ntegración -...

ntegraciónEn este capítulo, se estudiará un impor-tante proceso de cálculo que está estre-chamente relacionado con la diferencia-ción-integración. El lector aprenderánuevos métodos y reglas para resolverintegrales definidas e indefinidas, inclui-do el teorema fundamental del cálculo.Posteriormente se aplicarán esas reglaspara encontrar algunos términos como lafunción posición para un objeto y el valorpromedio de una función.

En este capítulo, se aprenderá:

• Cómo evaluar integrales indefinidasusando reglas de integración básicas.( )

Cómo evaluar una suma y aproximarel área de una región del plano. (4.2)

Cómo evaluar una integral definidausando un límite. (4.3)

Cómo evaluar una integral definidausando el teorema fundamental delcálculo. (4.4)

Cómo evaluar diferentes tipos deintegrales definidas e indefinidas conuna variedad de métodos. (4.5)

Cómo evaluar una integral definidacon la regla trapezoidal y la regla deSimpson. (4.8)

© Chuck Pefley/Alamy

Aunque su sobrenombre oficial sea Ciudad Esmeralda, Seattle se conoce aveces como la Ciudad Lluviosa debido a su clima. No obstante, existen variasciudades, incluidas Nueva York y Boston, que típicamente tienen más precipi-tación anual. ¿Cómo se podría usar la integración para calcular la precipitaciónnormal anual para el área de Seattle? (Vea la sección 4.5, ejercicio 117.)

El área de una región parabólica puede aproximarse como la suma de las áreas de rectángulos. Conforme se incre-menta el número de rectángulos, la aproximación tiende a ser cada vez más exacta. En la sección 4.2, el lectoraprenderá cómo se puede usar el proceso de límite para encontrar áreas de una variedad de ancho de regiones.

247

248 CAPÍTULO 4 Integración

Antiderivadas o primitivas e integración indefinida

' E XPLORACIÓN

Determinación de antiderivadaso primitivas Para cada derivada,describir la función original F.

a) F'(x) = 2x

b) F'(x) = x

c) F'(x) = x2

d) F'W=¿

«) *"(*) =

/)= cosx

¿Qué estrategia se usó para deter-minar F?

Escribir la solución general de una ecuación diferencial.Usar la notación de la integral indefinida para las antiderivadas o primitivas.Utilizar las reglas de la integración básicas para encontrar antiderivadas.Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

Antiderivadas o primitivas

Suponer que se decide encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x2. Por lo que sesabe de derivadas, es posible afirmar que

F(x) = ^3 porque "^"C*3] = 3x2.

La función F es una antiderivada de /.

DEFINICIÓN DE UNA ANTIDERIVADA O PRIMITIVA

Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de /, en un intervalo / siF'(x) = f(x) para todo x en /.

Nótese que F es una antiderivada de /, en vez de la antiderivada de /. Para entenderpor qué, observar que

= x3, F2(x) = x3 - 5F3(x) = x3 + 97

son todas antiderivadas de f(x) = 3x2. De hecho, para cualquier constante C, la función dadapor F(x) = x3 + C es una antiderivada de /.

TEOREMA 4.1 REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS

Si F es una antiderivada de / en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de/enel intervalo / si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en /, dondeC es una constante.

C DEMOSTRACIÓN 3 La prueba del teorema 4.1 en un sentido es directa. Esto es, si Gpt) =+ C, F'(x) = f(x), y C es constante, entonces

G'(x) = [F« + C] = F'(x) + O =f(x).

Para probar este teorema en otro sentido, se supone que G es una antiderivada de/. Se define

una función H tal que

H(x) = G(x) - F(x).

Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua dentro de [a, ">'diferenciable dentro de (a, b). Mediante el teorema del valor medio,

H'(c] =H(b) - H(a)

b - a '

para algún c en (a, b). Sin embargo, H'(c) = O, por consiguiente H(a) = H(b). Daia y b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función constante t-G(x) - F(x) = Cy esto conlleva a que G(x) = F(x) + C.

.do 1ue

Funciones de la forma y = 2x +Figura 4.1

SECCIÓN 4.1 Antiderivadas o primitivas e integración indefinida 249

Si utiliza el teorema 4.1, puede representarse la familia completa de antiderivadas de unafunción agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabiendo queDx[x2] = 2x, es posible representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por

G(x) = x + C Familia de todas las antiderivadas de/(x) = 2x.

donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. Lafamilia de funciones representadas por G es la antiderivada general de /, y G(x) = x2 + Ces la solución general de la ecuación diferencial.

G'(x) = 2x. Ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial en x y 3; es una ecuación que incluye a x, y y a las derivadasde y. Por ejemplo, y' = 3xy y' = x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO I Resolución de una ecuación diferencial

Determinar la solución general de la ecuación diferencial y' = 2.

Solución Para empezar, determinar una función cuya derivada es 2. Una función de estacaracterística es

y = 2x. 2x es una antiderivada de 2.

Ahora bien, utilizar el teorema 4.1 para concluir que la solución general de la ecuacióndiferencial es

• ••y = 2x + C. Solución general.

Las gráficas de varias funciones de la forma y = 2x + C se muestran en la figura 4.1.

Notación para antiderivadas o primitivas

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma

4illliP En este texto, la notaciónSf(x)dx = F(x) + C significa que F esuna antiderivada o primitiva defen unintervalo.

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente

dy = f(x) dx.

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antide-rivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral /. La solucióngeneral se denota mediante

T Ty = \f(x) dx = F(x) + C.

'l 1Integrando Una antiderivada áef(x)

expresión J f(x)dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x. De talmanera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. Eltérmino integral indefinida es sinónimo de antiderivada.


Reglas básicas de integraciónLa naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F'(x)por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener

ÍF'IJ

'(x) dx = F(x) + C.

Además, si ff(x) dx = F(x) + C entonces

La integración es la "inversa" de la derivación.

La derivación es la "inversa" de la integración.

Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir defórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen.

, Ijt ¡,. i: I)." l¡i" ~>h .'!!>", ' !',',(.! '' ^fl

Reglas básicas de integración

Fórmula de derivación

d_dx

dx

[fcc] = k

[f(x)±g(X)]=f(x)±g'(x)

Fr"l = nrn~ ' ^ [* J ra

dx[sen je] = eos x

— [cosjc] = — senjcdx

dx

Adx

d_dx

[tan x] = sec2x

[sec x] = sec x tan x

[cot*] = -csc2*

— [esc jcl = — csc x cot xdx

;

•'\"jt n<. i ,, » -M" •• ' \ >'ii,, W..í,., g, . ,,i «TiTTl

Fórmula de integración

Odx= C

Ikdx = kx + C

f fI kf(x) dx = k\f(x) dx

j[f(x)±g(x)]dx =± jg

xndx =n + 1

eos x dx = sen x + C

C, n -

(x)dx

Regla de la potencia.

ff 2 I sec

I

= —cosjc + C

xdx = tan x + C

sec * tan x dx = sec x + C

xdx = — colx + C

csc x cot x dx = — csc x + C

., ••.- •

^fyr^r^^ i n6 •iliir:» La regla de la potencia para la integración tiene la restricción n + —1. El cálculo ut-

¡l/x dx debe esperar hasta el análisis de la función logaritmo natural en el capítulo 5.


TECNOLOGÍA Algunosprogramas de software tales comoMaple, Mathematica y el TI-89,son capaces de efectuarsimbólicamente la integración.Si se tiene acceso a estasherramientas de integraciónsimbólica, utilizarlas para calcularlas integrales indefinidas delejemplo 3.

EJEMPLO 2 Aplicación de las reglas básicas de integración

Describir las antiderivadas o primitivas de 3x.

Solución¡ón \3xdx = 3\xdxJ J

Regla del múltiplo constante.

Reescribir x como xl.

Regla de potencia (n = 1).

Simplificar.

De tal manera, las antiderivadas o primitivas de 3x son de la forma |jc2 + C, donde C escualquier constante. -B—-,mi

Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas deintegración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo2, se podría haber escrito

\3xdx = 3\x íl2

Sin embargo, como C representa cualquier constante, es tanto problemático como innece-sario escribir 3C corno la constante de integración. De tal modo, I*2 + 3C se escribe en laforma más simple, %x2 + C.

En el ejemplo 2, advertir que el patrón general de integración es similar al de la deri-vación.

Integral original r±> Reescribir c±> Integrar• • ;.'.•

EJEMPLO 3 Reescribir antes de integrar

Integral original Reescribir Integrar

, f l Ja) \—dxJ x

b) \Vxdx

c) I 2 sen^ífcc

X—

3/2 + C

2 \senxdx 2(-cos;c)

Simplificar

Simplificar

C ,

-2cosx

Recordar que, por simple derivación, puede comprobarse si una primitiva es correcta.Así, en el ejemplo 3b, para saber si la primitiva |x3/2 + C es correcta, basta con derivarlapara obtener

= I^P^2 =,3\2XX. Usar la derivación para verificar la antiderivada.


Las reglas básicas de integración listadas antes en esta sección permiten integrar cual-quier función polinomial, como se muestra en el ejemplo 4.

> ^ />n fi

' ÍMStf**»' '\ 4 Integración de funciones polinomiales

I*-/1<x = lldx

= x + C

' (x + 2)dx = \xdx + \2dx

Integrar.

C = C, + C2.

La segunda línea en la solución suele omitirse.

f Íx5\3\2C) J (3x4 - 5x2 + x) dx = 3(jj - 5(J-J + | + C Integrar.

Se entiende que el integrando es uno.

Integrar.

= y + C, + 2x + C2

= - + 2x+ C

= -X5 _ 3 _|_ 25* 3X 2X


í»\

Simplificar.

Jdx =

,-I

= (x1/2

X3/2

3/2 " 1/2

Recordar quela respuesta puede verificarse porderivación.

= ^jc3/2 + 2x1/2 + C

i,3) + C

Reescribir como dos fracciones.

Reescribir con exponentes

fraccionarios.

Integrar.

Simplificar.

•ililí:» Cuando se integren los cocientes, no debe integrarse numerador y denominador por se-parado. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. Al respecto, obsérveseel ejemplo 5.

'x + 1 , 2 r . J(x + 1) dx—¡=- dx = —^/x(x + 3) + C no es lo mismo que. TC. 3


senz 1

• + x + Ci•Jx + C, '

fsenz (- 7~dx=

J cos¿ x Jdx

1 cosz;c J \cos ;c/\cos x/

= I sec x tan x dx

= sec x + C ' " i

Reescribir como un producto.

Reescribir utilizando identidadestrigonométricas.

Integrar.


Condiciones iniciales y soluciones particulares(2'4) Se ha visto que la ecuación y = ff(x) dx tiene muchas soluciones (cada una difiriendo de

las otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadaso primitivas de / son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 4.2 muestralas gráficas de varias de las antiderivadas o primitivas de la forma

= -4

La solución particular que satisfacela condición inicial F(2) = 4 esF(x) = xJ-x-2Figura 4.2

3- -

y = (3x2 - l)dx = x3 - x + C Solución general.

para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas o primitivas es unasolución de la ecuación diferencial . ,.

.dx

En muchas aplicaciones de la integración, se da suficiente información para determi-nar una solución particular. Para hacer esto, sólo se necesita conocer el valor de y = F(x)para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por ejemplo,en la figura 4.2, sólo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva,se utiliza la siguiente información.

F(JE) = x3 - x + C

F(2) = 4Solución general.

Condición inicial.

Utilizando la condición inicial en la solución general, es posible determinar que F(2) = 8— 2 + C = 4, lo que implica que C = —2. De tal modo, se obtiene

F(x) = x3 - x-2. Solución particular.

EJEMPLO 7 Determinación de una solución particular

Encontrar la solución general deI

F'(x) = -j, x > Ox¿

y determinar la solución particular que satisface la condición inicial F(l) = 0.

Solución Para encontrar la solución general, se integra para obtener

F(X)= í±J •*•

= -- + C, x > 0.x

F(x) = fF'(x)dx.

Reescribir como una potencia.

Integrar.

Solución general.

La solución particular que satisfacela condición inicial F(l) = O esF(x)= -(I/*)+ !,*><)Figura 4.3

Utilizando la condición inicial F(l) = O, resolver para C de la manera siguiente.

F(l)'= -y + C = O O C=l•

De tal modo, la solución particular, como se muestra en la figura 4.3, es

F(JE) = — + 1 , x > 0.JE

Solución particular.

254CAPÍTULO 4 Integración

Hasta ahora, en esta sección se ha utilizado x corno variable de integración. En lasaplicaciones, es a menudo conveniente utilizar una variable distinta. Así, en el siguienteejemplo, la variable de integración es el tiempo t.

•_

£ EJEMPLO 8 Solución de un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partirde una altura inicial de 80 pies.

'a) Encontrar la función posición que expresa la altura s en una función del tiempo t.b) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo?

7 'Solución

• íonaiíib irtfirr nnwirnnim '>tn*»t'«ít!)> a) Considerar que t = O representa el tiempo inicial. Las dos condiciones inicialesindicadas pueden escribirse de la siguiente manera. = • V.,,-"""'; \) = 80 La altura inicial es 80 pies.

'©1 ZÍiÓá- ^a velocidad inicial es de 64 pies por segundo.

Utilizando —32 pies/s2 como la aceleración de la gravedad, se tiene

s"(t) = -32 : -• -••;.'• : :•;.- • • > •

<S]0)

C•^73

83

150-140.-130-120-110-

100-90-

80-70-60-50-40-30-

20-10-

t = 2^"*^N i'j¡ r

X \ = 3 ' ' >"bi' - > t = 1

I/ \,- / t

/ t

w \ * t — 4-

\_ \ • \o

is t '" l

1

^

1 1 1 á k ' 1 | | | Y * '12345

s'(t) = \s"(t)dt = I -32dt = -32t + Ci.

QEmpleando la velocidad inicial, se obtiene s'(0) = 64 = -32(0) + C,, lo cual implicaque Ct = 64. Después, integrando s'(t), se obtiene

) = s'(t) dt = (-32í + 64) dt = - 16í2 + 64í + C2.>/ ^

Al utilizar la altura inicial, se encuentra que

5(0) = 80 = -16(02) + 64(0) + C2

Tiempo (en segundos) 'lo que implica que C, = 80. De ese modo, la función posición es

Altura de una pelota en el tiempo t O,-M - _ Figura 4.4+ 64f + 80.Ver la figura 4.4.

•L'II»:» En el ejemplo 8, obsérveseque la función posición tiene la forma

b) Utilizando la función posición que se encontró en el apartado a), es posible determinarel tiempo en que la pelota pega en el suelo al resolver la ecuación s(t) = 0.

s(t) = - 16í2 + 64r + 80 = O-16(f + l)(r- 5) = O

t = -1,5

Como í debe ser positivo, se puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos despuésde haber sido lanzada. »

s(t) = 2gt2 + V0t + S0

donde g= -32, VQ es la velocidad

El ejemplo 8 muestra cómo utilizar el cálculo para analizar problemas de movimientovertical en los que la aceleración es determinada por una fuerza gravitacional. Se puedeutilizar una estrategia similar para analizar otros problemas de movimiento rectilíneo (ver-

inicial y sa es la altura inicial, como se tical u horizontal) en los que la aceleración (o desaceleración) es el resultado de alguna otrapresentó en la sección 2.2. • fuerza, como se verá en los ejercicios 81 a 89.

fí- i l ~ (x\t>~. '•• «•>


Antes de hacer los ejercicios, se debe reconocer que uno de los pasos más importantesen la integración es reescribir el integrando en una forma que corresponda con las reglasbásicas de integración. Para ilustrar este punto, a continuación se presentan algunos ejem-plos adicionales.

integral original Reescribir Integrar Simplificar

2*-l/2dx(í2 (t4+2t2+ l)dt - + 2=-

jry — i + C

\tfc(x ~4)dx JJ J

Ejercicios

dx7/3 \4/3

I*7/3 - 3.x4/3

C

En los ejercicios 1 a 4, verificar el enunciado demostrando que En los ejercicios 15 a 34, encontrar la integral indefinida y verificarla derivada del lado derecho es igual al integrando del lado iz- el resultado mediante derivación.quierdo.

I¿\

( —jjdí = — + C

9 4 l 4. rc = 2.x4 h C,x^l 2x

.•4s. Je

3. $x- 4)(x + 4)dx = ye3 - 16* + C

7)dx

17. J (2* - 3x2) dx

f19. \(x5+$dx

16. $l3-x)dxJ

18. (8*3 - 9x2 + 4) dx

20. I (x3 - 10* - 3) dx

dx(V-1 ^ _ 2 ( * 2 + 3 ) , „

4* 1 -,/- UA -. ~T l_,J *3/2 3^c

En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general de la ecuacióndiferencial y verificar el resultado mediante derivación.

,j, . j..5.

7.

6" ^ = -

<& dx ~-En los ejercicios 9 a 14, completar la tabla.

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

9.

10.

l^cdx

f 1I . n dx

¿•i. \x ' -T ¿x -r i ) ax

r23. v^2 dx

J

, /i.

J V-^

29. (* + 1)(3* - 2) dx

r31. 1 y\/y dy

r33. dx

En los ejercicios 35 a 44, hallar

¿>¿*.

24.

26.

28.

30.

32.

34.

]V,J(y?J¿¿*r,2 +

JJ(2r2 -

h\l4dt

+ $dx

.

2x-3x4 '

- \)2dt

3t)t2dt

la integral indefinida

dx

¡4x2:'

11.

12.

13.

14. U

x(x3 + 1) dx

dx

el resultado mediante derivación.

r r35. (5 eos x +4 sen x) dx 36. (£• - eos i) dt

37. I (i - esc í cot r) di 38. (#2 + sec2 0) d6»

39. | (sec2 0 - sen 9) dé» 40. sec y (tan y - sec y) dy9. I (sec2

256CAPITULO 4Integración

41. I (tan2 y + 1) dy

43. , , 2 .1 - eos2*

42. | (4* - esc2 x) dx

senx44.-j-dx

~ sen-*

En los ejercicios 45 a 48, se presenta la gráfica de la derivada deuna función. Dibujar las gráficas de dos funciones que tengan laderivada señalada. (Hay más de una respuesta correcta.)

45.

-4 -22 4

47.48.

En los ejercicios 49 y 50, determinar la ecuación para y, dada laderivada y el punto indicado sobre la curva.

49.50. = 2(dx

- 1)

(4,2)52- =dx

/ / /«-3/ / /-x-/ / /-x^/ / /-\

i ; í / i

/ / /-x/ / /-x/ / / — 3

(-1,3)

tx-/ / | /-/ / I /

*X-/ / I I

,x-/ / / /vX-/ / / |

-/ / I Ii / n i -

53. = eos *, (0,4)54. =-,> O, (1,3)

X, X X X .•* /-?

x,XX X X *

XvXX X / *

x, X X X-~ — --X ^

^+^4-+-+-"áíii^

^ *~ '"-•X X X ~x

t XXX,

/ ^- XX X^,

- /- -^X X X-s,

í--H-MíM-^ -^/ ** X X X-s.

" """ X X X "x

J4__

7- ¿_

1i-1

-2 -

í ""*

1

J

\i"í~ 1 * \^-t- " ' 1U"-~ 7\

¡ ^

rp Campos de pendientes En los ejercicios 55 y 56, a) utilizar unaherramienta de graficación para representar un campo de pen-dientes para la ecuación diferencial, b) utilizar la integración yel punto indicado para determinar la solución particular de laecuación diferencial y c) hacer la gráfica de la solución y el canipode pendientes.

55. &=2x,(-2, -2)56. =.dx/*, (4,12)

En los ejercicios 57 a 64, resolver la ecuación diferencial.-.57 ¿ f'(x) = 6x,f(0) = 8 58- g'W = 6*

fc'(f) = 8í3 + 5, h(l) = -4

/'(«) = 10í - 12s3,/(3) = 2

59.

60.

/"(*) = 2, /'(2) = 5, /(2) = 1062.

63.

-4--

" Campos de pendientes En los ejercicios 51 a 54, se dan unaecuación diferencial, un punto y un canipo de pendientes. Uncampo dependientes (o campo de direcciones) está compuesto porsegmentos de recta con pendientes dadas por la ecuación diferen-cial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva visualde las pendientes de las soluciones de la ecuación diferencial, a)Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencialen el campo de pendientes, una de las cuales pasa por el puntoindicado, b) Utilizar la integración para determinar la soluciónparticular de la ecuación diferencial y usar una herramienta degraficación para representar la solución. Comparar el resultadocon los dibujos del apartado a).

/"(*) = *2, /'(O) = 8, /(O) = 4

f(x) = X-W, f(4) = 2, /(O) = O

/"(*) = sen*, /'(0) = 1,/(0) = 6

65. Crecimiento de árboles Un vivero de plantas verdes suelevender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento ycuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es.aproximadamente, dh/dt = 1.5? + 5, donde r es el tiempo enaños y h es la altura en centímetros. Las plantas de semiller°miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t = 0).

a) Determinar la altura después de t años.

b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

66. Crecimiento de población La tasa de crecimiento dP/dt de unípoblación de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de '•donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en di*(O < t < 10). Esto es, dP/dt = k^Tt. El tamaño inicial de la P°'blación es igual a 500. Después de un día la población ha crecióhasta 600. Estimar el tamaño de la población después de 7 día •


Desarrollo de conceptos 72.

67.

68.

69.

¿Cuál es la diferencia, si existe, entre encontrar la anti-derivada de/(.í) y evaluar la integral ff(x) dxl

Considerar f(x) = tan2* y g(x) = ssc2 x. ¿Qué se notaacerca de las derivadas def(x) y g(x)7 ¿Qué se puedeconcluir acerca de la relación entre/(x) y g(x)l

Las gráficas de / y /' pasan a través del origen. Usarla gráfica de /" mostrada en la figura para bosquejar lagráfica de/y /'.

Para discusión

70. Usar la gráfica de /' que se muestra en la figura pararesponder lo siguiente, dado que /(O) = —4.

a) Aproximar la pendiente de / en x = 4. Explicar.

tí) ¿Es posible que /(2) = — 1 ? Explicar.

c) ¿Es /(5) - /(4) > O? Explicar.

d) Aproximar el valor de x donde/es máxima. Ex-plicar.

e) Aproximar cualquier intervalo en el que la gráficade / es cóncava hacia arriba y cualquier intervaloen el cual es cóncava hacia abajo. Aproximar lacoordenada x a cualquier punto de inflexión.

/) Aproximar la coordenada x del mínimo deroo. i

g) Dibujar una gráfica aproximada de/.

Movimiento vertical En los ejercicios 71 a 74, utilizara(t) = —32 pies/s2 como la aceleración debida a la gravedad.(Ignorar la resistencia al aire.)

/ f j71. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una

altura de^rjigs. con una velocidad inicial de 60.ples porsegunde*. ¿Qué altura alcanzará la pelota?

Mostrar que la altura a la que llega un objeto lanzado hacia arribadesde un punto s0 pies a una velocidad inicial de v0 por segundoestá dada por la función

f(t) = - 16í2 v f s0.

|p. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba(desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior delmonumento a Washington (cerca de 550 pies)?

74. Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una ve-locidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena enel instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.

a) ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo?"b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo?

/

Movimiento vertical En los ejercicios 75 a 78, emplear a(t) = —9.8m/s2 como aceleración de la gravedad. (Ignorar la resistencia alaire.)

i \.75. Mostrar que la altura sobre el suelo de un objeto que se lanza

hacia arriba desde un punto st) metros sobre el suelo a una veloci-dad inicial de v0 metros por segundo está dada por la función

/(í) = ~ 4.9í2 + v0í + J0.

76. El Gran Cañón tiene una profundidad de 1 800 metros en supunto más profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobreese punto. Escribir la altura de la roca como una función deltiempo í en segundos. ¿Cuánto tardará la roca en llegar al suelodel cañón?

'©.' Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba desde una alturade 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segundo.Determinar su altura máxima.

