Prof. Jenner Huamán Callirgos

CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE BASE

I. De base n a base nk :Se toma el numeral de la base "n" y se separa de derecha a izquierda grupos de "k" cifras. En seguida, a cada grupo se aplica descomposición polinómica.Si no todos los grupos tienen “k” cifras; se les completa con ceros a las izquierda, hasta tener k cifras.

EjemploExprese 11011011101(2) en el sistema octanario.

Resolución:

Como 8 = 23 (cada grupo se formará de 3 cifras)k

01 1 011 011 101(2)1x22+0x2+1= 51x2+1= 31x2+1= 31x2+1= 3

5(8)333

11011011101(2)= 3335(8)

Convertir el numeral 101011110(2) a base 8.

Resolución:

Respuesta:536(8)

Convertir el numeral 221122010(3) a base 9.

Resolución:

Respuesta:27563(9)

II. De base nk a base n: Se toma cada una de las cifras de la base nk y se convierte a base n, tratando de obtener grupos de "k" cifras, si algún grupo no tiene "k" cifras se completa con ceros a la izquierda. Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones sucesivas entre n.

EjemploExprese 5207(9) en el sistema ternario.

Resolución:

9 = 32 (cada cifra de la base 9 origina 2 cifras en base 3)

5 2 0 7(9)7 3

21

21(3)

0

003

00

2

0235

123

0212

5207(9) = 12020021(3)

Convertir el numeral 5462(8) a base 2.

Resolución:

Respuesta:101100110010(2)

Convertir el numeral 2534(9) a base 3.

Resolución:

Respuesta:2121011(3)

CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS DECIMALES

I. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10

Se utiliza Descomposición polinómica:

0,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎… 𝑛𝑛 =𝑎𝑎𝑛𝑛

+𝑎𝑎𝑛𝑛2 +

𝑎𝑎𝑛𝑛3

+𝑎𝑎𝑛𝑛4

+ ⋯

Resolución

Convertir 0,321(5) a base 10

Ejemplo

0,321 5 =35

+252 +

153

=86

125= 0,688

0,321(5) = 0,688

Convertir 0,2(7) a base 10

Resolución:

Respuesta:0.285714

II. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Se utiliza multiplicaciones sucesivas.

Forma Práctica: Se traza una vertical por la coma decimal.La parte decimal se multiplica por la nueva base, del resultado, la parte entera se coloca a la izquierda de la vertical y la parte decimal se vuelve a multiplicar por la nueva base y así sucesivamente.

Ejemplo

Convertir 0,3125 a base 8

Resolución:

0 , 31252 50004 0000

0,3125 = 0,24(8)

x8=2,5000x8= 4,0000

Convertir 0,7 a base 8

Resolución:

Respuesta:0.54631(8)

Convertir 0,5(8) al sistema nonario.

Resolución:

Respuesta:0.5(9)

LÍMITE DE UN NUMERAL

En general, si N(b) tiene k cifras, se encontrará en el siguiente intervalo:

𝑎𝑎𝑘𝑘−1 ≤ 𝑁𝑁 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎𝑘𝑘

Ejemplo

En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3 cifras?Resolución

Por dato, tenemos: 1234 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 , n =¿?

Entonces: 100 𝑛𝑛 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 < 1000 𝑛𝑛

Pasando a base 10: 𝑛𝑛2 ≤ 1234 < 𝑛𝑛3

De donde: 𝑛𝑛2 ≤ 1234 y 1234 < 𝑛𝑛3

𝑛𝑛2 ≤ 35, … y 10, … . . < 𝑛𝑛

Luego: 𝑛𝑛 ∈ 11; 12; 13; . . . . . . . ; 35 Toma: (35 -10)/1 = 25 valores

Como expresar un numeral en cifras mínimasSon cifras mínimas en un sistema de numeración, todas las cifras menoreso iguales a la mitad de la base del sistema en cuestión.

Ejemplo

SISTEMA BASE CIFRAS MÍNIMAS

Binario 2 0; 1

Ternario 3 0; 1

Cuaternario 4 0; 1; 2

.

.,

Decimal 10 0; 1; 2; 3; 4; 5

Todo numeral correspondiente a un sistema de numeración, puede ser expresadoen cifras mínimas en dicha base, sin alterar su valor.

ReglaSe resta, de derecha a izquierda la base del sistema de numeración, a cada cifmayor que la cifra mínima, y se agrega una unidad a la siguiente cifra de laizquierda. Si la cifra es menor o igual que la cifra mínima se mantiene igual, a menos que al ser aumentado en una unidad, debido a la cifra de su derecha sula cifra mínima.Se repite el procedimiento hasta terminar con todas las cifras mayores que la cmínima.

EjemploExpresar 36785(9) en cifras mínimas.Resolución

En base 9, las cifras mínimas son: 1, 2, 3, 4,

1º orden: 5 - 9 = 4

2º orden: 8 + 1 = 9 9 -9= 0

3º orden: 7 + 1 = 8 8 -9= 1

4º orden: 6 + 1 = 7 7 -9= 2

5º orden: 3 + 1 = 4

36785(9) =4 2 1 0 4(9)

Ejemplo

Utilizando una balanza de dos platillos y una colección de pesas de 1g,10g, 100g,….10ng, se desea pesar un objeto que pesa 9807gramos. Averiguar el menor número de pesas necesarias para tal fin.

Resolución

Si se ubica el objeto en un platillo y las pesas en el otro, serían necesarias:9807 = 9 x 103 + 8 x 102 + 7 x 1

9 + 8 + 7 = 24 pesas

Pero si se quiere utilizar el menor número posible de pesas es suficiente expresar9807 en cifras mínimas.

9807 = 1 0 2 1 3 = 1 x 104 – 2 x 102 + 1 x 10 - 3 x 1

De esta expresión se deduce:Son necesarias solamente: 1 + 2 + 1 + 3 = 7 pesas de los cuales 1 es de 104g,2 de 100g, 1 de 10g y 3 de 1g.

La distribución de las pesas es la siguiente: en el primer platillo se ubican 1 pesa de104g y otra de 10g; o sea 10010g. En el otro platillo se coloca el objeto de 9807gmás 2 pesas de 100g y 3 pesas de 1g, que hacen:9807 + 200 + 3 = 10010g y equilibran el primer platillo.