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Interpolación Polinomial de Newton en diferencias divididas

Teoría

En este tema se da una posible respuesta a una situación bastante natural en el ámbito científico. Investigamos un fenómeno que se está desarrollando ante nuestros ojos, queremos estudiarlo, y junto con los modelos previos con que contemos, podemos tomar muestras experimentales.

Tenemos una serie de datos a partir de mediciones sobre el mismo. [Naturalmente hemos hecho una cantidad finita de mediciones.] Queremos extraer información de esos datos.

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolación polinomial.

Existe una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolación polinomial. El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es entre otros una de las formas más populares y útiles. Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación se basa en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica se conoce como interpolación lineal.

Al usar triángulos semejantes:

f 1 ( x )−f ( x0 )x−x0

=f ( x1 )− f ( x0 )

x1−x0

Ecuación 1.

Reordenando la ecuación se obtiene:

Ecuación 2.

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En la imagen de arriba se muestra la gráfica de la interpolación lineal. Las áreas en

verde indican los triángulos semejantes para obtener la fórmula de la interpolación lineal.

En general cuando menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación.

Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará

mejor aproximada por una línea recta.

Interpolación cuadrática

Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea

que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un

polinomio de segundo orden .Una manera conveniente para este caso es la siguiente:

f 2 ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+b2 ( x−x0 )(x−x1)

Ecuación 3.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los

coeficientes. Para bo, se usa la ecuación anterior con x=x0 y se obtiene.

b0= f (x0)

Ecuación 4.

Sustituyendo la ecuación 4 y 3 y evaluando en x=x1 se obtiene

b1=f ( x1 )−f ( x0 )

x1−x0

Ecuación 5.

Salvador Luna Hernández 9310212

Centro de Enseñanza Técnica Industrial Métodos NuméricosY por último las ecuaciones 5 y 4 se sustituyen en la ecuación 3 y se evalúa está en

x=x2 y se obtiene:

b2=

f ( x2 )−f ( x1 )x2− x1

−f ( x1)−f ( x0 )

x1−x0

x2−x0

Ecuación 6.

Forma general de los Polinomios de Interpolación de Newton

El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

f n ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+…+bn ( x−x0 ) ( x−x1) … (x−xn−1)

Ecuación 7

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1,..., bn.

Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x0, x1,..., xn. Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

b0=f (x0)

b1=f ( x1 , x0)

b2=f ( x2 , x1 , x0)

.

.

.

bn=f (xn , xn−1 ,… , x0)

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas, la n-ésima diferencia dividida finita es:

f ( xn , xn−1 , …, x0 )=f ( xn , xn−1 ,…, x1 )−f ( xn−1 , xn−2 , …, x0)

xn−x0

Ecuación 8.

Salvador Luna Hernández 9310212

Centro de Enseñanza Técnica Industrial Métodos NuméricosEstas diferencias se usan para evaluar los coeficientes b0, b1…bn, los cuales se sustituyen en la ecuación 7, para obtener el polinomio de interpolación:

f n ( x )= f (x0)+ f (x1 , x0)( x−x0 )+…+f ( xn , xn−1 , …, x0) ( x−x0 ) ( x−x1) … (x−xn−1)

Ecuación 9.

Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen:

i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)2 X2 f(X2) f(X3,X2)3 X3 f(X3)

Tabla de diferencias divididas

Error al interpolar Polinomios de Newton:

La ecuación del Polinomio de Interpolación por Diferencias Divididas de Newton es similar a la serie de expansión de Taylor. Se agregan términos en forma secuencial para capturar el comportamiento de alto orden de la función a analizar.

Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de derivadas de orden mayor.

Error de truncamiento:

Rn=f n+1 ε

(n+1 )!(x i+1−xi)

n+1

Para una interpolación de n-ésimo orden, una relación análoga para el error es:

Rn=f n+1 ε

(n+1 )! ( x−x0 ) ( x−x1) … (x−xn)

En donde ε es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso. Una formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar la derivada (n+1)–ésima y que no requiere el conocimiento previo de la función.

Salvador Luna Hernández 9310212

Centro de Enseñanza Técnica Industrial Métodos NuméricosUna formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar la derivada (n+1)–ésima y que no requiere el conocimiento previo de la función.

Rn=f [ x , xn , xn−1 , …, x0] ( x−x0 ) ( x−x1 ) …(x−xn)

Debido a que esta ecuación contiene el término f(x), no puede resolverse para el error. Si se dispone de un dato adicional la ecuación puede usarse para estimar el error.

Rn ≈ f [x , xn , xn−1 ,…, x0] ( x−x0 ) ( x−x1 ) …(x−xn)

Algoritmo de interpolación de Newton:

La ecuación obtenida de ajustar el polinomio puede desarrollarse en forma secuencial para versiones de orden mayor con la adición de un solo término a la siguiente ecuación de orden inferior. Al agregarse nuevos términos en forma secuencial se puede determinar cuándo se alcanza un punto de disminución de regreso, es decir, cuando la adición de términos de orden superior ya no mejora de manera significativa la estimación, o en otras situaciones la aleja.

Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del polinomio se pueden calcular de manera eficaz. Se usa diferencias del orden inferior para calcular las de alto orden.

El error estimado es simple de incorporar en un algoritmo de cómputo.

A continuación se muestra un algoritmo de interpolación de Newton escrito en pseudocódigo

Subroutine NewtInt (x,y, n, xi, yint, ea) LOCAL fddn,n

DOFOR i=0, n fddi,0=yi

END DODOFOR j=1, n DOFOR i=0, n-j fddi, ,j=( fddi+1, j - fddi,,j-1)/ (xi+j – xi) END DOEND DOXterm=1Yint0=fdd0,0

DOFOR order= 1, n xterm=xterm* (xi- xorder-1) yint2=yintorder-1 + fdd0, order * xterm Eaorder-1=yint2-yintorder-1

yintorder=yint2 END orderEND NewtInt

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