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NUMEROS COMPLEJOS

El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas

matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. Por ejemplo

𝑥2 + 1 = 0 no tiene raíces reales; dado que no existe ningún número real que elevado al

cuadrado sea igual a -1. El conjunto de los números complejos es una ampliación del conjunto

de los números reales.

Los números complejos son muy útiles en Ingeniería y Electrónica, aunque son necesarios otros

conocimientos matemáticos que exceden el nivel de este curso para poder comprender estas

aplicaciones.

En el año 1545 el matemático italiano Gerónimo Cardano (1501 - 1576) trataba de resolver el

siguiente problema: ¿Es posible expresar el número 10 como suma de dos números reales tales

que el producto de ellos sea igual a 40?

Para resolver este problema, si llamamos x e y a los números de la descomposición y planteamos

las ecuaciones

𝑥 + 𝑦 = 10

𝑥.𝑦 = 40

resulta, 𝑦 = 10 − 𝑥

Debemos resolver la ecuación cuadrática 𝑥 10 − 𝑥 = 40, es decir

−𝑥2 + 10𝑥− 40 = 0

Aplicando la fórmula cuadrática, obtenemos:

𝑥1,2 =−10 ± 102 − 4 −1 (−40)

2(−1)

Es decir

𝑥1 =−10 + −60

−2

2

𝑥2 =−10− −60

−2

lo cual es equivalente a 𝑥1 = 5 + −15 y 𝑥2 = 5− −15 .

Cardano advirtió que este problema no podía ser resuelto, porque las soluciones halladas no

tienen sentido en el conjunto de los números reales: −15 no es un número real, es decir no

existe ningún número real cuyo cuadrado sea -15.

De todas maneras algunos algebristas italianos como Tartaglia (1500-1577), Ferrari 1522-1565) y

el mismo Cardano, entre otros trabajaron formalmente con expresiones como las anteriores y

operaron con ellas junto con los números reales.

Posteriormente, en el año 1777, Euler (1707-1783) introdujo el símbolo i (por imaginario) para

indicar un número tal que 𝑖2 = −1 .

Utilizando i resulta que, por ejemplo: −15 = −1 15 = 15𝑖2 = 15 𝑖

De esta manera, las soluciones de la ecuación cuadrática que surgen del problema de Cardano

pueden expresarse como: 𝑥1 = 5 + 15𝑖 y 𝑥2 = 5 − 15𝑖 .

Pero está claro que no se trata de números reales.

Observemos que 𝑥 = 𝑖 y 𝑥 = −𝑖 son soluciones de la ecuación 𝑥2 + 1 = 0. Porque:

𝑖2 + 1 = −1 + 1 = 0 y −𝑖 2 + 1 = −1. 𝑖 2 + 1 = 1. −1 + 1 = 0

Definición Llamaremos número complejo a un número z que se escribe en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖,

donde a y b son números reales e i verifica que 𝒊𝟐 = −𝟏

Al número a se lo denomina parte real del número complejo z y se lo indica 𝑅𝑒(𝒛) = 𝒂 .

Al número b se lo denomina parte imaginaria del número complejo z y se lo indica 𝐼𝑚(𝒛) = 𝒂.

Indicamos con la letra 𝐶 al conjunto de todos los números complejos:

𝐶 = 𝑧 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ

Todas las ecuaciones polinómicas de segundo grado, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con discriminante

negativo, es decir, 𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 < 𝟎, que no tienen solución en ℝ, tienen solución en el conjunto 𝐶

3

Ejemplos de números complejos:

Número complejo Parte real Parte imaginaria

5 + 2𝑖 5 2

0 + 2𝑖 0 2

−1 − 𝑖 -1 -1

3

2+ 0𝑖 3

2

0

0.2 + 𝑖 0.2 1

-6 -6 0

𝜋𝑖 0 𝜋

0 0 0

Observemos que:

Un número complejo cuya parte imaginaria es cero, es decir de la forma 𝑎 + 0𝑖, se lo

identifica con un número real.

Por ejemplo: −3 + 0𝑖 = −3 ∈ ℝ

Todo número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria es cero.

