Notas Transformadas de Integrales1

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ALGUNAS NOTAS DE TRANSFORMADAS INTEGRALES Msc. WILMER COLMEN`REZ Abril, 2008

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ALGUNAS NOTASDETRANSFORMADAS INTEGRALESMsc. WILMER COLMENREZAbril, 2008iindice GeneralIntroduccin ix1 TRANSFORMADA DE LAPLACE 11.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Teoremas de Traslacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Primer Terorema de Traslacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Funcin Escaln Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Segundo Terorema de Traslacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Derivadas de Tranformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Transformada de una Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Transformada de una Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Transformada de una Funcin Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Aplicacin de Laplace en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Aplicacin de Laplace a Circuitos Elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Teoremas del Valor Inicial y del Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 FUNCIONES COMPLEJAS Y CONTINUIDAD 172.1 Aritmtica de los nmeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Variables y funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Funciones de valor simple y valor mltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Funciones inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Transformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Funciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Lmites. Teoremas sobre lmites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Continuidad. Continuidad de una regin. Teoremas sobre continuidad. . . . . . . . . . . . . . 173 DERIVACIN EN EL CAMPO COMPLEJO 193.1 Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Funciones analticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Ecuaciones de Cauchy y Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Funciones armnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Interpretacin geomtrica de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 Reglas para la diferenciacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Familias ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.9 Operadores diferenciales complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.10 Gradientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.11 Divergencia y Laplaciano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19iiiiv NDICE GENERAL3.12 Identidades que involucran gradiente y divergencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 INTEGRACIN EN EL CAMPOS COMPLEJO 214.1 Integrales de lnea en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Integrales de lnea reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Propiedades de las integrales de lnea. Deniciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Lmite superior de una integral de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 Teorema integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.6 Teorema de CauchyGoursat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.7 Independencia del camino de integracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.8 Teorema de Green en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.9 Forma compleja del teorema de Green Funciones primitivas (antiderivadas). . . . . . . . . . . 224.10 Uso de la funcin primitiva para evaluar una integral de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . 224.11 Integrales de funciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.12 Frmulas integrales de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.13 Teorema de Morera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.14 Integrales de funciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.15 Frmulas integrales de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.16 Integridad de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.17 Teorema de Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.18 Teorema fundamental del lgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.19 Teorema del valor medio de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 SERIES INFINITAS 235.1 Sucesiones de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Series de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Propiedades de las series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Convergencia uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Integracin y derivacin de series de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.6 Representacin de una funcin por series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.7 Unicidad de la representacin de series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.8 Series de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.9 Series de Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.10 Ceros de las funciones analticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 TEOREMA DEL RESIDUO 256.1 Residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Clculo de residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Teorema de residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4 Evaluacin de integrales denidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.5 Teoremas especiales para la evaluacin integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.6 Valor principal de integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.7 Derivacin bajo el signo integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.8 Regla de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER. TRANSFORMADA DE FOURIER 277.1 Proyeccin ortogonal de funciones complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2 Evaluacin de los coecientes de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3 Desigualdad de Bessel-Parseval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.4 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.5 Aproximacin mediante una serie nita de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.6 Desarrollo en serie de Fourier segn una base determinada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.7 Condiciones de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28NDICE GENERAL v7.8 Convergencia de las series de Fourier trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.9 Anlisis de formas de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.10 Funciones pares e impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.11 Simetra de media onda, simetra de un cuarto de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.12 Coecientes de Fourier de ondas simtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.13 Evaluacin de los coecientes de Fourier por diferenciacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.14 Forma compleja de los coecientes de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.15 Espectro discreto de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.16 Contenido de potencia de una funcin peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.17 Teorema de Parseval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.18 Expansin en serie de Fourier de una funcin en un intervalo nito. . . . . . . . . . . . . . . . 287.19 La transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.20 Transformada de Fourier de la funcin pulso rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.21 Espectro continuo de frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.22 Propiedades de la Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.23 Teorema de convolucin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.24 La funcin Delta Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.25 Transformada de Fourier de funciones peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Soluciones de los Ejercicios 298.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A Modelo de Prueba 1 35vi NDICE GENERALAgradecimientos"El aprendizaje no slo exige escuchar y poner en prctica,sino tambin olvidar y despus volver a recordar".John Grayviiviii PreliminaresIntroduccinLos contenidos a desarrollarse son:1. Transformada de Laplace.2. Funciones Complejas y Continuas.3. Derivacin en el Campo Complejo4. Integracin en el Campo Complejo.5. Series Innitas.6. Teorema del Residuo.7. Transformada de Fourier.PLAN DE EVALUACINSemana Actividad % Contenido03 Examen Parcial No1 25% Captulo I08 Examen Parcial No2 25% Captulo II, III, IV12 Examen Parcial No3 25% Captulo V, VI14 Examen Parcial No4 25% Captulo VIIixx IntroduccinCaptulo 1TRANSFORMADA DE LAPLACEUna integral denida como _ba 1 (:, t) ) (t) dt transforma una funcin )(t) en una funcin de varias variables.Nos interesan mucho las transformadas integrales de este ltimo tipo, cuando el intervalo de integracin es[0, ) no acotado.Denicin 1.0.1 Si ) (t) est denida cuando t _ 0, la integral impropia _10 1 (:, t) ) (t) dt se dene comoun lmite _10 1 (:, t) ) (t) dt = limb!1_b0 1 (:, t) ) (t) dt. Si existe el