NÚMEROS - Volumen 73, Marzo 2010

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SSRevista de Didáctica de las Matemáticas

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Volumen 73, marzo de 2010, página 2 ISSN: 1887-1984


NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Evaluadores Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas agradece a los siguientes profesores su generosa y valiosa colaboración en el proceso de evaluación de artículos durante el año 2009: Víctor Almeida, Teresa Bermúdez, Lorenzo J. Blanco, Antonio Bonilla, Teresa Claudia Braicovich, Agustín Carrillo, Mª Mercedes Colombo, Mariana Cuesta, Ramón Depool, José Ángel Dorta, Carlos Duque, Eugenio Echeverría, Rafael Escolano, Mª Candelaria Espinel, Carmen Sonia Fernández, Carmen Galván, Israel García, Juan Antonio García Cruz, Mª Carmen García, José María Gavilán, Carolina Guerrero, Josefa Hernández, Claudio Jerez, Mª Soledad Montoya, Francisco Morales, José Muñoz, Raimundo Ángel Olfos, Mª Mercedes Palarea, Manuel Pazos, Mª Carmen Peñalva, Mª Encarnación Reyes, Antonino Viviano.

Portada. Autor: Antonio Martinón, Cúpula de Temppeliaukio (Helsinki), agosto de 2009

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. 38200 La Laguna (Tenerife) España Email: [email protected]: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), Luis Francisco López García (Vicepresidente), Mª Nila Pérez Francisco (Secretaria General), Carmen Mª Tavío Alemán (Vicesecretaria), Jesús Manuel Méndez Méndez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Marcos Eloy Morales Santana (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.

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Volumen 73, marzo de 2010, páginas 3–4 ISSN: 1887-1984


Índice

Apertura Zoel García de Galdeano y Yanguas (Pamplona, 1846 - Zaragoza, 1924) Elena Ausejo 5-22

Artículos A Fernando Castro, el “ARRIERO”. In memoriam Nelly León 23-24

Apolonio, Descartes y Steiner en un apretado envase de palmitos Carlos Cortínez Núñez, Carlos Cortínez Torres y Fernando Castro Gutiérrez

25-33

Los diez mejores momentos matemáticos de Los Simpson

Claudio Horacio Sánchez 35-40

Conceptos lógico-matemáticos en la Enseñanza Primaria en un niño con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari

Tania E. Seibert, Claudia L. Oliveira, Lorenzo Moreno, Rosa M. Aguilar y Vanesa Muñoz 41-61

Secciones Experiencias de aula

El hombre que calculaba. ¿Leer en Matemáticas? José Luis González Fernández

63-78

Problemas

Tras el muro misterioso, cuadrados y triángulos J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

79-88

En la red

Análisis de algunas WebQuest dedicadas a la Historia de las Matemáticas Óscar J. Falcón, Raúl M. Falcón, Juan Núñez y Ángel F. Tenorio

89-101

Índice (continuación)

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Juegos

Disecciones de cubos, juegos de persecución y otros problemas J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

103-114

Leer Matemáticas

Matemática… ¿estás ahí? Episodio 100. Adrián Paenza Reseña: Carolina Guerrero Ortiz

115-117

Euler. El maestro de todos los matemáticos. William Dunham Reseña: Fernando Quirós Gracián

119-121

Informaciones 123-124

Normas para los autores

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Zoel García de Galdeano y Yanguas (Pamplona, 1846 - Zaragoza, 1924)

Elena Ausejo (Universidad de Zaragoza)

Fecha de recepción: 24 de octubre de 2009 Artículo solicitado a la autora por la revista

Resumen Este trabajo presenta la biografía científica de Zoel García de Galdeano, uno de los tres artífices –junto con José Echegaray y Eduardo Torroja– de la modernización matemática española en la Restauración. Se estudia su trabajo de importación de las principales teorías de la matemática moderna en álgebra, geometría y análisis, sus propuestas en cuanto a metodología, didáctica y organización curricular de las matemáticas y su labor como director de la primera revista matemática española, El Progreso Matemático.

Palabras clave Matemáticas, España, Siglos XIX-XX, Zoel García de Galdeano y Yanguas.

Abstract This paper presents the scientific biography of Zoel García de Galdeano, one of the three architects –together with José Echegaray and Eduardo Torroja– of the modernization of mathematics in Spain during the Restoration. His import of the main theories of modern mathematics in algebra, geometry and analysis, his proposals in terms of methodology, didactic and curricular organization of mathematics, and his work as director of the first Spanish mathematical journal, El Progreso Matemático, are estudied.

Keywords Mathematics, Spain, 19th-20th Centuries, Zoel García de Galdeano y Yanguas.

1. Introducción

A Zoel y Mariana Hormigón, en recuerdo de su padre

Nacido en Pamplona el 5 de julio de 1846, García de Galdeano se trasladó con su madre a Zaragoza en 1863, tras el fallecimiento de su padre –capitán del ejército fusilado por los insurrectos de la Isla de Santo Domingo– y de su abuelo materno – José Yanguas y Miranda, historiador de Navarra y Secretario de la Diputación Foral de Navarra. Como quiera que su padre había previsto que siguiera la carrera militar, García de Galdeano no había sido matriculado en el Instituto de Segunda Enseñanza de Pamplona, de modo que optó en Zaragoza por seguir la carrera de Perito Agrimensor tasador de tierras y, a continuación, la de Maestro de primera enseñanza, obteniendo en 1869 el título de Maestro superior. Habiéndosele colocado en el decimonoveno lugar en las oposiciones para escuelas elementales, determinó seguir el rumbo universitario y, proclamada la libertad de enseñanza en ese mismo año de 1869, obtuvo el Grado de Bachiller en septiembre examinándose por enseñanza libre. Acto seguido se matriculó en la Facultad de Filosofía y Letras y desde el año siguiente simultaneó estos estudios con los de la recién creada Facultad (Libre) de Ciencias, ejerciendo además como profesor particular de matemáticas para contribuir al sostenimiento económico de su madre. Obtenidas ambas licenciaturas en 1871, fue nombrado catedrático de Cálculo diferencial en ese mismo año y

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recibió su doctorado en Ciencias antes de que nuevas disposiciones legislativas terminaran por suprimir tanto la licenciatura como el doctorado en Ciencias de la Universidad de Zaragoza.

En 1872 colaboró en la creación del Instituto Libre de Calahorra, desde donde se trasladó en 1875 primero al colegio de Nuestra Señora del Carmen de Logroño –agregado el Instituto– y posteriormente al Ministerio de la Gobernación; allí ejerció como escribiente hasta que con la llegada al gobierno de Sagasta fue declarado cesante. Empezó entonces, por una parte, su dedicación decidida a la que sería su principal actividad vital, a saber, el estudio y la enseñanza de las matemáticas; por otra, sus intentos para ingresar en el profesorado, que culminaron en 1881, cuando en sus terceras oposiciones obtuvo la Cátedra del Instituto de Ciudad Real. Tras un fugaz paso por el Instituto de Almería ejerció en el de Toledo desde 1883 hasta que, en 1889, comenzó a desempeñar la Cátedra de Geometría Analítica de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, de la que pasó en 1896 a la de Cálculo Infinitesimal.

García de Galdeano fundó y dirigió la primera revista estrictamente matemática publicada en España, El Progreso Matemático, que editó en dos series (1891-95 y 1899-1900) y en cuya elaboración su protagonismo directo resulta más que aparente. El Progreso Matemático fue la primera vía de acomodación de la comunidad matemática española a los moldes de la matemática moderna en el contexto internacional, tanto en lo relativo a aspectos internos y doctrinales, por la labor de difusión conceptual que muestran sus páginas, como en lo referente a la apertura de canales de relación e intercambio interno y externo entre comunidades matemáticas.

También fue García de Galdeano el primer matemático español contemporáneo que participó asiduamente en congresos internacionales y en organismos directivos de la comunidad matemática internacional. Así, aparece registrado en los Congresos Internacionales de Matemáticos (ICM) de Zurich (1897), París (1900), Heidelberg (1904), Roma (1908), Cambridge (1912) y Estrasburgo (1920), salvo en el de Heidelberg siempre con sus respectivas comunicaciones; en Cambridge, figura además como miembro del Comité Internacional del Congreso, siendo el primer español miembro del Comité Internacional de un ICM. También figura en los congresos de la Association Française pour l'Avancement des Sciences (AFAS) de Besançon (1893), St. Etienne (1897) y París (1900), en el primero y último caso presentando sendas comunicaciones; en Besançon actúa, además, como Presidente de Honor de las Secciones de Matemáticas, Astronomía, Geodesia y Mecánica y en París como Presidente de Honor de la Sección de Pedagogía y Enseñanza. En 1899 asistió al Congreso Internacional sobre Bibliografía de las Ciencias Matemáticas, donde fue elegido miembro de la Commission Permanente du Répertoire Bibliographique des Sciences Mathématiques; no cabe sino atribuir, al menos parcialmente, al crédito internacional de García de Galdeano el hecho de que este congreso decidiera incluir el español entre los idiomas oficiales contemplados para recoger los títulos de los trabajos en el futuro repertorio bibliográfico. También desde 1899 fue miembro del Comité de Patronage de la que sería la más prestigiosa revista internacional de enseñanza de las matemáticas, L’Enseignement Mathématique, que en ese año inauguraría sus páginas precisamente con un artículo de García de Galdeano. Más adelante, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Roma, sería nombrado delegado español en la Commission Internationale de L’Enseignement Mathématique (ICME) y le sería encomendada la presidencia de la Subcomisión española.

Con esta experiencia internacional, no es de extrañar que participara activamente en los primeros congresos de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias (Zaragoza, 1908; Valencia, 1910; Granada, 1911) y que acogiera con entusiasmo la fundación en 1911 de la Sociedad Matemática Española, que presidió desde 1916 hasta su muerte. En este mismo intervalo presidió asimismo la recién creada Academia de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales de Zaragoza, de cuyo núcleo fundador había formado parte.

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Más de 190 trabajos entre libros, artículos, conferencias y reseñas componen el legado bibliográfico de García de Galdeano1. Entre las realizaciones de su obra cabe destacar su labor de importación de las principales teorías de la matemática moderna –como la teoría de conjuntos de Cantor, las geometrías no euclídeas o los espacios n-dimensionales– y de la obra de los principales protagonistas de la matemática de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX –como Weierstrass o Klein–. Su notable tarea en el terreno de la modernización de la matemática española se realizó fundamentalmente a lo largo de tres décadas, las dos últimas del siglo XIX centradas en el álgebra y la geometría respectivamente, la primera del siglo XX en el análisis matemático, pero sus escritos matemáticos se inician ya en la década de los setenta, durante su estancia en La Rioja, con dos trabajos que marcan tendencia en su obra y muestran ya algunas de las características que serán constantes en su producción. Se trata de Observaciones útiles en el estudio de las matemáticas (Zaragoza, 1874) y El método aplicado a la ciencia matemática (Logroño, 1875), donde puede apreciarse ya la interesante conjugación de su formación filosófico-científica, su interés en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y su preocupación metodológica en relación con la creatividad y el desarrollo matemático.

En esta misma época Galdeano traspasa ya la frontera española con su siguiente trabajo, titulado Literatura científica contemporánea, causa de su desarrollo, publicado en la Revista Española (Madrid, 1876), que mereció una elogiosísima reseña en Il Precursore di Palermo a cargo de su editor, Domenico di Bernardo.

También emerge a nivel nacional con dos trabajos que son objeto de publicación por la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, Exposición histórica y didáctica de la teoría de las cantidades imaginarias (1878) y El álgebra histórica y críticamente considerada (1879), este último preludio de la década algebraica.

2. La obra de García de Galdeano en Álgebra

Dice García de Galdeano en su Autobiografía2, refiriéndose a la obtención de su cátedra en Ciudad Real, que una vez en tierra firme todo le fue fácil. Tan eufórico debió inaugurar la década que hasta se atrevió a enviarle copia de sus publicaciones al “gran Cayley” que, contra todo pronóstico, le contestó remitiéndole a su vez dos de las suyas. No es descabellado suponer que con este segundo contacto internacional perdiera García de Galdeano el miedo –que no el respeto– a los “grandes matemáticos extranjeros”, y probablemente el éxito de estas primeras experiencias no sea ajeno al importante número de relaciones internacionales que García de Galdeano estableció a lo largo de su carrera.

En la década de 1880-90 García de Galdeano, a la sazón itinerante catedrático de institutos de Castilla La Nueva, comienza a levantar con tesón y rigor su propio edificio, sobre la base metodológico-filosófica que ha elaborado en los años anteriores, que permite intuir la gran explosión de los veinte años posteriores. Entre los ocho trabajos que salen de la imprenta con su firma destacan los tres de álgebra: Tratado de Álgebra (Parte Elemental) (Toledo, 1883), Tratado de Álgebra con

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1 La relación más completa de sus trabajos publicados aparece, como Anexo, en (Hormigón, 1983a, pp. 45-47). La mera lectura de ese Anexo puede dar una idea bastante aproximada de la dirección biográfica e intelectual de García de Galdeano y, de entrada, permite valorar su dedicación a lo largo de toda su vida profesional.

2 Sobre las cuestiones biográficas véase (Hormigón, 1993) y (Comenge y Hormigón, 1999).


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arreglo a las teorías modernas (Parte Segunda) (Toledo, 1886) y Crítica y síntesis de Álgebra (Toledo, 1888)3.

La parte elemental del Tratado de Álgebra está dividida en tres secciones, la primera dedicada a la teoría de algoritmos primitivos, la segunda a la teoría de las funciones explícitas en algoritmos derivados, y la tercera a la teoría de las funciones implícitas. El texto está escrito todavía bajo la influencia de la matemática de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, en la que los territorios del álgebra y el análisis no están claramente delimitados. Como se recoge en la parte segunda del Tratado tres años después, aún no existe consenso en la comunidad matemática internacional sobre los contenidos del nuevo álgebra, que ya no es sólo la regula cosae. Efectivamente, los textos decimonónicos de análisis, algoritmos o álgebra, antecedentes del álgebra del siglo XX que sucederá a las síntesis de Weber y Steinitz, incluyen temas diversos, desde cuaternios y sustituciones hasta teoría de formas y funciones de variable compleja, lo cual es típico del periodo de desarrollo de una nueva teoría, especialmente en el caso de una ruptura sin precedentes en la historia del pensamiento matemático. Esta relativa confusión conceptual fue compartida por autores como Serret, Hoüel, Baltzer, Salmon, Jordan, Hermite, Casorati y muchos otros. No obstante, García de Galdeano no pretendió poner orden en esta confusión, sino hacer accesible al público español –estudiantes y profesores– este gran progreso matemático. Es notable su habilidad para construir las modernas estructuras algebraicas a partir de los conceptos mas primitivos. De hecho los conceptos algebraicos básicos de la primera mitad del siglo XIX –incluidos grupos y determinantes– están clara y fácilmente desarrollados en la parte elemental del Tratado, y los capítulos dedicados a la introducción de series y límites destacan también por su sencillez. El tercer libro de la segunda sección, dedicado a la teoría general de operaciones y cantidades, revela la influencia de Boole y Grassmann y muestra la comprensión por parte de García de Galdeano del subsiguiente desarrollo del álgebra como estudio de las propiedades abstractas. Aborda las operaciones partiendo del principio de Hankel, según el cual todo cálculo realizado para cantidades generalizadas debe ser también aplicable a cantidades de orden inferior sin que la generalización introduzca nuevas propiedades o reglas diferentes de las ya admitidas. En cuanto al capítulo dedicado a la generalización del concepto de cantidad, aunque menos profundo y sin relación con la teoría de conjuntos, resulta interesante por su introducción de las cantidades complejas, vectores y cuaternios.

En la estructura de la parte segunda del Tratado García de Galdeano sigue al matemático y filósofo polaco Josef-Marie Wronski, por ejemplo en su clasificación algorítmica. Concebido como un tratado superior según las teorías más modernas, está dividido en dos secciones, la primera dedicada al estudio de la continuidad, la segunda a permutaciones y combinaciones. Consciente de que la primera sección es más analítica que algebraica, García de Galdeano no renuncia a exponer por primera vez en España las contribuciones básicas de Cauchy, algo que mejoraría, modernizaría y rigorizaría en su posterior Tratado de Análisis Matemático, enriquecido con la inspiración de Weierstrass y otros grandes analistas del siglo XIX que García de Galdeano incorporó a través de las fuentes más próximas de Picard y Goursat. En la segunda sección, completamente algebraica, sus fuentes son Cayley, Aronhold y Clebsch, y en ella los libros dedicados a sustituciones y determinantes elevan el nivel y mejoran el tratamiento ofrecido en la parte elemental del Tratado conforme a las contribuciones de Cauchy y Jacobi.


Para las funciones de variable compleja había previsto García de Galdeano una tercera parte del Tratado que, por falta de apoyo institucional, nunca vio la luz. En su lugar publicó una Crítica y Síntesis de Álgebra que muestra la profundidad, actualidad y proyección de futuro de sus conocimientos algebraicos, la profusión de su erudición bibliográfica y, lo que es más importante, la habilidad para identificar las contribuciones más significativas. Trabajo de síntesis, la Crítica y

3 Sobre el álgebra de García de Galdeano véase (Hormigón, 1991a).

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Síntesis de Álgebra refunde y actualiza los dos trabajos presentados a la Real Academia de Ciencias en 1878 y 1879, Exposición histórica y didáctica de la teoría de las cantidades imaginarias y El álgebra histórica y críticamente considerada. Dividido en tres capítulos, el primero analiza el concepto de álgebra partiendo de la regula cosae y pasando por su consideración instrumental al servicio del análisis en la matemática lagrangiana hasta desembocar en el papel desempeñado por los conceptos estructurales, en particular el de relación. El segundo capítulo presenta el álgebra como el resultado de una multiplicidad de procesos que se interrelacionan en un determinado momento histórico para generar una nueva rama del árbol de las matemáticas. El tercer capítulo es la síntesis didáctica del momento presente.

Convencido como estaba de la importancia de la teoría de conjuntos, a diferencia de muchos de sus contemporáneos, reservó un número considerable de páginas a explicar las teorías de Cantor en conexión con la génesis histórica del concepto de cantidad y la consiguiente especulación sobre el problema de la continuidad. Igualmente explica los resultados fundamentales de Boole, cuya notación adopta. Otra componente básica de su síntesis algebraica es la teoría de ecuaciones: sin entrar a la exposición detallada de la teoría de Galois, traza la línea de desarrollo desde Bézout, Euler, Vandermonde, Lagrange y otros hasta Hermite y Jordan.

Además, este es el primer trabajo en el que García de Galdeano incluye numerosas referencias bibliográficas, algo que luego se convertiría en hábito: los trabajos de Lejeune Dirichlet sobre números complejos, los de Hamilton sobre cuaternios, las ideas de Klein sobre los conceptos de hiperespacio y espacio elíptico e hiperbólico y sobre diferentes tipos de geometrías; los trabajos de Beltrami sobre geometría pseudoesférica, el papel de Weiertrass en la redefinición de casi todos los conceptos analíticos; y más, mucho más. García de Galdeano promovió el estudio y la investigación proporcionando referencias a traducciones francesas de obras alemanas.

Entre tanto, también en esta década evolucionó el pensamiento geométrico de García de Galdeano, como puede apreciarse en la comparativa de la primera edición de la Geometría Elemental de 1882, con la segunda, corregida y aumentada en 1888. A la geometría continuaría dedicando García de Galdeano lo fundamental de su esfuerzo creador en la última década del siglo XIX.

3. La obra de García de Galdeano en Geometría

Cuando entre 1865 y 1867 Echegaray publicó sus Problemas de Geometría Analítica y su Introducción a la Geometría Proyectiva Superior la distancia cronológica entre la geometría española y la línea de trabajo de los geómetras franceses no era muy grande, el idioma de expresión de las investigaciones originales era asequible y su vertiente aplicada muy atractiva. Es más, las investigaciones en geometría proyectiva en la línea de Poncelet y Chasles eran modernas, podían construirse sin un gran aparato teórico previo, permitían en alto grado la intuición y presentaban la posibilidad de obtener gran número de resultados nuevos sobre enigmas diversos –aunque de interés variable–. Sin embargo, la sustitución de Chasles por von Staudt por parte del catedrático de geometría de la Universidad Central de Madrid, Eduardo Torroja, acarreó la acomodación rígida de los planes de estudio a una forma parcial de contemplar, entender y practicar la geometría que en el cambio de siglo estaba ya claramente periclitada. Únicamente García de Galdeano primero y su discípulo Julio Rey Pastor después se atrevieron a criticar esta situación de dominio omnipresente de esta particular rama menor de la geometría en el conjunto de la matemática española, que sólo empezó a modificarse a partir de la segunda década del siglo XX, cuando la personalidad matemática y social de Rey Pastor pudo emerger como alternativa a Torroja y su discípulo Vegas.

El caso es que Echegaray y García de Galdeano trabajaron en sus primeros años de geómetras sobre la línea proyectiva francesa representada por la obra de Chasles, y si Echegaray se quedó ahí, no



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fue ése el caso de García de Galdeano, que introdujo casi todas las ideas fundamentales del bagaje geométrico del siglo XIX en la segunda edición de su Geometría Elemental y en las dos partes de la Geometría General, además de en los tomos correspondientes a las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal de su Tratado de Análisis Matemático. Además, debido a su asistencia personal a los Congresos Internacionales de Matemáticos, pudo oír y utilizar inmediatamente las visiones de síntesis que Hilbert, Poincaré, Darboux y otros realizaron en la primera década del siglo XX4.

El primer trabajo de geometría de García de Galdeano es Complemento de geometría elemental o crítica geométrica, publicado en Madrid en 1881, una prolongación de sus trabajos sobre metodología y organización docente de la década anterior donde se exponen los diferentes métodos de demostración ilustrados con ejemplos y se examina el concepto de verdad geométrica desde un punto de vista clásico. Un año después un resumen de este trabajo es incorporado a la Geometría Elemental, constituyendo una segunda y última sección (Sección Crítica) que sucede a la inicial Sección Expositiva, ésta a su vez divida en dos partes respectivamente dedicadas a las geometrías plana y del espacio que constituyen un tratado efectivamente elemental. Seis años después, la segunda edición de la Geometría Elemental recogía los elementos más preciosos de la primera, pero se extendía además con cierta profundidad y actualidad por nuevos territorios anteriormente inexplorados. Estructurada en dos partes, en la primera, titulada Teoría de la igualdad y desigualdad geométricas, se expone resumidamente la doctrina recogida en la primera edición, mientras que en la segunda, titulada Teoría de la proporcionalidad geométrica, se plasman las innovaciones e ideas de actualidad, entre las que destacan una presentación de la geometría no euclídea de Lobachevsky y Bolyai y el desarrollo de la geometría proyectiva de Chasles según su obra Los tres libros de los porismas de Euclides, cuyo entusiasmo expositivo contrasta con el distanciamiento, cuando no escepticismo, con que se aborda la escueta (tres páginas), distante y hasta escéptica objetividad aplicada a la geometría no euclidiana.

Es en su etapa como catedrático de Geometría Analítica de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza (1889-96) cuando madura la obra geométrica de García de Galdeano, coincidiendo con el enriquecimiento formativo e informativo que le supone la vuelta a Zaragoza y la aventura editorial de El Progreso Matemático: los dos volúmenes de la Geometría General aparecieron en 1892 y 1895, respectivamente, tras ser publicados por entregas en la revista. En ellos revela ya su atención respecto de los resultados del momento y de la encrucijada conceptual que vivía la geometría en los años anteriores a la síntesis de Hilbert. Precisamente a un planteamiento de síntesis responde García de Galdeano, partiendo de una aproximación histórica en la línea del Traité de Géométrie Supérieure y el Aperçu historique de Chasles, con esta obra construida sobre el soporte central de la geometría proyectiva de la escuela francesa ahora ya enriquecida con las aportaciones de Möbius, Plücker y sus seguidores alemanes, en la que además analiza monográficamente la Teoría de la Extensión de Grassmann – basándose en el reciente (1893) Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehere di H. Grassmann de Peano– y expone exhaustivamente los cuaternios de Hamilton, poniendo énfasis en la interrelación existente entre las construcciones lógicas de Boole y las metodologías geométricas. Tras un primer volumen dedicado a Teorías, problemas y métodos geométricos, el segundo, titulado Sistematización de la Geometría, entra de lleno en las innovaciones. Las geometrías no euclídeas constituyen ahora un aspecto central de la obra, en la que relativiza la cuestión de la verdad en geometría y rompe con el concepto absoluto del espacio kantiano sobre la base de una riqueza bibliográfica de fuentes de referencia que incluye, lógicamente, a Gauss, Riemann, Helmholtz y Beltrami. Sin embargo, la Geometría General no termina bien, por cuanto García de Galdeano, que con toda seguridad no era perfecto, en un error de perspectiva acabó presentando como sistema geométrico más reciente la geometría del triángulo – muy del gusto de la época – en vez de elegir los desarrollos que a partir del Programa de Erlangen de Klein habían realizado Lie, Poincaré y Pasch. Rectificó un año más tarde cuando, coincidiendo con el paso a la


4 Sobre la geometría de García de Galdeano véase (Hormigón, 1983b).


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cátedra de Cálculo Infinitesimal, se despidió del álgebra y la geometría, acaso cansado de predicar en el desierto, con Las modernas generalizaciones expresadas en el álgebra simbólica, las geometrías no euclídeas y el concepto de hiperespacio, donde aborda el tratamiento desarrollado del concepto de espacio y geometría n-dimensional y expone sin concesiones las relaciones entre el álgebra de n unidades complejas de Dedekind y Weierstrass y los espacios multidimensionales, un trabajo que subraya el salto adelante de la geometría algebraica sobre la teoría de grupos de transformaciones, donde el concepto de proyectividad es más fructífero.

4. La obra de García de Galdeano en Análisis

A partir de 1896 la obra de García de Galdeano, entonces ya catedrático de Cálculo Infinitesimal de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, es esencialmente analítica. Su Tratado de Análisis Matemático, publicado en Zaragoza, se compone de cinco tomos, los tres primeros dedicados a Cálculo Diferencial, Principios generales de la teoría de las Funciones y Aplicación del cálculo diferencial al estudio de las figuras planas (1904), los dos últimos a Cálculo Integral y Aplicación del cálculo diferencial al estudio de las figuras en el espacio (1905). A este monumental Tratado se suma el de ecuaciones diferenciales de 1906.


El Tratado de Análisis comienza con el tomo dedicado al cálculo diferencial dividido en dos libros, el primero dedicado a los principios fundamentales, el segundo a las aplicaciones analíticas. Empezando por la definición de cortadura de Dedekind –todavía llamada laguna–, recoge la idea de función de Dirichlet-Weierstrass y señala explícitamente la relación entre los conceptos de función y de conjunto, con lo que el primer capítulo de la obra constituye el primer trabajo escrito en España sobre la teoría de conjuntos de Cantor. Desde el punto de vista conceptual, García de Galdeano parte de la definición de función derivada para introducir después la diferencial y, tras el desarrollo de los resultados elementales más importantes del cálculo diferencial, entra en el cambio de variables –otro tema novedoso en la literatura matemática española desde el punto de vista analítico, que no geométrico– con una sugerente exposición basada en problemas generales en lugar de en teoremas. La eliminación de constantes le permite introducir al lector de forma natural y directa en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales antes de pasar a las aplicaciones analíticas.

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El segundo tomo está dedicado a los principios generales de la teoría de funciones –el primer texto español monográficamente dedicado a la teoría de funciones– en cinco libros: introducción, funciones de varias variables reales, variable compleja, funciones algebraicas y analysis situs. Weierstrass, Dirichlet, Dedekind y Tannery son las pistas bibliográficas que aparecen sobre la línea argumental del Curso de Análisis de Goursat.

Lógicamente el cálculo diferencial e integral y la teoría de las funciones analíticas constituyen la espina dorsal del Tratado, pero además aparecen en él conceptos modernos de esencial importancia en Geometría. Así, el quinto y último libro del tomo segundo, que lleva por título Análisis Situs, es el primer texto en español sobre topología, en buena parte construido sobre la irrefutable autoridad de Poincaré (trabajos publicados en el Journal de l’École Polytechnique y los Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo).

También el tomo tercero, Aplicación del cálculo diferencial al estudio de las figuras planas, comienza con una Introducción histórica para construir un cuerpo de definiciones y resultados que, aunque incorrecto desde el punto de vista histórico, resulta de gran eficacia expositiva en la presentación de un proceso escalonado y ascendente de conocimientos que parte de Desargues y, sobre todo, de la infraestructura conceptual de Monge, pasa por la pangeometría de Klein y desemboca en la construcción axiomática de la geometría n-dimensional a partir de los desarrollos de Helmholtz, Beltrami, Lie y Klein sobre los grupos de transformaciones y la teoría de la medida. García de



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Galdeano va de Chasles –al que llama creador de la geometría superior– a Hilbert pasando por Riemann, aunque no deja de ser llamativa la ausencia de referencias a los Grundlagen de Hilbert, acaso una muestra de alineación con el tandem Klein-Poincaré, que a la sazón daba muestras de velada rivalidad con Hilbert. Tras la Introducción se divide este tomo tercero en tres libros, el primero dedicado a la geometría diferencial plana, el segundo a las singularidades de las curvas planas y el tercero al estudio sistemático de las figuras, este último el más innovador por su estudio de las propiedades numerativas de las curvas. En efecto, la geometría numerativa estudia el número de objetos que cumplen un número de condiciones simples partiendo de las condiciones de determinación y de los criterios de descomposición de una curva y, en este contexto, se puede abordar el problema de encontrar un número finito de soluciones de un sistema sean cualesquiera el número de singularidades que contenga. García de Galdeano sigue aquí las Lecciones de Geometría de Clebsch – como en el segundo libro sobre las singularidades– hasta abrir una nueva perspectiva en la dirección de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden.

El tomo cuarto, dedicado al cálculo integral, se divide en tres libros, el primero dedicado a la exposición exhaustiva de métodos de integración en el campo real y complejo, el segundo a funciones representadas por integrales y el tercero al cálculo de variaciones. Basado fundamentalmente en el Tratado de Análisis de Picard, se trata de un texto correcto, preciso, extenso y sugerente.


Por último el quinto y último tomo, dedicado al estudio de las figuras en el espacio, está subdividido en cuatro libros que tratan del estudio de curvas en superficies, de las aplicaciones de las integrales definidas, de las superficies en forma paramétrica y de los sistemas geométricos respectivamente, los dos primeros excelentes tratados clásicos, el tercero –en el que se introduce la teoría de la representación conforme– construido sobre el esquema general de la teoría de superficies de Darboux y la geometría diferencial de Bianchi. Como colofón concluye García de Galdeano su examen de la geometría desde el punto de vista de la variación continua declarando su subordinación a la teoría general de grupos y enfatizando la importancia de los trabajos de Lie y Reye como vía de profundización de los estudios geométricos.

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A este monumental Tratado se añadía en 1906 el primer texto español sobre la Teoría de las ecuaciones diferenciales que, con el subtítulo de exposición de las teorías clásicas, anunciaba la necesidad de complementarse con un nuevo tomo dedicado al tratamiento de los resultados modernos. Pero, desgraciadamente, este nuevo volumen ya no apareció debido a los problemas económicos que le supusieron a García de Galdeano sus sucesivas aventuras editoriales.