7y. ¿A qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba(desde una altura de 2 metros) para que alcance una alturamáxima de 200 metros?

79. Gravedad lunar Sobre la Luna, la aceleración de la gravedades de —1.6 m/s2. En la Luna se deja caer una piedra desdeun peñasco y golpea la superficie de esta misma 20 segundosdespués. ¿Desde qué altura cayó? ¿Cuál era su velocidad en elmomento del impacto?

80. Velocidad de escape La velocidad mínima que se requiere paraque un objeto escape de su atracción gravitatoria se obtiene apartir de la solución de la ecuación

v dv = — GM | -^ dy

donde v es la velocidad del objeto lanzado desde la Tierra, yes la distancia desde el centro terrestre, G es la constante de lagravitación y M es la masa de la Tierra. Demostrar que v y yestán relacionados por la ecuación

v2 f v02 +

donde v0 es la velocidad inicial del objeto y R es el radio te-rrestre.

258CAPITULO 4 Integración .^. Mií->.i;vhübijftf--.

Movimiento rectilíneo En los ejercicios 81 a 84, considerar unapartícula que se mueve a lo largo del eje x, donde x(t) es la po-sición de la partícula en el tiempo t, x'(t) su velocidad y x"(t) suaceleración.

81.6t2 + 9t- 2, O < t < 5

a) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula.b) Encontrar los intervalos abiertos de t en los cuales la par-

tícula se mueve hacia la derecha.c) Encontrar la velocidad de la partícula cuando la aceleración

esO.82. Repetir el ejercicio 81 para la función posición ";, " !

x(t) = (t - l)(í - 3)2, O < í. < 5

83. Una partícula se mueve a lo largo del eje x a una velocidad dev(í) = I/Vi, í > 0. En el tiempo t = 1, su posición es x = 4.Encontrar las funciones posición y la aceleración de la partícula.

84. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo deleje x de manera que su aceleración en el tiempo t > O está dadapor a(í) = eos t. En el tiempo t = O, su posición es x = 3.

a) Determinar las funciones velocidad y la posición de lapartícula.

b) Enconfrar los valores de í para los cuales la partícula estáen reposo.

85. Aceleración El fabricante de un automóvil indica en su pu-blicidad que el vehículo tarda 13 segundos en acelerar desde25 kilómetros por hora hasta 80 kilómetros por hora. Suponiendoaceleración constante, calcular lo siguiente. . ¡/ ; '.>• • »'¡ ..,pa) La aceleración en m/s2.b) La distancia que recorre el automóvil durante los 13 segundos.

86. Desaceleración Un automóvil que viaja a 45 millas por horarecorre 132 pies, a desaceleración constante, luego de que seaplican los frenos para detenerlo.

a) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad sereduce a 30 millas por hora?

b) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad sereduce a 15 millas por hora?

c) Dibuj ar la recta de números reales desde O hasta 132 y hacerla gráfica de los puntos que se encontraron en los apartadosa) y b). ¿Qué se puede concluir?

87. Aceleración En el instante en que la luz de un semáforo se poneen verde, un automóvil que ha estado esperando en un cruceroempieza a moverse con una aceleración constante de 6 pies/s2.En el mismo instante, un camión que viaja a una velocidadconstante de 30 pies por segundo rebasa al automóvil.a) ¿A qué distancia del punto de inicio el automóvil rebasará

al camión?b) ¿A qué velocidad circulará el automóvil cuando rebase al

camión?88. Aceleración Suponer que un avión totalmente cargado que

parte desde el reposo tiene una aceleración constante mientrasse mueve por la pista. El avión requiere 0.7 millas de pista yuna velocidad de 160 millas por hora para despegar. ¿Cuál es laaceleración del avión?

89. Separación de aviones Dos aviones están en un patrón deaterrizaje de línea recta y, de acuerdo con las regulaciones de laFAA, debe mantener por lo menos una separación de 3 millas. Elavión A está a 10 millas de su descenso y gradualmente reducesu velocidad desde 150 millas por hora hasta la velocidad de

aterrizaje de 100 millas por hora. El avión B se encuentra a 17millas del descenso y reduce su velocidad de manera gradualdesde 250 millas por hora hasta una velocidad de aterrizaje de115 millas por hora.

a) Asumiendo que la desaceleración de cada avión es cons-tante, determinar las condiciones de la posición s y spara el avión A y el avión B, Dejar que t = O representelos tiempos en los que los aviones están a 10 y 17 millasdel aeropuerto.

b) Utilizar una herramienta de graficación para representarlas funciones de la posición.

c) Encontrar una fórmula para la magnitud de la distancia dentre los dos aviones como una función de t. Utilizar unaherramienta de graficación para representar d. ¿Es d < 3durante algún momento previo al aterrizaje del avión AlSi es así, determinar ese tiempo.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 90 a 95, determinar si elenunciado es falso o verdadero. Si es falso, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

90. Cada antiderivada o primitiva de una función polinomial de ngrados es una función polinomial de grado (n + 1).

91. Si p(x) es una función polinomial, entonces p tiene exactamenteuna antiderivada o primitiva cuya gráfica contiene al origen.

92. Si F(x) y G(x) son antiderivadas o primitivas de f(x), entoncesF(x) = G(x) + C.

93. Si f'(x) = g(x) entonces fg(x) dx = f(x) + C.94. //(x)g(x) dx = ff(x) dx fg(x) dx.

95. La antiderivada o primitiva de/(jc) es única.96. Encontrar una función / tal que la gráfica de ésta tenga una

tangente horizontal en (2, 0) y f'(x) = 2x.— 97. Se muestra la gráfica de /'. Dibujar la gráfica de / dado que /

es continua y /(O) = 1.

2 --

1 --

-98. Sif'(x) = I , / es continua y/(I) = 3, deter-[3x, 2 < x < 5

minar /. ¿Es / diferenciable en x = 2?99. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s'(x) = c(x) y c'W

= —s(x) para todo x. Si s(0) = O y c(0) = 1, demostrar que [s(x)]'+ [c(x)]2 =1. , , , „

Preparación del examen Putnam

100. Suponer que / y g son funciones no constantes, derivable8

y de valores reales en R. Además, suponer que para cadapar de números reales x y y, f(x + y) = f(x)f(y) — g(x)gd>)y g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y). Si /'(O) = O, probar que(f(x))2 + (g(x))2 ~ 1 para todo x. J,f L*'* ~ -i"f. :.,-... .

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competit1011'© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

SECCIÓN 4.2 Área 259

ÁreaEmplear la notación sigma para escribir y calcular una suma.Entender el concepto de área.Aproximar el área de una región plana.Determinar el área de una región plana usando límites.

Notación sigma

En la sección anterior, se estudió la antiderivación. En ésta se considerará en forma adicionalun problema que se presentó en la sección 1.1: el de encontrar el área de una región en elplano. A primera vista, estas dos ideas parecen no relacionarse, aunque se descubrirá en lasección 4.4 que se relacionan de manera estrecha por medio de un teorema muy importanteconocido como el teorema fundamental del cálculo.

Esta sección se inicia introduciendo una notación concisa para sumas. Esta nota-ción recibe el nombre de notación sigma debido a que utiliza la letra griega mayúsculasigma, Z-

NOTACIÓN SIGMA

La suma de n términos a,, a,, a., . . ., a se escribe como1' 2' 3' ' n

n

^a¡ = al + a2 + a3 + • • • + ani=\e / es el índice de suma, a. es el i-ésimo término de la suma y los límites supe-

rior e inferior de la suma son n y I .

•.'!!»:• Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma.Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior

•' es legítimo. •

EJEMPLO I Ejemplos con la notación sigma

a) 2 / = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 61=1

b) Y (i + 1) = 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6i = 0

7

c) 2/2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72

7=3

d) Y -(k2 + 1) = -(I2 + 1) + -(22 +!) + • • • + -(n2 + 1)

e} f(x2) Ax+- • •+ f(xn)

PARA MAYOR INFORMACIÓN ^n ^os aPartados a) y b), obsérvese que la misma suma puede representarse de manerasPara una interpretación geométrica de diferentes utilizando la notación sigma.lacf i J i t' i'as formulas de suma, ver el articulo

n n

' y t = i *= i Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i, jGeometrically" de Eric Hegblom en y k. Nótese en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la sumaMathematics Teacher. desarrollada. >


LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS

El maestro de Cari Friedrich Gauss (1777-1855) pidió a sus alumnos que sumarantodos los enteros desde 1 hasta 100. CuandoGauss regresó con la respuesta correcta muypoco tiempo después, el maestro no pudoevitar mirarle atónito. Lo siguiente fue loque hizo Gauss:

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se deducen de laspropiedades asociativa y conmutativa de la suma y de la propiedad distributiva de la adiciónsobre la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

2.

1 + 2 +- 3 + •• • + 100100 + 99 + 98 + • • • + 1101 + 101 + 101 + • • • + 101100 x 101

— 5 05U

Esto se generaliza por medio del teorema4.2, donde

í$. 100(101)r=l ^

'...)•.

El siguiente teorema lista algunasmostración de este teorema se incluye

' í . >V .1)1 I '

TEOREMA 4.2 FÓRMULAS DE SUMA

n1

^~^ . ..........ye — en

/=i3 ^ ., «(« + l)(2n + 1)

¿/ 6

fórmulas útiles para la suma de potencias. Una de-en el apéndice A.

' í .•..><,:'>',.. , .

EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA

., „ ^ . n(n + 1)

*• ,?/" 2

4 i ., n\n + I)2

Á¿ 4

EJEMPLO 2 Evaluación de una suma !

Hallar ¿^"l Para «= 10, 100, 1 000 y 10 000.

Solución Al aplicar el teorema 4.2, es posible escribir

n

10

100

1000

10000

A i + 1 n +3¿*i n2 ~ 2n

0.65000

0.51500

0.50150

0.50015

.

1 \n(n + 1)

n + 3

Factor constante l/n1 fuera de la suma.

Escribir como dos sumas.*""

Aplicar el teorema 4.2.

Simplificar.

Simplificar.

Después de esto se puede encontrar la suma sustituyendo los valores apropiados de n, cornose muestra en la tabla de la izquierda. »*

En la tabla, las sumas parecen tender a un límite conforme n aumenta. Aunque la dis-cusión de límites en el infinito en la sección 3.5 se aplica a una variable de x, donde x pue'de ser cualquier número real, muchos de los resultados siguen siendo válidos cuando unavariable n se restringe a valores enteros positivos. Así, para encontrar el límite de (n + 3)/2'!cuando n tiende a infinito, se puede escribir

,, n + 3 ( n 3lim — — = hm — + ~ = n->oo 2n n^oo \2«

1 3+ ^ 2 2/1o • 2


Triángulo: A-\bhFigura 4.5

Área

En la geometría euclideana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo. Aunque lagente a menudo afirma que la. fórmula para el área de un rectángulo es A = bh, resulta másapropiado decir que ésta es la definición del área de un rectángulo.

De esta definición, se pueden deducir fórmulas para áreas de muchas otras regionesplanas. Por ejemplo, para determinar el área de un triángulo, se puede formar un rectángulocuya área es dos veces la del triángulo, como se indica en la figura 4.5. Una vez que se sabecómo encontrar el área de un triángulo, se puede determinar el área de cualquier polígonosubdividiéndolo en regiones triangulares, como se ilustra en la figura 4.6.

ParalelogramoFigura 4.6

Hexágono Polígono

E?I

ARQUÍMEDES (287-212 A.C.)

Arquímedes utilizó el método de exhauciónpara deducir fórmulas para las áreas de elip-ses, segmentos parabólicos y sectores de unaespiral. Se le considera como el más grandematemático aplicado de la antigüedad.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Paraun desarrollo alternativo de la fórmu-la para el área de un círculo, ver elartículo "Proof Whitout Words: Área ofa Disk is nK2" de Russell Jay Hendel enMathematics Magazine.

Hallar las áreas de regiones diferentes a las de los polígonos es más difícil. Los antiguosgriegos fueron capaces de determinar fórmulas para las áreas de algunas regiones generales(principalmente aquellas delimitadas por cónicas) mediante el método de exhaución. Ladescripción más clara de este método la hizo Arquímedes. En esencia, el método es unproceso de límite en el que el área se encierra entre dos polígonos (uno inscrito en la regióny otro circunscrito alrededor de la región).

Por ejemplo, en la figura 4.7 el área de una región circular se aproxima mediante unpolígono inscrito de n lados y un polígono circunscrito de n lados. Para cada valor de n elárea del polígono inscrito es menor que el área del círculo, y el área del polígono circuns-crito es mayor que el área del círculo. Además, a medida que n aumenta, las áreas de ambospolígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones al área del círculo.

n = 6 ^/ \¿r n=\2

El método de exhaución para determinar el área de una región circularFigura 4.7

Un proceso similar al que usó Arquímedes para determinar el área de una región planase usa en los ejemplos restantes en esta sección.


El área de una región plana

Recordar de la sección 1.1 que los orígenes del cálculo están relacionados con dos problemasclásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. En el ejemplo 3 se iniciala investigación del problema del área.

EJEMPLO 3 Aproximación del área de una región plana

Emplear los cinco rectángulos de la figura 4.8a) y b) para determinar dos aproximacionesdel área de la región que se encuentra entre la gráfica de

f(x) = -x* + 5

y el eje x entre x = O y x - 2.•

Solución

a) Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son §i, donde i — 1,2,3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es |, y la altura de cada rectángulo se puedeobtener al hallar/en el punto terminal derecho de cada intervalo.

a) El área de una región parabólica esmayor que el área de los rectángulos

b) El área de la región parabólica es menorque el área de los rectángulos

Figura 4.8

Evaluar/en los puntos terminales de la derecha de estos intervalos.

La suma de las áreas de los cinco rectángulos es

Altura Ancho

= 6.48.

Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región parabólica,se concluye que el área de la región parabólica es mayor que 6.48.

b) Los puntos terminales izquierdos de los cinco intervalos son f (i - 1), dondei = 1, 2, 3, 4, 5. La anchura de cada rectángulo es | y la altura de cada uno puedeobtenerse evaluando / en el punto terminal izquierdo de cada intervalo. Por tanto,la suma es .

Altura Ancho

Debido a que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de las cincoregiones rectangulares, es posible concluir (jue el área de la región parabólica esmenor que 8.08.

Combinando los resultados de los apartados a) y b), es posible concluir que

6.48 < (Área de la región) < 8.08.

•flilfe» Al incrementar el número de rectángulos utilizados en el ejemplo 3, se pueden obteneraproximaciones más y más cercanas al área de la región. Por ejemplo, al utilizar 25 rectángulos, cadauno de ancho ^, puede concluirse que

-7.17 < (Área de la región) < 7.49.


La región bajo una curvaFigura 4.9

El intervalo [a, b] se divide en «

subintervalos de ancho Ai =

Figura 4.10

b- a

Sumas superior e inferior

El procedimiento utilizado en el ejemplo 3 puede generalizarse de la manera siguiente.Considerar una región plana limitada en su parte superior por la gráfica de una funcióncontinua no negativa y = f(x), como se muestra en la figura 4.9. La región está limitadaen su parte inferior por el eje x y las fronteras izquierda y derecha por las rectas verticalesx = a y x = b.

Para aproximar el área de la región, se empieza subdividiendo el intervalo [a, b] en«<subintervalos, cada uno de longitud kx = (b — a)/n como se muestra en la figura 4.10.Los puntos terminales de los intervalos son los siguientes.

a + O(Ajt) < a + 1(A*) < a + 2(Ax) <

Como/es continua, el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un valor mínimoy uno máximo de f(x) en cada subintervalo.

/(m.) = valor mínimo de f(x) en el z'-ésimo subintervalo

/(Ai.) = valor máximo de f(x) en el z'-ésimo subintervalo

A continuación, se define un rectángulo inscrito que se encuentra dentro de la z'-ésimasubregión y un rectángulo circunscrito que se extiende fuera de la z'-ésima región. La al-tura del z'-ésimo rectángulo inscrito es /(m.) y la altura del z'-ésimo rectángulo circunscritoes /(M.). Para cada i, el área del rectángulo inscrito es menor que o igual que el área delrectángulo circunscrito.

/Área del rectángulo\\o /

/Área del rectánguloA\o /

La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre de suma inferior, y lasuma de las áreas de los rectángulos circunscritos se conoce como suma superior.

Suma inferior = s(n) =

Suma superior = S(ri) = f(M¡)

Área de rectángulos inscritos.

Área de rectángulos circunscritos.

En la figura 4.11, se puede observar que la suma inferior s(n) es menor o igual que la sumasuperior S(n). Además, el área real de la región se encuentra entre estas dos sumas.

s(n) < (Área de región) < S(n)

y=f(x)

El área de los rectángulosinscritos es menor queel área de la región

Área de la región

3

:

//

S(

V

n)

^

_

«s=

=/

^

W

77

a 1

El área de los rectánguloscircunscritos es mayor que elárea de la región

Figura 4.11


\O 4 Hallar las sumas superior

e inferior de una región

Determinar la suma superior e inferior de la región delimitada por la gráfica de f(x) = x1 yel eje x entre x = O y x = 2.

Solución Para empezar, se divide el intervalo [O, 2] en n subintervalos, cada uno deancho

Rectángulos inscritos

Rectángulos circunscritosFigura 4.12

A* =b- a 2-0 2

n n

La figura 4.12 muestra los puntos terminales de los subintervalos y varios de los rectángulosinscritos y circunscritos. Como / es creciente en el intervalo [O, 2], el valor mínimo en cadasubintervalo ocurre en el punto terminal izquierdo, y el valor máximo ocurre en el puntoterminal derecho.

Puntos terminales izquierdosPuntos terminales derechos

M

\M/ n

Utilizando los puntos terminales izquierdos, la suma inferior es

i ,!>, ...n n i ' j i j 1 ) I /

>n nyi

n

¿=i í=i8_|n(n + l)(2n3

_

-^(2«3 - 3«23«-'

8 _ 4 43 ~ n + 3«2'

Suma inferior.

Empleando los puntos terminales derechos, la suma superior es

¡. .8 |"«(n + l)(26

n + 1)1

J

= Tr(2n3 + 3«2 + n)3n-^

_ 8 4 4" 3 + n + 3«2'Suma superior.


E X P L O R A C I Ó N ?

para la región dada en el ejemplo 4,calcular la suma inferior

= --- + —3 n 3n2

Y ja suma superior

para n = 10 100 y 1 000. Utilizarlos resultados para determinar elárea de la región.

El ejemplo 4 ilustra algunos aspectos importantes acerca de las sumas inferior y su-perior. Primero, advertir que para cualquier valor de n, la suma inferior es menor (o igual)que la suma superior.

/ ' 8 4s(n) = ,--3 n

4-n

Segundo, la diferencia entre estas dos sumas disminuye cuando n aumenta. De hecho, sise toman los límites cuando n — > oo, tanto en la suma superior como en la suma inferior seaproximan a |.

, , 4 4lim s(n) = lim h —

\3 ti 3tl 3

/8 4 4 \lím S(n) = lím ^ + - + -^ = £

n—>oo n—>oo V 3 M 3W / 3

Límite de la suma inferior.

Límite de la suma superior.

El siguiente teorema muestra que la equivalencia de los límites (cuando n —» oo) delas sumas superior e inferior no es una mera coincidencia. Este teorema es válido para todafunción continua no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. La demostración de este teoremaes más adecuada para un curso de cálculo avanzado.

TEOREMA 4.3 LIMITES DE LAS SUMAS SUPERIOR E INFERIOR

Sea / continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Los límites cuando n — » oo de lassumas inferior y superior existen y son iguales entre sí. Esto es

lím s(rí) = lím Y f(m¡) AJn— »oo «— »oo ^J, '

= lím S(n)n— >oo

donde AJC = (¿> — á)/n y / (m.) y /(Ai.) son los valores mínimo y máximo de / en elsubintervalo.

7P / c ,

El ancho del í-ésimo subintervalo esAi = x. ~ xj_í

Figura 4.13

Debido a que se alcanza el mismo límite tanto con el valor mínimo /(m.) como con el valormáximo /(A/.), se sigue a partir del teorema del encaje o del emparedado (teorema 1.8)que la elección de x en el í-ésimo intervalo no afecta al límite. Esto significa que se estáen libertad de elegir cualquier valor de je arbitrario en el í-ésimo subintervalo, como en lasiguiente definición del área de una región en el plano.

DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

Sea / continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región limitada porla gráfica de /, el eje je y las rectas verticales ;c = a y j < ; = ¿>es

n

Área = lím Y/(c¿)A;c, x¡_t < c¡ < x¡n-+°° ¿= i

donde AJC = (6 — á)/n (ver la figura 4.13).


EJEMPLO 5 Hallar el área mediante la definición de límite x

Encontrar el área de la región limitada por la gráfica f(x) = x3, el eje x y las rectas verticalesx = O y x = 1, como se muestra en la figura 4.14.

Solución Se empieza notando que/es continua y no negativa en el intervalo [0,1 ]. Después,se divide el intervalo [0,1] en n subintervalos, cada uno de ancho AJE = 1 /n. De acuerdo conla definición de área, elegir cualquier valor de x en el z'-ésimo subintervalo. En este ejemplo,los puntos terminales derechos c. = i/n resultan adecuados.

(1,1)f(x)=x3

IÁ

(O, 0)Área = lím Y /(c,) AJC = lím Y - I — Puntos terminales derechos: c- = -.

«->°°,év «HKXJ^V.»/ \n) n

El área de la región acotada por la gráficade/, el eje x, x = O y x = 1 es iFigura 4.14

.. 1 \n\n + I)2

= *%,*[—T^

V mm, 1- ^i.vi;, = iím (I + J- + -L * » _ _ I /I -"i-, /I „ '2n 4n2

El área de la región es \.

_ J_

~ 4 ' '•'•

SW í J , I << ,.

EJEMPLO 6 Hallar el área mediante la definición de límite

Determinar el área de la región limitada por la gráfica de /(JE) = 4 — x2, el eje x y las rectasverticales x = 1 y x = 2, como se indica en la figura 4.15.

Solución La función / es continua y no negativa en el intervalo [1, 2], y de tal modo seempieza dividiendo el intervalo en n subintervalos, cada uno de ancho AJC = l/n. Eligiendoel punto terminal derecho

¡ \, = a + ¿AJE = 1 H—

n

de cada subintervalo, se obtiene

Puntos terminales derechos.

í , ,,. - ¡, .. „„•,.•,.-,« . •;ii n ' i j Área = límAJC = lím

= lím

4 - 1 + - -;\1/1- -n) \\n

3 _

El área de la región acotada por la gráfica '• í"! ! I ' i *t 1 M>! *.' ' '/de/, el eje r, x = 1 y i = 2 es iFigura4.15 , ,¡ ,,,, A ,;1 .- , „ < ¡', ¡ , (<il|, , V) ,, ,.,

•j '\ <!' l • I "/ ' 'l ' • 1

-. , • =3-l-5

/ ., , .i i: 5 :\''fLí\ 3' ''"-

= lím 3-E''-l »^»\ní=,i n /=1 n ¡=1

1 + A2n 6n¿

El área de la región es f.


El último ejemplo en esta sección considera una región limitada por el eje y (en vezdel eje x).

EJEMPLO 7 Una región limitada por el eje /

-

Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de /(y) = y2 y el eje y para O < y < 1,como se muestra en la figura 4.16.

Sblución Cuando / es una función continua y no negativa de y, puede seguirse utilizandoel mismo procedimiento básico que se ilustró en los ejemplos 5 y 6. Se empieza dividiendo elintervalo [O, 1] en n subintervalos, cada uno de ancho A;y = 1/n. Después utilizando lospuntos terminales superiores c. = i/n, se obtiene

Área = lím

(0,0)

El área de la región acotada por la gráficade/ el ejej1 para O <y < 1 es 3Figura 4.16

El área de la región es

EjerciciosEn los ejercicios 1 a 6, encontrar la suma. Usar la función de sumade la herramienta de graficación para verificar el resultado.

