NUMEROS REALES. VALOR ABSOLUTO.DESIGUALDADES

UNIDAD I: PRIMERA PARTE.

TEMA I 1.- Los Números Reales. 1.1.- Suma y Multiplicación de Números Reales. Propiedades básicas de la Suma y la Multiplicación. Definición de Diferencia y Cociente. Algunas propiedades de los Números Reales. Axioma de Orden. Definición de desigualdades. Intervalos. Tipos de Intervalos.

Ecuaciones: Dos expresiones algebraicas unidas por el signo igual.Ejemplo: 2x + 1 = 3x – 2 ,

)).((22 bababa +−=−

Nota: • Resolver una ecuación o una inecuación significa hallar el conjunto solución de la igualdad o desigualdad respectivamente.• El conjunto solución, es el conjunto formado por todos los números reales que son solución de la ecuación o inecuación.• El conjunto solución de una ecuación es finito, mientras que el conjunto solución de una inecuación, en general, es infinito.

Ejemplos:1.- Resolver la siguiente ecuación: x – (6 – 2x) = 8(x – 2)

2.- Resolver la siguiente inecuación: x – (6 – 2x) > 8(x – 2)

DEFINIDOS AXIOMAS TEOREMAS

NUMEROS REALES

METODO AXIOMATICO

CONCEPTOS PROPOSICIONES

PRIMITIVOS

Números Reales

Números Reales Positivos

Adición y Multiplicación de Números Reales

Si H, entonces T

H ⇒ T

H si y sólo si T

H ⇔ T

Conjuntos de Números: Naturales: 1,2,3,4,... Denotado por: Enteros: ..., -3,-2,-1,0,1,... Denotado por:

Racionales: Números que pueden escribirse de la forma: m/n

donde n es distinto de 0

Se denota por:

Números Reales

Q

....4142.1/ que tales

en Zn y mexisten no que ya 2 .5

....14159.3/ que tales

en Zn y mexisten no que ya 4.

1/330.3 que ya ...3333.0 3.

1/20.5 que ya 5.0 2.

2/168 que ya 8 1.

=∉

=∉

=∈

=∈=∈

nm

Q

nm

Q

Q

Q

Q

π

Ejemplos

En general:

“Un número es racional si es entero o, si su fracción decimal es finita o infinita periódica”

2; 3; 176543; 34,456; -456,456456456...

En otro caso es irracional:

Estos y otros forman el conjunto de los irracionales

denotado por

e ;;8 ;3 ;2 4 π

I

Asi tenemos:

N Q I⊂ ⊂=R Q I

e

N Z Q R

Z

El Conjunto de los Números Reales R

Está formado por todos los números, racionales e irracionales que pueden medir longitudes, incluyendo sus negativos y el cero.

La Recta real

La recta real es una representacion geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real"

Números Reales, Racionales e Irracionales Recta Real

Números RacionalesPueden expresarse como cociente de

dos enteros

Números IrracionalesNo pueden expresarse como

decimales finitos ni periódicos

Decimales finitos

2

5

=0,4

Periódicos

1

3

=0,333...=0,3

0 1 2 3 4

2 e π

2≈ 1,414213562

π ≈ 3,141592654

e ≈ 2,718281828

Operaciones en R

Suma o adición:

Multiplicación:

RyxRyx ∈+⇒∈,

RyxRyx ∈⇒∈ .,

Axiomas de la Suma y Multiplicación

Leyes conmutativas:

Leyes Asociativas:

Ley Distributiva:

Elementos Identidad:

Inversos:

Aditivo:

Multiplicativo:

yxxyxyyx =+=+ y

zxyyzxzyxzyx )()( y )()( =++=++

xzxyzyx +=+ )(

xxxxR ==+∈∃ 1 y 0 que tales1 y 0

0)( que tal)( )( =−+∈−∃∈∀ xxRxRx

1. que tal)/1)(0( 11 =∈=∃≠∀ −− xxRxxx

Sustracción y división

Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que:

).(/

)(1−=−+=−

yxyx

yxyx

Algunas propiedades de los números reales: Sean a, b, c, d ∈ R, se cumple:

0 1. )20

)(0 )19

.).(0. )18

)17

)).(( )16

).1( )15

0con )( )14

0,,con )13

0,con . )12

0,con .

. )11

0 00 )10

0, )9

0 )8

)()( )7

)()()()()( )6

)( )5

000 )4

00 3)

0 )2

1)

1

11

111

22

22

11

≠=⇒==⇒≠=⇒≠

−==⇔=+−=−

−=−≠=

≠=

≠=

≠=

=⇔=⇔=

≠+=+

≠−=−

=−−=−−−=+−

⋅=−⋅−⋅−=−⋅=⋅−=−−

==⇔=⋅=⋅

=⇒≠⋅=⋅=⇔+=+

−

−−

−−−

−−

aconabba

aaa

bababa

baóbaba

bababa

aa

aaa

dcbbc

ad

dc

ba

dbbd

ac

d

c

b

a

cbb

a

cb

ca

bexiste no b

a y a

b

a

dbconbd

cbad

d

c

b

a

bconb

a

b

a

b

a

acabcbaybaba

babaybababa

aa

bóaba

a

bacycbca

bacbca

Axioma de Orden

El conjunto de los números reales tiene un subconjunto no vacío llamado

los números reales positivos y denotado por R+ que satisface las

siguientes propiedades:

O1.- Para todo a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes

proposiciones: a = 0 , a ∈ R+ ó (-a ) ∈ R+

O2.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a + b) ∈ R+

O3.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a . b) ∈ R+

Definición: Un numero real “a” es negativo si y solo si “(-a)” es

positivo.

El conjunto de los números reales negativos se denota por R-.

Definición: Sean a,b ∈ R

-Desigualdades Estrictas:

“ a es menor que b” (a < b) si y solo si (b – a) ∈ R+

“ a es mayor que b” (a > b) si y solo si (a – b) ∈ R+.

-Desigualdades No Estrictas:

“a es menor o igual que b” (a ≤ b) si y solo si a < b ó a = b.

“ a es mayor o igual que b” (a ≥ b) si y solo si a > b ó a = b.