satisface estas propiedades.Definimos f : G1 ×G2 → G como f(s1, s2) = s1s2. Veamos que f es un homomorfismo:

f((s1, s2)(t1, t2)) = f(s1t1, s2t2) = s1t1s2t2 que por la propiedad (ii) es igual a s1s2t1t2 =f(s1, s2)f(t1, t2).

Supongamos que s1s2 = e, entonces s1 = s−12 , pero por la propiedad (i) solo puede haber una

solucion a esta identidad, y claramente f(e1, e2) = f(e, e) = e (en este caso e1 = e2, pues ambos sonsubgrupos de G). Esta misma propiedad impica que f es suprayectiva.

Definicion 10. Sean ρ1 : G1 → GL(V1) y ρ2 : G2 → GL(V2) representaciones lineales. Definimos

ρ1 ⊗ ρ2 : G1 ×G2 → GL(V1 ⊗ V2)

como (ρ1 ⊗ ρ2)(s1,s2) = ρ1s1 ⊗ ρ

2s2 para cada (s1, s2) ∈ G1 ×G2.

De manera similar al producto tensorial de 2 representaciones de un grupo, se puede ver que elcaracter de ρ1⊗ρ2 esta dado por χ(s1, s2) = χ1(s1)χ2(s2), donde χi es el caracter de ρi con i = 1, 2.

Nota 7. Tomando G = G1 = G2 se puede ver que la representacion producto tensorial de ρi : G→GL(Vi) con i = 1, 2 es la composicion G→ G×G→ GL(V1 ⊗ V2), donde el primer homomorfiso ess 7→ (s, s).

23

Semana 7

Teorema 10. Sean G1 y G2 grupos finitos. Entonces

(i) Si ρ1 y ρ2 son irreducibles, ρ1 ⊗ ρ2 es una representacion irreducible de G1 ×G2.

(ii) Cada representacion irreducible de G1 × G2 es isomorfa a una representacion de la formaρ1 ⊗ ρ2, donde ρi es una representacion irreducible de Gi, con i = 1, 2.

Demostracion. 1. Sean χ1 y χ2 los caracteres de ρ1 y ρ2, respectivamente. Como ambos sonirreducibles, de las relaciones de ortogonalidad obtenemos que

1

|G1|∑s1∈G1

|χ1(s1)|2 =1

|G2|∑s2∈G2

|χ2(s2)|2 = 1.

Multiplicando las dos expresiones se tiene que

(χ|χ) =1

|G1||G2|∑

(s1,s2)∈G1×G2

|χ1(s1)χ2(s2)|2 = 1,

donde χ es el caracter de ρ1 ⊗ ρ2 (el orden de G1 ×G2 es |G1||G2|).2. Por un teorema anterior basta ver que los caracteres de la forma χ1χ2 (donde χ1 y χ2 son

irreducibles) forman una base para el espacio vectorial H de funciones de clases en G1 ×G2. Paraesto veamos que cualquier f ∈ H que es ortogonal a todos los elementos χ1χ2, es identicamente cero.Supongamos que

∑(s1,s2)∈G1×G2

f(s1, s2)χ1(s1)χ2(s2) = 0 para alguna f ∈ H y cualquier χ1, χ2

irreducibles. Definimos g : G1 → C como

g(s1) =∑s2∈G2

f(s1, s2)χ2(s2)

para cualquier s1 ∈ G1. Veamos que g es una funcion de clases. Tomemos t ∈ G1, entonces(ts1t

−1, s2) = (t, e2)(s1, s2)(t−1, e2) y por lo tanto

g(ts1t−1) =

∑s2∈G2

f(ts1t−1, s2)χ2(s2) =

∑s2∈G2

f(s1, s2)χ2(s2) = g(s1).

Ahora, por hipotesis,∑s1∈G1

g(s1)χ1(s1) = 0 para todo caracter irreducible χ1 de G1. Por lo tantog = 0. Por un razonamiento similar, f(s1, s2) = 0 para toda s1 ∈ G1. De manera similar, definiendoh(s2) =

∑s1∈G1

f(s1, s2)χ1(s1) para cualquier s2 ∈ G2, obtenemos que h = 0 y f(s1, s2) = 0 paracada s2 ∈ G2. Por lo tanto f = 0.

1.3.3 Representaciones Inducidas

Recordemos que dado un subgrupo H ⊂ G, las clases laterales izquierdas de H son los conjuntossH que constan de elementos st donde s ∈ G y t ∈ H. Dos clases laterales izquierdas sH, s′H soniguales si y solo si s−1s′ ∈ H. El conjunto de clases laterales de H lo denotamos por G/H. CuandoG es finito, la cardinalidad de G/H es |G|/|H|. A este numero se le llama ındice de H en G y sedenota por [G : H].

Definicion 11. (Representacion inducida). Sea G un grupo, ρ : G → GL(V ) una representacionlineal de G y ρH := ρ|H : H → GL(V ) la restriccion a H. Sea W una subrepresentacion de ρH , yθ : H → GL(W ) el homomorfismo asociado. Sea σ ∈ G/H una clase lateral izquierda. DefinimosWσ := ρs(W ) para algun s ∈ σ. Esto esta bien definido ya que si s, s′ ∈ σ, entonces s−1s′ ∈ H y porlo tanto ρs−1s′(W ) = W . Notemos que G actua en G/H por la izquierda mediante t · (sH) = tsH

24

para cualquier t ∈ G. Se sigue que el espacio vectorial∑σ∈G/HWσ es G-invariante. Decimos que ρ

es inducida de θ siV =

⊕σ∈G/H

Wσ.

En particular se tiene que cuando V es inducida de W , dim(V ) = dim(W )[G : H]. Podemosreformular la definicion de 2 formas distintas, como sigue:

1. Cada x ∈ V se puede escribir de manera unica como∑σ∈G/H xσ, donde xσ ∈Wσ.

2. Sea R un sistema de representantes de G/H, es decir, cada s ∈ G se puede escribir de maneraunica como s = rt con r ∈ R y t ∈ H. Entonces V es la suma directa de los subespacios ρr(W ) conr ∈ R.

Notacion En lo que rest ade la seccion, denotaremos por (V, ρ) a la representacion lineal ρ : G→GL(V ) y θ : H → GL(W ) a una subrepresntacion de la restriccion ρH : H → GL(V ).

Ejemplo 11. Seguimos la notacion de a definicion anterior.

1. Sea G un grup finito y V la representacion regular de G. Consideremos W el subsespacio deV generado por {vt}t∈H . En este caso W es la representacion regular de H (claramente esH-invariante). Como las clases izquierdas de H son ajenas, se sigue que V =

⊕σ∈G/HWσ.

2. Como G actua por la izquierda en G/H, podemos considerar V , la representacion por permuta-ciones de G en G/H (cuando H es de ındice finito en G), con base {vσ}σ∈G/H . Consideremosσ0 = eH. Entonces si t ∈ H, se tiene que tσ0 = σ0 (pues tH = H para cualquier t ∈ H).Por lo tanto SpanC(vσ0

) es una subrepresentacion lineal de H. Ahora, si R es el conjunto dereporesentates de clases laterales de H, entonces para cualquier σ ∈ G/H existe r ∈ R tal querσ0 = σ. Se sigue que V =

⊕r∈R ρr(Wσ0).

3. Si ρ1 es inducida por θ1 y ρ2 es inducida por θ2, entonces ρ1 ⊕ ρ2 es inducida por θ1 ⊕ θ2.

Ejemplo 12. 1. Supongamos que V0 es inducida de W0 y que W1 es un subrepresentacion de W0.Sabemos que V1 =

∑r∈R ρr(W1) es una subrepresentacion de G, donde R es el conjunto de

representantes de clases laterales. Afirmamos que V1 es inducida de W1. Tenemos que ver queρr(W1)∩ ρr′(W1) = 0, para cualesquiera r, r′ ∈ R, pero esto se sigue de que ρr(W1) ⊂ ρr(W0)y de que V0 es inducida por W .