Por ejemplo 2 = 2 + 0𝑖 ∈ 𝐶

Esto sucede por que

“El conjunto de los números reales está incluido en el conjunto de los números complejos”:

ℝ ⊂ 𝐶 sea 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 = 𝑎 + 0𝑖, entonces 𝑎 ∈ 𝐶.

Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro

Por ejemplo: 0 + 8𝑖; 2𝑖; 𝜋𝑖,−𝑖 son complejos imaginarios puros.

Definición Dos números complejos 𝑧 y 𝑤 son iguales si, y solo si tienen la misma parte real y la

misma parte imaginaria.

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Simbólicamente 𝑧 = 𝑤 si y solo si 𝑅𝑒(𝒛) = 𝑅𝑒(𝒘) y 𝐼𝑚 𝒛 = 𝐼𝑚(𝑤)

Nos planteamos las siguientes preguntas acerca de los números complejos

¿Es posible definir en 𝐶 las operaciones elementales, de modo que cuando se opere con los

números reales (que se identifican con una parte del conjunto 𝐶) se obtengan los mismos

resultados que en ℝ, y se verifiquen las propiedades?

¿Se pueden representar gráficamente los números complejos?

La respuesta a ambas preguntas es afirmativa

Es posible sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos y como se observará el

resultado será siempre un número complejo.

Operaciones en 𝐶

Suma

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces la suma está dada por

𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

Observación: Para sumar dos números complejos, se suman separadamente sus partes reales e

imaginarias.

Definición Dado el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, decimos que −𝑎 − 𝑏𝑖 es su opuesto, y lo notamos:

−𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖

Se probará en la práctica que la suma de números complejos verifica las siguientes propiedades:

1. 𝑧 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑧 conmutativa

2. 𝑧 +𝑤 + 𝑣 = 𝑧+ 𝑤+ 𝑣 asociativa

3. 𝑧 + 0∁ = 0∁ + 𝑧 = 𝑧 siendo 0∁ = 0 + 0𝑖 neutro aditivo

4. 𝑧 + −𝑧 = −𝑧 + 𝑧 = 0∁ opuesto aditivo

Resta

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces la resta está dada por

𝑧 − 𝑤 = 𝑧 + −𝑤 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖

5

Es decir a z le sumamos el opuesto de w.

Ejemplos

−10 + 2𝑖 + 3 + 6𝑖 = −10 + 3 + 2 + 6 𝑖 = −7 + 8𝑖

−10 + 2𝑖 − 3 + 6𝑖 = −10− 3 + 2 − 6 𝑖 = −13− 4𝑖

Multiplicación

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces la multiplicación está dada por

𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Observación: para multiplicar dos números complejos se opera con ellos como si fueran

polinomios y se considera que 𝑖2 = −1.

Ejemplo

−10 + 2𝑖 ∙ 3 + 6𝑖 = −10 ∙ 3 + −10 ∙ 6𝑖+ 2𝑖 ∙ 3 + 2𝑖 ∙ 6𝑖

= −30 − 60𝑖 + 6𝑖 + 12𝑖2

= −30 − 60𝑖 + 6𝑖 − 12 = −42 − 54𝑖

4 − 2𝑖 ∙ 2 + 0𝑖 = 4 − 2𝑖 . 2 = 8 − 4𝑖

Inverso Multiplicativo

Dado un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ¿es posible encontrar un número complejo 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖

tal que 𝑧 ∙ 𝑤 = 1 + 0𝑖 ?

Es decir, debe cumplirse que

𝑎+ 𝑏𝑖 ∙ 𝑐+ 𝑑𝑖 = 1 + 0𝑖 , es decir 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑+ 𝑏𝑐 𝑖 = 1 + 0𝑖

De donde 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 = 1 (1)

𝑎𝑑+ 𝑏𝑐 = 0 (2)

Despejando c de (1), 𝑐 =1+𝑏𝑑

𝑎

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reemplazando en (2) 𝑑 = −𝑏

𝑎2+𝑏2, luego 𝑐 =𝑎

𝑎2+𝑏2

Por tanto 𝑤 =𝑎

𝑎2+𝑏2 −𝑏

𝑎2+𝑏2 𝑖 y es tal que 𝑧 ∙ 𝑤 = 1

Dado el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, decimos que 𝑤 =𝑎

𝑎2+𝑏2 −𝑏

𝑎2+𝑏2 𝑖 es su inverso multiplicativo y lo

notamos con 𝑧−1 =1

𝑍 .

