NÚMEROS COMPLEJOS Y ÁLGEBRA LINEAL - … · este nuevo trabajo con ejemplos resueltos,...
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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA NÚMEROS COMPLEJOS Y ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES Material de Apoyo para el Curso de Matemáticas IV M. en C. Antonio Silva Martínez 2007
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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEJOS
Y
ÁLGEBRA LINEAL
CON APLICACIONES
Material de Apoyo para el Curso de
Matemáticas IV
M. en C. Antonio Silva Martínez
2007
2
INTRODUCCIÓN Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas IV, del plan de estudios DGEST 2004 de la carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Números Complejos y Álgebra Lineal, resultado del compromiso profesional hacia la institución para una sólida formación académica de los estudiantes en Ingeniería Electrónica. Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detallado para la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparado este nuevo trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios prácticos de circuitos eléctricos estables. Complementándose este trabajo con ejercicios de práctica para el estudiante y sus respuestas a los impares. Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las bases cognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenos electrónicos mediante esta importante herramienta. Para la compilación de este trabajo se ha contado con la valiosa ayuda de Lobsang Javier Mendoza Licea y César Martín García Prado, egresados de la carrera de Ingeniería Electrónica, quienes se han dado la tarea de revisar minuciosamente los ejemplos y ejercicios propuestos en este problemario, para una mejor calidad y aprovechamiento del mismo por parte de los alumnos. Finalmente, este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte de los profesores y estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ DOCENTE DE LA DIVISIÓN
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
3
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página 1. Números Complejos 1.1 Origen de los números complejos. 1.2. Los números complejos y su Algebra. 1.2.1 Operaciones elementales con números complejos. 1.2.2 Conversión de forma rectangular a forma polar de un numero complejo 1.2 Ejemplos 1.2 Ejercicios 1.3 Potencia real de un número complejo. 1.3 Ejemplos. 1.3 Ejercicios. 1.4 Raíces de un número complejo. 1.4 Ejemplos. 1.4 Ejercicios. 1.5 Logaritmo complejo. 1.5 Ejemplos. 1.6 Exponencial compleja. 1.6 Ejemplos. 1.6 Ejercicios.
5 6 7 7
8 13 14 15 19 20 21 24 25 27 30 31 34
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.1 Introducción a los sistemas de Ecuaciones Lineales. 2.2 Interpretación geométrica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales en 2R
2.2.2 Sistemas de ecuaciones lineales en 3R
2.3 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales “Eliminación de Gauss”. 2.3 Ejemplos. 2.3 Ejercicios. 2.4 Eliminación por “Gauss-Jordán”. 2.4 Ejemplos. 2.4 Ejercicios. 2.5 Aplicaciones. Circuitos Eléctricos (redes) 2.5 Ejemplos. 2.5 Ejercicios.
35 36
36 38 40
40 45 46 47 49 51 52 58
4
3. Matrices y Determinantes. 3.1 Introducción. 3.2 Operaciones con matrices. 3.2.2 Multiplicación de matrices. 3.2 Ejemplos. 3.2 Ejercicios. 3.3 Clasificación de Matrices. 3.4 Matriz inversa. 3.4 Ejemplos. 3.4 Ejercicios. 3.5 Determinante de una matriz. 3.6 Propiedades de los determinantes. 3.6 Ejemplos. 3.6 Ejercicios. 3.7 Adjunta de una matriz. 3.7 Ejemplos. 3.7 Ejercicios. 3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa. 3.8 Ejemplos. 3.8 Ejercicios. 3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer. 3.9 Ejemplos. 3.9 Ejercicios.
59 59 60 62 65 66 70 73 77 78 80 82 85 86 88 93 94 95
100 101 102 106
4. Espacios Vectoriales 4.1 Definición 4.1 Ejemplos 4.1 Ejercicios 4.2 Subespacios Vectoriales 4.2 Ejemplos 4.2 Ejercicios 4.3 Independencia lineal 4.3 Ejemplos 4.3 Ejercicios 4.4 Bases vectoriales 4.4 Ejemplos 4.4 Ejercicios 4.1.1 Cambio de Base 4.1.1 Ejemplos 4.1.1 Ejercicios
107 108 113 115 115 123 124 124 126 127 127 130 131 134 143
5. Transformaciones 5.1 Transformaciones Lineales 5.1 Ejemplos 5.1 Ejercicios 6. Apéndice. Algebra Lineal con Scientific Word Place (Versión 5.0)
145 147 154
156
7. Bibliografía Consultada 167
5
1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el
matemático italiano Girolamo Cardaco, en un tratado monumental acerca de la
solución de la ecuación cúbica y cuártica titulado Ars Magna. Para apreciar la
dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de
números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia
en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron
ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl
Friedich Gauss les dio el nombre actual y las utilizó para demostrar el Teorema
Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea
constante tiene al menos un cero. En esta sección se explorarán las propiedades
de los números complejos y sus operaciones elementales, Además de algunas
funciones con valores complejos, que en la teoría de funciones de una variable
compleja extiende los conceptos del cálculo al plano complejo y por consiguiente
la derivación y la integración complejas adquieren una nueva profundidad y
elegancia, y por lo tanto la naturaleza bidimensional del plano complejo produce
muchos resultados útiles en Matemáticas Aplicadas en la Ingeniería. En particular
a la Ingeniería de Circuitos Eléctricos Transitorios y Análisis de Señales,
simplificando notoriamente los cálculos que llevan a la interpretación de su
comportamiento.
6
1.2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA
Un número complejo es un número de la forma bia donde a y b son números
reales e i es un símbolo con la propiedad de que 12 i . El número real a se
considera como un tipo especial de número complejo, de razón de que .0iaa
Si biaZ es un número complejo, entonces la parte real de Z denotada por Re
Z es a y la imaginaria de Z denotada por Im z es b. Dos números complejos bia
y dic son iguales si sus partes reales e imaginaria son iguales, es decir si,
ca y db . Un número complejo bia puede identificarse con el punto ba,
graficado en un plano, denominado plano complejo o plano de Argand., como se
muestra en la siguiente figura. En el plano complejo, el eje horizontal se le conoce
como el eje real, mientras que el eje vertical se conoce como eje imaginario.
Figura 1.2 Representación de un número complejo z en el plano complejo
Re
z = a + i b
a
b
Im
7
1.2.1 OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números complejos
ibaZ 111 y ibaZ 222 dan como resultado un número complejo y se definen
de la siguiente manera:
i
aa
baba
aa
bbaa
ibaiba
ibaiba
Z
Ziv
iabbabbaaZZiii
ibbaaZZii
ibbaaZZi
2
2
2
1
2112
2
2
2
1
2121
2222
2211
2
1
2121212121
212121
212121
En otras palabras, al sumar o restar dos números complejos simplemente se
suman o se restan las partes reales y las imaginarias correspondientes. Para
multiplicar dos números complejos aplicamos la ley distributiva y el hecho de que
12 i . Finalmente, para el cociente de dos complejos se aplica la regla del
binomio conjugado.
1.2.2 CONVERSION DE FORMA RECTANGULAR A FORMA POLAR DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Sea:
ibaZ 111
De donde:
1
11
2
1
2
11
a
btg
baZ
Entonces: Forma Polar de un Número Complejo:
11 ZZ
8
iSenCosZZ
1.2 EJEMPLOS. Realizar las siguientes operaciones con los números complejos
que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
Donde:
42
31
34
21
3
ZZ)d
ZZ)c
ZZ)b
ZZ)a
231
1
4
3
3
1
))(
)
)
ZZZg
ZZ
Zf
Z
Ze
iZ
iZ
iZ
iZ
7
4
3
1
72
34
23
4
3
2
1
Forma rectangular:
i
i
i
iii
iiZZd
i
i
ii
iiZZc
i
i
iiZZb
i
i
iiZZa
3
16
7
19
21
76
7
12
7
16
3
4
)7
4(*)34()
3
1(*)34(
)7
4
3
1(*)34()
1311
)76()29(
)72()69(
)72()23(33)
7
53
3
7
)77
4()2
3
1(
)72()7
4
3
1()
7
)32()43(
)34()23()
42
31
34
21
9
i
i
iiZZZ
ii
iiii
iiiZZZg
i
i
iiZZ
Z
ii
i
i
i
i
i
ii
ii
ii
ii
ii
iZ
Z
Zf
i
ii
ii
ii
ii
ii
i
i
Z
Ze
224
)325()48(
34258)(
258)214()146(
142146)72(*)23(
)34()72(*)23()()
)2()3(
)23()(
0)()(
)()4(
4
)(*)(
)(*)72(
)23(72
)
53
17
53
20
494
214146
4914144
142146
)72(*)72(
)72(*)23(
72
23)
231
231
193
139
193
1479
193
525
193
2058
193
525
193
20581
4
3
193
525
193
2058
441
193
21
25
441
193
3
14
441
193
21
25
3
14
441
193
21
25
3
14
21
4
21
4
49
16
9
1
7
8
3
7
3
2
49
16
21
4
21
4
9
1
7
8
3
7
3
2
7
4
3
1
7
4
3
1
7
4
3
1
7
4
3
113
3
1
10
Forma polar:
0
711
22
21
21
21
07.8.1418.0
50149)1()7(
7
)34()23()
radstg
ZZZ
iZZ
iiZZa
3.1416 rads 0180
-0.1418 rads 007.8
50Z rads1418.0 .
0
3
7
7
531
22
34
87.72.2718.1
92.77
53
3
7
7
53
3
7)72()
7
4
3
1()
radstg
Z
iiiZZZb
Forma polar:
92.7Z 1.2718 rads
01
22
31
76.498685.011
13
02.171311
13113)
rdstg
Z
iZZZc
11
Forma polar: 02.17Z rads8685.0
0
21
64
7
91
7
92
21
64
42
76.213992.0
30.3
7
9
21
64)
2
radstg
Z
iZZZd
Forma polar: 3077.3Z rads3992.0
rads
radstg
Z
iZ
ZZe
42.21.13990.40180
8663.090.40
4952.053
17
53
20
53
17
53
20)
0
0
5320
5317
1
22
3
1
Forma polar:
4952.0Z rads42.2
12
rads
radstg
Z
iZZ
ZZf
23.336.18536.5180
36.5093.0
696.7193
139
193
1479
193
139
193
1479)
0
0
193
1479
193
1391
22
1
4
3
Forma polar:
69.7Z rads23.3
01
22
231
69.79390.14
22
360.22224
224*)
radstg
Z
iZZZZg
Forma polar:
36.22Z rads390.1
13
1.2 EJERCICIOS. Realice las siguientes operaciones con los números complejos
que se dan a continuación y expresar sus resultados en forma rectangular y polar.
4
6
51
64
32
26
42
3
1
Z
Z)g
ZZ)f
ZZ)e
ZZ)d
ZZ)c
ZZ)b
Z
Z)a
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
Donde
3
2
51
26
54
23
:
81
6
5
4
3
2
1
RESPUESTAS: Forma rectangular:
ig
ie
iZc
iZa
208
19
208
121)
8
29
8
119)
88
31)
20
9
20
7)
Forma Polar
a) Z= 0.57 -0.909 rads
c) Z= 8.88 4.2613 rads.
e) Z=15.31 0.2390 rads.
g) Z=0.58 2.9858 rads.
14
1.3 POTENCIA REAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
TEOREMA DE DE´ MOIVRE
La potencia enésima de iSenCosww , está dada por:
nn iSenCoswwZ = niSennCoswn
.
Y se verifica para todo valor real de la Exponente n En el caso de un exponente racional de la forma 1/n, se tiene:
nn
SeniCoswSeniCoswibaw nn
nnn
11
111
Donde:
1
11
2211
a
btg
y
baw
15
1.3 EJEMPLOS. Calcule las potencias que se indican con los números
complejos que se dan a continuación.
radsw
tg
Z
iZa
7853.0;2
457853.01
1
211
1)
01
22
29
00
01
22
36
2
29
2
29
2
29
29
22592.345180
457853.01
1
211
1)
176.16441
7096.07096.02
773.22773.222
297853.0297853.02
7853.07853.02
rads
radstg
w
iZb
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iZ
xiZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
73.1483856.26188
1066.5999.02
28.28281.282
367853.0367853.02
7853.07853.02
32
36
2
36
2
36
36
β
16
.63.149.9351.86180
51.8651.11
17
290171
171)
0
01
22
17
rads
radstg
Z
iZc
ixxZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
2020
2
17
2
17
2
17
17
10555.410193.7
5348.08444.0290
71.2771.27290
1763.11763.1290
63.163.1290
01
22
15
305235.03
1
241313
3)
radstg
Z
iZd
iZ
ixZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
232.32735529.48
999.010481.12
8525.78525.72
155235.0155235.02
5235.05235.02
315
15
15
15
17
01
22
12
457853.02
2
84422
22)
radstg
Z
iZe
iZ
xiZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
99.4638.261881
1077.1999.08
423.9423.98
127853.0127853.08
7853.07853.08
36
6
6
12
rads
radstg
Z
iZf
447.22.14080.39180
80.396947.06
5
61253656
56)
0
01
22
9
iZ
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
8.10635517332.19508361
9835.01804.061
40318..0999.061
9447.29447.261
6947.06947.061
2
9
2
9
2
9
9
18
rads
radstg
w
iZg
01139.21302.114159.3
76.641302.17
3
169737
37)
01
22
18
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
633.323132.413
63209.08069.02
205.36205.362
181139.2181139.22
01139.201139.22
9
9
9
18
0
74
94
1
22
6
46.336610.0
723.09
4
7
4
9
4
7
4)
radstg
Z
Zh
iZ
iZ
iSenCosZ
iSenCosZ
iSenCosZ
5260.06756.0
683.373.4605.1
966.3966.3605.1
66610.066610.0723.0
6610.06610.0723.0
6
6
6
6
β
19
3
2
7
5
28)10
6)9
4)8
36)7
2)6
10)5
)4
3)3
)2
8)1
4
74
21
3
8
210
22
41
15
7
1
10
21
18
83
51
25
23
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
iZ
1.3 EJERCICIOS. Calcule las potencias que se indican con los números
complejos que se dan a continuación.
RESPUESTAS
iZ
iZ
ixxZ
iZ
ixxZ
454.489488.1225)9
97.29603.54)7
10244.51059556.8)5
02.11882.342)3
108.5106435.4)1
2121
2221
20
1.4 RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO El teorema de De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de
un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w, a partir
de:
wZ n .
Para encontrar z, se tiene:
SeniCosZZ y SeniCosww
Donde wyZ argarg . De tal forma que con el teorema De Moivre se
tiene:
SeniCoswnSeninCosZn
.
Así, se puede tomar:
nwZ1
y
2,1,0,21
arg1
kkwArgn
wn
Aunque la ecuación proporciona un número infinito de valores para , sólo se
obtienen n ángulos polares diferentes, ya que:
,2
22
n
k
n
nk
Ya que los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, se limitará
la atención en los ángulos n-polares
12,1,0,21
nkkwArgn
21
1.4 EJEMPLOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por
medio del teorema de De´ MOIVRE.
