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REPASA LO QUE SABES 1. Ordena de mayor a menor. 3 4 5 6 8 10 11 12 13 15 2. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado. a) 2 3 + 7 8 5 6 c) 12 15 7 15 4 5 + 4 3 b) 3 5 : 9 10 d) 7 15 4 5 5 6 + 5 4 : 5 9 3. Simplifica estos números racionales y calcula su expresión decimal. Clasifícalos. a) 102 90 b) 65 13 c) 141 60 d) 108 33 4. Halla la fracción generatriz de estos números racionales. a) 3,12 b) 3,12 c) 3,12 5. Elabora en tu cuaderno una tabla con el truncamiento y el redondeo a las décimas de estos números. 27,6453 9,797 5 1 NÚMEROS REALES Hay situaciones en las que los números racionales no son suficientes para representar aquello que queremos medir. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de un metro de lado no mide dos metros, tampoco un metro y medio, ni 1,414 m. Ningún número racional nos sirve para medir esa longitud. Por eso, necesitamos ampliar este conjunto de números y añadir otros que no son racionales, los irracionales. IDEAS PREVIAS Números racionales. Orden. Operaciones con números racionales. Propiedades. Expresión decimal y fraccionaria de un número racional. Aproximación de números. La parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, especialmente de los números enteros, y la resolución de problemas con ellos se llama teoría de números. Matemáticas en el día a día ] [ map4e1

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REPASA LO QUE SABES1. Ordena de mayor a menor.

−3

4

5

6−

8

10

11

12

13

15

2. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

a) −2

3+7

8−

5

6 c)

12

15−

7

15⋅4

5+4

3

b) 3

5: −

9

10

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ d)

7

15−

4

5⋅5

6+5

4

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ :

5

9

3. Simplifica estos números racionales y calcula su expresión decimal. Clasifícalos.

a) 102

90 b) −

65

13 c) −

141

60 d)

108

33

4. Halla la fracción generatriz de estos números racionales.

a) −3,12 b) 3,12 c) −3,12

5. Elabora en tu cuaderno una tabla con el truncamiento y el redondeo a las décimas de estos números.

27,6453 9,797

5

1 NÚMEROS REALES

Hay situaciones en las que los números racionales no son suficientes para representar aquello que queremos medir. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de un metro de lado no mide dos metros, tampoco un metro y medio, ni 1,414 m. Ningún número racional nos sirve para medir esa longitud. Por eso, necesitamos ampliar este conjunto de números y añadir otros que no son racionales, los irracionales.

IDEAS PREVIAS

❚❚ Números racionales.

Orden.

❚❚ Operaciones con números

racionales. Propiedades.

❚❚ Expresión decimal

y fraccionaria de un

número racional.

❚❚ Aproximación de

números.

La parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, especialmente de los números enteros, y la resolución de problemas con ellos se llama teoría de números.

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1 Números reales

6

1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALESAntía ha leído que hubo una crisis en las matemáticas de la Grecia clásica porque ¡había números que no se podían medir! En el texto se habla de la diagonal de un cuadrado y se plantea cómo escribir su valor exactamente.

La expresión decimal de 2 no se acaba donde muestra la pantalla, tiene infinitas cifras decimales y no es periódica.

Antía repasa lo que sabe de los números racionales: se pueden expresar como fracción o cociente de números enteros. Por ejemplo:

1 =1

1=−2

−2=

73

73= … ; 1,4 =

14

10=

7

5=−21

−15= … ; 1,4

=

13

9=

26

18=−39

−27= …

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como fracción o

cociente de dos números enteros, a

b.

Antía vuelve a mirar el resultado de la pantalla. ¿Qué pasa con 2 ?

2 = 1,414213562356237309…

Su expresión decimal es no exacta y no periódica.

No se ajusta a ninguno de los casos anteriores, no tiene expresión fraccionaria; se trata de un número no racional. Decimos que es irracional.

Los números irracionales no se pueden expresar como fracción. Su expresión decimal es ilimitada y no periódica.

Números realesTodos los números que conocemos y utilizamos están clasificados en grupos que se han ido ampliando y estructurando. Todos ellos son números reales.

Con ellos, Antía ha completado su clasificación.

El conjunto de los números reales es el que está formado por todos los números racionales e irracionales.

Aprenderás a…❚● Distinguir los números racionales e irracionales.

❚● Identificar y clasificar los distintos tipos de números reales.

Presta atención

Exacto → Racional

2 ≠ 1,4142135623

Irracional

2 = 1,4142125623…

`` Clasifica estos números en racionales e irracionales: −34,5678910… 34,5678 3

2 7 9 −19

Solución

❚❚ Racionales: −19 (entero); 9 = 3 (natural); 3

2 (fracción); 34,5678 (decimal exacto)

❚❚ Irracionales: −34,5678910… (decimal no exacto y no periódico); 7 (raíz cuadrada no exacta)

EJERCICIO RESUELTO

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1Actividades

Calcula la expresión decimal de estos números fraccionarios e indica qué tipo de número es.

a) 21

45 b)

52

13 c)

15

33 d)

34

20¿Se puede escribir algún número fraccionario cuya expresión decimal sea irracional?

Escribe estos números en tu cuaderno e indica a qué tipo de número decimal corresponden. Calcula la fracción generatriz en cada caso.

a) 3,24 b) 3,24

c) 3,24 d) 32,4

Indica cuáles de los siguientes números son irracionales. ¿Por qué?

a) 5,010101… c) −5,010110111…

b) 5,0123456… d) −5,011111…

Decide si los siguientes números son racionales o irracionales.

3,7 18 53 −4,3525252… 8

2

¿Qué números tienen representación fraccionaria? Calcúlala en los casos en los que sea posible.

a) 7,272727… c) 5,67891011…

b) −2,595599… d) −3,59999…

Copia en tu cuaderno el esquema que estructura los conjuntos numéricos y sitúa estos números en el lugar que les corresponda.

9

4 −

56

7 13 3 121

¿Cuáles de ellos son números reales?

Intenta averiguar la cifra decimal que ocupa el lugar 100 para cada uno de estos números.

a) 53

11 b) π

11Explica cómo resuelves cada apartado. ¿Qué diferencias encuentras? ¿A qué se deben?