5. La Crítica Matemática

En su última década productiva –se jubiló en 1918– García de Galdeano acentuó su dedicación a los trabajos de síntesis matemática y a las contribuciones en el terreno de la enseñanza de las matemáticas, acaso los aspectos más genuinamente creativos de su producción, sobre los que llevaba escribiendo desde la década de los 70. Los trabajos de aquella década eran una especie de síntesis elemental del panorama de su obra científica, en los que realizaba una primera aproximación al concepto de matemáticas y su relación con la filosofía, abordaba el estudio interno lógico-formal de las relaciones matemáticas y mostraba su obsesión pedagógica –de hecho, de los dos centenares de títulos que García de Galdeano publicó sobre temas matemáticos, más de la cuarta parte están dedicados a temas de enseñanza, didáctica y pedagogía–.

Ya en su folleto de 1875 sobre El método aplicado a la ciencia matemática García de Galdeano buscaba, bajo la directa influencia de Wronski, “la necesidad de encontrar un por qué superior a los razonamientos matemáticos”. La investigación de ese por qué le llevó a la formulación de su primera gran herramienta teórica, la crítica matemática, que desarrolló fundamentalmente en sus trabajos


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sobre geometría entre 1882 y 1895, y sobre cuyo contenido expuso en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900 una nota cuyo resumen fue recogido en las Actas del Congreso. Allí expone de forma sumaria la necesidad de completar los planes de estudios de matemáticas con una nueva rama llamada crítica matemática, un ambicioso y estimulante proyecto que tiene como finalidad señalar las vinculaciones entre la generación histórica y lógica de los conceptos matemáticos y acometer el estudio sintético de las diversas ramas de las matemáticas junto al estudio sistemático de los métodos generales. En esta misma línea había presentado ya, en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Zurich en 1897, un trabajo relativo a los problemas de síntesis matemática, titulado L’unification des concepts mathématiques, partiendo del criterio de la necesidad de unificar el pensamiento matemático, aspecto en el que sigue la inspiración de Poincaré antes de que Hilbert coincidiera al respecto en su célebre trabajo del siguiente ICM.

En este cambio de siglo García de Galdeano sitúa El Progreso Matemático en el terreno de la preocupación pedagógica. Su reaparición en 1899 aspira a sensibilizar a la opinión y a los poderes públicos ante las inminentes reformas educativas, por lo cual los trabajos de la segunda época de la revista girarán en torno al problema de la organización de los estudios de matemáticas en España. Así, en el tomo I de la segunda serie aparece el texto escrito de un curso dado en 1898 en el Ateneo de Madrid sobre La moderna organización de la Matemática y un trabajo sobre La Matemática y su enseñanza. En 1900 sigue insistiendo desde las páginas de El Progreso Matemático en las cuestiones de la reforma de los estudios y su organización y profundizando en temas de didáctica, pero una vez realizada la reforma de García Álix, en un sentido bien distinto del propugnado por García de Galdeano, El Progreso Matemático desapareció definitivamente y García de Galdeano cambió de tercio.


Así, en el primer lustro del siglo XX se concentra en el análisis matemático, pero tras la imposibilidad de publicar la segunda parte de su Tratado de Ecuaciones Diferenciales aparece en su obra, a partir de 1907, un cierto rictus de decepción. Porque a pesar de la estima que se le demuestra en el extranjero, su obra sigue cayendo en saco roto en su propio país y sus opiniones apenas si son tenidas en cuenta. Por eso, ante la ineficacia de su labor como propulsor de las doctrinas particulares del Paradigma Hilbertiano, decide un cierto cambio de orientación de su labor doctrinal. De una forma que recuerda –salvando las distancias– a Cajal, pasa a dedicar el grueso de su atención a tres frentes concretos. El primero es el relativo a los problemas de síntesis matemática, partiendo del criterio de la necesidad de unificar el pensamiento matemático ya citado. El segundo, y aquí es donde más se aproxima a Cajal, lo sitúa en la necesidad de una renovación drástica de la enseñanza de las matemáticas, para lo que postula la adopción del instrumento por él definido como Nuevo Método de Enseñanza Matemática. Y el tercer frente al que se dedicó fue el de sus clases, sus alumnos y sus programas. La ruptura de la vieja orientación viene señalada por una obra clave, que apareció en 1907: la Exposición sumaria de teorías matemáticas, texto condensado de 208 páginas en las que va tejiendo el entramado conceptual de la matemática moderna. A partir de este libro se puede apreciar un cierto cambio de estilo por el que la expresión de García de Galdeano gana en profundidad, pero también en dificultad de comprensión.

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En el Congreso de Granada de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias (AEPPC, 1911) expone su Nuevo método de enseñanza matemática como presentación de sus obras del mismo título en torno a la metodología a desarrollar para abordar y atajar el problema del atraso matemático español. Con anterioridad lleva al Congreso de Zaragoza de la AEPPC (1908) dos trabajos de crítica didáctica, que incide sobre las cuestiones metodológicas y bibliográficas de las matemáticas de cara a la enseñanza, Algunas observaciones pedagógicas acerca de la Matemática y Plan de Enseñanza Matemática. En ambos las propuestas de García de Galdeano, tanto en lo relativo a los planes de estudio como a las cuestiones pedagógicas, aparecen claras, contundentes y sólidamente razonadas, bien alejadas de los argumentos a la defensiva sobre las excelencias de la ciencia príncipe y



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las sutilezas de su pensamiento. Distinguiendo tres ciclos para la enseñanza –elemental o primaria, secundaria y superior o universitaria–, su planteamiento es el siguiente:

• Enseñanza primaria: La enseñanza de las matemáticas debe alternarse con nociones prácticas sobre el estudio de la Naturaleza – contemplación de objetos por ejemplo –. Textos propuestos son La aritmética del abuelo, El sentido común en las Ciencias Matemáticas de Clifford, L'initiation Mathématique de M. Laisant.

• Enseñanza secundaria: En el mismo espíritu de iniciación matemática, nociones de aritmética y geometría elemental en los dos primeros años, introducción del álgebra hasta las ecuaciones de segundo grado en el tercer año y nociones de geometría descriptiva –rectas y planos– y primeras representaciones de geometría analítica –incluyendo parte gráfica de algunas funciones– en el cuarto año. Debe primarse la intuición sobre la rigurosa demostración y la reflexión sobre la memorización, evitarse la abusiva profundización detallista y adaptarse al orden de un libro como indicador de la materia a asimilar que el profesor debe aclarar y desarrollar. Se citan como modelos los gimnasios alemanes y liceos franceses. Textos propuestos son las obras de Borel, Hadamard, Enriques y Weber y como fuentes de ejemplos amenos las obras recreativas de Bachet de Meziriac, Lucas y Ball.


• Enseñanza superior: Propuesta de Plan de Estudios en la que destaca su radical novedad. El grueso del plan de estudios vigente en 1908 queda relegado a la segunda enseñanza; de las famosas geometrías al uso sólo subsiste una condensada geometría descriptiva y de la posición para primar la geometría analítica. El resto consiste en dar paso al álgebra superior y desarrollar el análisis en toda su potencia. El segundo punto importante reside en la modernidad de la propuesta de García de Galdeano, que testimonian no sólo las obras y autores referenciados sino incluso la facilidad con que se identifican las líneas generales de los curricula matemáticos vigentes hasta finales del siglo XX.

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No contento con proponer un esquema integral de enseñanza matemática nuevo y moderno, García de Galdeano procede a razonar su propuesta, que no es arbitraria al albur de sus intereses docentes, investigadores o académicos. Su esquema emana, en primer lugar, de una clara visión del origen, estado actual y perspectiva del conocimiento matemático cuya explicación queda reflejada en el siguiente párrafo –que ilustra además el concepto galdeaniano de crítica matemática–:

(...) podemos observar que el Álgebra es la recta central de un sistema de tres paralelas, cuyas líneas extremas son la Geometría analítica y la Geometría pura. Las tres forman el tronco desde el que se extienden las ramas superiores de la Matemática que, á semejanza de aquéllas, tienen una nueva Álgebra de las funciones, llamada teoría de las ecuaciones diferenciales; que se funda también en la teoría de los grupos, pero continuos, y forma de igual modo la línea central entre la teoría de las funciones, que comprende: 1º, su cálculo en los procedimientos inversos, diferenciación é integración; 2º, su teoría de las funciones de variables reales, cuyo fundamento es la teoría de los conjuntos y la teoría de las funciones de variables complejas, basada en la integración a lo largo de un contorno, ó sea la integral de Cauchy, ramas que comprenden todas las transcendentes elípticas, abelianas, etc.; y, por otra parte, la teorías geométricas incluidas en la Geometría diferencial, que aplica las coordenadas paramétricas de Gauss á la representación geométrica de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, que se diversifica de innumerables maneras, bajo las leyes de las transformaciones de los grupos, y se extiende sobre el amplísimo campo de los superespacios, bajo leyes aritméticas del Analysis situs.

Pero sobre este desarrollo objetivo, y siguiéndolo en las varias fases de su desenvolvimiento, debe considerarse la acción intelectual que crea el grandioso edificio, y para que tan admirable


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adquisición de conocimiento no sea inconsciente, sino por el contrario una especie de fluir de la vida intelectual, según los principios de la razón creadora, que contempla extasiada su obra, deben establecerse enseñanzas de Crítica, Historia y Pedagogía Matemáticas. La Crítica para seguir la acción de la inteligencia, desde las primeras edificaciones hechas por el orden combinatorio, que en ella preside á las demás creaciones subalternas; el estudio comparativo de los principales métodos, cual modos de actuar aquella facultad superior, y hasta la posibilidad de sus procedimientos, que expresan la potencialidad de espíritu; la traducción de las puras ideas en resultados matemáticos. La Historia, que nos revela el modo de generarse las teorías, según se han ido sucediendo".

Los objetivos que García de Galdeano pretende cubrir con su proyecto de enseñanza de las matemáticas son los siguientes:

• Ajustar la enseñanza de las matemáticas a su periodo de desarrollo y crítica y al progreso científico e industrial, en el que destacan las matemáticas, la física y la química.

• Homologar las enseñanzas impartidas en las universidades españolas y extranjeras –Alemania, Estados Unidos, Francia e Inglaterra–.


• Separar la enseñanza universitaria de la preparación para las carreras especiales: el fin de la enseñanza universitaria es el "progreso de la cultura y de la ciencia nacional"; esta superior cultura intelectual será posteriormente "fuente de multitud de estudios de aplicación y estímulo o potencialidad para otros nuevos, según comprueban los hechos".

• Desterrar de la enseñanza universitaria las asignaturas anticuadas, suprimiendo lo que debe pasar a la parte histórica de la enseñanza y elementalizando para la enseñanza secundaria lo que ha dejado de ser superior.

• Integrar en la enseñanza superior la compenetración de las diversas ramas de las matemáticas, evitando las profundizaciones y repeticiones contrarias al concepto de unidad científica. El empleo de los modelos matemáticos, la reducción de doctrina y el uso del análisis constructivo de la ciencia debe acabar con el memorismo, el dogmatismo y el rutinarismo y ejercitar el espíritu de investigación. Imprescindible es el manejo de una amplia bibliografía matemática que ofrezca a los estudiantes un amplio campo de posibilidades adaptable a sus condiciones. La pedagogía y la crítica matemática son las herramientas para lograr un atractivo que provoque la extensión de las vocaciones matemáticas.

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La pregunta sobre la bondad y viabilidad del proyecto de García de Galdeano entra de lleno en el terreno del posibilismo. Sólo son constatables la audacia, la modernidad y la sintonización internacional de la propuesta, porque no pasó de ser eso, una propuesta. La modernización de la matemática española, en la que la obra –oral y escrita– de García de Galdeano tuvo indudablemente mucho que ver, se produjo en la universidad española lenta y pesadamente, a través de los cursos de doctorado; fuera de ella el proceso se desarrolló de manera más ágil a través de las nuevas instituciones –Sociedad Matemática Española, Laboratorio y Seminario Matemático–, pero el lastre de una enseñanza universitaria deforme y obsoleta siguió siendo, durante el primer cuarto de siglo al menos, un obstáculo importante a superar5.

Un segundo grupo de trabajos de García de Galdeano en la AEPPC lo constituyen los presentados a los Congresos de Valencia (1910) –Las correspondencias matemáticas en la Ciencia– y Granada (1911) –El lenguaje matemático y La Intelectualidad científica, éste último en la Sección de Ciencias filosóficas, históricas y filológicas–. Ambos tratan de un modo francamente original y ocurrente el tema de la matemática aplicada, y ello pese a que García de Galdeano, como buen

5 Véase al respecto (Ausejo, 1995).



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hilbertiano, creía en el relativismo, teoricismo y antiutilitarismo de las matemáticas y en su derecho al devenir autónomo. Pero como además estaba muy bien informado, no ignoraba el fondo de los nuevos desarrollos matemáticos ni desconocía, en su caso, su aplicabilidad. Con el paisaje de fondo de la batalla entre matemáticos e ingenieros por el control de las matemáticas y habida cuenta de que éstas aún no se habían hecho suficiente hueco en los presupuestos de la educación nacional se entienden mejor no sólo las anteriores reflexiones, sino también otros pronunciamientos de García de Galdeano en el seno de la AEPPC sobre la "idea pura" como "fuente de todo lo material y fuerza de mayor poder del hombre", la utilidad de todas las ideas científicas "unidas en los engranajes de la Matemática", la Matemática como ciencia que aúna como ninguna otra "lo útil con lo agradable" o su carácter "didáctico, educativo", de "organismo adecuado para el desarrollo intelectual" y de "lógica práctica". García de Galdeano es consciente del menosprecio que sufren las ciencias –las matemáticas– en España, pero reconoce como causa del mismo el bajo nivel en que se encuentran debido a las prácticas erróneas en la enseñanza –dogmatismo, memorismo, rutinarismo, grandes lagunas bibliográficas y, a consecuencia de todo ello, nula capacidad investigadora– al reclamar su lugar en el seno de la intelectualidad científica. De ahí su afán por establecer sólidas bases prácticas –que no meros preparatorios– para los estudios de aplicación y su obsesión pedagógica: la clasificación de las matemáticas abstractas y aplicadas le sirve para esbozar un programa de cálculo infinitesimal a explicar desde el año académico 1910-11 en dos cursos, elemental y complementario, de los cuales el primero está dirigido a físicos, químicos, astrónomos, geodestas, actuarios y economistas y el segundo reservado a matemáticos. Y de nuevo por su alejamiento del gimoteo retórico y de los intereses inconfesables es su reflexión original y ocurrente.


Por último, el tercer grupo de trabajos presentados por García de Galdeano en la AEPPC se engloba en el terreno de la crítica matemática en su doble concepción de disciplina sintética que recorre la generación histórica y lógica de los conocimientos por una parte y considera las correlaciones de conceptos que llevan a la inventiva por otra. Las comunicaciones fueron presentadas a los congresos de Zaragoza (1908) –Ensayo de clasificación de las ideas matemáticas y La Matemática en su estado actual– y Sevilla (1917) –La Matemática hasta el presente y en sus aplicaciones futuras–. Con ello se cierra la contribución de García de Galdeano a la AEPPC, que cabría calificar de destacada por varias razones:

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• En el plano teórico, por su exposición divulgativa de la matemática hilbertiana en cuanto a contenido y métodos de la misma.

• En el terreno práctico, por sus audaces propuestas en el terreno de la pedagogía y la aplicación matemáticas.

Por la vía de la didáctica y de la crítica matemática enlazaba García de Galdeano las perspectivas docentes media y superior y ambas con las tareas de investigación pero, además, su preocupación metodológica sobre cómo se crean y desarrollan las matemáticas engarza con buena parte de las preocupaciones de fondo que en este tiempo se estaban formulando, por el camino de la metodología, de la enseñanza de las matemáticas y de la reflexión sobre el papel de las matemáticas en las ciencias naturales y en el conjunto del saber. En las matemáticas de comienzos del último cuarto del siglo XIX bullía ya la necesidad de superar los esquemas y criterios del XVIII e implantar en su lugar pautas más generales que, aun a costa de la brillantez procedimental, aportaran eficacia y generalidad al esfuerzo creador y a los planteamientos docentes.

Con todo, su creación original más importante fue el Nuevo Método de Enseñanza Matemática, que aparece enunciado en un folleto de 96 páginas que lleva por título Ensayos de síntesis matemática y nuevo método de enseñanza matemática (1910). A partir de esa fecha la preocupación por el tratamiento teórico del tema fue incesante, ya que la aplicación práctica venía de tiempo atrás. Esta preocupación se tradujo en varias memorias publicadas los años 1911, 1913 – cuando abordó la


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construcción de un curso de cálculo infinitesimal de acuerdo a su nuevo método–, 1916 –donde volvió a tratar ampliamente del tema de la síntesis matemática– y 1919. Avatares un tanto propios de las maldades inherentes a los cuerpos de funcionarios le impidieron exponer en el Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge en 1912 como Delegado español de la Comisión Internacional de Enseñanza de las Matemáticas su nuevo método en un adecuado foro internacional6.

Por fin, en 1916, cuando García de Galdeano cumple los setenta años, recibe muestras afectivas de consideración por parte de sus colegas. La primera, de sus compañeros de Universidad y conciudadanos en forma de Presidencia de la recién creada Academia de Ciencias de Zaragoza. La segunda, al producirse la muerte de Echegaray, la Presidencia de la Sociedad Matemática Española. Las nuevas nominaciones suponen para García de Galdeano un nuevo acicate para continuar su producción. Así, con motivo de la puesta en marcha de las actividades de la Academia de Ciencias de Zaragoza y, en particular, de su revista, García de Galdeano elabora una serie de trabajos en los que desarrolla de forma profunda, condensada y un poco difícil de entender, ciertamente, sus concepciones sobre el desarrollo más moderno de la matemática y sobre los problemas de síntesis en la elaboración matemática. Dichos trabajos, aparecidos en forma de artículos en la Revista de la Academia de Ciencias de Zaragoza en 1916, tratan de la idea poincareana de la ordenación en los sistemas matemáticos, de las construcciones matemáticas y de la crítica matemática en su versión más depurada. Los últimos escritos de su vida universitaria y científica están dedicados a temas de enseñanza y pedagogías matemáticas, además de alguna referencia al interés general de la ciencia. Todavía le quedaron arrestos, no obstante, para sufragar, junto con Rey Pastor, la aparición del “Suplemento” de la Revista Matemática Hispano-Americana, sufragio que debió suspender casi inmediatamente con motivo de su jubilación definitiva.


6. El Progreso Matemático

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Entre 1891 y 1900 García de Galdeano desarrolla la empresa de El Progreso Matemático, en la que llama la atención el esfuerzo personal cuantificable en número de páginas escritas que suponen el soporte material de la publicación en sus dos épocas. En la revista la firma del director aparece tras todos los temas posibles y en todas las ocasiones con notable adecuación. Su trabajo en la revista es el de un comodín tanto desde el punto de vista de la redacción como de la impresión. Así, en el inicio de la publicación, junto a la serie de artículos sobre Geometría (proyectiva, del triángulo y algebraica), aparece una de las vertientes más positivas del trabajo de García de Galdeano: las recensiones bibliográficas. Desde las páginas de El Progreso Matemático, García de Galdeano anunció, comentó y recomendó gran número de obras matemáticas destacables por su singularidad innovadora. Gracias a la preocupación no compartida de García de Galdeano los matemáticos españoles pudieron conocer suficientemente al día la existencia y contenido de las obras de Darboux, Peano, Veronesse, Battaglini, Borel, Alexandrov y muchos otros. También se deben a la pluma del director la mayor parte de los comentarios sobre la situación de las diferentes instituciones matemáticas europeas, tópico al que contribuyó con aportaciones originales en reiteradas ocasiones.

Pero antes de abordar cualquier análisis morfológico o de contenidos de la revista conviene destacar la sensibilidad de García de Galdeano para comprender cuáles eran los pasos institucionales necesarios sobre los que debía de construirse la matemática moderna. Percibe que mediante una revista pueden conseguirse tres objetivos: primero, divulgar, en forma de artículos y reseñas, teorías actualizadas de contenido matemático y, sobre todo, muchas ideas sobre la situación de las matemáticas en las postrimerías del siglo XIX; segundo, publicar trabajos originales de mayor o menor enjundia; tercera, intercambiar revistas. Los tres objetivos se cumplieron con El Progreso

6 El episodio ha sido relatado en (Hormigón, 1991b).


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Matemático, y si la publicación murió no fue por el fallido resultado de ninguno de estos tres planteamientos7, sino por la incultura matemática general, que incidió en el escaso número de suscriptores –siempre por debajo del centenar–, y por el abandono de los poderes públicos que, desentendidos del desarrollo matemático nacional, abandonaron a su suerte a la revista en el aspecto económico: en 1895 se cierra la primera serie por problemas económicos para reaparecer brevemente (1899-1900) al objeto –ahora sí fallido– de incidir en la inminente reforma educativa. Pero el caso es que gracias a esta empresa voluntarista en los organismos matemáticos internacionales empezó a figurar el nombre de España, representada por García de Galdeano.

La morfología de El Progreso Matemático es la habitual de las revistas matemáticas de la época8: sección doctrinal –artículos y memorias sobre temas matemáticos–; sección bibliográfica; artículos sobre filosofía, pedagogía e historia de las matemáticas; información varia –actividades de instituciones matemáticas–.

En la sección doctrinal aparecieron artículos de los franceses Brocard, Laisant, Lemoine, Longchamps, Vigarié; los italianos Peano, Césaro, Battaglini, Retali, Vivanti, Gino Loria y Pirondini; los belgas Mansion y Van Aubel; los portugueses Gomes Teixeira, Guimaraes, Schiappa y Monteiro; los alemanes Lampe, Shlegel; el ruso Sollerstinsky; entre otros, lo cual de idea del crédito y la personalidad internacional de García de Galdeano.

También colaboraron la inmensa mayoría de los matemáticos españoles en activo en la última década del XIX: Clariana, Durán Loriga, Bozal y Reyes Prósper, Bentabol, Lasala, Torroja, Krahe, Ríus y Casas, entre otros. Capítulo aparte merecen los trabajos de Ventura Reyes Prósper sobre geometrías no euclídeas y lógica, esta última entonces totalmente desconocida como disciplina matemática en España. Pero en cualquier caso cabe distinguir entre los trabajos de García de Galdeano, centrados en la geometría en la primera serie de la revista y en torno al problema de la organización de los estudios de matemáticas en España en la segunda, y el resto.

Dado que los temas estrictamente matemáticos no podían pasar de un discreto renglón de exposición novedosa o imaginativo resultado, habida cuenta del nivel de modernidad de la comunidad matemática española, no debe extrañar que la más valiosa desde un punto de vista histórico sea la sección bibliográfica de la revista. El trabajo bibliográfico pudo rayar desde el principio a alto nivel, por causa del amplio margen de selección de que dispuso García de Galdeano en vista de la tremenda carencia informativa de que adolecía la comunidad matemática española. Las recensiones bibliográficas estuvieron casi exclusivamente a su cargo, lo que significa que tuvo que realizar un esfuerzo considerable para leer primero y reseñar después textos de profundidad y mérito matemático incontestables, con recensiones que no son meros comentarios escritos sobre el índice, sino largas exégesis en las que de algún modo se deshilvana y facilita la lectura de la obra comentada. En general puede decirse que las recensiones bibliográficas mejoran en la segunda serie de la revista, no sólo porque por la vía del intercambio de revistas había aumentado la cantidad de información que García de Galdeano manejaba, sino también porque se había ampliado su implicación en organismos y relaciones internacionales (AFAS, ICMs, Commission Permanente du Répertoire Bibliographique des Sciences Mathématiques, Comité de Patronage de L’Enseignement Mathématique). Geometría, álgebra y teoría de números, análisis, lógica, filosofía e historia de las matemáticas y publicaciones periódicas son las áreas a los que se adscriben las obras reseñadas.


7 Del espléndido resultado del tercer objetivo da fe el fondo histórico de la Hemeroteca de la Sección de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, uno de los más valiosos del país.

8 Véase un estudio detallado en (Hormigón, 1981).


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Fueron bastantes las obras geométricas reseñas, toda vez que era el tema de atención preferente de García de Galdeano en la primera serie de la revista. Dos obras realmente importantes son tratadas con cuidado por García de Galdeano y luego utilizadas en toda su producción posterior: Leçons sur la théorie générale des surfaces de Gaston Darboux y Fondamenti di geometrie a piu dimensioni, e a piu specie di unita rettilinee, esposti in forma elementare de Veronese. Por lo que respecta a la primera, García de Galdeano puso a la comunidad matemática española sobre la pista de una obra que estaba siendo publicada por fascículos con un análisis expositivo en el que da cuenta de los contenidos del último fascículo publicado y de las vías de inspiración de Darboux, a saber, la escuela geométrica italiana. En cuanto a la segunda, una obra célebre en su día por ser una de las primeras construcciones estrictamente geométricas que recogían la geometría de dos y tres dimensiones como caso particular y que ofrecía un estimulante panorama de problemas abiertos, García de Galdeano explicó con cierto detalle el contenido de los capítulos de la primera parte de la obra, dejando la segunda para un futuro que nunca llegó.

En el terreno del álgebra y la teoría de números, además de dar a conocer en España textos algebraicos de procedencia británica, como el de Salmon, que mejoraban los de uso habitual, cabe destacar la recensión de la Introduction à l’étude de la théorie des nombres et de l’algèbre supérieure, de Borel y Drach, obra redactada sobre la base de las lecciones del futuro catedrático de historia de las matemáticas de la Sorbona, Jules Tannery, como texto de proyección superior cuya primera parte, redactada por Borel, desarrolla la teoría de números y la segunda, debida a Drach, constituye un curso de teoría de grupos. En el nivel superior de las recensiones de la segunda serie de la revista destaca la de la segunda edición del Álgebra de Weber –aparecida en 1896 y traducida al francés en 1898–, y entre las reseñas de libros españoles hay que hacer constar la del curso que sobre resolución de ecuaciones y teoría de Galois diera Echegaray en el Ateneo de Madrid que, según García de Galdeano, asestó “el primer golpe a nuestras inveteradas ruinas”.

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La pasión por el análisis le entró a García de Galdeano tras la definitiva desaparición de su revista, pero aún así cabe destacar las recensiones de obras de importancia histórica absoluta, como la Theorie der Transformationsgruppen de Sophus Lie, las Lezioni di Analisi Infinitesimale de Giuseppe Peano, las Leçons sur fonctions entières y sur la théorie des fonctions – esta última reseñada menos de un año después de su publicación en 1898–, entre otras.

En definitiva, como escribiera Laisant9, director de L’Enseignement Mathématique, con El Progreso Matemático García de Galdeano emprendió en España la misma preciosa tarea que para la enseñanza y para la ciencia llevó a cabo Gerono en Francia con la creación en 1842 de los Nouvelles Annales de Mathématiques.

7. Conclusión: Esforzado Paladín de la Matemática Moderna10

Finalmente, algunos detalles permitirán situar mejor la obra de García de Galdeano que, como puede apreciarse a primera vista, fue un matemático con tendencia a la totalidad y con un acusado tropismo hacia los planteamientos de síntesis. Desde el punto de vista de las parcelas estudiadas y cultivadas es evidente que no rechazó rama alguna de lo que desde hace tres siglos se llama matemática pura. Escribió sobre álgebra, geometría y análisis por periodos sucesivos, y sus libros y


9 El Progreso Matemático, 3 (1893), p. 28.

10 La expresión es de su discípulo Julio Rey Pastor en la “Dedicatoria” de su Introducción a la matemática superior. Estado actual, métodos y problemas, publicada en Madrid en 1916. La obra fue reeditada en 1983 por el Instituto de Estudios Riojanos con motivo de la celebración del I Simposio sobre Julio Rey Pastor.


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artículos contienen elementos que demuestran la progresiva extensión y profundidad de sus conocimientos.

Otro aspecto, inusual entre los matemáticos españoles de todos los tiempos, es su preferente atención a los problemas sobre metodología y teoría de las matemáticas. Una importante parcela de sus escritos la ocupan los aspectos relativos a la enseñanza y a la didáctica de las matemáticas, tanto en sus aspectos institucionales, como en los referentes a la organización de los estudios y planteamientos programáticos.

Pero García de Galdeano no sería más que un trabajador benemérito o una gloria regional si la relación de trabajos mencionada careciese de interés intrínseco. Desgraciadamente, ésa fue la aproximación más habitual a su figura desde los primeros años del siglo XX, cuando ya era suficientemente conocido por haber dirigido El Progreso Matemático y por sus tratados de álgebra, geometría y análisis: alabar su esfuerzo con cierto retintín implícito que en determinados ambientes tiene una explícita lectura, a saber, cuando se alaba mucho el trabajo es que tiene poco que encomiar el talento. Salvo Rey Pastor, algunos otros colegas españoles y extranjeros y alumnos de la época, pocas personas se molestaron en leer las obras de García de Galdeano a la hora de emitir un juicio sobre ellas. Y, por tanto, ante la evidencia del volumen de producción, decidieron encomiar la capacidad de trabajo mejor que los contenidos, limitándose en este aspecto a copiar los comentarios que el propio Rey Pastor hiciera en el Discurso Inaugural de la Sección de Matemáticas del Congreso de Valladolid de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias (Rey Pastor, 1915). Y es que, históricamente, vivir en provincias ha sido casi siempre en España una dura prueba para los intelectuales que han querido ejercer de tales. Y lo ha sido tanto en lo que afectaba a su existencia material como a la posteridad. García de Galdeano no fue una excepción a esta regla y, de hecho, cabe afirmar que su obra, nacida en su práctica totalidad en diferentes puntos de la periferia intelectual española y, en su inmensa mayoría, en la capital aragonesa, no fue conocida –ni reconocida– ni en sus días ni posteriormente en la medida que el esfuerzo y la calidad de su trabajo requerían. Tan sólo al final de su vida, a los setenta años, sus colegas matemáticos acogieron la idea de elegirle Presidente de la Sociedad Matemática Española en una de las más graves crisis que sacudieron el nacimiento de dicha Sociedad –con motivo de la inminente suspensión de la publicación de la Revista de la Sociedad Matemática Española (1916) –, y salió del ostracismo provinciano a que fue condenado por obra y gracia de la peculiar ordenación académico-administrativa de la Universidad española porque su más notable discípulo, Julio Rey Pastor, decidió que así ocurriera. Tan sólo recientemente, al llevarse a cabo la revisión sistemática de la ciencia española del período anterior a la Guerra Civil, la figura de García de Galdeano ha aparecido con toda su potencia y se ha emprendido la prolija tarea de relectura y análisis de sus escritos11.

Mas García de Galdeano no es, en la historia de la matemática española, únicamente un honrado trabajador. García de Galdeano es en toda la dimensión de la palabra un matemático de su tiempo y, en lo que respecta a España, un protagonista imprescindible para explicar la evolución y situación de las matemáticas en España en los años anteriores a la Guerra Civil (1936-39). Y lo es porque en la peculiar cruzada que sostuvo contra el atraso optó por un criterio sensato: es mejor importar ideas poderosas que inventar estupideces12. De manera que se ha dicho, un poco apresuradamente, que García de Galdeano no fue un creador. Es una verdad a medias, porque si bien sus preocupaciones fundamentales en estricta ciencia positiva estuvieron más próximas al trabajo de importar lo mejor y más moderno, en lo que fue su especialidad, la crítica matemática, sí que fue un hombre original y


11 Un desarrollo exhaustivo se encuentra en (Hormigón, 1982).

12 García de Galdeano, Z. (1913). Sumario de mis Cursos de Cálculo Infinitesimal, con arreglo al Nuevo Método de Enseñanza, Zaragoza: Emilio Casañal, p. 29.