7860.02719.1
5256.08506.05
2107.12107.15
:1
7860.02720.1
107.1107.15
:0
2107.12107.15
42.63.107.11
2
521
21)
1
2/1
1
2
1
2
12/1
1
0
2
1
2
12/1
0
2
1
2
12/1
01
22
2/1
iZ
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZa
144.2366.0
4063.14063.1106
:2
3895.16738.1
2063.12063.1106
:1
7548.00403.2
063.1063.1106
:0
2063.12063.1106
90.60.063.15
9
10695
95)
2
3
1
3
13/1
2
1
3
1
3
13/1
1
0
3
1
3
13/1
0
3
1
3
13/1
01
22
31
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZb
22
4572.15731.0
9305.03660.018.36
6499.16499.118.36
:3
5731.04572.1
3660.09305.018.36
4499.14499.118.36
:2
00227.056057.1
00145.09965.018.36
2499.12499.118.36
:1
5731.04572.1
366.09305.018.36
499.1499.118.36
:0
2499.12499.118.36
91.85.499.16
18.366
6)
3
4/1
3
4
1
4
14/1
3
2
3/1
2
4
1
4
14/1
2
1
4/1
1
4
1
4
14/1
1
0
4/1
0
4
1
4
14/1
0
4
1
4
14/1
0
7
3
1
22
7
3
4/1
7
3
iZ
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZc
23
2534.15695.0
42914.042914.081.6
:2
119.1800.0
22914.022914.081.6
:1
1335.03702.181.6
2914.02914.081.6
:0
22914.022914.081.6
69.16.2914.0
81.6
)
2
3
1
3
13/1
2
1
3
1
3
13/1
1
3/1
0
3
1
3
13/1
0
3
1
3
13/1
0
2
5
4
3
1
2
4
32
2
5
3/1
4
3
2
5
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZd
776.13227.0
27188.027188.0113
:1
227.3776.1
7188.07188.0113
:0
27188.027188.0113
185.41.7188.08
7
11378
78)
1
41
41
4/1
1
0
41
41
4/1
0
41
41
4/1
01
22
4/1
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
kisenkCosZ
radstg
w
iZe
24
7765.13227.0
67188.067188.0113
:3
3227.0776.1
47188.047188.0113
:2
3
41
41
4/1
3
2
41
41
4/1
2
iZ
isenCosZ
kpara
iZ
isenCosZ
kpara
1.4 EJERCICIOS. Calcule las raíces de los siguientes números complejos, por
medio del teorema de De´ MOIVRE.
RESPUESTAS
1) 2/11 iZ
4549.00985.1
4549.00985.1)1
1
0
iZ
iZ
2) 3/125 iZ
3) 3/132 iZ
0115.11521.1
5036.1241.0
4919.04521.1
)3
2
1
0
iZ
iZ
iZ
4) 3/1
25
47 iZ
5) 4/1
54 3iZ
2568.14270.0
4270.02568.1
2568.14270.0
4270.02568.1
)5
3
2
1
0
iZ
iZ
iZ
iZ
6) 4/1
237 iZ
25
1.5 LOGARITMO COMPLEJO
La exponencial compleja esta definida por:
ySeniyCose
eeee
x
iyxiyxz
Es una función entera con valor diferente de cero que satisface a la ecuación
diferencial.
10,´ fzfzf
De donde 0ze se sigue de que ni xe ni ySeniyCos se anulan. Además
observe que como iyxz , la notación conduce a:
1 iyiy eySeniyCose
222111 iyxzyiyxzSi Entonces las fórmulas trigonométricas para las
sumas implican que:
212121
21
21
2121
2121
21212121
2211
zzyyixx
xx
xx
xxzz
eee
yySeniyyCose
ySenyCosyCosySeniySenySenyCosyCose
ySeniyCosySeniyCoseeee
Como :ze es uno a uno como la superficie de Reimann, se puede definir
su función inversa que mapea en . Limitando el caso real, se llama a este
mapeo inverso logaritmo y se denota por
:log z
Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene
que:
enztodoparaze
y
enztodoparaze
z
z
,
,log
log
26
La única tarea pendiente es obtener una expresión para Log z en términos de
funciones conocidas.
La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y
exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:
,arglog
logloglogarglogarg
ziz
eezzzizzi
Donde zlog es el logaritmo natural del cálculo elemental.
Con estos conceptos, no es difícil verificar que zlog es continua ya que:
,argargloglog
arglogarglogloglog
wziwz
wiwzizwz
Y el logaritmo natural y a función argumento son continuas.
TEOREMA: enztodoparaanalíticaeszargizlogfunciónla
El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:
.logloglog
,logloglog
21
2
2121
1 zzz
z
zzzz
Note que en estas dos identidades suponemos que 21 zz son puntos de la
superficie de Reimann
27
1.5 EJEMPLOS. Realice las siguientes operaciones con los complejos dados
.
,
,4
694.06
556arg
615656
56)3
919.0840.44
7
3
4
919.04
7
3
4arg
840.44
7
3
4
4
7
3
4)2
180
,2
850.225.272
35
850.2291.0
291.052
35arg
25.2752
35
2
35)1
0
1
22
34
47
1
2
472
34
0
0
23
1
2
232
positivosrealeslosdeejealrespectocon
mideseéstenegativoseaánguloelquedepesaray
cuadranteelenencuentrasevectorelqueaDebido
radstgi
i
iLn
iiLn
radstgi
iLn
radsosumardebese
cuadranteelenencuentrasevectorelqueaDebido
iiLn
rads
tgi
iLn
28
20.1528.13
20.1528.13
44
44
)6
21.17383
21.13
883arg
738383
83)5
180
,3:
64.416.3665
2
64.494.26594.85180
50.16
65
2arg
16.36665
2
65
2)4
33
3
4343
1
22
0
0
0
5
2
1
22
5
2
i
i
SeneiCose
SeniCose
eee
iiLn
radstgi
iLn
radsoaumentarquetienenlese
cuadranteelenencuentrasevectorelqueadebidoNota
iiLn
rads
tgi
i
iLn
ii
29
432.0277.0
11
11
*)10
277.830.18
99
99
*)9
020.0079.0
*)8
026.0132.0
*)7
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
5
2
5
2
5
8
2
2
5
8
2
2
5
5
1
5
1
33
3
9393
82
82
82
82
512
512
51
512
22
i
SenieCose
SeniCose
eee
i
SeneiCose
SeniCose
eee
i
SenieCose
SeniCose
eee
i
SenieCose
SeniCose
eee
ii
ii
ii
ii
30
1.6 EXPONENCIAL COMPLEJA
Las funciones exponenciales y logaritmo compleja se pueden usar para definir
las funciones potencias.
Definición:
Sea: 0,log complejoaez zaa
La función :zz es analítica y uno a uno porque la composición de
funciones de esos tipos. Por regla de la cadena.
1log * a
zazaa zaez
El valor principal de la función potencia esta dado por:
zaa ez log
A menudo existe el interés en el caso en donde son enteros positivos factores
comunes. Considere ahora el conjunto de números .....,2,1,0,2log ize
esto es que aquellos puntos en R situados directamente arriba y abajo del
punto loge . Entonces inmzLognmnmizLog eee 2///2 y si se escribe
,nq,enterosqypconqpn 0 se tiene:
niqmniqmnpmiinm eeee /2/222/ ,
De tal forma que hay únicamente n respuestas con valores complejos
diferentes. Así el mapeo :/ nmz conduce a cada n copias de 0 a una
copia de 0 y se repite a partir de ahí. Este hecho permite simplificar el
modelo usado para describir el mapeo nmzw / . Para simplificar suponga que
m=1. Entonces,
1,........,2,1,0,/2
11
nqeezw niqzLognn
Puede visualizarse como un mapeo de n0 en 0 , donde n0
consiste en n copias de 0 pegadas” una después de la otra a lo largo del
eje real negativo, como en R excepto que el bordaje superior de la rama de
arriba de pega al borde inferior de la rama de abajo.
31
1.6 EJEMPLOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números
complejos.
5163.22360.0
66.166.1*
:
9272.066.1
11
:
1)3
49.99438.124
12.1112.11
:
54.083.5
3535
:
35)2
1749.01123.0
11cos
:
10
0
110)0arg(0
:
)1
9272.09272.066.1
9272.066.19272.066.1
1
12
342
34
11
34
91.612.1191.6
12.1191.654.083.521
53122
3521
10
2
122
01)0()0(
34
34
34
21
222
)0(
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
ei
i
iseneee
Entonces
iiLn
tgiiiiLn
Donde
eei
i
iii
iLniiLni
i
iii
iLni
iii
iLniiLni
i
i
i
32
4.15137895.355715
34.134.1*
:
4650.1016.3
33
:
3)6
164.18658.0
9316.09316.0*
:
130.1611.0
:
)5
026.0080.0
32.032.0*
:
39.1435.1
22
:
2)4
257.1434.1257.14
34.1257.144650.1016.34
312211
3431
3725.09316.03725.0
9316.03725.0130.1611.0
12
2
12
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
47.232.047.2
32.047.239.1435.11
2
122
4
1
4
1
212
4
1
2
3
1
1
2
32
34
12
34
5
3
2
1
3
1
2
1
2
1
3
1
5
3
2
1
5
3
2
1
2
1
3
15
3
2
1
4
3
4
1
4
1
4
34
31
4
14
31
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
i
ii
iLniLn
i
i
i
i
ii
33
34
81.6783.1381.6
783.1381.648.3343.33
12
782
78
3
78
2828
98.6402.5198.64
02.5198.64922.2219.938
92122
293829
699.0222.2699.0
222.2669.0249.1825.1
3122
3
1
3
1
33
3
1
1003.11082.3
783.13783.13*
:
48.3343.3
:
)9
1037.110210.1
02.5102.51*
:
922.2219.9
2929
:
29)8
407.0310.0
222.2222.2*
:
249.1825.1
33
:
3)7
78
78
3
783
3838
1
3
1
3
11
1
3
11
xx
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
xx
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
SeniCoseee
ee
Entonces
i
tgiiLn
Donde
eei
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
i
iii
iLniiLn
i
i
ii
ii
34
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
5
62
2
14
4
3
3
1
32
2
26
34
25
1
24
1)10
7)9
3
31)8
96)7
8
1
7
4)6
4
1
2
3)5
8
3
5)4
427)3
6
23)2
32
1)1
ixxi
ixxi
ii
ixxi
ii
i
i
i
i
i
47475
18172
14
32
6626
25
1
1056.310923.17)9
10021.21079.296)7
2013.025.14
1
2
3)5
10112.31013.22)3
0139.00343.032
1)1
1.6 EJERCICIOS. Calcule la exponencial compleja de los siguientes números
complejos.
RESPUESTAS
35
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.1 INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La ecuación general de una recta en 2 es de la forma:
cbyax
y la ecuación general de un plano en 3 es de la forma:
dczbyax
Las ecuaciones de esta forma se denominan ecuaciones lineales.
Definición: una ecuación lineal en las n variables nxxx ...,, 21 es una ecuación
que puede escribirse en la forma:
bxaxaxa nn .....2211
Donde los coeficientes an y el término constante b son constantes.
Sean, por ejemplo las siguientes ecuaciones lineales:
4321 235,93
15
2
1,143 xxxxtsryx
Observe que en la tercera ecuación es lineal porque puede reescribirse en la
forma 325 4321 xxxx También es importante advertir que, aunque estos
son ejemplos (y que en la mayoría de las aplicaciones) los coeficientes y
términos constantes son números reales, en algunos ejemplos y aplicaciones
serán números complejos o miembros de p para algún número primo p.
Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones no lineales:
023,154
2
2,3,12
321
3
2
2
1
xxxSenzSenyx
zy
xxxzxy
De este modo, las ecuaciones lineales no contienen productos, recíprocos u
otras funciones de las variables; éstas presentan únicamente a la primer
potencia y están multiplicadas sólo por constantes.
36
2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES DE
SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
2.2.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R2
Los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones pueden ser mapeadas
en los espacios 2 y 3 en un principio, y generalizarse para un espacio n .
Por ejemplo, las sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en 2 :
34223
121
yxyxyx
yxcyxbyxa
Resolviendo tales sistemas, se tiene:
(a) La suma de las dos ecuaciones da 2x=4, de manera que x=2, de lo que
se desprende que y=1. una rápida verificación confirma que 1,2 es en
realidad una solución de ambas ecuaciones. Ésta es la única solución
que se puede ver al examinar que corresponde al (único) punto de
intersección (2, 1) de las rectas con ecuaciones 31 yxyyx ,
como se muestra en la figura 2.2.a. De este modo 1,2 es sólo una
solución única.
Figura 2.2.a. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones
lineales con solución única.
-
(a)
x
-
(a)
- 2 4 - 2 - 4
2 4 2 4
y - 2 4
- 2 - 4
2 4 2 4
y
x
37
(b) La segunda ecuación de este sistema es exactamente dos veces la
primera, de modo que las soluciones son las mismas de esta ultima, a
saber, los puntos sobre la recta 2 yx . Estos pueden ser
representados paramétricamente como tt,2 . De esta manera, este
sistema tiene un número infinito de soluciones, figura 2.2.b.
Figura 2.2.b Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales
con infinidad de soluciones.
(c) Dos números x y y no pueden tener simultáneamente una diferencia de 1
y 3. por consiguiente este sistema no tiene soluciones (un enfoque más
algebraico sería resaltar la segunda ecuación a la primera, con lo cual se
llegaría a la igualmente absurda conclusión de que 0=-2) como se
muestra en la figura 2.2.c., en este caso las ecuaciones de la rectas son
paralelas.
Figura 2.2.c. Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales
sin solución
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(c)
y
x
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(c)
y
x
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(c)
y
x
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(c)
y
x
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(b)
y
x
- 2 - 4 - 2 - 4
2 4 2 4
(b)
y
x
38
2.2.2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN R3
Cuando las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el sistema de
ecuaciones lineales tiene solución única; si coinciden, existe un número infinito
de soluciones; si son paralelas, no existe una solución, y por lo tanto el sistema
es inconsistente.
Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas, la
grafica de la ecuación dczbyax en el espacio de tres dimensiones es un
plano.
Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
mlzkyjx
hgzfyex
dczbyax
en donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l, y m son constantes y al menos una de ellas
en cada ecuación es diferente de cero.
En este sistema de ecuaciones, cada ecuación, representa a un plano. Cada
solución (x, y, z) al sistema de ecuaciones debe de ser al menos un mismo
punto en cada uno de los tres planos. Existen tres posibilidades:
(a) Los tres planos se intersecan en un solo punto P(x,y,z). Entonces existe una
solución única para el sistema lineal de ecuaciones.
P(x,y,z)
39
(b) Los tres planos coinciden en un número infinito de puntos, formando una
recta o inclusive coincidiendo dos o más planos. Entonces en cada punto sobre
el plano es una solución del sistema de ecuaciones lineales y por lo tanto se
tiene infinidad de soluciones para el sistema de ecuaciones lineales.
(C) Dos o más planos que representan al sistema de ecuaciones lineales no
coinciden mediante puntos o rectas (planos paralelos) de tal manera que
ningún punto plano se interfecta con los otros. Por lo tanto no existe solución
al sistema de ecuaciones lineales, y el sistema es inconsistente.
40
2.3 MÈTODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
“ELIMINACION DE GAUSS”
Cuando se aplica la reducción de renglón a la matriz aumentada de un sistema
de ecuaciones lineales, se crea un sistema que puede ser resuelto mediante
sustitución hacia atrás. El proceso completo es conocido como “Eliminación
Gaussiana”.
1. Escriba una matriz aumentada de sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales de renglón para reducir la matriz
aumentada a la forma escalonada del renglón.
3. Mediante la sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que
corresponda a la matriz del renglón reducido.