2.k"5

7 o

6. [ (¿ -1)2 + ( ¿+1 )3 ]

En los ejercicios 7 a 14, utilizar la notación sigma para escribirla suma.

1 15(1) 5(2) 5(3) 5(11)

8.1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 14

U

T V I ' l I J= hm Y - -n—>oo ¿~*. \ / \

l = 1

= lím —T'

Puntos terminales superiores: c¡ = ~.

1 \n(n + l)(2n + 1)= lím -r

n->co n \

= Um +

'

3 2n 6n2

13. [L2 1 + - - +• • •+ 2 1+ —n \\n

14. 1n - 1

En los ejercicios 15 a 22, utilizar las propiedades de la notaciónsigma y el teorema 4.2 para calcular la suma. Utilizar la función desuma de la herramienta de graficación para verificar el resultado.

¡ = i20

¡=i10

10.

11.

12.

_ 21/2\n n\\n

15.

17. 4;

19.

21.

rp" En los ejercicios 23 y 24, usar la función de suma de una herra-mienta de graficación para evaluar la suma. Después emplear laspropiedades de la notación sigma y el teorema 4.2 para verificarla suma.

3016. Y -18¿j.

18.

20.

22-

2023.

¡=i24.


25. Considerar la función/Cx) = 3x + 2.

a) Estimar el área entre la gráfica de/ y el eje x entre x = O yx = 3 usando seis rectángulos y puntos terminales derechos.Dibujar la gráfica y los rectángulos.

b) Repetir el apartado a) usando puntos terminales izquierdos.

26. Considerar la función g(x) = x1 + x — 4.

a) Estimar el área entre la gráfica de g y el eje x entre x = 2 yx =s 4, usando rectángulos y puntos terminales derechos.Bosquejar la gráfica y los rectángulos.

b) Repetir el apartado a) usando puntos terminales izquierdos.

En los ejercicios 27 a 32, usar los puntos terminales izquierdoy derecho y el número de rectángulos dado para encontrar dosaproximaciones del área de la región entre la gráfica de la funcióny el eje x sobre el intervalo dado.

27. f(x) = 2x + 5, [O, 2], 4 rectángulos

28. f(x) = 9 - x, [2, 4], 6 rectángulos

29. g(x) = 2x2 - x - 1, [2, 5], 6 rectángulos

30. g(x) = x2 + 1, [1, 3], 8 rectángulos

[ irl31. f(x) = eos x, O — , 4 rectángulos

32. g(x) = sen x, [O, 77], 6 rectángulos

En los ejercicios 33 a 36, delimitar el área de la región sombreadaaproximando las sumas superior e inferior. Emplear rectángulosde ancho 1.

1234512345

En los ejercicios 37 a 40, encontrar el límite de s(«) cuandon-^ oo.

38. s(n) = —

39.) = 2Í2±¿«2 L 2

40.n(n + 1)

En los ejercicios 41 a 44, utilizar sumas superiores e inferiorespara aproximar el área de la región empleando el número dadode subintervalos (de igual ancho).

41. y = ^/x42. y = Vx + 2

43. y =

En los ejercicios 45 a 48, utilizar las fórmulas de suma con notaciónsigma para reescribir la expresión sin la notación sigma. Emplearel resultado para determinar la suma correspondiente a n = 10,100,1000 y 10 000.

45.46.

48. ¿.I W3 > rfi

l Mi)

En los ejercicios 49 a 54, encontrar una fórmula para la sumade los n términos. Emplear la fórmula para determinar el límitecuando n —> oo. „ i

,, •& 24;49. lím V — n—»co n50.

52. lím Y 1 + " = . J |

53. lím Y (1 + ^-Y-) 54. lím Y (l + ^Y(-"^roié'i\/ "^°° ,A n/ \

55. Razonamiento numérico Considerar un triángulo de área 2delimitado por las gráficas de y = x, y = O y x = 2.

a) Dibujar la región.

¿>) Dividir el intervalo [0,2] en n subintervalos de igual anchoy demostrar que los puntos terminales son

O < 1 - <W

c) Demostrar que s(n\ ¿l\(i

Demostrar que S(«) =

2\l/2

2\l/2


e) Completar la tabla.n

»0>)S(n)

5 10 50 100

fi Demostrar que lím s(n) = lím S(n) = 2.J> íl^OO N^OO

Razonamiento numérico Considerar un trapezoide de área 4delimitado por las gráficas dey = x, y = O, x = 1 y * = 3.

a) Dibujar la región.b) Dividir el intervalo [ 1, 3] en n subintervalos de igual ancho

y demostrar que los puntos terminales son

Í2\ < 1 + 1 - < • • • . • < l + (n- 1) - < 1 +n - .\n) \nl \n)

c) Demostrar que s(n) = JT 1 + (¡' - !)(-] (•-).

d) Demostrar que S(n) = JT 1 + ii-j (-).

e) Completar la tabla.n

«(«)

s(«)

5 10 50 100

f) Demostrar que lím s(n) = lím S(n) = 4.

En los ejercicios 57 a 66, utilizar el proceso de límite para encontrareí área de la región entre la gráfica de la función y el eje x sobreel intervalo indicado. Dibujar la región.

57. y= -4x + 5, [0,1]

59. y = x2 + 2, [O, 1]

61. y = 25 - x2, [1,4]

63. y = 27 - x3, [1,3]

65. v = x2 - x3, [- 1, 1]

58. y = 3x - 2, [2, 5]

60. y = x2 + 1, [0,3]

= 4 - x2, [-2,2]

-*3, [0,1]

• = x2+], [0,3]

62. y = 4

64. y =

66. y '•-x\]

En los ejercicios 67 a 72, emplear el proceso de límite para deter-minar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje ysobre el intervalo y indicado. Dibujar la región.

67. f ( y ) = 4y, O < y < 2 68. g(y) = ¿y, 2 < y < 4

69- f ( y ) = y2, O < y < 5 70. f ( y ) = 4y - y2, 1 < y < 2

71. g(y) = 4y2 - -y3; 1 < y < 3 72. /!(>•) = y3 + 1, 1 < y < 2

En los ejercicios 73 a 76, utilizar la regla del punto medio

con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por lagráfica de la función y el eje x sobre el intervalo dado.

73- f(x) = x2 + 3, [O, 2] 74. f ( x ) = x2 + 4x, [O, 4]

76. f ( x ) = sen *, | O,

rp Programación Escribir un programa para una herramienta degraficación con el fin de aproximar áreas utilizando la regla delpunto medio. Suponer que la función es positiva sobre el intervalodado y que los subintervalos son de igual ancho. En los ejercicios77 a 80, emplear el programa para aproximar el área de la regiónentre la gráfica de la función y el eje x sobre el intervalo indicado,y completar la tabla.

n

Área aproximada

4 8 12 16 20

77. /(*) = , [0, 4]070 f/v\ r^ <c

78- /w r2 , r U'c ]

79. / W = t a n ^ l [1,3]V o /

80. f ( x ) = eos V*, [O, 2]

Desarrollo de conceptos

Aproximación En los ejercicios 81 y 82, determinar cuál es elmejor valor que aproxima el área de la región entre el eje x yla gráfica de la función sobre el intervalo indicado. (Realizarla elección con base en un dibujo de la región y no efectuandocálculos.)

81. /(*) = 4 - x2, [O, 2]

a) -2 b) 6 c) 10

82. f(x) = sen

a) 3

4 '

b) 1

[0,4]

c) -

d) 3 e)

e) 6d)

83. Con sus propias palabras y utilizando las figuras adecuadas,describa los métodos de las sumas superior e inferior en laaproximación del área de una región.

84. Proporcionar la definición del área de una región en el plano.

85. Razonamiento gráfico Considerar la región delimitada por la

, x = 0,x = 4yy = 0, como se muestragráfica de f(x) = -en la figura.

a) Redibujar la figura y trazar ysombrear los rectángulos querepresentan a la suma inferiorcuando n = 4. Encontrar estasuma inferior.

b) Redibujar la figura y trazar ysombrear los rectángulos querepresentan la suma superiorcuando n = 4. Determinar estasuma superior.

c) Redibujar la figura y trazar y sombrear los rectángulos cuyasalturas se determinan mediante los valores funcionales en elpunto medio de cada subintervalo cuando n = 4. Determinaresta suma utilizando la regla del punto medio.

3 4


d) Verificar las siguientes fórmulas al aproximar el área de la:•;» ai región utilizando n subintervalos de igual ancho. ' '>> ',,f)l!ir" * r 4-1/4\!tíohi- Suma inferior: s(n) = Y/ (¡ — 1)- I-

¡= i L WJ V".n

Suma superior: S(n) = V

90.

Regla del punto medio: M(n) =

rp e) Utilizar una herramienta de graficación y las fórmulas delapartado d) para completar la tabla.

n

«(»)

S(n)

M(n)

4820100200

f) Explicar por qué s(n) aumenta y S(n) disminuye para va-lores recientes de n, como se muestra en la tabla en elapartado e).

Para discusión

86. Considerar una función f(x) que se incrementa en el inter-valo [1, 4]. El intervalo [1,4] está dividido en 12 subin-tervalos.

a) ¿Cuáles son los puntos terminales izquierdos del primery último subintervalos?

b) ¿Cuáles son los puntos terminales derechos de losprimeros dos subintervalos?

c) ¿Cuándo se usan los puntos terminales derechos, setrazan los rectángulos arriba o abajo de las gráficas def(x)l Usar una gráfica para explicar su respuesta.

d) ¿Qué se puede concluir acerca de las alturas de losrectángulos si una función es constante en el intervalodado?

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 87 y 88, determinar si elenunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

87. La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + 1 )/2.

88. Si/es continua y no negativa en [a, b], entonces los límitescuando n —» oo de su suma inferior s(rí) y de su suma superiorS(ri) existen ambos y son iguales.

89. Comentario Utilizar la figura para escribir un pequeño párrafo don-de se explique por qué la fórmula 1 + 2 + • • • + n = |n (n + 1)es válida para todos los enteros positivos n.

91.

Razonamiento gráfico Considerar un polígono regular de nlados inscrito en un círculo de radio r. Unir los vértices del po-lígono al centro del círculo, formando n triángulos congruentes(ver la figura).

a) Determinar el ángulo central d en términos de n.tí) Demostrar que el área de cada triángulo es ir2 sen 9.c) Sea An la suma de las áreas de los n triángulos. Hallar

lím An.n—>oo

Modelado matemático La tabla lista las mediciones de unterreno delimitado por un río y dos caminos rectos que se unenen ángulo recto, donde x y y se miden en pies (ver la figura).

X

y

0

450

50

362

100

305

150

268

200

245

250

156

300

0

a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta degraficación para encontrar un modelo de la forma y = ax'+ bx2 + cx + d.

b) Emplear una herramienta de graficación para dibujar losdatos y representar el modelo.

c) Recurrir al modelo del apartado d) para estimar el área delterreno.

^Camino

Camino

50 100 150 200 250 300

Figura para 91

nes par

Figura para 92

92.

93.

Bloques de construcción Un niño coloca n bloques cúbicosde construcción en una hilera para formar la base de un diseñotriangular (ver la figura). Cada hilera sucesiva contiene dos blo-ques menos que la hilera precedente. Encontrar una fórmula parael número de bloques utilizados en el diseño. (Sugerencia: Elnúmero de bloques constitutivos en el diseño depende de si nes par o impar.)Demostrar cada fórmula mediante inducción matemática. (Quizase necesite revisar el método de prueba por inducción en un textode precálculo.)

«) ¿2, = «(„+!)b)

Figura para 89Figura para 90


94. Un dardo, lanzado al azar, incide sobre un blanco cuadrado.Suponiendo que cualesquiera de las dos partes del blanco deigual área son igualmente probables de ser golpeadas por eldardo, encontrar' la probabilidad de que el punto de incidenciasea más cercano al centro que a cualquier borde. Escribir larespuesta en la forma (a Vb + c)/d, donde a,b,cyd sonenteros positivos.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathemalical Associalion ofAmerica. Todos los derechos reservados.

SECCIÓN 4.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 271

Sumas de Riemann e integrales definidas* Entender la definición de una suma de Riemann.* Hallar una integral definida utilizando límites.* Calcular una integral definida utilizando las propiedades de las integrales

definidas.

!/-gn I

1 22

Los subintervalos no tienen anchos igualesFigura 4.17

Sumas de Riemann

En la definición de área dada en la sección 4.2, las particiones tenían subintervalos de igualancho. Esto se hizo sólo por conveniencia de cálculo. El siguiente ejemplo muestra que noes necesario tener subintervalos de igual ancho.

EJEMPLO I Una partición con subintervalos de anchos desiguales

Considerar la región acotada por la gráfica de f(x) = fx y el eje x para O < x < 1, como semuestra en la figura 4.17. Hallar el límite

donde c¡ es el punto terminal derecho de la partición dada por c¡ = i2/n2 y A*, es el anchodel /-ésimo intervalo.

Solución El ancho del ¿-ésimo intervalo está dado por

~ 2

= i2 - i2 + 2i - 1n2

_ 2i - 1- ~^~'

De tal modo, el límite es

(1,1)

n n ' I ¡2 /2i —lím y,/(c,)A.r. = lím Y ~/^" ?,_»„, ZJ.-' V (/ ' n-^nn A X/ W 2 \2

= lím —^ Y (2;2 - i)«^oo MJ

.. 1 [Jn(n + l)(2n= ^K—r~= lím

íl—>00

= 2~ 3'

3n2 - n

6«3

.

n(n + 1)

De acuerdo con el ejemplo 7 de la sección 4.2, se sabe que la región mostrada en lafigura 4.18 tiene un área de J. Debido a que el cuadrado acotado por 0 < x < l y O < j < ltiene un área de 1, puede concluirse que el área de la región que se muestra en la figura 4.17tiene un área de f. Esto concuerda con el límite que se encontró en el ejemplo 1, aun cuandoen ese ejemplo se utilizó una partición con subintervalos de anchos desiguales. La razón

El área de la región acotada por la gráfica Por 1a 1ue esta partición particular da el área apropiada es que cuando n crece, el ancho delde x = y2 y el eje y para O < y < 1 es J subintervalo más grande tiende a cero. Ésta es la característica clave del desarrollo de lasFigura 4.18 integrales definidas.


o ',cH . JHB^^^H

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN(1826-1866)

Riemann, matemático alemán, realizósu trabajo más notable en las áreas degeometría no euclidiana, ecuacionesdiferenciales y la teoría de los números.Fueron los resultados de Riemann en físicay matemáticas los que conformaron laestructura en la que se basa la teoría de larelatividad general de Einstein.

En la sección precedente, el límite de una suma se utilizó para definir el área de unaregión en el plano. La determinación del área por este medio es sólo una de las muchasaplicaciones que involucran el límite de una suma. Un enfoque similar puede utilizarse paradeterminar cantidades tan diversas como longitudes de arco, valores medios, centroides,volúmenes, trabajo y áreas de superficies. La siguiente definición honra el nombre de GeorgFriedrich Bernhard Riemann. Aunque la integral definida se había utilizado ya con anterio-ridad, fue Riemann quien generalizó el concepto para cubrir una categoría más amplia defunciones.

En la definición siguiente de una suma de Riemann, notar que la función / no tiene otrarestricción que haber sido definida en el intervalo [a, b]. (En la sección precedente, la función/ se supuso continua y no negativa debido a que se trabajó con un área bajo una curva.)

DEFINICIÓN DE UNA SUMA DE RIEMANN

Sea / definida en el intervalo cerrado [a, b], y sea A una partición de [a, b] dada por

a = xn < x, < XT < •< xn _, < xn = b

donde Ax¡ es el ancho del /-ésimo subintervalo. Si c, es cualquier punto en el /-ésimosubintervalo [x¡_,, x¡] entonces la suma

.oyivictííiíiüxriM;*"' i'•/!.,> ..• , • . < n

'-1 •'•,,,-

se denomina una suma de Riemann de / para la partición A.

•i'inr:» Las sumas vistas en la sección 4.2 son ejemplos de las sumas de Riemann, pero hay sumasde Riemann más grandes que las que se mostraron ahí. •

El ancho del subintervalo más grande de la partición A es la norma de la partición yse denota por medio de || A||. Si todos los intervalos tienen la misma anchura, la partición esregular y la norma se denota mediante

•

||A|| = A* =b- aPartición ordinaria.

En una partición general, la norma se relaciona con el número de subintervalos en [a, b] dela siguiente manera.

b -< nPartición general.

2"

n — > oo no implica que |Figura 4.19

De tal modo, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la normade la partición tiende a cero. Esto es ||A|| —> O implica que n —> oo.

La afirmación recíproca de este enunciado no es cierta. Por ejemplo, sea An la particióndel intervalo [O, 1] dado por