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descollante, que transmitió ideas profundas, plenamente insertas en el proceso de cambio de paradigma, lo que confiere especial mérito y relevancia a su labor de selección doctrinal en el proceso de importación y modernización. Pero el caso es que García de Galdeano, como Cajal, apostó por romper “la cadena de hierro de nuestro atraso” por “el anillo docente”, y en esta política de modesto desgaste y de poca vistosidad de cara a la posteridad invirtió buena parte de su tiempo, y no sólo de su tiempo: para ejemplo de científicos de todas las generaciones quedarán las lapidarias frases de su Hoja de Méritos y Servicios:

Me he gastado próximamente 7.000 duros en mi Biblioteca Matemática (mi arsenal). (Me he gastado próximamente) 7.000 (duros) en mis publicaciones de propaganda. Y vivo con privaciones que otros no tienen13.

Su jubilación en 1918 puso punto y final a 48 años de vida profesional intensa y entregada a la causa del progreso matemático en España, que para García de Galdeano fue mucho más que el título de su revista. Murió en Zaragoza en 1924.


Principales Obras de García de Galdeano14

Complemento de la geometría elemental o crítica geométrica, Madrid, Gregorio Juste, 1881.

Geometría Elemental, 1ª ed., Madrid, Gregorio Juste, 1882.

Geometría Elemental, 2ª ed. considerablemente corregida y aumentada. Toledo: Menor Hermanos, 1888.

Tratado de Álgebra (Parte Elemental). Toledo: J. Peláez, 1883.

A P E

R T

U R

A

Tratado de Álgebra con arreglo a las teorías modernas (Parte segunda). Toledo: J. Peláez, 1886.

Crítica y síntesis de Álgebra. Toledo: J. Peláez, 1888.

Geometría General. Parte 1ª. Zaragoza: Carlos Ariño, 1892.

Geometría General. 2ª parte. Zaragoza: Carlos Ariño, 1895.

Las modernas generalizaciones expresadas en el álgebra simbólica, las geometrías no euclídeas y el concepto de hiperespacio. Madrid: Imprenta de Idamar Moreno, 1896.

Estudios de crítica y pedagogía matemática. Zaragoza: Emilio Casañal, 1900.

Tratado de Análisis Matemático, 5 vols. Zaragoza: Emilio Casañal, 1904-1905.

Teoría de las ecuaciones diferenciales. Libro 1º. Zaragoza: Emilio Casañal, 1906.

Exposición sumaria de las teorías matemáticas. Zaragoza: Emilio Casañal, 1907.

13 El salario anual de un Catedrático de Universidad no superaba los mil duros.

14 Véase la relación completa en (Hormigón, 1983, pp. 45-47).



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Ensayos de síntesis matemática y Nuevo Método de Enseñanza Matemática. Zaragoza: Emilio Casañal, 1910.

Nuevo Método de Enseñanza Matemática. Zaragoza: Emilio Casañal, 1911.

Sumario de mis Cursos de Cálculo Infinitesimal, con arreglo con arreglo al Nuevo Método de Enseñanza. Zaragoza: Emilio Casañal, 1913.

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P

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Rey Pastor, J. (1916). Introducción a la matemática superior. Estado actual, métodos y problemas. Madrid: Biblioteca Corona.

Elena Ausejo, Doctora en Ciencias Matemáticas, es Profesora de Historia de la Ciencia en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, Directora de LLULL, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, y Secretaria de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas. Email: [email protected]





A Fernando Castro, el “ARRIERO”. In memoriam

Nelly León (Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico Maturín. Venezuela)

Fecha de recepción: 20 de octubre de 2009 Artículo solicitado a la autora por la revista

El 7 de octubre pasado, sin siquiera presentirlo, partió Fernando Castro, pero hombres como él permanecerán por siempre en nuestro pensamiento y en estas líneas lo recordamos en varias facetas de su ser.

Fernando-hombre

Nació en Iquique, Chile, hace 61 años. Se casó con Gloria y de esa unión nacieron sus tres hijos: Fernando, Alejandro y Daniel. Hombre correcto, generoso, infatigable, de fino humor. Especie rara para los estándares de vida actuales: no usaba reloj –pero siempre llegaba puntualmente a todos sus compromisos–; no poseía teléfono celular –pero era fácilmente localizable–; no tenía computadora en su casa –pero mantenía comunicación con muchas personalidades del ámbito de la Educación Matemática en distintas partes del mundo y siempre estaba al tanto de los avances en la investigación en nuestra área (¡Para eso están los Cybers!) – El don de gente de este hombre llenó profundamente a las personas que le conocían por eso siempre estará en nuestros corazones.

A Fernando Castro, el “ARRIERO”. In memoriam N. León

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Fernando-profesor

Se graduó de profesor de Matemática en la Universidad de Chile y de Magister en Matemática en la Universidad Técnica del Estado. Se desempeñó como docente en su Chile natal hasta que la situación política después del golpe de Estado propiciado por Pinochet y que condujo a esa nación a una de las más férreas y prolongadas dictaduras, lo obligó a refugiarse en Venezuela, país que abrió sus brazos para acoger a hermanos que como Fernando vinieron a participar en distintos ámbitos de la vida nacional, entre ellos la educación. Llegó en el año 1976 al Instituto Pedagógico de Maturín con su saber matemático, su saber didáctico y esa forma especial de ponerlos a disposición de sus estudiantes y colegas. Predicador incansable del aprender haciendo, estimulaba a sus alumnos a explorar, a comprometerse con su propia formación. A ratos, regañón, sobre todo cuando veía que sus discípulos no daban todo lo que podían, sino que esperaban sólo recibir. Esos regaños continuarán por siempre resonando como motivación a la acción en nuestras aulas universitarias.

Fernando-investigador

La investigación fue para Fernando una forma de vida académica. A través de la indagación innovaba continuamente en su quehacer pedagógico. Seguidor del pensamiento de Ubiratán D’Ambrosio quien lo inspiraba en muchos de los trabajos sobre cultura y educación y sobre los modos autóctonos de hacer matemática. Fernando viajó por el mundo pregonando sus hallazgos, difundiendo lo que en materia de investigación en Educación Matemática llevaba a cabo, enarbolando las banderas de sus dos países: Chile y Venezuela. Su quehacer investigativo fue reconocido en diversas oportunidades: se le otorgó el Premio a la Labor Investigativa por la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, institución donde laboró formalmente hasta su jubilación en el año 2004 y de manera ad hoc hasta su reciente partida; igualmente recibió la distinción del Programa de Promoción a la Investigación (PPI), y el premio CONABA del beneficio académico. Pero, el reconocimiento que más satisfacción le producía era el haber sido oficialmente nombrado “ARRIERO” de las generaciones de relevo, título bien conferido pues él se abocó a la formación académica e investigativa de los nuevos profesionales de Educación Matemática y hasta de otras disciplinas que ingresaban a la Institución.

Desde su eterna morada, sabemos que Fernando estará pleno de su obra porque el legado que ha dejado, su sencillez y amor trascenderán por siempre las barreras del tiempo.





Apolonio, Descartes y Steiner en un apretado envase de palmitos

Carlos Cortínez Núñez (Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño. Maturín-Venezuela) Carlos Cortínez Torres (Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Maturín-Venezuela)

Fernando Castro Gutiérrez (Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Maturín-Venezuela)

Fecha de recepción: 22 de diciembre de 2008 Fecha de aceptación: 24 de noviembre de 2009

Resumen En este trabajo se intenta mostrar las potencialidades de la geometría de lo cotidiano para el desarrollo de proyectos educativos. Se examinan algunas experiencias reportadas en la literatura (Balbuena, 2000; Alsina, 2005; Romero y Castro, 2008). Luego se hace un recuento de las posibles vías – de carácter histórico y matemático – que se abren al examinar la disposición del contenido de un envase de palmitos. Una exploración – buscando una configuración rígida de los palmitos – lleva a las figuras y a algunos de los aportes geométricos de Apolonio, Descartes y Steiner. El estudio revela una rica variedad de exploraciones que pueden realizarse – a partir de la geometría de lo cotidiano – con estudiantes de Educación Media y también con futuros profesores de Matemática.

Palabras clave Exploración Matemática, Metodología de Proyectos, Formación de Profesores.

Abstract In this paper we tray to show the richness of the everyday geometry for the development of educational projects. We review some experiences from de literature (Balbuena, 2000; Alsina, 2005; Romero and Castro, 2008). Then we show severally historically and mathematically teaching paths that arise by looking the geometrical configuration in a hart of palm can. The searches of a rigid configuration lead us to the Apollonius, Descartes and Steiner geometrical works. This study reveals a wide variety of possible explorations that can be developed by high school students and future math teachers.

Keywords Mathematical Explorations, Project Method, Teacher Training.

1. Introducción

Una de las aspiraciones de la Educación Matemática es lograr que los estudiantes tengan la oportunidad de “hacer” Matemática, esto es explorar, experimentar, conjeturar, resolver y plantear nuevos problemas , además de desarrollar la capacidad para argumentar y demostrar (NCTM, 2000, pág. 57). La formulación de proyectos a partir de la geometría de lo cotidiano- en el sentido que le da Alsina ( 2005 ) - permite al estudiante tener contacto con la exploración de situaciones-problemas y la modelización matemática .Este último proceso está concebido como la traducción de una situación problema, de cualquier área del conocimiento, a un lenguaje matemático. (Biembengut, 1998)

Apolonio, Descartes y Steiner en un apretado envase de palmitos C. Cortínez Núñez, C. Cortínez Torres, F. Castro Gutiérrez

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2. Algunas experiencias

En Iberoamérica son particularmente interesantes los proyectos en torno a la geometría de lo cotidiano desarrollados por Luis Balbuena con estudiantes de Educación Media. En algunos de sus trabajos los estudiantes han extraído elementos matemáticos presentes en la arquitectura del casco histórico de la ciudad de La Laguna en Tenerife, España. En otra experiencia un grupo de estudiantes exploró intensamente la geometría presente en unas piezas decorativas de construcción llamadas celosías. En Maturín, Venezuela dos futuros profesores de Matemáticas José Parra y Ana Figueroa (Parra y Figueroa, 1998) desarrollaron un proyecto identificando las transformaciones geométricas plasmadas en los diseños artesanales de las rejas antiguas de la ciudad.

Muchos envases de productos de uso o consumo diario presentan en su estructura una gran riqueza geométrica. Alsina (2005) - quien acuñó la expresión “la geometría de lo cotidiano” - ha compendiado y analizado interesantes situaciones observables en envases y empaques.

3. Geometría en la disposición de los palmitos en un envase

Al intentar vaciar el contenido de un envase de palmitos - obtenidos de la palma de la especie Bactris gasipaes - se observó que dos de ellos no salían del contenedor. Un examen más detallado reveló que estábamos en presencia de lo que se llama una configuración rígida de dos palmitos. La búsqueda de condiciones para lograr una disposición rígida de tres palmitos nos llevó a interesantes tópicos y épocas de la Geometría y a algunos aspectos de Matemática discreta y de funciones de variable compleja. En lo que sigue se señalan algunos de los abordajes del problema y sus posibles conexiones con el aula.

4. Un primer intento utilizando lugares geométricos

Es inmediato constatar que para insertar dos palmitos de modo tal que ellos constituyan una configuración rígida, debe ocurrir que la suma de sus diámetros sea igual al diámetro del envase.

Fig. 1

Veamos ahora cómo insertar tres palmitos tangentes dos a dos y tangentes al envase sin pensar todavía en la exigencia adicional de rigidez de la disposición. Diremos que tres discos, tangentes dos a dos y tangentes a un disco C que los contiene forman una configuración rígida si los puntos de



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tangencia con el disco C forman un triángulo rectángulo o acutángulo, lo cual obliga a que el centro del disco-envase, esté en el interior del triángulo o en uno de sus lados.

Fig. 2 Configuración rígida Fig. 3 Configuración no rígida

La situación expuesta permite plantear algunas modelaciones en el aula para confirmar y justificar lo anterior

Aunque nuestro problema se puede enunciar en términos de los discos determinados por las secciones de los palmitos y el envase, volveremos siempre a los palmitos para no perder el sabor inicial del mismo. Después de insertar un primer palmito tangente al envase notamos que existen infinitas parejas de palmitos de diferentes radios, tangentes entre sí, tangentes al primer palmito y al envase. Además los centros de estas parejas están sobre una curva cerrada. Se trata del lugar geométrico (L.G.) de los centros de los discos tangentes al envase y al disco ya insertado. No es difícil concluir que ese lugar geométrico describe una elipse. En efecto: denotemos por P el centro del disco-envase y por R su radio, por Q el centro del primer disco-palmito insertado y por r su radio. Si X es el centro de un disco de radio x, tangente al disco-envase y al disco-palmito ya insertado, este punto debe cumplir:

rRxrxRXQdXPd

+=++−=+ )()(),(),(

Fig. 4




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Esto es, la suma de distancias de P a X y de Q a X es constante, así el lugar geométrico buscado es una elipse, cuyos elementos son simples de describir.

Ahora queremos determinar el lugar geométrico de los centros de los discos tangentes a dos discos interiores tangentes entre sí y tangentes al envase. Supongamos que uno de los discos tiene centro en Q y radio R y el otro tiene centro en S y radio r. Si P es un punto del L.G. buscado debe cumplirse que:

rRSPdQPdrSPdRQPd

−=−−=−

),(),(),(),(

Fig. 5

De esta expresión se infiere que la diferencia entre las distancias de P a Q y de P a S permanece constante, luego el L.G. buscado es una hipérbola cuyos elementos, al igual que los de la elipse anterior, son sencillos de describir.

Finalmente, la intersección de la rama de la hipérbola que pasa por el punto de tangencia de los dos discos iniciales con la elipse permite conocer dos puntos que son los centros de circunferencias tangentes a los otros dos discos y al disco exterior. Por lo menos una de estas circunferencias formará una configuración rígida junto a las dos primeras. Las razones pueden ser desarrolladas por el lector, utilizando las propiedades que poseen los cuadriláteros inscritos en una circunferencia.

5. Algunas actividades en el aula

El problema de insertar discos de igual radio en un disco dado, puede generar una interesante actividad en el aula de bachillerato, que se puede iniciar, insertando en primer término dos discos; luego tres, cuatro y así sucesivamente. Estas actividades requieren desarrollar cálculos algebraicos derivados de la aplicación de la proporcionalidad de segmentos y construcciones con regla y compás. Para realizar esta última acción, el estudiante debe utilizar información acerca de longitudes de los lados de polígonos regulares inscritos en una circunferencia dada.



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Esta actividad realizada con futuros profesores puede dar lugar a una discusión sobre la posibilidad de generalizar estos problemas y analizar la constructibilidad de estos discos con regla y compás.

6. Soluciones de la mano de la historia

Es muy probable que las plantas envasadoras de palmitos no sigan la vía que hemos expuesto .Por ello continuando nuestra búsqueda de soluciones al problema nos encontramos con los valiosos aportes de Apolonio de Pérgamo (262 al 190 a.C.), quien en su obra Tangencias expone “Los Diez Problemas de Contacto de Apolonio”. ¿Qué se plantea en esos problemas? Consideremos tres tipos de objetos que pueden ser puntos (P), rectas (L) y circunferencias (C). Se trata de trazar, con regla y compás, una circunferencia tangente a tres de esos objetos, entendiendo que una circunferencia es tangente a un punto si éste se encuentra sobre la circunferencia. Es claro que hay diez situaciones posibles que representaremos simbólicamente como: PPP; PPL; PLL; LLL; PPC; PCC; LLC; LCC; LPC y CCC. Observe que algunos de los problemas expuestos son de fácil construcción, otros no, requieren el uso ya sea de la homotecia o de la inversión geométrica. Se cree que el último problema- muy próximo a la situación problema que hemos venido abordando- donde se propone construir una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas, no fue del todo estudiado por Apolonio. Siglos más tarde, René Descartes (1586 – 1650), analiza y discute este problema de contacto a tres circunferencias, y resuelve el caso en que las tres circunferencias son tangentes dos a dos, estableciendo además una bella relación entre sus curvaturas, esto es los valores recíprocos de sus radios. Si a, b c representan las curvaturas de tres circunferencias, entonces la curvatura d de la cuarta circunferencia tangente a las tres anteriores satisface la siguiente relación:

22222 )()(2 dcbadcba +++=+++

Por convención, cuando un disco es contactado desde su interior se dice que su curvatura es cóncava y a tal curvatura se le asocia un valor negativo

Una vía, utilizando herramientas geométricas sencillas para establecer la relación anterior, viene dada por los siguientes pasos, en donde p, q, r representan los radios de tres círculos dados y s el radio del cuarto:

- Establecer que la longitud de una de las tangentes exteriores a las circunferencias de radios p y q respectivamente es igual a pq2

- Dadas dos circunferencias exteriores de radios p y q y una tercera circunferencia de radio r,

tangente exteriormente a las dos anteriores. Establecer la siguiente relación: donde X, Y son los puntos de tangencia de la tercera circunferencia con las dos primeras y PQ es la longitud de la tangente exterior a las dos primeras circunferencias.

222

))((PQ

qrprrXY ×

++=

- Consideremos las tres circunferencias tangentes dos a dos. Establecer que el radio s de una

cuarta circunferencia tangente a las otras tres es:




30

)(2 rqppqrqrprpqpqrs

+++++=

- Por último haciendo ,1,1,1 rcqbpa === y sd 1= se obtiene la relación de

Descartes.

Además, se establece que en el plano es imposible situar más de cuatro discos de forma tal que cada uno toque a los demás, siendo tangentes cada par de discos en puntos diferentes, planteándose así dos posibilidades gráficas: tres de ellas rodean a una menor, o bien una de ellas rodea a la otras tres, esta última configuración corresponde a nuestro problema inicial

Fig. 6

Frederick Soddy, premio Nóbel de Química (1921) por sus investigaciones vinculadas al estudio de isótopos, redescubre y profundiza el resultado de Descartes y lo generaliza a cinco esferas en el espacio. En el volumen 137 de la revista científica Nature publicada en 1936 se encuentra un poema de su autoría, de título El Beso Exacto, describiendo los anteriores hechos geométricos.

“Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin Trigonometría; más ¡Ay!, no sucede igual en Geometría, pues si cuatro círculos tangentes quieren ser y besar cada uno a los otros tres, para lograrlo habrán de estar los cuatro o tres dentro de uno, o alguno por otros tres, a coro rodeado. De estar uno entre tres, el caso es evidente pues tres veces son besados todos desde afuera, Y el caso tres en uno no es quimera, al ser este uno por tres veces besado internamente” “Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro Aunque este enigma a Euclides asombrara,



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ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma”

Es habitual, en la literatura asociada a este tema, llamar a los dos círculos que son besados uno internamente y el otro externamente por los otros tres círculos, círculos de Soddy.

La fórmula de Descartes nos indica que hay una infinidad de soluciones al problema de los tres palmitos. Además si el disco exterior y el más pequeño permanecen fijos hay una infinidad de configuraciones o collares con una propiedad: la suma de las curvaturas de los tres discos tangentes dos a dos permanece constante. Para constatar esto último basta despejar d en la fórmula antes mencionada y sumar las dos soluciones.

Examinemos una situación particular, pero de singular riqueza, para ser desarrollada en el aula, utilizando la fórmula de Descartes. Consideremos un disco inicial de radio 1 y pongamos dentro de él dos discos de radio 2

1 . Luego las curvaturas de los tres discos son 2,1 ==−= bac . Reemplazando esos valores en la fórmula de Descartes obtenemos una ecuación cuadrática cuya solución es 3, siendo la curvatura de un cuarto disco de radio 3

1 , tangente tanto al disco inicial como a los dos discos de curvatura 2 .Por simetría se puede ubicar un segundo disco de curvatura 3.

Si continuamos con este proceso aritmético-geométrico, podemos determinar discos tangentes a los discos de curvaturas 2, 3 y -1, resultando un disco de curvatura 6. Reiterando este proceso hallaremos un disco de curvatura 15 tangente a los discos de curvaturas 2, 2 y 3, el cual generará tres familias que nacen de discos de curvaturas 35, 38, y 38 respectivamente como lo ilustra la figura 8, note que todos los valores de las diferentes curvaturas son números enteros, dejamos al lector la justificación de este hecho.

Fig. 7 Fig. 8

La situación anterior da origen a una estructura fractal, conocida como Gasket de Apolonio el cual admite generalizaciones en espacios de dimensiones mayores que 2.

Al dejar fijos, el disco exterior y uno más pequeño, interior, de modo tal que la distancia de los centros sea menor que la diferencia de sus radios, podemos construir también una familia de discos, el




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primero tangente a los dos discos, el siguiente tangente al anterior y tangente a los dos discos iniciales y así sucesivamente; si se llega a la situación en donde el último disco es tangente al primer insertado, se dice que esta familia de discos constituyen un collar o cadena de Steiner (Jakob Steiner 1796-1863).

Fig. 9

La literatura especializada, cuando se refiere a la situación anterior, usa la expresión porismo de Steiner La palabra porismo tiene varias acepciones, Pappus de Alejandría señala que el porismo tiene características de teorema - porque se propone algo por demostrar - y también de problema porque en el porismo se propone alguna construcción (Boyer ,1968).

El porismo de Steiner afirma: Dados dos discos uno interior al otro, independientemente de donde empecemos, siempre conseguimos un collar de Steiner o nunca lo hacemos. Esto es, para dos circunferencias dadas una interior a la otra entonces no existe un collar de Steiner, o bien existen infinitos collares.

En el caso particular de dos circunferencias concéntricas la mayor de radio R y la menor de radio r se tiene el siguiente resultado, simple de deducir: Ellas poseen un collar o cadena de Steiner de n circunferencias si y sólo si:

rRrR

nsen

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

Y por lo tanto el porismo se cumple para esta situación.

Para establecer una demostración general del porismo de Steiner, en el caso de dos circunferencias una en el interior de la otra, se recurre a una excelente herramienta que se ubica tanto en el campo de la geometría como en el área de las funciones de variable compleja: a saber, la inversión, dicha transformación permite “poner concéntricas a dos circunferencias dadas”, reduciendo así el porismo al caso particular señalado anteriormente.

Por nuestra parte para cerrar este apartado acotamos que Seamus Bellew encontró una fórmula que generaliza la de Descartes para collares de n discos (Weisstein, 2009). El lector puede demostrar -utilizando la fórmula de Bellew- que la suma de las curvaturas de los discos del collar permanece constante. ¿Qué otras regularidades están presentes en una cadena de Steiner?



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7. A modo de cierre

Reiteramos que cada una de las actividades antes señaladas puede ser el inicio de una amplia exploración - dentro o fuera del aula - que rápidamente puede conducir a más interrogantes que permitan encontrar sorprendentes aplicaciones en variados temas matemáticos. Recomendamos al lector revisar los trabajos de Francisco Javier García Capitán, Silvana Marini Rodrigues Lopes y el sitio web de Eric W. Weisstein, http://mathworld.wolfram.com

Bibliografía

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Carlos Cortínez Núñez. Departamento de Ingeniería Electrónica del Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño. Maturín –Venezuela. Email: [email protected]

Carlos Cortínez Torres. Departamento de Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Maturín-Venezuela. Email: [email protected]

Fernando Castro Gutiérrez. Departamento de Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Maturín-Venezuela. Email: [email protected]



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Claudio Horacio Sánchez (Universidad de Flores. Buenos Aires - Argentina)

Fecha de recepción: 22 de septiembre de 2009 Fecha de aceptación: 14 de diciembre de 2009

Resumen Una de las características más notables de Los Simpson es la gran cantidad de “citas eruditas” que pueden encontrarse en sus episodios: a la historia, al arte, a la religión y también a la ciencia. Gran parte de estas citas y referencias tienen que ver con la matemática y sus distintas ramas. Este trabajo describe diez de las más notables citas matemáticas del programa. Pueden usarse en clase para despertar la atención de los estudiantes al introducir ciertos temas o simplemente por su belleza e interés intrínsecos.

Palabras clave Divulgación, Los Simpson y las matemáticas.

Abstract One of the most remarkable characteristics of The Simpsons is the great amount of “erudite quotes” that can be found in its episodes: to history, art, religion and science. A great part of these quotes or references are related to Mathematics. This work describes ten of the most remarkable mathematical references in the show. They can be presented in class to awake students' attention when introducing certain themes or simply for their intrinsic beauty and interest.

Keywords Divulgation, The Simpsons and Mathematics.


Además de ser declarada “la mejor serie de televisión de todos los tiempos”, Los Simpson se destacan por la cantidad de “citas eruditas” que presenta cada episodio. Al arte, a la historia, a la literatura y también a la ciencia. De hecho, muchos de los guionistas y productores de Los Simpson tienen títulos universitarios en diversas ramas de la ciencia: hay físicos, matemáticos, ingenieros y hasta un profesor de la universidad de Yale.

En 2007, en medio de la manía desatada por el estreno de la película de Los Simpson, la centenaria revista Nature, una de las más prestigiosas del mundo, publicó un ranking con los mejores momentos científicos de la serie. El que sigue es nuestro propio ranking, formado exclusivamente por momentos matemáticos.

1 - Homero3 – Especial de noche de brujas VI

A través de una discontinuidad en el espacio tiempo, Homero pasa a la tercera dimensión (él es un dibujo de dos dimensiones). El universo 3d aparece como un escenario para la película Tron, rodeado de figuras geométricas y fórmulas matemáticas. Una de esas fórmulas es

Los diez mejores momentos matemáticos de Los Simpson C. H. Sánchez

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178212 + 184112 = 192212 que, de ser cierta, violaría el Último Teorema de Fermat, demostrado en 1995, tres siglos después de ser enunciado.

Figura 1: Homero y el último teorema de Fermat

En realidad, la igualdad es aproximada: hay una diferencia a partir de la décima cifra significativa. Pero, haciendo la cuenta en una calculadora común, la fórmula parece verdadera. Además, el episodio se estrenó en octubre de 1995, cuando la demostración del teorema aún no estaba totalmente reconocida.

Este “contraejemplo” fue obtenido con un programa escrito por David Cohen, guionista de Los Simpson y Master en Computación por la Universidad de Berkeley. El programa, escrito en lenguaje C, puede obtenerse en: www.mathsci.appstate.edu.

2 - Para, o mi perro dispara

Este es el episodio en que el perro de Los Simpson ingresa a la academia de policía. Al comienzo del capítulo la familia se pierde en un laberinto de maíz del que logran salir gracias a Lisa que dice “les dije que podríamos salir aplicando el algoritmo de Tremaux”.

Efectivamente, este algoritmo es un método para salir de laberintos y fue desarrollado por un ingeniero francés de apellido Tremaux. Consiste, básicamente, en marcar cada camino que se toma y no tomar el mismo camino más de dos veces. El método garantiza que recorreremos todo el laberinto y, tarde o temprano encontraremos la salida. Si el laberinto no tiene salida, regresaremos al punto de entrada.

El algoritmo de Tremaux se parece bastante al que trata de aplicar el protagonista de El nombre de la rosa cuando se pierde entre las salas de la biblioteca de la abadía: él también habla de hacer marcas sobre los caminos. Sin embargo, el algoritmo de Tremaux fue enunciado en 1832, mientras que la novela de Umberto Eco transcurre en el siglo XIV.

3 - Marge en cadenas

Con la familia enferma, Marge hacer una visita al Kwik E Mart y olvida pagar una botella de licor, por lo que la acusan de robo y es llevada juicio. El principal testigo en su contra es Apu que, para demostrar su buena memoria dice que puede recitar pi con cuarenta mil decimales. Y aclara: “el último dígito es uno”. Al Jean, uno de los guionistas de este episodio y que además es licenciado en matemática por la Universidad de Harvard, dice que consultaron al Instituto Tecnológico de California



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para confirmar este dato. (Mientras tanto, la mención del número pi hace babear a Homero: en inglés, pi se pronuncia como pie, pastel)

Figura 2: Apu y los decimales de π Figura 3: Homero se babea con π

4 - Los motivos del abusón

Una nueva alumna llega a la escuela primaria de Springfield. Por alguna razón, la recién llegada es extremadamente violenta y Lisa decide preguntar porqué. En la versión original Nelson dice que preguntar eso “es como preguntar por la raíz cuadrada de un millón. Nadie nunca lo sabrá”.

La raíz cuadrada de un millón es mil, lo que no tiene nada de misterioso. La observación de Nelson es mucho más interesante en la versión en español, donde se refiere a la raíz cuadrada de dos. Siendo un número irracional, la raíz cuadrada de dos tiene infinitos dígitos y, efectivamente, nadie nunca podrá conocerlos a todos.

Figura 4: Nelson y la raíz cuadrada de 2

5 - Última salida a Springfield

Homero es elegido delegado sindical por sus compañeros de la planta nuclear de Springfield y, en tal carácter, es invitado por el Sr. Burns a conocer su mansión. Entre las extravagancias que exhibe Burns, figura una habitación con mil monos en sendas máquinas de escribir. Burns explica que esos monos escribirán la mejor novela de todos los tiempos. Levanta la hoja de una de las máquinas y lee: “Era la mejor y la pleor de todas las épocas…” que, con un pequeño error, corresponde al comienzo de Historia de dos ciudades, de Dickens.




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Esto alude a un famoso enunciado, vinculado al cálculo de probabilidades: si un millón de monos aporrearan al azar un millón de máquinas de escribir, al cabo de un millón de años habrán escrito todas las obras de Shakespeare. Efectivamente, la cantidad de libros que se pueden escribir, dadas todas las combinaciones de letras en un volumen típico, es limitada. Dado el tiempo suficiente, cualquier dispositivo que genere combinaciones de letras al azar, necesariamente generarán todos los libros posibles, incluso los que aún no se han escrito.

Este problema fue realmente llevado a la práctica en julio de 2003, con un programa que simulaba la acción de los monos. Más de un año después, el programa produjo un pequeño fragmento, de veinticuatro letras, de Enrique IV.

Figura 5: El teorema del millón de monos

La idea de que hay un número finito de libros posibles es la base de La biblioteca de Babel, de Jorge Luis Borges. Esta biblioteca contiene todos los libros que se pueden escribir con veinticinco letras en 410 páginas. Y, necesariamente, contendrá todas las obras de Shakespeare, incluso las que se pudieran haber perdido.

6 - Springfield próspero o el problema del juego

Henry Kissinger (secretario de estado de Estados Unidos durante las presidencias de Nixon y Ford) visita la planta nuclear de Springfield, donde pierde sus anteojos. Estos aparecen en el baño de la planta y Homero los encuentra y se los pone. Con aspecto de intelectual, recita: “La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triangulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante”. Desde uno de los compartimientos una voz corrige: “¡Eso es el triángulo rectángulo, idiota!”.

En realidad, el enunciado es falso en ambos casos. Homero parece estar recitando un mal aprendido Teorema de Pitágoras (en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa).

7 - Artie Ziff viene a cenar

En la introducción de este episodio la cámara se aleja desde el living de la familia y, mientras se eleva, se eleva y se eleva, vemos la ciudad, el país, el planeta, el sistema solar hasta llegar a las galaxias. Luego, de alguna manera, las galaxias se convierten en átomos, luego en moléculas, en ADN, en células hasta regresar a la cabeza de Homero.