Escribe dos números racionales y dos irracionales. Explica cómo lo haces.

1

2

3

4

5

6

7

8

Estudia los siguientes números y contesta: ¿qué tipo de número puede ser la raíz cuadrada de una fracción?

5

4

64

25

36

9 18

2

Calcula el resultado de estas operaciones utilizando primero la expresión decimal y después la fracción. ¿Obtienes el mismo resultado?

a) 2,8666… + 3,2222… c) −4,3333… ⋅ 3b) 1,8333… + (−1,6) d) 5,6262… ⋅ 0,5

Reflexiona: ¿son racionales la suma y el producto de números racionales? Observa el proceso y pon otros ejemplos si hace falta.

Sabiendo que 2 es un número irracional, razona si

3 + 2 es racional o irracional.

Indica si es verdadera o falsa esta afirmación: La suma de dos números irracionales puede ser un número racional. Justifica tu respuesta con ejemplos.

¿Es un número racional la altura de este triángulo equilátero?

Esta tabla muestra los resultados de la elección a delegado en un grupo de 4.º de ESO. La clase tiene menos de 35 alumnos, y cada uno emitió exactamente un voto.

Porcentaje de votos

Sofía 63,63%

Raúl 33,3%

En blanco El resto

a) ¿Cuál es el porcentaje de votos en blanco?

b) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

c) ¿Cuántos votaron a Sofía?

d) ¿Cuántos votaron a Raúl?

9

10

11

12

13

14

DESAFÍO

Demuestra por qué 2 es un número irracional. Para ello, sigue estas pistas:

1 Si fuese racional, se podría escribir como fracción irreducible: 2 =a

b2 Elévalo al cuadrado y despeja a2.

3 Recuerda: en un cuadrado perfecto, cada número primo aparece un número par de veces. Por ejemplo:

a = 23 ⋅5 → a2 = 23 ⋅5( )2 = 26 ⋅52

4 Piensa cuántas veces aparecería el factor 2 al despejar a2. ¿Qué ocurre? ¿Es eso posible?

15

1 cm1 cm

1 cm

h

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1 Números reales

8

2. RELACIONES DE ORDEN. REPRESENTACIÓNErnesto ha construido un gran mural con cuatro tablones cuadrados de 1 m de lado. Sobre sus diagonales quiere colocar otro cuadrado

de chapa que sabe que mide exactamente 2 m de lado.

Le han vendido un cuadrado de 1,5 m de lado y está seguro de que no se ajustará. Lo compara sobre el mural y comprueba que, en efecto, le sobra un trozo:

1,5 − 2 > 0 → 1,5 es mayor que 2 .

Dados dos números reales cualesquiera, a y b: a es mayor que b si a − b > 0, a es menor que b si a − b < 0 y a es igual a b si a − b = 0.

Al superponer la chapa sobre el mural haciendo coincidir los vértices, el otro extremo de la chapa queda más a la derecha. ¿Cómo lo representamos?

Cada número real tiene su sitio en la recta numérica, y a cada punto de ella le corresponde un solo número real. Así representamos los números enteros.

+1–1 0 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10–2–3–4–5–6–7–8–9–10

Para representar números decimales, podemos dividir cada unidad en 10 partes iguales e ir aproximándonos a ellos. Pero Ernesto los quiere representar de forma exacta para compararlos.

De este modo determina de forma exacta la longitud del lado de la chapa y, como sabe que ha de ser menor, solo tiene que cortar lo que sobra.

Fijado un origen, el 0, y una unidad, a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta real. Dos números que coinciden en el mismo punto son iguales.

Aprenderás a…❚● Comparar y ordenar números reales.

❚● Representar números en la recta real.

Presta atención

Para representar una fracción, siempre se utiliza la irreducible. Si la fracción es impropia, la referencia es la parte entera:

23

5= 4 +

3

5→ 4 <

23

5< 5

−23

5= − 4 +

3

5

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

→ −5 <−23

5<−4

map4e2

2

`` Representa 26

7 aplicando el teorema de Tales.

Solución

26

7= 3 +

5

7→ 3<

26

7< 4 → Situamos 3 en la recta y, determinamos

5

7 entre 3 y 4 aplicando el teorema de Tales.

EJERCICIO RESUELTO

2 3 4 526

7

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9

1Actividades

Compara estas parejas de números reales.

a) 2,3101 y 2,310 d) −7,145 y −7,1454

b) 12,923y 12,923 e) −

39

11y −

25

7

c) −5,828228222… y −5,82 f) 44 y73

11

Ordena de menor a mayor.

3,232 −3,223 −3,223344…

3,233 −3,23

3,23 3,232233…

Ordena estos números de mayor a menor.

193 −34

13 19

7 2,6457 − 7 −2,645

Representa gráficamente.

a) 3

7 b) 17

7 c) −

5

7 d) −

12

7

Representa de forma exacta sobre la recta real.

a) 5 b) − 10 c) 17

Representa gráficamente en la recta real el número π = 3,14159265358979… ¿Cómo lo haces? ¿Es posible representarlo de forma exacta?

Representa sobre la recta real 2 5 y −2 5 .

Representa de forma exacta estos números, eligiendo en cada caso el método más adecuado.

a) −3,25 b) 4,16 c) − 13

Observa la representación de 6 y explica por escrito y paso a paso cómo se ha realizado.

10

1 1

2

6

6

5

35 4

Fíjate en el ejercicio anterior y representa 11 .

Sitúa 17 sobre la recta. ¿Cómo situarías 17

3?

Escribe los pasos que das.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Representa estos números irracionales.

a) 2 + 5 b) −3 + 2 c) 5 + 13

2

Estas son algunas de las distintas aproximaciones utilizadas para π = 3,14159265358979…

Babilonia (2000 a. C.) 3 +1

8

Arquímedes (s. iii a. C.)22

7

Dibujo Técnico 2 + 3

a) Clasifícalas en racionales e irracionales.

b) Represéntalas en la recta real adecuando el método y la escala al número.

c) ¿Cuál te parece mejor? Justifica tu respuesta.

Amal quiere subir a casa un listón de madera que mide 2,5 m. Ha buscado las dimensiones de su ascensor y ha encontrado esto:

Dimensiones (mm)

Ancho Fondo Altura

800 1 100 2 000

¿Podrá subir Amal el listón en ascensor?