2.3 EJEMPLOS. Por el método de eliminación Gaussiana resuelva los
siguientes sistemas de ecuaciones.
52
532
3)1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
SOLUCIÓN:
2
1
3
100
110
111
10
1
3
500
110
111
8
1
3
320
110
111
5
5
3
211
132
111332231
212
5
1 RRRRRRR
El sistema correspondiente es ahora:
2
1
3
3
32
321
x
xx
xxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 0,1,2 123 xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
41
x =
2
1
0
44
02
932)2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1
9
100
10
3219
00
10
321
32
18
9
1390
750
321
4
0
9
114
112
321
518
57
325
52
518
52
57329
251
314212
RRR
R
RRRR
El sistema correspondiente es ahora:
1
932
3
5
1835
72
321
x
xx
xxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 2,5,1 123 xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
1
5
2
x
0642
0
023)3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
0
0
0
100
10
231
0
0
0
400
10
231
0
0
0
880
120
231
0
0
0
642
111
231
213
21328
2
31221
4
12
1
RRR
R
RRRR
El sistema correspondiente es ahora:
0
0
023
3
321
2
321
x
xx
xxx
La sustitución hacia atrás da como resultado: 0,0,0 123 xxx de manera
que la solución puede expresarse de forma vectorial como:
0
0
0
x (Solución trivial)
42
6842
213343
282)4
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
610
215
615
2213
1
312213
2
10
01
812
0
0
1
10
15
2
1560
2102
812
0
0
1
6
21
2
184
334
812
2
3
1
6
12
1
R
R
RRRR
tx
tttx
tttxtx
xxxxxxtx
xxxxxxxx
txSiandoParametriz
221
356
1
25
35
1
615
610
221
215
1221
215
2
43214221
215
2615
610
3
4321215
4221
2610
4615
3
4
282115
282
2820
2820
:
Nota:
Donde: “t”= 1, 2, 3……., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
243
13
0432)5
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxx
txSiandoParametriz
RRR
R
RRRR
R
4
25
112
1110
113
21
23
3
115
112
118
112
1110
113
21
23
32
2
25
217
23
211
21
23
313213
1
:
0
410
1
2
0
0
1
0
0
1
2
0
0
1
2
1
0
7
5
2
0
0
1
2
1
0
114
101
413
3
3
2
2
11
2
1711
22
1
txtx
tttxttx
tttxttx
xxxxxxxtx
xxxxxxxxx
113
21
1112
21
2
45
113
43
11110
1112
2215
112
2
25
21
112
21
23
11110
25
113
112
2
4321
223
141110
3113
112
225
3
4321
223
1112
41110
3113
225
43
22
244
24
024
Donde: “t”= 1, 2, 3……., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
43
552
74
32)6
21
21
21
xx
xx
xx
60
1
0
0
1
4
1
6
3
0
0
1
5
7
3
5
1
1
2
4
2
31
23
21
326
223
21
312214
1
3
12
1
RR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente es ahora:
31
2
23
221
1
35
61
23
1
x
xx
x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 60
549
32
857)7
21
21
21
xx
xx
xx
492442
337
78
75
32
2
737
737
78
773
73
75
319212
1
0
1
0
0
1
0
0
1
5
3
8
4
1
5
9
2
7
7
733
77
1
RR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente es ahora:
492442
337
2
78
275
1
323
21185
78
1
0
x
xx
x
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 49
24420
.
794
2863)8
321
321
xxx
xxx
44
2113
32
2159
38
2
313
32
359
38
214
1
1
2
0
1
7
2
0
1
7
2
9
8
1
6
4
37
13
1
RRR
R
tx
ttx
ttx
xxxtx
xxxxx
txSiandoParametriz
2162
2140
1
38
21118
2126
32
1
38
2159
2113
32
1
338
232
12159
2113
2
32
338
212113
32159
2
3
2
2
:
Nota:
Donde: “t”= 1, 2, 3……., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
8842
442)9
321
321
xxx
xxx
0
4
0
4
0
2
0
1
8
4
8
4
4
2
2
1212 RR
El sistema correspondiente es ahora:
00
442 321
xxx
Con x2=t1 y x3=t2
Donde: “tn”= 1, 2, 3……., n
Por lo tanto el sistema tiene infinidad de soluciones
45
2.3 EJERCICIOS. Por el método de Eliminación Gaussiana, resuelva los
siguientes sistemas de ecuaciones.
242
44
652)10
036
054
0)9
21
31
32
321
321
321
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
RESPUESTAS:
solucionesdeinifinidadtiene
sistemaelxaandoParametriz
sistemaesteparasolucionexisteNo
x
solucionesdeinifinidadtiene
sistemaelxaandoParametriz
x
,)9
)7
.
14
30
9
)5
,)3
.
2
2
1
)1
3
3
032
044
032)8
2036
454
7)7
1836
654
7)6
0322
454
7)5
826285
6452
9663)4
31416
6452
9663)3
31023
1685
1862)2
1032
44
1132)1
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
31
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
46
2.4 ELIMINACIÓN POR GAUSS-JORDAN
Una modificación de la Eliminación Gaussiana simplifica en gran medida la fase
de sustitución hacia atrás, y es particularmente útil cuando se hacen los
cálculos a mano en un sistema que tiene un número infinito de ecuaciones.
Esta variante conocida como la eliminación de Gauss-Jordan, depende de
reducir aún más la matriz aumentada.
Definición. Una matriz se encuentra en forma reducida del renglón
escalonado si satisface las propiedades siguientes:
1. Cualquier renglón conformado completamente por ceros se encuentra
en la parte inferior
2. La entrada principal en cada renglón distinto de cero es un 1
(denominado 1 principal)
3. Cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en cualquier otro
sitio.
Eliminación de Gauss-Jordan
1. Escriba una matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales del renglón para reducir la matriz
aumentada a la forma reducida del renglón escalonado.
3. Si el sistema resultante es consistente, resuelva para las variables
principales en términos de cualquier variable libre restante.
47
2.4 EJEMPLOS. Resuelva el sistema por medio de la eliminación Gauss-
Jordán
423
24654
18642)1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
2
4
100
010
001
3
4
1
100
210
101
23
12
9
1150
630
321
4
24
18
213
654
64213
2323
325122
2
313214
13
1
2
1
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
R
3
2
4
x
1635
5223
532)2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
6
5
5
000
1310
801
0
0
1
16
5
5
135
223
31232
12
22
27
25
25
213
21
213
21
23
21
315213
1
2
12
12
1
RR
RR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 60
11723
4832
332)3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
0
2
1
100
010
001
0
2
1
1000
210
701
8
2
3
240
210
321
1
4
3
723
832
321137
232
3
324122
2
313212
10
1
RRRR
R
RRRR
R
RRRR
0
2
1
x
48
723
52
332)4
21
21
21
xx
xx
xx
0
1
3
0
1
0
0
0
1
0
0
1
7
5
3
2
2
3
3
1
232
12
2
25
27
23
25
27
23
31321
1
2
52
37
2
2
1
RR
RR
R
RRRR
R
1
3x
753
84
1076)5
21
21
21
xx
xx
xx
270
1
0
0
0
1
20
0
1
7
8
10
5
4
7
3
1
6
1758
1796
32
12
2
329
610
217
617
67
31321
1
2
176
717
6
6
1
RR
RR
R
RRRR
R
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 270
375
132)6
21
21
xx
xx
1
2
10
01
0
1
3
1
75
32 12
12
21
21
21
23
215
1
2
32
1
RR
R
RR
R
1
2x
49
14322
2523
31345)7
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
13
23
3
23
167
1613
1644
1610
43
87
328125
12
312213
8
716
164
1
16
1
000
1
0
0
0
1
5
7
3
2258
441016
1345
0
0
1
1
2
3
432
521
1345
2
3
1RR
RR
R
RRRR
R
RRRR
El sistema correspondiente no tiene solución, ya que: 230
2.4 EJERCICIOS. Resuelva el sistema por medio de la eliminación Gauss-
Jordán
22
3
1
5)1
31
4321
431
431
xx
xxxx
xxx
xxx
5
2
2
2
: xRESPUESTA
51506162
2420162
978)2
54321
4321
421
xxxxx
xxxx
xxx
33462062
616102
0548)3
54321
4321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
160429
4
803
40417
4
3
7
:
t
t
xRESPUESTA
1244216
662
0446)4
4321
4321
431
xxxx
xxxx
xxx
32
1
1
02)5
21
432
41
4321
xx
xxx
xx
xxxx
1
2
:21
21
xRESPUESTA
50
2
42
02
12)6
32
4321
432
431
xx
xxxx
xxx
xxx
4
6
14332
33)7
4
43
432
431
x
xx
xxx
xxx
4
2
2
1
: xRESPUESTA
51
2.5 APLICACIONES. CIRCUITOS ELECTRICOS (REDES)
Las redes o circuitos eléctricos son un tipo especializado de red que
proporciona información acerca de fuentes de poder o alimentación, tales como
las bombillas eléctricas o los motores. Una fuente de poder “obliga” a una
corriente de electrones a fluir a través del circuito, donde encuentra varios
resistores, casa uno de los cuales requiere que cierta cantidad de fuerza sea
aplicada a fin de que la corriente fluya a través de ellos.
La ley fundamental de la electricidad es la ley de Ohm, que establece
exactamente cuánta fuerza Electromotriz E es necesaria para conducir una
corriente I a través de un resistor con una resistencia igual a R.
FUERZA ELECTROMOTRIZ = RESISTENCIA X CORRIENTE
E = RI
La Fuerza Electromotriz (E) se mide en volts, la Resistencia (R) se mide ohms
y la Corriente (I) en amperios. Así, en términos de estas unidades, la ley de
ohm se convierte en “voltios = ohms X amps”, y nos dice que la caída de voltaje
se establece cuando una corriente pasa a través de un resistor; es decir,
cuanto voltaje se gasta.
LEYES DE KIRCHHOFF
Ley de la corriente (nodos)
La suma de las corrientes que fluyen hacia cualquier nodo es igual a la
suma de las corrientes que fluyen hacia fuera de este nodo.
Ley del voltaje (mallas)
La suma de las caídas de voltaje en cualquier circuito es igual al voltaje
total del circuito (proporcionado por las baterías).
52
2.5 EJEMPLOS. Determine las corrientes indicadas en los siguientes circuitos
eléctricos
1) Determine las corrientes 321 ,, III del circuito eléctrico que se presenta en la
siguiente figura.
En el nodo A la ley de la corriente se obtiene:
0321 III
De manera semejante se obtiene la misma ecuación para la malla CDABC,
pero aplicando la ley de voltajes se tiene que:
84
048
0228
:
21
21
121
II
II
III
CDABCMalla
Observando la Malla BAEFB se obtiene que:
.
164
0164
:
32
32
II
II
BAEFBMalla
2 Ω
1 Ω
2 Ω
4 Ω
16 v
A B
V1
V2
I1 I1
I2 I2
I3 I3
8 v
C
D
E F
53
Con estas tres ecuaciones podemos construir un sistema de ecuaciones:
164
84
0)3
32
21
321
I
II
III
3
4
1
100
010
001
00
10
01
16
8
0
210
450
111
16
8
0
410
014
11113
23
572
58
58
524
54
51
3212
2
214 5
15
45
1
RR
RR
RRRR
R
RR
Es decir:
3
4
1
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 3;4;1 321
54
2)
0
:
321 III
BNodo
134
134
0413
:
32
32
32
II
II
II
BEDCBMalla
8
08
:
21
12
II
II
ABEFAMalla
8:
134:
0:
21
32
321
IIABEFAmalla
IIBEDCBmalla
IIIBnodo
2
5
3
100
010
001
18
13
13
900
410
501
8
13
0
120
410
111
8
13
0
011
410
111135234
3
32212
31
9
1
RRRR
R
RRRR
RR
2
5
3
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 2;5;3 321
1 Ω
4 Ω
E=13V
B
E=8V
I1
I2
I3
A
C
1 Ω
E
D
F
55
3)
52
52
025
:
21
21
21
II
II
II
DCBADMalla
842
0284
:
32
23
II
II
AFEDAMalla
0
:
321 III
ANodo
0:
842:
52:
321
32
21
IIIAnodo
IIAFEDAmalla
IIDCBADmalla
1
2
1
100
010
001
7
4
3
700
210
401
5
8
5
130
420
021
0
8
5
111
420
021134
232
3
323122
2
31
7
1
2
1
RRRR
R
RRRR
R
RR
1
2
1
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es: AIAIAI 1;2;1 321
2 Ω
4 Ω
8V v
A
E=5V
D
I1
I2
I3
1 Ω
C
D
E F
B
56
4)
1245
1245
51245
031224
:
21
21
21
112
II
II
II
III
BEFABMalla
0154
0864
:
32
3332
II
IIII
BEDCBMalla
0
:
321 III
BNodo
0:
0154:
1245:
321
31
21
IIIBnodo
IIBEDCBmalla
IIBEFABmalla
15548
3136
155228
133
23
3
512
512
431
41532
12
2
512
512
59
54
31
1
100
010
001
0
00
10
301
0
10
1540
01
0
0
12
111
1540
0454
1531
4
5
95
44
1
5
1
RR
RR
R
RR
RR
R
RR
R
15548
3136
155228
I
AIAIAI15548
33136
2155228
1 ;;
4 Ω
8 Ω
B
D
I1
I2
I3
2 Ω 3 Ω
1 Ω
6 Ω
12 V
A
C D
F
E
57
5
0:
05.88:
1386:
321
32
21
IIIAnodo
IIAFEDAmalla
IIDCBADmalla
1386
1386
01386
081324
:
21
21
21
111
II
II
II
III
DCBADMalla
08
087
:
3217
2
33321
3
II
IIII
AFEDAMalla
0
:
321 III
ANodo
167104
334221
334429
13
2
3
613
613
48167
1617
1217
32
12
2
613
613
37
217
68
31
1
217
100
010
001
0
00
10
01
0
10
80
01
0
0
13
111
80
086
12
1716
17167
48
3
76
88
1
6
1
RR
RR
R
RR
RR
R
RR
R
167104
334221
334429
I
Por lo tanto el valor de las corrientes es:
AIAIAI 6227.0;661.0;284.1 321
Nota: el signo negativo de la corriente 3I es porque es tomado en sentido contrario la
polarizacion.
8Ω
7 Ω
A
E=13V
D
I1
I2
I3
4 Ω
C
D
E F
B
0.5 Ω
2 Ω
1Ω
58
.94.3.11.4.17.0:Re 321 AmIAmIAmIspuesta
2.5 EJERCICIOS. Determine las corrientes indicadas en los siguientes circuitos
eléctricos
1)
2) 3)
Nota: El signo negativo de la corriente 3I es porque es tomado en sentido contrario la
polarizacion.
28Ω
1 Ω
5Ω
2 Ω
12 v
A B
C
D
I1 I1
I2 I2
I3 I3
10 v
2 Ω
8Ω
12 v
A B
C
D
I1 I1
I2 I2
I3 I3
12 v
3Ω
0.5Ω
8Ω
4 Ω
A
E=12V
D
I1
I2
I3
9 Ω
C
D
E F
B
2Ω
1 Ω
3Ω
.41.0.91.1.33.2:Re 321 AmIAmIAmIspuesta
.39.0.44.0.84.0:Re 321 AmIAmIAmIspuesta
59
3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 INTRODUCCIÓN.