O1

~~~ <

11 1

<8<41.

Como se muestra en la figura 4.19, para cualquier valor positivo de n, la norma de la p&r'lición A,, es \. De tal modo, como al dejar que n tienda a infinito no obliga a que ||A|| seaproxime a 0. En una partición regular, sin embargo, los enunciados ||A|| —» O y n -^son equivalentes.


Integrales definidas

Para definir la integral definida, considerar el siguiente límite.

Afirmar que este límite existe, significa que hay un número real L, tal que para cada e > Oexiste una 5> O tal que para toda partición de ||A|| < S se sigue que

a pesar de cualquier elección de c¡ en el /-ésimo subintervalo de cada partición de A.

PARA MAYOR INFORMACIÓNPara obtener más información acerca dela historia de la integral definida, ver elartículo "The Evolution of Integration",de A. Shenitzer y J. Steprans en TheAmerican Mathematical Monthly.

DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA

Si / se define en el intervalo cerrado [a, b] y el límite de las sumas de Riemann sobrelas particiones A

Hin JT /(c,.) AJC,.

existe (como se describió antes), entonces / es integrable en [a, b] y el límite sedenota por

lím Y f(c¡) Ax¡ = f(x) dx.w-*> ,ér I

El límite recibe el nombre de integral definida de / de a a b. El número a es el límiteinferior de integración, y el número b es el límite superior de integración.

No es coincidencia que la notación para las integrales definidas sea similar a la que seutilizó para las integrales indefinidas. Se verá la razón en la siguiente sección cuando se in-troduzca el teorema fundamental del cálculo. Por ahora es importante observar que lasintegrales definidas y las integrales indefinidas son identidades diferentes. Una integraldefinida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia defunciones.

A pesar de que las sumas de Riemann estaban definidas por funciones con muy pocasrestricciones, una condición suficiente para que una función / sea integrable en [a, b] es que seacontinua en [a, b]. Una demostración de este teorema está más allá del objetivo de este texto.

• : , : ; : : Posteriormenteen este capítulo, el lector aprenderámétodos convenientes para calcularL f ( x ) dx para funciones continuas.Por ahora, se debe usar la definición delímite.

TEOREMA 4.4 LA CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD

Si una función / es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces / es integrableen [a, b]. Es decir, faf(x) dx existe. >>

E X P L O R A C I Ó N • .5 " £8 3fsf|?

Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, siuna función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y pro-porcionar ejemplos.

Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuáles la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otrascondiciones?


Evaluación de una integral definida como límite

/-iHallar la integral definida 2x dx.

J-2

Solución La función f(x) = 2x es integrable en el intervalo [ — 2, 1] porque es continuaen [ — 2, 1]. Además, la definición de integrabilidad implica que cualquier partición cuyanorma tienda a O puede utilizarse para determinar el límite. Por conveniencia computacional,definir A, subdividiendo [-2, 1] en n subintervalos de la misma anchura.

AJC; = A* =b- a 3

7

/(

7

X)

J_

J2x

7

2 -

1 _

J'

_o

-3-

1

_ " Eligiendo c¡ como el punto terminal derecho de

7 ••;';.••;• c; = a + ¿(A*) = -2 + -. , , u-

/ De este modo, la integral definida está dada por

, f1 n

ÍH¡L""t' ,"1 '•"' 'A J_2 IlAHO ,i ' " ' '

„ '• í.jí.¡irvfi

í = i? n / « . \ ~ \ ^ ^^ ^/ •-% i/i

~ «^SL ¿tí V n JU/í ,1 ' .ilshíll •>:- 6 í 0 3z\: •

i,»,,, u, ,11,. . =«1™>^Í1Í~2 + 7J ¡«

lím 6 ^ "» 1 3 íw(n + 1}1 lím ZH in^c» n n L 2 I

Como la integral definida es negativa, norepresenta el área de la regiónFigura 4.20

= lím - 12 + 9 + - n—>oo

= -3.

Debido a que la integral definida en el ejemplo 2 es negativa, ésta no representa el áreade la región que se muestra en la figura 4.20. Las integrales definidas pueden ser positivas,negativas o cero. Para que una integral definida sea interpretada como un área (como se definióen la sección 4.2), la función / debe ser continua y no negativa en [a, b], como se estableceen el siguiente teorema. La demostración de este teorema es directa: utilizar simplementela definición de área dada en la sección 4.2, porque es una suma de Riemann.

Se puede usar una integral definida paradeterminar el área de la región acotada porla gráfica de/, el eje x, x = a y x = bFigura 4.21

TEOREMA 4.5 LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

Si / es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área de laregión acotada por la gráfica de /, del eje x y las rectas verticales x = a y x = b estádada por

Área = f(x) dx.

(Ver la figura 4.21.)


Área = 1 (4* - x2) dxJo

Figura 4.22

Como un ejemplo del teorema 4.5, considerar la región delimitada por la gráfica de

f(x) = 4x- x2

y el eje x, como se muestra en la figura 4.22. Debido a que / es continua y no negativa enel intervalo cerrado [O, 4], el área de la región es

f4Área = (4x - x2) dx

Jo

Una técnica directa para hallar una integral definida como ésta se analizará en la sección4.4. Por ahora se puede calcular una integral definida de dos maneras: usando la defini-ción en términos de límites o verificando si la integral definida representa el área de unaregión geométrica común, tal como un rectángulo, triángulo o semicírculo.

EJEMPLO 3 Áreas de figuras geométricas comunes

Dibujar la región correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integralutilizando una fórmula geométrica.

fl)f3 fI 4dx b) \ Job) I (x + 2) dx

oc) /4 - x2 dx

-2

¡UltP La variable de integración enuna integral definida algunas veces sedenomina como variable muda porquepuede ser sustituida por cualquierotra variable sin cambiar el valor dela integral. Por ejemplo, las integralesdefinidas

f (x + 2) dx

(t + 2) dt

Solución Un dibujo de cada región se muestra en la figura 4.23.

a) Esta región es un rectángulo de 4 de alto por 2 de ancho.

4 dx = (Área del rectángulo) = 4(2) = 8

b) Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5.La fórmula para el área de un trapezoide es i h(bl + b2~).

1 21(x + 2) dx = (Área del trapezoide) = -(3)(2 + 5) = y

c) Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula para el área de un semicírculo es- j2

1/4 - x2 dx = (Área del semicírculo) = --n-(22) = 2-77

f(x) = 4 f(x)=x + 2

1 /(*)= V4-*2

1 2 3 4 1 2 3 4 5

tienen el mismo valor.«)Figura 4.23

b)


Propiedades de las integrales definidas

La definición de la integral definida de / en el intervalo [a, b] especifica que a < b. Ahora,es conveniente, sin embargo, extender la definición para cubrir casos en los cuales a = ¿ 0

a > b. Geométricamente, las siguientes dos definiciones parecen razonables. Por ejemplo,tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y altura finita igual a 0.

DEFINICIONES DE DOS INTEGRALES DEFINIDAS ESPECIALES

1. Si/está definida en x = a, entonces se define I f(x) dx = 0.

ra rb

2. Si /es integrable en [a, b], entonces se define f(x)dx=-\Jb Ja

f/W dx

f/W dx + f/« dxJa Jc

Figura 4.24

EJEMPLO 4 Cálculo de integrales definidas

a) Debido a que la función seno se define en x = 77, y los límites superior e inferior deintegración son iguales, puede decirse que

fJTT

ssnx dx = 0.

b) La integral f°(x + 2) dx es la misma que la dada en el ejemplo 3¿> excepto por el hechode que los límites superior e inferior se intercambian. Debido a que la integral en elejemplo 3b tiene un valor de T\e escribirse

.filAH' 'Wk i

2)í¿c= - I (x + 2)dx = -y.

En la figura 4.24, la región más grande puede dividirse en x = c en dos subregionescuya intersección es un segmento de recta. Como el segmento de recta tiene área cero, seconcluye que el área de la región más grande es igual a la suma de las áreas de las dosregiones más pequeñas.

TEOREMA 4.6 PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS

Si / es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a, b y c, entonces

rb re r,f(x) dx = f(x) dx +

Ja Ja Jc

EJEMPLOS Empleo de la propiedad aditiva de intervalos

r1 , , r° r \ \X\x = I —xdx+\xdx Teorema4.6./-i J-l Jo

= 2 + 2Área del triángulo.


Debido a que la integral definida se describe como el límite de una suma, hereda laspropiedades de la suma dadas en la parte superior de la página 260.

TEOREMA 4.7 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

Si / y g son integrables en [a, b] y k es una constante, entonces las funciones kf y/ ± g son integrables en [a, b], y

rb rí. kf(x) dx = k\ Jakf(x) dx = k\ dx

2. [/(*) + g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx.

Observar que la propiedad 2 del teorema 4.7 puede extenderse a cualquier número finito defunciones. Por ejemplo,

b rb rb rb

[/(*) + g(x) + h(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx + h(x) dx.

EJEMPLO 6 Evaluación de una integral definida

Evaluar I (—x 2 + 4x — 3) dx utilizando los siguientes valores,/i

3 26 r3x2 dx = —, I x dx = 4,

•3 Jidx = 2

Solución

p r*f(x) dx < g(x) dx

Ja Ja

Figura 4.25

3 n r3(-x2 + 4x - 3) dx = (-x2)dx + \ \) dx

r r3 r3= - x2dx + 4 xdx - 3 dx

J\

4(4) - 3(2)

4

3

Si/y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y

O < f(x) < g(x)

•

x para a < x < b, las siguientes propiedades son ciertas. Primero, el área de la región acotadapor la gráfica de/y el eje x (entre a y ¿>) debe ser no negativa. Segundo, esta área debe sermenor o igual que el área de la región delimitada por la gráfica de g y el eje x (entre a y b),como se muestra en la figura 4.25. Estos dos resultados se generalizan en el teorema 4.8.(Una demostración de este teorema se presenta en el apéndice A.)


.TEOREMA 4.8 CONSERVACIÓN DE DESIGUALDADES

1. Si / es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces

fbO < f(x) dx.

2. Si / y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b} y f(x) < g(x) para x en[a, b], entonces

•rb r

f(x)dx<Ja Ja

f(x) dx < g(x) dx.

Ejercicios

En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que pro-evaluar el límite duce el área de la región. (No evaluar la integral.)

13. /(*) = 5 lím c,*i n->oo ¿^j

sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. f

1. f(x) = Vx, y = O, x = O, x = 3

(Sugerencia: Sea c¡ = 3i2/n2.)

2. /W = Jx, y = Q, x = 0, x=l

(Sugerencia: Sea c¡ = i3/n3.)

En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante ladefinición de límite.

14. f(x) = 6-

.

345

'•I* /:r2 7. (x2 + 1) dx

<• £15. f(x) = 4 ~ x

12345

x3dx6.

8.

.xcfcc

4x2dx

(2x2 + 3)

En los ejercicios 9 a 12, escribir el límite como una integral de-finida en el intervalo [a, b], donde c¡ es cualquier punto en eli-ésimo subintervalo.

2 4

Límite

9. lím V (3c, + 10) Ar-IIAU-X) ¿Sí

10. lím y 6c,(4 - c,.)2Ajc,

11. lím4Ax.

12. lím V — Az,* 2'

Intervalo

[-1,5]

[0,4]

[0,3]

D,3]

17. /(*) = 25 - x218. /(je) = -

rt-6-4-2 246


19- /(•>

i

21- #0y

4.-

3--

2 - -

I-->

-) = eos x 20. /(*) = tan x

y yt

i

TI n n n .4 2 I 4 2

¿

) = y 3 22. /(y) = ( y - 2 ) 2

y

43 +

^— -,! : 1 -. v 1 í ' ^T-"- J ^. -v-

2 4 6 8 1 2 3 4

En los ejercicios 23 a 32, dibujar la región cuya área está dadapor la integral definida. Luego, usar una fórmula geométrica paraevaluar la integral (a > 0, r > 0).

r3 P23. 4dx 24. 1 4dx

JO J-a

r4 r425. xdx 26. ^dx

Jo Jo 2

r2 r627. (3* + 4) dx 28. (6 - x) dx

JO JO L

29. f (1 - \\)dx 30. I" (a- \x\) dxJ- J-a

f7 r31. ; 749 - x2 dx 32. Vr2 - x2 dx

J-7 J-r

En los ejercicios 33 a 40, evaluar la integral utilizando los siguien-tes valores.

í*4 r4 r4

\3 dx = 60, \ dx = 6, \x = 2h h h L

f2 r233. .xdx 34. x3dxJ4 J2

[4 p

35. %xdx 36. 25 dxh h

r r437. (x - 9) dx 38. (js + 4) ¿KJz J2

r4 r439. (5*3 - 3x + 2) d* 40. (10 + 4x - 3x3) dx

h h

41. Dadas \ f(x) dx = 10 y P/M dr = 3, hallar

p pa) /Mdx. fe) /(jc)dx.

Jo Js

r5 ; r5c) /Wdx. d) 3f(x)dx,Js Jo

12. Dadas 1 f(x)dx = 4 y 1 f ( x ) d x = — 1, hallar

r6 ' r3a) /(x)dx. fe) /Wdx.

Jo Jóp pc) /Wdx. d) -5/Wdr.

Js Js

t3. Dadas J6f(x)dx = 10 y J6g(x)dx = -2, hallar

p pa) [/(*) + gW]dx. b) [g(x)-f(x)]dx.

h hp p

c) 2gW¿r. d) 3/(jc)dx.h h

t4. Dadas f f(x) dx = 0 y P /(•*)<& = 5, hallarJ-l ' JO

p p pa) /(*) dx. b) f(x) dx - f(x) dx.

J-i Jo J-i

c) f 3f(x)dx. d) í 3/Wdx.J-i Jo

15. Utilizar la tabla de valores para determinar las estimaciones

inferiores y superiores de 1 f(x) dx. Suponer que / es unafunción decreciente. °

x 0 2 4 6 8 10

/(*) 32 24 12 -4 -20 -36

16. Utilizar la tabla de valores para estimar j f(x) dx. Utilizar tresJo

subintervalos iguales y a) los puntos terminales izquierdos, b) lospuntos terminales derechos y c) los puntos medios. Si/es unafunción creciente, ¿cómo se compara cada estimación con elvalor real? Explicar el razonamiento.

x 0 1 2 3 4 5 6

/(*) - 6 0 8 18 30 50 80

•7. Para pensar La gráfica de / está compuesta por segmentos derecta y un semicírculo, como se muestra en la figura. Evaluarcada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

y(4,2)

9 A

-4^^^^ - 1 1 / 3 4 5 6

(-4.-1) \___^X

;

/«2 -£• -9

a) f(x) dx b) f(x) ¿x c) f(x) dxJo h J-4

p p pd) /(*)dx e) \f(x)\dx f) [/(*) + 2] dx

J-4 J-4 J-4


48. Para pensar La gráfica de / consta de segmentos de recta,como se muestra en la figura. Evaluar cada integral definidautilizando fórmulas geométricas.


49. Para pensar Considerar la función / que es continua en elintervalo [—5, 5] y para la cual

f(x) dx = 4.

Evaluar cada integral.

f5a) [/(*) + 2] dxb)f(x + 2) dx

c) f(x)dx (/es par) d) I f(x)dx (fes impar)J-5 J-5

50. Para pensar Una función / se define como se indica a conti-nuación. Usar fórmulas geométricas para encontrar Jo /W dx.

Í4, x < 4

En los ejercicios 53 y 54, utilizar la figura para llenar los espa-cios con el símbolo <, > o =.

123456

53. El intervalo [ 1,5] se divide en n subintervalos de igual anchoAx, y x¡ es el punto terminal izquierdo del ¿-ésimo subinter-valo.

f(x)dx

54. El intervalo [ 1, 5] se divide en n subintervalos de igual anchoAx, y x¡ es el punto terminal derecho del ¿-ésimo subinter-valo.

•i .i* -" vt> íirvwíHi •

f(x) dx

55. Determinar si la función f(x) = es integrable en elintervalo [3, 5]. Explicar. x

56. Proporcionar un ejemplo de una función que sea integrableen el intervalo [— 1, 1], pero no continua en [-1, 1].

/(*).=x, x > 4

51. Para pensar Abajo se define una función/. Usar fórmulasgeométricas para encontrar J0 f(x) dx.

6, x > 6

En los ejercicios 57 a 60, determinar cuáles valores se aproximanmejor a la integral definida. Realizar la selección con base en undibujo.

57.

a) 5 b) -3 c) 10 d) 2 e)

Para discusión

52. Encontrar posibles valores de a y b que hagan el enuncia-do correcto. Si es posible, usar una gráfica para sustentarsu respuesta. (Aquí puede haber más de una respuestacorrecta.)

f1 f5 Pa) \ f(x)dx = f(x)dx

J-2 Jl Ja

r r r* r6 b) f(x)dx+ f(x)dx- f(x)dx= f(x)dxJ-3 h Ja J-l

r c) senxdx < O

d)eos x dx = O

58. 4 eos TTX dx

a) 4 b) f c) 16 d) 2-rr e) -6

59. 2 sen TTX dx

a) 6 b) \ 4 d) ¡

60. 1 + Jx )dx

a) -3 b) 9 c) 21 d) 3


pr0gramación Escribir un programaren la herramienta de gra-ción con el fin de aproximar una integral definida utilizando

la suma de Riemann

¿onde los subintervalos sean de igual ancho. La salida debe pro-porcionar tres aproximaciones de la integral donde c¡ es el puntoterminal del lado izquierdo I(n), el punto medio M(n) y el pun-to terminal del lado derecho D(n) de cada subintervalo. En losejercicios 61 a 64, usar el programa para aproximar la integraldefinida y completar la tabla.

n

/(»)

M(n)

£)(«)

4 8 12 16 20

r3 /61. x 73 - x dx 62.

Jo JrV2 /

63. sen2jc¿c 64.

'3 5

o - 2 + l ^•3

x sen * útt

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 65 a 70, determinar si elenunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

65.

66.

g(x)] dx = f(x) dxr* r

f(x)dx +Ja Ja

(x) dx

f(x)g(x) dx=\\ dxr i

g(x)dx\ J

67. Si la norma de una partición tiende a cero, entonces el númerode subintervalos tiende a infinito.

68. Si/es creciente en [a, b], entonces el valor mínimo de f(x) en[a, b] es /(a).

69. El valor de / f(x) dx debe ser positivo.

70. El valor de f 2 sen (x2) dx es cero.

71. Encontrar la suma de Riemann para f(x) = x2 + 3x en el inter-valo [O, 8], dondexa = O, xt = 1, x2 = 3, x3 = 1 y x4 = 8, y dondec, = I,c2 = 2,c3 = 5 y c4= 8.

io

72. Determinar la suma de Riemann para f(x) = sen x sobre elintervalo [O, 2-77], donde x0 = O, x{ = 77/4, *2 = T/3, z3 = ir yJÍ4 = 277, y donde C[ = 77/6, c2 = 77/3, c, = 277/3 y c4 = 377/2.

f *73. Demostrar que J xdx =

74. Demostrar que I x2 dx =

b2 - a2

b3 -a3

3 '

75. Para pensar Determinar si la función de Dirichlet

, , _ J l , x es racional[O, x es irracional

es integrable en el intervalo [O, 1]. Explicar.

75. Suponer que la función / se define en [O, 1], como se muestraen la figura.

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Demostrar que fof(x) dx no existe. ¿Por qué lo anterior nocontradice al teorema 4.4?

77. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor de

f (1 - x2) dx.

Explicar el razonamiento.

78. Evaluar, si es posible, la integral I [je] dx.Jo

79. Determinar

lím [l2 + 22 + 32 + + n2]

utilizando una suma de Riemann apropiada.


80. Para cada función continua /: [0, !]—>/?, sean /(/) =Jo x2f(x) dx y J(X) = J0' x(f(x)Y dx. Encontrar el valormáximo de /(/) — /(/) sobre todas las funciones/.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competidor!.© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Figura para 71 Figura para 72


El teorema fundamental del cálculo

EXPLORACIÓN ií i":....

Integración y antiderivaciónA lo largo de este capítulo, se haestado utilizando el signo de integralpara denotar una antiderivada oprimitiva (una familia de funciones)y una integral definida (un número).

fAntiderivación: I f(x) dx

Integración definida: I f(x) dxJa

El uso de este mismo símbolo paraambas operaciones hace parecerque estarán relacionadas. En losprimeros trabajos con cálculo, sinembargo, no se sabía que las dosoperaciones estaban relacionadas.¿A qué se aplicó primero el símbolo

¡ J: a la antiderivación o ala integración definida? Explicarel razonamiento. (Sugerencia: Elsímbolo fue utilizado primero porLeibniz y proviene de la letra S.)

Evaluar una integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo.Entender y utilizar el teorema del valor medio para integrales.Encontrar el valor medio de una función sobre un intervalo cerrado.Entender y utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.Entender y utilizar el teorema del cambio neto.•

El teorema fundamental del cálculo

Se han visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial (presentadocon el problema de la recta tangente) y el cálculo integral (presentado con el problemadel área). En este punto, podría parecer que estos dos problemas no se relacionan, aunquetienen una conexión muy estrecha. La conexión fue descubierta independientemente porIsaac Newton y Gottfried Leibniz y está enunciada en un teorema que recibe el nombre deteorema fundamental del cálculo.

De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida)son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.Para saber cómo Newton y Leibniz habrían pronosticado esta relación, considerar lasaproximaciones que se muestran en la figura 4.26. La pendiente de la recta tangente sedefinió utilizando el cociente Ay/Ajc (la pendiente de la recta secante). De manera similar,el área de la región bajo una curva se definió utilizando el producto A^Ajc (el área de unrectángulo). De tal modo, al menos en una etapa de aproximación primitiva, las operacionesde derivación y de integración definida parecen tener una relación inversa en el mismosentido en el que son operaciones inversas la división y la multiplicación. El teorema fun-damental del cálculo establece que los procesos de límite (utilizados para definir la deriva-da y la integral definida) preservan esta relación inversa.

Área de]/rectángulo

A y AyPendiente =-7— Pendiente = —-

Ax Áx

a) Derivación , ¡ , ,,.

Área = AyAx Área = Aj'A^

6) Integración definida ¡.,

La derivación y la integración definida tienen una relación "inversa"Figura 4.26

TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Si una función / es continua en el intervalo cerrado [a, ¿>] y F es una antiderivada de/ en el intervalo [a, b], entonces

/(*) dx = F(b) - F(a).

SECCIÓN 4.4 El teorema fundamental del cálculo 283

C DEMOSTRACIÓN 3 La clave para la demostración consiste en escribir la diferencia F(b) — F(á)en una forma conveniente. Sea A la siguiente partición de [a, b\.

a = x0 < x¡ < x2 < • • • < xn_} < xn = b

Mediante la resta y suma de términos análogos, se obtiene

F(b) ~ F(a) = F(xn) - F(xn_l) + F(xn_l) ~ • • •- F(x¿ + F(x¿ - F(x0)

= Íl[F(xí)-F(xí_l)l .;=i

De acuerdo con el teorema del valor medio, se sabe que existe un número c¡ en el z'-ésimosubintervalo tal que

,.F (c,.) =

Como F'(CÍ) = f(c¡), puede dejarse que Ax, = x¡ — x¡-\ obtenerse

Esta importante ecuación dice que al aplicar repetidamente el teorema del valor medio, sepuede siempre encontrar una colección de c¡ tal que la constante F(b) ~- F(a) es una sumade Riemann de / en [a, b] para cualquier partición. El teorema 4.4 garantiza que el límite desumas de Riemann sobre las particiones con ||A|| — > O existe. Así, al tomar el límite (cuando

-> 0) produce

F(b) - F(a) = { f(x) dx.

La siguiente guía puede ayudar a comprender el uso del teorema fundamental delcálculo.

•' . ? ..:.-.-•••i- • ?|¡

Estrategia para utilizar el teorema fundamental del cálculo

1. Suponiendo que se conozca una antiderivada o primitiva /, se dispone de una formade calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.

2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resultaconveniente.

rb -,*/(*) dx = F(x)

Ja -I"

== F(b) - F(a]

Por ejemplo, para calcular J,3*3 dx, es posible escribir

3f3A x*dx = '=r\T = T--7 = 20-4_h 4 4 4 4

3. No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada o pri-mitiva ya que

í f(x) dx = \F(x)Ja L

= [F(b) + C\- [F(a) + C]