27

28

29

`` Representa en la recta real el número 5 −1 .

Solución

EJERCICIO RESUELTO

map4e3

Analiza cómo se ha realizado esta construcción de 3 . Repite el proceso a partir de la hipotenusa. ¿Qué número se obtiene?

Imagina que iteramos el procedimiento hasta que se cierre la figura. ¿Qué números crees que obtendríamos? Compruébalo.

Busca el nombre de esta construcción y explica por qué crees que se llama así.

30

Investiga

1

1

1

32

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1 Números reales

10

3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONESDiego elabora un mosaico con diferentes piezas. Al ir calculando lo que mide y ocupa, descubre distintas propiedades.

Propiedades de la sumaElemento neutro: 0

Si no añade ninguna pieza a ningún lado, la longitud no varía.

Opuesto: −a

Quitar una pieza después de ponerla no afecta al resultado.

+ 0 = 0 + =

2 + 0 = 0 + 2 = 2

+ – =

2 + − 2( ) = 0

Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

Da igual cómo asocie las piezas para sumar las longitudes.

Conmutativa: a + b = b + a

Si cambia dos piezas de orden, la longitud no varía.

2 + 1+ 3( ) = 2 + 1( ) + 3

=

2 + 3 = 3 + 2

Propiedades de la multiplicaciónElemento unidad: 1

El área de la pieza de un 1 cm de altura coincide con la base.

Inverso: a−1 = 1/a

El área de la pieza de 2 cm y 1/ 2 cm de lados es 1 cm2.

A = 2 ⋅1= 2 cm2 A = 2 ⋅1/ 2 = 2 / 2 = 1 cm2

Asociativa: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

El volumen no depende de la cara cuya área se está calculando.

Conmutativa: a ⋅ b = b ⋅ a

No importa la orientación de la pieza; el área no varía.

3 ⋅ 2 ⋅1( ) = 3 ⋅ 2( ) ⋅1

=

2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2

Además, si quiere calcular el área de dos piezas a la vez, lo puede hacer de dos maneras, aplicando la propiedad distributiva: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

Aprenderás a…❚● Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones de números reales.

Área de un rectángulo

b

h

A = b ⋅ h

Volumen de un ortoedro

b

a c

V = a ⋅ b ⋅ c

Recuerda

Presta atención

El cero no tiene elemento inverso ya que ningún número multiplicado por cero da como resultado la unidad.

+ =

2 ⋅ 3 +1( ) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅1

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11

1Actividades

Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números.

a) 2 + 3 b) 0 c) π6

d) 0,16

e) −7

18 f) −189 g) 1− 5

Escribe los opuestos de 7 y −31

7 y represéntalos de forma exacta en la recta.

a) ¿Cuál de los dos números es menor en ambos casos?

b) ¿Qué distancia del cero separa a un número y a su opuesto? ¿Qué distancia hay entre ellos?

Analiza si un número real tiene siempre opuesto. ¿Y un número racional? Razona si hay algún conjunto numérico en el que un número no tenga opuesto. ¿Cuál?

Calcula el inverso de: −4,67 5 1

3 −7 π

4

Considera cada uno de estos números: −1,75; 0,045 ; −5 y 0,3

.

❚❚Exprésalos como fracción y calcula su inverso. ¿Cambia el signo?

❚❚ Calcula la expresión decimal de los inversos.

❚❚ Representa cada número y su inverso, y compáralos con 1 y −1. ¿Qué observas?

Considera los distintos conjuntos numéricos y busca el inverso de alguno de sus elementos, exceptuando el cero.

a) Determina en qué casos el inverso permanece en el conjunto y en cuáles no.

b) ¿Existe algún elemento que siempre tenga inverso?

c) ¿En qué conjuntos existe elemento inverso para todos los números?

31

32

33

34

35

36

Opera respetando la jerarquía y sacando factor común. Discute la ventaja en cada caso.

a) 55 + 77 − 22 + 11 − 33 b) 2

15−

8

25+

14

30 c) 6 ⋅ π + 45 ⋅ π−15 ⋅ π

37

Presta atención

La propiedad distributiva permite sacar factor común en una expresión.

Propiedad distributiva

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

Factor común

`` Saca factor común y, después, calcula:

a) 2 ⋅3

5+ 2 ⋅ −

3

4

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ + 2−

14

5 b) −

3

4+21

2+9

4−15

2

Solución

a) 2 ⋅3

5+ 2 ⋅ −

3

4

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ + 2 ⋅1− 2 ⋅

7

5= 2 ⋅

3

5+ −

3

4

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ + 1−

7

5

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

= 2 ⋅(12−15 + 20− 28)

20= 2 ⋅ −

11

20

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

11

10

b) −3

4+

21

2+

9

4−

15

2= −

3 ⋅1

2 ⋅2+

3 ⋅7

2 ⋅1+

3 ⋅3

2 ⋅2−

3 ⋅5

2 ⋅1=

3

2⋅ −

1

2+ 7 +

3

2−5

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

=3

2⋅2

2+ 2

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

2⋅3 =

9

2

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOCalcula cuánto aumenta el radio si añades 1 m al perímetro de una circunferencia de 5 m de radio. Y si la circunferencia original tuviese 50 m o 500 m de radio, ¿cuánto aumentaría? Indica las operaciones que realizas en cada caso y justifica el resultado basándote en las propiedades de los números reales.

38

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1 Números reales

12

4. APROXIMACIONES Y ERRORESAlberto calibra el cuentakilómetros de su bici a fin de medir de la forma más exacta posible la longitud de sus trayectos.

Para ello, calcula la longitud de la rueda:

L = π ⋅ d = π ⋅ 0,692 m = 2,1739821… m

Pero no precisa tantos decimales, por eso elige una aproximación.

Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

Por defecto 2,1 2,17 2,173 2,1739

Por exceso 2,2 2,18 2,174 2,1740

Redondeo 2,2 2,17 2,174 2,1740

Alberto aproxima por redondeo con tres cifras decimales: L ≈ 2,174 m

Ese número tiene cuatro cifras significativas, tres exactas y una, la última, aproximada.