División

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces la división está dada por

𝑧

𝑤= 𝑧 ∙ 𝑤−1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙

𝑐

𝑐2 + 𝑑2 −𝑑

𝑐2 + 𝑑2 𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑖

𝑐2 + 𝑑2 =𝑎𝑐+ 𝑏𝑑

𝑐2 + 𝑑2 +𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2 𝑖

Definición Dos complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real y partes

imaginarias opuestas. El complejo conjugado del complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se indica con 𝑧 , luego

𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

Ejemplo: si 𝑧 = 3 + 2𝑖 𝑧 = 3 − 2𝑖

Propiedades del conjugado

1. 𝑧 + 𝑧 = 2 𝑅𝑒 𝑧

2. 𝑧 = 𝑧

3. 𝑧 +𝑤 = 𝑧 + 𝑤

4. 𝑧.𝑤 = 𝑧 .𝑤

5. 𝑧. 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 , siendo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. 𝑧. 𝑧 > 0 si 𝑧 ≠ 0.

Demostración Ejercicio

Para obtener el inverso multiplicativo de un número complejo podemos utilizar la propiedad del

producto de un complejo por su conjugado, esto es:

𝑧−1 =1

𝑧=

1 ∙ 𝑧

𝑧 ∙ 𝑧 =

𝑎− 𝑏𝑖

𝑎2 + 𝑏2 =𝑎

𝑎2 + 𝑏2 −𝑏

𝑎2 + 𝑏2 𝑖

Esto último nos va a permitir definir de manera simple la división entre números complejos

7

𝑧

𝑤=𝑧 ∙ 𝑤

𝑤 ∙ 𝑤 = 𝑎+ 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐+ 𝑑𝑖 ∙ 𝑐 − 𝑑𝑖 =𝑎𝑐+ 𝑏𝑑

𝑐2 + 𝑑2 +𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2 𝑖

Observación: para dividir dos números complejos se multiplica dividendo y divisor por el

conjugado del divisor.

Ejemplo

2 + 7𝑖

2 − 3𝑖 = 2 + 7𝑖 ∙ 2 + 3𝑖

2 − 3𝑖 ∙ 2 + 3𝑖 =

4 + 6𝑖+ 14𝑖+ 21𝑖2

4 + 6𝑖 − 6𝑖 − 9𝑖2=−17 + 20𝑖

13= −

17

13+

20

13𝑖

Para representar gráficamente los complejos, tendremos en cuenta que

Todo número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 puede determinarse con un par de números reales 𝑎,𝑏

donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Y todo par de números reales 𝑎,𝑏 determina un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , cuya parte

real es a y cuya parte imaginaria es b.

Así, cualquier número complejo tiene una posición en el plano numérico; los complejos con parte

imaginaria cero se representan sobre el eje x, los complejos con parte real cero se representan

sobre el eje y.

Ejemplo:

1. Representar en un mismo sistema de coordenadas los siguientes números complejos

𝑧1 = 2 + 𝑖 , 𝑧2 = −1− 𝑖 , 𝑧3 = −2 + 3𝑖 y 𝑧4 = −2𝑖

𝑎, 𝑏

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

b

a Eje real

Eje Imaginario

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2. Dado 𝑧1 = 3 + 𝑖, representar 𝑧1 y −𝑧1

𝑧1 = 3 − 𝑖 y −𝑧1 = −3 − 𝑖

En general

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 para representar gráficamente 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 (su conjugado), se debe reflejar 𝑧

sobre el eje real x.

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 la representación gráfica de −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖 (el opuesto) es el simétrico de 𝑧

respecto del origen de coordenadas.

Recordemos que en ℝ la distancia de 0 a cualquier número real a, se define como el valor

absoluto de a y se lo indica 𝑎

De manera similar en 𝐶 también podemos hablar de distancia.

La distancia del origen de coordenadas 0,0 al número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎,𝑏 se define

como 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2. Esta distancia se llama módulo de 𝒛

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Nótese que 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧 ∙ 𝑧 y 𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧 ∙ 𝑧 , por la propiedad 5 del conjugado.