Esta introducción es una parodia al cortometraje Potencias de diez, que muestra los distintos cambios de escala desde los átomos hasta las galaxias.

8 – Bart es un genio

Bart trata de resolver un problema de aritmética acerca de dos trenes y pasajeros que suben y bajan de ellos. La maestra le dice que “visualice” el problema. Y eso es lo que hace Bart: ve los trenes en su imaginación, con números encima de los pasajeros y ecuaciones que los rodean. En un momento



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aparece el inspector que le pide a Bart el boleto. Como no lo tiene, pregunta su precio, a lo que el inspector le responde con otro problema de matemática: “dos veces la tarifa de Tucson a Falstaff, menos dos tercios de la tarifa de Albuquerque a El Paso. ¡Ja-Ja-Ja!”.

Finalmente los trenes chocan, arrojando a Bart por los aires.

9 - Juego de parejas con Marge y Homero

Sobre el final de este episodio Homero debe adivinar la cantidad exacta de asistentes a cierto partido de béisbol. Las opciones son 8191, 8128 y 8208. Todos estos números son notables desde algún punto de vista.

8191 es igual a 213–1, por lo tanto es un primo de Mersenne, un número primo de la forma 2n–1.

8128 es el cuarto número perfecto, igual a la suma de sus divisores: 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064. Los tres primeros son 6, 28 y 496.

8208 es un número “narcisista de cuarto orden”. Esto quiere decir que es igual a la suma de las cuartas potencias de sus dígitos. Solamente hay tres números de este tipo.

10 - Edna especial

La maestra Krabbappel es nominada al premio de Maestra del año. Al final pierde el premio a manos de “Julio Estudiante, por haber enseñado a los estudiantes que las ecuaciones diferenciales son más poderosas que las balas”.

Figura 6: La maestra Krabappel Figura 7: Jaime Escalante

Este “Julio Estudiante” alude a Jaime Escalante, un profesor de matemáticas boliviano que enseñaba en una escuela de los barrios bajos de Los Ángeles y que logró que sus alumnos destacaran en matemáticas compitiendo con estudiantes de las mejores escuelas del país.

La historia de Jaime Escalante se cuenta en la película Con ganas de triunfar, (título original: Stand and deliver, literalmente “póngase de pie y diga la lección”), filmada en 1984, con Edward James Olmos en el papel principal.

Las alusiones a cuestiones científicas en general, y matemáticas en particular, son aún más abundantes en Futurama, la tira hermana de Los Simpson. Por ejemplo, en Cuento de Navidad, nos enteramos de que el robot Bender (uno de los protagonistas) es el hijo 1729 de su madre. La elección




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de este número no es casual, ya que protagonizó una famosa anécdota que reúne al matemático inglés Hardy y su colega indio Ramanujan. En una ocasión, Hardy comentó que había tomado el taxi número 1729. “Un número bastante aburrido” agregó. “Por el contrario”, contestó Ramanujan. “Es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos, de dos maneras distintas”. Efectivamente, 1729 = 13 + 123 = 93 + 103. Ken Keeler, uno de los guionistas de este episodio y que además es doctor en Matemática Aplicada y Master en Ingeniería Electrónica por la Universidad de Harvard, dijo que este guiño matemático justifica todos sus años de estudios universitarios. Totalmente de acuerdo.

Figura 8: Bender 1729

Más artículos sobre la ciencia, Los Simpson y Futurama en: www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/futuro/13-1761-2007-08-11.html www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/futuro/13-1972-2008-08-03.html www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/futuro/13-2100-2009-02-28.html http://juegosdeingenio.org/archivo/678 www.neo.uol.com.ar/edicion_0006/seccion_03.htm http://criticadigital.com/impresa/index.php?secc=nota&nid=16172

Claudio Horacio Sánchez. Ingeniero Industrial, egresado de la Universidad de Buenos Aires. docente y divulgador científico. Ha publicado artículos en las revistas argentinas Novedades Educativas, Humor & Juegos, USERS, en el diario Página/12 y en las revistas españolas Espacio y Personal Computer & Internet. Ha dictado conferencias en la Biblioteca Nacional de la Argentina, el Planetario de la Ciudad de Buenos Aires, la Sociedad Científica Argentina, la Feria del Libro de Buenos Aires y en las Universidades de Buenos Aires, San Luis, San Juan y General Sarmiento (Argentina). Participa como columnista invitado en diversos programas de radio y televisión de Argentina y Uruguay. Email: [email protected]







Tania Elisa Seibert (Universidad Luterana de Brasil) Claudia Lisete Oliveira Groenwald (Universidad Luterana de Brasil)

Lorenzo Moreno Ruiz (Universidad de La Laguna) Rosa María Aguilar Chinea (Universidad de La Laguna)

Vanesa Muñoz Cruz (Universidad de La Laguna)

Fecha de recepción: 22 de octubre de 2009 Fecha de aceptación: 1 de diciembre de 2009

Resumen Este trabajo es parte de la investigación conjunta entre el Grupo de Estudios Curriculares en Educación Matemática (GECEM) de la Universidad Luterana de Brasil (ULBRA), Canoas, Rio Grande do Sul, y el grupo de Tecnologías Educativas de la Universidad de La Laguna (ULL), Tenerife, España. En este artículo se presentan los resultados de un estudio de caso sobre la construcción de conceptos lógico-matemáticos en cursos iniciales de Enseñanza Primaria en un niño con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari. Se desarrollaron sesiones de estudio con un Sistema Tutorial Inteligente (ITS) basado en metodologías borrosa y multiagente, a través de conceptos de cuantificación, clasificación, seriación y correspondencia término a término. Los datos se analizaron a través de un abordaje cualitativo, de cuño descriptivo, exploratorio y analítico.

Palabras clave Espina Bífida, conceptos lógico-matemáticos, sistema tutorial inteligente, inclusión.

Abstract This paper presents part of a joint research between The Curricular Study Group in Mathematics Education (GECEM), from the Lutheran University of Brazil (ULBRA), Canoas, Rio Grande do Sul, and the Educational Technologies Group from the La Laguna University (ULL), Tenerife, Spain, wich is the outcome of a scientific collaboration agreement between these universities. This article shows the results of a study case about the construction of logical-mathematical concepts in the early grades of elementary school of a child with Spina Bifida and Arnold Chiari Syndrome. Study sessions were developed with the software Intelligent Tutorial System (ITS) based on fuzzy and multiagent methodologies with the following concepts: quantification, classification, seriation and term by term correspondence. The data were analyzed through a qualitative approach, of descriptive, exploratory and analytic nature.

Keywords Spina Bifida, logical-mathematical concepts, Intelligent Tutorial System, inclusion.

1. Introducción

Al ser una estructura dinámica, la sociedad pasa constantemente por transformaciones en sus diferentes sectores; entre ellos, el educativo, que actualmente viene siendo marcado por un nuevo

Conceptos lógico-matemáticos en la Enseñanza Primaria en un niño con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari T. Seibert, C. Oliveira, L. Moreno, R. Aguilar y V. Muñoz.

42 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 73 marzo de 2010

paradigma en la educación de personas con necesidades educativas especiales1. Según Coll, Palácios, y Marchesi (2004), el alumno que presenta algún problema de aprendizaje a lo largo de su escolarización, exigiendo una atención más específica y mayores recursos educacionales que los que necesitan los compañeros de su misma edad, es un alumno con Necesidades Educativas Especiales (NEE).

Los Sistemas Tutoriales Inteligentes (ITS) surgen como un medio para proporcionar una mayor flexibilidad en la estrategia de aprendizaje y lograr una mejor interacción con el usuario. Con ellos se pretende capturar el conocimiento de los expertos, crear interacciones con los usuarios de forma dinámica, y poder tomar decisiones. Según Bruno Noda, A., Aguilar, R., González, C., Moreno, L., & Muñoz, V. (2006), un ITS es un software no conductista basado en un modelo educativo fundamentado en teorías constructivistas y de aprendizaje cooperativo/colaborativo.

El ITS usado en el presente trabajo, utiliza un planificador instruccional que combina las técnicas de lógica borrosa y tecnología multiagente (Aguilar, Muñoz, Noda, Bruno y Moreno, 2008) El ITS se compone de dos fases, en la fase 1 se trabaja la lógica y el concepto del número, y en la fase 2, los conceptos implicados en operaciones de adición y substracción con números de un dígito (Muñoz, 2007). El temario que se va a incorporar al ITS se ha dividido en objetivos, algunos de los cuales se trabajan de forma simultánea mientras que otros son prerrequisitos de sus sucesores. Es por ello que el ITS se estructura en las fases descritas anteriormente, que se caracterizan por un conjunto de objetivos que se trabajan simultáneamente. Cuando se cubre una fase, se pasa a la siguiente y en el caso de que no se avance en una fase, se permanece en ella o si los resultados no son los deseados se puede regresar a la predecesora (Aguilar Bruno, A., González, C., Moreno, L., Muñoz V., & Noda, A. (2003).

El presente trabajo exhibe los resultados de la investigación realizada en un niño con Espina Bífida, que cursa 2º de Primaria, utilizando la fase 1 del ITS con el objetivo de detectar las dificultades en el aprendizaje de conocimientos lógico-matemáticos y proveer de ayudas para la superación de las mismas.

El experimento realizado analiza los conceptos lógico-matemáticos de los cursos iniciales de Enseñanza Primaria, abarcando conceptos de cuantificación numérica, clasificación, seriación y correspondencia término a término.

Se justifica la importancia de este estudio con la necesidad urgente de dotar de subvenciones a los profesores de Matemáticas para la elaboración de recursos pedagógicos cuyo objetivo sea la superación de las dificultades de aprendizaje en Matemáticas, apoyándolos en la inclusión de alumnos con NEE en la clase.

La historia nos enseña la evolución del tratamiento de personas con algún tipo de discapacidad, desde la exclusión radical de las mismas, en la antigüedad, hasta los días de hoy, en que se tratan como un problema médico y social.

La gran transformación en el abordaje educativo de niños con NEE sucedió en 1994, a través de la Declaración de Salamanca. A partir de ese encuentro, empezaron a sucederse los cambios más significativos, ya que el encuentro en asamblea entre 88 gobiernos y 25 organizaciones internacionales, en Salamanca, entre los días 7 y 10 de junio de 1994, reafirmó el compromiso con la Educación para todos, a través del documento “Normas Uniformes sobre la Igualdad de Oportunidades

1 NEE


T. Seibert, C. Oliveira, L. Moreno, R. Aguilar y V. Muñoz

43Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 73 marzo de 2010

para las Personas con Discapacidad” (Unesco, 1994). El documento reconoce la necesidad y la urgencia de medidas en la educación de niños, jóvenes y adultos con necesidades educativas especiales dentro del sistema ordinario de enseñanza, defendiendo la idea de que los colegios ordinarios con orientación a la educación inclusiva son los más eficaces en el combate a actitudes discriminatorias, propiciando condiciones para el desarrollo de comunidades integradas, base de la construcción de una sociedad inclusiva y obtención de una educación real para todos.

La escuela ordinaria deberá, por tanto, adaptarse a ese cambio. Los planes deberán favorecer acciones centradas en el niño, capaces de satisfacer sus necesidades físicas, intelectuales, sociales, emocionales y lingüísticas, entre otras; pudiendo así impedir la mala gestión de recursos y la destrucción de esperanzas, consecuencia de una instrucción de baja calidad y de una mentalidad educativa basada en la idea de que “la que sirve para uno sirve para todos” (Unesco, 1994). El documento asume que las diferencias humanas son normales y que, en consonancia, el aprendizaje deberá ser adaptado a las necesidades individuales del niño.

Tras la Declaración de Salamanca, el Gobierno Federal de Brasil lanzó por primera vez, en la Lei de Diretrices e Bases da Educação (Ley 9394), un capítulo2 exclusivo con directrices y bases de la Educación Especial, donde define los cambios a adoptar, en relación con la educación de niños, jóvenes y adultos con NEE.

Declara que la educación especial, a efectos de dicha Ley, pasará a ser una modalidad de educación escolar que se ofrecerá, preferentemente, en la red ordinaria de enseñanza. Destaca que, cuando sea necesario, la escuela ofrecerá servicios de apoyo especializado. Sin embargo, indica que esa modalidad será una excepción; sólo recurriendo a ella cuando, en función de las condiciones específicas de un alumno, no sea posible su integración en clases comunes de enseñanza ordinaria.

Los sistemas de enseñanza asegurarán a las personas con NEE currículos, métodos, técnicas, recursos educativos y organización específica para atender a sus necesidades (Ley 9394).

Desde ese documento, el Poder Público decidió integrar a las personas con NEE en las clases de enseñanza ordinaria de Brasil, en detrimento de las clases especiales, apuntando la escuela inclusiva como sustituta de la escuela especial. Con esa nueva reglamentación, se inició en Brasil un período de muchas discusiones alrededor de la inclusión de alumnos con NEE en clases de enseñanza de la escuela ordinaria.

Según Carvalho (2008), para que las escuelas sean de buena calidad para todos, con todos y para toda la vida, se necesita que los sistemas educativos sufran transformaciones, apoyándose en la realidad e implementando acciones de cambio, según las especificidades de cada sistema; creando una pauta de trabajo que priorice necesidades tales como: promover y garantizar articulaciones internas entre los gestores de la educación; crear integración efectiva entre las diferentes políticas públicas que tienen en común cuestiones educativas; revisar los conceptos de enseñanza-aprendizaje, valorando las contribuciones de la psicología educativa, del psicoanálisis de la educación y de las neurociencias del aprendizaje; garantizar la accesibilidad de todos los alumnos a cualquier escuela; afrontar las barreras invisibles, los estereotipos y los prejuicios.

En cuanto a los profesores, la autora destaca que es necesario crear mecanismos para la valoración de los mismos (salarios, condiciones materiales, dimensión de la clase, formación continua, expansión del cuadro docente y apoyo de especialistas), además de implementar salas de apoyo

2 Capítulo V: Da Educação Especial, do Título V: dos Níveis y das Modalidades de Educação e Ensino.



pedagógico. En lo que respecta a las universidades, resalta la necesidad de desarrollar estudios e investigaciones de abordaje cualitativo.

Otros aspectos enfocados por Carvalho (2008) son la necesidad de expandir el uso de recursos tecnológicos y de la informática en la educación; la de revisar el proyecto curricular, identificando posibles flexibilizaciones y propuestas de evaluación del aprendizaje, particularmente en lo que se refiere a criterios promocionales de un curso a otro, o el concepto de terminalidad específica. Recomienda, asimismo, que se dé especial atención a la educación hacia el trabajo.

Consciente de las dificultades acometidas en el sistema educativo de Brasil, ante la inclusión de alumnos con NEE en escuelas ordinarias, este estudio se detuvo en la investigación de diferentes recursos pedagógicos que ayudan a los profesores en la inclusión cognitiva de alumnos con NEE en la asignatura de Matemáticas, entre ellos los portadores de Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari.

2. Objetivo de la investigación

El terma de investigación se sitúa en la inclusión cognitiva en Matemáticas de alumnos con NEE en escuelas ordinarias.

2.1. Objetivo general

Investigar la habilidad de un niño con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari en relación a conceptos lógico-matemáticos de los cursos iniciales de la Enseñanza Primaria.

2.2. Objetivos específicos

A partir del objetivo general, se establecieron los siguientes objetivos específicos:

• Implementar un experimento con un niño con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari, utilizando recursos informáticos.

• Validar el software Sistema Tutorial Inteligente (ITS) desarrollado por el grupo de Tecnologías Educativas de ULL.

3. Metodología de la investigación

Para desarrollar esta investigación, se optó por un enfoque cualitativo, de tipo estudio de caso, ya que sus supuestos básicos se adaptan a las finalidades de la investigación propuesta, de cuño descriptivo, analítico y exploratorio. Según Santos Filho (2001), el abordaje cualitativo se caracteriza por la preocupación por la comprensión, explicación y especificación del fenómeno estudiado, en que la comprensión de una acción particular requiere el entendimiento del contexto en que esa acción se da; una visión holística que lleva en consideración todos los componentes implicados en la situación estudiada. Revela una preocupación por la construcción de significados y cómo se procesa esa construcción.

Un estudio de caso tiene como objetivo profundizar en la descripción de una determinada realidad y aportar un conocimiento profundo de una situación delimitada. Podrá ser también de cuño exploratorio, sirviendo para obtener información preliminar sobre el objeto de interés; descriptivo,





cuando posee como propósito esencial describir; y analítico, cuando procura cuestionar su objeto, construir o desarrollar nueva teoría o confrontarla con la teoría previamente existente (Yin 1984, Gil 1996, Triviños 1987).

La presente investigación tuvo como foco a un niño de 8 años, que estudia en la misma escuela desde hace 4 años y está actualmente en el 2º curso de Primaria, presentando problemas de cognición causados por haber nacido con Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari, comprometiendo su desarrollo físico y cognitivo. Se buscó estudiar características de su comportamiento y dificultades de aprendizaje en Matemáticas, a través del contacto directo con la investigadora.

Los instrumentos de recogida de datos utilizados en la referida investigación son los señalados por Roesch (1999): entrevistas con padres, profesores y médicos del niño investigado; análisis de documentos médicos y escolares, de películas y grabaciones de voz realizadas con el niño; producciones del niño durante las sesiones de estudio; observaciones en encuentros presenciales de una hora a la semana entre la investigadora y el niño, constituyéndose en los datos primarios del estudio de caso. Los datos secundarios fueron aportados por la base de datos del ITS (resultados obtenidos después de realizar las sesiones con el ITS).

Se implementó3 un experimento, con sesiones semanales de estudio, entre el niño y la investigadora, totalizando 32 encuentros, entrevistas con los padres, profesores y médicos, con el fin de comprender sus características físicas y cognitivas, principalmente en relación a conceptos lógico-matemáticos.

Los encuentros iniciales se caracterizaron por actividades exploratorias (lectura de rótulos, material de conteo, aplicación de las pruebas de Piaget, entre otras) para reconocimiento del estadio de desarrollo matemático del niño.

Con el objetivo de profundizar la investigación en relación a conceptos de clasificación, seriación, correspondencia término a término y cuantificación numérica, se optó por aplicar un experimento con la fase 1 del ITS; analizar los resultados aportados por la base de datos del ITS y, partiendo de esos resultados, aplicar actividades que propongan superar esas dificultades.

3.1. El niño investigado

El niño investigado presenta Espina Bífida (discapacidad congénita), de tipo abierta, con protusión cística4, de desorden lipomielomeningocele, que se caracteriza por una masa de grasa, cubierta por piel, que se extiende hacia la médula. Posee vejiga neurogénica, con pérdida constante de orina, amputación del miembro inferior derecho y colostomía, entre otras malformaciones.

El niño se sometió previamente a 24 cirugías, habiendo permanecido hospitalizado alrededor de 600 días, debido a las cirugías y otras complicaciones de orden infeccioso. Una de las cirugías realizadas se destinó a corregir un problema ocasionado por el Síndrome de Arnold Chiari, tipo II.

Cognitivamente, presenta problemas de habla; y por consiguiente, de lectura y escritura, además de dificultades en el aprendizaje de conceptos matemáticos relativos al curso en que se encuentra.

3 Implementar se utiliza con el sentido de planificar, desarrollar y evaluar. 4 Quiste en la médula.



3.2. Espina Bífida

La Espina Bífida es una malformación congénita del Sistema Nervioso Central5 que se desarrolla durante el primer mes de gestación. Esa enfermedad ocasiona un defecto en el cierre de las estructuras que formarán el dorso del embrión y que podrá afectar no solo las vértebras, sino la médula Espinal, meninges e incluso el encéfalo. Esos defectos son, generalmente, denominados defectos del tubo neural6.

La forma de Espina Bífida del alumno investigado es de tipo abierta, denominada de Espina Bífida Cística, que se caracteriza por un defecto de fusión de las vértebras que afectan al Sistema Nervioso y a sus membranas protectoras7. La malformación se extiende a la piel que se encuentra distendida, formando un quiste que contiene líquido cefalorraquídeo en su interior.

Las estadísticas apuntan a que un 35% de los niños con Espina Bífida presentan deficiencia cognitiva, la mayoría en grado ligero, destacándose las dificultades de percepción, atención, concentración, motricidad, memoria y manejo de números (Espina, 2007). Las dificultades en la escuela son, por tanto, frecuentes y requieren atención y orientación adecuadas.

Según Tabaquim, Lamonica y Whitaker (2007), el desarrollo motor anormal del niño aquejado de esa deficiencia proporciona la ausencia de experimentación del medio, pudiendo dificultar las adquisiciones cognitivas propias de su edad.

3.3. Síndrome de Arnold-Chiari

El Síndrome de Arnold Chiari, de tipo II, es una anomalía presente en algunos portadores de Espina Bífida, principalmente de tipo mielomeningocele8, porque el saco herniano puede contener partes de la médula espinal, de las membranas espinales y del líquido cefalorraquídeo.

En esa malformación, las estructuras que normalmente estarían contenidas en la porción inferior del cráneo se encuentran parcialmente acomodadas dentro de la columna cervical y pueden interferir en la circulación del líquido cefalorraquídeo.

Las anomalías de la base del cerebro resultan en herniación de algunas estructuras cerebrales hacia dentro del canal vertebral. Se caracteriza por protrusión caudal del vermis9 cerebeloso y de la porción inferior del tronco cerebral en el canal espinal. Es comúnmente vista debajo de la segunda vértebra de la columna cervical (C2) (Moro, 2006).

Conforme a Moro (2006), la malformación de Chiari puede provocar disfunción de la médula espinal con cuadro clínico de disestesia10 de tronco y extremidad, paresia11 de miembros superiores,

5 Sistema formado por encéfalo y médula espinal. 6 Inicio del sistema nervioso del embrión. 7 Meninges. 8 Protrusión de bolsa subcutánea conteniendo tejido nervioso central, o sea, medula espinal lesionada con raíces nerviosas. 9 Parte mediana, alargada y transversalmente surcada del cerebelo. 10 Perturbación (aumento o disminución) de la acción de los sentidos. 11 Parálisis incompleta de un nervio o músculo, como consecuencia de una lesión nerviosa; parálisis ligera o temporal.





con hipo/atrofia de la musculatura de las manos, espasticidad12 de miembros inferiores, pérdidas sensitivas disociadas13 en el tronco y miembros superiores.

Otros síntomas presentes son estrabismo, respiración ruidosa, alteración de la respiración, disturbios de sueño, dificultad en alimentarse y alteraciones funcionales de los brazos (Rede Sarah de Hospitais de Reabilitação, Espina 2007).

Ese síndrome, según Izquierdo y Avellanada (2004), pertenece al grupo de las malformaciones en la unión entre la parte superior de la columna cervical y del cráneo. Por ello, ocasiona sensación anormal de los sentidos, de la sensibilidad en brazos, manos, piernas, pies y dedos. Además, portadores de este síndrome poseen dificultad para enfocar la imagen cuando leen, pérdida de memoria, estados de confusión mental y desorientación.

3.4. Sistema Tutorial Inteligente (ITS)

La inclusión de niños con NEE en aulas de enseñanza ordinaria generó la necesidad de reflexionar sobre recursos didácticos que posibiliten colocar al alcance de todos los alumnos las Matemáticas que necesitan para ocupar su lugar como ciudadanos en la sociedad actual, con condiciones de equidad que viabilicen la interacción con el entorno que les rodea, principalmente, el desarrollo lógico y la autonomía.

Por tanto, es necesario que el profesor utilice recursos que ayuden a compensar situaciones desfavorables. En este sentido, el ordenador, herramienta central de las tecnologías de información y comunicación, ostenta la reconocida capacidad de favorecer la integración educativa y social.

Según Frant (2001), los resultados de los estudios que investigan la utilización de tecnología como herramienta, muestran el ordenador como mediador del conocimiento y complemento del proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, pues amplía los recursos didácticos de que dispone el profesor.

La interacción entre tecnología y ser humano, según Borba y Penteado (2001), se da en la producción del conocimiento por el binomio “ser humano-ordenador”, donde la tecnología se considera un nuevo “actor” que modifica los procesos de dicho conocimiento.

Asimismo, el software utilizado en educación tendrá principalmente en cuenta la posibilidad de interacción entre el usuario y la máquina; esto es, valorará las características cognitivas de cada alumno, sus conocimientos previos, sus experiencias personales y las dificultades que presenta. Poseerán también un gran número de actividades, puesto que los niños con NEE carecen de conductas repetitivas que les proporcionen confianza.

Por ese motivo, en la elaboración de un software, no bastan sólo los conocimientos informáticos, ya que sería necesario trazar objetivos muy claros, como definir el público al que se destina, el sistema de interacción entre usuario y máquina, el refuerzo del aprendizaje y actividades que ayuden en la construcción y comprensión de nuevos conceptos, además de una actitud favorable del alumno en relación a su aprendizaje.

12 Rigidez o espasmos musculares. Aumento del tono muscular en el momento de la contracción, causado por una condición neurológica anormal. 13 Dolor/temperatura.



El Sistema Tutorial Inteligente (ITS) es el producto final de la tesis de doctorado de Vanesa Muñoz Cruz (2007), orientada por los Doctores Lorenzo Moreno Ruiz y Rosa María Aguilar Chinea, de la Universidad de La Laguna, Tenerife, España, hoy doctora en Informática. Para elaborar las actividades matemáticas incluidas en ITS, se colaboró con las Doctoras María Aurelia Noda Herrera y Alicia Bruno Castañeda, ambas del departamento de Análisis Matemático de la misma universidad.

El ITS se desarrolló, inicialmente, como herramienta de refuerzo de los primeros conceptos lógico-matemáticos y de la operación de adición, destinado a aplicarse en niños con Síndrome de Down. Durante un período de intercambio de investigación entre ULL y ULBRA, en febrero de 2007, el ITS se tradujo al portugués, con el fin de investigarse la posibilidad de aplicación en niños con NEE en Brasil.

Ese software es definido como un sistema capaz de favorecer el aprendizaje y que, al incorporar técnicas de inteligencia artificial, podrá adaptarse, tanto al contenido, como a la estrategia de enseñanza y a las características de cada alumno. Es un tutorial y, como tal, sigue el proceso de enseñanza individualizado, que consiste en determinar, a partir de características de cada alumno, cuáles son los objetivos de aprendizaje.

Para alcanzar su finalidad, posee un vasto abanico de actividades que permiten que cada alumno adquiera las habilidades necesarias para la asimilación de un concepto. Destacamos que el conjunto de actividades se diferencia de alumno a alumno, dependiendo de las características de cada uno de ellos. Esto es, partiendo de cada alumno, se fijarán los objetivos del aprendizaje y se elegirá una secuencia de acciones, con el fin de alcanzar el objetivo de aprendizaje trazado.

El componente principal del ITS es un planificador instruccional, encargado de determinar cuál es la actividad realizada por el alumno en cada momento. Igualmente, deberá tomar decisiones y optar por determinados ejercicios, introducir nuevos tópicos o reforzar objetivos previamente trabajados. Tales decisiones son complejas y no hay una única decisión correcta, debido a los cambios producidos en el estado inicial de aprendizaje del alumno (Muñoz 2007).

El primer paso en el diseño del planificador instruccional es especificar el objetivo del aprendizaje. Según las tendencias educativas, el aprendizaje de los números debe estar asociado a situaciones concretas y de resolución de problemas; y de forma paralela, debe desarrollar algunos conceptos lógicos.

En la presente investigación, se utilizó la fase 1 del ITS, que tiene como objetivo central el diagnóstico de las dificultades afrontadas en conceptos lógico-matemáticos, tales como, clasificación, seriación, correspondencia término a término y cuantificación numérica. Esos conceptos son trabajados en paralelo en grupos de seis actividades distribuidos en dos grados de dificultad, bajo o alto.

Otro aspecto relevante de un software son los aspectos motivacionales. En ITS, fase 1, los alumnos interactúan con un agente pedagógico, llamado Peddy (figura 1), quien presenta las actividades que deberán ser realizadas.



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Figura 1: agente pedagógico Peddy

Para la inscripción de un nuevo usuario en ITS, hay que optar por una de las tres categorías existentes en el programa: tipo 1 (alumno con miedo al fracaso), tipo 2 (alumno hiperactivo) y tipo 3 (alumnos motivados y sin miedo al fracaso). El flujo del sistema depende de estas características de los alumnos para generar las actividades. Por ejemplo, un alumno con miedo al fracaso realiza muchas actividades antes de pasar a otra fase, mientras que los alumnos hiperactivos al realizar con más facilidad las actividades, cambian más rápido de fase. El alumno motivado representa el caso intermedio, según Muñoz (2007). Asimismo, es importante conocer al alumno antes de elegir una de las categorías, puesto que las actividades propuestas por el ITS dependen de esa clasificación, ya que han sido modeladas con mecanismos de inferencia diferentes en el planificador instruccional borroso. Por ejemplo en el planificador borroso existen reglas como las siguientes:

1. Si los resultados obtenidos por el alumno son muy bajos y su evolución en el ITS también es baja, entonces bajar el nivel de dificultad de las actividades.

Esta regla se usa para todos los tipos de alumnos y cuantifica la situación en la que el alumno no ha respondido adecuadamente a las actividades propuestas y además sus interacciones anteriores han sido similares, por lo que la estrategia a seguir es disminuir la complejidad de las actividades que se le proponen.

2. Si los resultados obtenidos por el alumno son buenos y su evolución en el ITS es baja, entonces mantener el mismo nivel para alumnos con miedo al fracaso o motivados y subir el nivel de dificultad para alumnos hiperactivos.

Esta regla cuantifica la situación en la que el alumno ha respondido correctamente a las actividades propuestas y como sus interacciones anteriores han sido regulares se le mantiene en el mismo nivel de dificultad, pero si es un alumno hiperactivo, la complejidad de las nuevas actividades que se le propongan debe ser de nivel superior para variar el tipo de actividades y que el alumno no se distraiga o pierda interés en el tutorial.

La interfaz multimedia que controla el flujo de comunicación entre el ITS y el usuario es el responsable por atraer y retener la atención y crear un ambiente adecuado al proceso de aprendizaje. Por ello, las pantallas integran textos, ilustraciones, figuras, gráficos, preguntas, vídeos, audios y diagramas. En el ITS se ha utilizado tecnología web de forma que la actividad final que se le presenta al alumno se puede visualizar en un navegador y no sea necesaria la instalación ni el aprender a manejar un software adicional.




50

4. Análisis de datos

Los datos analizados en esta investigación son las respuestas del niño investigado para las actividades relacionadas con conceptos lógico-matemáticos, pertenecientes a la fase 1 del ITS. Ese niño fue clasificado como tipo 1 (alumno con miedo al fracaso), puesto que demostró cierta inhibición al realizar las actividades, tanto en la escritura, como en los dibujos.

Para facilitar la comprensión del análisis de datos, se utilizaron las siguientes siglas: clasificación (CL), correspondencia término a término (CT), seriación (S) y cuantificadores numéricos (Q).

Para cada uno de esos conceptos, el tutorial contiene dos tipos de actividades de diferentes grados de dificultad, que en seguida describimos.

Las actividades de clasificación tienen como objetivo hacer que el usuario perciba las características de los objetos y distinga sus similitudes y diferencias, agrupándolas o separándolas de acuerdo con esas características. Están divididas en dos tipos, que pasamos a presentar.