Las cifras significativas de un número aproximado son aquellas de cuya exactitud tenemos constancia y resultan relevantes para lo que se quiere medir.

Errores y cotas del errorAlberto quiere conocer qué error comete, esto es, la diferencia que hay entre el dato real y lo que marca el cuentakilómetros.

❚❚ Con este fin, calcula el error absoluto medido en metros:

Error absoluto = |0,692 ⋅ π − 2,174| = 0,0000178… m

Y como no puede determinar el error de forma exacta porque π es un número irracional, da una cota de ese valor: Error absoluto < 0,0005 m = 0,5 mm.

❚❚ Como Alberto no conoce el valor real, calcula también una cota del error relativo dividiendo la cota del error absoluto entre la aproximación:

Error relativo = Eax<

0,0005

2,174 = 0,00022999… < 0,0003

El error relativo es menor que 0,03 %.

❚❚ El error absoluto es la diferencia entre el valor real, x, y el valor aproximado, a,

de una medida, en valor absoluto: Ea = x − a

❚ Tiene las mismas unidades que la medida, y, si se desconoce el valor real, se da una cota del error absoluto, que suele ser menor que 5 unidades con respecto al lugar que sigue a la última cifra significativa utilizada.

❚❚ El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real: Er =Eax

❚ Para hallar una cota del error relativo, se calcula el cociente entre la cota del error absoluto y la aproximación. Suele expresarse en porcentaje.

Aprenderás a…❚● Aproximar números reales por exceso, por defecto y mediante redondeo.

❚● Determinar o acotar el error cometido según el caso.

Presta atención

Al redondear un número grande, por ejemplo 2 873, debemos tener en cuenta el número de cifras significativas:

❚❚ Con 1 cifra significativa: 3 000

❚❚ Con 2 cifras significativas: 2 900

❚❚ Con 3 cifras significativas: 2 870

Presta atención

El error relativo será menor cuanto mayor sea el número de cifras significativas utilizadas.

Para indicar que un número está aproximado, se utiliza el signo ≈.

π ≈ 3,1416

Lenguaje matemático

`` Halla una cota de los errores cometidos al aproximar a dm3 el volumen de una esfera de 1 m de radio.

Solución

Vesfera =4

3πr3 ≈ 4,189 m3

Ea = x − a < 0,0005 m3

Er =

Eax<

0,0005

4,189= 0,000119360...< 0,0002 = 0,02%

EJERCICIO RESUELTO

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13

1Actividades

Determina los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar estas aproximaciones.

a) 2

3≈ 0,67 b) 3 ≈ 1,73 c) π ≈ 3,14

Aproxima 15

13y 27 por defecto y por exceso con

1, 2 y 3 cifras decimales.

a) Calcula el error absoluto cometido en cada caso.

b) Utiliza los resultados obtenidos para explicar el sentido de la aproximación por redondeo.

Expresa con un número razonable de cifras significativas estas cantidades y halla una cota del error absoluto y del error relativo cometidos.

a) Presupuesto del ayuntamiento: 4 037 225,03 €

b) Oyentes de un programa: 25 184

c) Tamaño de un virus: 0,008375 mm

d) Porcentaje de votos de un candidato: 23,16 %

Da una cota del error absoluto y relativo cometido al aproximar la población de estas localidades.

Localidad Habitantes

Camariñas 5 770

Soria 39 500

Valencia 790 000

Barcelona 1 600 000

Observa estas aproximaciones de π y calcula los errores absoluto y relativo cometidos. Si no es posible, explica por qué y aproxímalos.

a) Liu Hui (año 263): 3,14159

b) Tsu Ch’ung Chih (año 480): 355

113

c) Speeht (año 1836): 13 146

50¿Cuál es la mejor aproximación?

39

40

41

42

43

Calcula el área de estas figuras planas de forma exacta. Aproxima los resultados con tres cifras significativas y acota el error cometido.

a) Círculo de 20 dm de diámetro.

b) Triángulo equilátero de 8 cm de lado.

Entre siete amigos han comprado un regalo que les ha costado 49,90 €. Determina la cantidad que debe pagar cada uno en un reparto equitativo. Explica cómo lo haces. ¿Qué problema surge? Busca posibles maneras de resolverlo.

Fíjate en los precios de esta gasolinera.

a) ¿Cuánto costaría llenar un depósito de 60 L con esos precios?

b) ¿Y cuánto costaría si el precio se diese en céntimos?

c) Analiza tus conclusiones.

Observa estos frascos de perfumes y calcula su superficie y capacidad de forma exacta y aproximada. ¿Cuántas cifras significativas utilizas? ¿Por qué? Acota los errores cometidos. Recuerda: 1 L = 1 dm3

❚❚A la vista de los resultados obtenidos, decide qué envase te parece mejor.

❚❚Compara: superficie, capacidad, almacenaje, forma, estética…

44

45

46

47

DESAFÍOObserva el método babilónico para aproximar la raíz de 24.

1 Se acota entre dos aproximaciones enteras: 4 < 24 < 5

2 Se divide el número entre la mejor aproximación: 24 : 5 = 4,8

El área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 4,8 cm, respectivamente, sería 24 cm2.

3 Se mejora promediando los lados: 5 + 4,8

2= 4,9 sería la medida de un lado y la del otro:

24

4,9= 4,897959...

Al repetir el proceso, la medida de los lados se aproxima cada vez más al valor real de la raíz.

a) Fíjate en los pasos y calcula 60 con tres cifras decimales.

b) Elabora una hoja de cálculo con los pasos y determina por este método: 20 ; 54 , 72

48

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1 Números reales

14

5. INTERVALOS Y SEMIRRECTASLourdes ha recibido información sobre el precio del agua para uso doméstico.

Tramos Tramos mensuales Tarifas

Primer tramo Menos de 10 m3 0,4863 €/m3 3 1

Segundo tramo Desde 10 m3 a menos de 16 m3 0,5601 €/m3 3 2

Tercer tramo Desde 16 m3 a menos de 18 m3 0,5601 €/m3 3 5

Cuarto tramo A partir de 18 m3 0,5601 €/m3 3 8

Le corresponden 100 L por persona y día, esto es, hasta 10 m3 al mes.