Forma Trigonométrica de un Número Complejo

Como acabamos de ver al número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 le corresponde el punto P del plano de

coordenadas. Si representamos por r la longitud del segmento 𝑂𝑃 , que une el origen de

coordenadas 𝑂 y 𝑃, y por θ el ángulo que forma 𝑂𝑃 con el semieje positivo de abscisas, se dice

que 𝑟,𝜃 son las coordenadas polares del punto 𝑃.

Si 𝑟 = 0, es decir, si 𝑃 ≡ 𝑂, entonces θ no está definido, consideremos por tanto 𝑧 ≠ 0. En este

caso, 𝑟 es único pero θ no lo es.

Dado 𝑟 > 0, es evidente que si 𝜃 es un argumento de un número complejo z, entonces también lo

es 𝜃′ = 𝜃 + 2𝑘𝜋 con 𝑘 ∈ ℤ y 𝑟,𝜃 y 𝑟,𝜃′ dan lugar al mismo punto.

Se establece como convención que θ es positivo si es medido en sentido antihorario y negativo en

sentido contrario. A cualquiera de tales números θ se les llama argumento de 𝑧 y se representa

𝑎𝑟𝑔(𝑧).

Se sigue que, para números complejos cuya parte real sea no nula, se tiene que

𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 y tan𝜃 =𝑏

𝑎

𝑧

𝑃(𝑎, 𝑏)

𝑎

b

O

𝑃

𝑟

𝜃

10

Ahora bien, si restringimos el valor de 𝜃 para 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, hay dos ángulos que difieren

en 𝜋 que tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta

los signos de 𝑎 y 𝑏, de esta forma conseguiremos saber en qué cuadrante está situado el vector

del número complejo. Y nos dará el ángulo que buscamos.

Puesto que 𝑎 = 𝑟 cos𝜃 y 𝑏 = 𝑟 sen 𝜃, tenemos que 𝑧 se puede expresar de la forma

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃

Esta expresión se suele denominar forma polar trigonométrica de 𝑧.

Observemos que para que dos números complejos, dados en forma trigonométrica

𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃1 y 𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃2

Sean iguales tienen que ser iguales sus módulos pero no necesariamente tienen que ser los

argumentos considerados

𝑧1 = 𝑧2

𝑟1 = 𝑟2

𝜃1 −𝜃2 = 2𝑘𝜋 𝑘𝜖ℤ

Ejemplos

Escribir en forma trigonométrica o polar

𝑎) 𝑧 = 1 + 𝑖 𝑏) 𝑧 = 1 − 3𝑖 𝑐) 𝑧 = −3𝑖.

Nota: para dar el valor de 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝜃 debemos tener en cuenta la posición del punto 𝑃(𝑎,𝑏) en

el plano complejo

𝑎) 𝑧 = 1 + 𝑖

Identificamos 𝑎 = 1 y 𝑏 = 1 . Entonces 𝑟 = 12 + 12 = 2

Como tan𝜃 =𝑏

𝑎= 1 y 1,1 está situado en el primer cuadrante, tomamos 𝜃 =

𝜋

4 . Luego

𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4

𝑏) 𝑧 = 1 − 3𝑖

11

En este caso 𝑟 = 12 + − 3 2

= 2, tan𝜃 = − 3

1= − 3 y como 1,− 3 está situado en el

cuarto cuadrante, tomamos 𝜃 =5

3𝜋. Luego 𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑠

5

3𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

5

3𝜋

Otro modo de determinar 𝜃 es obtener el ángulo de referencia 𝜃´ = tan−1 3

1=

𝜋

3. El ángulo del

cuarto cuadrante que deseamos es, 𝜃 = 2𝜋 − 𝜃´ = 2𝜋 −𝜋

3=

5

3𝜋

𝑐) 𝑧 = −3𝑖

En este caso 𝑎 = 0 y 𝑏 = −3. Entonces 𝑟 = 0 + −3 2 = 3 y como 0,−3 está situado sobre

el eje y, siendo 𝑏 = −3 < 0 , tomamos 𝜃 =3

2𝜋 . Luego 𝑧 = 3 𝑐𝑜𝑠

3

2𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

3

2𝜋

Multiplicación en forma trigonométrica - polar

Si 𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃1 y 𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃2 , entonces,

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 + 𝜃2

Demostración ejercicio

El producto de dos números complejos dados en forma trigonométrica-polar es un número

complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los

argumentos.