CL1: elige objetos idénticos entre sí, trabajándose la construcción del concepto de igual o diferente (figura 2).

Figura 2: clasificación (CL1)

C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Clasificaciones\Alto\clasificacion4_5.html “Coloca cada objeto en el lugar que le corresponde en la parte inferior de la pantalla”

CL2: reconoce las características de un conjunto y separa los elementos que no pertenecen (los objetos del conjunto no son idénticos entre sí - figura 3).

Figura 3: clasificación (CL2)

C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Clasificaciones\Poco\clasificacion1_7.html “Pinta los elementos que no pertenecen al conjunto”




51

Las actividades de correspondencia término a término implican relacionar dos colecciones con igual número de elementos, atendiendo a una determinada relación. Están divididas en:

CT1: relaciona dos conjuntos de objetos con una relación de igualdad (figura 4).

Figura 4: correspondencia término a término (CT1)

C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Correspondencia\Poco\correspondencia1_5.htm “Une cada objeto con otro igual”

CT2: relaciona dos conjuntos de objetos con una relación que no implica igualdad (como los objetos no son iguales, hay que encontrar la relación que los une, por ejemplo, oso y miel - figura 5).

Figura 5: correspondencia término a término (CT2)

C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Correspondencia\Alto\correspondencia3_1.html “Une cada objeto con su correspondiente”

Realizar seriaciones significa ordenar o seriar una colección de objetos según una determinada relación. ITS propone dos tipos de seriación:

S1: crea seriaciones sencillas (ordenar de mayor a menor o viceversa - figura 6).

Figura 6: seriación (S1)

C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Rorden\Poco\rorden1_11.html “Coloca las flores en el lugar que las corresponde, ordenándolas de menor a mayor”




52

S2: hace seriaciones con alternancia de elementos y una o más variables (figura 7).

Figura 7: seriación (S2) C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Rorden\Alto\rorden3_7.html

“Busca el elemento que sigue en cada serie. Marca primero la interrogación y después el elemento”

Las actividades de cuantificación hacen referencia a la aplicación de cuantificadores básicos de una colección de objetos (todos, ninguno, algunos, nada, poco...).

Q1: utiliza los cuantificadores en una colección de objetos iguales (figura 8).

Figura 8: cuantificación (Q1) C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Cuantificadores\Alto\cuantificadores1alto_2.html

“¿Cuántos animales tienen cuatro patas?”

Q2: utiliza los cuantificadores en una colección de objetos con alguna relación, pero que no son del todo iguales (figura 9).

Figura 9: cuantificación (Q2) C:\Tutorial\Ejercicios_Revisados\Fase1\Cuantificadores\Poco\cuantificadores2poco_1.html

“Saca los juguetes del acuario hasta que no quede ninguno dentro”




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Los datos de esta investigación fueron recogidos en la base de datos del ITS (figuras 10 y 11), durante 4 sesiones de estudio de 12 series de 6 actividades, totalizando 68 actividades con 275 acciones en un tiempo total de 64 minutos.

Historial actividades

id Actividad correcto total tiempo fecha hora

1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\clasificaciones\alto\clasificacion3_12.html 2 2 20.092,00 22/06/07 11:18:29

1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\clasificaciones\alto\clasificacion3_14.html 2 2 22.141,00 22/06/07 11:08:51

Figura 10: base de datos del ITS

Figura 11: base de datos del ITS




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La figura 12 presenta una serie desarrollada con el niño investigado, en una sesión, mostrando el tipo de actividad, la pantalla que aparece, el enunciado y el número de acciones (intentos) necesario para realizar la actividad.

Tipo Actividad Pantalla Acciones

CL2 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\clasificaciones\alto\clasificacion3_12.html

Señala los niños que no están

tristes.

2

CL1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\clasificaciones\alto\clasificacion4_4.html

Coloca cada objeto en el lugar que les corresponde en la parte

inferior de la pantalla.

7

CT1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\correspondencia\alto\correspondencia2_2.html

Une cada objeto con su

equivalente.

4

CT2 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\correspondencia\alto\correspondencia3_5.html

Une cada objeto con su

equivalente.

3






Tipo Actividad Pantalla Acciones

Q1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\cuantificadores\alto\cuantificadores1alto_6.html

Señala todos los medios de

transporte.

2

Q2 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\cuantificadores\alto\cuantificadores3alto_3.html

Señala el cuadro donde existe

un rectángulo.

2

S1 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\ rorden\poco\rorden1_5.html

Coloca los pinos en el lugar que les corresponde, ordenándolos

de mayor a menor

3

S2 file:\\c:\tutorial\ejercicios_revisados\fase1\ rorden\alto\rorden3_4.html

Busca el elemento que sigue en la serie. Marca primero la interrogación, después el

elemento.

6

Figura 12: detalle de una serie de actividades en ITS

La figura 13 presenta la cantidad de acciones correctas e incorrectas realizadas por el niño investigado en relación con los conceptos trabajados. El número de actividades es diferente para cada concepto porque el ITS muestra al alumno las actividades en función de su respuesta. En total, el niño realizó 275 acciones; de ellas, 54 corresponden al concepto de clasificación, 52 al concepto de correspondencia término a término, 47 al concepto de cuantificación numérica y 122 al concepto de seriación.


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Clasificación Correspondencia Cuantificación Seriación Total Aciertos 52 46 35 82 215 Fallos 2 6 12 40 60 Total 54 52 47 122 275

Figura 13: número de aciertos y fallos por concepto

El gráfico de la figura 14 presenta los resultados obtenidos por el niño en actividades de construcción de conceptos lógico-matemáticos. El análisis de los resultados demuestra que el porcentaje de aciertos (78,2%) es más elevado que el porcentaje de fallos (21,8%).

Figura 14: resultados generales

Los resultados de cada uno de los conceptos presentados aisladamente, en el gráfico de la figura 15, demuestran que el niño no presenta dificultades en conceptos de clasificación (un 96,3% de acierto) ni de correspondencia (un 88,5% de acierto). En relación con las actividades de cuantificación, su desempeño es menor (un 74,5%). El índice de aciertos en la seriación (un 67,2%) es el menor entre ellos. El grado de aciertos en las actividades lógico-matemáticas es, en general, alto, exceptuando el de seriación y, en menor escala, el de cuantificación.

Figura 15: resultados por conceptos




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La tabla 1 presenta los resultados teniendo en cuenta el tipo de actividad realizada en cada uno de los conceptos.

Tipos de actividad Nº total Aciertos Fallos CL1: elige objetos idénticos entre sí (igual o diferente). 38 36

94,7% 2

5,3% CL2: reconoce características de un conjunto y separa elementos que no le pertenecen.

16 16 100%

0 0%

CT1: relaciona dos conjuntos de objetos iguales. 32 29 90,6%

3 9,4%

CT2: relaciona conjuntos de objetos con alguna propiedad en común, aunque no iguales.

20 17 85%

3 15%

S1: hace seriaciones sencillas. 52 28 53,8%

24 46,2%

S2: hace seriaciones con alternancia de elementos y una o más variables.

70 54 77,1%

16 22,9%

Q1: cuantificadores en una colección de objetos iguales. 27 20 74%

7 26%

Q2: cuantificadores en una colección de objetos con una relación, aunque no iguales.

20 15 75%

5 25%

Tabla 1: resultados por tipo de actividades

El gráfico de la figura 16 muestra los resultados por tipo de actividades.

Figura 16: resultados por tipo de actividad

Los resultados obtenidos indican problemas en la seriación sencilla (S1), que tiene como objetivo ordenar elementos de mayor a menor (o viceversa), del más corto al más largo (o viceversa) y del más vacío al más lleno (o viceversa).

Para ayudar a la construcción de los diferentes conceptos implicados en esas actividades, optamos por la manipulación de material concreto como, por ejemplo, una seriación compuesta de sacis (personaje folclórico) con el que el niño se identifica, puesto que también es portador de discapacidad física (figura 17). El número de sacis que hubo que seriar fue en aumento para generar conflictos y mayor dificultad. Se utilizó el mismo material para el concepto de correspondencia




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término a término (pipa y gorra) y para el concepto de cuantificación (todos, algunos, ninguno, más, menos).

Figura 17: actividad de seriación y correspondencia término a término

En cuanto a la utilización del ordenador y sus periféricos (ratón, teclado), el niño no presentó dificultades, sobre todo porque no es necesario arrastrar los objetos, puesto que el programa posibilita el movimiento de las figuras pulsando sobre el objeto, y a continuación, pulsando en el lugar donde desea posicionarlo. Por tanto, pese a sus dificultades de motricidad, pudo realizar las actividades propuestas por ITS, demostrando motivación y alegría ante las nuevas pantallas y las diferentes propuestas.

En relación a las actividades creadas y aplicadas para superar las dificultades cognitivas detectadas, siempre se procuró trabajar con material lúdico, vinculado a los intereses personales del niño y exponiendo los objetivos de cada propuesta. Cabe destacar también la lectura de libros infantiles (O Homem que Amava Caixas; A Casa Sonolenta; O Grande Rabanete), como recurso instructivo eficaz en la construcción del concepto de seriación.

Se destaca que la mayor motivación relativa a las actividades la demostró el niño ante el ITS y las actividades lúdicas. No ocurrió lo mismo en las actividades en las que debería registrar o representar con lápiz y papel lo que se estaba realizando.

El experimento realizado igualmente demostró que el ITS fue un estimulador del aprendizaje, puesto que el niño investigado se benefició de un avance en la comprensión de conceptos, mejorando su desempeño en las distintas actividades.

5. Consideraciones finales

La educación en Brasil se enfrenta actualmente a un gran reto, la integración de alumnos con NEE en la escuela ordinaria. Sin embargo, son visibles las dificultades de escuelas y profesores en el tema, principalmente en lo concerniente al currículo y desarrollo de un aprendizaje individualizado.

Durante las sesiones de estudio de esta investigación fue posible percibir que el niño investigado todavía presentaba dificultades en conceptos básicos útiles en la construcción del concepto






de número (seriación y cuantificación). No obstante, en el informe emitido con dictamen de aprovechamiento escolar, la preocupación de la profesora se refiere a la conceptualización del sistema decimal, contenido que está trabajando con la clase donde está integrado el niño: “...presentaste dificultades en la resolución de historias matemáticas y en cálculos por descomposición. Todavía no puedes comprender el valor posicional de los números, incluso dentro del Q.V.L.” (Informe 2007). Con toda seguridad, el niño no se encuentra en un estadio de comprensión del valor posicional de los números, puesto que no comprende conceptos básicos involucrados en la construcción del número.

Otro factor relevante, que se debe a problemas de motricidad común en individuos con Espina Bífida (Espina 2007), es dificultad en la escritura. El niño, para acompañar a sus compañeros de clase, debe escribir en cursiva, lo que le lleva la mayor parte de su tiempo en el aula. La prioridad es el copiado, en detrimento del tiempo de reflexión y resolución de las actividades propuestas. En este sentido, fue sugerida la utilización por el niño de un ordenador en el aula, a fin de que lograse registrar las actividades propuestas con mayor rapidez. La escuela aceptó la sugerencia y ésta será puesta en práctica este curso lectivo.

Los problemas para manejar los números y las situaciones relacionadas con ellos, son citados en los estudios de la Rede Sarah de Hospitais de Reabilitação (Malformación 2007), Tabaquim (2007) y Martínez (2004). Durante las sesiones de estudio, esas aseveraciones se comprobaron, puesto que el niño investigado presentaba falta de preparación ante problemas donde los números y las operaciones entre ellos están involucrados.

Los estudios de Barnes (2005; 2006) con niños y adultos con Espina Bífida, relativos al número y operaciones aritméticas resaltan que, a pesar de su nivel de lectura, poseen dificultades en la estimación numérica, la recuperación de hechos que implican números, en conteo verbal, visión espacial y resolución de problemas aritméticos, tanto en niños como en adultos.

Sin embargo, a lo largo de las sesiones de estudio con ITS, el niño, además de evidenciar motivación, superó problemas que fueron detectados durante la aplicación de las actividades del programa; lo que demuestra que si el recurso didáctico utilizado por el profesor considera el estadio de desarrollo cognitivo del alumno y su evolución, es posible superar las dificultades relativas a la construcción del número, demostrando la necesidad de un plan individualizado de acuerdo con las dificultades cognitivas de cada niño. Esto nos lleva, de nuevo, a cuestionar la inclusión de alumnos con NEE en aulas de enseñanza ordinaria en escuelas que mantienen un currículo único. Para la inclusión cognitiva de alumnos con NEE, se necesita que las escuelas se vuelvan inclusivas.

Para ser una escuela inclusiva se necesita que el trabajo con la diversidad empiece en el interior de los órganos gestores de sistemas educativos y se concrete en acciones conjuntas entre todos los gestores, independientemente de que se trate de educación infantil, enseñanza primaria, media o superior. Lo ideal es que se organicen equipos de trabajo y que estén juntos, desde las discusiones sobre la filosofía de educación adoptada, hasta la elaboración de la política educacional a implantarse e implementarse (Carvalho, 2008).

Se considera que esta investigación demuestra que la tecnología ofrece posibilidades de adaptar el aprendizaje a las necesidades especiales de los alumnos, adaptándose a sus necesidades específicas; confirmando los estudios de Frant (2001), que destacan que la tecnología se puede ver como una prótesis, no en el sentido estricto de reparar un fallo, sino como instrumento capaz de hacer diferente. Por consiguiente, los posibles recursos didácticos, conjuntamente con las tecnologías de información, se presentan como un recurso pedagógico capaz de ayudar en la superación de límites físicos y cognitivos.



La motivación demostrada por el niño y la adaptación del ITS a su ritmo de aprendizaje y características personales son elementos útiles que llevan a la adquisición de una mayor autonomía en la asimilación del conocimiento matemático.

Otro aspecto a ser considerado es la validación del ITS. Aunque no sea un software desarrollado para Brasil, el resultado de su aplicación en esta investigación demostró que el uso del mismo es válido en niños con NEE en Brasil.

Se llama la atención para el número insuficiente de investigaciones que se refieren a problemas cognitivos de portadores de Espina Bífida y Síndrome de Arnold Chiari, en lo que concierne a la lectura y a la construcción del número. Además de ese aspecto, se destaca la escasez de recursos pedagógicos específicos y la utilización de currículos únicos en escuelas que incluyen en sus aulas alumnos con NEE. El ITS es un recurso que ayudará a los profesores en la elaboración del perfil cognitivo de dichos alumnos, en lo que se refiere a conceptos lógico-matemáticos, posibilitando construir recursos didácticos de acuerdo con las dificultades de cada alumno.

Terminamos con Carvalho (2008, p. 64): “No hay enseñanza si no hay aprendizaje y éste solo ocurre si tiene significado para los alumnos, interesados y motivados en sus relaciones con los saberes”.

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Tania Elisa Seibert, es Profesora de Didáctica de la Matemática en la Universidad Luterana de Brasil. Realizó la Maestría en la Enseñanza de las Ciencias y de la Matemática, Brasil. [email protected] Claudia Lisete Oliveira Groenwald, es Profesora de Matemáticas en la Universidad Luterana de Brasil. Doctora en Matemáticas. [email protected] Lorenzo Moreno Ruiz, es Catedrático de Universidad del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática y Arquitectura y Tecnología de Computadores, Facultad de Física, Universidad de La Laguna. Obtuvo el título de Doctor en la Universidad Complutense de Madrid en 1977. Sus áreas actuales de investigación son Arquitectura de Computadores, Enseñanza asistida por Ordenador, Control y Procesamiento de Señales. [email protected] Rosa María Aguilar Chinea, es Profesora Titular del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática y Arquitectura y Tecnología de Computadores, Facultad de Física, Universidad de La Laguna. Obtuvo el título de Doctora en Informática por la Universidad de La Laguna en 1998. Sus áreas actuales de investigación son Simulación de Eventos Discretos, Sistemas Tutoriales Inteligentes, Sistemas Basados en Conocimiento y Agentes Inteligentes. [email protected] Vanesa Muñoz Cruz, es Profesora Ayudante del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática y Arquitectura y Tecnología de Computadores, Facultad de Física, Universidad de La Laguna. Obtuvo el título de Doctora por la Universidad de La Laguna en 2007. Sus áreas actuales de investigación son Sistemas Tutoriales Inteligentes, Agentes Inteligentes, Sistemas para la Toma de Decisiones y Simulación de Eventos Discretos. [email protected]

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El hombre que calculaba. ¿Leer en Matemáticas?

José Luis González Fernández (Universidad de Castilla-La Mancha)

Resumen El presente artículo resume una experiencia llevada a cabo en el Colegio Ntra. Sra. del Prado de Ciudad Real durante el último trimestre del curso 2007-2008. En ella se pretende estimular a los alumnos mediante los textos literarios en los cuales las Matemáticas hacen acto de presencia. El trabajo comienza con una descripción general de la experiencia, en la que podemos encontrar apartados como el contexto en el que surgió, los alumnos a los que va dirigida o los objetivos de la misma. En la segunda parte se explica el diseño por el que se optó, para acabar con la evaluación, separada en tres apartados: logros, dificultades y valoración de los alumnos (aspecto considerado de gran importancia para saber el alcance de nuestra investigación).

Palabras clave Matemáticas, lectura, estimular, apreciar, interés, internet, Tic’s, grupo.

Abstract The present article summarizes an experience carried out in the Colegio Ntra. Sra. Del Prado (Ciudad Real) during the last quarter of the academical year 2007-2008. The objective of the experience is to stimulate the pupils using the literary texts in which Mathematics are present. The article begins with a general description of the experience, where we can find subjects as the environment, the type of pupils or the desired objectives which is. In the second part it is explained the chosen design, to finish with the evaluation, separated in three different parts: achievements, founds problems and pupils valuation (considered as of great importance to know the scope of the research).

Keywords Mathematics, reading, to stimulate, to stimate, internet, interest, tic´s, group.

E X

P E R

I E N

C I A

S D E

A U

L A

1. Descripción general de la experiencia

1.1. Contexto en el que surgió

Las Matemáticas aisladas, sin contexto, no resultan atractivas. Para conocerlas mejor y apreciarlas es importante saber sus orígenes, quiénes las crearon o descubrieron, cuándo y en qué circunstancias, y también es primordial descubrir su presencia en otras disciplinas.

La necesidad de actualización de la metodología en la enseñanza de las Matemáticas es incuestionable. Nuestros alumnos actuales disponen de elementos tan atractivos y variados como la televisión, los videojuegos o los ordenadores, por lo tanto, para captar su atención e interés se necesitan nuevos estímulos.

En este trabajo se intenta estimular a los alumnos mediante los textos literarios en los cuales las Matemáticas hacen acto de presencia. Concretamente se analizará y trabajará sobre el libro “El Hombre que Calculaba” de Malba Tahan.

El hombre que calculaba. ¿Leer en Matemáticas? J. L. González Fernández

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El motivo de la elección de esta obra se encuentra en la introducción que hace de la misma el propio autor: “El Hombre que Calculaba es, pues, una obra evidentemente didáctica que cumple con aquel consagrado aforismo de que es preciso instruir deleitando. Su protagonista se nos hace inmediatamente simpático porque es sencillo, afable, comunicativo, interesado en los problemas ajenos y totalmente sensible al encanto poético el cual ha de llevarle a la consecución del amor y, lo que es más importante, al conocimiento de la verdadera fe”.


1.2. Objetivos

El objetivo principal y fundamental de la experiencia fue ver si la utilización de la literatura en Matemáticas producía algún cambio en las expectativas y actitud de los alumnos participantes.

Aún así, y en consonancia con las reflexiones realizadas hasta el momento, se plantearon siete objetivos principales:

• Enseñar los temas habituales de una manera más activa, creativa y participativa. • Desarrollar las habilidades de razonamiento abstracto, la inducción y la deducción

mediante el uso de las Matemáticas. • Desarrollar la capacidad de análisis e interpretación de situaciones generales, con

aplicación matemática. • Conseguir que el alumno perciba las Matemáticas como un instrumento útil en la vida,

para que pierda la tradicional aversión que tiene hacia ellas. • Fomentar la utilización de las nuevas tecnologías en la búsqueda de información. • Comprobar el impacto de nuevas formas de trabajo en las relaciones entre alumnos y

entre alumnos y profesor.

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• Animar a la lectura desde el área de Matemáticas, leyendo a lo largo de cada uno de los trimestres del curso un libro relacionado con las mismas.

En cuanto a los objetivos específicos, se pretendió que el alumno fuera capaz de realizar lo siguiente:

• Conocer parte de la historia de las Matemáticas y a sus protagonistas. • Conocer las partes en que se divide la Matemática y a que se dedica cada una de ellas. • Conocer el concepto de número y los sistemas de numeración. • Saber la importancia del cero. • Aplicar las propiedades básicas de los números y clasificarlos. • Descomponer factorialmente un número natural y calcular su factorial. • Conocer los cuadrados mágicos. • Aplicar e interpretar el concepto de fracción a situaciones reales. • Reconocer y hallar fracciones equivalentes y operar con fracciones. • Resolver problemas de aplicación del concepto de fracción y operaciones. • Hallar las expresiones equivalentes entre fracciones, decimales y porcentajes. • Aplicar la interpolación a situaciones reales. • Efectuar operaciones con monomios y polinomios. Factorización de polinomios. • Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. • Llevar a cabo aplicaciones de la Geometría.


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1.3. Alumnos a los que va dirigida


Lo primero que se decidió fue el curso en el que se iba a llevar a cabo la experiencia. Se seleccionó el curso 3º de la ESO por la edad y la madurez de los alumnos y porque en él tanto los alumnos como los profesores se sienten menos presionados, ya que no corresponde al final de la etapa.

Se plantea de forma voluntaria en las cuatro clases que forman el curso, de las cuales sólo participan dos de ellas. En la siguiente tabla aparece el número de alumnos al que se presentó la actividad, así como su participación.

Curso Sección Nº alumnos ParticipantesA 32 12 B 27 0 C 28 14

3º de ESO

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De los datos anteriores, se puede deducir que la implicación fue bastante baja, 26 alumnos, aproximadamente un 22% del total. De estos 26 alumnos, sólo superaron la primera parte de la experiencia 10 (todos fueron de la letra C), lo cual hizo que tuvieran acceso a la segunda parte en la que se proponían las actividades de investigación.

Los alumnos fueron informados con antelación de que la correcta realización del trabajo propuesto podría incrementar su nota hasta un 20%. Así, un estudiante que obtuviera un 6 de nota media durante la evaluación, podría sumar 1,2 puntos a su calificación.

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1.4. Tiempo de duración

La experiencia que se presenta se desarrolló entre el 8 de abril y el 11 de junio de 2008, coincidiendo con la cuarta evaluación del curso 2007/08. Aproximadamente 10 semanas, a razón de 1 hora por semana, en las cuales se contó con la colaboración del Departamento de Lengua, que amablemente cedió su hora semanal dedicada a la lectura.

El reparto del tiempo fue el siguiente:

• Durante las 6 primeras semanas se procedió a la lectura del libro (1 hora semanal en clase y el resto del tiempo en casa).

• Las semanas 7 y 8 se dedicaron a la búsqueda de información para la realización del trabajo, en una de las salas de informática del colegio.

• La semana 9 se empleó en la redacción y entrega de los trabajos. • En la última, se procedió a la evaluación del material presentado por los distintos

grupos.

1.5. Recogida de datos

Para la recogida de datos, los alumnos completaron dos cuestionarios, uno al comienzo y otro al final de la experiencia. En el primero se les planteaban algunas preguntas sobre sus hábitos de lectura y uso del ordenador, puesto que para el desarrollo de la experiencia se necesitaba su manejo. Después, se les formularon otras cuestiones, referidas a sus expectativas en relación con esta actividad y con su actitud ante las Matemáticas. Este segundo bloque de preguntas se contempla en los dos cuestionarios,



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lo que permitirá saber si se ha producido algún cambio debido a la experiencia realizada. Por último, y sólo en el cuestionario final de los alumnos, se incluían algunas preguntas para que compararan la enseñanza en el aula normal y durante la experiencia.


2. Diseño de la experiencia

2.1. Lectura del libro

Para saber si los alumnos habían leído el libro y en qué grado de profundización lo hicieron, incluimos un cuestionario formado por veinte preguntas tipo test. Se dio por superada esta fase cuando el número de aciertos fue mayor o igual a 15, lo cual representa un 75% de las cuestiones.

1. ¿Cuál es el título del príncipe indio Cluzir?

Visir Maharajá Califa

2. ¿Qué significa Eureka?

Ya hemos llegado Está acabado Lo he encontrado

3. ¿Cuántos sabios interrogan al Calculador en las pruebas finales?

5 10 7

4. En una de las historias de los ulemas o sabios, ¿qué tres animales salen a cazar juntos?

Tigre, hiena y león León, chacal y tigre Lobo, tigre y león

5. En la prueba de los cinco discos, ¿qué colores tenían los discos?

Tres negros y dos blancos Uno negro y cuatro blancos Tres blancos y dos negros

6. ¿Cuántas perlas se utilizan en el problema de la perla más ligera?

8 9 10

7. ¿Qué condición deben cumplir los números en un cuadrado mágico?

Son distintos Son racionales Son menores que 100

8. ¿En qué país aparecieron los primeros cuadrados mágicos?

Persia India China

9. ¿Cuál es el nombre del joven que inventó el ajedrez?

Adjamir Sessa Zamur

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10. En el problema de las manzanas y las tres hermanas, ¿cuántas manzanas había que vender?

30 60 90

11. ¿En qué país se desarrolla el libro?

Arabia Egipto Persia

12. ¿Cómo se llama el hombre que calculaba?

Mamiz Beremiz Ahmiz

13. En la historia de los camellos y los hermanos, ¿entre cuántos hermanos se tenían que repartir los camellos?

4 3 5

14. Un número es perfecto si…

Es igual a la suma de sus múltiplos Es igual a la suma de sus divisores Se puede dividir entre 2 y 4

15. La frase “Los números gobiernan al mundo” es de:

Euclides Arquímedes

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Pitágoras 16. ¿Cómo diferencia el Calculador a las bailarinas gemelas?

Por la forma de bailar Por el lunar del brazo izquierdo Por las franjas del vestido

17. ¿Cuál es el nombre del jeque poeta de Bagdad?

Al-Mansur Lezid Hamed

18. ¿Cuál es el sistema de numeración más antiguo?

Binario Quinario Decimal

19. ¿A qué cantidad equivale la D en la numeración romana?

50 100 500

20. ¿Qué le sucede a la prisión de Bagdad en el libro?

Se fugan casi todos los prisioneros La destruye Genghis Khan Se quema



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2.2. Ficha de investigación previa


Con esta actividad se pretende conocer al autor, su biografía y algunas otras cuestiones relevantes. Para ello se deben completar las siguientes cuestiones:

• Nombre del autor. • Fecha y lugar de nacimiento. • Señala algún dato de su biografía que te resulte interesante. • Si observas su obra, comprobarás que ha escrito más de cien libros. Investiga acerca de

ella. • Busca algunos recortes de prensa o noticias relacionadas con el autor.

2.3. Trabajo de investigación

En esta fase, se dividió a la clase en grupos y a cada uno de ellos se le asignaron uno o varios capítulos del libro. A través de preguntas y actividades se intentó que los alumnos consiguieran los objetivos propuestos al principio de la experiencia.

Capítulo III

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: cáfila y hato.

2. El problema de los camellos se encuentra en muchos libros de entretenimientos matemáticos. ¿Podrías buscar otra versión del mismo?

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3. ¿Sabrías explicar por qué al repartir los camellos salen números decimales y al aumentar un camello sobran dos? ¿Por qué está mal hecho el reparto?

Capítulo V

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: ánade, taciturno y laconismo.

2. Beremiz resuelve el problema del joyero utilizando la “interpolación” matemática. ¿Sabrías explicar en qué consiste este método?

3. Resuelve el siguiente problema utilizando interpolación: “La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95€ por 375 Kwh. de consumo, y en enero 130,40 € por 552 Kwh. ¿Cuánto tendrán que pagar si consumen 420 Kwh?

Capítulo VI

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: ornar, surtidor, bagatela y lisonja.

2. ¿Qué son los números primos?

3. Busca el método de Eratóstenes para hallar números primos. ¿Cuáles son los números primos comprendidos entre 1 y 100?


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Capítulo VII


1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: zoco, chinela, caftán, corcovado y eximio.

2. Empleando cuatro cuatros se puede formar un número cualquiera. ¿Podrías formar los números del 0 al 10?

3. Para llegar a conseguir el número 49, necesitas una operación conocida como “factorial” de un número. ¿Qué es el factorial de un número? ¿Serías capaz ahora de conseguir el número 49?

Capítulo VIII

1. Busca en el diccionario el significado de la siguiente palabra: absorto.

2. En este capítulo se menciona, entre otras cosas, que las abejas construyen sus panales de forma hexagonal. ¿Cuál es la razón de qué lo hagan así?

3. “…el siete fue siempre, para todos los pueblos: musulmanes, cristianos, judíos, idólatras o paganos, un número sagrado, por ser la suma del número tres, que es divino, y el número cuatro, que simboliza el mudo material”. Investiga sobre el significado que se le concede al resto de los números comprendidos entre 0 y 10.

Capítulo X

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: polícromo, ulema, pompa, zócalo, banalidad y sufista.

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2. ¿Qué es un número perfecto? Busca tres números perfectos.

Capítulo XI

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: dístico, henna y efímero.

2. Investiga sobre Pitágoras, probablemente el matemático más conocido de la historia.

3. Su célebre teorema era conocido mucho antes de nacer Pitágoras. ¿Podrías buscar dónde, cuándo y cómo se utilizaba?

4. Las Matemáticas se dividen en varias partes. Ayudado del índice de tu libro de texto, di cuáles son y sobre qué trata cada una de ellas.

Capítulo XIII

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: loza, estuco, celosía, cincel, cadí e interpelar.

2. Cierto día le preguntaron a Pitágoras: “¿Qué es un amigo?” La leyenda afirma que respondió: “El que es el otro yo mismo”. Ante el pasmo de su interlocutor, precisó: “El que es el otro yo mismo como



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son 220 y 284. ¿Cómo son 220 y 284? Son números amigos. Investiga qué son números amigos y busca algunos ejemplos más.


Capítulo XV

1. Los cuadrados mágicos son un entretenimiento, una curiosidad que dio lugar a los famosos “sudokus”. ¿Qué es un cuadrado mágico? Tipos de cuadrados mágicos. Construye un cuadrado mágico de orden 3. ¿Qué es un sudoku?

2. El griego Arquímedes encontró que midiendo 22 codos la circunferencia, su diámetro debería medir aproximadamente 7 codos. Esto dio origen a uno de los números más famosos de las Matemáticas. ¿De qué número se trata? Busca algunas aproximaciones más de dicho número.

Capítulo XVI

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: pérfido y abnegación.

2. En este capítulo se cuenta como el inventor del juego del ajedrez pide al rey como recompensa lo siguiente: un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera; y así doblando sucesivamente hasta la última casilla del tablero. ¿Serías capaz de calcular la cantidad de trigo que debe recibir el inventor del juego? (Utiliza lo que sabes de las progresiones geométricas).

Capítulo XVIII

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: lapislázuli, trigueña y ablución.

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2. Investiga sobre las aportaciones de los hindúes a las Matemáticas.

3. Pitágoras, uno de los matemáticos más famosos de la historia, demostró un teorema que lleva su nombre. Este teorema fue utilizado mucho antes por otros pueblos. Busca qué otros pueblos lo usaron antes. ¿Cuántas definiciones se conocen de dicho teorema? Escribe cinco de ellas.

