Numero Complejos

ÁLGEBRA SUPERIOR

ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007

Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas

Leticia Lizette Espinosa Fahl

Joaquín Gilberto Treviño Dávila

José Santos García

Claudio Hiram Carmona Jurado

Abraham Leonel López León

Carlos Alfonso Gameros Morales

Kluis Roberto Fernández Guillén

Arturo Córdova González

Ph. D. Martha G. Canales Leyva

1

OBJETIVO DEL CURSO

Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.

2

NÚMEROS COMPLEJOS Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades

Lectura comprensiva Concepto de número complejo Representación de un número complejo en el plano

cartesiano Conjuntos de números Cálculo de un ángulo usando arco tangente Funciones seno y coseno Graficar en el plano cartesiano Concepto de par ordenado

3

NÚMEROS COMPLEJOS4.1. Números Complejos

Definición

Es un número que esta formado por dos partes, una parte real y otra parte imaginaria y se expresa en varias notaciones.

Generalmemte se usa la letra “z” para nombrarlos.

Forma Cartesiana

z = a + b iDonde a y b son números reales e i = √ -1 es la unidad imaginaria.

“a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria

Ejemplo z1 = 4 + 3i z2 = -2 + 2 i 4


Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo z1 = a + b i se define como

El conjugado es z1 = a - b iEjemplo z1 = 7 – 5 i z1 = 7 + 5 i

5


Imaginario Puro y Real Puro

Cuando a = 0 queda z1 = 0 + b iY se denomina Imaginario PuroEjemplo z1 = – 5 iPor otra parte si b = 0 se tiene un Real PuroEjemploz2 = 7 + 0 i z2 = 7

6

NÚMEROS COMPLEJOS4.2. Números Complejos en forma Cartesiana

Representación Cartesiana

Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real.

Los números complejos se pueden representar como puntos del

par ordenado.

z1 = a + b i = (a,b)

7


Ejemplos

z1 = 3 + 6 i P1 (3,6)

z2 = -2 + 4 i P2 (-2,4)

z3 = -3 – 1 i P3 (-3,-1)

z4 = 2 – 3 i P4 (2,-3)

R

Ι

•

•

•

•

8


Ejemplos

Si i = √ -1 es la unidad imaginaria

ii2

=i i = √ -1 √ -1 =-1

i3 =i2

i = -1 i =- i

i4 = i2 i2

= (-1) (-1) = 1

i5 = i4 i

= 1 i = i

Y asi sucesivamente...

R

Ι

i

i2

i4

i3

•

•

•

•

9


Representación cartesiana de los números Imaginario Puro y Real Puro

El imaginario puro se ubica sobre el eje de la Ι y el real puro sobre el eje R

Ejemplo z2 = 3 i

z3 = -2

z4 = 4

z1 = – 5 i

•

•

•

•

Ι

10


Con los números complejos representados en la forma Cartesiana se pueden realizar las siguientes operaciones:

Suma Resta Multiplicación División Potencia

11

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana

Suma

Sean los dos números complejos

z1 = a1 + b1 i

z2 = a2 + b2 i

Se define la suma de dos números complejos como

z3 = z1 + z2 =( a1 + a2) + ( b1 + b2 ) i

Ejemplo Sean z1 = 7 -2 i z2 = -3 +8 i

z 3 = z1 + z2 =( 7-3) +(-2+8)i = 4 +4i 12


Resta

Sean los dos números complejos

z1 = a1 + b1 i

z2 = a2 + b2 i

Se define la resta de dos núumeros complejos como

z3 = z1 - z2 =( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i

Ejemplo z1 =17 -2 i z2 = -3 +28 i

z 3 = z1 - z2 =( 17-(-3)) +(-2-28)i = 20 - 30i

13


Multiplicación

Sean los dos números complejosz1 = ( a1 + b1 i )

z2 = ( a2 + b2 i )

Se define la multiplicación de dos números complejos comoz3 = z1z2 =( a1a2 –b1b2 ) + (a1 b2 + a2b1) i Ejemplo Sean z1 = 5 -2 i z2 = -3 +4 i z 3 = z1 z2 =( 5 (-3) – (-2)4) + (5(4) + (-3)(-2)) = -7 + 26i

14


Multiplicación

Ejemplo Sean z1 = 5 -2 i z1 = 5 + 2

z 3 = z1 z2 =( 5 (5) – (-2)2) + (5(2) + (5)(-2)) = 25 +4= 29

La multipliación de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de las partes reales, quedando como resultado un Real Puro.