Pagará lo mínimo si mantiene un consumo razonable, inferior a 10 m3. A partir de ahí, se tarifa por tramos. El primer tramo a partir de 10 m3 incluye los consumos, x, que van de 10 m3 a una cantidad que no llegue a los 16 m3. Se trata de un intervalo y se escribe:

[10,16) = x ∈ / 10 ≤ x <16{ } 10 16

Un intervalo es el conjunto de números reales comprendidos entre dos de ellos llamados extremos del intervalo.

Dependiendo de si los extremos se consideran parte del intervalo o no, se definen cuatro tipos:

Intervalo cerrado Intervalo abierto

a b

[a, b] = x ∈ / a ≤ x ≤ b{ }

a b

(a, b ) = x ∈ / a < x < b{ }

Semiabierto por la izquierda Semiabierto por la derecha

a b

(a, b] = x ∈ / a < x ≤ b{ }

a b

[a, b ) = x ∈ / a ≤ x < b{ }

El último tramo de la información que recibes solo muestra un límite, a partir de 18 m3. Cualquier consumo igual o superior a ese estará penalizado con el coste máximo. El tramo tiene extremo inicial, pero no final: es una semirrecta.

[18, + ) = x / x 18{ } 18

Una semirrecta es el conjunto de números reales definido para valores menores o mayores que un número dado.

Dependiendo de si este número se considera parte de la semirrecta o no, se definen dos tipos:

Semirrecta abierta

a

(−∞, a ) = x ∈ / x < a{ }

a

(a,+ ) = x / x > a{ }

Semirrecta cerrada

a

( ,a ] = x / x a{ }

a

[a,+ ) = x / x a{ }

Aprenderás a…❚● Reconocer y escribir los tipos de intervalos y semirrectas.

❚● Representar en la recta real intervalos y semirrectas.

Para indicar que un número está en un conjunto, se utiliza el símbolo ∈.

3 ∈ (1, 7)

Se lee: 3 pertenece al intervalo (1, 7).

Lenguaje matemático

La recta real también se expresa como intervalo:

= ( , + )

Las semirrectas positiva y negativa se indican así:

− = (−∞, 0)

+ = (0, + )

Lenguaje matemático

Las semirrectas son siempre abiertas por el extremo en que no están acotadas. Escribimos:

(−∞, … …, +∞)

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15

1Actividades

`` Representa el intervalo formado por los números, x, que verifican que:

x − 3 < 2

Solución

Un número cuya diferencia con 3 es exactamente 2 en valor absoluto es dos unidades mayor o dos unidades menor que 3.

5 − 3 = 2 1 − 3 = −2

La diferencia será menor que 2 si el número está entre 1 y 5.

3 50

–2 +2

1•

x / 1< x < 5{ } = (1, 5)

EJERCICIO RESUELTO

Expresa como intervalo y representa los conjuntos formados por los números:

a) Comprendidos entre −5 y −1, excluido el −1.

b) Estrictamente menores que −3.

c) Mayores que 2 y menores que 7.

d) Mayores o iguales que −4.

Escribe en forma de intervalo y desigualdad. Indica si son abiertos o cerrados.

a) c) 0 1 0 1

b) d) 0 1 0 1

Escribe la desigualdad y la expresión que definen las siguientes semirrectas.

a) c) 0 1 0 1

b) d) 0 1 0 1

Describe estos intervalos y semirrectas como desigualdades y represéntalos en la recta real. Indica, en cada caso, de qué tipo se trata.

a) (−7, −3) c) [−10, −4)

b) (−∞, 8] d) (−∞, 1)

Representa en la recta real el conjunto de números que cumplen las siguientes condiciones. Escribe debajo el intervalo o semirrecta.

a) x ∈ / −4 ≤ x < 2{ }

b) x ∈ / x ≥−9{ }

c) x ∈ / x <−5{ }

d) x ∈ / −1≤ x ≤1{ }

Representa los números que verifican estas desigualdades y escribe los intervalos o semirrectas correspondientes. ¿Qué observas? Explica por qué.

a) x ∈ / x ≥−3{ } b) x ∈ / −3≤ x{ }

Halla dos números racionales y dos irracionales que pertenezcan a cada uno de estos intervalos.

a) 1

4,

1

3

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥ c) π ,

22

7

⎣⎢⎢

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 2, 3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ d)

6

11,

7

11

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟

49

50

51

52

53

54

55

Piensa y analiza cómo has encontrado soluciones para el ejercicio anterior. ¿Podrías encontrar más? ¿Cuántos números reales hay en un intervalo cerrado cualquiera? ¿Y en uno abierto o semiabierto?

Escribe intervalos abiertos que comprendan 27 entre dos números:

a) Enteros.

b) Con una cifra decimal.

c) Con dos cifras decimales.

❚❚¿Qué números empleas como extremos del intervalo?

❚❚¿Podrías conseguir intervalos aún más pequeños? ¿Cuánto más?

Busca intervalos como los del ejercicio anterior para el número 2,1. ¿Es posible? Razona la respuesta.

Tantea y averigua para qué números es posible

calcular x − 2 . Exprésalo como desigualdad, intervalo y represéntalo en la recta.

56

57

58

59

DESAFÍOHalla, por tanteo y de forma razonada, el intervalo para el que es posible calcular estas expresiones. Analiza qué diferencias hay entre las dos soluciones y explica a qué se deben.

a) 9− x2 b) 1

9− x2

61

Representa los intervalos que cumplen las siguientes condiciones.

a) x − 4 < 3 c) x − 6 ≤1

b) x + 1 < 5 d) x + 3 ≤ 7

60

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16

¿QUÉ1 tienes que saber?

Representa gráficamente los siguientes números reales.

a) 11

4= 2 +

3

4→ 2<

11

4< 3 b) 10 = 32 + 12

1 2 30 114

10

1

2

10

3 410

La recta realTen en cuenta❚❚ Los números racionales se pueden representar en la recta utilizando el teorema de Tales.

❚❚ Los números irracionales de la

forma n se pueden representar aplicando el teorema de Pitágoras una o varias veces.

Determina una aproximación por redondeo de π − 1 con tres cifras significativas y calcula los errores absoluto y relativo. Determina una cota para estos errores.

π−1 = 2,1415926535...≈ 2,14

❚❚ Ea = 2,14159...− 2,14 = 0,00159...