lmite, se dice que la integral existe o quees convergente; si no existe el lmite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el lmiteanterior existe slo para ciertos valores de la variable :. La sustitucin 1 (:, t) = cstproporciona unatransformacin integral muy importante.1.1 Transformada de LaplaceDenicin 1.1.1 Sea ) una funcin denida para t _ 0. Entonces se dene la Tranformada de Laplacede ), por:/) (t) = _10 cst) (t) dtObservacin 1.1.2 Cuando /) (t) converge, se obtiene una funcin de :, y se dice que /) (t) = 1 (:).Ejemplo 1.1.3 Calculemos /1/1 = _10 cstdt = limb!1_b0 cstdtdt = limb!1_cst:_b0= limb!1_csb: + 1:_ = 1:Proposicin 1.1.4 La Tranformada de Laplace /) (t) es una transformacin lineal.Demostracin. Basta con evaluar, //) (t) +q (t)//) (t) +q (t) = _10 cst(/) (t) +q (t)) dt = /_10 cst) (t) dt+ = _10 cstq (t) dt= //) (t) +/q (t)En conclusin, la Tranformada de Laplace /) (t) es una transformacin lineal.Denicin 1.1.5 Se dice que una funcin ) es de orden exponencial si existen constantes c, ' 0 yT 0 tales que [) (t)[ _ 'ccT, para todo t T.12 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACEEjemplo 1.1.6 Las funciones ) (t) = t, q (t) = cty /(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, parat 0 = T, ya que [t[ _ ct, [ct[ _ cty [2 cos t[ _ 2ct.-10 -5 5 10-1010xy-10 -5 5 10-1010xy-10 -5 5 10-1010xyTeorema 1.1.7 Si ) es una funcin continua por tramos en el intervalo [0, ) y de orden exponencial cpara t T, entonces /) (t) existe para : c.Ejemplo 1.1.8 Calculemos /t/t = _10 csttdt = limb!1__tcst:_b0+ 1:_b0 cstdt_= 1:_10 cstdt = 1:/1 = 1:_1:_ = 1:2Ejemplo 1.1.9 Calculemos /sin2t/sin2t = _10 cstsin2tdt = cstsin2t:10+ 2:_10 cstcos 2tdt= 2:_10 cstcos 2tdt = 2:_cstcos 2t:10 2:_10 cstsin2tdt_= 2:_0 2:_10 cstsin2tdt_ = 4:2/sin2t/sin2t = 2:2 + 4, con : 0Ejemplo 1.1.10 Calculemos /3t 5 sin2t/3t 5 sin2t = 3/t 5/sin2t = 3 1:2 5 2:2 + 4 = 7:2+ 12:2 (:2 + 4)Ejemplo 1.1.11 Calculemos /_tc2t_/_tc2t_ = _10 csttc2tdt = _10 tc(s+2)tdt = tc(s+2)t: + 210+ 1: + 2_10 c(s+2)tdt= c(s+2)t(: + 2)210= 1(: + 2)2, : 21.2. TRANSFORMADA INVERSA 3Ejemplo 1.1.12 Calculemos /_t2c2t_/_t2c2t_ = t2c(s+2)t: + 210+ 2: + 2_10 tc(s+2)tdt = 2: + 2/_tc2t_= 1(: + 2)3, : 2Ejemplo 1.1.13 Calculemos /) (t), cuando ) (t) = _ 0, 0 _ t < 32, t _ 3/) (t) = _10 cst) (t) dt = _30 cst0dt +_13 cst2dt = 2/1 = 2:Observacin 1.1.14 Transformadas de Algunas Funciones Tpicas:1) /1 = 1:2) /tn = :!:n+1, : = 1, 2, 3, 4, . . .3) /sin/t = /:2 +/24) /cos /t = ::2 +/25) /sinh/t = /:2/26) /cosh/t = ::2/2Ejemplo 1.1.15 Calculemos /_sin2t_/_sin2t_ = /_1 cos 2t2_ = 12/1 12/cos 2t = 12_1:_ 12_ ::2 + 4_= 12: :2 (:2 + 4) = 2:3 + 4:Observacin 1.1.16 La denicin de la Transformada de Laplace es conocida como Transformada deLaplace Unilateral (de un lado) de la funcin ) (t).Observacin 1.1.17 Si el comportamiento de ) (t) para t < 0 es de inters entonces necesitamos la Trans-formada de Laplace Bilateral (de dos lados) de la funcin ) (t) denida por:/B) (t) = _11cst) (t) dt1.2 Transformada InversaEn la seccin anterio se busca tranformar la funcin ) (t) en 1 (:) a travs de la transformada integral_10 cst) (t) dt, ahora buscamos la funcin ) (t) dada su transformada 1 (:), es decir, la Transformadade Laplace Inversa, y se expresa: ) (t) = /11 (:).4 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACEObservacin 1.2.1 Algunas Transformadas Inversas:1) /1_1:_ = 12) /1_ :!:n+1_ = tn, : = 1, 2, 3, 4, . . .3) /1_ 1: a_ = cat4) /1_ /:2 +/2_ = sin/t5) /1_ ::2 +/2_ = cos /t6) /1_ /:2/2_ = sinh/t7) /1_ ::2/2_ = cosh/tObservacin 1.2.2 /1es una trnasformacin lineal, es decir, /1c1 (:) +G(:) = c/11 (:) +/1G(:).Ejemplo 1.2.3 Calculemos /1_ 1:5_/1_ 1:5_ = 14!/1_4!:5_ = 14!t4= t424Ejemplo 1.2.4 Calculemos /1_ 1:2 + 64_/1_ 1:2 + 64_ = 18/1_ 8:2 + 64_ = sin8t8Ejemplo 1.2.5 Calculemos /1_3: + 5:2 + 7_/1_3: + 5:2 + 7_ = /1_ 3::2 + 7 + 5:2 + 7_ = 3/1_ ::2 + 7_+ 5_7/1_ _7:2 + 7_= 3 cos_7t + 5_7 sin_7tEjemplo 1.2.6 Calculemos /1_ : + 1:2 (: + 2)3_, aplicando fracciones simples1.3. TEOREMAS DE TRASLACIN 5/1_ : + 1:2 (: + 2)3_ = /1_ 116: + 18:2 + 116: + 2 14(: + 2)3_= 116/1_1:_+ 18/1_ 1:2_+ 116/1_ 1: + 2_ 14/1_ 1(: + 2)3_= 116 + 18t + 116c2t 14t2c2tTeorema 1.2.7 Si ) (t) es continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial para t T, entonceslims!1/) (t) = 01.3 Teoremas de Traslacin1.3.1 Primer Terorema de TraslacinSi conocemos /) (t) = 1 (:), podemos hallar la transformada Laplace /cat) (t) sin ms que trasladar1 (:) a 1 (: a). Este resultado se llama primer teorema de traslacin.Teorema 1.3.1 (Primer Terorema de Traslacin) Si 1 (:) = /) (t) y a es una nmero