15


División

Sean los dos números complejosz1 = a1 + b1 i

z2 = a2 + b2 i

Se define la división aplicando la multiplicación por la unidad, formando dicha unidad con el conjugado de z2 para obtener un real en el denominador

z3 = = = 2

1

zz

2

2

zz

2

1

zz

)b(a i )ba - b (a ) bb aa (

2

2

2

2

21122121

+++

16


Ejemplo

Sean los dos números complejosz1 = 2 + 3 i

z2 = -4 +1 i

z3 = = =

=-5/17 – 14/17 i

2

1

zz

)(1) (-4) ( i 2(1))- ((-4)3 3(1)) (2(-4)

22 +++

)b(a i )ba - b (a ) bb aa (

22

2

22

2

21122121

+++

17


Potencia

Sea el número complejoz1 = a1 + b1 i

Se define la potencia con base a la multilicaciónz2

n = (a1 + b1 i) n

= (a1 + b1 i) (a1 + b1 i) (a1 + b1 i) ..... (a1 + b1 i)

Ejemplo z1 = -5 + 3 i

z2 = z13

= ( -5 + 3 i )3 = ( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )

= 10 + 198 i 18

NÚMEROS COMPLEJOS4.3. Números Complejos en Forma Polar

Números Complejos en forma Polar

Se enuncia un número complejo en la forma polar como:

Z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 )

En donde:

Módulo r1 = (a2 + b2) ½

Amplitud o argumento θ 1 = arc tan (b/a)

19

NÚMEROS COMPLEJOS4.3. Números Complejos en Forma Polar

Representación Polar

Para graficar en la notación Polar, solo es necesario un eje, que es R.

Z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 )

En donde:

r1 = (a2 + b2) ½

θ 1 = arc tan (b/a)

a

bθ

R

Ι

20

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar

Operaciones con los números complejos expresados en forma polar

• Multiplicación• División• Potencia• Raíces

21


Multiplicación de números complejos expresados en forma polar

Sean los dos números complejosz1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )

z2 =r2 ( Cos θ 2+ i Sen θ 2 )

Se define la multiplicación comoz3 = z1 z2 = r1 r2 (Cos ( θ 1+ θ 2) + i Sen ( θ 1 + θ 2) )

Ejemplo z1 = 5( Cos 10 º + i Sen10º ) z2 =3 ( Cos 15 º + i Sen 15º )

Calcular z3 =z1 z2 = 5(3)((Cos (10+ 15))+ ( i Sen(10 + 15)))

z3 =15 ( Cos 25º + i Sen 25º ) 22


División de números complejos expresados en forma polar

Sean los dos números complejosz1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )

z2 =r2 ( Cos θ 2+ i Sen θ 2 )

Se define la división como z3 = z1 /z2 =( r1 / r2) (Cos ( θ 1 - θ 1) + i Sen ( θ 1 - θ 1) )

Ejemplo z1 =24 ( Cos 40º + i Sen 40º ) z3 =10 ( Cos 3º + i Sen3º )

Calcular z4 = z1 / z3 = (24-10) (( Cos (40-3)+ i Sen (40-3) ))

z4 = 2.4(( Cos37º + i Sen 37º ) 23


Potencia de números complejos expresados en forma polar

Sea el número complejo

z1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )

Se define la potencia como

( z3)n =(r1 ) n

(Cos (n θ 1) + i Sen ( n θ 1) )

Ejemplo Sea z1 = 2 ( Cos 30º + i Sen 30º )

z1 4 = (2( Cos 30º + i Sen 30º ))4 = 24

( Cos4(30) + i Sen 4(30) )

z1 4 =16 ( Cos 120º + i Sen 120º )

24


Raices de números complejos expresados en forma polar

La expresión para calcular la potencia de un número complejo, es la fórmula de Moivre, la cual es válida para todo valor real de n. Para valores fraccionarios corresponde a radicales.

Las n raíces enésimas de un número complejo se obtienen dando valores a k =0,1,2,3... n-1 en:

( z3)1/ n =(r1 ) 1/ n

(Cos ( ) + i Sen ( ) ) n360k 0

1 +θn360k 0

1 +θ

25


Raices de números complejos expresados en forma polar ……

Ejemplo Sea z3 = 81( Cos 16º + i Sen 16º )

z4 =( z3)1/ 4 =(r ) 1/ n

(Cos (θ 1 +k 360o) / n) + i Sen ( θ 1 +k 360o) / n) )

Serán 4 raices para k con valores de 0,1,2,3Para k=0z1 =(81) 1/ 4

(Cos (16 +0( 360o)) /4) + i Sen (16 +0( 360o)) /4))

z1=3( Cos 4º + i Sen 4º )

Para k=1z2 =(81) 1/ 4

(Cos (16 +1( 360o)) /4) + i Sen (16 +1( 360o)) /4))

z2=3( Cos 94º + i Sen 94º ) 26



Para k=2

z3=(81) 1/ 4 (Cos (16 +2( 360o)) /4) + i Sen (16 +2( 360o)) /4))

z3=3( Cos184º + i Sen 184º )

Para k=3

z4=(81) 1/ 4 (Cos (16 +3( 360o)) /4) + i Sen (16 +3( 360o)) /4))

z4=3( Cos 274º + i Sen 274º )

27



Ejemplo

Representadas las cuatro raices en el Eje Polar quedan

z1

z2

z3

z4

R

28

NÚMEROS COMPLEJOS4.4. Coversión de forma Cartesiana a forma Polar y

viceversaForma Polar y forma Cartesiana

Para convertir considerar la definición de los números complejos en ambas formas.

z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 ) y z1 = a + bi En donde: Para la forma Cartesiana será:a= r1 Cos θ 1 b = r1 Sen θ 1

Para la forma Polar será: r1 = (a2 + b2) ½ θ 1 = arc tan (b/a)

a

bθ

R

Ιr

29

NÚMEROS COMPLEJOS Bibliografía

30

Numero Complejos

Education

Transcript of Numero Complejos