La esfera y los numeros complejos

Aplicaciones en MatLab

R. Pardo

M. Salas

Departamento de Ingeniera

Universidad Privada Boliviana

25 de junio de 2013

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Indice

1. Introduccion 4

1.1. Que es una esfera? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Forma binomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Aplicaciones en MatLab 7

2.1. Funcion para la obetencion de numero complejo en su forma polar 82.2. En el command window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Funcion para la obetencion de una esfera . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Conclusiones 8

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Indice de figuras

1. Plano Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Forma polar de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Grafica de una esfera en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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Resumen

En este artculo se podra apreciar la definicion de lo que es una esfera,

en que consiste y todas sus caractersticas.Tanbien veremos los numeros

complejos, sus diferentes formas de representarlo...etc.

1. Introduccion

1.1. Que es una esfera?

Una esfera es un semicrculo que gira sobre su diametro y que describe enel espacio un cuerpo geometrico llamado esfera.Si consideramos una semicir-cunferencia que gira sobre su diametro, la superficie curva que se genera es lasuperficie esferica.

1.2. Elementos

1. Centro : El centro de la esfera es el centro del crculo 320.

2. Radio : Cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de lasuperficie se denomina radio.

3. Dametro:cualquier cuerda que pasa por el centro. Cuerda: segmento queune dos puntos de la superficie esfrica.

4. Polos : son los puntos de interseccin del eje de giro con la superficie esferica.

1.3. Ecuaciones de la circunferencia

a) EC.De circunferencia con el centro

(x h)2 + (y k)2 = R2 (1)

b) EC.De circunferencia con centro en el origen

x2 + y2 = R2 (2)

c) EC.General de la circunferencia

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0 (3)

Ejemplo.- Hallar la ecuacion de la circunferencia de radio = 2;concentricaa la ecuacion x 2 + y 2 10x 6y + 9 = 0

x2 10x+ y2 6y = 9 (4)

(x 5)2 52 + (y 3)2 32 = 9 (5)

(x 5)2 + (y 3)2 = 52 (6)

El centro esta en:(5,3); la nueva circunferencia, por ser concentrica, tendra elmismo centro.(x h) 2 + (y k) 2 = R 2 = (x 5) 2 + (y 3) 2 = 2 2

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1.4. Numeros complejos

Se puede considerar complejos como el conjunto de los pares ordenados denumeros reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:

0 = (0, 0) (7)

z = (x,y) (8)

Con estas operaciones complejas se tiene la estructura de cuerpo conmutativo:

1. Elemento neutro:0 = (0, 0) (9)

2. Elemento opuesto:z = (x,y) (10)

3. Elemento unidad:1 = (1, 0) (11)

4. Elemento inverso:

1/z = (x/(x2 + y2),y/(x2 + y2)) (12)

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente ce-rrado, es decir, toda ecuacin algebraica (polinomica) con coeficientes complejostiene siempre al menos una raz compleja (y por tanto las tiene todas).

El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en Cuna relacion de orden total que respete las operaciones de suma y producto. Notiene por tanto sentido comparar dos numeros complejos en la manera en queestamos acostumbrados a hacer con los reales.

1.5. Forma binomica

Podemos considerar complejo como un espacio vectorial isomorfo, es decir,de dos dimensiones de este modo se tiene:

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x+ iy (13)

Grficamente, podemos representar (y por tanto que sea un numero complejo)como un plano.

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Figura 1: Plano Complejo

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Figura 2: Forma polar de un complejo

1.6. Forma polar

Otra forma de expresar un numero complejo es la forma polar o formamodulo-argumento

z = |z|(cosx+ isenx) (14)

donde z es el mdulo de z, y donde x(angulo)que es un argumento dez, xun angulo tal que:

cosx = x/|z|, senx = y/|z| (15)

2. Aplicaciones en MatLab

A continuacion presentaremos algunos ejemplos tanto de el calculo de unaesfera como la obtencion de un numero complejo en su forma polar.

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2.1. Funcion para la obetencion de numero complejo en

su forma polar

z=2+3i;n=1.25;rz = z (1/n);r=abs(z);a=angle(z);zr=r(1/n)*(cos(a/n)+1j*sin(a/n));disp([rz;zr])

2.2. En el command window

z=2+3i;n=1.25;rz = z (1/n);r=abs(z);a=angle(z);zr = r (1/n) (cos(a/n) + 1j sin(a/n));disp([rz;zr])1.9711 + 1.9744i1.9711 + 1.9744i

2.3. Funcion para la obetencion de una esfera

r = 7;[X,Y, Z] = sphere();surf(X*r, Y*r, Z*r)axis(equal)

2.4. Grafica

[Vease la Figura 3]

3. Conclusiones

Bueno,el artculo en si tuvo varias etapas desde la elaboracion de las teorashasta la ejemplificacion en matlab para hacer un trabajo exquisito.Tal vez laparte mas dificil fue la realizacion de las graficas en matlab pero con esfuerzo ydedicacion logramos hacerlas con una buena precision,despues requerimos infor-macion donde la teoria sea valida pra cada una de nuestras investigaciones.Juntoson el software concordamos con la teoria y quedamos satisfechos.

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Figura 3: Grafica de una esfera en MatLab

Referencias

[1] http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.

[2] http://www.slideshare.net/Lucydmartinez/qu-es-una-esfera

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