real, en-tonces /cat) (t) = 1 (: a)Demostracin. /cat) (t) = _10 cstcat) (t) dt = _10 c(sa)t) (t) dt = 1 (: a).Ejemplo 1.3.2 Calculemos /_c5tt3_/_c5tt3_ = /_t3_s!s5 = 3!:4s!s5= 6(: 5)4Ejemplo 1.3.3 Calculemos /_c2tcos 4t_/_c2tcos 4t_ = /cos 4ts!s+2 = ::2 + 16s!s+2= :(: + 2)2+ 16Teorema 1.3.4 (Forma Inversa del Primer Teorema de Traslacin)Si ) (t) = /11 (:) y a esuna nmero real, entonces /11 (: a) = cat) (t).Ejemplo 1.3.5 Calculemos /1_ ::2 + 6: + 11_6 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE/1_ ::2 + 6: + 11_ = /1_ :(: + 3)2+ 2_ = /1_ : + 3 3(: + 3)2+ 2_= /1_ : + 3(: + 3)2+ 2 3(: + 3)2+ 2_= /1_ : + 3(: + 3)2+ 2_3/1_ 1(: + 3)2+ 2_= /1_ ::2 + 2_s!s+33/1_ 1:2 + 2_s!s+3= /1_ ::2 + 2_s!s+3 3_2/1_ _2:2 + 2_s!s+3= c3tcos_2t 3_2c3tsin_2tEjemplo 1.3.6 Calculemos /1_ 1(: 1)3 + 1:2 + 2: 8_/1_ 1(: 1)3 + 1:2 + 2: 8_ = /1_ 1(: 1)3 + 1(: + 1)29_= /1_ 1:3_s!s1+/1_ 1:29_s!s+1= 12!/1_2!:3_s!s1+ 13/1_ 3:29_s!s+1= 12!ctt2+ 13ctsinh3t1.3.2 Funcin Escaln UnitarioDenicin 1.3.7 La funcin l (t a) se dene por:l (t a) = _ 0, 0 _ t < a1, t _ aEjemplo 1.3.8 Graquemos las funciones l (t) y l (t 2)1.3. TEOREMAS DE TRASLACIN 7-10 -5 5 10-10-5510xy-10 -5 5 10-10-5510xyEjemplo 1.3.9 La funcin l (t a) l (t /), es llamada funcin de sombrero, graquemos la funcinl (t 1) l (t 3)l (t 1) l (t 3) = _ 0, 0 _ t < 11, t _ 1 _ 0, 0 _ t < 31, t _ 3 = _ 1, 1 _ t _ 30, en otro caso-1 1 2 3 4 5-2-112xyObservacin 1.3.10 Consideremos la funcin ) (t) = _ 0, 0 _ t < 2sint, t _ 2 , utilizando la funcin escalnunitario tenemos que ) (t) = sintl (t 2)1.3.3 Segundo Terorema de TraslacinTeorema 1.3.11 (Segundo Terorema de Traslacin) Si 1 (:) = /) (t) y a 0, entonces/) (t a) l (t a) = cas1 (:)Ejemplo 1.3.12 Evaluemos /_(t 2)3l (t 2)_/_(t 2)3l (t 2)_ = c2s/_t3_ = c2s 3!:4 = 6c2s:4Observacin 1.3.13 Una forma alternativa del teorema anterior es:/q (t) l (t a) = cas/q (t a)Ejemplo 1.3.14 Evaluemos /sintl (t 2)/sintl (t 2) = c2s/sin(t 2) = c2s/sint = c2s:2 + 18 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACETeorema 1.3.15 (Inversin usando el Segundo Teorema de Traslacin)Si ) (t) = /11 (:) y a 0, entonces /1cas1 (:) = ) (t a) l (t a).Ejemplo 1.3.16 Calculemos /1_c

12s:2 + 9_/1_c

12s:2 + 9_ = 13/1_c

12s 3:2 + 9_ = 13/1_ 3:2 + 9_t!t

2l _t 2_= 13 sin3_t 2_l _t 2_ = 13 cos 3tl _t 2_1.4 Derivadas de Tranformada de LaplaceTeorema 1.4.1 Si 1 (:) = /) (t) y : = 1, 2, 3, . . ., entonces /tn) (t) = (1)n dnd:n1 (:)Ejemplo 1.4.2 Calculemos /_tc3t_, /t sin/t , /_t2sin/t_ y /tctcos t/_tc3t_ = dd:/_c3t_ = dd:_ 1: 3_ = 1(: 3)2/t sin/t = dd:/sin/t = dd:_ /:2 +/2_ = 2/:(:2 +/2)2/_t2sin/t_ = + d2d:2/sin/t = dd:/t sin/t = dd:_ 2/:(:2 +/2)2_ = 6/:22/3(:2 +/2)3/tctcos t = dd:/ctcos /t = dd:_/cos /ts!s+1_ = dd:_ : + 1(: + 1)2+ 1_ = (: + 1)21_(: + 1)2+ 1_21.5 Transformada de una DerivadaTeorema 1.5.1 Si ) (t) , )0(t) , . . . , )(n1)(t) son continuas en [0, ), son de orden exponencial, y )(n)(t)es continua parte por parte en [0, ), entonces /_)(n)(t)_ = :n1 (:) :n1) (0) :n2)0(0) :)(n2)(0) )(n1)(0), donde 1 (:) = /) (t) .Ejemplo 1.5.2 Evaluemos //t cos /t + sin/t//t cos /t + sin/t = /_ ddt (t sin/t)_ = :/t sin/t = :_ dd:/sin/t_= :_ 2/:(:2 +/2)2_ = 2/:2(:2 +/2)21.6. CONVOLUCIN 91.6 ConvolucinSi las funciones ) y q son continuas parte por parte en [0, ), la convolucin de ) y q se representa por) + q y se dene por la integral:) + q = _t0 ) (t) q (t t) dtTeorema 1.6.1 (Teorema de la Convolucin) Si ) (t) y q (t) son continuas por tramos en [0, ) y deorden exponencial, entonces /) + q = /) (t) /q (t) = 1 (:) G(:).Ejemplo 1.6.2 Calculemos /__t0 c

sin(t t) dt_/__t0 c

sin(t t) dt_ = /ct /sint = 1: 1 1:2 + 1 = 1(: 1) (:2 + 1)Observacin 1.6.3 (Forma Inversa de la Convolucin) /11 (:) G(:) = ) + q.Ejemplo 1.6.4 Calculemos /1_ 1(: 1) (: + 4)_, se sabe que /1_ 1: 1_ = cty /1_ 1: + 4_ = c4t/1_ 1(: 1) (: + 4)_ = _t0 ) (t) q (t t) dt = _t0 c

c4(t)dt = _t0 c4t+5dt= c4t_t0 c5dt = c4t15 c5t0dt = 15ct 15c4t1.7 Transformada de una IntegralEl teorema de la convolucin, implica que la transforma de un integral se dena por:/__t0 ) (t) dt_ = 1 (:): , donde /) (t) = 1 (:)O la forma inversa:_t0 ) (t) dt = /1_1 (:):_Ejemplo 1.7.1 Calculemos /1_ 1: (:2 + 1)_, /1_ 1:2 (:2 + 1)_ y /1_ 1:3 (:2 + 1)_/1_ 1: (:2 + 1)_ = _t0 sintdt = 1 cos t/1_ 1:2 (:2 + 1)_ = _t0 (1 cos t) dt = t sint/1_ 1:3 (:2 + 1)_ = _t0 (t sint) dt = t22 1 + cos t10 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE1.8 Transformada de una Funcin PeridicaTeorema 1.8.1 (Transformada una Funcin Peridica) Si ) (t) es continua por tramos en [0, ), deorden exponencial y de periodo T, entonces /) (t) = 11 csT_T0 cst) (t) dt.Ejemplo 