= F(b) - F(a).


y = -(2x-\) y = 2x-\a integral definida de y en [0,2] es i

Figura 4.27

4--

EJEMPLO I Cálculo de una integral definida

Evaluar cada integral definida.

fl)n í-4 f-TT/4

(x2-3)dx b) 3^/xdx c) sec2xdxJ\i Jo

Solución

a) (x2-3)dx=r--3x = -6 -T-3 =-Ti

/"""'[fETT/4

= 2(4)3/2 - 2(1)3/2 = 14

El área de la región acotada por la gráficade y, el eje j, x =Figura 4.28

/•ir/4 -I17'4

c) sec2 ;c Jjc = tan je =1—0=1jo Jo

EJEMPLO 2 Integral definida de un valor absoluto

Calcularf2

\2x-l\dx.Jo

Solución Utilizando la figura 4.27 y la definición de valor absoluto, se puede reescribirel integrando como se indica.

2x-l,

A partir'de esto, es posible reescribir la integral en dos partes.

fl/2 f2

|2x - \\dx = -(2x - 1) dx + (2* - 1) dx'O ' JO Jl/2

2r il/2 r i = -x2 + x\ \x2 - x\ Jo L J

EJEMPLO 3 Empleo del teorema fundamental para encontrar un área

Encontrar el área de la región delimitada por la gráfica de y = 2x2 — 3x + 2, el eje x y las

rectas verticales x = O y x = 2, como se muestra en la figura 4.28.

Solución Notar que y > O en el intervalo [O, 2].

í"iIntegrar entre x = O y x = 2.

Encontrar la antiderivada.

Aplicar el teorema fundamental del cálculo-

Simplificar.

Área = | (2x2 - 3x + 2) dxo2£

3

163

103

„ + 2*2 jo

- 6 + 4) - (O - O + 0)


Rectángulo de valor medio:

Pf(c)(b - j) •= - . /(*) dx

Ja

Figura 4.29

.

El teorema del valor medio para integrales

En la sección 4.2, se vio que el área de una región bajo una curva es mayor que el área deun rectángulo inscrito y menor que el área de un rectángulo circunscrito. El teorema delvalor medio para integrales establece que en alguna parte "entre" los rectángulos inscrito ycircunscrito hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo lacurva, como se ilustra en la figura 4.29.

TEOREMA 4.10 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Si /es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el in-tervalo cerrado [a, b], tal que

= / ( * -« ) .

C DEMOSTRACIÓN

Caso 1: Si / es constante en el intervalo [a, b], el teorema es claramente válido debido aque c puede ser cualquier punto en [a, b].

Caso 2: Si / no es constante en [a, b], entonces, por el teorema del valor extremo,pueden elegirse f(m) y f(M) como valores mínimo y máximo de / en [a, b]. Comof(ni) < f(x) < f(M) para todo x en [a, b], se puede aplicar el teorema 4.8 para escribir

b rb

f(x}dx < f(M)dxJa

f(m)dx<

f(m)(b -a)< f(x) dx < f(M)(b - a)

Ver la figura 4.30.

f(m) < f ( x ) d x < f(M)'

De acuerdo con la tercera desigualdad, puede aplicarse el teorema del valor medio paraconcluir que existe alguna c en [a, b] tal que

f f \ = ff \ ti \tj, \ ¿i \f(x) dx o f(c)(b - a) = f(x) dx.

f

Rectángulo inscrito (menorque el área real)

I f(m) dx = f(m)(b - a)

Figura 4.30

Rectángulo del valormedio (igual al área real)

fJa

•f(M)

Rectángulo circunscrito(mayor que el área real)

f(M) dx = f(M)(b - a)

•t'infi» Adviértase que el teorema 4.10 no especifica cómo determinar c. Sólo garantiza la existenciade al menos un número c en el intervalo. •


Valor medio

Valor medio de una función

El valor de /(c) dado en el teorema del valor medio para integrales recibe el nombre de valormedio de / en el intervalo [a, b].

Valor medio

Figura 4.31

f(x) dx

DEFINICIÓN DEL VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

Si / es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor medio de / en elintervalo es

1/(*) dx.

•iMUr:» Obsérvese en la figura 4.31 que el área de la región bajo la gráfica/es igual al área del rec-tángulo cuya altura es el valor medio. •

Para saber por qué el promedio de / se define de esta manera, supóngase que se divide[a, b] en n subintervalos de igual anchura AJC = (b — a)/n. Si c¡ es cualquier punto en el¿-ésimo subintervalo, la media aritmética de los valores de la función en los c¡ está dadapor ...,. v--' •'' i-.'"'""- :••" E i • T

i ,,.ij<\ _|~y^c \_ y^c \. +y(c )]. Porcentaje de/(c,),. . . ,/((?„).•JÍI.'. ' n ........

;),. . . • ^ /i. , .'• -

Al multiplicar y dividir entre (b — a), puede escribirse la media como

<""; ¡V 1 n1— an

i• •••'.-•(• " "/=! J

.(VOl ¿ ñiíií1' ( ; , ::.iw.\., .'-.'•.• 1Por último, al tomar el límite cuando n —> oo se obtiene el valor medio de / en el intervalo[a, b], como se indicó en la definición anterior.

Este desarrollo del valor medio de una función en un intervalo es sólo uno de los muchosusos prápticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. En el capítulo7, se estudiarán otras aplicaciones, tales como volumen, longitud de arco, centros de masay trabajo.

(4,40).

EJEMPLO 4 Determinación del valor medio de una función

Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 — 2x en el intervalo [1,4].

Solución El valor medio está dado por

114 - 1

(3x2 - 2x) dx /(*) dx =

= -[64 - 16 - (1 - 1)] =

i'í'íiV'íii.i;*./;. » ;^RVSO;,:';'.''' : •.'- .'.-.-

(Ver la figura 4.32.) M. b •;-> ••< -;--<¡ M .; ^r»:K;.;i.^Si T¡;


EJEMPLO 5 La velocidad del sonido

A diferentes alturas en la atmósfera de la Tierra, el sonido viaja a distintas velocidades. Lavelocidad del sonido s(x) (en metros por segundo) puede modelarse mediante

-4* + 341,295,\x + 278.5,

\x + 254.5,

-\x + 404.5,

0 < x < 11.511.5 < x < 2222 < x < 32

32 < x < 5050 < x < 80La primera persona en volar a una velo-

cidad mayor que la del sonido fue Charles

^eager',4 12 2 kilómetros Yeager alcanzó donde x es la altura en kilómetros (ver la figura 4.33). ¿Cuál es la velocidad media del soríido295.9 metros por segundo. Si Yeager hubie- sobre el intervalo [O, 80] ?

ra c i • , , , JQ,- Q ' Solución Se empieza con la integración s(x) en el intervalo [O, 80]. Para hacer esto, se

pk¡rTegundoSnoVhubieraa"roto la barrera del Puede dividir la inte§ral en cinco P^68''nido" La foto muestra un 7omc«íF-14,11111 rll.5 - r l l .5 I - i i i . s

s(x) dx = (-4x + 341) dx = \~2x2 + 34lx =3657Jo Jo I Jo

r22 \22s(x) dx = (295) dx = 295x = 3 097.5

In.s Jn.5 L J i i . sr32 «2 r -|32

s(x) dx = (lx + 278.5) dx = \¡x2 + 27&.5x = 2 987.5722 J22 ' L J22

rso

un avión bimotor supersónico. Normal-mente, el Tomcaí puede alcanzar alturasde 15.24 km y velocidades que superanen más del doble la velocidad del sonido(707.78 m/s).

rso rso r -¡so

s(x) dx = (lx + 254.5) dx =\\x2 + 254.5jc = 5 688J32 J.32 " L J32

rao i -180s(x) dx= \ + 404.5) dx = \2 + 404.5;c = 9 210

Jso L Jso

Al sumar los valores de las cinco integrales, se obtienerso

s(x) dx = 24 640.

De tal modo, la velocidad media del sonido entre los O y los 80 km de altitud es

Velocidad promedio = — s(x) dx = ——— = 308 metros por segundo80 JQ 80

10 20 30 40 50 60 70

Altura (en km)

La velocidad del sonido depende de la alturaFigura 4.33

90

288CAPITULO 4 Integración

El segundo teorema fundamental del cálculo

Al introducir la integral definida de/en el intervalo [a, b] se ha tomado como fijo el límitesuperior de integración b y x como la variable de integración. Sin embargo, es posible quesurja una situación un poco diferente en la que la variable x se use como el límite superiorde integración. Para evitar la confusión de utilizar x de dos maneras diferentes, se usa tem-poralmente t como la variable de integración. (Recordar que la integral definida no es unafunción de su variable de integración.)

La integral definida como un númeroLa integral definida como una función de x

F es una función de x

F(x) = f(t) dt

/

EXPLORACIÓN

Emplear una herramienta de grafica-ción para representar la función

F(x) = eos t dtJo

para O < x < ir. ¿Reconoce estagráfica? Explicar.

EJEMPLO 6 La integral definida como función

Calcular la función

r F(x) = eos í dt

en x = O, 77/6, 77/4, -rr/3 y 77/2.

Solución Se podrían calcular cinco integrales definidas diferentes, una para cada uno delos límites superiores dados. Sin embargo, es mucho más simple fijara (como una constante)por el momento para obtener

rJoeos t dt = sen t\ sen x - sen O = sen x.

lo

Después de esto, utilizando F(x) = sen x, es posible obtener los resultados que se muestranen la figura 4.34.

F(0) = O-x *(fH

I F(x) = eos / dt es el área bajo la curva /(?) = eos t desde O hasta xJo

Figura 4.34

= U; 2= \3I 2

Podría considerarse la función F(x) como la acumulación del área bajo la curva/(í) = eos t desde t = O hasta t = x. Para x = O, el área es O y F(0) = 0. Para x = 7T/2>F(i7/2) = I produce el área acumulada bajo la curva coseno del intervalo completo [O, TT/¿I'Esta interpretación de una integral como una función acumulación se usa a menudo enaplicaciones de la integración.


En el ejemplo 6, advertir que la derivada de F es el integrando original (sólo que conla variable cambiada). Esto es,

d rrv \ d r -, d \x ,1— F(x) \ —\n x\= — eos t dt\ eos x.

~dx dx dx

Este resultado se generaliza en el siguiente teorema, denominado el segundo teoremafundamental del cálculo.

TEOREMA 4.11 EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Si / es continua en un intervalo abierto / que contiene a, entonces, para todo x en elintervalo,

dxf ( t ) d t \ = f ( x ) .

f(t)

/(*)

/ U ) A J C « f f(t)dtJ X

Figura 4.35

CoEMOSTRACIÓN 3 Empezar definiendo F como

F(x) = ( f(t) dt.Ja

Luego, de acuerdo con la definición de la derivada, es posible escribir

_/M „ F(x + AJE) - F(x)F (x) = lím —

AJE

= lím -—AX^O AJE

A* p -,

/(/)¿í- /tó;&Ja J

A : fa

f(t)dt+ f(t)dtJx

i r r+ía i= lím — f ( t ) d t \

A^^oA;ELJx ' J

= lím -T—AJE

Por el teorema del valor medio para integrales (suponiendo que A* > 0), se sabe que existeun número c en el intervalo [x, x + AJE] tal que la integral en la expresión anterior es igual af(c) AJÍ. Además, como j E < c < j E + Arse sigue que c -> x cuando AJE — > 0. De tal modo,se obtiene

F'(x) = lím P- f ( c ) A*Ax-»0 |_AjE

= Km /(c)A*— >0

= /(*).

Es posible plantear un argumento similar para AJE < 0.

Utilizando el modelo del área para integrales definidas, considerar la aproximación

f(x) fse dice que el área del rectángulo de altura f(x) y anchura AJC es aproximadamente igual al área de laregión que se encuentra entre la gráfica de/y el eje x en el intervalo [x, x + Ax], como se muestra enla figura 4.35. •


Nótese que el segundo teorema del cálculo indica que toda / continua admite una an-tiderivada o primitiva. Sin embargo, ésta no necesita ser una función elemental. (Recordarla discusión de las funciones elementales en la sección R3.)

,.

EJEMPLO 7 Empleo del segundo teorema fundamental del cálculo

j r i'* ~\— Vr2 + 1 dt \

dxLJO

Solución Advertir que /(í) = Vi2 + 1 es continua en toda la recta real. De tal modo,empleando el segundo teorema fundamental del cálculo, es posible escribir

d, , , ^ + 1 dt \ V*2 + 1.

dx \a derivación que se muestra en el ejemplo 7 es una aplicación directa del segundo

teorema fundamental del cálculo. El siguiente ejemplo muestra cómo puede combinarseeste teorema con la regla de la cadena para encontrar la derivada de una función.

EJEMPLO 8 Empleo del segundo teorema fundamental del cálculo

p-3

Encontrar la derivada de F(x) = eos t dt.JTT/2

Solución Haciendo u = y?, es factible aplicar el segundo teorema fundamental del cálculojunto con la regla de la cadena como se ilustra.

•>, . dFdur (X) = — Regla de la cadena.

du dx

d r , ,-,£/« dF= ~r\F(x)\— Definición de — .

duL dx du

d\m ItíW= — costdtl—

du\-L/2 \

d r r" x ,~duSustituir costdtporF(x).

COS í dt — Sustituir u por*3.\dx

= (eos u)(3x2) , . ( Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo.

= (cOS X3)(3x2) .' Reescribir como función de x.

Debido a que la integral del ejemplo 8 se integra con facilidad, se puede verificar Wderivada del modo siguiente.

r*3 i*3I 77

F(x) = eos í dt = sen í = sen x3 - sen — = (sen x3) - 1Jvr/2 -I"/2 2

En esta forma, se tiene la posibilidad de aplicar la regla de las potencias para verificar qu

la derivada es la misma que la que se obtuvo en el ejemplo 8. "

.

F'M = (cos*3)(3*2)

SECCIÓN 4.4 El teorema fundamental del cálculo/- 291

Teorema del cambio netoEl teorema fundamental del cálculo (teorema 4.9) establece que si/es continua en el intervalocerrado [a, b] y F es una antiderivada de/en [a, b], entonces

'*f(x) dx = F(b] - F(a).

Pero dado que F'(x) = f(x), este enunciado se puede reescribir como

Cb

F'(x) dx = F(b) - F(a)

donde la cantidad F(b) — F(a) representa el cambio neto de F sobre el intervalo [a, b}.

TEOREMA 4.12 EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO

La integral definida de la razón de cambio de una cantidad F' (x) proporciona el cambiototal, o cambio neto, en esa cantidad sobre el intervalo [a, b].

í•b

F'(x) dx = F(b) - F(a) Cambio neto de F.

EJEMPLO 9 Uso del teorema del cambio neto

Una sustancia química fluye en un tanque de almacenamiento a una razón de 180 + 3í litrospor minuto, donde O < t < 60. Encontrar la cantidad de la sustancia química que fluye enel tanque durante los primeros 20 minutos.

Solución Sea c(t) la cantidad de la sustancia química en el tanque en el tiempo t. Entoncesc'(t) representa la razón a la cual la sustancia química fluye dentro del tanque en el tiempoí. Durante los primeros 20 minutos, la cantidad que fluye dentro del tanque es

no (-20c'(t) dt = (180 + 3í) dt

Jo Joi 3 I20

= | 180í + -t22 Jo

= 3 600 + 600 = 4 200.

Así, la cantidad que fluye dentro del tanque durante los primeros 20 minutos es de 4 200litros.

Otra forma de ilustrar el teorema del cambio neto es examinar la velocidad de unapartícula que se mueve a lo largo de una línea recta, donde s (?) es la posición en el tiempo í.Entonces, su velocidad es v(í) = s '(t) y

Cb

v(t) dt = s(b) - s(a).fJa

Esta integral definida representa el cambio neto en posición, o desplazamiento, de lapartícula.

Cuando se calcula la distancia total recorrida por la partícula, se deben considerar losintervalos donde v(í) < O y los intervalos donde v(í) > 0. Cuando v(í) < O, la partícula semueve a la izquierda, y cuando v(í) > O, la partícula se mueve hacia la derecha. Para calcu-lar la distancia total recorrida, se integra el valor absoluto de la velocidad v(f)\. Así, el


desplazamiento de una partícula y la distancia total recorrida por una partícula sobre [a, b],se puede escribir como

AI, A2yA) son las áreas de las regionessombreadasFigura 4.36

Desplazamiento sobre [a, b] = I v(í) dt = A-¡ — A2 + A3Ja

r Distancia total recorrida sobre [a, b] = |v(í)| dt = Al + A2 + A3Ja

(ver la figura 4.36).

EJEMPLO 10 Solución de un problema de movimiento de partícula

Una partícula está moviéndose a lo largo de una línea, así, su velocidad es v(?) = f3 — 10í2+ 29í — 20 pies por segundo en el tiempo t.

a) ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula en el tiempo 1 < í < 5?

b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula en el tiempo 1 < / < 5?

Solución

a) Por definición, se sabe que el desplazamiento es

rs rsv(í) dt = \3 - 10í2 + 29í - 20) dt

Ji Ji. - •

't4 10 , 29 ___,3+_í

v

6..T-

2--

-1 —

= 25 _ / 103' • . •• ' ,~ 12 \2

'=128 ....'i12

•-- " =323'

Así, la partícula se mueve ¥ pies hacia la derecha.

b) Para encontrar la distancia total recorrida, calcular /, v(f) \. Usando la figura 4.37 yel hecho de que v(í) pueda factorizarse como (í - l)(f - 4)(í - 5), se puede determinarque v(f) > O en [1,4] y v(í) < O en [4, 5]. Así, la distancia total recorrida es

rs r4 rs\v(t)\dt= v(t)dt- v(t)dt

Jl Jl J4 ' '

r4 f5 , = (í3 - 10í2 + 29f - 20) dt - \3 - 10í2 + 29í - 20) dtJi h

Figura 4.37

'ffW, '<

>•\i-J H

,,) •

•i» ' '¿*> s< !

• i ' v

L. - 12 3 29.4 ~ 3f +y

45 _ l]_4 ( 12

71 .

-u rf4f2 - 20f - \-

Ji L410 29 I5yí3 + y í2 - 20í |

= Tpies.

i ' IM . ~i^

•


Ejerciciosia OfHflnamiento.gráfico En los ejercicios 1 a 4, utilizar una herra-

mienta de graficación para representar el integrando. Emplear la2ráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativao cero.

-dx 2. eos x dx

3. 4. - x dx

gn los ejercicios 5 a 26, hallar la integral definida de la funciónalgebraica. Utilizar una herramienta de graficación para verificarel resultado.

5. 6xdx

7. : (2x-l)dxJ-l

P9. ; (í2 - 2) dr

-ir

11. (2í-Jo

13.

f96. 5dvJ4rs

8. (-3v + 4)dvJ2

r710. (6jc2 + 2* - 3) dx

Jir112. (f3J-i

14.«2/

-du Wdvl V«

17.

19.

21.

-í:'&,

- t)Vtdt

-dx

2x-5\dx

I*2 - 9 dxJo

24. (3 - | jc-3 | )dx

26.

Eii ios ejercicios 27 a 34, hallar la integral definida de la funcióntrigonométrica. Emplear una herramienta de graficación paraverificar el resultado.

28.

"•:, f W 4 1 - s>Jo eos2

- sen'0 V4

cosx)dx

sec2 B

/6

-ir/6

(TT/2 -—

32. (2 - esc2*) ¿jeJir/4

níí33. 4 sec 6» tan e dd

TT/3'•/:i:34. I (2í + eos í) dtJ-TT/2

En los ejercicios 35 a 38, determinar el área de la región indicada.

35. }i = x - x2

y

36. y = \.

y = x + sen*

En los ejercicios 39 a 44, encontrar el área de la región delimitadapor las gráficas de las ecuaciones.

39. y = 5x2 + 2, x = 0, x = 2, y = O

40. y = x3 + x, x = 2, y = O

41. y = 1 + 3/x, x = O, * = 8, y = O

42. y = (3 - x)Vx, y = Q

43. y = -x2 + 4x, y = O 44. y = 1 - x4, y = O

En los ejercicios 45 a 50, determinar el (los) valor(es) de c cuyaexistencia es garantizada por el teorema del valor medio paraintegrales de la función en el intervalo indicado.

45. f ( x ) = x\] 46. f ( x ) = % [1,3]

47. f ( x ) = Jx, [4, 9] 48. /(*) = * - 2V*, [O, 2]

49. /(*) = 2 sec2*, [-77/4,77/4]

50. f(X) = COS X, [- 77/3, 77/3]

En los ejercicios 51 a 56, encontrar el valor medio de la funciónsobre el intervalo dado y todos los valores deje en el intervalo paralos cuales la función sea igual a su valor promedio.

51. /(*) = 9-*2 , [-3,3]

52- f(x) = -^—^ , [1, 3]

53. f(x) = x3, [O, 1]

54. f ( x ) = 4*3 - 3*2, [-1,2]

55. f(x) = sen x, [O, 77]

56. f(x) = eos x, [O, 77/2]


57. Velocidad La gráfica muestra la velocidad, en pies por se-gundo, de un automóvil que acelera desde el reposo. Emplearla gráfica para estimar la distancia que el automóvil recorre en8 segundos.

63.

100 —

4 8 12 16 20

Tiempo (en segundos)

12345

Tiempo (en segundos)

Figura para 57Figura para 58

58. Velocidad La gráfica muestra la velocidad de un automóvil tanpronto como el conductor aplica los frenos. Empleadla gráficapara estimar qué distancia recorre el auto antes de detenerse.


59. La gráfica de / se muestra en la figura.

123

a) Calcular J'/W dx. *.':+. .-; .b) Determinar el valor medio de/en el intervalo [1,7].c) Determinar las respuestas a los apartados a) y b) si la

gráfica se desplaza dos unidades hacia arriba.

60. Si r'(t) representa la razón de crecimiento de un perro en li-bras por año, ¿qué representa r(t)7 ¿Qué representa J2 r'(f) dten el perro?

61. Fuerza La fuerza F (en newtons) de un cilindro hidráulico enuna prensa es proporcional al cuadrado de sec x, donde x es ladistancia (en metros) que el cilindro se desplaza en su ciclo. Eldominio de F es [O, ir/3] y F(0) = 500.

a) Encontrar F como una función de x.b) Determinar la fuerza media ejercida por la prensa sobre el

intervalo [O, 77/3].

62. Flujo sanguíneo La velocidad v del flujo de sangre a unadistancia r del eje central de cualquier arteria de radio R es

v = k(R2 - r2)

donde k es la constante de proporcionalidad. Determinar el flujomedio de sangre a lo largo de un radio de la arteria. (Usar O y Rcomo los límites de integración.)

64.

Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo-nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproximamediante el modelo V = 0.1729? + 0.1522?2 - 0.0374f3 dondeí es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aireen los pulmones durante un ciclo.

Promedio de ventas Una compañía ajusta un modelo a los datosde ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es

S(t) =-Á4

1.8\-^ , O < í < 24

donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses.

a) Utilizar una herramienta de graficación para representarf(f) = 0.5 sen(7rf/6) para O < t < 24. Emplear la gráficapara explicar por qué el valor medio de f(t) es cero sobreel intervalo.

tí) Recurrir a una herramienta de graficación para representarS(t) y la recta g(t) = t/4 + 1.8 en la misma ventana deobservación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartadoa) para explicar por qué g recibe el nombre recta de ten-dencia.

Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental enuna pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segun-do) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.

í

V

0

0

10

5

20

21

30

40

40

62

50

78

60

83

a) Emplear una herramienta de graficación para determinar unmodelo de la forma v = af + bt2 + ct + d para los datos.

b) Utilizar una herramienta de graficación para dibujar losdatos y hacer la gráfica del modelo.

c) Emplear el teorema fundamental del cálculo para aproximarla distancia recorrida por el vehículo durante la prueba.

Para discusión mmmmmi^^^m •••• m^im-

66. La gráfica de/se muestra en la figura. La región sombreadaA tiene un área de 1.5, y J$ f(x) dx = 3.5. Usar esta infor-mación para completar los espacios en blanco.

f2a) f(x}dx= IIí;

Jo

b) \ mí

^ '23456

c) \f(x)\dx= BUJo

r2 d) -2f(x)dx= mJor e) \+ /(*)] dx =

Jo

f) El valor promedio de / sobre el intervalo [O, [O, 6]

En los ejercicios 67 a 72, encontrar F como una función oeevaluar en x = 2, x = 5 y x = 8.

•r67. F(x) = \t - 7) dt68. F(X) =

P/3 —— I / *•-'

h


i '20,,F«= 7z dv

;i

71. FW = J | cos

70. F(x) = I -~dt

72. = sen'o

•¡•i Sea g(X) = /o/(?)<&, donde/es la función cuya gráfica se muestraen la figura.

a) Estimar g(0), g(2), g(4), g(6) y g(8).¿,) Determinar el intervalo abierto más grande en el cual g está

creciendo. Encontrar el intervalo abierto más grande en elque g decrezca.

c) Identificar cualesquiera extremos de g.d) Dibujar una gráfica sencilla de g.


74. Sea g(x) = fáf(t)dt, donde / es una función cuya gráfica semuestra en la figura.

a) Estimar g(0), g(2), g(4), g(6) y ¿b) Encontrar el intervalo abierto más grande en el cual g esté

creciendo. Determinar el intervalo abierto más grande enel que g decrezca.

c) Identificar cualesquiera extremos de g.d) Dibujar una gráfica sencilla de g.