Inverso de un número complejo 𝑧 = 𝑟 cos𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 ≠ 0

Se puede obtener en forma trigonométrica – polar del siguiente modo:

𝑧−1 =1

𝑧=

1

𝑟 cos𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 =

1

𝑟

cos𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃

cos𝜃+ 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 cos𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 =

1

𝑟

cos𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃

cos𝜃 2 + sen𝜃 2

𝑧−1 =1

𝑧=

1

𝑟 cos −𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 −𝜃

Teniendo en cuenta la multiplicación y el inverso de un número complejo en forma polar,

podemos dividir dos números complejos en forma polar

12

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 −𝜃2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝜃2

Ejemplo

Si 𝑧1 = 4 𝑐𝑜𝑠75° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛75° y 𝑧2 =1

2 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛45° , encuentre 𝑧1𝑧2 ,

𝑧1

𝑧2 y exprese

cada respuesta en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 .

Solución: por lo anterior tenemos

𝑧1𝑧2 = 4.1

2 𝑐𝑜𝑠 75° + 45° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 75° + 45° = 2 𝑐𝑜𝑠120° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛120°

= 2 −1

2+ 3

2𝑖 = −1 + 3𝑖

𝑧1

𝑧2=

4

12

𝑐𝑜𝑠 75°− 45° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 75°− 45° = 8 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛30°

= 8 3

2+

1

2𝑖 = 4 3 + 4𝑖

Forma exponencial de un número complejo

Es posible mostrar, aunque está fuera del alcance de este curso, que la función exponencial real

𝑒𝑥 puede extenderse razonablemente al caso de exponentes complejos.

Para el caso de un exponente complejo imaginario puro, está dado necesariamente por la

siguiente fórmula, llamada fórmula de Euler

Fórmula de Euler 𝑒𝑖𝜃 = cos𝜃 + 𝑖 sen𝜃 𝜃𝜖ℝ

De esta manera todo número complejo se puede representar mediante

𝑧 = 𝑟 cos𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

Esta expresión suele denominarse forma exponencial de 𝑧. 𝑟 es el módulo de 𝑧 y 𝜃 el 𝑎𝑟𝑔(𝑧).

Las propiedades aritméticas de la exponencial real 𝑒𝑥,𝑥𝜖ℝ se cumplen para la exponencial

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compleja 𝑒𝑖𝜃 𝜃𝜖ℝ.

Propiedades

Sean dos números complejos dados en forma exponencial 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 , 𝑟 > 0 y 𝑤 = 𝜌𝑒𝑖𝜑 , 𝜌 > 0

a. 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑟

b. 𝑧 = 𝑤 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝜌𝑒𝑖𝜑

𝑟 = 𝜌

𝜃 − 𝜑 es un múltiplo de 2𝜋

c. 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑟𝑒−𝑖𝜃 = 𝑟1

𝑒 𝑖𝜃

d. 𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑟𝜌𝑒𝑖 𝜃+𝜑

e. 𝑧

𝑤=

𝑟

𝜌𝑒𝑖 𝜃−𝜑

Potencias de un número complejo

Utilizando las propiedades de producto y cociente de números complejos dados en forma

exponencial, expresar la potencia enteras de un número complejo son fáciles de expresar en

término del módulo y el argumento.

Si 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 para 𝑛 = 1,2,3,… tenemos

𝑧0 = 1

𝑧1 = 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖2𝜃

…

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃

Estas expresiones son validas para exponentes negativos

Fórmula de De Moivre

Si 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 y n es un entero, entonces

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃 = 𝑟𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃

La demostración de esta fórmula se basa en inducción matemática

Ejemplos

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1. calcular 𝑧13, donde 𝑧1 = 1 + 𝑖