Ahora se estudiará la matriz por su propio valor. Anteriormente se han utilizado
matrices (en la forma de matrices aumentadas) para registrar información y
para ayudar a racionalizar los cálculos con ellas, por ejemplo en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Ahora se verá que las matrices tienen propiedades algebraicas propias, que
permiten hacer cálculos con ellas, sujetas a las reglas algebraicas de matrices.
Además, se observará que las matrices no son objetos estáticos, que recopilan
información y datos; en lugar de ello, representan varios tipos de funciones que
“actúan” como vectores, transformándolos en otros vectores. Estas
transformaciones matriciales comenzaran a jugar un papel preponderante en el
estudio de algebra lineal y emitirán una nueva luz sobre lo que ya se ha
aprendido acerca de los vectores y sistemas de ecuaciones lineales. Además
de que las matrices se presentan en muchas otras formas aparte de las
versiones aumentadas.
Definición. Una matriz es el arreglo rectangular de números determinados a las
entradas o elementos de una matriz
3.2 OPERACIONES CON MATRICES
3.2.1 Suma de matrices.
Generalizando a partir de la adición de vectores, se define la adición de
matrices por componentes. Si ijij bByaA son matrices de ,nxm su
suma BA es la matriz de ,nxm obtenida mediante la suma de las entradas
correspondientes, de esta manera,
ijij baBA
De igual manera, se podría haber definido BA en términos de la adición de
vectores especificando que cada columna (o renglón) de BA fuera de la
suma de las columnas (o renglones) correspondientes de BA . Si no son del
mismo tamaño, entonces BA no está definida.
60
3.2.2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A diferencia de las definiciones de adición de matrices y la multiplicación por un
escalar, la conceptualización del producto de dos matrices no es una definición
por componentes. Naturalmente, no hay nada que nos detenga para definir un
producto de matrices en forma de componentes; desafortunadamente tal
definición tiene pocas aplicaciones y no es tan natural como la que ahora se
muestra:
Definición. Si A es una matriz de dimensiones nxm y B una matriz de
dimensiones rxn , entonces el producto C=AB es una matriz de nxm . La
entrada del producto se calcula como sigue:
njinjijiij bababac .....2211
Observaciones: nótese que A y B no necesitan ser del mismo tamaño. Sin
embargo el número de columnas de la matriz A debe de ser el mismo que el
número de renglones de la matriz B. Si se escriben los tamaños de A, B y AB
en orden, se puede apreciar de un vistazo si este requerimiento es satisfecho.
Además se puede predecir el tamaño del producto antes de hacer cualquier
cálculo, puesto que el número de renglones de AB es el mismo que el de los
renglones de A, mientras que el número de de las columnas de AB es el mismo
que el de las columnas de B como se muestra a continuación:
rxmrxnnxm
ABBA
La fórmula para las entradas del producto se asemejan a un producto punto y
en realidad lo es. Se dice que la entrada (i y j de la matriz AB es el producto
punto de el i-enésimo renglón de A y de la j-enésima columna de B.
nrnjn
rj
rj
mnmm
inii
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
1
2221
1111
21
21
11211
61
Nótese que en la expresión njinjijiij bababac 2211 los subíndices
exteriores en cada término ab de la suma son siempre i y j mientras que en los
subíndices interiores siempre concuerdan y se incrementan desde 1 hasta n.
Se observa este patrón claramente si se escribe mediante el empleo de la
notación de sumatoria, tal como se muestra a continuación
kjik
n
k
ij bac
1
La transpuesta de una matriz A de ,nxm es la matriz de TA de ,nxm que se
obtiene cuando se intercambian los renglones y columnas de A. Es decir la i-
enésima columna de TA es el i-enésimo renglón de A para toda i.
62
3.2 EJEMPLOS. Realice las operaciones entre las matrices indicadas de los
siguientes ejercicios. (Si es posible)
DFF)
AFE)
BB)
BCD)
BD)
AB)
CB)
CB)
AD)
DA)
F,E,D
C,B,A
T
T
10
9
8
7
6
5
4
3
232
21
2
124
12
30
6
4
2
5
3
1
320
124
51
03
63
2621
63
18801560
688564
634220533210
614224513214
6
4
2
5
3
1
320
124
2719
33
2621
63
12
30
6
4
2
5
3
1
320
124
12
307
12
30
320
1246
14124
3612
351125210541
301320230043
320
124
51
035
322
453
642
531
320
1244
6
4
2
5
3
1
320
1243
138
96
102
06
36
90
51
032
12
303232
75
63
24
60
51
03
12
302
51
0321
BC
BC
:Donde
.BCD)
"operaciónlarealizarposibleesNo"BD)
AB
AB)
CB)
"operaciónlarealizarposibleesNo"CB)
AD)
DA)
T
64
4
6
22
60
2112
2310
2
1
12
30
4
6
2
1
2
1
12
30
2
110
11
3
101
03
2511
2013
2
1
51
03
1022121123411
324
2
1
51
03249
131
121
940340
3401416
332200132240
312204112244
3
2
0
1
2
4
320
1248
DF
:Donde
"operaciónlarealizarposibleesNo"DFF)
AF
:Donde
AFE)
BB
BB)
T
T
65
3.2 EJERCICIOS. Realice las operaciones entre las matrices indicadas de los
siguientes ejercicios. (Si es posible)
2
1,24,
12
30
6
4
2
5
3
1
,320
124,
51
03
FED
CBA
T
T
T
TTT
CD
spuestaDA
FE
spuestaA
CBCB
spuestaFE
AFE
spuestaBCD
AB
operaciónlarealizarposibleesNospuestaCB
82)10
510
102:Re)9
)8
12549
027:Re;)7
)6
48
24:Re;)5
)4
2719
33:Re;)3
)2
:Re;)1
3
66
3.3 CLASIFICACIÓN DE MATRICES
a) Triangular Superior
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas las entradas
por debajo de la diagonal principal son cero. De este modo la forma de una
matriz triangular superior es:
*000
**
00
***0
****
Donde las entradas marcadas con un * son arbitrarias. Una definición más
formal de una matriz ijaA de esta clase, es que jisiaij 0 .
b) Triangular Inferior.
Una matriz cuadrada se denomina triangular inferior si todas las entradas
por arriba de la diagonal principal son cero. De este modo la forma de una
matriz triangular inferior es:
****
0*
**
00**
000*
Donde las entradas marcadas con un * son arbitrarias. Una definición más
formal de una matriz ijaA de esta clase, es que jisiaij 0
c) Diagonal.
Una matriz cuadrada ijaA se llama diagonal si todos sus elementos
fuera de la diagonal principal son cero. Esto es .0 jisiaij De este modo
una matriz diagonal es:
44
33
22
11
000
0
00
000
000
a
a
a
a
67
d) Escalar.
Una matriz diagonal en la cual todas sus entradas diagonales son las
mismas se les conoce como matriz escalar. Si el escalar de la diagonal es
1, la matriz escalar se le llama matriz identidad, por ejemplo sean:
100
010
001
,
200
060
003
,54
13,
141
052DCBA
Las entradas diagonales de A son 2 y 4, pero A no es cuadrada: B es una
matriz cuadrada de 2x2 con entradas diagonales 3 y 5; C es una matriz
diagonal: D es una matriz identidad de 3x3. La matriz identidad de nxn se
denota mediante el símbolo nI (o simplemente I si sus dimensiones son
obvias).
e) Nilpotente.
Una matriz cuadrada A se denomina nilpotente (de potencia nula) si 0A
para algún .1m La palabra nilpotente proviene del latín nihil que significa
“nada” y potere, que quiere decir “poder”. Una matriz nilpotente es,
entonces una que se convierte en nada (es decir la matriz cero) cuando se
eleva alguna potencia.
f) Idempotente
Una matriz cuadrada A se denomina idempotente si AA 2 (la palabra
idempotente proviene del latín Idem, que significa “lo mismo” y potere que
quiere decir “tener poder”, “tener potencia”. De esta manera algo que es
idempotente tiene la “misma potencia” cuando se eleva al cuadrado.
g) Potencia
Cuando A y B son dos matrices de nxn su producto AB también será una
matriz de nxn . Un caso especial se presenta cuando A= B. tiene sentido
definir AAA 2 y en general, definir kA como
AAAAk
Si k es un entero positivo. De esta forma y A es conveniente para definir.
68
Antes de hacer demasiadas suposiciones deberíamos preguntarnos hasta
que punto las potencias de matrices se comportan como potencias de
números reales.
Las propiedades que se presentan a continuación se siguen
inmediatamente de las definiciones que se acaban de dar y son los
análogos matriciales de las correspondientes propiedades de las potencias
de los números reales
Si A es una matriz cuadrada y r y s son enteros no negativos, entonces
rssr
srsr
AA
AAA
.2
.1
h) Transpuesta
Hasta ahora todas las operaciones con matrices que se han definido son
análogas a las correspondientes con números reales, aunque pueden no
comportarse siempre de la misma manera. La operación siguiente no tiene
un análogo así.
La transpuesta de una matriz A de ,nxm es la matriz de TA de ,nxm que
se obtiene cuando se intercambian los renglones y columnas de A. Es decir
la i-enésima columna de TA es el i-enésimo renglón de A para toda i.
En ocasiones, la transpuesta es empleada para proporcionar una definición
alternativa del producto punto de dos vectores en términos de la
multiplicación de matrices.
Una definición alternativa útil de la transpuesta se proporciona en términos
de sus componentes:
jyitodaparaAA ji
T
ij
i) Simétrica
La transpuesta también se utiliza para definir un tipo muy importante de
matriz cuadrada: una matriz simétrica. Una matriz cuadrada es simétrica
si es igual a su propia transpuesta, sea:
31
21
402
053
231
ByA
69
Entonces A es simétrica, puesto que AAT pero B no es simétrica,
puesto que BBT
32
11
Una matriz simétrica tiene la propiedad de que es su propia imagen
(como un espejo) con respecto a su diagonal principal.
Una matriz simétrica cuadrada A es simétrica si y solo si ijij AA para
toda i y j.
j) Antisimétrica
Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si AAT (es decir jiij aa ).
Lo que quiere decir que la transpuesta de una matriz es igual a la negativa
de la matriz original.
k) Hermitiana
La matriz A se llama Hermitiana si AA * donde *A es la matriz transpuesta
conjugada de A, denotada como *A , y que esta definida por el elemento
jiaAdeij *
l) Ortogonal
Una matriz Q de n x n cuyas columnas forman un conjunto orto-normal se
denomina matriz ortogonal.
El hecho más importante acerca de las matrices ortogonales es señalado
por el siguiente teorema:
Una matriz cuadrada Q es ortogonal su y solo si .1 TQQ
70
3.4 MATRIZ INVERSA
En esta parte se regresará a la descripción de la matriz A x=b de un sistema de
ecuaciones lineales y se investigará maneras para utilizar el algebra de
matrices para resolver el sistema. A modo de analogía considere la ecuación
bax donde xyba ,, representan números reales y queremos resolverla para
x . Rápidamente se puede comprender que se quiere abx / como la solución
Pero se debe recordar que ello es cierto si y solo si 0a , se alcanzará la
solución mediante la siguiente serie de pasos:
ab
ab
ab
aaaxxxabaxbax 1111
Para imitar este procedimiento para la ecuación matricial A x=b ¿Qué es lo que
se necesita? Se necesita hallar una matriz A tal que A A =I, una matriz
identidad. Si una matriz así existe entonces se puede efectuar la siguiente
secuencia de cálculos:
A x=b A ( A x)= A b ( A A )x= A b Ix= A bx= A b
Definición: Si A es una matriz de n x n, una inversa de A es una matriz A de
n x n con la propiedad de que
A A =I y A A =I
Donde nII es la matriz identidad de n x n. si tal A existe, entonces A se
dice que es invertible.
Teorema 1:
Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única.
Teorema 2:
Si A es una matriz de n x n, entonces el sistema de ecuaciones lineales dado
por A x=b tiene solución única x= 1A b para cualquier b en .
Teorema 3:
.,0
1
,0,
1
invertibleesnoAentoncesbcadSi
ac
bd
bcadA
casocuyobcadsiinvertibleesAentoncesdc
baASi
71
Teorema 4:
AA
yinvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi
11
1 :,
111
:
,,
AcA
yinvertibleesAB
entoncescerodediferenteescalarunescyinvertiblematirizunaesASi
c
111
:
,
ABAB
yinvertible
esABentoncestamañomismodelsinvertiblematricessonByASi
TT
T
AA
yinvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi
11
:,
nn
n
AA
ynnegativosenteroslos
todosparainvertibleesAentoncesinvertiblematirizunaesASi
11
:
,
Teorema 5:
Sea E la matriz elemental que se obtiene cuando se efectúa una operación
elemental por renglón sobre nI . Si la misma operación elemental por renglón
se realiza sobre una matriz de A de n x r, el resultado es el mismo que el de la
matriz EA .
Teorema 6:
Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz elemental del
mismo tipo.
Teorema 7:
Sea una matriz de n x n. las declaraciones siguientes son equivalentes:
A es invertible
A x=b tiene una solución única para toda b en n
A x=0 tiene únicamente una solución trivial.
La forma reducida escalonada por renglón de A es nI
A es un producto de matrices elementales.
72
Teorema 8:
Sea A una matriz cuadrada. Si B es una matriz cuadrada tal que
,IBAoIAB entonces A es invertible y 1 AB .
Teorema 9:
Sea A una matriz cuadrada. Si una sucesión de operaciones elementales por
renglón reduce a A a I , entonces la misma sucesión de operaciones
elementales por renglón transforma a I en 1A
73
3.4 EJEMPLOS. Calcular la matriz inversa de los siguientes ejercicios (si es
posible)
e)
10
01
21
23
:
10
01
1
0
0
1
10
01
21
23
21
23)4
.
,
:
12
0
00
1
10
01
86
43
86
43)3
10
01
1
0
02
24
:
1
0
10
01
1
0
10
1
10
01
02
24
02
24)2
10
01
41
72
21
74
:
41
72
10
01
1
0
0
1
10
01
21
74
21
74)1
43
41
21
21
43
41
21
21
12
1
31
31
34
32
21
1
31
34
216
1
21
21
21
21
12
21
41
21
212
1
12
14
41
41
41
47
21
1
3
24
3
3
1
3
1
2
14
1
4
74
1
oComproband
invertiblematriztieneno
matrizestaquedecirquierecerounaparecerenglonsegundoelenComo
Nota
oComproband
oComproband
RR
R
RR
R
RR
R
RRRR
R
RR
R
RR
R
74
100
010
001
764
221
332
102
121
032
:
764
221
332
100
010
001
1
0
0
00
10
01
101
01
00
130
10
01
100
010
001
102
121
032
102
121
032
)6
10
01
44
57
:
10
01
1
0
0
1
10
01
44
57
44
57)5
13
23
37
76
74
72
142
146
72
71
72
146
323
12
2
21
21
27
23
31221
1
87
84
85
21
87
84
85
21
12
2
74
71
78
75
214
1
14
67
2
2
37
2
2
1
7
58
7
7
1
oComproband
oComproband
RR
RR
R
RR
RR
R
RRRR
R
RR
R
RR
R
75
.