1.8.2 Calculemos /) (t) , donde ) (t) = _ t, 0 _ t < 10, 1 _ t < 2 y ) (t + 2) = ) (t)/) (t) = 11 c2s_20 cst) (t) dt = 11 c2s__10 csttdt +_21 cst0dt_= 11 c2s_10 csttdt = 11 c2s_cs: + 1 cs:_= 1 (: + 1) cs:2 (1 c2s)1.9 Aplicacin de Laplace en Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEjemplo 1.9.1 Resolver la ecuacin djdt 3j = c2t, j (0) = 1/_djdt 3j_ = /_c2t_=/_djdt_3/j = /_c2t_Ahora, /j = 1 (:) /_djdt_ = :1 (:) j (0) = :1 (:) 1 /_c2t_ = 1: 2Sustituyendo, se tiene: :1 (:) 1 21 (:) = 1: 2 =1 (:) = 1: 2 + 2: 3Aplicamos la transformada inversa, j (t) = /11 (:) = /1_ 1: 2_+/1_ 2: 3_j (t) = /1_ 1: 2_+ 2/1_ 1: 3_=j (t) = c2t+ 2c3tEjemplo 1.9.2 Resolver la ecuacin j006j0 + 9j = t2c3t, j (0) = 2, j0(0) = 6/j006j0 + 9j = /_t2c3t_=/j00 6/j0 + 9/j = /_t2c3t_Ahora, /j00 = :21 (:) :j (0) j0(0) = :21 (:) 2: 6 /j0 = :1 (:) j (0) = :1 (:) 2/_t2c3t_ = 2(: 3)3Sustituyendo, se tiene: :21 (:) 2: 6 6:1 (:) + 12 + 91 (:) = 2(: 3)3 =1.10. APLICACIN DE LAPLACE A CIRCUITOS ELCTRICOS 111 (:) = 2: 3 + 2(: 3)3Aplicamos la transformada inversa, j (t) = /11 (:) = /1_ 2: 3_+/1_ 2(: 3)3_j (t) = 2/1_ 1: 3_+ 24!/1_ 4!(: 3)3_=j (t) = 2c3t+ 112t4c3t1.10 Aplicacin de Laplace a Circuitos ElctricosLos circuitos electricos pasivos son construidos con tres elementos bsicas: resistores (1) en unidades enohms , capacitadores (C) medida en farads 1 e inductores (1) medidos en henrys H con las variablesasociadas corriente i (t) medida en amperes y voltaje (t) medido en volts \ . El ujo de corriente enel circuito est reacionado con la carga (t) medida en columbs C mediante la relacin i = dqdtObservacin 1.10.1 Elementos o componentes de un circuito:La interacin entre los elemntos individuales que forman un circuito elctrico est determinada por lasLeyes de Kirchho:Ley 1. La suma algebraica de todas las corrientes que entran en cualquier unin (o nodo) de un circuito escero.Ley 2. La suma algebraica de la cada de voltaje alrededor de cualquier curva cerrada (o trayectoria) en unciurcuito es cero.Ejemplo 1.10.2 En el circuito 11C est formado por un resistor 1, un capacitador C y un inductor 1conectados en series a una fuente de voltaje c (t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t = 0, tantola carga en el capacitador como la corriente resultante del circuito son cero. Determinar la carga (t) enel capacitador y la corriente resultante i (t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que 1 = 160, 1 = 1H,C = 1041 y c (t) = 20\ .12 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACEUtilizando la segunda Ley de Kirchho se tiene la ecuacin 1d2dt2 +1ddt + 1C = c (t)Sustiyendo, se tiene d2dt2 + 160ddt + 104 = 20Aplicando Laplace, /_d2dt2 + 160ddt + 104_ = /20 =/_d2dt2_+ 160/_ddt_+ 104/ = 20/1Ahora, /_d2dt2_ = :2Q(:) : (0) 0(0) /_d2dt2_ = :Q(:) (0) / = Q(:) /1 = 1:Suponiendo que (0) = 0(0) = 0 y sustituyendo, se tiene::2Q(:) + 160:Q(:) + 104Q(:) = 20:Por lo tanto, Q(:) = 20: (:2 + 160: + 10000)Q(:) = 1500 1: 1500 : + 160:2 + 160: + 10000 = 1500_1: : + 160(: + 80)2+ 602_= 1500_1: (: + 80) + 80(: + 80)2+ 602_ = 1500_1: (: + 80)(: + 80)2+ 602 80(: + 80)2+ 602_= 1500_1: _ ::2 + 602_s!s+80_ 80:2 + 602_s!s+80_= 1500_1: _ ::2 + 602_s!s+80 8060_ 60:2 + 602_s!s+80_Aplicamos la transformada inversa,1.11. TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL 13 (:) = /1Q(:) = 1500_/1_1:_/1__ ::2 + 602__s!s+80 43/1__ 60:2 + 602__s!s+80_= 1500_1 c80tcos 60t 43c80tsin60t_Por consiguiente, i (t) = ddt = 1500_80c80tcos 60t + 60c80tsin60t + 3203 c80tsin60t 80c80tcos 60t_i (t) = ddt = 1500_60 + 3203_c80tsin60t = 13c80tsin60t1.11 Teoremas del Valor Inicial y del Valor FinalLos teoremas del valor inicial y del valor nal son dos teorema muy tiles que nos permite predecir elcomportamiento del sistema conforme t 0 y t sin invertir la transformada de Laplace.Teorema 1.11.1 (Teorema del Valor Inicial) Si ) (t) y )0(t) se les puede aplicar la transformada deLaplace y si lims!1:1 (:) existe, entonces limt!0+) (t) = ) (0+) = lims!1:1 (:)Ejemplo 1.11.2 Verique el teorema del Valor Inicial para la funcin ) (t) = 2 3 cos t/) (t) = 2/1 3/cos t = 2: 3::2 + 1 = 2:2+ 2 3:2:3 +: = 2 :2:3 +:lims!1:1 (:) = lims!12 :2:2 + 1 = 11 = 1 = limt!0+ (2 3 cos t) = limt!0+) (t)Teorema 1.11.3 (Teorema del Valor Final) Si ) (t) y )0(t) se les puede aplicar la transformada deLaplace y si limt!1) (:) existe, entonces limt!1) (t) = lims!0:1 (:)Ejemplo 1.11.4 Verique el teorema del Valor Final para la funcin ) (t) = 1 + 3ctsin2t/) (t) = /1 + 3/ctsin2t = 1: + 3/sin2ts!s+1 = 1: + 3 2:2 + 4s!s+1= 1: + 6(: + 1)2+ 4lims!0:1 (:) = lims!0_1 + 6:(: + 1)2+ 4_ = 1 = limt!1(1 + 3ctsin2t) = limt!1) (t)1.12 Ejercicios:1. Aplicar la transformada de Laplace por denicin de las siguientes funciones ) (t) denidas por:a) cosht /) t2c) 3 +t d) tct2. Hallar el orden exponencial de las siguientes funciones:a) c5t/) c3tc) sin2t d) sinh3t c) cosh2t)) t4q) c3t+t2/) 3 cos 2t t3i) 3c2t2c2t+ sin2t ,) sinh3t + sin3t3. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones.14 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACEa) 5 3t /) 7t32 sin3t c) 3 2t + 4 cos 2td) cosh2t c) sinh2t )) 5c2t+ 3 2 cos 2tq) 4tc2t/) 2c3tsin2t i) t2c4t,) 6t33t2+ 4t 2 /) 2 cos 3t + 5 sin3t |) t cos 2t:) t2sin3t :) t23 cos 4t o) t2c2t+ctcos 2t + 34. Encuentre /11 (:) donde 1 (:) est dada por:a) 1(: + 3) (: + 7) /) : + 5(: + 1) (: 3) c) : 1:2 (: + 3)d) 2: + 6:2 + 4 c) 1:2 (:2 + 16) )) : + 8:2 + 4: + 5q) : + 1:2 (:2 + 4: + 8) /) 4:(: 1) (: + 1)2 i) : + 7:2 + 2: + 5,) 3:27: + 5(: 1) (: 2) (: 3) /) 5: 7(: + 3) (:2 + 2) |) :(: 1) (:2 + 2: + 2):) : 1:2 + 2: + 5 :) : 1(: 2) (: 3) (: 4) o) 3:(: 1) (:24)j) 36: (:2 + 1) (:2 + 9) ) 2:2+ 4: + 9(: + 1) (: + 2) (:2 + 2: + 10) r) 1(: + 1) (: + 2) (:2 + 2: + 10)5. Use el mtodo de Transformado de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales parat _ 0.(a) drdt + 3r = c2t; r(0) = 1(b) 3drdt 4r = sin2t; r(0) = 13(c) d2rdt2 + 2drdt + 5r = 1; r(0) = r0(0) = 0(d) d2jdt2 + 2djdt +j = 4 cos 2t; j (0) = 0; j0(0) = 2(e) d2rdt2 3drdt + 2r = 2c4t; r(0) = 0; r0(0) = 1(f) d2rdt2 + 4drdt + 5r = 3c2t; r(0) = 4; r0(0) = 7(g) d2rdt2 + drdt 2r = 5ctsint; r(0) = 1; r0(0) = 0(h) d2jdt2 + 2djdt + 3j = 3t; j (0) = 0; j0(0) = 1(i) d2rdt2 + 4drdt + 4r = t2+c2t; r(0) = 12; r0(0) = 0(j) 9d2rdt2 + 12drdt + 5r = 1; r(0) = r0(0) = 0(k) d2rdt2 + 8drdt + 16r = 16 sin 4t; r(0) = 12; r0(0) = 1(l) 9d2jdt2 + 12djdt + 4j = ct; j (0) = j0(0) = 1(m) d3rdt3 2d2rdt2 drdt + 2r = 2 +t; r(0) = r0(0) = r00(0) = 0(n) d3rdt3 + d2rdt2 + drdt +r = cos 3t; r(0) = 0; r0(0) = r00(0) = 11.12. EJERCICIOS: 156. La funcin ), denida por ) (t) = _ t, 0 _ t _ 10, t 1 . Exprese ) (t) en terminos de la funcin unitariay verique que /) (t) = 1:2 (1 cs) 1:cs.7. Exprese las sigueitnes funciones en trminos de la funcin unitaria.(a) ) (t) =___3t2, 0 < t _ 42t 3, 4 < t < 65 t _ 6(b) q (t) =___t, 0 _ t _ 12 t, 1 < t < 20 t _ 28. Obtenga la transformacin de Laplace inversa de las siguientes funciones:a) c5t(: 2)4 /) 3c2s(: + 3) (: + 1) c) : + 1:2 (:2 + 1)csd) : + 1:2 +: + 1csc) ::2 + 25c

4s5 )) cs(1 cs):2 (:2 + 1)9. Verique el teorema de valor inicial para las siguietnes funcionesa) 2 3 cos t /) (3t 1)2c) t + 3 sin2t10. Verique el teorema de valor nal para las siguietnes funcionesa) 1 + 3ctsin2t /) t2c2tc) 3 2c3t+ctcos 2t11. Utilizando el teorema de convolucin, determine las siguientes transformadas inversa de Laplace:a) /1_ 1: (: + 3)3_ /) /1_ 1(: 2)2(: + 3)2_ c) /1_ 1:2 (: + 4)_16 CAPTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACECaptulo 2FUNCIONES COMPLEJAS YCONTINUIDAD2.1 Aritmtica de los nmeros complejos.2.2 Variables y funciones.2.3 Funciones de valor simple y valor mltiple.2.4 Funciones inversas.2.5 Transformaciones.2.6 Funciones elementales.2.7 Lmites. Teoremas sobre lmites.2.8 Continuidad. Continuidad de una regin. Teoremas sobrecontinuidad.1718 CAPTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y CONTINUIDADCaptulo 3DERIVACIN EN EL CAMPOCOMPLEJO3.1 Derivadas.3.2 Funciones analticas.3.3 Ecuaciones de Cauchy y Riemann.3.4 Funciones armnicas.3.5 Interpretacin geomtrica de la derivada.3.6 Diferenciales.3.7 Reglas para la diferenciacin.3.8 Familias ortogonales.3.9 Operadores diferenciales complejos.3.10 Gradientes.3.11 Divergencia y Laplaciano.3.12 Identidades que involucran gradiente y divergencias.1920 CAPTULO 3. DERIVACIN EN EL CAMPO COMPLEJO2122 CAPTULO 4. INTEGRACIN EN EL CAMPOS COMPLEJOCaptulo 4INTEGRACIN EN EL CAMPOSCOMPLEJO4.1 Integrales de lnea en el campo complejo.4.2 Integrales de lnea reales.4.3 Propiedades de las integrales de lnea. Deniciones.4.4 Lmite superior de una integral de contorno.4.5 Teorema integral de Cauchy.4.6 Teorema de CauchyGoursat.4.7 Independencia del camino de integracin.4.8 Teorema de Green en el plano.4.9 Forma compleja del teorema de Green Funciones primitivas(antiderivadas).4.10 Uso de la funcin primitiva para evaluar una integral de con-torno.4.11 Integrales de funciones especiales.4.12 Frmulas integrales de Cauchy.4.13 Teorema de Morera.4.14 Integrales de funciones especiales.4.15 Frmulas integrales de Cauchy.4.16 Integridad de Cauchy.4.17 Teorema de Liouville.4.18 Teorema fundamental del lgebra.4.19 Teorema del valor medio de Gauss.Captulo 5SERIES INFINITAS5.1 Sucesiones