2. Si (V, ρ) es inducida de (W, θ), y ρ′ : G→ GL(V ′) es una representacion lineal de G, entoncesρ⊗ ρ′ es inducida por θ ⊗ ρ′H . En efecto,

V ⊗ V ′ =

(⊕r∈R

ρr(W )

)⊗ V ′ =

⊕r∈R

ρr(W )⊗ V ′ =⊕r∈R

(ρr ⊗ ρ′r)(W ⊗ V ′)

pues ρ′s(V′) = V ′ para cualquier s ∈ G.

Existencia y unicidad

Lema 12. Supongamos que (V, ρ) es inducida de (W, θ). Sea ρ′ : G→ GL(V ′) una representacionlineal de G, y f : W → V ′ una transformacion lineal tal que f(θt(w)) = ρ′t(f(w)) para cualquiert ∈ H y w ∈ W . Entonces existe una transformacion lineal F : V → V ′ unica tal que extiende a fy F (ρs(v)) = ρ′s(F (v)) para cualquier v ∈ V y s ∈ G.

25

Demostracion. Supongamos F extiende a f y que F ◦ ρs = ρ′s ◦ F para toda s ∈ G. Para ver quees unica, veremos que solo depende de f , ρ′ y ρ. Tenemos que V =

⊕r∈R ρr(W ). Sea xr ∈ ρr(W ).

Entonces como F extiende a f a lo largo de W

F (xr) = F (ρrρr−1(xr)) = ρ′r(F (ρr−1(xr))) = ρ′rf(ρr−1(xr)),

donde en la ultima igualdad usamos que ρr−1(xr) ∈ W , y por lo tanto es unica. Esta formulanos dice que debemos definir F en cada componente ρr(W ) de V como ρ′r ◦ f ◦ ρr−1 . Veamos queno depende del conjunto de representantes R. Sean r, s ∈ σ, para alguna clase lateral σ ∈ G/H.Entonces existe t ∈ H tal que rt = s. Tomemos x ∈ ρs(W ) = ρr(W ) y evaluemos

ρ′s(f(ρs−1(x))) = ρ′rρ′t(f(ρt−1ρr−1(x)) = ρ′rf(θt(ρt−1ρr−1(x))) = ρ′r(f(ρr−1(x)))

(recordemos que θt(w) = ρt(w) para t ∈ H y w ∈W ). Por lo tanto F esta bien definida.

Teorema 11. Sea H ⊂ G un subgrupo y (W, θ) una representacion lineal de H. Entonces existeuna representacion lineal (V, ρ) de G que es inducida por (W, θ), unica salvo isomorfismo.

26

Semana 8

Demostracion. Veamos la existencia. Por el ejemplo 1-3, podemos construir la representacion in-ducida (V, ρ) de (W, θ) por descomposicion en sumandos directos de subrepresentaciones, en par-ticular en irreducibles. Podemos suponer que θ es irreducible. Entonces, por un resultado anterior(5 Corolario 1, Semana 4) sabemos que la representacion regular W0 de H contiene a una subrep-resentacion W1 isomorfa a W . Por el ejemplo 1-1, la representacion regular de G, V0, es inducidade W0. Por el ejemplo 2-1, existe una subrepresentacion V1 ⊂ V0 de G, que es inducida de W1.Tomando V = V1 se tiene el resultado.

Para ver la unicidad, supongamos que (V ′, ρ′) tambien es inducida de (W, θ) y consideremos lainclusion ι : W → V ′. Claramente ρ′t ◦ ι = ι ◦ θt para cada t ∈ H. Por el lema anterior, existeF : V → V ′ transformacion lineal tal que F |W = ι y ρ′s ◦ F = F ◦ ρs para cada s ∈ G. ComoF (W ) = W , la identidad anterior, nos dice que ρ′s(W ) ⊂ imF para cada s ∈ G. Esto implicaque F es suprayectiva, pues V ′ es la suma directa de ρr(W ) con r variando en un conjunto derepresentantes de clases en G/H. Finalmente, como V y V ′ son inducidas de W , entonces ambossubespacios tienen dimension [G;H]. Por lo tanto F es un isomorfismo.

Caracter de una representacion inducida Supongamos que (V, ρ) es inducida por (W, θ)con caracteres χρ y χθ, de G y H, respectivamente.

Teorema 12. Sea R un sistema de representantes de G/H. Para cada u ∈ G se tiene que

χρ(u) =∑

r∈R : r−1ur∈H

χθ(r−1ur) =

1

|H|∑

s∈G : s−1us∈H

χθ(s−1us)

Demostracion. Escribamos a ur como elemento de las clases izquierdas de H, digamos rut, cont ∈ H y ru ∈ R. Entonces ρu manda a ρr(W ) en ρrut(W ) = ρru(W ). Para calcular Tr(ρu), tomemosuna base de V que sea la union de bases que generen ρr(W ) con r ∈ R. Notemos que los ındicesr ∈ R tales que r 6= ru, dan elementos en la diagonal iguales a cero. Los demas dan la traza de ρu

Tr(ρu) =∑r∈Ru

Trρr(W )(ρr,u)

donde Ru ⊂ R son los ındices tales que ru = r y ρu,r es la restriccon de ρu a ρr(W ).

Demostracion. (Continuacion) Basta ver que χθ(r−1ur) = Tr(ρu|ρr(W )). Tomando t = r−1ur, se

tiene que para elementos en W , ρr ◦ θt = ρu|ρr(W ) ◦ ρr. Se sigue que

Tr(θt) = Tr(ρr ◦ θt ◦ ρr−1) = Tr(ρu|ρr(W )).

Ejercicio 20. Sea H ⊂ G un subgrupo. Muestre que cada representacion irreducible de G esta con-tenida en una representacion inducida por una representacion irreducible de H. (Usar que cualquierrepresentacion irreducible esta contenida en la representacion regular).

Ejercicio 21. Sea (W, θ) una representacion lineal de H. Sea V el espacio vectorial de funcionesf : G→W tales que f(tu) = θtf(u) para u ∈ G y t ∈ H. Sea ρ la representacion de G en V defindade la siguiente manera: para cada f ∈ V , y s ∈ G, definimos ρs(f) : G→W como ρs(f)(u) = f(us)para cada u ∈ G. Sea w ∈ W , tambien definimos fw : G → W como fw(t) = θt(w) si t ∈ H yfw(s) = 0 si s /∈ H.

(i) Demuestre que W0, el subconjunto de funciones G → W que se anulan fuera de H, es unsubespacio vectorial de V .

27

(ii) Demuestre que la funcion W →W0 dada por w 7→ fw es un isomorfismo.

(iii) Demuestre que (V, ρ) es inducida por (W0, θ0), donde (θ0)t(fw) = θt(w).

Ejercicio 22. Supongamos que G es el producto directo de subgrupos H y K. Sea ρ una repre-sentacion de G inducida por θ, representacion de H. Demuestre que ρ es isomorfa a θ⊗ regK , donderegK es la representacion regular de K.

1.4 Representaciones Reales

Sea G un grupo finito. Ahora vamos a considerar espacios vectoriales sobre un campo K. Ahorael grupo de isomorfisos lineales para un K-espacio vectorial, V , lo denotamos por GLK(V ). Unarepresentacion lineal es un homomorfismo de grupos ρ : G → GLK(V ). De manera similar al casoK = C, podemos ver que dado un subespacio W ⊂ V , que es invariante bajo la accion de G, podemosencontrar un complemento W 0 que es G-invariante siempre y cuando el elemento 1/|G| este en elcampo K (por ejemplo K = R,Q o Fp, donde p es un primo que no divide a |G|). En particularpodemos descomponer a V como suma directa de representaciones irreducibles.

Cuando la caracterıstica de K divide al orden de G, en general un subespacio G-invariante notiene complemento G-invariante.