112
011
012
000
010
101
103
011
001
010
010
111
100
010
001
343
121
111
343
121
111
)8
100
010
001
333
123
231
:
100
010
001
1
0
0
00
10
01
103
013
001
360
570
231
100
010
001
333
123
231
333
123
231
)7
3212
31321
97
32
33
95
31
32
91
31
31
97
32
33
95
31
32
91
31
31
13
23
3
76
73
71
73
73
72
79
75
71
326123
2
313213
7
17
59
7
7
1
matrizestaparainversaexisteNo
oComproband
RRRR
RRRR
RR
RR
R
RRRR
R
RRRR
76
100
010
001
00
110
0
200
210
102
:
00
110
0
100
010
001
100
010
00
200
210
01
100
010
00
200
210
01
100
010
001
200
210
102
200
210
102
)10
100
010
001
233
133
232
110
1
101
:
233
133
232
100
011
001
1
0
001
00
10
101
100
011
001
110
0
101
100
010
001
110
1
101
110
1
101
)9
2
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
13
232
3
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
3
4
3
2
13
23
32
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
32
2
3
1
3
2211
3
4
3
2
3
4
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
oComproband
oComproband
RR
RR
R
RR
RR
RR
R
RR
R
RRR
77
3.4 EJERCICIOS. Calcular la matriz inversa. (si es posible)
0147
876
542
)10
:Re;
111
211
013
)9
3719
501
412
)8
111
122
110
:Re;
210
211
321
)7
4127
532
261
)6
:Re;)5
21
32)4
1:Re;
68
44)3
)2
:Re;42
21)1
21
41
41
43
83
81
41
81
83
7118
7160
71120
7145
21
32
34
51
21
21
43
31
32
31
31
81
41
41
21
spuesta
spuesta
spuesta
spuesta
spuesta
78
3.5 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.
Dada una matriz cuadrada de orden n:
A =
Se llama Determinante de A y se representa por |A| ó también det (A), al
número que se obtiene de la siguiente forma:
Son las distintas permutaciones de n elemento (es decir, n! elementos)
Por tanto, el determinante de una matriz de orden n estará formado por la
suma de n! Sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los
que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada
columna de la matriz.
Es conveniente combinar un menor con un signo de + o de -. Para este fin,
definimos el cofactor (i, j) se A como:
ij
ji
ij AC det1
Con esta notación la definición se convierte en:
jCaA j
n
jij 11
1
det
La definición anterior se conoce a menudo como el desarrollo por cofactores a
lo largo del primer renglón. Es un hecho sorprendente que se tenga
exactamente el mismo resultado a desarrollar a o largo de cualquier renglón (o
incluso se cualquier columna).
79
Se resume este hecho como un teorema pero se pospone la demostración
hasta el final de esta sección (puesto que es algo larga e interrumpiría la
exposición si se presenta en este momento).
Teorema de expansión de Laplace
El determinante de una matriz de n x n, ,ijaA donde 2n puede ser
calculado como:
ijij
n
jininiiii CaCaCaCaA
12211det
(La cual es la expansión por cofactores a la largo del i-esimo renglón) y
también como:
ijij
n
injnjjjjj CaCaCaCaA
12211det
(La cual es la expansión por cofactores a la largo del j-ésima columna)
Debido a que ,det1 ij
ji
ij AC
cada cofactor es el menor correspondiente
con signos: + o -, con el signo correcto dado por el término ji1 una manera
rápida para determinar si el signo es + o – es recordar que los signos
conforman un patrón “tablero de Ajedrez”:
80
3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
La manera más eficiente de calcular determinantes es mediante el empleo
de la reducción por renglones. Sin embargo, no todas las operaciones
elementales por renglones dejan el determinante de una matriz sin cambios.
El teorema siguiente resume las propiedades principales que necesita
entender a fin de utilizar de manera eficiente la reducción por renglones.
.cuadradamatrizunaaSeaA ij
Si A tiene un renglón (columna) cero, entonces 0det A
Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (columnas) de A, entonces
0det B = 0det A
Si A tiene dos renglones (columnas) idénticos, entonces. 0det A
Si B se obtiene al multiplicar un renglón (columna) de A por k, entonces
0det B = k 0det A
Si A, B y C son idénticas excepto que i-ésimo renglón (columna) de C
sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces
0det C = BA detdet
Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón () de A a otro renglón
(columna), entonces Bdet 0det A columna
2221
1211
aa
aaSeaA Una matriz de 2 x 2 se define el determinante de A por:
21122211det aaaaA
Con frecuencia se denotará Adet por:
2221
1211
aa
aaóA
El Determinante de una matriz n x n se definirá de manera inductiva. En otra
palabras se usaran lo que se sabe de un determinante de 2 x 2, para definir un
determinante de 3 x 3, esto a su vez se usará para definir un determinante de
4 x 4, etc.
81
Se comienza por definir un determinante de 3 x 3:
.
det
:.
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
derecholadodeltermínosegundodelantesmenossignoelobserve
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaAA
Entonces
aaa
aaa
aaa
ASea
82
3.6 EJEMPLOS. Calcular los siguientes determinantes.
47482669
664103615183
321645266151633
12
364
62
561
61
533
612
536
413
)6
6814
9081141
110041212061
115204162145611
51
120
61
421
65
411
651
412
011
)5
1064
238041
121032400041011
12
103
02
400
01
411
012
410
301
)4
66
1410)(7101
47)3
1
)1)(1()100)(0(1001
10)2
3
)6)(4()7)(3(74
63)1
83
00000
0419
0307
0025
0001
:tan
0130
7012350
0917039472314050
19
070
49
372
41
3050
419
307
025
0
000
7000050
0917009072010050
19
070
09
072
01
0050
019
007
025
0
000
15000050
4937009070030450
39
470
09
070.
03
0450
039
047
005
0
001
3000021
3140001000040321
41
300
01
000
04
0321
041
030
002
1
:
419
307
025
0
019
007
025
0
039
047
005
0
041
030
002
1
0419
0307
0025
0001
)7
toloPor
donde
84
56115042
0321
5100
2410
1302
:tan
1
11
0120411301323001
21
004
31
101
32
1001
321
100
410
1
15
53
0120251001520003
21
002
01
501
02
5003
021
500
210
3
0180
22000
1130251004530100
31
102
01
504
03
5100
031
510
240
0
42212
440152
1230252004530112
32
102
02
504
03
5112
032
510
241
2
:
321
100
410
1
021
500
210
3
031
510
240
0
032
510
241
2
0321
5100
2410
1302
)8
toloPor
donde
85
3.6 EJERCICIOS. Calcular los siguientes determinantes
0324
5103
4121
7002
)10
1:Re
0100
0010
1000
0001
)9
500
043
021
)8
15:Re
030
201
153
)7
203
072
0111
)6
10:Re
403
050
201
)5
)4
38:Re;54
26)3
41
85)2
3:Re;34
69)1
56
43
75
21
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
86
3.7 MATRIZ ADJUNTA
Sea una matriz de 2 x 2:
2221
1211
aa
aaASea
Entonces su matriz adjunta se define como:
1121
1222
2212
2111
aa
aa
AA
AAAAdj
Al calcular la adjunta de una matriz, no olvide transponer la matriz de
cofactores.
Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j) sobre un cuerpo K. El adjunto de
A, denotado por Adj. A, es la transpuesta de la matriz de cofactores de A:
Por ejemplo:
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
87
La transpuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona la adjunta
de A:
Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa
de una matriz.
Reconsidera la matriz:
Así pues, aplicando la propiedad anterior:
)(11 AadjA
A Se obtiene:
88
3.7 EJEMPLOS. Calcular la matriz inversa por el método de la Matriz Adjunta.
157
52
3023
32
35
58
53
3037
1
33
32
31
2313
2212
2111
1
141223
203050
161837
30
1
det
1
:
141223
203050
161837
142016
123018
235037
:
14163058
26
20321228
46
1620425
42
12)66(13
2623158
13
58
30124273
4650656
73
28
18)414(71
4237235
71
25
3011212603212210
1
5
2
3
8
6
713
258
426
713
258
426
713
258
426
)3
59
67:22,
79
65)2
63
42:22,
23
46)1
AAdjA
A
Finalmente
AdjA
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
Y
ASea
A
AdjAxmatricesparadefiniciónPorA
AdjAxmatricesparadefiniciónPorA
T
89
32
32
32
35
37
313
1
33
32
31
2313
2212
2111
1
1
4
223
253
71312
3
1
det
1
:
223
253
71312
227
2513
3312
:
20210
42
20210
32
73411
34
2)1210(53
42330
53
10
591473
32330
73
10
13)1528(75
341257
75
11
3010901214
5
1
4
3
0
2
753
110
342
753
110
342
)4
AAdjA
A
Finalmante
AAdj
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
ASea
A
T
90
21
41
21
41
61
41
31
1
1
33
32
31
2313
2212
2111
0
0
630
630
234
12
1
det
1
:
630
630
234
662
333
004
:
620
23
620
13
22422
12
310
230
10
20
310
130
10
20
31211
12422
11
22
1266
1
2
2
0
0
3
110
220
123
110
220
123
)5
AAdjA
A
Finalmante
A
Entonces
A
A
A
AA
AA
AA
ASea
A
T
91
2)2(0
2
0
0
1
0
1
221
100
001
2)20(
2
0
0
1
0
1
021
100
101
3)21(0
2
1
0
1
0
1
021
110
101
2))2(0(
2
1
0
2
0
0
022
110
100
4)22(
2
0
2
1
0
1
221
100
121
4)2(2
2
0
2
1
0
1
021
100
021
1)21(
2
1
1
1
0
1
021
110
011
6442
2
1
1
2
0
2
222
110
112
1046)4(100)6(1))2(2(100))4(2(1
2
0
2
1
0
1
221
100
121
1
2
0
2
1
0
1
021
100
021
0
2
1
1
1
0
1
021
110
011
0
2
1
1
2
0
2
222
110
112
1
0221
1100
0121
1001
)6
24
23
22
21
14
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
92
51
53
51
52
51
52
51
52
51
101
103
101
51
53
51
53
1
1
44
43
42
41
34
33
32
31
2624
2424
2131
2626
10
1
det
1
;
2624
2424
2131
2626
2222
6416
2232
4416
2
0
2
0
0
1
1
100
121
001
2)02(
0
2
0
0
1
1
100
021
101
2011
1
1
0
0
1
1
110
011
101
2)02(
1
1
0
0
2
0
110
012
100
6)24(
2
2
0
1
1
1
221
121
001
422
2
2
0
1
1
1
021
021
101
1)12(
2
1
0
1
1
1
021
011
101
624
2
1
0
2
2
0
022
012
100
AAdjA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
93
3.7 EJERCICIOS. Calcule la matriz inversa por el método de la Matriz Adjunta.
1667914460
67743615
1251343096
2295881129
:Re
2632
1064
0987
4536
)7
020
608
463
)6
21:Re416)5
835
432
126
)4
583019
456753
12397
:Re
831
327
368
)3
62)2
35
64:Re
45
63)1
65111
78
98145
14117
730
1457
211
294187
1429
193981
25
78
23
79
31
76
31711
23
92
1
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
A
AspuestaA
94
3.8 SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A TRAVES
DE LA INVERSA.
Teorema. Si A es una matriz invertible de nxn , entonces para cada matriz B
de lxn , el sistema de ecuaciones BAX tiene exactamente una solución,
dada por:
BAX 1
Ejemplo: Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
178
3352
532
31
321
321
xx
xxx
xxx
En su forma matricial, el sistema se puede escribir como BAX , donde
17
3
5
801
352
321
3
2
1
B
x
x
x
XA
Una vez que se muestre que A es invertible, que:
125
3513
916401A
Por el anterior teorema, la solución del sistema es
2
1
1
17
3
5
125
3513
916401BAX
Es decir, 2,1,1 321 xxx .
95
3.8 EJEMPLOS. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a
través de la inversa.
5
1
5
19
5
7
5
8
5
7
5
121
5
1
5
2
5
1
5
3
1
5
1
5
2
5
1
5
312
2
212
21
21
9
14
6
19
9
8
9
6
3
8
6
3
1
9
1
9
2
3
1
6
1
1
9
1
9
2
3
1
6
1123
2
2
124
1
21
21
7
2
7
11
7
2
7
11
7
6
7
4
7
9
7
20
7
2
7
1
7
3
7
5
1
7
2
7
1
7
3
7
5
1
7
2
7
1
7
3
7
512
2
2
1
2
1
2
7
2
321
1
21
21
7
4
10
01
12
01
50
11
10
01
32
11
732
4)3
8
3
10
01
12
0
90
31
10
01
34
62
834
362)2
:
3
4
:,
:tantoloPor
10
01
1
0
0
1
10
01
51
32
:
35
432)1
5
1
9
1
2
1
2
37
2
2
1
bAx
A
xx
xx
bAx
A
xx
xx
x
tieneseFinalmente
bAx
entoncesA
ientecorrespondescoeficientdematrizlaDe
xx
xx
RR
R
RR
RR
R
RRI
R
RR
R
RR
R
96
25
25
29
245
29
2451
21
21
21
25
23
211
21
21
21
25
23
21134
235
3
3212
312213
321
321
321
51
52
51
53
52
51
1
51
52
51
53
52
51
1
51
52
51
53
52
51
13223
3
32212
31212
321
321
321
2
81
241
18160
9
16
2
81
241
18160
210
210
100
010
001
111
013
012
200
510
401
102
013
001
310
510
111
100
010
001
112
223
111
92
16223
2)5
2
1
0
123
133
213
5
5
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
100
010
001
125
012
013
500
110
201
101
012
001
320
110
111
100
010
001
211
132
111
52
532
3)4
2
1
5
1
bAx
A
xxx
xxx
xxx
bAx
A
xxx
xxx
xxx
RRRR
R
RRRR
RRRR
RRRR
R
RRRR
RRRR
97
241
837
241
901
241
662
241
26
24111
241
3
24111
241
51
241
8
241
3
241
8
241
46
1
241
26
24111
241
3
24111
241
51
241
8
241
3
241
8
241
46
1
241
26
24111
241
3
24111
241
51
241
8
241
3
241
8
241
46
13
23
3
2611
262
26
5
261
261
26
5
26241
2611
26
3
32
12
2
5
1
51
5
1
5
51
5
11
511
5
26
5
1
5
1
3121
1
321
321
321
30
9
14
30
9
14
100
010
001
1
0
0
00
10
01
10
01
00
0
0
1
100
010
001
1021
251
115
30102
925
145)6
26
326
11241
26
5
115
126
5
5
1
bAx
A
xxx
xxx
xxx
RR
RR
R
RR
RR
R
RRRR
R
98
18
301
6
55
18
185
9
110
18
13
6
11
9
4
9
5
6
1
2
1
3
1
3
2
18
5
6
7
9
5
9
4
9
2
3
4
9
4
9
5
1
18
13
6
11
9
4
9
5
6
1
2
1
3
1
3
2
18
5
6
7
9
5
9
4
9
2
3
4
9
4
9
5
1
18
13
6
11
9
4
9
5
6
1
2
1
3
1
3
2
18
5
6
7
9
5
9
4
9
2
3
4
9
4
9
5
14
24
34
4
13
33
13
8
13
10
13
1
13
3
13
7
13
6
13
5
13
3
13
10
13
4
13
5
13
18
13
3
13
5
13
4
13102364333
3
427323
1222
414312213
4321
321
421
321
4
5
2
10
4
5
2
10
1000
0100
0010
0001
1
0
0
0
000
100
010
001
10717
0137
0013
0025
93300
31300
1610
21001
1004
0102
0013
0001
2970
0530
1610
0221
1000
0100
0010
0001
2114
0112
1053
0221
424
52
253
1022)7
13
413
513
318
13
13
1
bAx
A
xxxx
xxx
xxx
xxx
RR
RR
RR
R
RRRRRR
R
RRRR
RRR
RRRRRR
99
261517
261937
2971
26141
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
1
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
1
26119
26159
872
296
26111
26162
878
295
293
299
294
297
26153
26114
871
293
14
24
34
4
1959
196
1954
197
192
191
1912
192
191
1913
191
199
19261
1911
1927
1953
13
23
43
3
74
723
72
71
72
71
71
74
772
759
711
719
146
712
712
713
42232
12
2
21
21
23
27
23
21
41621
1
4321
432
321
4321
5
10
8
4
1000
0100
0010
0001
1
0
0
0
000
100
010
001
10
01
00
00
00
00
10
01
1003
0100
001
000
8520
2110
60
11
1000
0100
0010
0001
1116
2110
0541
3212
546
102
854
4322)8
19
5319
2719
11261
19
7
137
127
5919
7
2
17
2
2
1
bAx
A
xxxx
xxx
xxx
xxxx
RR
RR
RR
R
RR
RR
RR
R
RRRR
RR
R
RRRR
R
100
3.8 EJERCICIOS. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a través de la inversa.
5248698761
2022365945
8819554122
3426305113)8
785233
69719641
255636
,,:Re4521278)7
30109255
98245236
145)6
96251521
16258713
,,:Re14632384)5
25
315438
201412)4
65
,:Re42)3
887
369)2
45
,:Re856)1
4321
4321
4321
4321
4321
4321
101679108998
4421
13557211447339
3101679163417
2406716746485
1321
321
321
321
321
321
6294680
32692086
26294186
1321
321
321
321
21
9516
2926
121
21
21
2165
205104
24171
121
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxspuestaxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxspuestaxxx
xxx
xxx
xxx
xx
xxspuestaxx
xx
xx
xx
xxspuestaxx
101
3.9 SOLUCIÓN DE DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR LA REGLA DE CRAMER
Regla de Cramer: Sea una matriz de n x n y suponga que det 0A Entonces
la solución única al sistema bAx esta dada por:
D
Dx.................