En los ejercicios 75 a 80, a) integrar para determinar F como unafunción de x y b) demostrar el segundo teorema fundamental delcálculo derivando el resultado del apartado a).

75. F(x) = i (t + 2) dt 76. F(X) = \2 + 1) dt

77. F(x) = I f t d t 78. F(x) = \

80. F(x) = \c t tan t dtF(X) = sec2 t dtJTT/4

En los ejercicios 81 a 86, utilizar el segundo teorema fundamentaldel cálculo para encontrar F'(x).

Jl. F(x) = P (í2 - 2t)dt 82. F(x) = ¡ -f—.dtJ-2 ~ J\ "t" '

(x _ p

83. F(x) = Vr^TT dt 84. F(x) = 4/r dt

85. F(x) = ícostdt 86. F(x) = sec31 dt

En los ejercicios 87 a 92, encontrar F'(x).•x + 2

(4t+ 1) dt 88. F(x) == rJx

89. F(x) =

91. F(x) =

90. FU)= I r

F(x) = sen 82 deJo

93. Análisis gráfico Aproximar la gráfica de g en el intervaloO < x < 4, donde g(x) = $*f(t)dt. Identificar la coordenada x deun extremo de g.

94. Utilizar la gráfica de la función / que se muestra en la figu-ra y la función g definida por g(x) = Jgf(t)dt.

4 6 8 10

a) Completar la tabla.

X

g(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Dibujar los puntos de la tabla en el apartado a) y granear g.

c) ¿Dónde tiene g un mínimo? Explicar.

d) ¿Dónde tiene g un máximo? Explicar.

e) ¿En qué intervalo g crece a la mayor velocidad? Explicar.

f) Identificar los ceros de g.

95. Costo El costo total C (en dólares) de compra y mantenimien-to de una pieza de equipo durante x años es

C(x) = 5000(25 + 3 í'/4dA

a) Efectuar la integración para escribir C como una funciónde*.

b) Encontrar C(l), C(5) y C(10).

96. Área El área A entre la gráfica de la función g(f) = 4 - 4/í2

y el eje t sobre el intervalo [1, x] es

r -%*a) Determinar la asíntota horizontal de la gráfica de g.b) Integrar para encontrar A como una función de x.

¿La gráfica de A tiene una asíntota horizontal? Explicar.


En los ejercicios 97 a 102, la función velocidad, en pies por segundo,está dada para una partícula que se mueve a lo largo de una línearecta. Encontrar a) el desplazamiento y b) la distancia total quela partícula recorre en el intervalo dado.

97. v(t) = 5t - 1, O < t < 3

98. v(í) = ?2 - t - 12, 1 < t < 5

99. v(?) = ?3 - 10í2 + 27í - 18, 1 < ? < 7

100. v(?) = í3 - 8?2 + 15?, O < ? < 5L

101. v(?) =1 < ? < 4 102. v(í) = eos í, O < ? < STT

103. Una partícula se mueve a lo largo del eje x. La posición de lapartícula en el tiempo ? está dada por x(t) = ?3 - 6?2 + 9í - 2,O < f < 5. Encontrar el desplazamiento total que la partícularecorre en 5 unidades de tiempo.

104. Repetir el ejercicio 103 para la función posición dada porx(t) = (t- !)(/ - 3)2, O < ? < 5.

105. Flujo de agua Fluye agua a través de un tanque de almace-namiento a una razón de 500 — 5f litros por minuto. Encontrarla cantidad de agua que fluye hacia afuera del tanque durantelos primeros 18 minutos.

106. Filtración de aceite A la 1:00 p.m., empieza a filtrarse aceitedesde un tanque a razón de 4 + 0.75? galones por hora.

a) ¿Cuánto aceite se pierde desde la 1:00 p.m. hasta las4:00 p.m.?

b) ¿Cuánto aceite se pierde desde las 4:00 p.m. hasta las7:00 p.m.?

c) Comparar los resultados de los apartados a) y b). ¿Qué seobserva?

En los ejercicios 107 a 110, describir por qué el enunciado es incorrecto.

108. r^sr^wd1--^

111. Experimento de la aguja de Buffon Sobre un plano horizontalse trazan rectas paralelas separadas por una distancia de 2 pul-gadas. Una aguja de 2 pulgadas se lanza aleatoriamente sobreel plano. La probabilidad de que la aguja toque una recta es

P = -L

T/2

sen 6 d9

donde 9 es el ángulo agudo entre la aguja y cualquiera de lasrectas paralelas. Determinar esta probabilidad.

d r fvW i 112. Demostrarque — f(t) dt\ f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x).dx Lju(x) J

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 113 y 114, determinar siel enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

113. Si F'(x) = 'G'(x) en el intervalo [a, b], entonces F(b) - F(d) =G(b) - G(a).

114. Si/es continua en [a, b], entonces/es integrable en [a, b].

115. Demostrar que la función , '¡ "-J-

riA j p l

~. - dt + -~ -Jo f2 + 1 Jo f2 + 1

dt

es constante para x > 0.

116. Encontrar la función /(JE) y todos los valores de c, tal que

/(/) dt = x2 + x - 2.fJe

117. Sea G(x) = \ \ \ds, donde / es continua para todo

t real. Determinar a) G(0), b) G'(0), c) G"(x) y d) G"(0).

PROYECTO DE TRABAJO

Demostración del teorema fundamentalUtilizar una herramienta de graficación para representar la funciónvi = sen2? en el intervalo O < t < ir. Sea F(x) la siguiente funciónde JE.

F(x) = ser\tdtJo

a) Completar la tabla. Explicar por qué los valores de / están cre-ciendo.

X

F(x)

0TT/677/37T/227T/3577/677

b) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de g»'ficación para representar F.

c) Emplear las funciones de derivación de una herramienta de gra~ficación para hacer la gráfica de F'(x). ¿Cómo se relaciona estgráfica con la gráfica de la parte £)?

d) Verificar que la derivada de y = (1/2)? - (sen 2?)/4 es serr'-Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómográfica se relaciona con las de los apartados b) y c).

es»

SECCIÓN 4.5 Integración por sustitución 297

Integración por sustitución

«iiift» El enunciado del teorema4.13 no dice cómo distinguir entreí(g W) y g'(x) en el integrando. A me-dida que se tenga más experiencia en laintegración, la habilidad para efectuaresta operación aumentará. Desde luego,parte de la clave es la familiaridad conlas derivadas. •

» Utilizar el reconocimiento de patrones para encontrar una integral indefinida.« Emplear un cambio de variable para determinar una integral indefinida.* Utilizar la regla general de las potencias para la integración con el fin de determinar una

integral indefinida.» Utilizar un cambio de variable para calcular una integral definida,a Calcular una integral definida que incluya una función par o impar.

Reconocimiento de patrones

En esta sección se estudiarán técnicas para integrar funciones compuestas. La discusión sedivide en dos partes: reconocimiento de patrones y cambio de variables. Ambas técnicasimplican una «-sustitución. Con el reconocimiento de patrones se efectúa la sustituciónmentalmente, y con el cambio de variable se escriben los pasos de la sustitución.

El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la regla de la cadenaen la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y = F(u) y u = g(x), laregla de la cadena establece que

d_dx

= F'(g(x)}g'(x).

De acuerdo con la definición de una antiderivada o primitiva, se sigue

F'(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C

Estos resultados se resumen en el siguiente teorema.

TEOREMA 4.13 ANTIDERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo /, y sea / una función con-tinua en /. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de /en /, entonces

y(g(x))g'(x) dx = F(g(x}) + C.

Si u = g(x), entonces du = g'(x) dx y

\f(u) du = F(u) + C.

Los ejemplos 1 y 2 muestran cómo aplicar directamente el teorema 4.13, reconociendola presencia de f(g(x)) y g'(x). Notar que la función compuesta en el integrando tiene unafunción exterior f y una función interior g. Además, la derivada g'(x) está presente comoun factor del integrando.

rf(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C

Función interior Derivada de lafunción interior

298 CAPÍTULO 4 Integración '.'">»'/,

- ' EJEMPLO I Reconocimiento del patrón de/(g(x))g'(x)

^ \ i r * ¡ >ii t, , , Determinar I (x2 + \)2(2x) dx. - r ¡ * '

61 , >JV¡\ 1 • • '

í Solución Tomando g(x) = x2 + 1, se obtiene

g'(x) = 2x

• ' ' ' • y

-•,-•• ' ' f(g(x)) = f(x2 + 1) = (x2 + I)2.

A partir de esto, se puede reconocer que el integrando sigue el patrón f(g(x))g'(x). Utilizandola regla de la potencia para la integración y el teorema 4.13, es posible escribir

i (x2 + l)2(2x) dx = | (x2 + I)3 + C.

Es fácil comprobar, mediante la regla de la cadena, que la derivada de l(x2 + I)3 + C es,en efecto, el integrando de la integral original.

EJEMPLO 2 Reconocimiento del patrón /(g(x))g'(x)

Determinar 5 eos 5x dx. '

Solución Tomando g(x) = 5x, se obtiene

i''1'' >':. --'-•- ~- " í'W = 5 . ;,,,,.,..,_

v. ' • • ' ' y

% f(g(x)) = f(5x) = eos 5x.

TECNOLOGÍA Usar un A partir de esto, se puede reconocer que el integrando sigue el patrón f(g(x))g'(x). Utilizandosistema algebraico computerizado, la regla del coseno para la integración y el teorema 4.13, puede escribirsetal como Maple, Mathematica oTI-89, para resolver las integrales ' f(g(x)} g'(x) • i : .dadas en los ejemplos 1 y 2. ¿Se . ^^obtienen las mismas antiderivadas (cos (5x))(5) dx = sen 5x + C.o primitivas que las que se citan en Jlos ejemplos? J

Lo anterior se verifica derivando sen 5* + C para obtener el integrando original. i

r-=;—• ••"•H.-H-Y; • • '"i'--;' ' ; EXPLORACIÓN

Reconocimiento de patrones El integrando en cada una de las siguientes integralescorresponde al patrón f(g(x))g'(x). Identificar el patrón y utilizar el resultado paracalcular la integral.

f f r f\2x(x2 + l)4dx b) 3jt2v*3 + 1 dx c) a) \2x(x2 + l)4dx b) 3x2^/x3 + 1 dx c) sec2;c(tan x + 3) dx

Las siguientes tres integrales son similares a las primeras tres. Mostrar cómo se pueo6

multiplicar y dividir por una constante para calcular estas integrales.

d) \x(x2+l)4dx e) LcV*3 + I dx f) I 2 sec2 *(tan x + 3) dx


Los integrandos en los ejemplos 1 y 2 corresponden exactamente al patrón f(g(x))g'(x) (sólo se tiene que reconocer el patrón). Es posible extender esta técnica de maneraconsiderable utilizando la regla del múltiplo constante.

\kf(x) dx = klf(x) dx.

Muchos integrandos contienen la parte esencial (la parte variable) de g'(x), aunque está fal-tando un múltiplo constante. En tales casos, es posible multiplicar y dividir por el múltiploconstante necesario, como se muestra en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Multiplicar y dividir por una constante

Determinar I x(x2 + I)2 dx.

Solución Esto es similar a la integral dada en el ejemplo 1, salvo porque al integrando lefalta un factor 2. Al reconocer que 2x es la derivada de x2 + 1, se toma g(x) = x2 + 1 y seincluye el término 2x de la manera siguiente.

x(x2 + I)2 dx = \2 + I)2 (2x) dx Multiplicar y dividir entre 2.

i r= _ I (

f(gtí) í'W— " — ' ^jj.2 _|_ jp C2j) ¿x Regla del múltiplo constante.

- C Integrar.-••

= - (x2 + I)3 + C Simplificar.6

En la práctica, la mayoría de la gente no escribiría tantos pasos como los que se muestranen el ejemplo 3. Por ejemplo, podría calcularse la integral escribiendo simplemente

x(x2 + I)2 dx = \2 + I)2 2x dx2 I

+ C

= \2 + I)3 + C.o

muniim Asegurarse de ver que la regla del múltiplo constante se aplica sólo a constantes. No sepuede multiplicar y dividir por una variable y después mover la variable fuera del signo integral. Porejemplo,

Í(x2 + \Ydx + í(x2J ¿x J

f \(x2+lY(2x)dx.¿x j

Después de todo, si fuera legítimo mover cantidades variables fuera del signo de la integral, sepodría sacar el integrando completo y simplificar el proceso completo. Sin embargo, el resultadosería incorrecto. . •


Cambio de variablesCon un cambio de variables formal se puede reescribir por completo la integral en términosde u y du (o cualquier otra variable conveniente). Aunque este procedimiento puede implicarmás pasos escritos que el reconocimiento de patrones ilustrado en los ejemplos 1 a 3, resultaútil para integrandos complicados. La técnica del cambio de variable utiliza la notación deLeibniz para la diferencial. Esto es, si u = g(x), entonces du = g'(x) dx, y la integral en elteorema 4.13 toma la forma

(M) du = F(M) + C.

Como la inte-gración suele ser más difícil que laderivación, verificar la respuesta enun problema de integración mediantela derivación. Así, en el ejemplo 4debe derivarse l(2x - 1)3/2 + Cparaverificar que se obtiene el integrandooriginal.

EJEMPLO 4 Cambio de variable

Encontrar

Solución Primero, sea u la función interior, u = 2x — 1. Calcular después la diferencialdu de manera que du = 2 dx. Ahora, utilizando ^/2x — 1 = VM y dx = du/2, sustituirpara obtener

Integrar en términos de u.

Regla del múltiplo constante.

Antiderivada en términos de u.

Simplificar.

— ~(2x — 1) ' + C. Antiderivada en términos de x

EJEMPLO 5 Cambio de variables

Encontrar x^/2x — 1 dx.

Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u = 2x — 1 para obtener dxdu/2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos cu, como se muestra.

U = 2x — 1 C^> X = (u + l)/2 Resolver para x en términos de u.

Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene

Idx =u + 1yl/2du

2 / \

= - I (w3/2 + w1/2) d«4j1 /M5/2 M3/2

10- I)5/2 + (2* - l)3/2 + C.

o


Para completar el cambio de variable en el ejemplo 5, debe resolverse para x en térmi-nos de u. Algunas veces esto es muy difícil. Por fortuna no siempre es necesario, como seilustra en el siguiente ejemplo.


Determinar sen2 3x eos 3x dx.

Solución Debido a que sen2 3x = (sen 3x)2, podemos tomar u = sen 3x. Entonces

gffltftJS: rHlfllTli'fe Cuando se realizaun cambio de variable, cerciorarse deque la respuesta se escriba utilizandolas mismas variables que en el integran-do original. Así, en el ejemplo 6, nodebe dejarse la respuesta como

sino más bien, reemplazar u por sen 3x.

du = (eos 3*) (3) dx.

Luego, debido a que eos 3x dx es parte de la integral original, puede escribirse

du— = eos 3x dx.

Sustituyendo u y du/3 en la integral original, se obtiene

, dusen2 3x eos 3x dx = I u

1 .= - \u l du

= - sen3 3x + C.

Es posible verificar lo anterior derivando.

= (3)(sen3;c)2(cos3;c)(3)

= sen2 3x eos 3x

Como la derivación produce el integrando original, se ha obtenido la antiderivada o primitivacorrecta.

.

Los pasos que se utilizan para la integración por sustitución se resumen en la siguienteguia.

Estrategia para realizar un cambio de variable

1. Elegir una sustitución u = g(x). Usualmente, es mejor elegir la parte interna deuna función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

2. Calcular du = g'(x)dx>

3. Reescribir la integral en términos de la variable u.

4. Encontrar la integral resultante en términos de u.

5. Reemplazar u por g(x) para obtener una antiderivada o primitiva en términosde x.

6. Verificar la respuesta por derivación.


La regla general de la potencia para integrales

Una de las sustituciones de u más comunes incluye cantidades en el integrando que seelevan a una potencia. Debido a la importancia de este tipo de sustitución, se le da unnombre especial: la regla general de la potencia para integrales. Una prueba de estaregla sigue directamente de la regla (simple) de la potencia para la integración, juntocon el teorema 4.13.

TEOREMA 4.14 LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES

Si g es una función derivable de x, entonces

[g(x)]ng'(x)dx =n+ C, n .* :- 1.

De manera equivalente, si u = g(x), entonces

undu =n + 1

+ C, n + -1.

EXPLORACIÓN

Suponer que se pide encontrar unade las siguientes integrales. ¿Cuálelegiría? Explicar la respuesta.

a)Idx o

+ 1 dx

b) tan(3jt) sec2(3jt) dx o

tan (3*) dx

EJEMPLO 7 Sustitución y regla general de la potencia

u4 du u5/5

a) 3(3* - I)4 dx = \(3x- 1)4(3) dx =C

«2/2

b) I (2x + l)(x2 + x)dx= I (x2 + x)] (2x + 1) dx =

dx = (x3 -

du

— ,r2) dx =

du

«3/2/(3/2)

C = (*3 - 2)3/2 + C

(1 - 2.x2)2~1

M-Y3

C = -C

I{ f (eos x)3eos2 x senxdx = - \s *)2(-sen x) dx = h C

Algunas integrales cuyos integrandos incluyen cantidades elevadas a potencias no puedendeterminarse mediante la regla general de la potencia. Considerar las dos integrales

x(x2 + l)2dx y \(x2+ l)2dx.J

La sustitución u = x2 + 1 funciona en la primera integral pero no en la segunda. Ensegunda, la sustitución falla porque al integrando le falta el factor x necesario para forfl1

du. Por fortuna, esta integral particular puede hacerse desarrollando el integrando cotí1

(x1 + I)2 = x4 + 2x2 + 1 y utilizando la regla (simple) de la potencia para integrar catérmino.


Cambio de variable para integrales definidas

Cuando se usa la sustitución de u en una integral definida, muchas veces es convenientedeterminar los límites de integración para la variable u en vez de convertir la antiderivadao primitiva de nuevo a la variable x y calcularla en los límites originales. Este cambio devariable se establece explícitamente en el siguiente teorema. La demostración sigue delteorema 4.13 en combinación con el teorema fundamental del cálculo.

TEOREMA 4.15 CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Si la función u = g(x) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y fes continua en el recorrido o rango de g, entonces

f(g(x))g'(x) dx = f(u)du.Jg(a)

g(b)


f1Calcular x(x2 + l)3dx.

Jo

Solución Para calcular esta integral, sea u = x2 + 1. Después,

u = x2 + 1 => du = 2x dx.

Antes de sustituir, determinar los nuevos límites superior e inferior de integración.

Límite inferior Límite superior

Cuando x = O, u = O2 + 1 = 1. Cuando x = 1, u = I 2 + 1 = 2.

Ahora, es posible sustituir para obtener

1x(x2 + I)3 dx = ^ (x2 + ir(2x) dx

o ¿ Jo ,_Límites de integración para x.

Límites de integración para u.

15

Intentar reescribir la antiderivada o primitiva i(«4/4) en términos de la variable x y calcularla integral definida en los límites originales de integración, como se muestra.

2

Notar que se obtiene el mismo resultado.



.Calcular A =

- 1-dx.

Solución Para calcular esta integral, considerar que u = ^/2x — 1. Después, obtener

u2 = 2x - 1

u2 + 1 = 2x

u2 + 1!»!. ' ('

u du = dx. Diferenciar cada lado.

Antes de sustituir, determinar los nuevos límites superior e inferior de integración.

Límite inferior Límite superior

y

5 —

4 —

3-

2-

1 --

Cuando* = 1, u = V2 — 1 = 1.

Ahora, sustituir para obtener

Cuando* = 5, u =- 1 = 3.

5 í-3

^T^l-V 2'3

:'J }/. I 1 '

u du

-i12345

= - («2 + 1) dM/]

,,3 n3

La región antes de la sustitución tieneun área de ¥Figura 4.38

16

Geométricamente, es posible interpretar la ecuación

r/2;c - 1

f3 2 i 1 M2 + 1: dx = —-— du

(1,1)

en el sentido de que las dos regiones diferentes que se ilustran en las figuras 4.38 y 4.39tienen la misma área.

Al calcular integrales definidas por cambio de variable (sustitución), es posible quee

límite superior de integración correspondiente a la nueva variable u sea más pequeño que

el límite inferior. Si esto ocurre, no hay que reordenar los límites. Simplemente se calculaintegral de la manera usual. Por ejemplo, después de sustituir u = Vi - x en la integra

12345

La región después de la sustitución tieneun área de ¥Figura 4.39

o

se obtiene M = Vi ~ 1 = O cuando x = 1, y M = Vi ~ O = 1 cuando x = 0. De |modo, la forma correcta de esta integral en la variable «es

•O • ••'<;" •-"-• '•••"' :';.:'' , --. • ••-••, ..--..• ' . '.- . •' '

-2 (1 - u2)2u2du.


función par

Función imparFigura 4.40

Integración de funciones pares e impares

Incluso con un cambio de variable, la integración puede ser difícil. En ocasiones se puedesimplificar el cálculo de una integral definida (en un intervalo que es simétrico respecto aleje y o respecto al origen) reconociendo que el integrando es una función par o impar (verla figura 4.40).

TEOREMA 4.16 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES PARES E IMPARES

Sea/integrable en el intervalo cerrado [—a, a].ra ra

1. Si/es una función par, entonces f(x)dx-2\ dx.J-a JO

r2. Si/es una función impar, entonces f(x) dx = 0.

CTEMOSTRACIÓN ) Como/es par, se sabe que f(x) = f(—x). Utilizando el teorema 4.13 conla sustitución u = —x, se obtiene

'O ro ro ra raf(x)dx = f(-u}(-du) = - f ( u ) d u = f ( u ) d u = f ( x ) d x .

Por último, utilizando el teorema 4.6, se llega a

t f(x) dx = i f(x) dx + \ dxJ-a J-a JO

ra ra ra

= f(x) dx + f(x) dx = 2\ dx.Jo Jo Jo

Esto demuestra la primera propiedad. La demostración de la segunda propiedad se deja allector (ver el ejercicio 137).

f(x) = sen3 x eos x + sen x eos x

y

Como/es una función impar,2

f(x) di = OJ~v/2

Figura 4.41

EJEMPLO 10 Integración de una función impar

Calcular (sen3 x eos x + sen x eos x) dx,J-TT/2

Solución Haciendo f(x) = sen3* eos x + sen x eos x se obtiene

/(— x) = sen3( — x) cos(— x) + sen(— x) cos(— x}

= — sen3 x eos x — sen x eos x = —f(x).

De tal modo, / es una función impar, y debido a que / es simétrica respecto al origen en[-TT/2, 77/2], es posible aplicar el teorema 4.16 para concluir que

7T/2

(sen3 x eos x + sen x eos x) dx = 0.-ir/2

•MUÉ» De acuerdo con la figura 4.41 puede verse que las dos regiones a cualquier lado del eje tienenla misma área. Sin embargo, como una se encuentra por debajo del eje x y otra está por encima delmismo, la integración produce un efecto de cancelación. (Se verá más al respecto en la sección 7.1.)


Ejercicios'

En los ejercicios 1 a 6, completar la tabla identificando u y dupara la integral. ,,,,.,,,,.;, ,.„.,.. ,..,.,..,,.,.,„-.,.^.,-,.r. ..,./,,,.,•.,,,,,,,.,., j».,,,.,:,, ^,

33. í--dx34.

« = g(x)du = g'(x)dx35. J^-^ f'

r37. \{9-y)Vydy38. 47ry(6 + y3/2)

En los ejercicios 39 a 42, resolver la ecuación diferencial.

í *• jVx^T

40.

dy

r\ x3

x- 4

6.

sec 1x tan 2->c dr

tan2 x sec2 .r <¿c

eos*

'•^dx V*2 - 8* + 1

rp Campos de pendientes En los ejercicios 43 a 46, se indican unaecuación diferencial, un punto y un campo de pendientes. Un

. campo de pendientes consiste en segmentos de recta con pendien-tes dadas por la ecuación diferencial. Estos segmentos de recta

' ' J proporcionan una perspectiva visual de las direcciones de lassoluciones de la ecuación diferencial, a) Dibujar dos solucionesaproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendientes,

En los ejercicios 7 a 10, determinar qué se necesita para usar una de ,as cua,es pase por d punto dado ft) utmzar ,a integración

sustitución para calcular la integral. (No calcular la integral.) para encontrar la soludon particular de ia ecuación diferencial y .

usar una herramienta de graficación para representar la solución.7. I V* (6 — x) dx 8. I x^/x + 4 dx Comparar el resultado con los dibujos del apartado a).

sen^zdx

9.xl/l + x2 dx10.x eos x2 dx43.

En los ejercicios lia 38, encontrar la integral indefinida y verificarel resultado por derivación.