Ejemplo 13. Tomemos G = Z/2 y K = F2. Consideremos V = SpanF2{a, b}. Definimos ρ : Z/2→

GLF2(V ) como ρe = Id y

ρt(a) = a

ρt(b) = a+ b

Parea ver que esta bien definida, tenemos que ver que ρ2t = Id, pero ρ2

t (b) = ρt(a + b) = 2a +b = b, pues estamos en caracterıstica 2. Ahora, por definicion SpanF2

{a} es Z/2-invariante y sucomplemento en V es SpanF2

{b} que claramente no lo es.

Sin embargo, la herramienta que mas usamos es el Lema de Schur, cuya parte 2 utiliza quecualquier polinomio con coeficientes complejos tenga una raız compleja. Para esto necesitamos queK sea algebraicamente cerrado, que es una condicion mas fuerte.

Ejemplo 14. Consideremos el grupo cıclico de raıces cuartas de la unidad, µ4 = {1,−1, i,−i},(donde i2 = −1). Los numeros compejos son un R-espacio vectorial de dimension 2 (a cualquiercomplejo λ lo podemos escribir de maneraunica como λ = 1a+ ib con a, b ∈ R). Definimos ρ : µ4 →GLR(C) como ρs(a + ib) = s(a + ib) para cada s ∈ µ4 que es claramente R-lineal (de hecho C esuna R-algbera con el producto en C, que veremos mas adelante). Notemos que ρi(a+ ib) = −b+ ia,entonces el subespacio generado por ρi(a+ ib) y ρ1(a+ ib) es de dimension 2 o cero (para cualquiercomplejo c + id, la ecuacion c + id = r(a + ib) + l(−b + ia), con l, r ∈ R tiene solucion c = ra − lby d = rb + la), lo que implica que ρ es irreducible. Ahora, la transformacio R-lineal τ : C → Cdada por τ(a + ib) = −b + ia es multiplicacion por i que claramente es in isomorfismo R-lineal yρs ◦ τ = τ ◦ ρs para todo s ∈ µ4 (se sigue facilmente de que τ = ρi y µ4 es abeliano). Claramente τno es una homotecia de radio un numero real.

Ejercicio 23. Muestre que existe un representacion real de los cuaternios Q8, ρ : Q8 → GLR(R3)definida en los generadores i, j como

ρi(x, y, z) = (x,−y,−z)

ρj(x, y, z) = (−x, y,−z)

Muestre que ρ no es irreducible.

28

Semana 9 Hay una version mas general del Lema de Schur, pero para esto recordermos que unaK-algebra, A, es un anillo con 1, junto con un morfsmo de anillos ϕ : K → A y ϕ(K) es central.Decimos que A es una K-algebra con division si A cualquier elemento no cero en A es invertible (esdecir, para cada a ∈ A existe un unico a−1 ∈ A tal que a · a−1 = 1 ∈ K ⊂ A). Por ejemplo A = Ces una R-algebra con division (de hecho se puede probar que las unicas R-algebras (asociativas) condivision son R,C o H).

Teorema 13. (Lema de Schur generalizado). Sea K un campo y G un grupo. Sea ρ : G→ GLK(W )una representacion irreducible. Entonces HomG(W,W ) = {h : W →W | h◦ρs = ρs◦h para todo s ∈G} es una K-algebra con division.

Demostracion. Sea V = HomG(W,W ). El producto en V es la composicion de transformacionesequivariantes. Para ver que es un algebra con division supogamos que h 6= 0. Veamos que h tieneinversa. Recordemos que imh y kerh son subespacios G-invariantes (ρt(ρs(w)) = ρts(w) ∈ imhpara cualquier s, t ∈ G, y si h(w) = 0, h(ρs(w)) = ρs(h(w)) = 0, lo que implica que ρs(w) ∈ kerhpara cualquier s ∈ G). De esto se sigue que h es un isomorfismo. Falta ver que h−1 es equivariante:h−1(ρs(w)) = ρs(h

−1(w)) es equivalente a que ρs(w) = hρs(h−1(w)), pero esto se sigue de que h es

equivariante.

29

Parte 2

Representaciones enCaracterıstica cero

2.1 El algebra de grupo

2.1.1 Representaciones y modulos

Recordemos que un anillo K es un grupo abeliano (K,+) junto con un producto K × K → K,(k, l) 7→ kl, que as asociativo y distribuye sobre +. Decimos que el anillo es conmutativo si kl = lkpara cada k, l ∈ K. Decimos que el anillo tiene 1 si hay un elemento distinguido 1 ∈ K que es unneutro multiplicativo con respecto al producto. En adelante los anillos a considerar asumiremos quetienen 1.

Definicion 13. Sea K un anillo conmutativo. Una K-algebra, es un anillo A junto con unhomomorfismo de anillos ϕ : K → A, de manera que za = az para cada z ∈ ϕ(K) (la imagende K es central en A).

Sea G un grupo finito y K un anillo conmutativo. Denotamos por K[G] al algebra de G sobreK. Cada elemento f ∈ K[G] se puede escribir de manera unica como

f =∑s∈G

ass

con as ∈ K. Vamos que en efecto es una K-algebra. Si g =∑s∈G bss es otro elemento en K[G],

definimosf + g =

∑s∈G

(as + bs)s

que claramente es asociativa, conmutativa y cada elemento f tiene un inverso aditivo−f =∑s∈G−ass,

donde f − f =∑s∈G 0s es el neutro aditivo. Entonces (K[G],+) tiene una estructura de grupo

abeliano. El producto en K[G] es inducido por el producto en G, es decir,

fg =∑s,t∈G

asbtst =∑u∈G

cuu

donde cu =∑t∈G atbt−1u.

El neutro multiplicativo es 1e (cuando no aparece algun elemento en G, asumimos que el coefi-ciente es cero). En este caso el homomorfismo de anillos K → K[G] esta dado por k 7→ ke. Faltaver que cada ke conmuta con cualquier f ∈ K[G], pero esto se sigue de que

(ke)(as) = (ka)es = (ak)se = (as)(ke)

30

para cada a ∈ K y s ∈ G.

Definicion 14. Sea K un anillo. Decimos que M es un K-modulo (izquierdo) si M tiene unaoperacion +: M ×M → M de manera que (M,+) es un grupo abeliano y hay un producto porescalares K ×M → M que es asociativo, distribuye sobre +, y para 1 ∈ K, pedimos que 1x = xpara cada x ∈ M . Un morfismo de K-modulos (izquierdos) f : M → N es un homomorfismo degrupos con respecto a la estructura aditiva y f(kx) = kf(x) para cada x ∈M y k ∈ K.

Ejemplo 15. Los espacios vectoriales son K-modulos y los grupos abelianos son Z-modulos. Elalgebra K[G] es tambien un K-modulo que es finitamente generado (esta algebra tiene una baseindicada por los elementos de G que es finito).

Sea V un K-modulo. El grupo de isomorfismos V → V , lo denotamos por GLK(V ). Unarepresentacion de G sobre K es un homomorfismo ρ : G→ GLK(V ).

Lema 15. ρ : G→ GLK(V ) es una representacion sobre K si y solo si V es un K[G]-modulo.

Demostracion. Dada una K-representacion V de G, se le puede dotar de una estructura de K[G]-modulo izquierdo, mediante fx =

∑s∈G asρs(x), para cada x ∈ V y f =

∑s∈G ass. Para ver que es

asociativo, usamos que ρ es homorfismo de grupos y que ρs es un morfismo de K-modulos, e.g., paraa, b ∈ K y s, t ∈ G, tenemos que (as)((bt)x) = (as)(bρt(x)) = aρs(bρt(x)) = abρst(x) = (abst)x =(as(bt))x.De manera similar, el producto distribuye sobre la suma.

Supongamos que V es unK[G]-modulo. Podemos definir θ : G→ GLK(V ) como θs(x) = (1s)x =:sx para cada s ∈ G y x ∈ V . Veamos que θs es morfismo de K-modulos: sean x, y ∈ V y k ∈ K,entonces

θs(kx+ y) = s(kx+ y) = (1s)((ke)x) + (1s)y = (ke)((1s)x) + (1s)y = kθs(x) + θs(y).