D
Dx...,.........
D
Dx,
D
Dx n
ii
i 22
2
11
Demostración. La solución Pero.bAxesbAx 1
nnnn
n
n
b
b
b
AAA
AAA
AAA
DbAadj
DbA
2
1
213
22212
12111
1 1)(
1
Ahora bien (Adj A) b es un n-vector cuya componente j es:
njnjj
n
njjj AbAbAb
b
b
b
AAA
2211
2
1
21 ).(
Considere la matriz jA :
nn
n
n
nn
j
a
a
a
baa
baa
baa
A
2
1
213
22212
12111
Si se expande el determinante jA respecto a su columna j, se obtiene:
nnj bdecofatorbbdecofatorbbdecofactorbD 2211
Pero para encontrar el cofactor de 1b se elimina el renglón i y la columna de j
de jA . pero la columna j de jA es b, y se elimina se tendrá simplemente el
menor ij de A entonces:
ijji AAenbdeCofactor
102
3.9 EJEMPLOS. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla
Cramer.
3
5
329
875
29
145
87794477
121451414
447
3129218
47
32
4747
1323
501
1648103
501
17611
103310010
810
1124310
8
303
10
103
8102
2
3
10
15
2
1
10
5
1501554
03550
25
101046
24
13
324
031
22
11
21
21
21
5011648
501176
16501
22
16501
11
832
2702
7
1
16501
1621
83
27
2183
227
1
23
21
22
11
21
21
21
X
,A
Ax,
A
Ax
AAA
xx
xx)
X
,A
Ax,
A
Ax
A
A
A
xx
xx)
X
,A
Ax,
A
Ax
AAA
xx
xx)
103
523
529
13
22
11
3
2
1
321
321
321
7
5
23,
5
29,7
5
35
23121121474
1
0
7
1
1
2
311
021
722
2923621217
1
0
7
1
1
2
311
101
172
3594472242
1
2
2
1
0
7
311
120
127
5611622212
1
2
2
1
1
2
311
121
122
13
02
722)4
X
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
A
A
A
xxx
xxx
xxx
104
3
5
2
35
75,5
25
125,2
25
20
75332096364044
2
2
1
8
3
2
1128
523
612
1259066403314450
11
5
6
8
3
2
5118
356
162
50253622103360
2
2
1
11
5
6
5211
325
116
2515121662420
2
2
1
8
3
2
528
323
112
11528
523
62)5
13
22
11
3
2
1
321
321
321
X
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
A
A
A
xxx
xxx
xxx
105
3
5
2
35
75,5
25
125,2
25
20
75332096364044
2
2
1
8
3
2
1128
523
612
1259066403314450
11
5
6
8
3
2
5118
356
162
50253622103360
2
2
1
11
5
6
5211
325
116
2521)520(100
1
0
1
0
1
2
510
101
112
15
2
42)6
13
22
11
3
2
1
32
31
321
X
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
A
A
A
xx
xx
xxx
106
3.9 EJERCICIOS. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla
Cramer.
89267
232338
25745
633)6
:Re
308249
159710
165742
4035)5
1527
843
19562)4
:Re
42186
452512
30974)3
2293
575)2
21
48:Re3062
2484)1
4321
321
4321
421
8424011
842933
4211500
4213749
4321
432
4321
4321
321
31
321
8202631
4139
16404677
321
321
321
21
21
21
21
xxxx
xxx
xxxx
xxx
Xspuesta
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xx
xxx
Xspuesta
xxx
xxx
xxx
xx
xx
Xspuestaxx
xx
107
4. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos,
llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los 10 axiomas o propiedades siguientes.
Propiedades de un Espacio Vectorial.
1) Si Vx y Vy , entonces Vyx (cerradura bajo la suma).
2) Para todo yx, y z en )()(, zyxzyxV (ley asociativa de la
suma de vectores).
3) Existe un vector V0 tal que para todo xxxVx 00, (el 0 se
llama vector cero o idéntico aditivo).
4) Si Vx , existe un vector x en V tal que 0)( xx ( x se llama
inverso aditivo de x ).
5) Si x y y están en V , entonces xyyx (ley conmutativa de la
suma de vectores).
6) Si Vx y es un escalar, entonces Vx (cerradura bajo la
multiplicación por un escalar).
7) Si x y y están en V y es un escalar, entonces xyyx )(
(primera ley distributiva).
8) Si Vx y y son escalares, entonces xxx )(
(segunda ley distributiva).
9) Si Vx y y son escalares, entonces xx )()( (ley
asociativa de la multiplicación por escalares).
10) Para cada vector Vx , xx 1
Nota: no es difícil demostrar que el idéntico aditivo y el inverso aditivo en un espacio vectorial son únicos. En la práctica, verificar los diez axiomas puede ser tedioso. En adelante se verificarán solo aquellos axiomas que no son obvios.
108
4.1 EJEMPLOS. Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones especificadas de multiplicación y adición por escalares son un espacio vectorial.
1) El conjunto de todos los vectores en 2R de la forma
x
x en las operaciones
vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares. Solución:
.,,tan
1)10
)9
)()8
)7
)5
0)4
0)3
)2
)6
)1
:
;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoelcomotoloPor
x
x
x
x
x
xdc
x
xdc
x
xd
x
xc
x
xdc
x
xc
x
xc
x
x
x
xc
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cx
cx
x
xccu
xx
xx
x
x
x
xvu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicando
x
xv
x
xu
109
2) El conjunto de todos los vectores
y
x en 2R con 0,0 yx con las
operaciones vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalar. Solución:
.
0,0
)0(,
)6
)1
:
;
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesnoqueconcluyesequeloPor
yxcondicionlacumplesenoycuadranteprimer
elenubicasenoyaresultadoelcnegativosvalorestomacsiqueYa
cumplelanocy
cx
y
xccu
cumplelasiyy
xx
y
x
y
xvu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicando
y
xv
y
xu
110
3) El conjunto de todos los vectores
y
x en 2R con ,0xy (es decir en el
primer o tercer cuadrante) con las operaciones vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalar. Solución:
.
.,,tan
1)10
)(
)9
)(
)()8
)7
)5
0)4
0)3
)2
0
0
)6
)1
:
;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
vectorialespaciounesaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoelcomotoloPor
y
x
y
x
cuadranteterceroprimerelen
ubicaseresultadoelnegativoopositivaescddecionmultiplicalasi
y
xdc
y
xdc
cuadranteterceroprimerelen
ubicaseresultadoelnegativoopositivaesdcdesumalasi
y
xd
y
xc
y
xdc
y
xc
y
xc
y
x
y
xc
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
cuadrantetercerelenubicaseresultadoelcSi
cuadranteprimerelenubicaseresultadoelcSi
cy
cx
y
xccu
cuadranteterceroprimerelenubicaseresultadocomoyy
xx
y
x
y
xvu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicando
y
xv
y
xu
111
4) El conjunto de todos los vectores en 2R de la forma
z
zcon la operaciones
habituales de adición y multiplicación por escalares. Solución:
vectorialespaciounesno
tolopornteoriginalmedadoconjuntoalrespectoconformasuCambia
z
z
icbca
icbca
icbca
icbcacu
cconpero
cumplesesiicbca
icbca
ibac
ibac
z
zccu
cumplesesibbiaa
bbiaa
iba
iba
iba
iba
z
z
z
zvu
conjuntoesteaspropiedadelasAplicando
z
zv
z
zu
tan,
)(
)(
0
)(
)()6
)()(
)()()1
:
;
1
1
2121
2121
22
22
11
11
2
2
1
1
2
2
1
1
5) El conjunto de matrices de la forma
10
01
a
aen 22M . Con las
operaciones vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares. Solución:
.tan.
2)(0
02)(
20
02
10
01
10
01)1
10
01;
10
01
21
21
21
21
2
2
1
1
21
2
2
2
1
1
1
vectorialespaciounesnotoloPornteoriginalmedadas
matricesdeconjuntoaloconrespectcambiaestructuratalqueloPor
aa
aa
aa
aa
a
a
a
aMM
a
aM
a
aM
112
6) El conjunto de matrices diagonales de 33x bajo la suma y multiplicación de
matrices por escalares. Solución:
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
)5
0
00
00
00
00
00
00
)4
00
00
00
0
00
00
00
)3
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
)2
00
00
00
00
00
00
)6
00
00
00
00
00
00
00
00
00
)1
00
00
00
;
00
00
00
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ca
ca
ca
a
a
a
ccM
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
MM
a
a
a
M
a
a
a
M
113
.tan
00
00
00
00
00
00
1)10
00
00
00
00
00
00
)9
00
00
00
00
00
00
00
00
00
)()8
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
)7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
vectorialespaciounesyaxiomasdiezlosconcumpledadoconjuntoeltoloPor
a
a
a
a
a
a
a
a
a
dc
a
a
a
dc
a
a
a
d
a
a
a
c
a
a
a
dc
a
a
a
c
a
a
a
c
a
a
a
a
a
a
c
4.1 EJERCICIOS. Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones especificadas de multiplicación y adición por escalares son un espacio vectorial.
1) realesyxyyx ,;0:),( con la suma de vectores y multiplicación por
escalares usuales.
RESPUESTA: No constituye un espacio vectorial porque no cumple las propiedades (4) y (6), solo se cumple si 0c para la propiedad (6).
2) El conjunto de todos los vectores
y
x en 2R con yx con las operaciones
vectoriales habituales de adición y multiplicación por escalares.
3) El conjunto de los vectores en 3R de la forma
x
x
x
con la operaciones
habituales de suma y multiplicación por un escalar.
114
RESPUESTA: Si constituye un espacio vectorial porque cumple con las diez propiedades.
4) Los vectores en el plano que están en el primer cuadrante con la operaciones habituales de suma y multiplicación por un escalar.
5) El conjunto de todas las matrices triangulares superiores de 22x con las
operaciones matriciales habituales de adición y multiplicación por escalares.
RESPUESTA: Si constituye un espacio vectorial porque cumple con las diez propiedades.
6) El conjunto de las matrices de 22x que tienen la forma
0
0
b
a bajo la suma
y multiplicación por escalares usuales.
115
4.2 SUBESPACIOS VECTORIALES
Definición. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y
suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V . Entonces se dice que H es un
subespacio de V .
Nota: se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V .
Propiedades de un Subespacio Vectorial
1) Si Hx y Hy , entonces Hyx
2) Si Hx , entonces Hx para todo escalar .
Las propiedades anteriores contienen un hecho que por su importancia merece que se le haga mención explícitamente: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0 o elemento
nulo. Este hecho con frecuencia facilita ver si un subconjunto de V en particular no
es un subespacio de V . Es decir si un subconjunto no contiene al 0 , entonces
no es un subespacio. Note que el vector cero en H , un subespacio de V , es el
mismo que el vector cero en V .
4.2 EJEMPLOS. Determine en los siguientes ejercicios si W es un subespacio
de V .
1)
3
1
1
1
1
1
1
21
21
2
2
1
1
21
2
2
2
1
1
1
3
tan,
0
0
0
0;0)3
00)2
000)1
0;0
0;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
a
a
acon
ca
ca
a
a
ccW
aa
aa
a
a
a
a
WW
a
a
W
a
a
W
a
a
WRV
116
2)
cerraduraladepropiedadlaconcumpleno
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
WW
a
a
a
W
a
a
a
W
a
a
a
WRV
2)(2
)(
222
)(
)12()12(1212
)1
12
;
12
12
;
21
21
21
21
21
21
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
tan
.
1
0
0
;0)3
121212
)2
RVdesubespaciounesnoWtolopor
nuloelementoelconcumpleNoacon
cac
ca
ca
ac
ca
ca
a
a
a
ccW
3)
2
2
2
11
2
11
21
2
21
2
22
2
1121
2
222
2
111
2
2
tan,
000;0)3
)2
)1
;
;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
xxcbcon
xccxcbxcxbccW
ccxbbxxcxbxcxbWW
xcxbWxcxbW
cxbxWPV
117
4)
3
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
2121
21
21
2211
21
21
2211
21
21
22
2
2
11
1
1
21
22
2
2
2
11
1
1
1
3
tan
.
1
0
0
1
;0)3
111
)2
.
2,
22
1111
)1
1
;
1
1
;
RVdesubespaciounesnoWtolopor
nuloelementoelconcumpleNo
ba
b
a
bacon
ccbca
cb
ca
bac
cb
ca
ba
b
a
ccW
originalosubconjunt
delelementoaligualesnoqueyacerraduraladepropiedadlaconcumpleno
bbaa
bb
aa
baba
bb
aa
baba
bb
aa
ba
b
a
ba
b
a
WW
ba
b
a
W
ba
b
a
W
ba
b
a
WRV
118
5)
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
2
2
2
2
1
1
1
1
3
tan,
0
0
0
;0)3
)2
)1
;
;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
a
b
a
bacon
ac
cb
ca
a
b
a
ccW
aa
bb
aa
a
b
a
a
b
a
WW
a
b
a
W
a
b
a
W
a
b
a
WRV
6)
22
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2121
2121
22
22
11
11
21
22
22
2
11
11
1
22
tan
00
00
2;0)3
22)2
2
2222)1
2;
2
2;
MVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
ab
babacon
accb
cbca
ab
baccW
aabb
bbaa
aabb
bbaa
ab
ba
ab
baMM
ab
baM
ab
baM
ab
baWMV
119
7) Determine si W es un subespacio de V .