Capítulo XIX

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: almojarife e intrincado.

2. El problema de los tres marineros aparece de diversas formas en los libros de entretenimientos matemáticos. Con los recursos del Álgebra que tienes, resuélvelo de manera general e indica la fórmula final para el cálculo de la incógnita.

3. El problema del número cuatripartito, puede enunciarse de forma más sencilla: “Dividir un número dado A en cuatro partes tales que la primera, aumentada en m, la segunda disminuida en m, la tercera multiplicada por m y la cuarta dividida por m, den el mismo resultado”. ¿Serías capaz de obtener una fórmula para calcular las cuatro partes del número?

Capítulo XX

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: vocablo, vestigio, jactar y divergen.


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2. “Después de la oración, Beremiz habló así:


- Ignoramos cuándo la atención del hombre despertó a la idea del número”.

Contesta a las siguientes preguntas: ¿Origen de los números? ¿Qué es contar? ¿Qué es un sistema de numeración? ¿Cuáles fueron los primeros sistemas de numeración?

3. Uno de los números más importantes es el cero. ¿Por qué? ¿Quién lo inventó?

Capítulo XXIII

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: arreos, gualdrapas, yelmo y cimitarra.

2. Busca una fórmula para resolver el problema de las perlas del rajá.

3. ¿Qué es un número cabalístico? Busca algunos ejemplos.

Capítulo XXIV

1. Busca en el diccionario el significado de las siguientes palabras: sicario, celada y epitafio.

2. Plantea y resuelve el problema de Diofanto mediante una ecuación de primer grado.

3. Se dice que Arquímedes tuvo una muerte muy curiosa. Investiga sobre la vida de Arquímedes y también sobre la forma en que murió.

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Capítulo XXVII

1. Eratóstenes presentó al rey Ptolomeo III de Egipto una tabla de números primos hechos sobre una plancha metálica en la que los números múltiplos estaban marcados con un pequeño agujero. Se dio por eso el nombre de “Criba de Eratóstenes” al proceso de que se servía el sabio astrónomo para formar su tabla. ¿Sabrías describir el proceso? Utilizando dicho procedimiento encuentra los números primos comprendidos entre uno y cien.

Capítulo XXXII

1. Busca en el diccionario el significado de la siguiente palabra: idólatra.

2. En este capítulo se resuelve el problema de “la perla más ligera”. Ayudado por dicha resolución, intenta resolver el siguiente: “Tenemos 10 montones de 10 monedas. Uno de ellos está formado por monedas falsas. El peso es lo que diferencia las monedas verdaderas de las falsas: las verdaderas pesan 10 g y las falsas 11 g. ¿Cómo descubrir el montón de monedas falsas realizando una sola pesada con una balanza?”

Los alumnos presentaron un trabajo escrito, respondiendo a las cuestiones planteadas en los apartados 2.2 y 2.3.



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3. Relación entre las actividades y los contenidos


Si tenemos en cuenta los objetivos generales planteados en la experiencia, podemos afirmar que no hay una actividad concreta asociada a cada uno de ellos. Con la realización de las mismas, se intentarán alcanzar dichos objetivos.

En cuanto a los específicos, se diseñó, al menos, una actividad ligada a ellos. Así, por ejemplo, para conocer parte de la historia de las Matemáticas y a sus protagonistas podemos encontrar ejercicios en los capítulos XI (actividades 2 y 3), XV (actividad 2), XVIII (actividades 2 y 3), XX (actividades 2 y 3) y XXIV (actividad 3) y XXVII (actividad 1), en las que los alumnos profundizarán en la vida y aportaciones de matemáticos tan importantes como Pitágoras y otros no menos importantes como Arquímedes, más conocido por el principio que lleva su nombre y Eratóstenes.

Antes de comenzar con los objetivos específicos centrados en contenidos matemáticos, planteamos una actividad (número 2, capítulo XI)

4. Desarrollo de las actividades

Una de las primeras dificultades que encontraron los alumnos fue la comprensión de algunos de los términos aparecidos en la lectura del texto. Por eso, aunque no estaba programado en un primer momento, se incluyeron actividades en las que se pedía buscar en el diccionario aquellos términos no incluidos en el glosario del libro.

Se sorprendieron de que un pasatiempo tan conocido como los sudokus, tuviera su origen en los cuadrados mágicos, descubiertos siglos atrás.

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No tuvieron excesivos problemas en la realización de las actividades que requerían algún tipo de conocimiento matemático, puesto que en casi todas se daban pistas para su resolución, tomemos como ejemplo la actividad 3 del capítulo V: Resuelve el siguiente problema utilizando interpolación: “La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95 € por 375 Kwh. de consumo, y en enero 130,40 € por 552 Kwh. ¿Cuánto tendrán que pagar si consumen 420 Kwh?, lo cual hacía que los alumnos se apoyasen en su libro de texto o en internet, para buscar problemas “modelo” que les sirvieran de ayuda.

No podemos decir lo mismo de la tecnología, ya que como se indica más detenidamente en las dificultades, tuvimos algún que otro problema tanto con conexión, como de falta de recursos para poder llevar a cabo la experiencia de una forma más eficiente.

Hubo que diseñar trabajo alternativo para los alumnos que no participaron en la investigación, debido a la imposibilidad de buscarles otro lugar distinto de la clase habitual.

Por último, comentar que la falta de nociones básicas para el trabajo en grupo, hizo que algunos alumnos se mantuvieran como espectadores, mientras otros realizaban el trabajo. Esto hizo que los profesores tuvieran que emplearse a fondo en el mantenimiento del orden, puesto que se dedicaban a perder el tiempo con los que no habían participado.


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5. Evaluación de la experiencia


5.1. Logros

Los principales logros de la experiencia se enumeran a continuación:

• Se trabajaron las Matemáticas desde un enfoque diferente al habitual. • Los alumnos participaron activa y responsablemente en la elaboración de los trabajos. • Se mejoró el desarrollo de la creatividad y estrategias para la resolución de problemas. • Se aprendieron a usar las TIC para la búsqueda de información. • Se consiguió corregir, por lo menos en parte, un informe de la inspección educativa en

el que se decía que nuestro Colegio no utilizaba materiales distintos del libro de texto.

5.2. Dificultades

Como en todo proceso novedoso y de cambio, se presentaron algunas dificultades, que sirvieron de aprendizaje para poder mejorar la experiencia en el curso próximo:

• Carencia de libros suficientes para todos los alumnos en la biblioteca del Colegio. • Sólo el 38,5% de los alumnos superaron la primera fase de la experiencia. • Poco tiempo de trabajo en clase (sólo una hora semanal). • Falta de recursos materiales (impresoras o CDs para poder grabar la información

obtenida). • Imposibilidad de controlar las páginas web a los que se conectaban. • Retraso en el desarrollo de la programación didáctica, ya que la asignatura solo dispone

de tres horas semanales.

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• Conseguir mantener el orden por parte de los alumnos que no participan en la experiencia.

• Pérdida de tiempo de los alumnos que no participaron. • Algunos alumnos se dedicaron a ser meros espectadores en el trabajo de grupos.

5.3. Valoración de los alumnos

Los datos que se reflejan a continuación fueron obtenidos de las respuestas dadas por los alumnos a los cuestionarios propuestos antes y después de la experiencia.

1. ¿Te gusta leer?

Nada: 8,4% Poco: 33,4% Bastante: 38,5% Mucho: 19,7%



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2. ¿Con qué frecuencia sueles leer libros en tu tiempo libre?


Nunca: 21% Casi nunca: 31,9% Alguna vez al trimestre: 6% Alguna vez al mes: 15,4% Una o dos veces por semana: 10,2% Todos los días: 15,5%

3. Horas dedicadas a la semana a la lectura de libros 2,7 horas

4. ¿Cuántas horas dedicas a la semana a la lectura de libros que no sean de texto o mandados por tus profesores?

0,7 horas

5. ¿Qué tipo de libros sueles leer? Novela: 40,8% Humanidades (Historia, arte, literatura,…): 24,2% Otros: 35%

6. ¿Cómo consigues los libros que sueles leer? Los compro: 65,2% Me los prestan: 19,5% Me los regalan: 6,2% Los saco de la biblioteca: 9,1%

7. ¿Tienes internet en casa? Si: 91,3% No: 8,7%

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8. ¿Cuánto tiempo dedicas a la semana al uso del ordenador?


Menos de 2 horas: 36,6% Entre 2 y 7 horas: 43,8% Entre 7 y 14 horas: 13,9% Más de 14 horas: 5,7%

9. ¿Para qué sueles usar preferentemente el ordenador? Juegos: 33,8% Temas de estudio: 11,7% Búsqueda de información: 28,3% Correo electrónico o chat: 26,2%

10. Interés por la materia. Mejor antes de la experiencia: 20% Mejor después de la experiencia: 40% Igual: 40%

11. Aprendizaje de la materia. Mejor antes de la experiencia: 60% Mejor después de la experiencia: 20% Igual: 20%

12. Ambiente de trabajo. Mejor en clase normal: 40% Mejor durante la experiencia: 30% Igual: 30%

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13. Relación con los compañeros:


Mejor en clase normal: 20% Mejor durante la experiencia: 40% Igual: 40%

14. El profesor mantiene mejor el orden. Mejor en clase normal: 40% Mejor durante la experiencia: 30% Igual: 30%

Las nueve primeras preguntas del cuestionario se hicieron, antes de la experiencia, a los 26 alumnos que decidieron participar. Las respuestas incluidas ayudan a comprender cuál es la familiaridad y uso del ordenador por parte de los alumnos, así como sus hábitos de lectura.

Las dos primeras preguntas hacen referencia al gusto por la lectura y a la frecuencia de lectura en el tiempo libre. Más de la mitad de los alumnos, el 58,2%, afirman que les gusta leer bastante o mucho, lo cual es un buen dato de partida. Un dato significativo es que un 15,5% del alumnado lea todos los días, es decir, aproximadamente 4 alumnos leen a diario.

Las horas dedicadas a la lectura semanal de libros que no tengan relación con las materias estudiadas se aproxima a 45 minutos.

En la preguntas 7, 8 y 9 se ve que casi todos tienen acceso a internet, que dedican demasiado tiempo al uso del ordenador (un 63,4% dedica más de 2 horas semanales) y que sólo el 40% lo hacen para buscar información o para su estudio.

Al final de la experiencia se plantearon las cuestiones restantes, en las que se pudo comprobar como un 40% mostraba más interés después de la realización de la misma.

En las últimas preguntas se comprobó como mejoró la relación con los compañeros y sin embargo llama la atención que el ambiente de trabajo sea mejor en la clase tradicional y el orden también. Esto puede ser debido a la falta de costumbre en cuanto a la realización de trabajos en grupo tanto por parte de los alumnos como por parte de los profesores de matemáticas, habituados en gran parte a las clases meramente instructivas.

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5.4. Valoración del profesorado


A continuación, se recogen algunas de las opiniones vertidas por el profesorado participante:

• Cuando se realiza la tarea, están más interesados, preguntan más y se les hace más corta la clase.

• El libro ha servido para contextualizar algunos de los contenidos vistos a lo largo del curso.

• Ha faltado tiempo para acabar el temario programado debido a la experiencia. • Se han sorprendido de que haya libros relacionados con las Matemáticas, al margen de

los de texto. • El grado de motivación alcanzado por los alumnos ha sido satisfactorio. • Ha aumentado la demanda de “libros matemáticos” en la Biblioteca del Centro. • Algunos de los alumnos que no han participado en la experiencia, sintieron cierta

“envidia” al ver el trabajo que realizaron sus compañeros. • Se utilizó internet para búsqueda de información dentro del colegio, algo a lo que no

estaban acostumbrados los alumnos. • ¿Se podría organizar algún curso para elaboración o perfeccionamiento de materiales

relacionados con las matemáticas y la lectura? • Nos quedamos con una última opinión, expuesta de forma literal: “Repetiría”.

Quedan recogidas las opiniones, tanto de los profesores cuyos alumnos participaron, como de los que no participaron, pues todos tuvieron acceso al material y a sesiones de preparación para poner en marcha la experiencia.

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5.5. Propuestas de mejora

Después de analizar las opiniones de los profesores y las dificultades surgidas durante la experiencia, se sugieren algunas mejoras para cursos posteriores:

• Elegir varios textos e intentar diseñar actividades que cubran la programación del curso, para ser integradas en cada una de las unidades, como una tarea más y así evitar el retraso que mencionaban los profesores.

• Planificar la experiencia con el tiempo suficiente, para poder mantener una reunión con la Dirección del Centro y exponer las demandas de material y medios necesarios para la realización del proyecto.

• Pedir ayuda al Departamento de Orientación, para dar algunas nociones básicas a los alumnos sobre cómo debe trabajar en grupo.

6. Conclusiones

Teniendo en cuenta el proceso y los datos recogidos durante la experiencia, las conclusiones que se extraen son las siguientes:

• El empleo de esta novela como material didáctico ha favorecido la lectura y ha aumentado la comprensión de los conceptos matemáticos aparecidos en el texto.

• El uso de este tipo de recurso modifica el clima de trabajo de la clase. Hay una mayor participación e interés.



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• Ha aumentado la motivación de los alumnos participantes hacia la lectura en general y hacia los libros de contenido matemático en particular.


• Las relaciones con los compañeros durante la experiencia han mejorado, tal vez porque el ambiente de trabajo es más distendido que en las clases normales.

Y para terminar un extracto de Carlo Frabetti:

La literatura y la matemática no son tan distintas como parecen (o como las hacen parecer), pues ambas intentan ayudarnos a comprender mejor el mundo en el que vivimos, y ambas lo hacen creando situaciones imaginarias y planteando problemas que hay que resolver.

Bibliografía

De la Fuente, C. (2007). La ciudad de los colores. Suma, 56, 119-126. Enzensberger, H. (2005). El Diablo de los números. Suma, 49, junio 2009, 47-52. Frabetti, Carlo. (2009). Literatura y matemáticas. Uno, 50, 42-46. Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras y los números. Barcelona: Ediciones B. Jouette, A. (2000). El secreto de los números. Barcelona: Robinbook. Marchesi, A.; Martín, E., compiladores. (2003). Tecnología y aprendizaje. Investigación sobre el

impacto de ordenador en el aula. Madrid: SM. Marín, M. (1999). El valor del cuento en la construcción de conceptos matemáticos. Números, 39, 27-

38. Marín, M. (2009). Matemáticas y literatura, un binomio perfecto. Uno, 50, 47-63. Marín, M.; Lirio, J.; Portal, E. (2005). Contar las matemáticas para enseñar mejor. Taller matemático

literario. En Actas XI Jornadas sobre el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas. Consejería de Educación, Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias.

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Tahan, M. (2000). El hombre que calculaba. Barcelona: Verón.

José Luis González Fernández, Universidad de Castilla-La Mancha, Escuela de Magisterio, Ronda de Calatrava s/n, 13003 Ciudad Real. Nacido el 17 de julio de 1973 en Ciudad Real, soy licenciado en Ciencias Matemáticas y DEA en Ciencias de la Educación. Actualmente me encuentro haciendo la tesis doctoral sobre Matemáticas y Literatura. Entre mis publicaciones se encuentran artículos de muy diversa índole, como Matemáticas y elecciones o capítulos de libros para Educación Secundaria Obligatoria. También cabe destacar la coautoría de la serie de videos didácticos de Matemáticas Las aventuras de Troncho y Poncho, que pueden ser visualizadas dentro de la página web: www.angelitoons.com

http://www.angelitoons.com/

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Tras el muro misterioso, cuadrados y triángulos

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

-Club Matemático1-

Resumen Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia en la metodología de su resolución. Análisis de los problemas propuestos en los Torneos de Primaria de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas.

Palabras clave Olimpiadas matemáticas; Resolución de problemas; Metodología; Problemas para primaria; Problemas sin texto.

Abstract Solutions to the exercises in the previous issue, with special emphasis on the methodology of its resolution. Analysis of the problems set in the Primary Tournaments Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas.

Keywords Olympics mathematics; Solving math problems; Methodology; Problems primary; Math problems without text

Terminamos nuestro anterior artículo con un curioso problema que utilizamos en nuestras charlas para llamar la atención sobre formas de presentarlos, búsqueda de distintas soluciones y, especialmente, la relación que hay entre lectura y comprensión.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). [email protected] / [email protected]



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Tras el muro misterioso, cuadrados y triángulos -Club Matemático-

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Entre las curiosidades que presenta está el no tener ningún texto escrito, ni siquiera para hacer una pregunta. Claro que podría ponerse, pero sin duda es más interesante así; de esta manera puede proponerse a alumnos de Educación Infantil que aún no saben leer y, también, porque la comprensión incluiría la búsqueda de la pregunta del problema.

Pero eso no quita para poder proponerse a alumnos de mayor edad e, incluso, a adultos y profesores para reflexionar sobre el proceso de resolución de problemas. Van a aparecer cuestiones muy interesantes sobre maneras de presentar un problema, el proceso de lectura, la comprensión, la búsqueda de soluciones múltiples, la comprobación de resultados, el uso de la estrategia de modelización en diferentes momentos del proceso, etc.

Debería empezarse, como siempre, por la fase de COMPRENDER, es decir, la búsqueda de datos, objetivo y relaciones. Aquí parece interesante comenzar por el objetivo ya que no tenemos una pregunta y dicha pregunta habrá de salir de la lectura visual, que requiere observación (mirar con inteligencia) y la idea de problema. Los niños no suelen tener complejo a la hora de ofrecer ideas. Dirán sucesivamente que la pregunta debe ser: ¿Cuántos árboles hay? ¿Cuántos caracoles hay? ¿Cuántas manos hay? ¿Cuántos tablones tiene la valla? Ahí comienza el debate. ¿Es difícil contestar a esas preguntas? No, sólo hay que contar sobre el dibujo: 1 árbol, 1 caracol, 5 manos, 10 tablones. Pues, ¡entonces no hay problema! Para que el dibujo propuesto sea un problema es necesario que la respuesta a la pregunta no sea obvia, no sea evidente, sino que, por el contrario, exija un fuerte proceso de resolución. Esa es la diferencia entre problema y ejercicio. El objetivo deberá ser algo oculto, que requiera pensar mucho antes de poder encontrarlo. No hace falta decir más; inmediatamente dirán: ¿Cuántos niños habrá detrás de la valla? Con niños mayores pasará igual y con adultos también; si acaso la pregunta aparecerá antes, mezclada con las anteriores. Habrá de explicar por qué ésa es la buena y las otras deben descartarse.

Ahora deberá buscarse los datos. Todo lo que se ve es un posible dato; son cosas conocidas y manejables matemáticamente. Pero no todas valen, deben presentar coherencia con el objetivo. Para averiguar cuántos niños habrá detrás de la valla no me sirven el árbol, ni el caracol, ni la propia valla. Los datos son las manos. Pero se necesita un análisis de lo que se aprecia en esas manos como datos del problema: ¿Cuántas? ¿Cómo son? ¿Qué características presentan?

Y comienza así la extraordinaria tarea de resolver un problema. Las observaciones aparecen poco a poco, unas detrás de otras, en relación siempre con las preguntas que hace el profesor.

.- ¿Cuántas manos hay? Son cinco.

.- ¿Cómo son? Unas son iguales y otras no.

.- ¿En que se diferencia? Se distinguen en que unas se ven por delante y otras por detrás.

.- ¿Cómo lo sabes? Porque en unas se ven las uñas y en las otras no.

.- ¿Cuántas de cada clase? Cuatro se ven por detrás y una por delante. En la que se ve por delante no se ven las uñas pero sí se aprecian las marcas de la piel de las palmas.

.- ¿Son iguales las cuatro que se ven por detrás? No, hay tres que sí y una que no.

.- ¿En qué lo aprecias? En la posición del dedo gordo.


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.- ¿Entonces? …

Y aparece la primera maravillosa idea. Los niños empiezan a mirar sus propias manos, las toman como modelos y observan una y otra vez hasta que deducen: Tres de las que se ven por detrás son manos derechas y la otra es izquierda.

.- ¿Y la que se ve por delante? También es derecha.

Resumiendo: hay cinco manos, cuatro son derechas y una izquierda.

¿Y la relación? ¿Cuál es? Si el objetivo es averiguar cuántos niños hay tras de la valla y los datos son las manos que vemos, la relación es que cada niño tiene, normalmente, dos manos, una derecha y la otra izquierda y que puede estar enseñando una cualquiera de ellas o las dos.

Fantástico, ¿hace falta un diagrama? No, el dibujo que representa el problema nos indica todo lo que necesitamos saber.

Viene ahora la fase de PENSAR. Hay que elegir una estrategia de pensamiento que nos permita afrontar la resolución. Podría ser la modelización; tenemos ya la cantidad de manos y sus características, por lo tanto los alumnos podrían dramatizar la situación y, por ensayo y error, ir buscando la cantidad posible de niños que puede haber tras la valla. Pero parece mejor y no muy complicado el organizar la información de que disponemos. Así, pues, pensar en lo que sucede si cada niño enseña una mano o si, por el contrario, puede enseñar una o las dos.

La fase de EJECUTAR nos dará una solución para cada caso. Si cada niño enseña una mano tendremos cinco niños detrás de la valla. Si cada niño puede estar enseñando una o las dos manos, al contar cuatro derechas esto significa que hay al menos cuatro niños (cada niño sólo puede tener una derecha). Si la izquierda es de un nuevo niño, la solución es igual a la anterior. Si es de uno cualquiera de los niños ya contabilizados, entonces hay cuatro niños detrás de la valla.

Pero lo maravilloso no acaba aquí. Muy rápidamente alguno piensa y se da cuenta que puede haber más niños detrás de la valla, siempre y cuando no estén enseñando alguna mano. ¿Cuántos? Todos los que quiera uno pensar. ¿Cómo expresamos esa idea? Después de algunas controversias podemos llegar a una expresión matemática que evite la aparición de cosas como “muchísimos” o, peor, “infinitos”. Esa expresión es: también puede haber más de cinco niños detrás de la valla, contando a los que no levantan las manos. Es extraordinario pensar que hemos encontrado un problema con solución múltiple, partiendo de una situación tan simple.

Pero, claro, ahora llega la fase de RESPONDER. Hay previamente que comprobar y analizar cada una de las tres soluciones para dar una respuesta adecuada. Ahora también podemos utilizar la modelización y la dramatización para realizar estas tareas. Utilizando un biombo (o una pizarra, o una pantalla, o…) podemos pedirle a un grupo de alumnos que se coloquen detrás y que levanten las manos que crean oportunas para que se vea sobre ella lo mismo que en el dibujo del problema. Realizadas las tres comprobaciones podemos presentar nuestra

Respuesta: Detrás de la valla puede haber cinco niños, si cada uno levanta una mano, cuatro niños, si uno de ellos levanta las dos manos, o más de cinco, si hay otros niños que no levantan ninguna mano.



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También presentamos dos problemas que habían sido descartados de la selección hecha para la XX Olimpiada Matemática Nacional.

Veamos el primero de ellos.

EL CAMPO AGRANDADO

Julián posee un terreno cuadrado vallado. Decide agrandarlo de manera que el terreno siga siendo cuadrado y tenga cada lado con un metro más. De este modo la superficie de su campo aumenta en 41 m2.

¿Cuál era la longitud de los lados del anterior terreno de Julián? Ahora que el terreno es más grande, el vallado de antes no es suficiente: ¿cuántos metros de

valla faltan? Explicad cómo habéis hallado vuestras respuestas.

Los datos del problema: terreno en forma de cuadrado (geometría).

La relación: cuando aumenta el lado en un metro, el área aumenta en 41 m2 (medida).

El objetivo: La medida del lado del terreno original y los metros de valla que faltan (cuánto aumenta el perímetro).

El diagrama: uno cualquiera de éstos:

La segunda cuestión se resuelve fácilmente: puesto que cada lado aumenta un metro, el perímetro aumenta 4 metros; estos son los metros de valla que faltan. El área la podemos intentar por otras metodologías.

Si trabajáramos por modelización, tendríamos que dibujar y recortar las figuras sobre papel o cartulina. Recortar los trozos nuevos y ajustarlos a la figura inicial, ver cómo se prolonga el cuadrado y decidir qué figura se obtiene para relacionarlas, finalmente, entre sí.

Al descomponer la parte nueva se forman dos rectángulos y un cuadrado pequeño de 1 metro de lado. Los dos rectángulos juntos tienen por área 41-1 = 40 m2.

Teniendo el mismo largo (el lado del viejo campo) y el mismo ancho (1 metro), tienen la misma área, que vale para cada uno de ellos 20 m2 Los lados del viejo campo miden, por tanto, 20 metros.

Si trabajamos por ensayo y error, bastaría con utilizar una tabla en la que hacemos variar el lado, para determinar la solución correspondiente:


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Medida del lado anterior (en m) 16 17 … 20 21 … Área del cuadrado anterior (en m2) 256 289 400 441 Medida del lado nuevo (en m) 17 18 21 22 Área del cuadrado nuevo (en m2) 289 324 441 484 Diferencia entre las áreas (en m2 ) 33 35 41 43

Rápidamente se percibe que las diferencias entre los dos cuadrados aumentan de 2 en 2 cuando vamos incrementando el lado, y que hay una sola solución.

Otra manera de tener la respuesta a la segunda pregunta a partir de esta tabla sería también sencilla, pues bastaría con realizar algunos cálculos aritméticos de suma y multiplicación para tener el perímetro del primer cuadrado y el del nuevo, y una resta para, finalmente, tener el aumento producido en el vallado.

4 x 20 = 80 m; 4 x 21 = 84 m; 84 – 80 = 4 m.

También se puede organizar la información en función de los conocimientos específicos que se posean acerca de la relación entre área y lado y perímetro y lado. O también utilizar un poco de álgebra.

(x + 1)2 – x2 = 41

Pero parece intentar matar moscas a cañonazos, ¿verdad?

Solución: El lado del terreno original mide 20 metros y faltan 4 metros de valla.

Ahora le toca al segundo problema.

COMPARACIÓN DE TRIÁNGULOS

Para comenzar, considerad un triángulo cualquiera ABC. Después prolongad: - el segmento AB a partir de B en un segmento de la

misma longitud de AB, obteniendo así el punto B’; - el segmento BC a partir de C en un segmento de la

misma longitud de BC, obteniendo así el punto C’; - el segmento CA a partir de A en un segmento de la

misma longitud de CA, obteniendo así el punto A’; Comparad las áreas de los triángulos AB’C, BC’A y CA’B con la del triángulo ABC. ¿Cuál es la razón o cociente entre las áreas de los dos triángulos A’B’C’ y ABC? Explicad cómo habéis encontrado vuestras respuestas.

Volvemos a tener un problema en el que se unen la geometría (del triángulo) con la medida (área del triángulo, comparación de áreas).

Pero sobre todo es valioso por dos aspectos interesantes: primero, por la interpretación del dibujo que se presenta y su utilización, y, segundo, por el uso de esa escritura geométrica descriptiva tan singular y a la que tan poca atención se presta últimamente.



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Debemos conocer claramente que el área de un triángulo vale la mitad del producto de la longitud de un lado por la longitud de la altura correspondiente al mismo.

Luego, los conceptos gráficos de base y de altura son fundamentales para analizar todos los casos de igualdad de área que se presentan.

Considerar el triángulo ACB’ y darse cuenta que está formado por dos triángulos, CBA y CBB’, que tienen la misma área puesto que tienen la misma altura respecto a los lados iguales AB y BB’. De modo análogo, constatar que el triángulo BAC’ está formado por dos triángulos, ACB y AC’C, con la misma área, y que el triángulo CBA’ está formado por dos triángulos, BAC y BA’A, con la misma área. Concluir, por consiguiente, que cada uno de los triángulos ACB’, BAC’, CBA’ tiene área doble que la de ACB.

Descomponer el triángulo A’C’B’ en 7 triángulos. Después observar que, utilizando el mismo tipo de razonamiento del apartado anterior, los triángulos B’BC y B’CC’ tienen la misma área, igual a la de ACB, así como C’CA y C’AA’ y también A’AB y A’BB’. Deducir que tenemos entonces 7 triángulos de área igual a la de ACB, que componen el triángulo A’C’B’.

La razón requerida es, por tanto, 7.

Respuesta: Cada uno de los tres triángulos ACB’, BAC’, CBA’ tiene un área que mide el doble que el área de ACB. La razón entre las áreas de los triángulos A’B’C’ y ABC es 7.

En diversos artículos de esta serie hemos prestado atención a diferentes concursos de problemas que se realizan. Con respecto a la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas hemos mencionado ya, en numerosas ocasiones, el Torneo para alumnos de 2º de E.S.O. y, en nuestro último artículo, las XX Olimpiadas Nacionales por ella organizadas.

Pero no habíamos hecho ningún comentario, hasta ahora, del Torneo de Primaria que dicha Sociedad organiza para alumnos de 6º de E. P. La razón es que ha sido muy recientemente cuando se ha podido llevar a efecto, a pesar de haberlo intentado en muchas otras ocasiones. Por fin se cuentan ya con tres ediciones de este Torneo y ya está en marcha la Convocatoria del Cuarto.

Hoy vamos a comentar un poco los problemas aparecidos en las ediciones anteriores.

El I Torneo de Matemáticas de Educación Primaria presentó estos cinco problemas:

1.- El cuerpo del gusano está formado por círculos. ¿Cuántos gusanos diferentes hay, si 3 de las 5 partes de su cuerpo son amarillas y las otras 2 son verdes?

Es un problema bien sencillo, que presenta una iniciación a la combinatoria sin necesidad de teorías ni fórmulas de cálculo. Basta con una pequeña investigación que se puede realizar repitiendo


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el dibujo y coloreando o simplemente con un código de letras para representar colores, del tipo AAVAV. El orden y la exhaustividad garantizarán la búsqueda de todos los gusanos diferentes. Un conteo final dará la respuesta.

2.- Roberto hace un túnel con cubos (figura 1). Cuando se aburre, lo deshace y forma la pirámide de la figura 2. ¿Cuántos cubos del túnel original le han sobrado, después de hacer la pirámide?

Es éste un problema de conteo inteligente. Cada persona tiene sus estrategias personales de conteo. Aquí se pueden evidenciar todas ellas y garantizar el conocimiento compartido entre todos los alumnos para, así, mejorar sus propias estrategias. El ideal está en imaginar agrupaciones de cubos fácilmente contables y utilizar las operaciones de sumar, restar y multiplicar para el cálculo final.

3.- Cinco chicos se pesan de dos en dos, de todas las maneras posibles. Los pesos de las parejas son: 90kg, 92kg, 93kg, 94kg, 95kg, 96kg, 97kg, 98kg, 100kg y 101kg. El peso conjunto de los cinco chicos es:

Hay dos ideas básicas que los alumnos deberán poner en juego:

1º, cuántas parejas se pueden realizar, para comprobar que los datos del problema están ajustados, y

2º, que ocurre si sumamos todas las pesadas que forman el conjunto de datos.

A partir de ahí es un sencillo problema aritmético de sumar y dividir.

4.- Un pentaminó es una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentaminós diferentes, que se nombran con diferentes letras del abecedario.