11.

13. I 725 - x2 i

dx

15. | x3(x4 + 3)2 dx

17. \x2(x3-l)4dx

21. I 5x v/1 — x2 dx

23" /<T^*25.

"•/^72Í

dx

\)r¡ i

y

í— \ --— \-— \-— \-

44. = jcV - I)2dx

(1,0)

-2\\\4-///2-\

45. ~r = x eos :2dz

(0,1)

I I / 2 • - I II I / I I| | / „ | |I I / I I

| | / | |

I I / I II I 1-2 • - I I

46. = -efe

(O,-1)

y

4--- 1 \- 1 \- 1 \- 1 \- 1 \- 1 \5 1 \- 1 \- 1 \^ 1 \^ | \- 1 \

1 3-1 /-/ í -1 1 -1 I -

i i T f

/ / H

/ / -1 / -1 / -1-3-

-\ -/ 1 ^- \ - / \'-\ - / \- \ ~ / \-\ ~ / 1 ^

~ \ r .f-H* - \ - / i 3i-\ - / 1 / - \ - / 1 ' -\ / ¡ / - \ - / 1 x -\ / 1 x


. ejercicios 47 a 60, encontrar la integral indefinida. f4 i f2 rgn l"s SJ 70 Ir »« 1 '

r AS i rr | Jo v 2x + 1Ov 77 sen 77* dx 48. 4*3 sen x4 dx n

^ } J S1 ív Sr / ~ í i ^\"A •,9 sen 4x dx 50. eos &x dx '

1 J I / i A /^ j/. 83. (* l jv¿ xd* í

51. j¿c°Ve 52' jxs™x2dx p/2 ,2^,- 85. eos 1 — j dx

-i sen 2x eos 2x dx Jo V '' J P/2

f 86. (je + eos x) dx54. sec(l -*)tan(l - x) dx J-/3

55. tan4 A sec2 * dx 56. I Vían * sec2 * dx Ecuaciones diferenciales En losJ la gráfica de una función /. Empl\~Xflx 58 I Sen^ ¿r punto dado para determinar una

^' j cot3 * ""* J eos3 x ""*r f~~~^' C / \ ' J J \2/ dx

)!

i

En los ejercicios 61 a 66, encontrar una ecuación para la función 7 — 1 /•/ que tiene la derivada dada y cuya gráfica pasa por el punto 6- - 1 'indicado. 5^yy (o, 4)

Derivada Punto r-y

61. / (x) - sen (0, 6) i

62. /'(JE) = 77 sec 77* tan 77* (~, l ) -4-3-2 _j_ i 2 3 4

63. /'(JE) = 2 sen 4* ÍT> ~!) ^ T\ 2/ SQ, ¿y 2* q/TT \ V2*2 - 1

64. /'(*) = sec2(2jc) -, 2\ / y

65. /'(JE) = 2*(4*2 - 10)2 (2,10) \1 f /

66. /'(JE) = -2*78^? (2,7) \ /

\ 1 yÍ5,4)el método que se muestra en el ejemplo 5. -8-6-4 y-/ 4 6 8

_ 4 _ .f f f. „„

67. *V* + 6 d* 68. \xV4x+\dx -$.--J J

f 2 í1 * 1

J ^ En los ejercicios 91 a 96, encontra71 I ^2 ~ ^ j -™ I 2* + ^ j una herramienta de grafícación PÍ

j 72* - i j y* + 4r r ,,"v r P73 dv 74 J t Vt 1 10 iit 91. v Vr 1 1 ,-lr 9

J (X + 1) - Jx + 1 A¿>v J J0

V

En los ejercicios 75 a 86, calcular la integral definida. Utilizar una v

herramienta de graficación para verificar el resultado. 16+ /

f r4 % />n' /75. jc(*2+l)3d* 76. jcV + 8)2 d* / 8 /

J - l J— 2 r % /C2 f i 4-f /

77. 1 2*2y*3 + 1 dx 78. 1 J c V l - J c 2 d * _J¿íl|__|__|_|_». ^Jl J« 2 4 6 8

>«• / =: "*Jo Vi + 2*2

f2 t2. *^4 + jc2d*

Jo

r5 *4' /TÍ fJ i V¿* 1

• •

ejercicios 87 a 90, se muestraear la ecuación diferencial y elecuación de la función.

dy -48 .dx (3JE+-5) 3

4 ;í7 5i-Jk-~"^ ( i a\> —

n- r

-6-5-4-3-2-1 _L 1 2

-4ft 4y , , 9*2

dx ' ' (3jf3 + l)<3/2>

y

4 //6+ /5- 5 /

f.(°'2)

-3-2-1 „ 1 2 3 4 5

r el área de la región. Emplearira verificar el resultado.

r62. x2 3/x + 2 dx •*•.

J-2

y

80-- /

60 - /

40-- /

20- /

^ -^ \ ~j — í^ x- 2 2 4 6


93. y = 1 sen x + sen 2x 94. y = sen x + eos 2*

2 —

1424

95. sec2 ~ dxJtr/2

96. esc 1x cot 2x dxJTT/12

yA

424_ _ .

I 16 8 16 4

En los ejercicios 97 a 102, utilizar una herramienta de graficaciónpara evaluar la integral. Hacer la gráfica de la región cuya áreaestá dada por la integral definida.

101. (6 + sen ~ dO4y

En los ejercicios 103 a 106, calcular la integral utilizando las pro-piedades de las funciones pares e impares como una ayuda.

103.1-2

C7T/2 í

105. Sen2 x cos x dxJ-TT/2

104. X(X2 + ])3dx

p/2

106. I sen x cos x dxJ-7T/2

107. Usar J,| x2 dx — y para calcular cada integral indefinida sin usarel teorema fundamental del cálculo.

f° a) x2 dxJ-4

f4

c~) I -x2 dxJo

x2dx

108. Emplear la simetría de las gráficas de las funciones seno y cosenocomo ayuda para el cálculo de cada integral definida.

Ir/4

sen x dx'4

f-TT/2

eos x dx

/•ir/4

b) ¡ cos x dxJ— ir/4

d) j sen x cos x dxJ-ir/2

En los ejercicios 109 y 110, escribir la integral como la suma dela integral de una función impar y la integral de una función par.Utilizar esta simplificación para calcular la integral.

f3 r-/2109. (x3 + 4*2 - 3* - 6) dx 110. (sen 4x + cos 4x) dx

J-3 J-lr/2


111. Describir por qué

rx(5 — x2)3 dx =h \3 du

donde u =• 5 — x2.

112. Sin integrar, explicar por qué

-2

x(x2 + \)2dx = 0.

f8 f4

113. Si/es continua y I f(xjdx = 32, encontrar I f(2x) dx.Jo Jo '

Para discusión

erfli 114. Escribir Encontrar la integrfl indefinida en dos formas.Explicar alguna diferencia en las formas de la respuesta.

a) (2x - I)2 dx

c) tan x sec2 x dx

b) sen x cos x dx

115. Flujo de efectivo La tasa de desembolso de dQ/dt de unadonación federal de 2 millones de dólares es proporcional alcuadrado de 100 - t. El tiem|o í se mide en días (O < t < 100) yQ es la cantidad que queda para ser desembolsada. Determinarla cantidad que queda para desembolsarse después de 50 días.Suponer que todo el dinero se gastará en 100 días.

116. Depreciación La tasa de depreciación dV/dt de una máquinaes inversamente proporcional al cuadrado de í + 1, donde Vesel valor de la máquina í años después de que se compró. El valorinicial de la máquina fue de 500 000 dólares, y su valor decreció100 000 dólares en el primer año. Estimar su valor después de

4 años.

117. Precipitación La precipitación mensual normal en el aeropueí'to de Seattle-Tacoma puede aproximarse mediante el modelo

R = 2.876 + 2.202 sen(0.576í + 0.847)

donde R se mide en pulgadas y f es el tiempo en meses, coní = O correspondiente al 1 de enero. (Fuente: U.S. NationalOceanic and Atmospheric Administration)

a) Determinar los extremos de la función en el periodo de u"año.

b) Emplear integración para aproximar la precipitación anua

normal. (Sugerencia: Integrar sobre el intervalo [O, 12]Jc) Aproximar el promedio de la precipitación mensual duraflt

los meses de octubre, noviembre y diciembre.


Ventas Las ventas S (en miles de unidades) de un producto detemporada están dadas por el modelo

5 = 74.50 + 43.75 sen -^

donde í es el tiempo en meses, con í = 1 correspondiente a enero.Determinar las ventas medias para cada periodo.

a) El primer trimestre (O < í < 3)b) El segundo trimestre (3 < t < 6)c) El año completo ( 0 < ? < 12)

119. Suministro de agua Un modelo para la tasa de flujo de aguaen una estación de bombeo en un día determinado es

( \^- + 3.6 + 9 eos l^r + 8.96 / \12

donde O < t < 24. R es la tasa de flujo en miles de galones porhora y í es el tiempo en horas.

Pp a) Utilizar una herramienta de graficación para representarla función de la tasa de flujo y aproximar la tasa de flujomáximo en la estación de bombeo.

b) Aproximar el volumen total del agua bombeada en undía.

120. Electricidad La intensidad de comente alterna en un circuitoeléctrico es

7 = 2 sen(60<7rf) + cos(12077í)

donde / se mide en amperes y í se mide en segundos. Determinarla intensidad media para cada intervalo de tiempo.

a) O < t < ¿

b) O < r < 2Íoc) O < t < ¿

Probabilidad En los ejercicios 121 y 122, la función

/(*) = kx"(\ x)m, O < x < 1

donde n > O, m > O y k es una constante, puede utilizarse pararepresentar diversas distribuciones de probabilidad. Si k se eligede manera tal que

if ( x ) dx = 1

I

la probabilidad de que x caerá entre a y ¿ > ( 0 < a < Z > < l ) e s

C"Pa,b= f(x)dx.

Ja

121. La probabilidad de que una persona recuerde arfitre 100a% y100¿>% del material aprendido en un experimento es

^ *= l T" <\ x dx

donde x representa el porcentaje recordado. (Ver la figura.)/

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azarrecuerde entre 50 y 75% del material?

b) ¿Cuál es el porcentaje medio de lo que se recuerda? Estoes, ¿para qué valor de b es cierto que la probabilidad derecordar de O a b es 0.5?

a ¿0.5 i.o 1.5

Figura para 121

122. La probabilidad de que se tomen muestras de un mineral de unaregión que contiene entre 100a% y 100¿% de hierro es

donde x representa el porcentaje de hierro. (Ver la figura.) ¿Cuáles la probabilidad de que la muestra contendrá entre

a) O y 25% de hierro?b) 50 y 100% de hierro?

2 —

¿ b

123. Temperatura La temperatura en grados Fahrenheit en unacasa es

8)1T = 72 + 12 sen

donde t es el tiempo en horas, con t = O representando la medianoche. El costo horario de refrigeración de una casa es de 0.10dólares por grado.

a) Encontrar el costo C de refrigeración de la casa si el ter-mostato se ajusta en 72°F calculando la integral

por

C=0.1h L

72 + 12 sentr(t - 8)

12- 72 dt. (Ver la figura.)

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Tiempo (en horas)


b) Encontrar el ahorro al reajustar el termostato en 78calculando la integral

• i8°R4

, C = 0.1 72+ 12 sen-ir(t-

12-78 df.

(Ver la figura.)

Ajuste del termostato: 78°^ "> 1—I 1—I 1—I 1 1—I 1 1 h* '

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Tiempo (en horas)

124. Manufactura Un fabricante de fertilizantes encuentra que lasventas nacionales de fertilizantes siguen el patrón estacional

F = 100 000 1 + sen2ir(t - 60)1

365

donde F se mide en libras y t representa el tiempo en días, con t• = 1 correspondiente al 1 de enero. El fabricante desea establecer

un programa para producir una cantidad uniforme de fertilizantecada día. ¿Cuál debe ser esta cantidad?

<r 125. Análisis gráfico Considerar las funciones / y g, donde

f(x) = 6 sen x eos2 x y g(t) = \ dx.

a) Emplear una herramienta de graficación para representar/ y g en la misma ventana de observación.

b) Explicar por qué g es no negativa.c) Identificar los puntos sobre la gráfica de g que corresponden

a los extremos de/.d) ¿Cada uno de los ceros de / corresponden a un extremo de

g? Explicar.e) Considerar la función

h(t) = f(x) dx.Jir/2

Utilizar una herramienta de graficación para representarh. ¿Cuál es la relación entre g y hl Verificar la suposi-ción.

126. Determinar ' lím Y —-—— evaluando una integral defi-n-> + oo (ér![ n

nida apropiada sobre el intervalo [O, 1],

127. a) Demostrar que /o x2(l - x)5 dx = /„ *5(1 - x)2 dx.

b) Demostrar que Jo *"(! - x)h dx = /,] xb(l - x)a dx.

128. a) Demostrar que JcT sen2 x dx = J0 eos2 x dx.

b) Demostrar que J0 sen" x dx = f^ COK" x dx, donde n: es un entero positivo.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 129 a 134, determinar siel enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

129. \(2x + I)2 dx = ¡(2x + I)3 + C

130. I x(x2 + 1) dx = i*2 (

131.10 f-10

(ax3 + bx2 + ex + d) dx = 2 (bx2 + d) dx-10'b

132.Ib + 2-ir

sen x dxf fb + íI sen x dx = I

Ja Ja

133. 4 sen x eos x dx = — eos 2x + C

134. sen2 2x eos 2x dx = i sen3 2x + C

135. Suponer que / es continua en todos lados y que c es una cons-tante. Demostrar que

f(x)dx = c f(cx)dx.

136. a) Verificar que sen u - u eos u + C = fu sen u du.

b) Utilizar el apartado a) para demostrar que J0 sen-v^ííc =2ir.

137. Completar la prueba del teorema 4.16.

138. Demostrar que si/es continua en la recta numérica real completa,entonces

•b rb + h

f(x + h) dx = f(x) dx.


139. Si a0, a,, .. . , an son números reales que satisfacen

7 + 7 +n + 1= O

demostrar que la ecuación aa + atx + a^x2 + • • • + anx" =

O tiene al menos un cero real.

140. Encontrar todas las funciones continuas positivas f(x), para

O < x < 1, tales que

/(*) dx = 1

f(x)x dx = a

f(x)x2 dx = a2

donde a es un número real.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Compctlt10

© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

SECCIÓN 4.6 Integración numérica 311

Integración numéricaAproximar una integral definida utilizando la regla de los trapecios.Aproximar una integral definida utilizando la regla de Simpson.Analizar los errores de aproximación en la regla de los trapecios y en la regla de Simpson.

El área de la región puede aproximarseutilizando cuatro trapeciosFigura 4.42

La regla de los trapeciosAlgunas funciones elementales simplemente no tienen antiderivadas o primitivas que seanfunciones elementales. Por ejemplo, no hay función elemental que tenga alguna de lassiguientes funciones como su derivada.

/je Vi x, Ix eos x,eos x

sen;r

El área del primer trapecio es

r/fa) + f(xi)~\(b - aI 2

Figura 4.43

Si se ha de calcular una integral definida cuyo integrando no admite primitiva (antiderivada),el teorema fundamental del cálculo no es de utilidad y hay que recurrir a una técnica deaproximación. Dos de estas técnicas se describen en esta sección.

Una forma de aproximar una integral definida consiste en utilizar n trapecios, como semuestra en la figura 4.42. En la formulación de este método, se supone que / es continua ypositiva en el intervalo [a, b\. De tal modo, la integral definida

f(x)dx

representa el área de la región delimitada por la gráfica de / y el eje x, desde x = a hastax = b. Primero, se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho Ax =(b — a)/n, de modo tal que

a = < x=b.

Luego^se forma un trapecio para cada subintervalo (ver la figura 4.43). El área del /-ésimotrapecio es

Área del í-ésimo trapecio =

sto implica que la suma de las áreas de los n trapecios es

'r \ f(r } flr \ flr \ ^ J\X¡) J(Xn-i) + J ( X n )

n

b - a2n

b — a

[f(x0) f(x2)

2f(Xl) + 2/0*2r, ¡LJ V(V ' *-J VI/

Haciendo AJC = (fe — a)/n, puede tomarse el límite cuando n —> oo para obtener

lím> — a2n

[f(Xo) 2 f ( x n _ l )

ES m

= 0 + 1 f(x) dx.

El resultado se resume en el siguiente teorema.

í -J33


*

>

TEOREMA 4.17 LA REGLA DE LOS TRAPECIOS

Sea/continua en [a, b]. La regla de los trapecios para aproximar /*/(*) dx está dadapor

f(x) dx— a

2f(Xl) + 2f(x2)2f(xn_l)+f(xn)].

Además, como n -> °°, el lado derecho se aproxima a Ja /(.x) ¡ix.

ÑPfc Observar que los coeficientes en la regla de los trapecios siguen el siguiente patrón.

1 2 2 2 ... 2 2 1

EJEMPLO I Aproximación con la regla de los trapecios

Utilizar la regla de los trapecios para aproximar

Cuatro subintervalos

TC n 3n n_ 5n 3n Tn8482848

Ocho subintervalos

Aproximaciones trapezoidalesFigura 4.44

sen x dx.

Comparar los resultados para n = 4 y n - 8, como se muestra en la figura 4.44.

Solución Cuando n = 4, AJC = 77/4, y se obtiene

sen x dx ~ — ( sen 0 + 2 sen — + 2 sen — + 2 sen — + sen TT

- Cuando n = 8, Ax = 77/8, y se obtiene

77 1 + 721.896.

sen;t£¿t = —I sen O + 2 sen— + 2 sen— + 2 sen h 2 sen—16\2

577 , STT ?77 ,+ 2 sen —- + 2 sen — + 2 sen — + sen 77)

o 4 8

= 77(2 + 2V2 + 4sen-^"+ 4 senlo

3771.974.

Para esta integral particular, se podría haber encontrado una antiderivada y determinado queel área exacta de la región es 2.

TECNOLOGÍA La mayoría de las herramientas de graficación y de los sistemasalgebraicos computarizados cuenta con programas incorporados que es posible utilizar

para aproximar el valor de una integral definida. Utilizar un programa de este tipo paraaproximar la integral del ejemplo 1. ¿Qué tan precisa es su aproximación?

Cuando se usa uno de estos programas, debe tenerse cuidado con sus limitaciones-Muchas veces, no se le da una indicación del grado de exactitud de la aproximación-Otras, se le puede dar una aproximación por completo equivocada. Por ejemplo, utiliza1

un programa de integración numérica incorporada para calcular

l-dX.

La herramienta de graficación producirá un mensaje de error, ¿no es así?


.

Es interesante comparar la regla de los trapecios con la regla del punto medio que se dioen la sección 4.2 (ejercicios 73 a 76). En la regla de los trapecios, se promedian los valoresde la función en los puntos extremos de los subintervalos, pero la regla del punto mediotoma los valores de la función de los puntos medios de los subintervalos.

Regla del punto medio.

' " / f(x) + f(x _ }\) dx = V ' '"' | A* Regla de los trapecios.

•.'inri» Hay dos puntos importantes que deben señalarse respecto a la regla de los trapecios (o a laregla del punto medio). Primero, la aproximación tiende a volverse más exacta a medida que n au-menta. Así, en el ejemplo 1, si n = 16, la regla de los trapecios produce una aproximación de 1.994.Segundo, aunque podría utilizarse el teorema fundamental para calcular la integral en el ejemplo 1,este teorema no puede utilizarse para calcular una integral tan simple como JQ sen x2dx debido a quesen x2 no tiene una antiderivada elemental. Sin embargo, es posible aplicar con facilidad la regla delos trapecios a esta integral. •

Regla de Simpson

Una manera de ver la aproximación que permite la regla de trapecios de una integral definidaconsiste en decir que en cada subintervalo se aproxima / por medio de un polinomio deprimer grado. En la regla de Simpson, que recibe ese nombre en honor del matemático inglésThomas Simpson (1710-1761), se lleva este procedimiento un paso adelante y aproxima /mediante polinomios de segundo grado.

Antes de presentar la regla de Simpson, enunciamos un teorema sobre las intégrales depolinomios de grado 2 (o menor). V

TEOREMA 4,18 INTEGRAL DE p(x) =Ax2 + Bx

Si p(x) = Ax2' + Bx + C, entonces

, . _,p(x) dx =

b - a a + b

CPÉMOSTRÁCláíO

p(x) dx = \2 + Bx + C) dx

3 + Bx^+ Cx\

A(b3 - a3) B(b2 - a2

3b - a

[2A(a2 + ab + b2) + 3B(b + a) + 6C]

Mediante la expansión y la agrupación de términos, la expresión dentro de los corchetesse convierte en

(Aa2 + Ba + C) + ÁAÍ^^] + BÍ^-^} + c] + (Ab2 + Bb + C)

p(a)

y puede escribirseI

p(x) dx =

a + b p(b)

a + b ,,s i+p(b)\.


/_)i .¡': • Para formular la regla de Simpson con el fin de aproximar una integral definida, se•y.jín! :••• divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho AJC = (b — a)/n. Esta vez,

.,v>!«'•/• sin embargo, se requiere que n sea par, y los subintervalos se agrupan en pares tales que

< Xn - 2 < Xn - 1 < xn — b.

P2 P/**)&«

Jxa Jxa

Figura 4.45

f(x) dx

.

•

• ' [xo,x2] [x2,x4] -"í.Vvü.'-A j [-cn-2.-rJ

En cada subintervalo (doble) [x¡ _ 2, jcj puede aproximarse / por medio de un polinomiop de grado menor que o igual a 2. (Ver el ejercicio 56.) Por ejemplo, en el subintervalo[x0, x2], elegir el polinomio de menor grado que pasa a través de los puntos (*0, y0), (x¡, y{)y (X2, y2) como se muestra en la figura 4.45. Ahora, utilizando p como una aproximación de/ en este subintervalo, se tiene, por el teorema 4.18,

p2 p:

f(x)dx *Jx0 Jx0

p(x) dx =_ £2

2[(b - a)/n\ — a,

4p

[p(Xo)

X0 + X2p(x2)

Repitiendo este procedimiento en el intervalo completo [a, b] se produce el siguiente teo-rema.

TEOREMA 4.19 LA REGLA DE SIMPSON

Sea/continua en [a, b] y sea n un entero par. La regla de Simpson para aproximaríbaf(x)dxes ,., nu-ww J!L ¡.f ÍU,. n

/W :3n

) + 2f(x2) + 4f(x¿ + • • •

_ . +4f(xn-i) +f(xn)].

Además, cuando n —» °<>, el lado derecho tiende a J* /(jr) dx.

•:!!»:• Observar que los coeficientes en la regla de Simpson tienen el siguiente patrón.

142424. ..4 241 •

En el ejemplo 1, la regla de los trapecios se utilizó para estimar /£ sen x dx. En el si-guiente ejemplo, se aplica la regla de Simpson a la misma integral.

dülíp En el ejemplo 1, la regla delos trapecios con n = 8 aproximaJo sen x dx como 1.974. En el ejem-plo 2, la regla de Simpson con n = 8produjo una aproximación de 2.0003.La antiderivada o primitiva produciríael valor verdadero de 2. \ 2 Aproximación con la regla de Simpson

Emplear la regla de Simpson para aproximar

r

sen x dx.

Comparar los resultados para n = 4 y n = 8.

Solución Cuando n = 4, se tiene

f/ O

77" / 1T 77 -J 77sen x dx ^ — I sen 0 + 4 sen — + 2 sen — + 4 sen — + sen 772.005.

Cuando n = 8, se tiene senxdx => 2.0003.Jo


TECNOLOGÍA Si se tieneacceso a un sistema algebraico porcomputadora, utilizarlo para calcu-lar la integral definida del ejemplo3. Obtener un valor de

i JTTl?dx = ¿[x/2 + ln(l +v/2)]Jo

« 1.14779.

("In" representa la función logarít-mica natural, la cual se estudiará enla sección 5.1.)

Análisis de errores

Al usar una técnica de aproximación, es importante conocer la precisión del resultado. Elsiguiente teorema, que se enuncia sin demostración, proporciona las fórmulas para estimarlos errores que implican en el uso de la regla de Simpson y de la regla de los trapecios. Engeneral, cuando se realiza una aproximación se piensa en el error E como la diferenciaentre /* f(x) dx y la aproximación.

TEOREMA 4.20 ERRORES EN LA REGLA DE LOS TRAPECIOS Y EN LA DE SIMPSON

Si / tiene una segunda derivada continua en [a, b], entonces el error E al aproximar/* f(x) dx por medio de la regla de los trapecios es

| E | < 1? 2 [máx I/"M|]> a < X < b. Regla de los trapecios.

Además, si tiene cuarta derivada continua en [a, b], entonces el error E al aproximaría /W dx mediante la regla de Simpson es

\E\ , [máx |/(4)(*)|], a < X < b. Regla de Simpson.louw

El teorema 4.20 establece que los errores generados por la regla de los trapecios y laregla de Simpson tienen cotas superiores dependientes de los valores extremos de f"(x) yfw(x) en el intervalo [a, b]. Además, estos errores pueden hacerse arbitrariamente peque-ños incrementando n, siempre que /" y /(4) sean continuas y, en consecuencia, acotadasen [a, b].

•

EJEMPLO 3 El error aproximado en la regla de los trapecios

Determinar un valor de n tal que la regla de los trapecios se aproximará al valor deJ0 Vi + x2 dx con un error menor que 0.01.

Solución Primero se hace f(x) = Vi + x2 y se halla la segunda derivada de/.

f'(x) = x(l + x2)-1/2 y f"(x) = (1 + *2)-3/2

El valor máximo de \f"(x)\n el intervalo [O, 1] es i/"(0)l = 1. De tal modo, por el teo-rema 4.20, puede escribirse

1.144 <

Figura 4.46

'"' " 12«2 '•' VW| \2n^" Un2'

Para obtener un error E menor que 0.01, debe elegirse n tal que 1/(12«2) < 1/100.

100 < 12«2 L V „ 5, /lOO _ 9 OQn > v 12 -¿-«yAsí, basta tomar n = 3 (debido a que n debe ser mayor o igual a 2.89) y aplicar la regla delos trapecios, como se ilustra en la figura 4.46, para obtener

ri ,

Vi + x2 dx <= -[Vi + O2 + 2 VI + (I)2 + 2,Jo "

.

De tal modo que, al sumar y restar el error de esta estimación se sabe que

1.144 '\ x2 dx < 1.164.


Ejercicios

Simpson para aproximar el valor de la integral definida para urvalor dado de n. Redondear la respuesta hasta cuatro decimalesy comparar los resultados con el valor exacto de la integral definida.

r2 • r2 íx2 \. I x2 dx, > n = 4 2 \{— +l}dx, n = 4

Jo Ji \ /

i' 3 W , i' 2 , 3. je* ar, n = 4 4. — dx, n = 4¡Jo J2 * . •' f3 r8 5. JE' dx, n = 6 6. \ dx, n = 8

Ji Jor9 r4 7. V* ¿E, u = 8 8. (4 - *2) dx, w = 6

J4 Jl