de funciones.5.2 Series de funciones.5.3 Propiedades de las series.5.4 Convergencia uniforme.5.5 Integracin y derivacin de series de funciones.5.6 Representacin de una funcin por series de potencias.5.7 Unicidad de la representacin de series de potencias.5.8 Series de Taylor.5.9 Series de Laurent.5.10 Ceros de las funciones analticas.2324 CAPTULO 5. SERIES INFINITASCaptulo 6TEOREMA DEL RESIDUO6.1 Residuo.6.2 Clculo de residuos.6.3 Teorema de residuos.6.4 Evaluacin de integrales denidas.6.5 Teoremas especiales para la evaluacin integrales.6.6 Valor principal de integrales.6.7 Derivacin bajo el signo integral.6.8 Regla de Leibnitz.2526 CAPTULO 6. TEOREMA DEL RESIDUO2728 CAPTULO 7. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER. TRANSFORMADA DE FOURIERCaptulo 7DESARROLLO EN SERIES DEFOURIER. TRANSFORMADA DEFOURIER7.1 Proyeccin ortogonal de funciones complejas.7.2 Evaluacin de los coecientes de Fourier.7.3 Desigualdad de Bessel-Parseval.7.4 Series de Fourier.7.5 Aproximacin mediante una serie nita de Fourier.7.6 Desarrollo en serie de Fourier segn una base determinada.7.7 Condiciones de Dirichlet.7.8 Convergencia de las series de Fourier trigonomtricas.7.9 Anlisis de formas de ondas.7.10 Funciones pares e impares.7.11 Simetra de media onda, simetra de un cuarto de onda.7.12 Coecientes de Fourier de ondas simtricas.7.13 Evaluacin de los coecientes de Fourier por diferenciacin.7.14 Forma compleja de los coecientes de Fourier.7.15 Espectro discreto de frecuencias.7.16 Contenido de potencia de una funcin peridica.7.17 Teorema de Parseval.7.18 Expansin en serie de Fourier de una funcin en un intervalonito.7.19 La transformada de Fourier.7.20 Transformada de Fourier de la funcin pulso rectangular.7.21 Espectro continuo de frecuencia.7.22 Propiedades de la Transformada de Fourier.7.23 Teorema de convolucin.7.24 La funcin Delta Dirac.7.25 Transformada de Fourier de funciones peridicasCaptulo 8Soluciones de los Ejercicios8.1 Captulo 1Denicin 8.1.1 Se dice que una funcin ) es de orden exponencial si existen constantes c, ' 0 yT 0 tales que [) (t)[ _ 'ccT, para todo t T.Ejemplo 8.1.2 Las funciones ) (t) = t, q (t) = cty /(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, parat 0 = T, ya que [t[ _ ct, [ct[ _ cty [2 cos t[ _ 2ct.1. Transformada de Laplace por denicin:(a) /cosht = _10 cstcoshtdt = cstsinht +:cstcosht:2 + 110= ::2 + 1(b) /_t2_ = _10 cstt2dt = cst_:2t2+ 2:t + 2_:310= 2:3(c) /tct = _10 csttctdt = _10 c(s+1)ttdt = ct(s+1)(t +:t + 1)(: + 1)210= 1(: + 1)22. Hallar el orden exponencial de las siguientes funciones:(a) c5t_ 1c5t(b) c3t_ 1c3t(c) [sin2t[ _ 1c2t(d) [sinh3t[ _ 1c3t(e) [cosh2t[ _ 1c2t(f) t4_ 1c4t(g) c3t+t2_c3t+t2_ 2c3t(h) 3 cos 2t t3_ 3 [cos 2t[ +t3_ 4c3t(i) 3c2t2c2t+ sin2t_ 3c2t+ 2c2t+[sin2t[ _ 6c2t(j) [sinh3t + sin3t[ _ [sinh3t[ +[sin3t[ _ 2c3t3. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:(a) /5 3t = 5/1 3/t = 5: 3:22930 CAPTULO 8. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS(b) /_7t32 sin3t_ = 7/_t3_2/sin3t = 42:4 6:2 + 9(c) = /3 2t + 4 cos 2t = 3/1 2/t + 4/cos 2t = 3: 2:2 + 4 ::2 + 4(d) /cosh2t = ::24(e) /sinh2t = 2:24(f) /_5c2t+ 3 2 cos 2t_ = 5/_c2t_+ 3/1 2/cos 2t = 5: 2 + 3: 2 ::2 + 4(g) /_4tc2t_ = 4/ts!s+2 = 4 1:2s!s+2= 4(: + 2)2(h) /_2c3tsin2t_ = 2/sin2ts!s+3 = 2 2:2 + 4s!s+3= 4(: + 3)2+ 4(i) /_t2c4t_ = /_t2_s!s+4 = 2:3s!s+3= 2(: + 4)3(j) /_6t33t2+ 4t 2_ = 6/_t3_3/_t2_+ 4/t 2/1 = 36:4 6:3 + 4:2 2:(k) /2 cos 3t + 5 sin3t = 2/cos 3t + 5/sin3t = 2 ::2 + 9 + 15:2 + 9(l) /t cos 2t = 2 :2(:2 + 4)2 1:2 + 4(m) /_t2sin3t_ = 24 :2(:2 + 9)3 6(:2 + 9)2(n) /_t23 cos 4t_ = /_t2_3/cos 4t = 2:3 3 ::2 + 16(o) /_t2c2t+ctcos 2t + 3_ = /_t2_s!s+2+/cos 2ts!s+1+3/1 = 2(: + 2)3 + (: + 1)(: + 1)2+ 4 +3:4. Encuentre /11 (:) donde 1 (:) est dada por:(a) /1_ 1(: + 3) (: + 7)_ = /1_ 14 (: + 3) 14 (: + 7)_ = 14c3t 14c7t(b) /1_ : + 5(: + 1) (: 3)_ = /1_ 2: 3 1: + 1_ = 2c3tct(c) /1_ : 1:2 (: + 3)_ = /1_ 49: 49 (: + 3) 13:2_ = 49 49c3t 13t(d) /1_2: + 6:2 + 4_ = /1_2 ::2 + 4 + 3 2:2 + 4_ = 2 cos 2t + 3 sin2t(e) /1_ 1:2 (:2 + 16)_ = /1_ 116:2 116 (:2 + 16)_ = 116t 164 sin4t(f) /1_ : + 8:2 + 4: + 5_ = /1_ (: + 2) + 6(: + 2)2+ 1_ = /1_ (: + 2)(: + 2)2+ 1 + 6 1(: + 2)2+ 1_ = c2t(cos t + 6 sint)8.1. CAPTULO 1 31(g) /1_ : + 1:2 (:2 + 4: + 8)_ = /1_ 18:2 116_ (s+2)(s+2)2+4 + 2 2(s+2)2+4_+ 116:_ = 18t 116c2t(cos 2t + 2 sin2t)+116(h) /1_ 4:(: 1) (: + 1)2_ = /1_ 1: + 1 + 1: 1 + 2(: + 1)2_ = ctct+ 2tct(i) /1_ : + 7:2 + 2: + 5_ = /1_ (: + 1)(: + 1)2+ 4 + 3 2(: + 1)2+ 4_ = ct(cos 2t + 3 sin2t)(j) /1_ 3:27: + 5(: 1) (: 2) (: 3)_ = /1_ 12 (: 1) 3: 2 + 112 (: 3)_ = 12ct3c2t+ 112 c3t(k) /1_ 5: 7(: + 3) (:2 + 2)_ = /1_2 ::2 + 2 1_2_2:2 + 2 2: + 3_ = 2 cos_2t2c3t12_2 sin_2t(l) /1_ :(: 1) (:2 + 2: + 2)_ = /1_ 15 (: 1) 15_ : + 1(: + 1)2+ 1 3 1(: + 1)2+ 1__ = 15ct15ct(cos t 3 sint)(m) /1_ : 1:2 + 2: + 5_ = /1_ : + 1(: + 1)2+ 4 2(: + 1)2+ 4_ = ct(cos 2t sin2t)(n) /1_ : 1(: 2) (: 3) (: 4)_ = /1_ 12 (: 2) 2: 3 + 32 (: 4)_ = 12c2t2c3t+ 32c4t(o) /1_ 3:(: 1) (:24)_ = /1_ 32 (: 2) 1: 1 12 (: + 2)_ = 32c2t 12c2tct(p) /1_ 36: (:2 + 1) (:2 + 9)_ = /1_12 ::2 + 9 92 ::2 + 1 + 4:_ = 12 cos 3t 92 cos t + 4(q) /1_ 2:2+ 4: + 9(: + 1) (: + 2) (:2 + 2: + 10)_ = /1_ 79 (: + 1) 910 (: + 2) + 1190_ : + 1(: + 1)2+ 9 + 3 3(: + 1)2+ 9__ =79ct 910c2t+ 1190ct(cos 3t + 3 sin3t)(r) /1_ 1(: + 1) (: + 2) (:2 + 2: + 10)_ = /1_ 19 (: + 1) 110 (: + 2) 190_ : + 1(: + 1)2+ 9 + 3 3(: + 1)2+ 9__ =19ct 110c2t 190ct(cos 3t + 3 sin3t)5. Use el mtodo de Transformado de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales parat _ 0.(a) drdt + 3r = c2t; r(0) = 1 ==/_drdt_+ 3/r = /_c2t_:A (:) 1 + 3A (:) = 1: + 2 ==A (:) = : + 3(: + 2) (: + 3) = 1: + 2r(t) = /1_ 1: + 2_ = c2t(b) 3drdt 4r = sin2t; r(0) = 13 ==3/_drdt_4/r = /sin2t = 2:2 + 432 CAPTULO 8. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS3:A (:) 1 4A (:) = 2:2 + 4 ==A (:) = :2+ 6(:2 + 4) (3: 4) = 3526 (3: 4) 326: + 213:2 + 4r(t) = /1___3526 (3: 4) 326: + 213:2 + 4___ = 3578c43t 113 sin2t 326 cos 2t(c) d2rdt2 + 2drdt + 5r = 1; r(0) = r0(0) = 0 ==/_d2rdt2_+ 2/_drdt_+ 5/r = /1:2A (:) + 2:A (:) + 5A (:) = 1: ==A (:) = 1: (:2 + 2: + 5) = 15: 15: + 25:2 + 2: + 5r(t) = 15/1_1:_ 15/1_ : + 1(: + 1)2+ 4 + 12 2(: + 1)2+ 4_ = 15 110ctsin2t 15 (cos 2t) ct(d) d2jdt2 + 2djdt +j = 4 cos 2t; j (0) = 0; j0(0) = 2 ==/_d2jdt2_+ 2/_djdt_+/j = 4/cos 2t:21 (:) 2 + 2:1 (:) +1 (:) = 4 ::2 + 4 ==1 (:) = 2 :2+ 2: + 4(:2 + 4) (:2 + 2: + 1)j (t) = /1_2 :2+ 2: + 4(:2 + 4) (:2 + 2: + 1)_ = 1225ct 1225 cos 2t + 1625 sin2t + 65tct(e) d2rdt2 3drdt + 2r = 2c4t; r(0) = 0; r0(0) = 1 ==/_d2rdt2_3/_drdt_+ 2/r = 2/_c4t_:2A (:) 1 3:A (:) + 2A (:) = 2: + 4 ==A (:) = : + 6(:23: + 2) (: + 4)r(t) = /1_ : + 6(:23: + 2) (: + 4)_ = 43c2t 75ct+ 115c4t(f) d2rdt2 + 4drdt + 5r = 3c2t; r(0) = 4; r0(0) = 7 ==/_d2rdt2_+ 4/_drdt_+ 5/r = 3/_c2t_:2A (:) 4: + 7 + 4:A (:) 4 + 5A (:) = 3: + 2 ==A (:) = 4:2+ 5: 3(:2 + 4: + 5) (: + 2)r(t) = /1_ 4:2+ 5: 3(:2 + 4: + 5) (: + 2)_ = 3c2t+c2t(cos t 11 sint)(g) d2rdt2 + drdt 2r = 5ctsint; r(0) = 1; r0(0) = 0 ==/_d2rdt2_+/_drdt_2/r = 5/ctsint:2A (:) : +:A (:) 1 2A (:) = 5(: + 1)2+ 1 ==A (:) = :3+ 3:2+ 4: + 7(:2 +: 2) (:2 + 2: + 2)r(t) = /1_ :3+ 3:2+ 4: + 7(:2 +: 2) (:2 + 2: + 2)_ = ct 12c2t+ 12ct(cos t 3 sint)(h) d2jdt2 + 2djdt + 3j = 3t; j (0) = 0; j0(0) = 1(i) d2rdt2 + 4drdt + 4r = t2+c2t; r(0) = 12; r0(0) = 0(j) 9d2rdt2 + 12drdt + 5r = 1; r(0) = r0(0) = 0(k) d2rdt2 + 8drdt + 16r = 16 sin 4t; r(0) = 12; r0(0) = 18.1. CAPTULO 1 33(l) 9d2jdt2 + 12djdt + 4j = ct; j (0) = j0(0) = 1(m) d3rdt3 2d2rdt2 drdt + 2r = 2 +t; r(0) = r0(0) = r00(0) = 0(n) d3rdt3 + d2rdt2 + drdt +r = cos 3t; r(0) = 0; r0(0) = r00(0) = 16. La funcin ), denida por ) (t) = _ t, 0 _ t _ 10, t 1 . Exprese ) (t) en terminos de la funcin unitariay verique que /) (t) = 1:2 (1 cs) 1:cs.7. Exprese las sigueitnes funciones en trminos de la funcin unitaria.(a) ) (t) =___3t2, 0 < t _ 42t 3, 4 < t < 65 t _ 6(b) q (t) =___t, 0 _ t _ 12 t, 1 < t < 20 t _ 28. Obtenga la transformacin de Laplace inversa de las siguientes funciones:a) c5t(: 2)4 /) 3c2s(: + 3) (: + 1) c) : + 1:2 (:2 + 1)csd) : + 1:2 +: + 1csc) ::2 + 25c

4s5 )) cs(1 cs):2 (:2 + 1)9. Verique el teorema de valor inicial para las siguietnes funcionesa) 2 3 cos t /) (3t 1)2c) t + 3 sin2t10. Verique el teorema de valor nal para las siguietnes funcionesa) 1 + 3ctsin2t /) t2c2tc) 3 2c3t+ctcos 2t11. Utilizando el teorema de convolucin, determine las siguientes transformadas inversa de Laplace:a) /1_ 1: (: + 3)3_ /) /1_ 1(: 2)2(: + 3)2_ c) /1_ 1:2 (: + 4)_34 CAPTULO 8. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOSAppendix AModelo de Prueba 11. Considere el subespacio o = qc:__ 2 30 1_,_ 5 62 5_,_ 1 02 3_,_ 0 00 0_,_ 1 32 2__ delas matrices de orden 2, determine la dimensin de o.Conclusin, dimo = 3.2. Deenida negativa.3536 APPENDIX A. MODELO DE PRUEBA 1Bibliografa[1] CHURCHILL R., Ward J. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall.QuintaEdicin.[2] SPIEGEL M. (1991) Transformadas de Laplace. Editorial Prentice Hall.[3] SPIEGEL M. (1991). Variable Compleja. Editorial Prentice Hall.[4] JAMES, Glyn. Matemticas Avanzadas para Ingeniera. 2aEdicin. Editorial Prentice Hall.[5] ZILL, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. 6aEdicin. EditorialThomson.37