𝑧1 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4 = 2𝑒𝑖

𝜋

4 Por la fórmula de De Moivre

𝑧13 = 2𝑒𝑖

𝜋4

3

= 2 3

𝑒𝑖34𝜋 = 2

3 𝑐𝑜𝑠3

𝜋

4 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛3

𝜋

4

2. Evaluar 3 + 𝑖 6

Solución: 𝑟 = 3 2

+ 12 = 2, tan𝜃 =1

3 y como 3, 1 está situado en el primer cuadrante,

tomamos 𝜃 =𝜋

6 . Luego, por la fórmula de De Moivre

3 + 𝑖 6

= 26 𝑒𝑖𝜋6

6

= 64𝑒𝑖𝜋 = 64 𝑐𝑜𝑠 𝜋+𝑠𝑒𝑛𝜋 = −64

Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria son:

𝑖0 = 1 𝑖4 = 𝑖3𝑖 = −𝑖. 𝑖 = −𝑖2 = 1 𝑖8 = 𝑖7. 𝑖 = 1

𝑖1 = 𝑖 𝑖5 = 𝑖4. 𝑖 = 𝑖

𝑖2 = −1 𝑖6 = 𝑖5. 𝑖 = −1

𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −1 𝑖 = −𝑖 𝑖7 = 𝑖6. 𝑖 = −𝑖

Podemos observar una cierta regularidad si el exponente es múltiplo de 4.

Si el exponente es de la forma 4k con 𝑘 ∈ ℤ , se tiene 𝑖4𝑘 = 𝑖4 𝑘

= 1𝑘 = 1.

En general,

Si el exponente de i es 𝑛 ∈ ℕ, al efectuar la división por 4 se tiene que 𝑛 = 4𝑞 + 𝑟 donde

0 ≤ 𝑟 < 4. Por tanto

𝑖4𝑞+𝑟 = 𝑖4𝑞𝑖𝑟 = 1. 𝑖𝑟 = 𝑖𝑟

y el cálculo se reduce a una de las cuatro potencias consideradas en primer término.

Ejemplo: Calcular

a. 𝑖12

𝑖12 = 𝑖4 3

= 13 = 1

b. 𝑖23

15

𝑖23 = 𝑖4.5+3 = 𝑖4.5𝑖3 = 1. 𝑖3 = −𝑖

Raíces de un número complejo

Decimos que w es la raíz n - ésima de un número complejo z si y solo si

𝑧𝑛 = 𝑤 𝑤𝑛 = 𝑧

Veamos cuantas raíces n-ésimas tiene un numero complejo.

Sea 𝑤 = 𝜌𝑒𝑖𝜑 y 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 , según la definición dada deberá ser

𝑤𝑛 = 𝑧 𝜌𝑛𝑒𝑖𝑛𝜑 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

De acuerdo a la igualdad de números complejos dados en forma exponencial

𝜌𝑛 = 𝑟

𝑛𝜑 = 𝜃+ 2𝑘𝜋

𝜌 = 𝑟

𝑛

𝜑 =𝜃+ 2𝑘𝜋

𝑛

𝑘 = 0, ±1, ±2,…

Es decir 𝑤𝑘 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃+2𝑘𝜋

𝑛 = 𝑟𝑛 cos

𝜃+2𝑘𝜋

𝑛 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃+2𝑘𝜋

𝑛

Al dar valores a 𝑘 obtenemos

Para 𝑘 = 0, 𝑤0 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃𝑛 = 𝑟

𝑛 cos 𝜃

𝑛 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃

𝑛

Para 𝑘 = 1, 𝑤1 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃+2𝜋𝑛 = 𝑟

𝑛 cos 𝜃 + 2𝜋

𝑛 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃 + 2𝜋

𝑛

Para 𝑘 = 2, 𝑤2 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃+4𝜋𝑛 = 𝑟

𝑛 cos 𝜃 + 4𝜋

𝑛 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃 + 4𝜋

𝑛

Para 𝑘 = 𝑛 − 1, 𝑤𝑛−1 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃+2 𝑛−1 𝜋𝑛 = 𝑟

𝑛 cos 𝜃 + 2 𝑛 − 1 𝜋

𝑛 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃 + 2 𝑛 − 1 𝜋

𝑛

Para 𝑘 = 𝑛, 𝑤𝑛 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖

𝜃+2𝑛𝜋𝑛 = 𝑟

𝑛 𝑒𝑖𝜃𝑛

+2𝜋 = 𝑟𝑛 cos

𝜃

𝑛+ 2𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜃

𝑛+ 2𝜋

16

Y esta última raíz es 𝑤0. Por tanto el número complejo tiene n raíces n-ésima (distintas)