Cota: Ea < 0,005

❚❚ Er =0,00159...

2,14159...= 0,00074... = 0,074...%

Cota: Er <0,005

2,14= 0,0023...< 0,003 = 0,3%

Aproximaciones y erroresTen en cuenta❚❚ Error absoluto

Ea = x − a

donde a es una aproximación del número x.

❚❚ Error relativo

Er =Ea

x

Escribe en forma de intervalos o semirrectas y como desigualdades.

a) 0 1

(−3, 5) = x ∈ / −3< x < 5{ }

b) 0 1

[−3, 5) = x ∈ / −3≤ x < 5{ }

c) 0 1

(−∞, 5] = x ∈ / x ≤ 5{ }

Intervalos y semirrectasTen en cuenta❚❚ Intervalos

◗❚Abierto: (a, b)

◗❚Cerrado: [a, b]

◗❚Semiabiertos: [a, b) (a, b]

❚❚ Semirrectas

◗❚Abiertas: (−∞, a) (a, +∞)

◗❚Cerradas: (−∞, a] [a, +∞)

Aplica las propiedades de los números reales para simplificar estas operaciones.

a) 9

10+12

5−15

10=

3

5⋅

3

2+ 4−

5

2

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

5⋅ 4 +

3

2−

5

2

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

5⋅ 4−

2

2

⎝⎜⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

5⋅3 =

9

5

Factor común Conmutativa Asociativa

b) π ⋅52 + π ⋅5 ⋅7 = π ⋅5 ⋅ (5 + 7) = π ⋅5 ⋅12 = 60 ⋅ π = 188,495...

Propiedades de los números realesTen en cuenta❚❚ Conmutativa

a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a

❚❚ Asociativa

❚ a + (b + c) = (a + b) + c

❚ a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

❚❚ Elemento neutro: 0

❚❚ Elemento unidad: 1

❚❚ Distributiva: a ⋅ (b + c) = ab + ac

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17

Actividades Finales 1

Calcula la longitud y el área que contiene una circunferencia cuyo radio vale:

a) 10 cm c) 0,25 dm

b) 0,5 dm d) 1

3 m

¿Qué tipo de número son las longitudes de los radios? ¿Y las longitudes de las circunferencias? ¿Y las áreas? ¿Pasará eso siempre? ¿Por qué?

Generaliza y completa la frase en tu cuaderno: Si la longitud del radio de una circunferencia es un número racional, entonces…

Analiza si los siguientes números son racionales o irracionales y después contesta.

a) Diagonal de un cuadrado de 2 cm de lado.

b) Diagonal de un cuadrado de 2 cm de lado.

c) Diagonal de un cuadrado de 3 cm de lado.

¿Pueden ser la diagonal y el lado de un cuadrado irracionales a la vez? ¿Y racionales?

Busca información sobre el número e. ¿Es racional o irracional? Representa sobre la recta real dicho número y también el número π. ¿Es exacta su representación? ¿Cuál es mayor?

Compara estas parejas de números reales.

a) −3,112123… y −3,113 c) 4,27

y 4,27

b) −7

8y −

29

33 d) 10 y π

Ordena de menor a mayor los siguientes números.

4,47 20 −97

224,472 − 4,41

Copia la tabla y complétala situando π entre dos fracciones consecutivas para denominadores cada vez mayores. ¿Es posible siempre?

69

70

71

72

73

74

Números reales. Orden

Determina la fracción generatriz de:

0,1

0,2

0,3

0,4…0,8

a) Explica qué observas.

b) Conjetura cómo será la fracción generatriz de 1,1

,

2,1

, 3,1

y compruébalo.

c) Estudia otros ejemplos, modifica la parte entera, la cifra del período y generaliza.

Indica cuáles de los siguientes números no se pueden escribir como cociente de números enteros. ¿Por qué?

a) −6,131313…

b) 9,121222…

c) 12,464664666…

d) −183,12233445…

Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional. ¿Cuál es su expresión fraccionaria?

a) 83 c) 3,2535353…

b) −8,24 d) 4,321322323…

Indica el menor conjunto al que pertenecen estos números:

−23

7 π

65

13 0 −2,101101110…

Escribe, si es posible, un número:

a) Entero que no sea natural.

b) Entero no negativo y que no sea natural.

c) Entero y racional a la vez.

d) Racional no entero.

e) No racional.

Halla con la calculadora las primeras cifras decimales

del número 17 . Encuentra dos números racionales que se diferencien de él menos de una centésima y que sean:

a) Exactos.

b) Periódicos puros.

c) Periódicos mixtos.

Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) El cuadrado de un número irracional es irracional.

b) La suma de dos números irracionales es irracional.

c) 7,9

es un número natural.

d) La suma de un número entero y uno irracional es irracional.

e) 5,5555… es un número irracional.

62

63

64

65

66

67

68

Denominador Fracción menor Fracción mayor

131=3

41=4

262=3

72=3,5

393=3

103=3,3)

… … …

103110=3,1

3210=3,2

… … …

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18

1 Números reales

Explica cómo utilizar el factor común para simplificar estos cálculos y resuelve.

Indica en cada paso qué propiedades de los números reales se han utilizado y qué resultados se buscan para operar de forma sencilla.

a) − 3 + 12 + 3 = 0 + 12 = 12

b) 4 ⋅5

7⋅7

4= 5 ⋅

7

7⋅4

4= 5

c) 13 ⋅5

26= 13 ⋅

1

13⋅5

2= 1⋅

5

2=

5

2

d) 3 7 + 5 7 − 8 7 = 3 + 5− 8( ) ⋅ 7 = 0 ⋅ 7 = 0

Aproximaciones y errores

Copia y completa con las aproximaciones por defecto, D, y por exceso, E, de estos números reales.

Décimas Centésimas Milésimas

53

7O O O O O O

−1+ 5 O O O O O O

D E D E D E

Indica la aproximación por redondeo en cada caso y calcula el error cometido.

Justifica si es correcta la siguiente expresión; y en caso negativo corrígela.

2 −1 = 0,4142135624

Indica a qué conjunto numérico pertenece.