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Usándolos todos, construye la siguiente torre:

Parece bastante complejo que un alumno pueda realizar este problema correctamente y en un tiempo limitado, como es el de una prueba. Pero puede hacerse manipulativamente, dando a cada uno un juego de doce pentaminós y una plantilla del objetivo. Si están acostumbrados a trabajar este tipo de actividades, pueden incluso realizarlo dibujando o coloreando sobre la plantilla. No olvidemos que este material es uno de los más utilizados en la Escuela Primaria para desarrollar el sentido espacial. En un artículo anterior de esta revista hemos dado una guía de actuación con los pentaminós o pentaminos o pentominós, como gustéis… Por si están interesados, al final del artículo se encuentra una posible solución.

5.- Coloca los signos matemáticos que hagan falta para convertir las siguientes expresiones en ciertas:

signo signo 2 2 2 = 9 3 3 3 = 9 4 4 4 = 9 5 5 5 = 9 6 6 6 = 9 7 7 7 = 9 8 8 8 = 9 9 9 9 = 9

Normalmente este problema pide buscar los números a partir de los signos operativos. Aquí se procede al revés. El alumno procederá por ensayo y error acercándose sucesivamente, a partir de los resultados previos, a los aciertos. Comenzará buscando los más evidentes, como en el último caso, donde con una suma y una resta resuelve la situación. O como en el segundo caso, donde resuelve con dos multiplicaciones. Pero, ¿habrá alguna que no pueda ser resuelta? ¿Cuál o cuáles?

El II Torneo de Matemáticas de Educación Primaria presentó los siguientes problemas.

Problema 1. Equilibrio

La figura muestra un payaso en equilibrio encima de dos bolas y una caja cúbica. El radio de la bola inferior es 6 dm, el radio de la superisor es tres veces menos. La arista de la caja cúbica es 4 dm más larga que el radio de la bola superior. ¿A qué altura sobre el suelo está el payaso?

Relación entre diámetro y radio, las relaciones “tres veces menos” y “4 dm más larga”, más las operaciones aritméticas adecuadas y ya tenemos respuesta.


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Problema 2. Los túneles

Se hacen túneles que atraviesan el cubo grande en la forma indicada en la figura. ¿Cuántos cubos pequeños quedan?

A partir de la cantidad total de cubos de la figura sin túneles, 5x5x5, eliminar todos los cubos de los tres túneles. Pero, ¡cuidado!, cuando se trabaje con el segundo túnel algún cubo pueden haber sido quitado ya; y lo mismo va a suceder cuando se trabaje con el tercero. Es un problema de control del conteo, de atención.

Problema 3. Las hermanas

Alicia y Alba son hermanas. Alicia tiene 4 años más que Alba. Alba tiene más de 4 años y menos de 9. La media de las dos edades es de 9 años. ¿Qué edad tiene cada una?

No olvidemos que estos alumnos, generalmente, no usarán el álgebra. Pero sí deben tener el concepto, aunque sea intuitivo, de media. Mediante tanteos, casi ningún alumno fallará este problema.

Problema 4. El vivero

El tío Armiche tiene un vivero de dragos organizado tal y como se ve en el dibujo. Debe quitar doce dragos de forma que queden en el vivero cuatro en cada fila y cuatro en cada columna. ¿Puedes ayudarle?

Un problema que nos suena a Loyd o Dudeney, tan interesantes siempre a pesar del paso del tiempo. ¿Se atreven a buscar una solución?

Problema 5. Trece ratones

Los trece ratones que rodean a este gato están condenados a ser devorados por él. Pero el gato ha decidido comérselos en cierto orden. Comenzando por uno de ellos, cuenta trece siguiendo el sentido de las manecillas del reloj. Se come al que hace el trece y sigue la cuenta. ¿Por donde habrá de empezar a contar para comerse el ratón blanco en último lugar?

Tiene el mismo “sonido” que el anterior, y también nos remite a problemas clásicos como el de Josefo. El ensayo y error puede ser muy tedioso y los alumnos se cansarían, no tienen la suficiente paciencia. Pero con una estrategia de “ir hacia atrás”… ¿Se atreven con éste también?



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Los problemas propuestos en el III Torneo de Matemáticas de Educación Primaria los ofreceremos en un próximo artículo. De todas formas, si desean conocer algo más de este Torneo pueden dirigirse al sitio Web de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, cuya dirección es www.sinewton.org

Esta es la solución de la torre.

Y aquí queda todo por ahora. Pero insistimos, la viveza de esta sección depende de nuestros lectores. No sólo al leernos, sino con sus aportaciones: sus soluciones, sus comentarios o sus propuestas. Hágannos caso, escríbannos.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista


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Un saludo afectuoso del Club Matemático.

http://www.sinewton.org/

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Análisis de algunas WebQuest dedicadas a la Historia de las Matemáticas

Óscar J. Falcón Ganfornina (Universidad de Sevilla) Raúl M. Falcón Ganfornina (Universidad de Sevilla)

Juan Núñez Valdés (Universidad de Sevilla) Ángel F. Tenorio Villalón (Universidad Pablo de Olavide, de Sevilla)

Resumen Este artículo trata el concepto y la utilización de las WebQuest por parte del profesorado de Matemáticas en los diferentes niveles educativos, haciendo énfasis tanto en Educación Secundaria Obligatoria como en Bachillerato. Más concretamente, se comentan algunas de las escasas WebQuest existentes en Internet y versando sobre la Historia de las Matemáticas en castellano, además de realizar un estudio crítico de las mismas, indicando aquellos aspectos, que en nuestra opinión, podrían considerarse favorables y los que podrían verse mejorados.

Palabras clave WebQuest, Historia de las Matemáticas, TIC, Educación Secundaria.

Abstract This paper deals with the concept and the philosophy of WebQuest, as a tool for teaching Mathematics in all the educational levels (emphasizing High School level). More concretely, we analyze some WebQuest about History of Mathematics on Internet and in Spanish, as well as studying in depth these WebQuest and indicating both their advantageous aspects and the ones to be improved.

Keywords WebQuest, History of Mathematics, ICT, High School level.

1. Introducción: origen y evolución de las WebQuest

En este artículo se continúa con la labor emprendida en otros anteriores de los autores (Falcón, Núñez y Tenorio, 2007; Falcón, Núñez y Tenorio, 2008; Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio, 2009; Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio, 2010). Todos ellos eran relativos al concepto de las WebQuest y a su utilización por parte del profesorado de Matemáticas en los diferentes niveles educativos (haciendo un especial énfasis en las etapas de Secundaria Obligatoria y de Bachillerato), buscando la motivación de su alumnado en clase. Más concretamente, los autores explicaron el uso de las WebQuest como una herramienta docente para su uso en el aula, centrándose en los diferentes bloques de contenidos existentes en el currículum: Geometría (Falcón, Núñez y Tenorio, 2007; Falcón, Núñez y Tenorio, 2008), Estadística y Probabilidad (Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio, 2010). Una visión global de su uso en el aula en los diferentes bloques de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato puede consultarse en Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio (2009). Además, un ejemplo de construcción de una WebQuest propia es dado también en Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio (2010), haciendo uso de editores de WebQuest existentes en Internet y que comentaremos posteriormente.

En esta ocasión, nos centramos también en ejemplos aplicables al nivel de Bachillerato. Más concretamente, se presentan y comentan la mayoría de las WebQuest existentes en Internet sobre la Historia de las Matemáticas, escritas en castellano. El propósito de este artículo es aprovechar esta

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Análisis de algunas WebQuest dedicadas a la Historia de las Matemáticas O.J. Falcón, R.M. Falcón, J. Núñez y A.F. Tenorio

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temática para facilitarle, tanto al profesorado como al alumnado, información sobre una serie de herramientas que pueden ser utilizadas provechosamente siguiendo las bases de los aprendizajes significativo (Ausubel, 1968) y constructivo (Piaget e Inhelder, 1969; Vigotsky, 1962), en los que el alumnado parte de su experiencia personal y de los conocimientos ya adquiridos para ir adquiriendo y asimilando los nuevos conocimientos. Además, desde la óptica del constructivismo, el alumnado debe ser capaz de aprender por sí mismo a crear su propio conocimiento, por lo que es esencial el trabajo autónomo y personal del alumnado. De este modo, las clases puramente magistrales en las que el docente es un transmisor de conocimiento deben dar lugar a clases en las que el docente dirige la creación del conocimiento que el propio alumnado está llevando a cabo. Por tanto, el profesorado debería dar, a lo sumo, una serie de indicaciones, explicaciones y ejemplos correspondientes a los conceptos teóricos y procedimentales en parte de las sesiones que tiene con su alumnado. Pero, como se ha indicado anteriormente, es el propio alumnado el que deber llevar el peso de la construcción y adquisición de los conocimientos correspondientes a la asignatura. El profesorado es, en consecuencia, un mero orientador y director en la adquisición de conocimientos por parte del alumnado. Debe tenerse en cuenta que, en las asignaturas de Matemáticas, las clases magistrales nunca han dominado la metodología docente, siendo esencial el trabajo de los alumnos y las alumnas resolviendo problemas y preguntándole al profesorado sus dudas para completar la adquisición de conocimientos.

Por otra parte, hoy en día es una realidad que la mayoría de los países desarrollados han incorporado las TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación) a sus respectivos Sistemas Educativos desde sus niveles más básicos, debido a la importancia que las TIC tienen en todos y cada uno de los aspectos (tanto profesionales como sociales) de la vida cotidiana. En la actualidad son pocas las profesiones que no emplean la tecnología y sus adelantos para su desempeño. Por tanto, el alumnado de Secundaria y Bachillerato debe recibir una formación tecnológica adecuada, que les permita manejar correctamente tanto ordenadores como cualquier otro recurso informático básico (incluido Internet). En tal dirección van las actuaciones de la Consejería de Educación (2007a, 2007b, 2008a y 2008b) de la Junta de Andalucía, la cual ha integrado en los currículos, tanto de Educación Secundaria Obligatoria como de Bachillerato, el desarrollo de la competencia digital por parte del alumnado, con el fin de capacitarlo en el uso de los recursos digitales existentes la sociedad tecnológica actual. Con ello se busca evitar una analfabetización tecnológica que les impida desenvolverse correctamente en la sociedad.

Pero no se debe solo a esta motivación, puramente utilitaria, por lo que las TIC son incluidas muy apropiadamente en la formación de nuestro alumnado. Debe tenerse en cuenta que muchas habilidades y competencias pueden desarrollarse empleando las TIC: búsqueda y selección de información, análisis crítico, resolución de problemas, trabajo en equipo, idiomas, capacidad de autoaprendizaje y de adaptación al cambio, iniciativa y perseverancia. Es por ello que las TIC se han revelado como unas herramientas muy útiles y provechosas en la labor docente, que permiten un tratamiento más ameno y estimulante de los conceptos para el alumnado.

Sin embargo, la utilización de los adelantos tecnológicos (entre ellos, Internet) para labores docentes en las aulas de los países desarrollados, no obedece a una idea relativamente reciente. De hecho, fue a mediados de la década de 1990 cuando Dodge (1995) y March (1998), profesores de la Universidad Estatal de San Diego en California, crearon un modelo de actividad de búsqueda en la web, basado en Internet. Su objetivo era implantar en sus clases una herramienta de trabajo en el aula, que ellos mismos denominaron WebQuest (WQ en lo sucesivo), con la que el alumnado usara Internet para buscar información disponible en la red y responder a las actividades planteadas; todo ello sin perder el tiempo con una búsqueda sin control de las innumerables páginas existentes en la red. De este modo, buscaban que la misma WQ contuviese los enlaces adecuados (seleccionados previamente por el profesorado) para que el alumnado se centrase en elaborar la información disponible.


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Hoy en día pueden encontrarse WQ de todo tipo de temática y nivel. De hecho, cualquier motor de búsqueda puede encontrar miles de WQ, aunque son aún bastante escasas las existentes en castellano. Puede consultarse Dodge (2007) para ver un repositorio de WQ que suele ser actualizado periódicamente, además de contener diversos foros y documentación pertinentes a la temática de las WQ.

En nuestro país, son las distintas comunidades autónomas españolas las que han ido creando bibliotecas y repositorios de WQ (ponemos como ejemplo a la andaluza, la aragonesa, o la catalana). Precisamente, fue en la comunidad catalana donde se llevaron a cabo las primeras y segundas Jornadas de WQ (organizadas por la Comunidad Catalana de WebQuest y el Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad Autónoma de Barcelona) en marzo de 2006 y 2008, respectivamente. En ambas, uno de los objetivos perseguidos era mejorar, ampliar y profundizar en el manejo y aplicación de las WQ, buscando fomentar el entusiasmo entre los educadores y educadoras y animarles a usar en las aulas con sus alumnos y alumnas. No obstante, y pese a su origen universitario, el uso de las WQ en España se ha centrado en Educación Primaria y Secundaria, tal y como observaron Huertas y Tenorio (2006).

Debe tenerse en cuenta que el interés de los autores en el presente artículo reside en el tratamiento de las WQ existentes en español y los recursos existentes sobre los mismos en este idioma. Lamentablemente, cuando se realiza cualquier tipo de búsqueda sobre las WQ, los resultados que suelen obtenerse son relativos a la lengua inglesa, en vez de la española. De hecho, si se buscan WQ sobre Matemáticas en Internet, el número de recursos existentes es notablemente muy superior al existente en nuestro idioma. Es más, son bastantes los trabajos existentes sobre WQ relativos al ámbito de las Matemáticas en el mundo anglosajón. Algunas referencias que pueden tenerse en consideración a este respecto son Guha y Leonard (2002) o Salsovic (2007).

Actualmente, son muchas las herramientas que nos permiten crear una WQ. Es más, incluso para aquellas personas que se adentren por primera vez en este mundo, puede serles de gran utilidad las explicaciones de Dodge (2002a) acerca de cuáles son las diferentes alternativas a la hora de buscar una WQ en la red: 1) encontramos justo lo que necesitamos, 2) encontramos algo parecido (tendríamos que pedir permiso al autor para cambiarla y mejorarla) y 3) no encontramos nada a nuestro gusto (buscamos otro recurso o, simplemente, creamos nuestra propia WQ).

2. ¿En qué consiste una WebQuest?

Por WQ se entiende cualquier actividad de investigación basada en el uso de la información existente en Internet y que está estructurada y guiada con el fin de evitar los obstáculos subyacentes a toda búsqueda de información contrastada en la red. De este modo, al alumnado se le proporciona una tarea bien definida, así como los recursos y las consignas necesarias para poder llevar a cabo dicha tarea (Dodge, 1995; Barba, 2002).

Por tanto, las WQ constituyen una estrategia didáctica en la que el propio alumnado construye de manera autónoma su propio conocimiento. Resolviendo la actividad planteada en la WQ, el alumnado irá más allá de un mero cortar y pegar información de diversas webs, siendo la obligación del docente el favorecer y estimular la búsqueda, procesamiento y comunicación de la información obtenida por el alumnado. Una forma de hacer todo esto es creando un escenario de juego grupal, en el que cada miembro del grupo tiene asignado un papel.

El empleo de una WQ conlleva planificar completamente la actividad por parte del docente. Su obligación será la de ayudar e, incluso, dirigir a sus alumnos y alumnas en la búsqueda de información. Esto ha de hacerse indicando sitios web de calidad en los que realizar dicha búsqueda o



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comenzar la misma. Las conclusiones de cada grupo de alumnos y alumnas sobre la actividad pueden entregarse mediante diversas modalidades: trabajo, exposición, debate con posiciones enfrentadas… En cualquier caso, debe estimularse tanto la colaboración como la discusión entre el alumnado, buscando fomentar el aprendizaje cooperativo. En consecuencia, “las WebQuest fortalecen las habilidades en el uso inteligente de la información que se encuentra en Internet” (Fainholc, 2004). Por tanto, un objetivo de las WQ es que el alumnado emplee correctamente los recursos y el tiempo, centrándose en la aplicación de la información más que en buscarla. De este modo, los alumnos y las alumnas deben planificar y realizar tareas de investigación con Internet como principal fuente de información, enfocándose el tiempo de trabajo al manejo y transformación de la información. Esto permite favorecer el desarrollo de los procesos intelectuales basados en el análisis, síntesis y evaluación (Adell, 2004).

3. Estructura de una WebQuest

El presente artículo considera la estructura en seis etapas para una WQ, indicada por autores como Pérez (1997-2009) y Adell (2004):

1. Introducción: información básica para el alumnado sobre la actividad a realizar. Debe orientar y motivar.

2. Tarea: descripción formal de la actividad a realizar, indicando cuál será el producto final de la tarea que se entregará al docente para la evaluación de la actividad. Solo será evaluable lo que se pida en esta etapa, que debe presentarse de manera adecuada y clara para que el alumnado conozca el objetivo final de la actividad y el formato de entrega de sus resultados. Los posibles tipos de tareas que pueden encomendarse con una WQ fueron indicadas por Dodge (2002b).

3. Proceso: pasos (breves y claros) a seguir en la realización de la tarea.

4. Recursos: listado de páginas web con información fiable y que permita al alumnado completar la tarea encomendada. El docente debe elaborar un listado adecuado a la tarea y al nivel de su alumnado. Con ello restringe la búsqueda, evitando páginas sin relevancia o de escaso rigor.

5. Evaluación: criterios claros, justos y consistentes. Es aconsejable preparar una plantilla de evaluación.

6. Conclusión: resumen de la actividad para una autoevaluación por parte del alumnado sobre su proceso para elaborar conocimientos. En ocasiones, incluye un feedback con el que los alumnos y alumnas sugieren mejoras en la actividad para su próximo uso.

A veces aparece una séptima etapa denominada Créditos o Créditos y Referencias. En ella se menciona una serie de datos técnicos relativos a la WQ. En esta etapa se indican todas las fuentes utilizadas (imágenes, música, textos…), incluyendo vínculos a las mismas. También aparecería aquí el nivel educativo al que se dirige la actividad.

Según su temporalización, una WQ puede ser a corto plazo o a largo plazo (Bracho, Luque y España, 2004). Las primeras se temporalizan entre una y tres sesiones; mientras que las segundas, de una semana a un mes. Estas últimas, con mayor número de tareas y profundidad, concluyen con una



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presentación del alumnado. Ahora existe una versión simplificada, denominada MiniQuest, con solo tres pasos (Escenario o Introducción, Tarea y Producto o Evaluación) y a completar en 50 minutos.

Por lo general, son cinco las reglas básicas que debería tener una WQ ideal:

1. Buenos sitios web para la etapa de Recursos.

2. Organización de estudiantes y cursos para que cada ordenador se use correctamente en cada instante. Cada alumno y alumna realizará una actividad significativa para la WQ.

3. Reto para el alumnado: la actividad no se reduce a redactar meros resúmenes de textos ya existentes. Debe asimilarse, procesarse y comunicarse la información encontrada en la red.

4. Uso de los medios disponibles en el centro (por ejemplo, software informático).

5. Refuerzo para el éxito: las tareas de una WQ no son rutinarias para el alumnado, permitiendo desarrollar el trabajo autónomo. Se prepara al alumnado para recibir, procesar y comunicar la información existente en la red, adecuándola a la tarea asignada.

Crear una WQ no es difícil, siendo muchas y diversas las herramientas existentes para ello en Internet en la actualidad:

1. Editores de páginas web: Dreamweaver©, Netscape Composer©, Mozilla Composer©, Microsoft FrontPage©, Microsoft Publisher©, Microsoft Word© o OpenOffice Writer©.

2. Modelos o plantillas existentes en las páginas de Dodge (2007) y de Pérez (1997-2009).

3. Generador de Aula XXI: recurso gratuito para crearlas paso a paso (Muñoz, 2004).

4. PHP WebQuest: generador que crea los documentos necesarios y los coloca en el servidor (http://www.phpwebquest.org/), uno de los más utilizado actualmente.

4. Análisis crítico de WebQuest sobre Historia de las Matemáticas

Con la idea de completar el estudio realizado previamente por los autores sobre el concepto y utilización de las WQ de Matemáticas (Falcón, Núñez y Tenorio, 2007; Falcón, Falcón, Núñez y Tenorio, 2008; Falcón, Núñez y Tenorio, 2008), se desarrolla en la presente sección el objetivo principal de este artículo: mostrar y analizar la mayoría de las WQ dedicadas a la Historia de las Matemáticas en castellano.

4.1. Las matemáticas a través del tiempo

La siguiente WQ puede utilizarse para que los alumnos y las alumnas realicen un estudio global de la Historia de las Matemáticas:

http://phpwebquest.org/wq25/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=25576&id_pagina=1



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http://www.phpwebquest.org/

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Esta WQ invita en la etapa Introducción a preguntarse por cuáles son los orígenes de muchos de los conceptos matemáticos existentes. Además, plantea cómo podrían verse las Matemáticas de una forma diferente si conociéramos sus inicios.

La WQ plantea el trabajo en parejas. De hecho, la Tarea le propone a cada pareja completar una serie de actividades que se plantean posteriormente en la etapa Proceso. La Tarea pide a los alumnos y alumnas que usen un procesador de textos, invitándoles a incluir imágenes, esquemas o gráficos que mejoren su trabajo. Finalmente, la Tarea pide que no se limiten a copiar textos, sino que los lean y los comprendan.

El Proceso de esta WQ lo forman las siguientes cinco actividades: 1) búsqueda de los orígenes y la descripción de los principales descubrimientos que tuvieron lugar gracias a las Matemáticas; 2) Estudio de la vida y obra de los matemáticos griegos Euclides y Pitágoras; 3) Búsqueda de biografías de al menos cinco mujeres matemáticas de diferentes épocas; 4) Origen etimológico de palabras como cálculo, álgebra o algoritmo, así como los de números primos, amigos y de oro; y 5) Clasificación de las Matemáticas.

La etapa Recursos está incluida dentro de la de Proceso y consta de siete enlaces a sitios web, algunos de sumo interés (con fotografías, animaciones, etc.). Sin embargo, varios enlaces pueden ser de difícil entendimiento para alumnos y alumnas de cursos inferiores, ya que son sitios web que requieren indagar por ellas en profundidad y detalladamente para encontrar la información deseada.

En la etapa Evaluación, el alumno o alumna encuentra una detallada tabla indicando el porcentaje de la calificación destinado a cada aspecto del trabajo (búsqueda de información, elaboración del contenido o trabajo en grupo). Cada apartado se puntúa de 1 a 4 puntos.


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La Conclusión busca que el alumno o alumna comprenda la importancia de conocer previamente un tema antes de opinar sobre él. Además, le invita a dar una visión personal sobre el mundo de las Matemáticas.

Debe tenerse en cuenta que la WQ emplea un lenguaje en segunda persona, con la peculiaridad de solicitar el trabajo final en plural (sobreentendiendo que el alumno o alumna tendrá en cuenta este detalle). El uso de la segunda persona es una buena elección pues hace más cercano el trato con el alumnado y facilita su incorporación e interés hacia la actividad. No obstante, creemos que, si la intención de la WQ era que el trabajo se hiciese de manera grupal, esto debería indicarse explícitamente en la misma para evitar posibles confusiones o ambigüedades frente al alumnado. En último caso, el que la actividad vaya a ser grupal o no queda en mano de la interpretación del profesorado que realice la actividad.

En nuestra opinión, estamos ante una WQ interesante, en la que cada página viene acompañada de una simpática imagen. No obstante, se recomienda la siguiente posible mejora: pedir a cada par de alumnos y alumnas que no realicen todas las actividades, sino que se centrasen en una sola, aumentando para ello el número de alumnos y alumnas por grupos y pidiendo una exposición en clase del trabajo realizado.

4.2 Historia del Cálculo Diferencial

En esta segunda WQ, se indica como nivel educativo el de 2º de Bachillerato, aunque podría trasladarse a las asignaturas de Cálculo de los primeros cursos de las titulaciones universitarias científico-técnicas. El objetivo de la misma es el estudio de los orígenes de la derivada y del Cálculo Diferencial:

http://phpwebquest.org/wq25/webquest/soporte_tablon_w.php?id_actividad=7184&id_pagina=1




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La seña de identidad de la etapa Introducción es la relación del concepto de derivada con el estudio de la velocidad instantánea o de las tangentes a curvas. Todo ello se hace buscando que los alumnos y alumnas sepan la causa de que las derivadas no apareciesen hasta el siglo XVII. Esta primera etapa nombra a varios matemáticos importantes, como Newton, Leibnitz e incluso Julio Rey Pastor; todo ello buscando la motivación e interés del alumnado por conocer el trabajo de estos matemáticos.

La Tarea pide que se realice un trabajo en grupos de cuatro alumnos y alumnas (el número no se especifica en esta etapa, sino en la siguiente). Además, se hace referencia al texto incluido en la Introducción. De forma conjunta, se incluye una serie de preguntas que le permitan al alumnado encaminar su trabajo; como, por ejemplo, las dos siguientes:

- ¿Cómo evolucionaron los conceptos ligados al Cálculo Diferencial?

- ¿Cuáles son los principales matemáticos que contribuyeron al desarrollo de esta área?

En el Proceso de la WQ se explica, con todo lujo de detalles, la manera de realizar el trabajo paso a paso: repartir la tarea entre los miembros del grupo; establecer fechas para reunir la información o elaborar el trabajo final, evitando que éste sea una copia exacta de los datos recopilados. Antes de pasar a dar un listado de recursos, la WQ pide que los alumnos y alumnas seleccionen el formato de presentación del trabajo: escrito, presentación en PowerPoint o mediante una página web.

La etapa Recursos (nuevamente incluida dentro de la etapa Proceso) tiene un apartado poco frecuente en este tipo de actividades: la recomendación explícita de la lectura de los libros “Historia de las Matemáticas” (de Carl Boyer) y “Una historia concisa de las matemáticas” (de Dirk Struik). Debe tenerse en cuenta que no suele ser conveniente incluir recursos impresos en los Recursos de una WQ, ya que ralentizan el trabajo de búsqueda de información por parte del alumnado y constituyen recursos que no pueden ser usados simultáneamente por diferentes grupos de alumnos y alumnas. Respecto a los enlaces de esta etapa, nos encontramos con que solo uno de los cuatro primeros no ha caducado: el tercero (que por cierto está en inglés). Con respecto a los dos restantes (que siguen siendo operativos), resulta difícil y costoso encontrar información relativa a la historia del Cálculo Diferencial. En este caso, la etapa Recursos no está actualizada y sería, por tanto, conveniente que el docente busque enlaces que sustituyan a los que ya no funcionan. Esto se indicará posteriormente en el presente artículo.

Uno de los aspectos innovadores de esta WQ se encuentra en la etapa Evaluación. Es sumamente interesante el enlace que aparece en ella a un documento de Word. Dicho documento debe ser impreso por cada alumno y alumna, adjuntándolo a su trabajo, ya que detallará cada aspecto a considerar en la calificación final.

Finalmente, el alumno o alumna tendrá que responder una serie de preguntas incluidas en la etapa Conclusión; preguntas como ¿qué dificultades han encontrado?, ¿tienes una mejor visión del tema después de trabajar la WQ? o ¿qué temas les gustaría seguir estudiando?

En nuestra opinión, esta WQ presenta algunas imperfecciones. Aparte de algunos olvidos contextuales (que se podrían haber resuelto con un par de revisiones más), se trata de una WQ creada para el alumnado del centro en el que se desarrolló la actividad, ya que podemos leer la referencia a la asignatura Matemáticas II, cómo se invita al alumnado a realizar un artículo para la revista del centro, o incluso el hecho de que el fichero descargable de la evaluación este preestablecido para un número concreto de grupos.


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A continuación, pasamos a indicar una serie de enlaces que podrían emplearse para sustituir a los que ya no están operativos en la etapa Recursos:

- Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo:

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

- Biografía de Julio Rey Pastor:

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateEspainiolak/JRPastor.asp

- Biografía de Pierre de Fermat:

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fermat.htm

4.3 Historia de los números

La WQ que estudiamos a continuación está dirigida a un alumnado de un nivel inferior a las anteriores (por ejemplo, primer ciclo de Educación Secundaria Obligatoria) y solo pretende trabajar la historia de los números, con todos los diferentes tipos que existen de estos:




http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateEspainiolak/JRPastor.asp

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fermat.htm


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Para conseguir la motivación del alumnado en el estudio de este tema, la Introducción de la WQ plantea dos interesantísimas preguntas:

- ¿Qué tipo de números crees que fue el primero que se descubrió?

- ¿Qué civilización crees que lo hizo?

La Tarea plantea la división de los alumnos y alumnas en grupos de cuatro y encomienda la realización de un mural que contemple: los tipos de números existentes; la época y civilización que descubrió o introdujo cada uno de ellos; los signos utilizados por éstos; y, por último, un eje cronológico con la historia de los números. Obviamente, cada alumno y alumna tiene total libertad para presentar su trabajo a ordenador o a mano, así como la elección de los materiales utilizados.

La etapa Proceso se limita a presentar una serie de enlaces con los que realizar la tarea. De este modo, el alumnado no dispone de ningún tipo de guía a seguir para completar su tarea y no tiene ninguna orientación por parte del docente sobre cómo llevar a cabo la tarea encomendada. Podemos pues, afirmar que no existe realmente una etapa Proceso, ya que tales enlaces podrían incluirse dentro de la sección de Recursos. Aunque esta ausencia de la etapa Proceso podría calificarse como un error en la estructura de la WQ aquí estudiada, creemos que la misma también puede ser interesante, ya que fomenta y favorece la creatividad de cada grupo de alumnos y alumnas, además de permitir una gran variedad entre los murales que se elaboren. No obstante, deberían darse algunas orientaciones mínimas sobre la realización de la tarea (es decir, completar la etapa Proceso) por parte del profesorado que solicite a su alumnado realizar esta WQ.

En relación a la etapa Recursos, esta WQ tiene una excelente lista de enlaces que permiten realizar completamente la actividad. El primero de ellos lleva a un “Museo Virtual de la Ciencia”, que traslada al alumnado a una civilización distinta en cada diapositiva. En los dos siguientes enlaces, el alumnado encontrará una amplia información sobre el tema. Es destacable el enlace “Grafía de los números”, que transporta a los alumnos y alumnas a una tabla con un total de veintiséis procedencias numéricas distintas.

En la Evaluación se indica textualmente que serán considerados para la misma los siguientes aspectos: “la exactitud de los contenidos, la limpieza y la presentación del trabajo, la originalidad del mismo y el comportamiento que se tenga mientras que se está realizando la tarea”. Se sigue así el formato conciso y directo que debe presentar esta etapa en cualquier WQ apropiada, pero sin perder en ningún momento la precisión necesaria en el establecimiento de criterios evaluativos. No obstante, no se indican cuáles son los porcentajes de cada uno de éstos.

En una breve Conclusión, se agradece al alumnado el interés mostrado y el trabajo realizado sobre la historia de los números.

Queremos destacar la indicación que aparece en la etapa Tarea acerca del destino final de los murales: una exposición en los tablones del centro. Por tanto, esta WQ podría tratarse próxima al final de algún trimestre o bien para la Semana de la Ciencia, permitiendo en cualquier caso que padres, madres, docentes, alumnos y alumnas disfruten de la misma por los pasillos del centro.