Representación gráfica de las raíces

Observamos que todas las raíces n – ésimas del número complejo 𝑧 tienen el mismo módulo 𝑟𝑛

y

los argumentos de dos raíces obtenidas para 𝑘 = 𝑝 y 𝑘 = 𝑝 + 1 se diferencian en

𝜃+ 2 𝑝+ 1 𝜋

𝑛−𝜃+ 2𝑝𝜋

𝑛=

2𝜋

𝑛

Por tanto, los puntos que representan esas raíces son los vértices de un polígono regular de n

lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 𝑟𝑛

Ejemplo Encuentre las raíces cubicas de 𝑧 = 𝑖.

Solución: 𝑟 = 1 y 𝜃 =𝜋

2, entonces 𝑖 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

2+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2 , luego por lo anterior

𝑤𝑘 = 13

cos 𝜋

2+2𝑘𝜋

3 + 𝑖 sin

𝜋

2+2𝑘𝜋

3 con 𝑘 = 0,1,2

Para

𝑘 = 0 𝑤0 = cos 𝜋

6 + 𝑖 sin

𝜋

6

𝑤0 = 3

2+

1

2𝑖

𝑘 = 1 𝑤1 = cos 𝜋

6+

2

3𝜋 + 𝑖 sin

𝜋

6+

2

3𝜋 = cos

5

6𝜋 + 𝑖 sin

5

6𝜋

𝑤1 = − 3

2+

1

2𝑖

𝑘 = 2 𝑤2 = cos 𝜋

6+

4

3𝜋 + 𝑖 sin

𝜋

6+

4

3𝜋 = cos

3

2𝜋 + 𝑖 sin

3

2𝜋

𝑤2 = −𝑖

17

Ejemplo

Encuentre 1 + 𝑖5

Solución: el módulo y el argumento de 𝑧 = 1 + 𝑖 son 2 y 𝜃 = 45° respectivamente.

Así que

𝑤𝑘 = 25

cos 45°+360°𝑘

5 + 𝑖 sin

45°+360°𝑘

5 con 𝑘 = 0,1,2,3,4

𝑤0 = 25

cos 45°

5 + 𝑖 sin

45°

5 = 2

10 cos 9° + 𝑖 sin 9°

𝑤1 = 25

cos 45° + 360°

5 + 𝑖 sin

45° + 360°

5 = 2

10 cos 81° + 𝑖 sin 81°

𝑤2 = 25

cos 45° + 720°

5 + 𝑖 sin

45° + 720°

5 = 2

10 cos 153° + 𝑖 sin 153°

𝑤3 = 25

cos 45° + 1080°

5 + 𝑖 sin

45° + 1080°

5 = 2

10 cos 225° + 𝑖 sin 225°

𝑤4 = 25

cos 45° + 1440°

5 + 𝑖 sin

45° + 1440°

5 = 2

10 cos 297° + 𝑖 sin 297°

Luego

𝑤0 = 1.05683 + 0.16738ί 𝑤3 = −0.7566 − 0.7566ί

𝑤1 = 0.16738 + 1.05683ί 𝑤4 = 0.48577 − 0.95338ί

𝑤2 = −0.95338 + 0.48577ί

18

Al comienzo del capítulo vimos algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen solución en

los números reales ℝ, pero que tienen dos soluciones en el conjunto 𝐶 de los números complejos.

En el conjunto 𝐶, se puede demostrar que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones,

toda ecuación de tercer grado tiene tres soluciones y, en general “Toda ecuación de grado n tiene

n soluciones”. Este resultado es conocido como Teorema Fundamental del Algebra.

Ejemplo 𝑥3 − 1 = 0

Tiene a 𝑥 = 1 como solución real. Luego se puede descomponer la ecuación en factores como

𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥+ 1 = 0

Las soluciones de 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 son 𝑥 = −1

2 +

3

2𝑖 y 𝑥 = −

1

2 −

3

2𝑖.

En definitiva la ecuación de tercer grado 𝑥3 − 1 = 0 tiene tres soluciones complejas:

1 + 0𝑖; −1

2 +

3

2𝑖; −

1

2 −

3

2𝑖 .