Ahora, θs−1θs(x) = (1s−1)((1s)x) = (1e)x = x y analogamente para θsθs−1 . De manera similar,usando que el producto de K[G] en V es asociativo, se sigue que θ es un homomorfismo de grupos.

31

Semana 10

Definicion 16. Sea K un anillo. El radical de Jacobson de K que denotamos por J(K) se definecomo los elementos k ∈ K que satisfacen:

k ∈ I para cualquier ideal izquierdo maximo I ⊂ K.

En particular

J(K) =⋂

I ideal maximo

I.

Definicion 17. Decimos que un algebra (asociativa) A es semisimple si J(A) = 0.

Se puede que cuando A es finitamente generada, A semisimple es equivalente a que cualquiermodulo sobre A, V , satisface que todoo submodulo V ′ ⊂ V es sumando directo.

Proposicion 7. Sea G un grupo finito y K un campo de caracterıstica zero. Entonces K[G] essemisimple.

Demostracion. Como G es finito, G es una base finita para K[G]. Basta ver que para V un modulosobre K[G], se tiene que cualquier submodulo W ⊂ V es sumando directo, Como W ⊂ V esun subespacio vectorial sobre K (recordemos que K ⊂ K[G]) tenemos una proyeccion K-lineal,p : V →W . Tomando el promedio

p0 =1

|G|∑s∈G

sps−1 : V → V

Se puede ver de manera similar a al Teorema 1 (teorema 1 semana 2) que p0(V ) ⊆ W y quep0(w) = w para cada w ∈W . Por lo tanto V = ker p0 ⊕W .

Sea D un algebra con division sobre K. Las matrices de n×n con entradas en D forman un anillobajo suma y producto de matrices (inducidos por los respectivos suma y producto en D). Mn×n(D)es un algbera sobre K, donde el campo K ⊂Mn×n(D) lo identificamos con las matrices escalares conentradas en K ⊂ D, y como K es central en D, estas matrices escalares conmutan con cualquier otramatriz. Se puede probar que Mn×n(D) es un algebra simple, es decir, cualquier subalgebra propiaes 0. De la clasificacion de algebras semisimples sobre un campo se sigue el siguiente resultado.

Corolario 8. Sea K un campo de caracterıstica cero y G un grupo finito. Entonces hay un isomor-fismo de algebras sobre K

K[G] ∼=h∏i=1

Mni×ni(Di)

donde Di es un algebra con division sobre K.

Ejercicio 24. Sea K un campo de caracterıstica p > 0. Probar que son equivalentes:

(i) K[G] es semisimple.

(ii) p no divide |G|.

Hint: (ii) ⇒ (i). Suponga que p divide a |G| y demuestre que el ideal I = {∑s∈G ass |

∑s∈G as =

0} ⊂ K[G] no es un sumando directo, como submodulo de K[G].

32

2.1.2 Descomposicion de C[G]

Se puede ver que la unica algebra con division sobre C es C, de manera que el corolario anteriorno da una descomposicion para K = C como producto de matrices cuadradas complejas. Veamosel isomorfismo explıcito. Sea G un grupo finito y ρ1 : G → GL(W1), ..., ρh : G → GL(Wh) susrepresentaciones irreducibles. Como en clases anteriores, denotemos por ni a dim(Wi). Consideremoslos endomorfismos de Wi, End(Wi) = {h : Wi → Wi | h es lineal}, que tiene estructura de anillobajo la suma y composicion de transformaciones lineales. Tomando una base para Wi, tenemos unisomorfismo de anillos End(Wi) ∼= Mni×ni

(C) para cada 1 ≤ i ≤ h. Cada ρi define una funcionρi : C[G] → End(Wi) dado por ρi(

∑s∈G ass) =

∑s∈G asρis. Claramente respeta sumas en ambos

anillos y usando que ρi es un homomorfismo se ve facilmente que ρi tambien respeta productos.

Proposicion 8. Sea G un grupo finito. Entonces el morfismo de algebras sobre C

ρ : C[G]∼=−→

h∏i=1

End(Wi)

es un isomorfismo, donde ρ = (ρ1, ..., ρh).

33

Semana 11

Demostracion. Veamos que ρ es inyectiva. Denotemos a los elementos f ∈ C[G] como f =∑s∈G f(s)s

(del lado izquierdo vemos a f como funcion f : G → C). Supongamos que ρ(f) = 0, es decir,∑s∈G f(s)ρis = 0 para cada 1 ≤ i ≤ h. Tomando la traza de la transformacion lineal obtenemos

que∑s∈G f(s)χi(s) = 0 para cada 1 ≤ i ≤ h. Lo que implica que (f |χi) = 0 para cada 1 ≤ i ≤ h.

Como cualquier caracter en G es combinacion lineal de χ1, ..., χh, se sigue que (f |rG) = 0, donderG es el caracter de la representacion regular de G. Por la proposicion 4 (clase 10) (f |rG) = f(e) ypor lo tanto f(e) = 0. El nucleo de ρ es un ideal en C[G], y obtenemos que sf tambien esta en elnucleo, y por lo anterior (s−1f)(e) = 0 para cualquier s ∈ G. Usando que cualquier f(s) es centralen C[G], se sigue que (s−1f)(e) = f(s). Por lo tanto f = 0.

Como ambos espacios tienen dimension |G| =∑hi=1 n

2i (Corolario 6 (2) clase 10), se sigue que ρ

es un isomorfismo.

Proposicion 9. (Formula de inversion de Fourier). Sea (ui)1≤i≤h un elemento de∏hi=1End(Wi),

y u =∑s∈G u(s)s el elemento en C[G] tal que ρi(u) = ui para cada 1 ≤ i ≤ h. Entonces

u(s) =1

|G|

h∑i=1

niTrWi(ρi(s−1)ui),

donde ni = dim(Wi).

Demostracion. Como ρ es lineal, basta ver el caso u = t para algun t ∈ G. En este caso u(t) = 1 y

u(s) = 0 si s 6= t, es decir, u(s) = δs,t(s). Tenemos que probar que δs,t = 1|G|∑hi=1 niTrWi(ρi(s

−1)ui).

Por hipotesis,

ui = ρi(t) =∑s∈G

δs,t(s)ρis = ρit := ρi(t)

y por lo tanto

1

|G|

h∑i=1

niTrWi(ρi(s−1)ui) =

1

|G|

h∑i=1

niTrWi(ρi(s−1t)) =

1

|G|

h∑i=1

niχi(s−1t).

La igualdad deseada se sigue del Corolario 6 (2 clase 10).

2.1.3 El centro de C[G]

Recordemos que Z(C[G]), el centro de C[G] es el conjunto de elementos en C[G] que conmutan concualquier otro elemento. Sea c una de clase de conjugacion de G y consideremos ec :=

∑s∈c s. Para

cualquier t ∈ G, se tiene que

tect−1 =

∑s∈c

tst−1 = ec

Como Ce ⊂ C[G] es central, se sigue que ec ∈ Z(C[G]). Sea Conj el conjunto de clases de conjugaciondeG. Tenemos queG =

⋃c∈Conj c, lo que implica que cualquier combinacion lineal

∑c∈Conj acec = 0

implica que ac = 0 para cada c ∈ Conj (usando que G es una base para C[G]), y por lo tanto{ec}c∈Conj es linealmente independiente. Ahora, supongamos que tft−1 = f para algun f ∈ C[G]y t ∈ G. Entonces (ft−1st) = (tft−1)(s) = f(s). Tomemos f ∈ Z(C[G]), es decir, tft−1 = fpara todo t ∈ G. Lo anterior implica que f es constante en clases de conjugacion de G (funcion declases). Podemos escribir f =

∑c∈Conj f(sc)ec con sc ∈ c. Por lo tanto {ec}c∈Conj es una base para

Z(C[G]).Por el teorema 7 (2 clase 11), obtenemos que dim(Z(C[G])) = h, el numero de representaciones

irreducibles de G.