2
2
111
2
111
2
111
2
111
2
111
2
2
222111
21
2
2121
2
222
2
11121
2
2222
2
1111
2
2
tan,
0000;0)3
,
224
2,2,4:
)2
tan;05510:
,,
5510
323264
:0tan
3,3,6;2,2,4:
)1
;
0;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
xxcbaconxcxba
cdevalorcualquierpor
ndomultiplicainicialcondicionlaconcumpliendosigue
cxcxc
cbapara
xccxcbcaxcxbaccW
cerraduraladepropiedad
laconcumpletolopordeinicialcondicion
laconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdando
xx
xx
tienesecbacondicionladorespe
cbacbapara
ccxbbxaa
xcxbaxcxbaWW
xcxbaWxcxbaW
cbaparacxbxaWPV
120
8)
2
11
11
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2211
2211
22
22
11
11
21
22
22
2
11
11
1
2
tan,
0
0
2;0)3
222)2
2
2222)1
2;
2
2;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
ba
babacon
cbca
cbca
bac
bac
ba
baccW
bbaa
bbaa
baba
baba
ba
ba
ba
baWW
ba
baW
ba
baW
ba
baWRV
121
9)
4
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
2121
2121
2121
2121
2211
2211
2211
2211
22
22
22
22
11
11
11
11
21
22
22
22
22
2
11
11
11
11
1
4
tan,
0
0
0
0
;0)3
)2
)1
;
;
RVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
ad
dc
cb
ba
dcbacon
cacd
cdcc
cccb
cbca
adc
dcc
cbc
bac
ad
dc
cb
ba
ccW
aadd
ddcc
ccbb
bbaa
adad
dcdc
cbcb
baba
ad
dc
cb
ba
ad
dc
cb
ba
WW
ad
dc
cb
ba
W
ad
dc
cb
ba
W
ad
dc
cb
ba
WRV
122
10)
2
2
111
2
111
11
22
111111
2
111
2
111
2121
2
21
2
2
222111
21
2
2
222111
21
2
2121
2
222
2
11121
2
2222
2
1111
2
2
tan,
0000;0)3
0
,
304340
3,0,4:3,4,0:
)2
.2
0:
0
tan;0)8)(0)(7(:
,,
807
530043
5,0,4;3,0,3:
0
tan;0)8)(7)(0(:
,,
870
533400
5,3,0;3,4,0:
)1
;
0;
PVdesubespaciounesWtolopornuloelementoalcontiene
xxcbaconxcxba
badevalorcualquierpor
ndomultiplicainicialcondicionlaconcumpliendosigue
cxcxccxcxc
cbaconycbapara
xccxcbcaxcxbaccW
gradodepolinomiounserianoyaquepor
ccdevalordarpuedesenoccxconNOTA
bbconcerraduraladepropiedad
laconcumpletolopordeinicialcondicion
laconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdando
x
xx
cbacbapara
aaconcerraduraladepropiedad
laconcumpletolopordeinicialcondicion
laconcumpleobtenidoresultadoelcybadevaloresdando
xx
xx
cbacbapara
ccxbbxaa
xcxbaxcxbaWW
xcxbaWxcxbaW
abcparacxbxaWPV
123
4.2 EJERCICIOS. Determine en los siguientes ejercicios si W es un
subespacio de V .
bcadpara
MVdesubespaciounesnoWspuestadc
baWMV
a
aWRV
RVdesubespaciounessiWspuesta
a
a
WRV
c
cb
ca
WRV
RVdesubespaciounessiWspuestaa
WRV
2222
2
33
3
22
:Re;)5
1;)4
:Re
2
0;)3
5
;)2
:Re0
;)1
)6 El conjunto de todos los vectores 3R cuyo primero y último componente son
cero.
)7 El conjunto de todos los vectores 4R cuyos primeros tres componentes son
cero. 4:Re RVdesubespaciounessiWspuesta
00
1;)8 22
aaWMV
)9 El conjunto de todos los polinomios de grado 3; WPV ;3
3:Re PVdesubespaciounesnoWspuesta
)10 El conjunto de las matrices diagonales de nxn ; WMV nn ;
124
4.3 INDEPENDENCIA LINEAL
Definición. Un conjunto de vectores
kvvv ....., 21 de un espacio vectorial V
es linealmente dependiente si existen escalares kccc ....., 21 , al menos uno de los
cuales no sea 0 , tal que:
0........2211 kk vcvcvc
Un conjunto de vectores no linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente (linealmente dependiente: al menos uno de los vectores es combinación lineal de los otros).
4.3 EJEMPLOS. Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o dependientes.
1)
edependientelinealmentesconjuntoelaigualesresultadoelcomo
xxxxxx
inspeccionporomnescalaresstales
xxxxxx
xxcxxcxxc
queformatalde
cccescalaresexistenqueyaedependientelinealmentesvvvsea
0
031311
:,
31,31,1
031311
:
,,,,
222
222
2
3
2
2
2
1
321321
2)
nteindependieelinealmenteslconjuntoedediferenteesanteerelcomo
cccimplicaesto
cc
cc
cc
implicaEsto
xccxccccagrupando
xcxxcxcentonces
nteindependieelinealmentesxxxxsieDeter
,0mindet
2011011
110
011
101
0:
0
0
0
:
0:
011:
1,,1min
321
32
21
31
2
322131
2
3
2
21
22
125
3)
edependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
d
c
b
a
c
c
c
c
d
c
b
a
cccc
cccc
cc
ccc
dc
bacccc
nteindependieelinealmentessieDeter
,0mindet
041216418043161
112
312
201
1
712
112
001
0
712
132
021
3
711
131
020
1
7112
1312
0201
1031
72
32
2
3
71
01
13
20
11
03
22
11
71
01,
13
20,
11
03,
22
11min
4
3
2
1
4321
4321
31
421
4321
4)
nteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelcomo
c
c
x
matricialformaEn
cbxa
generalformaEn
PVenxx
,0mindet
11011
10
1
11
10
:
:
1,
2
1
11
126
5)
nteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelcomo
c
b
a
c
c
c
c
b
a
cc
cc
ccc
cxbxaxccxccccc
xcxccxccxcc
xxcxcxc
PVenxxxx
,0mindet
1111
01101110110
011
10
111
11
101
110
101
111
1
111
1,1,1
3
2
1
32
31
321
22
3231321
2
333
2
2211
2
3
2
21
2
22
4.3 EJERCICIOS. Determine si los siguientes conjuntos es linealmente independiente o dependiente.
edependientelinealmentesspuesta
PVenxxxxx
PVenxxxxxx
edependientelinealmentesspuesta
RennteindependieelinealmentessieDeter
MennteindependieelinealmentessieDeter
nteindependieelinealmentesspuesta
MennteindependieelinealmentessieDeter
:Re
23,2,)5
2,1,,2)4
:Re
7
2
4
,
4
1
2
min)3
51
31,
33
11,
24
32min)2
:Re
23
01,
01
11,
10
11min)1
2
22
3
3232
3
22
22
127
4.4 BASES VECTORIALES.
Definición. Un subconjunto de un espacio vectorial V es una base para V
si: 1.- genera a V
2.- es linealmente independiente.
4.4 EJEMPLOS. Determine si los siguientes conjuntos constituyen una base.
1)
2
32
21
31
22
322131
22
3
2
21
2
22
tan
,,0mindet
2011011
110
011
101
:
:
11
1,,1
PVparabaseunaestolopor
nteindependieelinealmentesconjuntoeldediferenteesanteerelomoc
dondede
c
b
a
cc
cc
cc
ladosambosenpotenciasIgualando
cxbxaxccxcccc
cxbxaxcxxcxc
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
128
2)
22
4
3
2
1
431
432
432
431
4321
22
tan
,0mindet
422421210041
101
110
110
1
101
110
110
1
111
110
110
0
110
111
111
1
1101
1110
1110
1101
11
11
11
11
01
10
10
01
11
11,
11
11,
01
10,
10
01
MVparabaseunaestolopor
nteindependieelinealmenteselconjuntodediferenteesanteerelcomo
d
c
b
a
c
c
c
c
d
c
b
a
ccc
ccc
ccc
ccc
dc
bacccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
3)
22
4
3
2
1
431
42
32
431
4321
22
tan
,0mindet
011211111021
101
010
110
1
101
110
010
1
111
100
010
0
110
101
011
1
1101
1010
0110
1101
11
01
10
11
01
10
10
01
11
01,
10
11,
01
10,
10
01
MVparabaseunaesnotolopor
edependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
d
c
b
a
c
c
c
c
d
c
b
a
ccc
cc
cc
ccc
dc
bacccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
129
4)
22
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
4321
22
tan
,0mindet
007050301
642
531
642
7
842
731
842
5
862
751
862
3
864
753
864
1
8642
7531
8642
7531
8642
753
8642
753
87
87
65
65
43
43
21
21
87
87,
65
65,
43
43,
21
21
MVparabaseunaesnotolopor
edependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
d
c
b
a
c
c
c
c
d
c
b
a
cccc
cccc
cccc
cccc
dc
bacccc
MVparabaseunaesqueDemuestre
5)
2
32
31
21
22
323121
22
33
2
2211
22
3
2
21
2
22
tan
,0mindet
0011
010011101
110
101
011
:
11
,1,1
PVparabaseunaesnotolopor
edependientelinealmentesconjuntoelaigualesanteerelcomo
ò
c
b
a
cc
cc
cc
ladosambosenpotenciasIgualando
cxbxaxccxcccc
cxbxaxcxcxccxcc
cxbxaxxcxcxc
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
130
4.4 EJERCICIOS. Determine si los siguientes conjuntos constituyen una base.
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
PVparabaseunaesxxxxqueDemuestre
PVparabaseunaesxxqueDemuestre
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
MVparabaseunaesqueDemuestre
MVparabaseunaesqueDemuestre
baseunaconsituyenoconjuntoelspuesta
MVparabaseunaesqueDemuestre
:Re
2,3,2,1)5
321,1)4
:Re
10
10,
01
01,
01
10,
10
01)3
11
11,
01
10,
10
11)2
:Re
13
32,
13
31,
21
12,
12
21)1
2
22
2
2
22
22
22
131
4.4.1 CAMBIO DE BASE.
En 2RV se expresan vectores en término de la base
1
0,
0
1ˆ,ˆ ji . Así
como también, para 3RV se expresan vectores en términos de la base
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
ˆ,ˆ,ˆ kji .
Pero en ocasiones se puede trabajar en alguna otra base y para lo cual existe in numero infinito de bases para escoger, ya que en un espacio vectorial de dimensión n cuales quiera n vectores linealmente independientes forman una
base.
Para el caso de 2RV , sean
1
0ˆ
0
1ˆ 21 uyu . Entonces 211 ˆ,ˆ uu es una
base canónica en 2R . Sean
2
1
3
121 vyv . Como
21 vyv son linealmente
independientes (por que
1v no es múltiplo de
2v ), entonces
212 ,vv es
una segunda base en 2R . Sea
2
1
x
xx un vector en 2R . Esta notación
significa que:
221121
2
1ˆˆ
1
0
0
1uxuxxx
x
xx
Es decir
x esta expresado en términos de los vectores de la base 1 . Es decir:
2
1
1
x
xx
Como 2 es otra base en 2R , existen escalares 21 cyc tales que:
2211
vcvcx
Encontrando a 21 cyc , se tiene:
2
1
2c
cx
Lo que significa que
x esta expresado en términos de los vectores en 2 .
132
Para encontrar 21 cyc se escribe la base anterior 21 ˆ,ˆ uu en términos de la
nueva base
21 ,vv . Es decir:
Bccu
Accu
2
1
3
1
1
0ˆ
2
1
3
1
0
1ˆ
212
211
Entonces:
2
1
1
21
2
1
212
211
221121
2122112211
21
21222
2
21
21
21
21
21
21122
2
21
21
21
21
5
1
5
35
1
5
2
5
1
5
35
1
5
2
:
5
1
5
3
5
1
5
2:
5
1
5
3
5
1
5
2
5
1
5
1
5
3
5
2ˆˆ:
5
1
5
1
5
1ˆ
5
151
501
231
330
;Re231
0:
5
2
5
311
5
3
5
2ˆ
5
353
503
230
333
;Re230
1:
2
x
x
xx
xx
c
cx
tambieno
xxc
xxcEntonces
vxxvxx
vvxvvxuxuxxEntonces
cc
vvucc
c
cc
cc
solviendocc
ccBDe
cc
vvucc
c
cc
cc
solviendocc
ccADe
133
b
x
y
4
3
5
13
5
221 vv
25
13v
15
2v
1v
2v
5
135
2
4
3
5
1
5
35
1
5
2
:,4
3
2
1
x
entoncesxsiejemploPor
FIGURA (a) Expresión de
v =
4
3 en términos de
1
0,
0
11
FIGURA (b) Expresión de
v =
4
3en términos de
2
1,
3
12
A la matriz
5
1
5
35
1
5
2
A se le llama matriz de transición de 21 a .
En general, el procedimiento para encontrar la matriz de transición de una base
1 a la base 2
1) Se escribe la matriz 21 P cuyas columnas son nVVV .....,, 21
2) Se calcula 1
2112
PP . Esta es la matriz de transición que se busca.
x
a
2u
1u
y
134
4.4.1 EJEMPLOS.
1) Sea 221 xxxP con 2
1 ,,1 xx . Encuentre el vector coordenada de
xP con respecto a 22
2 1,,1 xxxx
Los vectores coordenados de xP en términos de 2 son:
1
0
1
1,
1
1
0
,
0
1
1
1111
22
xxxx
Entonces, la matriz de transición de 1 a 2 se obtiene a partir de:
110
011
101
21 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1
100
010
001
111
011
001
200
110
101
100
011
001
110
110
101
100
010
001
110
011
101
110
011
101
13
23
32
1
32
21
2112
RRRR
R
RR
RR
PP
Entonces:
1
0
2
1
1
1
1
2
1
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1212 xPxP
Finalmente: 222
xxP
135
2) Sea
1
1
1
,
0
1
1
,
1
0
1
;
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
,
5
1
3
211x
Calcular 2
x
Los vectores coordenados de 1
x términos de 2 se obtienen de las siguientes
combinaciones lineales:
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
987
654
321
ccc
ccc
ccc
Este procedimiento dará a resolver 3 sistemas linealmente independientes para
encontrar a 2
x . Pero es mucho más fácil utilizar el hecho de que.
1
2112
PP
Los vectores coordenados de 1 en términos de 2 son:
1
1
1
1
0
0
;
0
1
1
0
1
0
;
1
0
1
0
0
1
222
Entonces:
101
110
111
21 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
136
111
101
011
111
101
011
100
010
001
111
010
011
100
110
001
101
010
001
010
110
111
100
010
001
101
110
111
101
110
111
2312
32
31
2112
1
1
RRRRRR
RR
PP
Finalmente:
3
2
2
513
503
013
5
1
3
111
101
011
1212
1 xPx
137
3) Sea 2241
xxxP con 2
1 ,,1 xx . Encuentre el vector coordenada de
xP con respecto a 222
2 ,,1 xxxxx .