Redondea con un número razonable de cifras significativas. Acota los errores cometidos.

a) Superficie del parque de Timanfaya: 5 107 ha

b) Distancia de la Tierra a la Luna: 384 403 km

c) Peso de una sandía: 3,423 kg

d) Nota media de un curso: 7,6666…

Halla los errores absoluto y relativo cometidos en esta aproximación:

1

3+

1

2≈ 0,3 + 0,5 = 0,8

84

85

86

87

88

89

Escribe para cada apartado un número racional y otro irracional comprendido entre los que se dan a continuación.

a) 2,45 y 2,45

c) 4,69 y 22

b) 5 y 6 d) π y 311

99¿Cuántos números reales diferentes podrías escribir en cada caso? ¿Pasará eso siempre?

Sitúa, de forma aproximada, estos números reales sobre la recta. Indica si son racionales o irracionales.

5,4777 2,535533… −1,44242…

Representa estos números racionales ayudándote del teorema de Tales.

a) −7

4 b) 15

7 c) 2

7 d) −

2

5

Coloca de forma exacta los siguientes números sobre la recta real.

a) 6 b) 1+ 10 c) − 20 d) 5

2

Representa gráficamente y ordena.

− 2 −5

2−

10

9

Calcula la expresión decimal de estos números reales y ordénalos de menor a mayor. Represéntalos y compara los resultados.

37

4

9

5

17

9

5

2

Representa gráficamente el número 18 . Después

haz lo mismo con el número 3 2 . Comprueba si ambos son iguales.

Operaciones de los números reales

Calcula el opuesto y el inverso de cada uno de estos números reales. Indica el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno.

a) 9 b) −0,25 c) π6

d) −17

Observa cómo se simplifica esta fracción. Copia el proceso en tu cuaderno indicando de qué propiedades haces uso en cada paso.

36

40=

22 ⋅32

23 ⋅5=

22 ⋅32

22 ⋅2 ⋅5=

22

22⋅

32

2 ⋅5=

9

10

Aplica la estrategia y simplifica estas fracciones.

a) 75

100 b) 96

72 c)

105

45 d)

90

54

75

76

77

78

79

80

81

82

83

a) 15⋅3−

15⋅172+34⋅15

b) −496+214−283+352

c) 9⋅ 6−2⋅ 6−13⋅ 6+4 ⋅ 6

d) 35⋅π+15⋅π−40⋅π

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19

Actividades Finales 1

Representa de forma exacta el intervalo comprendido

entre los números −5

3y − 2 .

Demuestra gráficamente que 11

7∈ 2, 3( ) .

¿Cuántas condiciones se necesitan para determinar un intervalo? ¿Y una semirrecta? Indica si los números que cumplen las siguientes condiciones son intervalos o semirrectas y exprésalos como tales.

a) x ∈ / 3≤ x{ } c) x ∈ / −23< x ≤17{ }

b) x ∈ /2

3> x

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪ d) x ∈ / −

3

5≤ x ≤

1

4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

Halla dos números racionales y dos irracionales que pertenezcan a los siguientes intervalos.

a) π3

,π2

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥ b) 1

2,

2

2

⎝⎜⎜⎜⎜

⎦⎥⎥ c) 3, 5( ) d) 3,

16

5

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

Si se aproxima 7 a las décimas por defecto y por

exceso, ¿es cierto que 7 ∈ 2,6; 2,7( )?a) Representa la afirmación y copia la definición de

cota del error absoluto. ¿Qué relación hay?

b) En la definición se indica que suele ser menor que… ¿Por qué?

Averigua para qué valores de x es posible calcular:

a) x − 6 c) 2x + 7

b) 19− x d) 3x + 6

Representa los intervalos formados por los números que verifican las siguientes condiciones.

a) x −5 <1

2 c) 4 x −14 ≤ 2

b) x + 4 ≤ 5 d) 2x + 7 <1

Observa esta tabla elaborada para separar el melocotón por categorías según su tamaño.

Diámetro en mm Calibre

90 y más AAAA

87 incluido 90 excluido AAA

80 incluido 87 excluido AA

73 incluido 80 excluido A

61 incluido 73 excluido B

56 incluido 61 excluido C

a) ¿De qué tipo son los intervalos? Escríbelos.

b) ¿Algún tramo se expresa con una semirrecta?

c) ¿Pertenece cualquier producto a alguno de los intervalos? ¿Y a más de uno?

d) ¿Qué intervalo falta?

96

97

98

99

100

101

102

103

Determina de forma exacta el perímetro de estas circunferencias. Calcula después ese mismo valor

utilizando π ≈22

7.

a) r = 5 cm b) r = 50 m c) r = 500 m

Con ayuda de una calculadora, determina el error absoluto y relativo cometido en cada caso. Analiza cómo varía cada error en los distintos apartados.

Compara estas dos estimaciones.

a) Indica el número de cifras significativas de cada una.

b) Da una cota del error absoluto cometido en las dos estimaciones. Comenta qué observas.

c) Calcula la cota del error relativo en cada caso. ¿Son igual de razonables ambas estimaciones?

Intervalos y semirrectas

Representa y escribe el intervalo y la desigualdad correspondientes.

a) Números estrictamente menores que 11.

b) Números mayores que 7 y menores que 9, incluido el 9.

c) Números comprendidos entre −5 y −5

2.

d) Número mayores o iguales que 0.

Describe estos intervalos y semirrectas como desigualdades y represéntalos en la recta real. Indica de qué tipo de intervalo o semirrecta se trata.

a) [5, 12] c) (2, 5]

b) (−∞, 4] d) (− 3, +∞)

Escribe los intervalos que están representados. ¿De qué tipo es cada uno?

a) 13–

c) 8

b) 9

d) 2–

Determina la desigualdad que expresa cada una de estas semirrectas y escríbela en forma de intervalo.

a) 0

c) 0

b) 0

d) 0

90

91

92

93

94

95

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1 MATEMÁTICAS VIVAS

20

El DNI, la fachada de Notre Dame en París, el Partenón en Atenas y la Gioconda de Leonardo da Vinci tienen algo en común. Están relacionados con un número real: el número de oro o divina proporción, Φ.

En todos estos ejemplos está presente un rectángulo especial, el rectángulo de oro. En este rectángulo se cumple lo siguiente:

La razón entre la suma de sus lados y el lado mayor coincide con la razón entre el lado mayor y el lado menor.