34

Proposicion 10. Sea ρi la extension lineal a C[G] de la representacion irreducible ρi : G→ GL(Wi).Entonces la imagen de ρi es el subsepacio de End(Wi) de homotecias en Wi. En particular defineun morfismo de algebras

ωi : Z(C[G])→ C.

Si u ∈ Z(C[G]), entonces

ωi(u) =1

niTrWi(ρi(u)) =

1

ni

∑s∈G

u(s)χi(s).

Demostracion. El elemento u como funcion de G en C es de clases, la extension lineal evaluada enu, es precisamente ρi(u) = (ρi)u de la Proposicion 5 (2 clase 10). El resultado se sigue de dichaproposicion.

Proposicion 11. El morfismo (ωi)1≤i≤h : Z(C[G])→ Ch es un isomorfismo de algebras.

Demostracion. Tenemos que (ωi)1≤i≤h = ρ| : Z(C[G])→ Z(∏hi=1End(Wi)) ∼= Ch.

2.2 Propiedades basicas de enteros sobre ZDefinicion 18. Sea R un anillo conmutativo. Decimos que a ∈ R es entero sobre Z, si existe un

entero positivo n ≥ 1, y m1, ...,mn ∈ Z, tales que

an +m1an−1 + · · ·+mn = 0.

Un numero complejo z ∈ C que es entero sobre Z le llamamos entero algebraico.

Por ejemplo, las raıces de la unidad son enteros algebraicos (satisfacen la ecuacion xn − 1 = 0).Si a ∈ Q es entero sobre Z, entonces a ∈ Z. En efecto, podemos escribir a a como p/q, donde p y qson primos relativos. Al evaluar en p/q y multiplicando por qn el polinomio monico de grado n quesatisface a con coeficientes enteros, nos da la ecuacion

pn +m1pn−1q + · · ·+mnq

n = 0

lo que implica que pn es congruente con cero modulo q. Como n ≥ 1, esto implica que q divide a p,pero como son primos relativos, la unica solucion es q = 1.

Recordemos que R es un anillo Noetheriano si cualquier cadena ascendente de ideales izquierdos(o derechos) de R, I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ Ik ⊆ · · · es finita (por ejemplo R = Z o cualquier campo). CuandoR es Noetheriano, cualquier R-modulo izquierdo (o derecho) M finitamente generado, es Noetheriano(es decir cualquier cadena ascendente de submodulos de M es finita). La idea de la prueba es comosigue. Primero vemos que en una sucesion exacta de R-modulos 0 → N → M → M/N → 0, secumple que M es Noetheriano si y solo si N y M/N lo son. Usando esto, por induccion se puedever que Rk es Noetheriano y por lo tanto cualquier cociente M = Rk/N tambien lo es.

Un R-modulo Noetheriano tiene la propiedad de que cualquier submodulo es finitamente gen-erado. Para probar esto usamos que la condicion de cadena ascendente finita es equivalente a quecualquier conjunto de submodulos de M tiene elemento maximo. Ahora, sea N ⊂M un submodulo;sea C el conjunto de submodulos de N que son finitamente generados, y sea Nm el elemento maximo.Supongamos que existe n ∈ N −Nm. Entonces Nm + Rn tambien es finitamente generado, lo queimplica que Nm + Rn ∈ C, que contradice la maximalidad de Nm. Por lo tanto N es finitamentegenerado.

Para cada a en un anillo conmutativo R, consideremos el subanillo generado por a

Z[a] = {nkak + nk−1ak−1 + · · ·+ n0 | ni ∈ Z, k ∈ Z≥0}

35

Proposicion 12. Sea R un anillo conmutativo y a ∈ R. Son equivalentes:

(i) a es entero sobre Z.

(ii) El anillo generado por a, Z[a] ⊂ R es finitamente generado (como Z-modulo).

(iii) Hay un sub Z-modulo N de R (subgrupo abeliano) finitamente generado que contiene a Z[a].

36

Semana 12

Demostracion. (ii)⇒ (iii) Tomemos N = Z[a].(iii) ⇒ (ii) Como Z es Noetheriano, N tambien lo es, y por lo tanto Z[a] ⊂ N es finitamente

generado como Z-modulo.(i)⇒ (ii) Supongamos que a es entero sobre Z, es decir, existen m0, ...,mn ∈ Z, con n ≥ 1 tales

que an +m1an−1 + · · ·+mn = 0. En particular an es combinacion lineal (sobre Z) de 1, a, ..., an−1

y por lo tanto cualquier potencia ak, con k ≥ n tambien lo es.(ii)⇒ (i). Supongamos que Z[a] es finitamente generado. Sea Rk = SpanZ{1, a, ..., ak−1} ⊂ Z[a].

Entonces R1 ⊂ R2 ⊂ · · · ⊂ Rk ⊂ · · · y Z[a] =⋃k≥1Rk, y como Z[a] es Noetheriano (o finitamente

generado), existe N ≥ 1 tal que RN = RN+1 = · · · . Se sigue que aN+1 = m1aN + · · ·+mN−1a+mN

con mi ∈ Z.

Corolario 9. Si R es un anillo conmutativo finitamente generado como Z-modulo, entonces cualquierelemento de R es entero sobre Z

Demostracion. Se sigue de la proposicion anterior tomando N = R.

Corolario 10. Sea R un anillo conmutativo. Entonces el subconjunto de R de elementos enterossobre Z es un subanillo.

Demostracion. Sea A ⊂ R el subconjunto de enteros sobre Z. Tenemos que ver que A = Z[A] (elsubanillo generado por A). Basta ver que para cualesquiera a, b ∈ A, el subanillo generado pora, b, i.e., Z[a, b] esta contenido en A. Como a y b son enteros sobre Z, Z[a] y Z[b] son finitamentegenerados, lo que implica que Z[a] ⊗Z Z[b] tambien es finitamente generado (esta generado por lostensores por pares de los conjuntos generadores de Z[a] y Z[b]). El morfismo Z[a]⊗Z Z[b] → Z[a, b]inducido por a ⊗ b 7→ ab es suprayectivo, y por lo tanto Z[a, b] tambien es finitamente generado.Ahora, para cada r ∈ Z[a, b], se tiene que Z[r] ⊂ Z[a, b]. Como Z[a, b] es finitamente generado,entonces es Noetheriano y por lo tant Z[r] es finitamente generado, y por la proposicion anterior res entero sobre Z.

2.2.1 Propiedas enteras de caracteres: aplicaciones

Proposicion 13. Sea χ el caracter de una representacion lineal ρ de un grupo finito G. Entoncesχ(s) es un entero algebraico para cada s ∈ G.

Demostracion. Recordemos que Tr(ρ(s)) es la suma de eigenvalores de ρ(s) que ademas son raıces dela unidad. Es decir, cada eigenvalor es un entero algebraico, y la suma de estos esta en el subanillode C (por el corolario anterior) de enteros algebraicos.

Vamos a dar un criterio para obtener enteros sobre Z en Z(C[G]) (que es un anillo conmutativo).

Proposicion 14. Sea u =∑s∈G u(s)s en Z(C[G]) y supongamos que u(s) es un entero algebraico

para cada s ∈ G. Entonces u es entero sobre Z.

Demostracion. Sean c1, ..., ch las distintas clases de conjugacion en G. Vimos que los elementos dela forma ei =

∑s∈ci s forman una base (como algebra) de Z(C[G]). Tambien, si u esta en el centro,

entonces es una funcion de clases y podemos escribir

u =∑

1≤i≤h

u(si)ei

donde si ∈ ci. Por el corolario anterior, productos y sumas de enteros sobre Z tambien son enteros.Por hipotesis cada u(si) es algebraico, entonces basta ver que para 1 ≤ i ≤ h, cualquier ei esentero sobre Z. Los productos ejek los podemos escribir como

∑r∈cj ,s∈ck rs y al ser elementos del

37

centro, obtenemos la igualdad∑r∈cj ,s∈ck rs =

∑1≤i≤h f(ti)ei =

∑1≤i≤h f(ti)(

∑t∈ci t) y se sigue

cada f(ti) es un numero entero. Por lo tanto el subanillo Z[e1, ..., eh] es un Z-modulo finitamentegenerado, y por el corolario 9, todos los elementos del subanillo son enteros sobre Z.