Los vectores coordenados de xP en términos de 2 son:
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
1111
222
xxxxx
Entonces, la matriz de transición de 1 a 2 se obtiene a partir de:
111
011
001
21 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
110
011
001
110
011
001
100
010
001
101
011
001
110
010
001
100
010
001
111
011
001
111
011
001
32
31
21
2112
1
1
RR
RRRR
PP
Entonces:
1
6
4
120
024
004
1
2
4
110
011
001
1212
1 xPxP
Finalmente: 2642
xxxP
138
4) Sea
1
0
0
,
1
1
1
,
1
0
1
;
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
,
0
4
1
211x
Calcular 2
x
1
2112
PP
Los vectores coordenadas de 1 en términos de 2 son:
1
0
0
1
0
0
;
1
1
1
0
1
0
;
1
0
1
0
0
1
222
Entonces:
111
010
011
21 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
121
010
011
121
010
011
100
010
001
101
010
001
120
010
011
100
010
001
111
010
011
111
010
011
32
12
31
2112
2
1
1
RRRR
RR
PP
Finalmente:
7
4
3
081
040
041
0
4
1
121
010
011
1212
1 xPx
139
5) Sea
0
0
1
,
1
1
0
,
1
0
1
;
2
1
0
,
1
2
4
,
2
3
1
,
2
4
1
211x
Calcular 2
x
Partiendo de 2222
321321 2424
uuuuuux
Ordenando:
2
4
1
222
2 321
uuux
Donde: 222
12321
uuuP
Por lo tanto:
4
3
5
2
3
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
2
3
1
3
2
1
21
2
31
3211
c
c
c
dondede
cc
c
cc
cccu
Entonces: 3211 435
vvvu
1
2
3
1
2
4
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
2
4
3
2
1
21
2
31
3212
c
c
c
dondede
cc
c
cc
cccu
Entonces: 3212 23
vvvu
1
1
1
2
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
2
1
0
3
2
1
21
2
31
3213
c
c
c
dondede
cc
c
cc
cccu
Entonces: 3213
vvvu
140
Ordenando:
114
123
135
12 P
Finalmente:
6
3
9
244
283
2125
2
4
1
114
123
135
2x
6) Encuentre el vector coordenados de x con respecto a la base 2 .
2
211
1
1
1
1
0
0
1:
3
21
Rendondex
Entonces, la matriz de transición de 1 a 2 se obtiene a partir de:
11
1121 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1
10
01
11
01
20
11
10
01
11
11
11
11
12
322
1
21
2112
RR
RR
RR
PP
Finalmente:
21
25
23
23
21
21
21
21
1
1
1
3
21212 xPx
141
7) Sea 3
21
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
;
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
,
1
0
1
Renx
Calcular 2
x
1
2112
PP
Los vectores coordenados de 1 en términos de 2 son:
1
0
0
1
0
0
;
1
1
0
0
1
0
;
1
1
1
0
0
1
222
Entonces:
111
011
001
21 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
110
011
001
110
011
001
100
010
001
101
011
001
110
010
001
100
010
001
111
011
001
111
011
001
32
21
31
2112
1
1
RR
RRRR
PP
Finalmente:
1
1
1
100
001
001
1
0
1
110
011
001
1212
1 xPx
142
8) Sea xxP 21
con x,11 . Encuentre el vector coordenado de xP
con respecto a xx 1,2 .
Los vectores coordenadas de xP en términos de 2 son:
1
11
0
111 xx
Entonces, la matriz de transición de 1 a 2 se obtiene a partir de:
10
1121 P
Para determinar 21 P es mucho más fácil utilizar el hecho de que:
10
11
10
11
10
01
10
01
10
11
10
11
12
2112
1
1
RR
PP
Entonces:
1
3
1
12
1
2
10
111212
1 xPxP
Finalmente: xxP 32
143
4.4.1 EJECICIOS. Encuentre la matriz de cambio de base 21 P de los
siguientes ejercicios.
1) Sea 2
211
1,
1
1;
1
0,
0
1,
3
2Renx
Calcular 2
x
21
25
:Re spuesta
2) Sea 2
213
2,
1
0;
1
1,
0
1,
1
4Renx
Calcular 2
x
3) Sea 3
21
5
1
0
,
1
2
1
,
0
0
3
;
1
0
1
,
1
1
0
,
0
1
1
,
4
1
2
Renx
Calcular 2
x
117
1120
3386
:Re spuesta
4) Sea 3
21
1
0
1
,
1
1
0
,
0
1
1
;
0
0
1
,
1
0
0
,
0
1
0
,
5
2
3
Renx
Calcular 2
x
5) Sea 211
xxP con 2
1 ,,1 xx . Encuentre el vector coordenado de xP
con respecto a 222
2 ,,1 xxxxx .
21
1
1
1
:Re xxspuesta
6) Sea xxP 311
con xx 1,11 . Encuentre el vector coordenado de
xP con respecto a .4,22 x .
144
7) Sea 6532 23
1 xxxxP con 32
1 ,,,1 xxx . Encuentre el vector
coordenado de xP con respecto a 32
2 1,1,1,1 xxx .
1611052:Re 223 xxxxxspuesta
8) Sea 2321
xxxP con 1,3,1 2
1 xxxx . Encuentre el vector
coordenado de xP con respecto a 2
2 ,1,23 xxxx .
145
5. TRANSFORMACIONES
5.1 TRANSFORMACIONES LINEALES.
Las matrices pueden ser utilizadas para transformar vectores cuando actúan en
funciones de la forma
vTw .
Una función es una transformación lineal de los números reales que
transforman números reales en números reales, por ejemplo: 2xxf .
En el caso de matrices, éstas pueden transformar un vector en 2R a 3R , por ejemplo:
5
2
34
01
31
vyA
Entonces:
23
2
17
158
02
152
5
2
34
01
31
vAw
Esto demuestra que A transforma a
v en
w .
De manera más general:
yx
x
yx
y
x
34
0
3
34
01
31
La matriz A transforma un vector arbitrario
y
x de 2R en un vector
yx
x
yx
34
0
3
de 3R . Tal transformación se escribe como:
yx
x
yx
y
xTA
34
3
Una transformación (o mapeo o función) T de nR a mR es una regla que
asigna a cada vector
v de nR un vector único
vT de mR . El dominio de T
es nR , mientras que el contradominio de T es mR . Escribiéndose de la
siguiente forma mn RRT : . En el ejemplo anterior, el dominio de AT es 2R y
su contradominio es 3R .
146
Definición. Una transformación mn RRT : se denomina transformación lineal
si:
1.
vTuTvuT para todo
u y
v en nR
2.
vcTvcT para todo
v en nR y todo escalar c
La definición de transformación puede ser racionalizada mediante la combinación de las dos propiedades anteriores, de la siguiente manera:
mn RRT : es transformación lineal si
22112211 vTcvTcvcvcT para
todo 1
v y 2
v en nR y escalares 1c y 2c .
En el caso de las transformaciones matriciales, todas son lineales. Definición. Sea A una matriz de nxm . Entonces la transformación matricial
mn
A RRT : definida por
xAxTA (para
x en nR ) es una transformación
lineal.
147
5.1 EJEMPLOS.
1) Suponer que T es una transformación lineal de 2R en 2P tal que:
22 13
232
1
1xTyxxT
Encuentre
b
aTyT
2
1
Ya que
3
2,
1
1 es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
3
7Re
23
12
2
1
3
2
1
1
2
1
21
21
21
c
csolviendo
cc
cccc
Por lo tanto:
2
22
102111
13327
3
23
1
17
3
23
1
17
2
1
xx
xxx
TTTT
De manera similar:
abc
bacsolviendo
bcc
acc
b
acc
2
1
21
21
21
23Re
3
2
3
2
1
1
Por lo tanto:
2
22
346935
13223
3
2
1
123
3
2
1
123
xbaxbabab
aT
xabxxba
TabTbaabbaTb
aT
Cuando 1a y 2b se tiene:
21021112
1xxT
148
2) Sea 22: PPT una transformación lineal para la cual:
222 224231 xxTxxxTxT
Encuentre: 2246 cxbxaTxxT
Ya que 2,,1 xx es una base para 2P (son linealmente independientes), por
lo tanto:
22
321 461 xxxcxcc
Igualando coeficientes en potencias de ""x :
4;1;6 321 ccc
Por lo tanto:
2222
22
2
22
9810884121846
2244236
416
411646
xxxxxxxxT
xxxx
xTxTT
xxTxxT
De manera similar:
22
321 1 cxbxaxcxcc
Igualando coeficientes en potencias de ""x
ccbcac 321 ;;
Por lo tanto:
22
22
22
22
2
22
981046
4;1;6
24223
22423
22423
1
1
xxxxT
cbaCuando
xcbxbacacxbxaT
cxcbxbxaxa
xcxxbxa
xcTxbTTa
xcxbaTcxbxaT
149
3) Sea 23: RRT una transformación lineal para la cual:
3
5
1
0
0
4
1
0
1
0
3
2
0
0
1
TTT
Calcule
5
4
3
T
Dado que:
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
constituyen una base (linealmente
independientes), entonces:
5
4
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
321 ccc
Resolviendo:
543 321 ccc
Entonces:
5
4
3
15
25
16
4
9
6
5
4
3
3
55
4
14
3
23
5
4
3
1
0
0
5
0
1
0
4
0
0
1
3
5
4
3
1
0
0
5
0
1
0
4
0
0
1
3
T
T
TTTT
TT
22
35
15169
2546
5
4
3
T
150
3238423844
82372377
3211
2
4321
432
43
4
cccc
ccc
cc
c
4) Sea RMT 22: una transformación lineal para lo cual:
311
112
01
111
00
114
00
01
TTTT
Encuentre:
21
74T
Dado que:
11
11,
01
11,
00
11,
00
01 Constituyan una base (linealmente
independientes), entonces:
21
74
11
11
01
11
00
11
00
014321 cccc
Entonces: Resolviendo:
2
1
7
4
4
43
432
4321
c
cc
ccc
cccc
Por lo tanto:
206681221
74
21
7432231843
21
74
11
112
01
113
00
118
00
013
21
74
11
112
01
113
00
118
00
013
T
T
TTTTT
TT
151
5) Sea 22: PPT una transformación lineal para la cual
2222 111 xxxTxxxTxT
Encuentre: 234 xxT
Ya que 2,,1 xx es una base para 2P (son linealmente independientes) por
lo tanto:
22
321 341 xxxcxcc
Igualando coeficientes en potencias de ""x :
3;1;4 321 ccc
Por lo tanto:
22
22222
222
2
22
82734
8273334434
1314
314
311434
xxxxT
xxxxxxxxxT
xxxxx
xTxTT
xxTxxT
6) Sea RMT 22: una transformación lineal para lo cual:
411
113
01
112
00
111
00
01
TTTT
Encuentre:
24
31T
Dado que:
11
11,
01
11,
00
11,
00
01 Constituyen una base (son linealmente
independientes), entonces:
24
31
11
11
01
11
00
11
00
014321 cccc
152
2221122111
12233
2244
2
4321
432
43
4
cccc
ccc
cc
c
Resolviendo:
2
4
3
1
4
43
432
4321
c
cc
ccc
cccc
Por lo tanto:
10862224
31
24
3142322112
24
31
11
112
01
112
00
111
00
012
24
31
11
112
01
112
00
111
00
012
T
T
TTTTT
TT
7) sea 2
2: PRT una transformación lineal para la cual
221
321
1
1xxTyxT
Encuentre
9
7T
Ya que
1
3,
1
1 es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
4
5Re
9
73
9
7
1
3
1
1
2
1
21
21
21
c
csolviendo
cc
cccc
Por lo tanto:
2
2
2
81459
7
84105
24215
1
34
1
15
1
34
1
15
9
7
xxT
xxx
xxx
TTTT
153
8) Sea 22: RRT una transformación lineal tal que:
4
9
2
2
8
5
1
1TyT
Encuentre
11
7
15
10TyT
Ya que
2
2,
1
1 es una base para 2R (son linealmente independientes)
por lo tanto:
45
2
225
1
21
21
21 Re152
102
15
10
2
2
1
1
c
csolviendo
cc
cccc
Por lo tanto:
105510015
10
5100
4
9
8
5
2
2
1
1
2
2
1
1
15
10
4295
445
2125
445
2125
45
225
45
225
45
225
T
TTTT
De manera similar:
29
2
1
21
21
21
2Re
112
72
11
7
2
2
1
1
c
csolviendo
cc
cccc
Por lo tanto:
341816
10
11
7
1816
10
4
9
8
52
2
2
1
12
2
2
1
12
11
7
2101
281
281
29
29
29
T
TTTT
154
5.1 EJECICIOS. Encuentre las transformaciones lineales de los siguientes ejercicios.
1) Sea 12: PPT una transformación lineal tal que:
xxxTxxxTxxxT 211231311 222
Encuentre 22 101525 xxTycxbxaT
xyxcbacbaspuesta295
21
212:Re
2) Sea 11: PPT una transformación lineal tal que:
xxTyxxT 9422581
Encuentre axbTyxTbxaT 1015,
3) Sea 23: RRT una transformación lineal tal que:
1
2
3
2
1
3321321321 eeeTeeeTeeeT
Encuentre
25
15
10
TyxT
0
2:Re 2
9521
21
yzyx
zyxspuesta
4) Sea 32: RRT una transformación lineal tal que:
4
0
3
1
0
1
2
1
0
1TyT Encuentre
b
aTyT
2
5
5) Sea 22: PPT una transformación lineal para la cual:
22222 1111 xxxTxxxxTxxT
Encuentre 2234 cxbxaTyxxT
22
2
3534:Re x
cbacxayxxspuesta
6) Sea RMT 22: una transformación lineal para lo cual:
101
015
10
104
11
003
00
11
TTTT
155
Encuentre:
dc
baTyT
23
51
7) Sea 32: RRT una transformación lineal tal que:
5
0
4
1
0
3
2
1
0
1TyT Encuentre
7
3
4
2TyT
26
6
31
26
4
14
:Re yspuesta
8) Sea PPT : una transformación lineal que satisface:
01
1 1
nxn
xT nn
Encuentre: 2232 11 xTxTxxT
156
6. APENDICE. Algebra Lineal con SCIENTIFIC WORD PLACE (Versión 5.0) En la actualidad, el apoyo de Software para la motivación, cálculo y verificación
de resultados obtenidos en las Matemáticas y sus aplicaciones en la Ingeniería
en general, y en especial en la Ingeniería Electrónica, es de vital importancia.
Por lo cual, se anexan una serie de ejercicios de algebra Lineal y operaciones
con Números Complejos, con sus instrucciones de cálculo respectivas con el
programa SCIENTIFIC WORD PLACE. Programa compatible con Microsoft, ya
que utiliza una hoja de trabajo, ventanas, simbología y dinámicas de trabajo en
general similares. Por lo hace un paquete muy factible y versátil, aún cuando se
tengan bajos conocimientos en programación; sólo con pocas y sencillas
instrucciones para los respectivos cálculos en varias ramas de las
Matemáticas: Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de Varias Variables,
Análisis Numérico, Probabilidad y Estadística, Transformadas de Laplace,
Transformadas de Fourier, etc.
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.
Derrick, William R. “Variable compleja con Aplicaciones”. Editoral
Iberoamérica. 1987.
Spiegel Murray. “Variable Compleja”. Schaum, Editorial Mc Graw Hill,
México.
Poole, David. “Algebra Lineal, una Introducción Moderna”. Editorial
Thomson. 2004.
Grossman, Stanley I. “Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw Hill. Quinta
Edición. 1996.
Nakos, George / Joyner, David. “Algebra Lineal con Aplicaciones”.
Editorial Thomson. 1998.
Howard, Anton. “Introducción al Algebra Lineal”. Editorial Limusa,
Primera Edición. 1976.