"' ' P 2 ¿ 4 r ^T-\J 4Pp En los ejercicios 11 a 20, aproximar la integral definida utilizandí

la regla de los trapecios y la regla de Simpson con n = 4. Compararestos resultados con la aproximación de la integral utilizando unaherramienta de graficación. ' "

v 1 l ^ a\ 12. , 5 «A,t . , Jo , , , Jo VTT^

f1 r . r- r13. Vt v 1 — x dx 14. 1 ^xsenxdx

Jo Jjr/2

15. sen x2 dx 16. I tan x2 dxJo Jor3-' ,<:.', ... (V/2

17. 1 cosx2dx 18 I Vi + sen2.v¿th - ' Jo

fTT/4 ' ( i , • .,.

19. I .rtan;EíÍE " ' •- '' ' '-'Jorv (senx ^ . Q' ; :"'

20. 1 /(*) dx, /(*) = ]*"""Jo , [lf X = Q •:•>:: -..o. 'i, .-..•

1 Desarrollo de conceptos

21. La regla de los trapecios y la regla de Simpson producenaproximaciones de una integral definida /a /(JE) dx basadasen aproximaciones polinomiales de /. ¿Qué grado de polino-mio se usa para cada una?

22. Describir la dimensión del error cuando la regla de los trape-cios se utiliza para aproximar /*/(JE) dx cuando f(x) es unafunción lineal. Explicar el resultado con una gráfica.

En los ejercicios 23 a 28, utilizar las fórmulas de error del teore-ma 4.20 para estimar el error en la aproximación de la integral,con n = 4, utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla deSimpson. •:.' ./•;. •,-,< .••.. i

p : ,5

23. 2x3 dx 24. (5x + 2) dx :, , ,«Jl J3

' , "X ... -"• , ,NO«A

, !M, M; Jo x+ 1 h (*- l)2

i """"" r ' '" • • f 27. 1 eos x dx 28. 1 sen(mc) dxJo '•'• Jo

En los ejercicios 29 a 34, utilizar las fórmulas del error en el teo-rema 4.20 con el fin de encontrar n tal que el error en la aproxi-mación de la integral definida sea menor que 0.00001 utilizandoa) la regla de los trapecios y b) la regla de Simpson.

r3 i r1 1 ->Q 1 l j 30 V, ¿y- ax •>«• axJl x J0 1 + Xp p ,

31. VTTIdx 32. -±-dxJo Jl VJCp rir/2

33. I COS(TTX) dx 34. 1 sen x dxJo Jo

Uüf Kn los ejercicios 35 a 38, emplear un sistema algebraico porcomputadora y las fórmulas del error para determinar n de ma-nera tal que el error en la aproximación de la integral definidasea menor que 0.00001 utilizando a) la regla de los trapecios yb) la regla de Simpson. ¡ ,

f2 / r2 35. Vi + x dx 36. 1 (x + l)2'3 dxJo ->: Jor1 r1 37. tenx2dx , 38. senx2dx

Jo ' Jo

39. Aproximar el área de la región sombreada utilizando a) la reglade los trapecios y b) la regla de Simpson con n = 4.

y - .-. . • y .

10-- 10 f x-v

: \ \ \ ! 1 II 1 V-+-+»-* ^-^ 1 Mil |4-+-^J

' . 12345 24681°


40. Aproximar el área de la región sombreada utilizando a) la regí3

de los trapecios y b) la regla de Simpson con n = 8.

rp 41. Programación Escribir un programa para una herramienta degraficación con el fin de aproximar una integral definida útil'"zando la regla de los trapecios y la regla de Simpson. Empeza

con el programa escrito en la sección 4.3, ejercicios 61 a 64, yadvertir que la regla de los trapecios puede escribirse como 7("'= ![/(«) + D(n)] y la regla de Simpson, como

S(n) = \[T(n/2) + 2M(n/2)].

[Recordar que I(n), M(n) y D(n) representan las sumasRiemann utilizando los puntos terminales del lado izquief

''• los puntos medios y los puntos terminales del lado derechosubintervalos con igual ancho.]


ramuw En los ejercicios 42 a 44, emplear el programaT "r . pjercicio 41 para aproximar la integral definida y completar

en ei mla tabla-.)/

^- —4

_-— — '

8

10.— • — —

12

16

20

/(«) M(n) D(n) T(n) S(n)

42. 72 + 3x2 dx 43. V* dx

45. Área Emplear la regla de Simpson con n = 14 para aproximarel área de la región acotada por las gráficas de y = \/x eos x,y = 0,x = 0yx= 7T/2.

Para discusión

46. Considerar una función f(x) que es cóncava hacia arribasobre el intervalo [O, 2] y la función g(x) que es cóncavahacia abajo sobre [O, 2],

a) Usando la regla trapezoidal, ¿qué integral sería sobre-estimada? ¿Qué integral sería subestimada? Suponern = 4. Usar gráficas para explicar su respuesta.

tí) ¿Qué regla se usaría para mayor aproximación pre-cisa de J0 f(x) dx y J0 g(x) dx, la regla trapezoidal ola regla de Simpson? Explicar su razón.

47. Circunferencia La integral elípticafTT/2

873 VI -f sen2ed0Jo

proporciona la circunferencia de una elipse. Emplear la regla deSimpson con n = 8 para aproximar la circunferencia.

48. Trabajo Para determinar el tamaño del motor requerido enla operación de una prensa, una compañía debe conocer lacantidad de trabajo realizado cuando la prensa mueve un objetolinealmente 5 pies. La fuerza variable para desplazar el objetoes F(x) = 100;tVl25 — x3, donde F está dada en libras y xproduce la posición de la unidad en pies. Emplear la regla deSimpson con n = 12 para aproximar el trabajo W (en pies-libras)realizado a través de un ciclo si W = fo F(x) dx.

49. La tabla presenta varias mediciones recopiladas en un expe-rimento para aproximar una función continua desconocida.y = f(x).

X

y

0.00

4.32

0.25

4.36

0.50

4.58

0.75

5.79

1.00

6.14

x

y

1.25

7.25

1.50

7.64

1.75

8.08

2.00

8.14

a) Aproximar la integral J¿ f(x) dx utilizando la regla de lostrapecios y la regla de Simpson.

b) Utilizar una herramienta de graficación para encontrar unmodelo de la forma); = ax3 + bx1 + ex + rfpara los datos.Integrar el polinomio resultante en [O, 2] y comparar elresultado con el apartado a).

Aproximación de Pi En los ejercicios 50 y 51, utilizar la regla deSimpson con n = 6 para aproximar 77 utilizando la ecuación dada.(En la sección 5.7, se podrán calcular las integrales utilizandofunciones trigonométricas inversas.)

50. 7T =

1/2

-.dx 51. 77 =1 + X-

•dx

Área En los ejercicios 52 y 53, utilizar la regla de los trapeciospara estimar el número de metros cuadrados de tierra en un lotedonde x y y se miden en metros, como se muestra en las figuras.La tierra es acotada por un río y dos caminos rectos que se juntanen ángulos rectos.

52.X

y

x

y

0

125

600

95

100

125

700

88

200

120

800

75

300

112

900

35

400

90

500

90

1000

0

Río

Camino

200 400 600 800 1 000

Figura para 52

20 40 60 80 100 120

Figura para 53

53.X

y

X

y

0

75

70

72

10

81

20

84

80

68

90

56

30

76

100

42

40

67

110

23

50

68

120

0

60

69

.

54. Demostrar que la regla de Simpson es exacta cuando aproximala integral de una función polinomial cúbica, y demostrar elresultado para J0 x1 dx, n = 2.

55. Usar la regla de Simpson con n = 10 y un sistema algebraicopor computadora para aproximar t en la ecuación integral

sen v* dx = 2.

56. Demostrar que se puede encontrar un polinomio p(x) = Ax2 +Bx + C que pasa por cualesquiera tres puntos (x¡, yj, (x2, y2) y(x3, y3), donde las x¡ son distintas.


Ejercicios de repasoEn los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de/' para dibujar unagráfica de/.

1.2.

) i • í !

En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida. *

3. I (4x2 +x + 3)dx 4.

5.,; — dx v-J6

-w*x4 - 4x2 + 1

dx

7. (2* - 9 sen *) dx8. (5 eos x — 2 sec2 x) dx

9. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencialf(x) = — 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, —2).

10. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencialf"(x) = 6(x — 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y estangente a la recta 3x — y — 5 = O en ese punto.

' Campos dependientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacióndiferencial, un punto y un campo de pendientes, a) Dibujar dossoluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campode pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado.b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular dela ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficaciónpara representar la solución.

11.= 2x - 4,dx

(4, -2)n ¿y ' 2 o 12. — = -x2 - 2x,dx 2

(6,2)

13. Velocidad y aceleración Un avión que está despegando de unapista recorre 3 600 pies antes de elevarse. El avión parte desdeel reposo, se desplaza con aceleración constante y efectúa elrecorrido en 30 segundos. ¿A qué velocidad despega?

14. Velocidad y aceleración La velocidad de un automóvil queviaja en línea recta se reduce de 45 a 30 millas por hora en

una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cualel automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidadde 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleraciónconstante.

15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arribaverticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicialde 96 pies por segundo.

a) ¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima?¿Cuál es la altura máxima?

b) ¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidadinicial?

c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitadde la velocidad inicial?

16. Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (enmillas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a unacarretera interestatal. El tiempo t está en segundos.

t

Vi2

0

0

0

5

2.5

21

10

7

38

15

16

51

20

29

60

25

45

64

30

65

65

^ a) Reescribir las velocidades en pies por segundo.T* b) Usar las capacidades de regresión de una herramienta de

graficación para encontrar los modelos cuadráticos para losdatos en el apartado a),

c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.

En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribirla suma.

17.1 +^ + 4r +1

3(1) 3(2) 3(3)3(10)

18. (1+ 1 1±W\

En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas yel teorema 4.2 para calcular las sumas.

20 ,

19. 2 2¿;= i20

21. £ (i + D2

20.

22.

(4i - 1)

23. Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los priniero

n enteros positivos y c) 6 + 10 + 14 + 18 + • • • + 42.

24. Calcular cada suma para xí = 2, x2 = — 1, jc3 = 5, x_= 3y

«) 7

c)d)

Ejercicios de repaso 319

los ejercicios 25 y 26, utilizar sumas superiores e inferiores paraoximar el área de la región utilizando el número indicado de

subintervalos de igual ancho.

_LO25. y- a + 1

10

6-

26. y = 9-\x2

y

10-

-;

\2 2 4 V

En los ejercicios 27 a 30, recurrir al proceso de límite para deter-minar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje xsobre el intervalo dado. Dibujar la región.

27. y = 8-2*, [O, 3] 28. y = x2 + 3, [O, 2]

29. y = 5 -x2, [-2,1] 30. y = \x\]

31. Emplear el proceso de límite para encontrar el área de la regiónacotada por x = 5y — y1, x = O, y = 2y y = 5.

32. Considerar la región acotada por y = mx, y = 0,x = 0yx = b.

a) Determinar la suma superior e inferior para aproximar elárea de la región cuando AJC = b/4.

b) Determinar la suma superior e inferior para aproximar elárea de la región cuando Ax = b/n.

c) Encontrar el área de la región dejando que n tienda a infinitoen ambas sumas en el apartado b). Demostrar que en cadacaso se obtiene la fórmula para el área de un triángulo.

En los ejercicios 33 y 34, escribir el límite común integral definidoen el intervalo [«, fr], donde c¡ es cualquier punto en el í-ésimosubintervalo.

Límite Intervalo

33. lím £ (2c¡ - 3) A*,. [4, 6]

34. Hmo J 3c,.(9 - c,2) A*,. [1,3]

En los ejercicios 35 y 36, formular una integral definida que pro-duzca el área de la región. (No calcular la integral.)

35. f(x) = 2x 36. f(x) = 100 - x2

-6 / -2

En los ejercicios 37 y 38, dibujar la región cuya área está dadapor la integral definida. Utilizar después una fórmula geométricapara calcular la integral.

37. (5 - x - 5\)dx 38. /36 - x2 dx

f8 f8is f(x) dx = 12 y g(x) dx = 5,

'39. Dadas f(x) dx = 12 y — 5. evaluar

f8a) [/(.

J4

X) + g(X)] dx. b) [f(X) ~ g(X)] dx.fc) [2f(x) - 3g(x)] dx. d) lf(x) dx

r ff ( x ) d x = 4 yJo J3

40. Dadas f ( x ) d x = 4 y f (x) dx = - 1, calcular

f(x)dx. Líc) f ( x ) d x .

b) f(x)dx.Jó

f6

- 10/Oc) dx.J3

En los ejercicios 41 a 48, emplear el teorema fundamental delcálculo para calcular la integral definida,r &

f841.Jo

(3 + x) dx

43. I (4r3 - 2t) dtJ-ir9

45.

47. | sen 9 de

42. i" (f2J-3

2 + 1) dt

44. I (x4 + 3x2 - 4) dx1-2

'•í

x

'3TT/4

46.

48.

'• w5 ~ 73Ji \ x -T/4

sec2 t dt

En los ejercicios 49 a 54, dibujar la gráfica de la región cuya áreaestá dada por la integral, y encontrar el área.

49. I (3* - 4) dx

51. I (x2 - 9) dx1. í (x2 - 9)J3

53. x - x3) dx

50

52.

54.

'• /'Jo

(-x2 + x + 6) dx

En los ejercicios 55 y 56, determinar el área de la región dada.

55. y = sen x 56. y = x + eos x


En los ejercicios 57 y 58, dibujar la región acotada por las gráficasde las ecuaciones y determinar su área.

4 •••••. .57. y = —T=, y = 0, x = 1, x = 9 ','' ' ' . . ' [ ,.-(

58. y = sec2 x, y = 0, x = 0, x = '-

En los ejercicios 59 y 60, encontrar el valor medio de la funciónsobre el intervalo indicado. Determinar los valores de* a los cualesla función toma su valor medio, y granear la función.

59. f(x)=-j=, [4,9] 60. fb)=¿, [0,2]V* '':

En los ejercicios 61 a 64, emplear el segundo teorema fundamentaldel cálculo para encontrar F'(x).

fx fx \. F(x)= t2VTT7dt 62. F(X) = \dtJo Ji l

63. F(x) = í (t2 + 3t + 2) dt 64. F(x) = f ese2 í diJ-3 Jo

En los ejercicios 65 a 76, encontrar la integral definida.

f ' Í7 1\ = 65. (3 - x2)3dx ' 66. \\x + - } dxJ j\f X2 , r ;

o/. 1 ,-— dx ' 08. I jx v ¿x j dx

fin 1 ,./i t-.-7'i'i j.- ifi \ -/,- 69. JA(! .x) dx _ 70. J + fa _ ?)2 JA

r r 71. 1 sen3 eos * dx 72. 1 je sen 3;c2 dx ;•/ J

„,, f eos 0 Jn „,, f senx ,jyi-sen# ' '" " '? J y eos A- ' '' i;r • ., -¡ -i,,-* ,- :, ,',.,•;

75. 1(1 + sec T™)2 sec TX tan ^^ <¿e 76. 1 sec 2* tan 2x dxJ J

En los ejercicios 77 a 84, calcular la integral definida. Utilizar unaherramienta de graficación para verificar el resultado.

ri f177. 4*2 _ 6) dx : 78. x\x3 - 2)3 dx

J-2 i Jo =

r3 1 r6 1 ; 1 y79 Vv SO -ív

Jo yi + x J3 3Vx2^8r1 " r°

81. 27T (y + l)yi -ydj 82. 2-n- x2^x + 1 dxJo J-i

f" ;c í"7483. cos-dx • 84. sen2jcdx

Jo 2 J-V4

Campos de pendientes En los ejercicios 85 y 86, se dan unaecuación diferencial y un campo de pendientes, a) Dibujar dossoluciones aproximadas de la ecuación diferencial sobre el cam-po de pendientes, una de las cuales pase por el punto indicado.b) Utilizar la integración para determinar la solución particular dela ecuación diferencial y emplear una herramienta de graficaciónpara representar la solución.

85. ^ = y9 - x2, (0, -4) 86. = -^senU2), (0,0)dx dx 2 '

y ', í .. . .' y .- \ / 1 1 1 1 - /-x/^-3 ^/_N

-\\\\\-f///M- ^/ • .x/-\ \\\\\ //lll— -.''- -^x ^

— \ /////— ' •*'- — ^' s

-3 \/ / / / / 3 / — /. .x, x

— \/ lili- -T,-^/*- .-*./—•)-\\\\\--/////- / — /^ ,^x — N-\\\\\ /////— /—^/^ xxx— x-\\\\- / — /. ,xx — x-\\\\- / — /. xxx-x- \ 1 1 1 1 - ^^--T, ~xx — ,

• : / ' i.> - . ' 'En los ejercicios 87 y 88, encontrar el área de la región. Utilizaruna herramienta de graficación para verificar el resultado.

í-9 /-ir/2

87. x y* - 1 dx 88. [eos x + sen(2jc)] dxJi Jo

y .«> . n .' i , o-'.' yi '' ' . .,-, |

18-- / i. 2 1

\:;:: / • -A f\ \ i / \ r\

, V; 1 . , ',[ \f^"

-6-3 r 3 6 9 12í

89. Precipitación La precipitación normal mensual en Portland,Oregón, puede aproximarse mediante el modelo

R = 2.880 + 2.125 sen(0.578/ + 0.745) '

donde R está medida en pulgadas y f es el tiempo en meses, coní = 0 correspondiendo al 1 de enero. (Fuente: U.S. NationalOceanic and Atmospheric Administration)

a) Escribir una integral y aproximar la precipitación normalanual.

b) Aproximar la precipitación promedio mensual durante losmeses de septiembre y octubre.

90. Ciclo respiratorio Después de ejercitarse durante unos minu-tos, una persona tiene un ciclo respiratorio para el cual la tasade admisión de aire es

1 -7< „„„ v — 1. o sen .

Determinar el volumen, en litros, del aire inhalado durante unciclo, integrando la función sobre el intervalo [0, 2].

rp En los ejercicios 91 a 94, emplear la regla de los trapecios y 'aregla de Simpson con n = 4, y utilizar las capacidades de integra-ción de una herramienta de graficación, para aproximar la integr*1

definida. Comparar los resultados.

r3 2 r í3/2 91. . dx l)¿. 1 , dxh 1 + x2 Jo 3 - x2

CTT/2 Í-7J-

93. ^/xcosxdx 94. ^\+sen2xdxJo Jo

Solución de problemas 321

Solución de problemas

= -dt,x>0.'

c)

Sea

a)

Encontrar L(l).Encontrar L'(x) y L'(l).Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el va-lor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) = 1.Demostrar que L(x¡ x2) = L(x¡) + L(x2) para todos losvalores positivos de x¡ y x2.

'M = sen t2 di.h

Utilizar una herramienta de graficación para completar latabla.

X

F(x)

X

F(x)

0

2.1

1.0

2.5

1.5

3.0

1.9

4.0

2.0

5.0

1 1 pb) SeaGfr) = ~F(x) = sen t2 dt. Utilizar una

x - 2 x - 2 J2

herramienta de graficacón para completar la tabla y estimarlím G(x).

X

G(x)

1.9 1.95 1.99 2.01 2.1

c) Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valorexacto del límite lím G(x).

x-»2

En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de lafunción dada definida sobre el intervalo indicado como un límite.Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límiteutilizando el resultado del apartado b).

3. y = x4 - 4x3 + 4x2, [O, 2]

n(n.'H- —

~1

4. y = Í*5 + 2x3, [O, 2]

Sugerencia: ^ i4 =l)(3n2 + 3n -

/ „ A ., n\n + 1)2(2»2 + 2n - 1)I Sugerencia: y, l = - -\i 12

S. La función de Fresnel S se define mediante la integral

Cx i\ix) = sen -

a) Hacer la gráfica de la función = sen7TJC-

dt sobre elintervalo [O, 3].

b) Utilizar la gráfica del apartado a) para dibujar la gráfica de5 en el intervalo [O, 3].

c) Ubicar todos los extremos relativos de 5 en el intervalo (O, 3).d) Localizar todos los puntos de inflexión de S en el intervalo

(O, 3).

6. La aproximación gaussiana de dos puntos para/es

a) Utilizar esta fórmula para aproximar eos x dx. Encontrarel error de la aproximación. -'~1

f 1b) Utilizar esta fórmula para aproximar •dx.+ x2

c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos esexacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.

7. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es iguala | del producto de la base y la altura (ver la figura).

a) Graficar el arco parabólico delimitado por y = 9 — x2 yel eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar elárea A.

b) Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmulade Arquímedes.

c) Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábolageneral.

8. Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposiciónrelativa a los objetos en caída libre:

El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpoacelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual esemismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién-dose a una velocidad uniforme cuyo valor es la media de lavelocidad más alta del cuerpo acelerado y la velocidad justoantes de que empiece la aceleración.

Utilizar las técnicas de este capítulo para verificar esta propo-sición.

9. La gráfica de una función / consta de tres segmentos de rectaque unen a los puntos (O, 0), (2, -2), (6, 2) y (8, 3). La funciónF se define por medio de la integral.

F(x) = f(t) dt.Jo

a) Dibujar la gráfica de/.b) Completar la tabla.

X

F(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

c) Encontrar los extremos de F en el intervalo [O, 8].d) Determinar todos los puntos de inflexión de F en el intervalo

(O, 8).


10. Un automóvil se desplaza en línea recta durante una hora. Suvelocidad v en millas por hora en intervalos de seis minutos semuestra en la tabla.

t (horas)

v (mi/h)

0

0

0.1

10

0.2

20

0.3

40

0.4

60

0.5

50

t (horas)

v (mi/h)

0.6

40

0.7

35

0.8

40

0.9

50

1.0

65

a) Elaborar una gráfica razonable de la función de velocidadv graneando estos puntos y conectándolos con una curvauniforme.

b) Encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales la acele-ración a es positiva.

c) Encontrar la aceleración media del automóvil (en millaspor hora cuadrada) sobre el intervalo [O, 0.4].

d) ¿Qué significa la integral J0v(t) di? Aproximar esta integralutilizando la regla de los trapecios con cinco subintervalos.

e) Aproximar la aceleración en í = 0.8.

fx rí f1 \. Demostrar que f(t)(x~t)dt= f(v)dv)dt.

Jo Jo \Jo /rb

12. Demostrar que | f(x)f'(x) dx = ¿([f(b)]2 - [/(a)]2).

13. Utilizar una suma de Riemann apropiada para calcular el límite

lím ^ . _ „ H—>co ft- / ííi¡. • "'• '..' - ... -í

14. Utilizar una suma de Riemann apropiada para calcular el límite

25 + 35lím - n^oo W"

15. Suponer que/es integrable en [a, b] y O < m < f(x) < M paratodo x en el intervalo [a, b]. Demostrar que

f*m(a - b) < \ dx < M(b - a).

. ' Ja * -t> .;

rí . —-Utilizar este resultado para estimar J vi + x dx.

16. Sea/continua en el intervalo [O, b] donde f(x) + f(b — x) * Oen [O, b].

a) Demostrar que, =

'Of(x)+f(b-x)ax 2'

b) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

rí

ísen*

'o sen (1 - x) + sen xdx.

c) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

f3 Vx- r , ft - =dx.

J0 V* + V3 - x

17. Verificar que

l)(2n

demostrando lo siguiente.

á) (1 + ¡)3 - í3 = 3¡2 + 3í + 1

b) (n + I)3 = £(3¿2 + 3z + 1) + 1

c) 1

;=i

n(n + \}(1n + 1)

18. Demostrar que si / es una función continua en un intervalocerrado [a, b], entonces

f(x) dx\f(x)\dx.

19. Sea

/ = /M dxJo

donde / se muestra en la figura. Considerar que /(n) y D(rí) re-presentan las sumas de Riemann utilizando los puntos extremosdel lado izquierdo y los puntos terminales del lado derecho de nsubintervalos de igual ancho. (Suponer que n es par.) Sean T(ri)y S(ri) los valores correspondientes de la regla de los trapeciosy la regla de Simpson.

a) Para cualquier n, listar /(n), D(rí), T(n) e / en orden cre-ciente.

b) Aproximar 5(4).

20. La función integral seno

_,.,.. P senfSi (*) = - dt

seníse utiliza a menudo en la ingeniería. La función f(t) = ~~j~~

no está definida en í = O, pero su límite es 1 cuando f — > 0. De

tal modo, definir /(O) = 1 . En ese caso / es continua en todoslados.

ir a) Emplear una herramienta de graficación para representarSi(*).

b) ¿En qué valores de x Si(jc) tiene máximos relativos?c) Encontrar las coordenadas del primer punto de inflexi°n

donde x > 0.d) Decidir si Si(jc) tiene alguna asíntota horizontal. Si es as •

identificar cada una.

21. Determinar los límites de integración donde a<b, tal que

(x2- \6)dxJa

tiene valor mínimo.

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