INSTITUTO TECNOLOGICO DE LOS MOCHIS

USOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS EN INFORMATICA

ESPINOSA ORDUO GILBERTO

Nmeros ComplejosLos nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales, constan de dos componentes: una parte real y una imaginaria. Cuando representamos nmeros complejos en un plano, llamamos "eje real" al horizontal y "eje imaginario" al vertical. Un punto de un plano se puede expresar como nmero complejo. Lo importante es tener en cuenta que un nmero complejo puede representarse grficamente como un vector, por eso conserva de ste sus coordenadas polares: el mdulo y el ngulo.Estos nmeros surgen como soluciones a ecuaciones algebraicas que no encuentran solucin en el campo de los nmeros reales. Por ejemplo: En dichas ecuaciones el valor de X no se encuentra en los nmeros reales, para dar solucin a las anteriores ecuaciones se considera la existencia de un nmero i (numero imaginario) que da solucin a dichas ecuaciones.A travs de la historia los nmeros imaginarios han ocupado un lugar muy interesante en las matemticas, sin embargo no es hasta el siglo XVI en que se dan los primeros trabajos importantes con estos, han tenido que pasar por un proceso de investigacin verdaderamente exhaustivo para poder dar resultados que realmente satisficieran a los matemticos de todo el mundo. La versatilidad de los nmeros imaginarios y complejos radica en la resolucin de problemas aparentemente imposibles de resolver y esto es lo que da a los nmeros complejos una amplia gama de aplicaciones en casi todas las ramas de la ciencia. Si bien las principales ramas de la ciencia que se benefician por estos nmeros son la Fsica y la Electrnica, hay mltiples aplicaciones para otras ramas y la informtica no es la excepcin.

Dibujando un elefante con nmeros complejosJohn von Neumann afirm: con cuatro parmetros puedo ajustar un elefante, y con cinco puedo lograr que mueva su trompa. Enrico Fermi le record esta frase a Freeman Dyson en una conferencia en 1953 y desde entonces es ampliamente conocida entre los fsicos.Cmo se puede ajustar con slo cuatro nmeros una curva cerrada con forma de elefante? Muy fcil, se ajustan las dos componentes (x(t),y(t)) de la curva con una serie de Fourier y truncamos esta serie de tal forma que obtenemos una aproximacin suavizada de la curva original (en la que hemos eliminado las altas frecuencias). Jugando un poquito es fcil obtener figuras realmente complicadas con slo unos pocos nmeros. Con cuatro nmeros reales es difcil obtener algo que se parezca a un elefante, pero con cuatro nmeros complejos es realmente fcil.

En esta imagen muestra un ejemplo, incluyendo la serie de Fourier y los 4 parmetros complejos necesarios. La parte real del quinto parmetro permite mover la trompa del elefante.Pues bien con esto queda demostrado que tienen los nmeros complejos para crear figuras complejas con relativa facilidad, y es por este hecho que la importancia de los nmeros complejos en la informtica radica en el aspecto grfico y la animacin.Si se desea graficar una figura muy compleja con nmeros reales no ser una tarea imposible, pero s muy difcil dependiendo de la complejidad de las curvas que se deseen graficar, pues bien para los nmeros complejos este no es ningn problema.Los nmeros complejos no solo crean curvas muy complejas con mucha facilidad hacindolos altamente recomendables a la hora de crear imgenes, sino que tambin cuentan con aplicaciones en el plano geomtrico que los hacen muy aptos para la animacin tambin. Estas aplicaciones que son: Traslaciones, Homotecias, Giros, Proyecciones Ortogonales y Simetras; encuentran su uso en la informtica con las animaciones, un ejemplo de ello es el Lenguaje de programacin Logo, este lenguaje es un derivado de LISP que es principal lenguaje usado para tratar temas de inteligencia artificial.Lo ms remarcable de este leguaje es la llamada tortuga que es un puntero con el cual por medio de instrucciones y coordenadas puede formar todo tipo de figuras.En este lenguaje las figuras se crean formando un conjunto de pares, los cuales grficamente representan nmeros complejos, por ejemplo:haz "auto [ [[-16 -4] [-12 -4] [-8 0] [-8 4] [-12 8] [-16 8] [-20 4] [-20 0] [-16 -4]] [[32 0] [32 12] [20 16] [16 24] [-20 24] [-28 12] [-28 0] [-20 0]] [[8 0] [8 4] [12 8] [16 8] [20 4] [20 0] [16 -4] [12 -4] [8 0]] [[0 12] [0 22] [14 22] [18 16] [18 12] [0 12]] [[-22 12] [-4 12] [-4 22] [-18 22] [-22 12]] [[32 10] [34 10] [34 6] [32 6]] [[-8 0] [8 0]] [[20 0] [32 0]]]Lo anterior es la instruccin para crear un auto en Logo el primer punto del trazo es -16-4i, pero en Logo simplemente se representa como [-16 -4].De esta forma si cada par es considerado como un nmero complejo es posible usar las Traslaciones, Homotecias, Giros, Proyecciones Ortogonales y Simetras para poder crear animaciones en dicho lenguaje.En conclusin los nmeros complejos poseen un sinfn de aplicaciones posibles para casi todas las ramas de la ciencia, si bien en la informtica su uso an no est demasiado extendido, hasta ahora se ha podido comprobar que su mayor potencial se encuentra en el apartado visual, si nosotros somos capaces de utilizarlos con dicho fin somos capaces de simplificar y aumentar nuestra eficiencia y eficacia a la hora de crear imgenes y animaciones, no solo nos ahorrara largas hojas de cdigo sino tambin nos facilita enormemente las cosas por las propiedades de los nmeros complejos,lo cual se reflejara en una reduccin de la carga de trabajo enorme en comparacin si utilizramos nmeros reales para dicho fin.