Proposicion 15. Sea ρ una representacion irreducible de G de grado n; χ su caracter y u unafuncion de clases, donda cada u(s) es un entero algebraico. Entonces 1

n

∑s∈G u(s)χ(s) es un entero

algebraico.

Demostracion. Consideremos el morfismo ω : Z(C[G]) → C asociado a ρ de la proposicion 10. Porla proposicion anterior u =

∑s∈G u(s)s ∈ Z(C[G]) es un entero sobre Z. Como ω es un morfismo

de anillos, ω(u) = 1n

∑s∈G u(s)χ(s), es un entero algebraico.

Corolario 11. Los grados de las representaciones irreducibles dividen al orden del grupo.

Demostracion. Sea χ el caracter de una representacion irreducible de grado n. Vamos a aplicar laproposicion anterior al elemento

x =1

n

∑s∈G

χ(s−1)χ(s).

La funcion definida como u(s) = χ(s−1) para cada s ∈ G es de clases y por la Proposicion 13, x esun entero algebraico. Como χ es irreducible tenemos la igualdad

x =|G|n〈χ, χ〉 =

|G|n

(χ|χ) =|G|n,

es decir, |G|/n es un racional entero sobre sobre Z. Vimos que esto implica que |G|/n es un numeroentero y por lo tanto n divide a |G|.

2.3 Representaciones inducidas; el criterio de Mackey

2.3.1 Induccion

Sea H ⊂ G un subgrupo y R un conjunto de representatntes de clases laterales de H. Supongamosque V es un C[G]-modulo izquierdo y W ⊂ V un sub C[H]-modulo. Recordemos que V es inducidapor W si V =

⊕s∈R sW . Esto es equivalente a lo siguiente: Consideremos el C[G]-modulo izquierdo

W ′ = C[G]⊗C[H] W

donde vemos a C[G] como un C[H]-modulo derecho y para cada f ∈ C[G], la accion esta generadapor f(s ⊗ w) = (fs) ⊗ w con s ∈ G y w ∈ W . La inclusion i : W ↪→ V se extiende a un morfismode C[G]-modulos mediante i′ := Id⊗ i : W ′ → C[G]⊗C[G] V ∼= V , donde el ultimo isomorfismo estagenerado por s⊗ v 7→ sv.

Proposicion 16. V es inducida por W si y solo si i′ es un isomorfismo.

Demostracion. Por un ejemplo anterior, C[G] es inducida por C[H], es decir, C[G] ∼=⊕

s∈R sC[H] yse tiene que W ′ ∼=

⊕s∈R(sC[H]⊗C[H] W ) ∼=

⊕s∈R(s⊗W ). Por lo tanto dimW ′ = |G/H|dim(W )

(dimension como espacios vectoriales). Por definicion de i′, la imagen i′(W ′) =∑s∈R sW . Si i′ es

un isomorfismo, entonces∑s∈R sW = V es de dimension |G/H|dim(W ), y se sigue que la suma es

directa. Si V es inducida por W , entonces i(W ′) =⊕

s∈R sW = V y por un argumento de dimensioni′ es un isomorfismo.

38

Observacion-Notacion • El C[G]-modulo (representacion lineal de G) C[G] ⊗C[H] W es cano-

nicamente inducida por W y la denotaremos por IndGH(W ) o simplemente por Ind(W ) si no haypeligro de confucion.

• Si V es inducida por W , y E es un C[G]-modulo, por el Lema 12 hay un isomorfismo de espaciosvectoriales

HomC[G](V,E) ∼= HomC[H](W,E),

inducido por la restriccion.• Sean H ⊂ G ⊂ K subgrupos y W un C[H]-modulo. Hay un isomorfismo canonico

IndKG (IndGH(W )) = C[K]⊗C[G] (C[G]⊗C[H] W ) ∼= C[K]⊗C[H] W = IndKH(W )

2.3.2 El caracter de una representacion inducida; formula dereciprocidad

Definicion 19. Sea H ⊂ G un subgrupo y f una funcion de clases en H. Definimos Ind(f) : G→ Ccomo

Ind(f)(s) =1

|H|∑

t∈G : t−1st∈H

f(t−1st)

para cada s ∈ G. A la funcion Ind(f) le llamamos funcion inducida por f .

Proposicion 17. Sea f una funcion de clases en H.

(i) La funcion inducida por f es de clases.

(ii) Si f es el caracter de una representacion W de H, entonces Ind(f) es el caracter de Ind(W ).

Demostracion. (ii) Es el Teorema 12. Para (i), recordemos que f =∑h′

i=1 ciχ′i, donde χ′i son los

caracteres irreducibles de H. De la definicion de Ind(f), se sigue que abre sumas y respeta multiplos

por escalares. Entonces Ind(f) =∑h′

i=1 ciInd(χ′i) y por (ii), Ind(χ′i) es un caracter de G y por lotanto funcion de clases.

39

Semana 13

Definicion 20. Sean V1 y V2 C[G]-modulos y consideremos HomC[G](V1, V2) como espacio vectorialcomplejo. Definimos

〈V1, V2〉G = dim(HomC[G](V1, V2))

Consideremos la transformacion bilineal 〈−,−〉G definida en funciones de clases f, g en G como〈f, g〉G = 1

|G|∑s∈G f(s−1)g(s).

Lema 21. Sean V1 y V2 representaciones de G con caracteres ϕ1 y ϕ2, respectivamente. Entonces

〈ϕ1, ϕ2〉G = 〈V1, V2〉G

Demostracion. Recordemos que cuando f y g son caracteres, 〈f, g〉G = (f |g). Tomando descom-posiciones en irreducibles de V1 y V2, y usando que el Hom respeta sumas directas, el termino dellado derecho es la suma de las dimensiones de HomC[G](W1,W2) donde Wi ⊂ Vi es irreducible, coni = 1, 2. Usando el Lema de Schur, se sigue que estos toman los valores 1 o 0 dependiendo de si W1

es isomorfa a W2 o no. El lema se sigue de las relaciones de ortogonalidad de caracteres.

Notacion Sea H ⊂ G un subgrupo. Si f es una funcion en G (respectivamante V representacionde G), denotamos como Res(f) := f |H (respectivamante Res(V )), a la restriccion a H.

Teorema 14. (Reciprocidad de Frobenius). Sea ψ una funcion de clases en H y ϕ una funcionde clases en G. Entonces

〈ψ,Res(ϕ)〉H = 〈Ind(ψ), ϕ〉G.

Demostracion. Como cualquier funcion de clases es combinacion lineal de caracteres irreducibles,podemos suponer que ϕ y ψ son caracteres irreducibles de representaciones V y W , respectiva-mante. Basta ver que dim(HomC[H](W,Res(V )) = dim(HomC[G](Ind(W ), V )), que se sigue de unaobservacion anterior.

Observacion Bajo las hipotesis del teorema anterior, tambien obtenemos

(ψ|Res(ϕ))H = (Ind(ψ)|ϕ)G

donde el subındice denota el producto interior en el espacio de funciones de clases respectivo.

2.3.3 Restriccion a subgrupos

Definicion 22. Sean H,K ⊂ G subgrupos. Para cada s ∈ G, definimos la clase lateral doble parael par (H,K), como

KsH = {ksh | h ∈ H y k ∈ K}

Dos elementos s, t ∈ G estan en la misma clase si existen h ∈ H, k ∈ K tales que t = ksh. Alconjunto de clases dobles de G se le denota por K\G/H.