Esa razón es el número de oro, Φ. Si llamamos 1 al lado más corto y x al más largo, esa condición se traduce como:

x + 1x

=x

1→ x2 = x + 1

COMPRENDE

Observa cómo están colocados los rectángulos en las fotografías y la proporción establecida.

a. Multiplica en cruz y resuelve la ecuación resultante. El número de oro es la solución positiva. Escríbelo de forma exacta.

b. ¿Se trata de un número racional o irracional? ¿Por qué?

c. Según esa proporción, el número de oro cumple la condición Φ2 = Φ + 1. Calcula la expresión decimal de Φ2. Divide entre Φ y halla una condición para Φ−1, el inverso de Φ, así como su expresión decimal. Fíjate en ambas expresiones decimales y describe lo que observes.

PIENSA Y RAZONA

1

RESUELVE

ARGUMENTA

RELACIONA

Fíjate en cómo se sitúa el número de oro sobre la recta real.

•0 1 Φ

1

1

1—2

2

a. Explica los pasos y relaciona Φ con la representación de un número irracional.

b. Copia esta representación en tu cuaderno y construye a partir de ahí Φ2 y Φ−1.

2

COMUNICA

REPRESENTA

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1Arte y proporción

21

REFLEXIONA

La belleza también está en los números. A veces, aplicar las propiedades de las operaciones y jugar con ellos arroja resultados sorprendentes.

Santiago se ha puesto a enredar calculando potencias de Φ y se ha encontrado con esto:

Φ1 = 1 ⋅ ΦΦ2 = 1 ⋅ Φ + 1Φ3 = Φ2 ⋅ Φ = (Φ + 1) ⋅ Φ = Φ2 + Φ = Φ + 1 + Φ = 2 ⋅ Φ + 1

Φ4 = Φ3 ⋅ Φ = (2Φ + 1) ⋅ Φ = 2Φ2 + Φ = 2Φ + 2 + Φ = 3 ⋅ Φ + 2

Φ5 = Φ4 ⋅ Φ = … = 5 ⋅ Φ + 3

Observa los números que multiplican al número de oro en cada expresión.

a. Calcula otras potencias de Φ y confecciona una lista con los primeros términos de la sucesión formada por estos números. Intenta escribir la regla de formación de dicha sucesión.

b. Utiliza una hoja de cálculo para generar los 20 primeros términos de esta sucesión y hallar el valor de los cocientes de dos términos consecutivos. Compara los sucesivos valores de estos cocientes con Φ y di qué observas.

UTILIZA LAS TIC

c. Escribe los intervalos abiertos definidos por los cocientes de dos términos consecutivos. ¿Son los extremos de estos intervalos racionales o irracionales? ¿Qué relación tienen con el número de oro?

PIENSA Y RAZONA

d. Representa los cocientes de la tabla en una gráfica y analiza el resultado. ¿Confirmas las observaciones hechas?

REPRESENTA

3

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

TAREAUtilizad Internet para buscar ejemplos en el arte y también en la naturaleza en los que esté presente esta proporción, el número de oro.

Averiguad si existe el número de plata y, en caso afirmativo, investigad cómo se representa, su valor, si es racional, dónde aparece…

Elaborad una presentación con toda esta información que muestre la presencia de los números reales en situaciones cotidianas.

TRABAJO

COOPERATIVO

Page 18: NÚMEROS REALES - oxfordpackvirtual.es · Antía repasa lo que sabe de los números racionales: se pueden expresar como fracción o cociente de números enteros. Por ejemplo: 1= 1

1 Números reales

22

AVANZA Operaciones con intervalos

Para resolver algunos problemas, necesitamos considerar números que están en un conjunto o en otro o que se hallan en dos conjuntos a la vez. Con objeto de representar estas situaciones, utilizamos las siguientes operaciones con intervalos:

Unión de intervalos, ∪, representa a los números que están en un conjunto o en el otro.

( 3, 1) ( 2, 5) = x / 3< x < 1 o 2< x < 5{ }

Intersección de intervalos, ∩, representa a los números que están a la vez en un conjunto y en otro.

[ 2, 2) [0, 5] = x / 2 x < 2 y 0 x 5{ } = [0, 2)

Si dos intervalos no tienen ningún elemento en común, se indica mediante A∩ B = ∅ .

( , 3) [3, + ) =

Si la unión de dos intervalos cubre la recta real, se representa con la expresión A∪ B = .

( , 3) [3, + ) =

A1. Representa en la misma recta los intervalos A y B. Determina después A ∪ B y A ∩ B, expresando el resultado como un solo intervalo cuando sea posible.

a) A = [−1, 7] y B = (5, 13]

b) A = (4, +∞) y B = (1, 5)

A2. Representa estas semirrectas en la misma recta real y escribe los intervalos que cumplen una u otra y ambas a la vez.

a) x ∈ / x ≤ 0{ } y x ∈ / x >−7{ }

b) x ∈ / x <−1{ } y x ∈ / x ≤−9{ }

Para dividir por un número racional entre 0 y 1, en ocasiones es más sencillo transformar la división expresando el número en forma de fracción. Por ejemplo:

❚ Para dividir entre 0,5:

23 : 0,5 = 23 :1

2= 23 ⋅2 = 46

❚ Para dividir entre 0,25:

23 : 0,25 = 23 :1

4= 23 ⋅ 4 = 23 ⋅2 ⋅2 = 46 ⋅2 = 92

❚ Para dividir entre 0,2:

23 : 0,2 = 23 :2

10= 23 :

1

5= 23 ⋅5 = 115

10 : 2 = 230 : 2 = 115CM1. Utiliza la estrategia anterior para hallar mentalmente

el resultado de las siguientes divisiones con números decimales.

a) 6,1 : 0,25 c) 145 : 0,5

b) 9,3 : 0,2 d) 82,03 : 0,25

CM2. Aplica la estrategia anterior en estas operaciones. Relaciona primero el número con su expresión fraccionaria.

a) 12,7 : 0,4 c) 61,5 : 0,125

b) 94,21 : 0,8 d) 3,2 : 0,05

CÁLCULO MENTAL Estrategia para DIVIDIR POR NÚMEROS ENTRE 0 Y 1

53–

20

3

3