Numeros Reales e Intervalos

UNIDAD N°1: NÚMEROS REALES

CONJUNTO DE NÚMEROS REALERS

SITUACIÓN PROBLEMA: El hombre además de la necesidad de contar objetos o elementos de cualquier naturaleza, es decir, para medir las llamadas variables discretas, para lo cual usa números naturales, también necesita representar mediciones que no son exactas o finitas y resultan decimales que no guardan periodicidad ni son finitas; por ejemplo las raíces que no son exactas, la relación entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su respectivo diámetro. ¿Qué situaciones de la cotidianidad se pueden modelar con conjuntos de infinitos números en forma ininterrumpida, es decir, usando intervalos numéricos?


Recordemos algunos conjuntos numéricos ya conocidos.

Naturales: N = {1,,2, 3, 4, 5, ……}

Cero: C = {0}

Enteros negativos: = {.....4, -3, -2, -1 }

Enteros: Z= {.....4, -3, -2, -1, 0, 1,,2, 3, 4, 5, …… }

Racionales: Q= {}

Irracionales: I={}()


R = QUI

Q

Z

N

I

REALES (R)

RACIONALES (Q)

ENTEROS (Z)

NATURALES (N)

CERO {0}

ENTEROS NEGATIVOS

(z-)

DECIMALES FINITOS

DECIMALES INFINITOS

PERIÓDICOS

IRRACIONALES (I)

𝝅 ,𝟐𝝅 ,𝝅𝟐

𝒆 ,𝟐𝒆 ,−𝒆….


REPRESENTACION EN LA RECTA

√𝟐−𝝅 −√𝟑 𝟏𝟐

𝝅𝒆−𝟓𝟐

−𝟑𝟒

-2 1 2 430-1-3-4

La representación en la recta de los números reales

Es de la siguiente manera

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Propiedad Operación Definición Ejemplo

Conmutativa Adición 3+(-5)=(-5)+3 = -2

Multiplicación x.A = a.x (-2)(-4)=(-4)(-2) = 8

AsociativaAdición (x+a)+b = x+(a+b) [3+(-7)]+10=3+[(-7)+10]

(-4)+10=3+3=6

Multiplicación (x.a).b = x.(a.b) [3.(-2)].10=3.[(-2).10](-6).10=3.(-20)=-60

Modulativa Adición x+0=0+x = x 5+0=0+5=5

Multiplicación x.1 = 1.x = x (-4).1=1.(-4)=-4

Inverso

Adición x+(-x) = (-x)+x = 0 5+(-5)=(-5)+5=0

Multiplicación

Aditiva de igualdad Adición

Multiplicativa de igualdad Multiplicación 2=10

Distributiva Mult. respecto a adic .3.(2+3)=3.2+3.3

3.5=6+915=15

Solución ecuación Propiedad utilizada )2(3)4()54( xx Ecuación dada

)36()4()54( xx Distributiva

)36()4()45( xx Conmutativa de la adición

)36())4(4(5 xx Asociativa de la adición

)36(05 xx Inverso aditivo

)36(5 xx Modulativa de la adición

)3()36()3(5 xxxx Aditiva de la igualdad

))3(3(6)3(5 xxxx Asociativa de la adición

06)3(5 xx Inverso aditivo

6)3(5 xx Modulativa de la adición

62 x Operación

)6(2

1)2(

2

1x Multiplicativa de la igualdad

)6(2

1))2(

2

1( x Asociativa de la multiplicación

)6(2

11 x Inverso multiplicativo

31 x Operación

3x Modulativa de la multiplicación

Ejemplo resuelto. Justifica escribiendo al frente de cada paso de la solución de la ecuación, alguna de las propiedades utilizadas

Aditiva de la igualdadMultiplicativa de la igualdad Conmutativa de la adiciónConmutativa de la multiplicaciónAsociativa de la adiciónAsociativa de la multiplicación

Modulativa de la adiciónModulativa de la multiplicaciónInverso aditivoInverso multiplicativoDistributiva Nota: Si sólo se realizó una operación escribe en lugar de la propiedad la palabra operación

Solución ecuación Propiedad utilizada

)(33)42(5)20( xx Ecuación dada

)(332010)20( xx

)(331020)20( xx

)(331020)20( xx

)(33100 xx

)(3310 xx

xxxx )](33[10

xxx )](33[11

])[(3311 xxx

03311 x

3311 x

11

1)33(

11

1)11( x

11

1)33()11(

11

1x

11

1)33()11

11

1( x

3)1111

1( x

3)1( x

3x

Ejercicio propuesto. Justifica escribiendo al frente de cada paso de la solución de la ecuación, alguna de las propiedades utilizadas (haciendo doble clic en la tabla, puedes digitar sobre ella)1.

Solución ecuación Propiedad utilizada

)5(2320)42(5 xx Ecuación dada

)5(2320)4(5)2(5 xx

)5(23202010 xx

)5(23010 xx

)5(2310 xx

)5(2310 xx

xx )523(10

xx 1810

)(18)(10 xxxx

018)(10 xx

0189 x

189 x

)9

1(18)

9

1(9 x

)9

1(18)

9

1(9 x

)9

1(18)1( x

)9

1(18x

2x

2.

INTERVALO ABIERTOA. Forma gráfica

INTERVALOSSe llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados a y b que se llaman extremos del intervalo.

a b−∞ 0 +∞[]

a b−∞ 0 +∞( )

a b−∞ 0 +∞B. Forma de intervalo:

C. Forma de conjunto:

NOTA: Los extremos no pertenecen al conjunto

INTERVALO CERRADOA. Forma gráfica

a b−∞ 0 +∞][

a b−∞ 0 +∞

B. Forma de intervalo: [a,b]


NOTA: Los extremos pertenecen al conjunto

INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO

A. Forma gráfica

a b−∞ 0 +∞[[

a b−∞ 0 +∞[ )

a b−∞ 0 +∞

B. Forma de intervalo: [a,b) = [a,b[


NOTA: El extremo a pertenece al conjunto pero el extremo b no

INTERVALOS NO ACOTADOSEjemplo 1A. Forma gráfica

B. Forma de intervalo: C. Forma de conjunto:

Ejemplo 2D. Forma gráfica

E. Forma de intervalo: F. Forma de conjunto:

b−∞ 0 +∞)

a−∞ 0 +∞[

UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS

Dados dos intervalos A y B se define:

UNIÓN:

INTERSECCIÓN :

Para interpretar esta definición se ilustrará mediante una gráfica a través de los siguientes ejemplos.


EJEMPLO 1: Dados los intervalos

?

?

2−∞ 0 +∞[ ) )5-1

2−∞ 0 +∞[ ) )5-1



?

?

[

0 3 5-1−∞ +∞)[ ][

0 3 5-1−∞ +∞)[ ][



?

?

[

0 3 5-1−∞ +∞)[ ](

0 3 5-1−∞ +∞)[ ](



?

?

[

(0 3 5-1−∞ +∞)[ )

(0 3 5-1−∞ +∞)[ )



?

?

[(

0 3 5-1−∞ +∞)[ )

(0 3 5-1−∞ +∞)[ )



2−∞ 0 +∞[ )5

2−∞ 0 +∞[ )5



2−∞ 0 +∞( )5

2−∞ 0 +∞[ )5

(

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