Sean H,K ⊂ G subgrupos. Para cada s ∈ G tenemos una accion izquierda de K en KsH,k′ ·ksh = k′ksh. Notemos que KsH =

⋃k∈K ksH y podemos ver a la accon anterior como una como

una accion de K en las clases laterales izquierdas de H en KsH. Para ver cuantas clases distintashay, calculamos el tamano del conjunto de orbitas KsH/K. Pero, como la accion es transitiva, bastacalcular la orbita de un punto, digamos esH, que es lo mismo que el ındice |K/KesH |. Para esto,consideremos

H(s) = sHs−1 ∩K ⊂ K,

40

que es un subgrupo de K. Como ksH = sH si y solo si s−1ks ∈ H, se sigue que KesH = H(s). Porlo tanto

KsH =⊔k∈Rs

ksH

donde Rs es un conjunto de representantes de K/H(s). Esto implica que

|G/H| =∑s∈S|K/H(s)|

donde S es un conjunto de representantes de K\G/H.

Definicion 23. Para cualquier representacion lineal de H, ρ : H → GL(W ), podemos asociarleuna a cada Hs como sigue: sea x ∈ H(s), definimos

ρs(x) = ρ(s−1xs),

que esta bien definida ya que s−1xs ∈ H. A la representacion ρs : H(s) → GL(W ) la denotaremospor Ws.

Proposicion 18. Sean H,K ⊂ G subgrupos y W una representacion de H. Sea S un conjunto derepresentantes de las clases laterales dobles K\G/H. Entonces hay un isomorfismo de representa-ciones de K

ResKIndGH(W ) ∼=⊕s∈S

IndKH(s)(Ws).

Demostracion. Tenemos que IndGH(W ) =⊕

r∈R rW , donde R es un conjunto de representantes

de G/H y cada IndKH(s)(Ws) =

⊕t∈Rs

tWs, con Rs un conjunto de representantes de K/H(s).

Por la observacion de arriba, podemos tomar R =⊔s∈S Rs (recordemos que la descomposicion de

la representacion inducida no depende del conjunto de representantes de las clases laterales), loque nos da un isomorfismo ϕ como espacios vectoriales definido en cada sumando directo como laidentidad rW → rWs. Falta ver que el isomorfismo ϕ es K-invariante, pero esto se sigue de quecada subespacio

⊕r∈Rs⊂R rW ⊂ IndGH(W ) es K-invariante por la eleccion de Rs ⊂ R.

41

Semana 14

2.3.4 Criterio de Irreducibilidad de Mackey

Vamos a considerar el caso H = K ⊂ G. Ahora, H(s) = H ∩ sHs−1 y S es un conjunto derepresentantes de H\G/H.

Definicion 24. Decimos que dos representaciones V1 y V2 de un grupo G son ajenas si no tienenrepresentaciones irreducibles en comun, es decir, si 〈V1, V2〉G = 0.

Proposicion 19. Sea H ⊂ G un subgrupo y ρ : H → GL(W ) una representacion de H. EntoncesV = IndGH(W ) es irreducible si y solo si

1. W es irreducible;

2. Para cada s ∈ G−H las representaciones Ws y ResHs(W ) son ajenas.

Demostracion. Sabemos que V es irreducible si y solo si 〈V, V 〉G = 1. Por la reciprocidad de Frobe-nius, esto es equivalente a 〈W,ResH(V )〉H = 1. Tomando H = K, la proposicion anterior nos diceque ResH(V ) ∼=

⊕s∈S IndHH(s)

(Ws). Entonces V es irreducible si y solo si∑s∈S〈W, IndHH(s)

(Ws)〉H = 1.

Una vez mas, usando reciprocidad de Frobenius, la identidad anterior es equivalente a∑s∈S〈ResH(s)

(W ),Ws〉H(s)= 1 (2.1)

Notemos que ResH(e)(W ) = We = W .

Ahora, Supongamos que (2.1) se satisface. Por un resultado anterior, 〈W,W 〉H =∑h′

i=1 n2i ≥

1, donde cada ni es el grado de una representacion irreducible de W (la desigualdad se obtieneporque siempre esta la representacion trivial que es de grado 1). Esto obliga a que 〈W,W 〉H = 1 y〈ResH(s)

(W ),Ws〉H(s)= 0 si s /∈ H.

Corolario 12. Sea H ⊂ G un subgrupo normal y W una representacion de H. Entonces IndGH(W )es irreducible si y solo si W es irredicible y W no es isomorfa Ws para cada s /∈ H.

Demostracion. Cuando H es normal, H(s) = H y ResH(s)(W ) = W para cualquier s ∈ G.

Nota 8. Cuando las representaciones Ws (ρs) y ResH(s)(W ) (ρ|H(s)

) son de grado 1, para que seanajenas basta ver que son distintas.

2.3.5 Ejemplos

Ejemplo 16. Representaciones inducidas en Q8:

Sea H = 〈i〉 = {1,−1, i,−i} ⊂ Q8. Como H es cıclico y de orden 4, tiene 4 representacionesirreducibles χm : H → C×, todas de grado 1. Se puede ver que estas estan generadas por

χ0(i) = 1

χ1(i) = i

χ2(i) = −iχ3(i) = −1.

42

Sea Ri = {1, j} un conjunto de representantes de Q8/H. Entonces

Ind(χm)(s) =∑

r∈Ri:rsr−1∈H

χm(rsr−1) =

2χm(s) si s = 1,−1χm(s) + χm(−s) si s = i,−i

0 otro caso

Usando la tabla de caracteres para Q8, podemos concluir que

Ind(χ0) = χ1 + χi

Ind(χ1) = χ5

Ind(χ2) = χ5

Ind(χ3) = χj + χk

donde χ1, χi, χj, χk, χ5 son los caracteres irreducibles de Q8. De la lista se sigue que Ind(χ1) =Ind(χ2) son irreducibles. El criterio de Mackey nos dice que χs1 y χ1 son ajenas (H es normal en Q8)para cualquier s /∈ H. En efecto, como son representaciones de grado uno, basta ver que el valor enalgun elemento de H es distinto: χs1(i) = χ1(sis−1) = χ1(−i) = −i y χ1(i) = i (cualquier elementoque no esta en H, anticonmuta con i).

De manera similar se pueden calcular los caracteres inducidos para H = 〈j〉 y 〈k〉.Sea Z = {1,−1} ⊂ Q8 que es el centro. El grupo Z tiene 2 representaciones irreducibles,

φ0, φ1 : Z → C× dadas por φ0(−1) = 1 y φ1(−1) = −1. Sea R−1 = {1, i, j,k} un conjunto derepresentantes de Q8/Z. Entonces

Ind(φm)(s) =∑

r∈Ri:rsr−1∈H

φm(rsr−1) =

{4φm(s) si s = 1,−1

0 otro caso

Por lo tanto

Ind(φ0) = χ1 + χi + χj + χk

Ind(φ1) = 2χ5

Ejemplo 17. Consideremos el grupo de matrices cuadradas de deteminante 1 con coeficientes enun campo finito Fq (con q elementos). Este grupo se denota por SL2(Fq) y es de orden q(q2 − 1).Sea H ⊂ SL2(Fq) el subgrupo de matrices triangulares superiores y ω : F×q → C× un homomorfismode grupos. Definimos χω : H → C× como

χω(h) = χω

(a b0 c

)= ω(a),

para cada h ∈ H, que es un homomorfismo, ya que la primera entrada del el producto de dosmatrices en H esta dado por el producto de las primeras entradas de cada matriz. En particular χωes un representacionon irreducible (de grado 1) de H. Consideremos ψ = Ind(χω). Para ver si esirreducble, necesitamos calcular

〈χsω, χω|H(s)〉H(s)

para cada s ∈ SL2(Fq) −H. Como ambas representaciones son de grado 1, el producto bilineal esdistinto de cero si y solo si las representaciones son iguales. Sea s ∈ SL2(Fq)−H, es decir,

s =

(c1 c2c3 c4

)donde c3 6= 0 y c1c4 − c2c3 = 1. Tomemos h ∈ H como arriba y notemos que c = a−1. Para queshs−1 ∈ H, se tiene que satisfacer la ecuacion c4c3 − c23b − c3c4a−1 = 0 que nos da la identidad

43

c3b = c4(a− a−1). Si escribimos shs−1 =

(a′ b′

0 c′

), usando la identidad anterior, se puede var que

a′ = a−1. Entonces χsω(shs−1) = χω(h) = ω(a) y χω|H(s)(shs−1) = ω(a−1). Por lo tanto χsω y

χω|H(s)son iguales si y solo si ω(a) = ω(a)−1 para todo a ∈ F×q , y esto pasa si y solo si ω = 1.

44

Semana 15

2.4 El Teorema de Artin y el Teorema de Brauer

2.4.1 El anillo R(G)

Sea G un grupo finito, y χ1, ..., χh sus caracteres irreducibles. La descomposicion en irreducibles deuna representacion lineal de G, nos dice que cualquier caracter es una combinacion lineal de los χi’sdonde los coeficientes son enteros no negativos. De manera similar, cualquier combinacion lineal deenteros no negativos de los caracteres irreducibles, es el caracter de una representacion lineal de G.Tambien, por un resultado anterior, el producto de caracteres, corresponde al producto tensorial derepresentaciones de G. Con estas dos operaciones, podemos definir el anillo de caracteres.

Definicion 25. Sea R(G)+ el conjunto de combinaciones lineales de caracteres irreducibles de G,con coeficientes enteros no negativos. Definimos R(G) como el conjunto de diferencias formales enR(G)+. Es decir,

R(G) = Zχ1 ⊕ · · · ⊕ Zχh.

Los elementos en R(G) les llamamos caracteres virtuales de G.

Sea H ⊂ G un subgrupo. La operacion restriccion, define un morfismo de anillos

Res = ResGH : R(G)→ R(H)

y de manera similar, la operacion induccion define un morfismo

Ind = IndGH : R(H)→ R(G).

Lema 26. Sea ψ un caracter de H ⊂ G y ϕ un caracter de G. Entonces

Ind(ψRes(ϕ)) = Ind(ψ)ϕ

Demostracion. Sea R un conjunto de representantes de G/H y s ∈ G. Entonces

Ind(ψRes(ϕ))(s) =∑

r∈R:rsr−1∈H

ψ(rsr−1)ϕ(rsr−1)

=∑

r∈R:rsr−1∈H

ψ(rsr−1)ϕ(s)

= (Ind(ψ)(s))ϕ(s)

El lema anterior, nos dice que Ind(R(H))ϕ = ϕInd(R(H)) = Ind(R(H)) para cualquier ϕ ∈R(G), y por lo tanto Ind(R(H)) es un ideal de R(G).

2.4.2 El Teorema de Artin

Teorema 15. (Teorema de Artin) Sea X una famlia de subgrupos de G. Sea∑H∈X

IndGH :⊕H∈X

R(H)→ R(G)

el morfismo inducido por induccion en la familia de subgrupos X. Son equivalentes:

45

(i) G es la union de los conjugados de subgrupos en X.

(ii) El conucleo R(G)/ im(∑H∈X IndGH) es finito.

La condicion 2 es equivalente a: Para cualquier caracter irreducible χ de G, existe d ≥ 0 tal que

d · χ =∑H∈X

Ind(χH)

con χh ∈ R(H).

Corolario 13. Cada caracter de G es una combinacion lineal con coeficientes racionales de carac-teres inducidos por grupos cıclicos.

Ejemplo 18. Sea G = Q8 y X la familia de subgrupos cıclicos, i.e., X = {{1}, {±1}, 〈i〉, 〈j〉, 〈k〉}.Usando nuestros calculos de las representaciones inducidas para estos subgrupos, se puede ver que

R(Q8)/ im(∑H∈X

IndGH) = {χ1, χi, χj, χj}.

Demostracion del Teorema de Artin. (ii) ⇒ (i). Sea S =⋃H∈X,g∈G gHg

−1. Tenemos que probar

que S = G. Sea fH ∈ R(H) para algun H ∈ X. Por construccion de IndGH(fH), esta se anula fuerade⋃g∈G gHg

−1. Esto implica que IndGH(fH) con H ∈ X, se anula fuera de S. Por (ii), cualquiercaracter irreducible de G es combinacion lineal de caracteres inducidos por subgrupos en X (concoeficientes racionales), y por lo tanto se anulan fuera de S. Pero, el caracter de la representaciontrivial toma el valor constante 1 en cualquier elemento de G, y por lo anterior, G = S.

(i)⇒ (ii). Probar que el conucleo es finito, es equivalente a que la extension Q-lineal∑H∈X

IndGH ⊗Q :⊕H∈X

R(H)⊗Z Q→ R(G)⊗Z Q

sea suprayectiva, o equivalentemente la extension C-lineal∑H∈X

IndGH ⊗ C :⊕H∈X

Cl(H) ∼=⊕H∈X

R(H)⊗Z C→ R(G)⊗Z C ∼= Cl(G)

donde Cl(G) es el espacio vectorial de funciones de clases en G. Esto a su vez es equivalente alenunciado: si

〈IndGH(fH), f〉G = 0

para cualquier fH ∈ Cl(H), entonces f = 0. Reciprocidad de Frobenius nos dice que esto pasa si ysolo si

〈fH ,ResH(f)〉H = 0

para cualquier fH ∈ Cl(H), implica f = 0. Esto se reduce a probar ResH(f) = 0 para todo H ∈ X,implica f = 0. Sea S como arriba. Por (i), G = S, i.e., para cualquier s ∈ G, se tiene que s = ghg−1

para algun h ∈ H con H ∈ X. Entonces

f(s) = f(ghg−1) = f(h) = 0

y se tiene el resultado.

46

2.4.3 El Teorema de Brauer

Definicion 27. Sea G un grupo y p un primo. Decimos que G es un p-grupo elemental si G ∼= C×P ,donde P es un p-grupo (i.e., |P | = pn) y C es un grupo cıclico cuyo orden es primo relativo con p.

Ejemplo 19. El grupo de cuaternios Q8 es un 2-grupo de orden 23, entonces

Q8,Z/2×Q8,Z/3×Q8, ...,Z/p×Q8, ...

con p un primo, son 2-grupos elementales.

Ejemplo 20. Sea Z = 〈a〉 un grupo cıclico de orden n. Escribimos n = pe11 · · · pekk con pi primo

para cada 1 ≤ i ≤ k. EntoncesZ = Ci × Pi

es un pi-grupo elemental, donde Pi = 〈ape11 ···p

eii ···p

ekk 〉 es un pi-grupo de orden peii y Ci = 〈ap

eii 〉 es

un grupo cıclico de orden pe11 · · · peii · · · p

ekk que es primo relativo con pi.

Ejemplo 21. El grupo simetrico Σ3 tiene orden 6 = 2 · 3, y no es un 2-grupo elemental o 3-grupoelemental. De lo contrario, esto obligarıa a que Σ3

∼= Z/2×Z/3, pero sabemos que Σ3 no es abeliano.

Teorema 16. (Teorema de Brauer). Sea G un grupo finito. Entonces cualquier caracter de G escombinacion lineal con coeficientes en Z, de caracteres inducidos de subgrupos elementales de G.

La prueba del teorema anterior, se basa en el siguiente resultado.

Teorema 17. Sea G un grupo finito, p un primo y X(p) la familia de p-subgrupos elementales deG. Sea

Vp = im

∑H∈X(p)

IndGH

⊂ R(G).

Entonces el ındice de Vp como subgrupo de R(G) es finito y primo con p.

Demostracion del Teorema de Brauer. Sea V =∑p primo Vp. Entonces para cualqueir primo p, el

ındice[R(G) : Vp] = [R(G) : V ][V : Vp]

es primo relativo con p. Por lo tanto [R(G) : V ] es primo relativo con cualquier primo, lo que implicaque [R(G) : V ] = 1.

47