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Las matemáticas a través del tiempo

Historia del cálculo diferencial

Historia de los números

Nivel 1º y 2º Bachillerato 2º Bachillerato 1º y 2º ESO

Tarea y Proceso - En parejas - Cinco actividades

- En grupos de cuatro - Estudio del tema

- En grupos de cuatro - Realización de un mural

Recursos

- Algunos muy interesantes

- Otros necesitan de mayor búsqueda

Inoperativos o poco útiles

Excelente lista de enlaces

Lo mejor de la WQ Tema interesante

- Etapa Proceso muy detallada

- Etapa Evaluación innvadora

Uso de los murales en Semana de la Ciencia

Lo peor de la WQ Trabajo poco repartido Listado de enlaces No existe etapa Proceso

Tabla 1. Tabla-resumen de las WQ analizadas

5. Conclusiones finales

En este artículo, se han indicado la mayoría de las WQ existentes en castellano sobre la Historia de las Matemáticas, determinando el posible uso y aplicación de cada una de ellas a la hora de llevarlas al aula de Matemáticas. Para ello hemos analizado críticamente tres de las WQ existentes sobre la temática, mostrando tanto sus virtudes como sus defectos e indicando, en estos últimos, cómo podrían ser subsanados en el futuro.

Como puede observarse en el artículo, algunas de las WQ presentan enlaces que no se han ido actualizando y que ya no están operativos. Sería necesario, por tanto, revisar los recursos indicados (manteniendo los disponibles, eliminando los ya no operativos e incluyendo otros en su lugar para mejorar el global de la WQ). Además, en ocasiones sería necesario mejorar el planteamiento de la tarea y la explicación de los pasos en el proceso.

Para cada WQ analizada en el artículo, se han indicado varias soluciones posibles para solventar los enlaces que no siguen operativos y mejorar diversos aspectos de la misma. Del mismo modo, se han señalado y remarcado sus aspectos positivos.

Finalmente, nos gustaría concluir este artículo tal como hemos venido haciendo en anteriores ocasiones: animando a que el profesorado utilice las WQ como una herramienta en su labor docente en el aula, bien valiéndose de las aquí comentadas, bien elaborando las suyas propias con el contenido que estime más oportuno. Como ya se ha indicado previamente en este artículo, es sumamente sencillo y cómodo construir una WQ, sin necesidad de poseer conocimientos informáticos específicos o sobre lenguajes de programación. Tecleando en cualquier buscador cadenas del tipo “crear una WQ”, aparecerán multitud de direcciones que muestran cómo crear fácil y directamente una WQ sin más que seguir una serie de indicaciones del tipo “escriba aquí el título”, “escriba aquí la tarea” y otras similares.



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Óscar J. Falcón Ganfornina, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Su investigación se centra en la Didáctica de las Matemáticas. Raúl M. Falcón Ganfornina, licenciado y doctor en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, donde trabaja como Ayudante en el Departamento de Matemática Aplicada I (Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica). Su investigación se centra principalmente en el estudio de Cuadrados Latinos y Criptografía. Juan Núñez Valdés, licenciado y doctor en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Es Profesor Titular de Universidad del Departamento de Geometría y Topología, con sede en la Facultad de Matemáticas de dicha Universidad. Su investigación se centra en la Teoría de Lie y en la Matemática Discreta. También ha publicado artículos sobre Matemática Recreativa, Historia y Divulgación de las Matemáticas. Ángel F. Tenorio Villalón, licenciado y doctor en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Es Profesor Contratado Doctor en la Universidad Pablo de Olavide (Área de Matemática Aplicada del Departamento de Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica). Su investigación se centra en la Teoría de Lie y las aplicaciones económicas de dicha Teoría y la de Grafos. También ha escrito sobre Historia, Divulgación y Didáctica de las Matemáticas.



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Disecciones de cubos, juegos de persecución y otros problemas

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático1-

Resumen Presentamos algunas soluciones y enlaces de las disecciones de cubos presentados en el artículo anterior e introducimos los Juegos de Persecución, como otro recurso didáctico para el análisis, planteamiento, búsqueda, discusión y comprobación de soluciones, siguiendo la metodología de resolución de problemas.

Palabras clave Soluciones disección de cubos. Juegos de Persecución. Juegos como recurso didáctico. Metodología en el uso de juegos. Análisis de juegos.

Abstract We present some solutions and links dissections of cubes presented in the previous article and introduce the game of chase, as another educational resource for the analysis, approach, research, discussion and testing of solutions, following the methodology of problem solving.

Keywords Solutions Cube dissection. Pursuit Games. Games as a teaching resource. Methodology in the use of games. Game Análisis.

Más soluciones de las disecciones de cubos 3x3x3

Después de un intervalo de tiempo para que nuestros lectores intentaran construir y resolver las disecciones de cubos de 3x3x3 que planteábamos en nuestro artículo anterior, vamos a dar en éste algunas soluciones de las que quedaron pendientes. Pero no de todas. Es conveniente seguir divirtiéndose con el intento. Y, por supuesto, inventarse alguno más.

Hoy traemos, también, alguno más. Por ejemplo, “El Cubo de Lola”, bautizado así por sus creadores, Muñoz y Hans, como regalo a nuestra amiga y compañera Dolores de la Coba. Con cubitos de madera y pegamento, o con cubitos encajables, es fácil realizar las piezas. Un estudio posterior nos permitirá conocer las posibles soluciones y si es posible, con las mismas piezas, construir algunas figuras diferentes del Cubo principal.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). [email protected] / [email protected]

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Disecciones de cubos, juegos de persecución y otros problemas -Club Matemático-

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Cubo de Lola

Presenta siete piezas, tres tricubos (dos en V y uno en I), dos tetracubos y dos pentacubos.

Estamos seguros de que quedaron claras las soluciones del puzzle de Cardan, del Cubo Soma y del Cubo 7, a través de los diferentes diagramas presentados. También les habrá resultado fácil resolver el Cubo Hermafrodita 2x2x2 siguiendo el video que aparece en la página de Taringa que les facilitamos. Es otra forma de presentar una solución. En Internet es una manera muy frecuente.

De todas formas, es interesante recordar que el Cubo Soma, el Cubo 7, el de Muñoz o de Hans, el Half Hour, etc., tienen otras soluciones para el Cubo y, además, sus piezas permiten formar otra gran cantidad de figuras diferentes. Habíamos indicado que dedicaríamos un nuevo artículo al tratamiento del Soma y lo cumpliremos.

Solución para el Cubo Soma Ajedrezado


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S Disecciones de cubos, juegos de persecución y otros problemas

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Solución para el Cubo de O’Berine


ro?

Aunque tiene varias soluciones, vamos a describir una de ellas. Como las piezas son todas iguales, tricubos en forma de V, las podemos agrupar de dos en dos para formar ladrillos de 2x3. Formando tres de esos ladrillos, colocamos uno de forma plana y los otros dos en forma vertical y paralelos entre sí, de manera que queden colocados formando una especie de tribuna donde encajan los tres tricubos restantes colocados de la misma manera. ¿Ha quedado cla

Solución para el Cubo de Conway

Colocar los seis tetracubos iguales según las tres direcciones del espacio, dejando que los tres cubos unitarios queden dispuestos según una de las diagonales del cubo. ¡Clarísimo!

Solución para el Cubo Half Hour o de Coffin

Seguir las instrucciones del diagrama.

Solución para el Cubo dado

Este puzzle es una de las estrellas del Komando Matemático de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas. No hicimos una exacta descripción de las piezas en el artículo anterior. Sólo hay una pieza sin topos y es crucial estudiar su situación. Casi todo el mundo da por hecho que debe ocupar el centro del cubo. No es cierto. Casi nadie suma los topos para comprobar si el total de puntos que contienen las piezas es equivalente al total de topos del dado. Se comprueba que 21 es el número de topos y que no sobra ninguno; por tanto, todos han de quedar visibles. Mucha gente no conoce la disposición de las caras del dado. Las caras enfrentadas deben siempre sumar siete (el 1 con el 6, el 2 con el 5, el 3 con el 4) y, además, el triedro formado por las caras 1, 2, 3, debe ser levógiro.


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Ésta es la manera de disponer las piezas:

Aunque, luego, cada uno se divierte como quiere y utiliza las piezas como le parece. Lo importante es pasarlo bien y este pequeño cliente del Komando lo está pasando de maravilla.

Solución al reto

Habíamos propuesto un puzzle sacado de la página de Homemade Puzzles: ¿Se atreve a buscar una solución en forma de cubo 3x3x3, uniendo las cinco piezas que se reproducen a continuación?

Esperamos que lo hayan trabajado y encontrado la solución. Nosotros lo hicimos con cubos encajables y hemos encontrado la solución que ofrecemos a continuación:

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Paso 4 Paso 5 Paso 6 y final

Y ésta es la forma de presentar la solución en el sitio de dónde sacamos el reto: http://homepage.ntlworld.com/bruce.viney/plans.html

http://homepage.ntlworld.com/bruce.viney/plans.html

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Hemos ofrecido en nuestros artículos muchos puzzles y pocos juegos de tablero. La razón es bien sencilla. Aunque nos gustan mucho y son muy interesantes, la mayoría no tiene cabida en el ámbito de una clase de cincuenta minutos. Hay que tratarlos en otras circunstancias: en taller o en actividades complementarias.

Una clasificación exhaustiva de los puzzles del tipo de cubos diseccionados, se puede encontrar en la siguiente dirección:

http://www.asahi-net.or.jp/~rh5k-isn/Puzzle/-/polyomino-333.xml#polyomino-333

donde aún no han sido reconocidos algunos de los cubos presentados en estos artículos. Todo a su tiempo.

Para utilizar un juego en clase debe ser de reglas sencillas, materiales al alcance y duración corta de partida. De esa manera podemos disponer de cantidad suficiente para que todos los alumnos estén ante un tablero, puedan ponerse rápidamente a jugar y jueguen un número de partidas adecuadas para poder sacar conclusiones y poder hablar de estrategias ganadoras. Esas características se cumplen en el tipo de juegos que, a continuación les presentamos.

Los juegos de persecución

También reciben el nombre de juegos de caza o de acorralamiento, por sus características. Se pueden jugar sobre un tablero cualquiera, desde un tablero ajedrezado de 8x8, o de menor tamaño, hasta un tablero en forma de cruz, como el solitario inglés, pasando por una variedad de presentaciones, especialmente en los de origen asiático.



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También se pueden considerar como juegos de guerra entre fuerzas desiguales. Por lo general, un jugador mueve un grupo numeroso de fichas que avanzan inexorablemente, nunca retroceden, y tratan de acorralar a una sola ficha que maneja el jugador contrario. Este trata de escapar moviéndose en todos los sentidos. Si lo consigue ha ganado el juego, de lo contrario ha perdido. Los más numerosos representan a los cazadores que tratan de acosar y de matar a su presa (o, en otros casos, inmovilizarla). Los otros son la presa, animales peligrosos que tratan de aislar y de coger a los cazadores, uno detrás de otro, y retirarlos del juego. En otros casos, se trata de escabullirse entre sus filas y escapar así al asedio. Casi nunca se mata o come a las fichas contrarias La desventaja en el número se compensa con una mayor libertad de movimientos expresada en las reglas del propio juego.

Son juegos muy antiguos, y que han gozado de mucha popularidad en ciertas épocas. Pueden presentar muchas opciones de análisis a partir de situar las piezas de salida en distintas posiciones. Todos estos juegos dependen de la habilidad y las estrategias que se inventen los jugadores, y el único elemento de azar va a consistir en la estructura concreta de cada uno de los diferentes juegos. Su análisis revela, en casi todos, que un jugador tendría que ganar siempre, si no comete errores.

Los juegos de persecución aparecieron un poco más tarde que los juegos de guerra. Tuvieron una gran importancia en Asia, donde a menudo el mismo tablero se utilizaba para un juego de guerra o un juego de persecución.

Vamos a presentar cuatro de ellos muy sencillos y, al final, propondremos algunos problemas de estrategia con los más interesantes. Para utilizar los juegos en clase es preciso seguir algunas normas de tipo didáctico, a saber:

1. Presentar el juego. Leer y comentar sus reglas, la estructura del tablero y de las fichas. 2. Jugar libremente para familiarizarse con el juego. Jugar varias partidas. 3. Comentar el desarrollo de las partidas jugadas. ¿Quién ha ganado más veces? ¿Por qué? 4. Aclarar las dudas que se hayan presentado sobre las reglas. Proponer algunos problemas

sobre distintas situaciones de una partida. Analizar finales. Estudiar las distintas posibilidades en la salida. Analizar distintas posiciones en el nivel intermedio de la partida. Posibilidades de elección.

5. Proponer el estudio de una estrategia ganadora.

El lobo y los corderos

Se trata de un juego muy popular en todo el mundo, con distintos nombres, por supuesto, y con algunas pequeñas variantes en las reglas. En Canarias se juega mucho, de manera especial en Tenerife (Valle de La Orotava y en Icod de Los Vinos), donde se puede encontrar el tablero grabado sobre los muros de las jardineras en algunas plazas. Aquí se conoce como “El gallo y las gallinas”, o “El gato y los ratones”.

Es un juego para 2 jugadores; se necesita un tablero de damas, ajedrez o alquerque, 5 fichas (por ejemplo, 1 negra para el lobo y 4 blancas para los corderos)


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Reglas:

1. La caza se realiza sobre los cuadros blancos de un tablero de ajedrez. Los corderos blancos se alinean en un borde del tablero, mientras que el lobo elige uno de los cuatro cuadros blancos en su línea de base, y tendrá que pensar bien cuál escoge. Para ello también tiene que tomar en cuenta qué jugador mueve primero.

2. Un cordero puede en un turno avanzar un cuadro (diagonalmente), y sólo puede ir en dos direcciones. El lobo solitario también puede mover un solo cuadro, pero tiene la opción de ir hacia atrás. Ni los corderos ni el lobo pueden saltar unos sobre los otros.

3. El lobo gana al llegar a la línea de base de los corderos. La victoria es para los corderos si logran impedirlo, ya que los cuatro forman una franja impenetrable si permanecen ordenados en su avance; el lobo tiene que tratar de forzarlos a abrir la línea con su posición. Si los corderos no se cuidan mucho, el lobo logrará pasar y puesto que no pueden retroceder, al lobo le resta solamente una carrerita para ganar. El lobo sólo tiene una manera de ganarles a los corderos: estando muy atento y confundiendo a sus enemigos.

El asalto

Para dos jugadores. Sobre un tablero en forma de cruz (Solitario inglés). 24 fichas de un color para los asaltantes; 2, de otro color, para los defensores.

El asalto representa a dos valientes oficiales que se defienden en una fortaleza del ataque de fuerzas muy superiores en número, aunque mal armadas y poco móviles. El juego se llama también “Oficiales y cipayos”. El tablero de El Asalto se conforma mediante cinco cuadrados unidos en sus caras para formar una cruz y sobre los que aparecen trazadas perpendiculares y diagonales que definen en sus puntos de intersección las posibles posiciones de las piezas.

Se sortea quién ataca y quién se defiende. Se colocan las fichas de forma que los veinticuatro atacantes rodean y cercan la fortaleza en todos sus puntos exteriores, mientras que los dos defensores ocupan dos de los puntos, a su elección, del interior de la misma. Los atacantes sólo pueden moverse de uno en uno en cada turno, avanzando siempre en línea recta o en diagonal, y son los que efectúan el primer movimiento. Los defensores, movidos también uno a uno, pueden, sin embargo, avanzar, retroceder o desplazarse horizontalmente, amén de seguir las líneas diagonales; pero, eso sí, de punto a punto. La pieza defensora puede “capturar” a cualquiera de las piezas atacantes saltando por encima de ella para pasar de su posición al punto vacío inmediato. La pieza capturada es retirada del tablero. Pueden encadenarse los saltos de este tipo.

Los atacantes no pueden capturar nunca a los defensores; para ganar deben rodearlos hasta impedirles cualquier movimiento o bien ocupar con fichas propias todos los puntos del interior de la fortaleza.

Los defensores se ven libres del asalto, ganando la partida cuando los atacantes supervivientes no bastan para cercarlos o para ocupar la totalidad de los puntos interiores de la fortaleza.

Investiga cuáles serán las mejores posiciones iniciales para los oficiales. ¿Cuántas posibilidades hay de elección?



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¿Cuántas posiciones son posibles sobre el tablero después de un movimiento de los soldados?

Kaooa

Para 2 jugadores; se precisan 8 fichas (1 negra para el tigre y 7 blancas para los kaooas). Sobre un tablero con forma de pentágono estrellado, se juega con las siguientes reglas:

1. Los jugadores eligen ser el tigre o los kaooas.

2. Los kaooas se colocan en el tablero ocupando las casillas 1 a 7. El tigre puede ser colocado en cualquiera de las restantes tres celdillas. Los kaooas mueven primero.

3. Los jugadores, por turno, mueven las fichas como se indica a continuación:

(i) el tigre puede mover un espacio a lo largo de una línea en cualquier dirección a una celdilla vacía o capturar kaooas (extrayéndolos del tablero) saltando sobre un kaooa a lo largo de una línea en cualquier dirección a una celdilla vacía. Se permiten las capturas sucesivas (saltos múltiples)

(ii) los kaooas pueden mover (uno cada vez) a lo largo de una línea un espacio en cualquier dirección a una celdilla vacía.

4. Los kaooas ganan si pueden clavar al tigre de forma que no pueda moverse. El tigre gana si puede capturar tres o más kaooas.

Fabrícate un tablero de juego siguiendo el modelo.

Juega unas cuantas veces. Contesta después estas preguntas:

Pregunta 1

Los kaooas y el tigre han movido una vez. Los kaooas están en 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 10. El tigre está en 7. ¿Qué movimiento harían los kaooas para atrapar al tigre en dos o más de sus movimientos?


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Pregunta 2

¿Qué celdillas del tablero intentarían ocupar los kaooas para asegurar una victoria cuando el tigre comienza en la celdilla 8? ¿Funciona esta estrategia cuando el tigre empieza en las celdillas 9 o 10? ¿Qué pasa si sólo tenemos seis kaooas?

Pregunta 3

Si no permitimos al tigre ocupar todas las celdillas exteriores, ¿pueden los kaooas forzar aún una victoria?

El juego militar francés


uiente sitio web:

También se llama el Juego de la Guerra, French Military Game, El Gigante y los Enanos, El Halcón y las Palomas, Chase the Fox o Hare and Hounds. La primera referencia que tuvimos sobre él procedía de la revista "The

Australian Mathematics Teacher"; más tarde vimos otras en Gardner, Bell o Conway; en estos momentos hay disponible en las librerías un excelente estudio de E. Lucas (al parecer, el primero que lo trabajó a partir de una propuesta de un militar llamado Dyen, alrededor de 1886) publicado recientemente por la editorial NIVOLA. También se puede jugar en línea; para ello bastar con acudir al sig

http://www.math.com/students/puzzles/hare/hare.html

Para 2 jugadores; se necesitan 4 fichas (1 negra para Napoleón y 3 rojas para los soldados ingleses).

Sobre el tablero de la figura se juega de acuerdo con las siguientes reglas:

1ª. Los jugadores eligen ser Napoleón o los ingleses, y colocan las fichas en el tablero en las casillas señaladas en negro o rojo en el tablero. Los ingleses mueven primero.

2ª. Los jugadores, por turno, mueven las fichas como se indica a continuación:

(i) Los ingleses pueden mover a lo largo de una línea un espacio adelante, diagonalmente adelante o hacia los lados a una celdilla vacía (nunca hacia atrás).


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(ii) Napoleón puede mover a lo largo de una línea en cualquier dirección hacia una celdilla vacía

(iii) No se permiten saltos o capturas.

3ª. Los ingleses ganan si pueden bloquear a Napoleón de forma que no pueda mover. Cualquier otro resultado es una victoria para Napoleón.

Así describe Lucas el tablero de juego: “El juego se compone de doce triángulos isósceles que forman once estaciones o plazas y de veintiuna líneas que son otras tantas carreteras que unen estas plazas.”

Las fichas se colocan como se muestra en la figura 1. Los soldados ingleses ganan si atrapan a Napoleón de forma que él no pueda mover, tal como se ve en la figura 2. Napoleón gana en todos los demás casos.

La revista australiana que hemos mencionado, después de presentar el juego, ofrecía hacer una pequeña investigación con los alumnos mediante el planteamiento de algunas preguntas sobre situaciones diversas del juego.

Fig. 1 Fig. 2

Pregunta 1

Si los ingleses no ocupan una celdilla en su primer movimiento, Napoleón sería capaz de ganar. ¿Dónde está esta celdilla y qué debería hacer Napoleón para ganar? (¡Cuidado! Esto no es obvio).

Pregunta 2

Después de los movimientos, los ingleses y Napoleón están colocados como muestra la figura 3 de abajo. Es el turno de movimiento de los ingleses. ¿Hacia qué celdilla deben mover los ingleses para impedir la victoria de Napoleón?

Fig. 3


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Pregunta 3

Más tarde, en la partida, los ingleses y Napoleón están como se indica en la figura 4. Es el turno de mover de los ingleses. ¿Cuál es su único movimiento? ¿Cuál es la respuesta de Napoleón y cómo permite esto escapar a Napoleón?

Fig. 4

Pregunta 4

"Mantén tu línea recta" es una táctica defensiva de equipo en la liga de rugby. ¿Es éste un buen consejo para los ingleses?

Pregunta 5

¿Quién tiene la mayor posibilidad de ganar este juego, los ingleses o el francés? ¿Por qué y cómo? ¿Importa si permitimos que Napoleón empiece en otra celdilla (excepto A, en la figura 5 de abajo, por supuesto)?

(Pista: Este juego era favorito entre las tropas francesas durante las guerras napoleónicas).

Fig. 5

Pregunta 6

¿Importa si añadimos otra manera de que los ingleses ganen? Esta es que los ingleses ganan si pueden colocar sus tres fichas en las posiciones X, Y y Z (ver figura 6) antes de que Napoleón se mueva completamente detrás de la línea inglesa (ver figura 7 para un ejemplo donde los ingleses ganarán en su siguiente movimiento).

¿Por qué no las trabaja con sus alumnos y nos cuenta aquí lo que ha ocurrido?

Fig. 7 Fig. 6



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El general y los rebeldes

Tiene origen en China. Para dos jugadores, uno hace de General y el otro mueve los Rebeldes. Un tablero de forma muy especial, 1 ficha de un color (el General) y 20 de otro (los Rebeldes). El objetivo es que el General intenta eliminar la mayor cantidad de rebeldes, de modo que los restantes no sean suficientes para encerrarlo; o bien llegar al campamento donde quedará a salvo. Los Rebeldes ganan si logran inmovilizar al General, rodeándolo por completo.

También puede recibir otros nombres (Juego de la Rebelión) y tener algunos cambios en la cantidad de fichas o en las reglas. Daremos las más usuales.

Se sortea qué fichas debe manejar cada jugador. Se juega por turnos, alternativamente.

El General puede matar a los Rebeldes, pero éstos no pueden matarlo a él; en su lugar deben arrinconarlo para que no pueda moverse. La casilla marcada con una estrella es el campamento del General; allí estará a salvo. El General arranca de la casilla central del tablero. Los soldados ocupan las tres filas centrales, desde el borde más estrecho del tablero hasta el campamento, rodeando totalmente al General.

La primera jugada corresponde al General. Deberá matar a uno de los Rebeldes. La siguiente jugada corresponderá al jugador que maneja a los Rebeldes, que moverá una de sus fichas a un lugar contiguo vacío. Todos, el General y los Rebeldes, se desplazan en las direcciones ortogonales del tablero, nunca en diagonal. Los Rebeldes deberán cortar el camino del General hacia el campamento, pero sin exponerse a ser comido. El General puede mover hacia un sitio vacío contiguo o comer, saltando sobre uno de los rebeldes hacia el sitio adyacente que deberá estar vacío. La ficha comida será retirada del tablero. En un mismo turno, el General puede matar a varios rebeldes con saltos encadenados. Sin embargo, matar no es obligatorio.

El General gana cuando ha matado tantos rebeldes que no quedan suficientes para inmovilizarlo. También gana si consigue llegar a su campamento.

Los Rebeldes ganan cuando logran rodear o bloquear en una esquina o en cualquier otra parte del tablero al General, de tal manera que no pueda comer ni mover.

Veremos las respuestas a las preguntas planteadas en un próximo artículo. También, en próximas ocasiones podremos hablar de otros juegos de esta misma familia como Tablut, Rimau-rimau, Bagh-Chal o Kungser, muy interesantes todos ellos. En ello estamos; hasta la próxima.

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Matemática… ¿estás ahí? Episodio 100

Adrián Paenza

Siglo veintiuno Año 2008

ISBN: 978-987-629-065-4 256 páginas

Este libro forma parte de la colección “Matemática…¿estás ahí?” iniciada en el año 2005 por Adrián Paenza, cuyo objetivo es divulgar la Matemática y mostrarnos una manera diferente de mirarla, pero sobre todo de mirar qué matemáticas hay a nuestro alrededor. Se trata del cuarto tomo de dicha colección que además cuenta con una versión disponible para acceso libre en Internet.

El libro incluye una selección de problemas, anécdotas y algunas explicaciones de conceptos fundamentales, planteados de forma clara y con explicaciones sencillas que las hacen accesibles a todo lector, sin que esto requiera un amplio conocimiento de la disciplina. A lo largo del texto, el autor presenta una gran variedad de problemas y desafíos matemáticos, sin olvidar mencionar la importancia de que el lector los razone y trate de resolverlos antes de ir a las soluciones que, para cada uno de los problemas, vienen perfectamente explicadas. El libro está dividido en seis secciones, incluyendo una donde se describen las soluciones para cada una de las cuestiones planteadas.

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Hacer matemática

Aquí, el autor comenta algunas anécdotas personales en torno a su labor como divulgador de la matemática. Al mismo tiempo, nos obliga a reflexionar sobre la naturaleza de la matemática y de su aprendizaje por medio de comentarios relacionados con su nacimiento y su enseñanza hoy día.

Además se presentan algunas historias de matemáticos famosos del siglo XX y XXI como la del alemán David Hilbert, nacido en 1862, y sus veintitrés problemas enunciados en París el año 1900, o la conjetura planteada por el estudioso francés Henri Poincaré, resuelta por el ruso Gregori Perelman, y parte de la historia a partir de la cual éste decide rechazar la famosa medalla Fields, situación por la que el autor ve necesario hacer mención a las posibles razones de la no existencia de Premio Nobel de Matemáticas.

Problemas y desafíos matemáticos

En esta sección se plantea una gran variedad de problemas cuya resolución implica el uso de algún tipo de razonamiento matemático, entre estos se encuentran algunos relacionados con la lógica y la probabilidad.

Un problema bastante sencillo, presentado en esta sección, que mantuvo mi atención por largo, largo tiempo y que seguramente atraerá la atención del lector, es el siguiente:

“¿Cómo hacer con 2 barriles de 10 litros cada uno para poner 2 litros de leche en dos baldes que almacenan 5 y 4 litros respectivamente?”

Este problema puede ser resuelto mediante diferentes trayectorias de razonamiento. Por ejemplo, algunos pensarían en probar, físicamente, con baldes, otros trazarían esquemas gráficos, etc. En otras palabras, los problemas que aquí se presentan pueden ser de gran utilidad al profesor que desea despertar la curiosidad de sus alumnos en torno a las matemáticas.

Los números cuentan lo suyo

Aquí se destacan algunas características de los números y su relación con la vida real. Por ejemplo, para aquellos profesores de matemáticas que alguna vez han estado obligados a responder a preguntas de sus alumnos como “¿para qué sirven las matemáticas?” ó “eso, ¿para qué me va a servir a mi?”, Paenza comenta a partir de la página 79, un caso con el que es posible observar claramente la utilidad de los logaritmos al momento de medir las magnitudes de un terremoto con la escala Richter. En este mismo sentido, el lector habrá escuchado hablar alguna vez del código ISBN que identifica internacionalmente algunos libros, el autor explica de manera amena algunas propiedades matemáticas que este número tiene.

Reflexiones y juegos matemáticos

Esta es una sección para disfrutar y reflexionar sobre la matemática involucrada en una gran variedad de juegos. Incluye algunas cuestiones como juegos con dados, criptografía y hasta un poco de magia. Además, muestra el potencial de la matemática en la toma de decisiones. Por ejemplo, nos ayudará a reflexionar sobre la elección de entre dos jugadores para anotar un penal.



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Baúl de curiosidades Baúl de curiosidades

Nuevamente, esta sección nos brinda una gran variedad de oportunidades de encontrar la matemática en la vida real. Nos comenta, entre otras cosas no menos interesantes, sobre la posibilidad de elaborar una estrategia que nos permita tomar la mejor elección de entre dos opciones, por ejemplo, al vender una casa. Y, por qué no, mencionar los experimentos de Duncan Watts, Steven Strogatz y Stanley Milgram, que versan sobre la cantidad de personas con las cuáles podemos tener alguna relación en el mundo.

Nuevamente, esta sección nos brinda una gran variedad de oportunidades de encontrar la matemática en la vida real. Nos comenta, entre otras cosas no menos interesantes, sobre la posibilidad de elaborar una estrategia que nos permita tomar la mejor elección de entre dos opciones, por ejemplo, al vender una casa. Y, por qué no, mencionar los experimentos de Duncan Watts, Steven Strogatz y Stanley Milgram, que versan sobre la cantidad de personas con las cuáles podemos tener alguna relación en el mundo.

En definitiva, estamos hablando de una obra que cualquier persona, matemático o no, debe leer. Os aseguro que quedareis impresionados al mirar la dimensión en la que estamos relacionados con las matemáticas, aún sin saberlo.

En definitiva, estamos hablando de una obra que cualquier persona, matemático o no, debe leer. Os aseguro que quedareis impresionados al mirar la dimensión en la que estamos relacionados con las matemáticas, aún sin saberlo.

Carolina Guerrero Ortiz (UNAM, CCH-Vallejo, México D.F.) Carolina Guerrero Ortiz (UNAM, CCH-Vallejo, México D.F.)


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Euler. El maestro de todos los matemáticos

William Dunham

Traducción: Jesús Fernández Nivola, 2006 (2ª edición)

Colección: La matemática en sus personajes ISBN: 84-930719-6-X

288 páginas

“Leed a Euler, leed a Euler. Él es el maestro de todos nosotros.”

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Este libro nos acerca a uno de los matemáticos más brillantes de la historia: Leonhard Euler (Basilea 1707- San Petersburgo 1783). Su autor, William Dunham, es profesor en el Muhlenberg College de Pensilvania (EE. UU.) y ha sido galardonado con el Premio George Pólya de la Asociación Matemática de América por su excelente trabajo como divulgador. El objetivo del libro es mostrar la manera que tenía Euler de abordar las matemáticas, con el fin de poder apreciar su profunda visión, su poderosa intuición y su inmensa originalidad. El autor presenta tres docenas de demostraciones originales del genio suizo que muestran su habilidad para manejar temas viejos y nuevos, discretos y continuos, algebraicos y analíticos, llevando a las matemáticas a lugares que antes habrían resultado inimaginables.

“Ningún matemático alcanzó tal posición de indiscutible liderazgo en todas las ramas de las matemáticas, puras y aplicadas, como la tuvo Euler durante la mayor parte del siglo XVIII.”

André Weil (1906-1998)

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El proyecto abordado por Dunham es extremadamente complicado. Euler no sólo hizo aportaciones a todas las ramas de las matemáticas que ya existían, como la teoría clásica de números, el análisis, el álgebra y la geometría, sino que fue además el iniciador de otros muchos campos, como la teoría analítica de números o la teoría de grafos. Y si extraordinaria fue la calidad de sus logros, también lo fue su cantidad. Escribió decenas de miles de páginas a lo largo de las seis décadas que duró su carrera. Elegir unos pocos resultados entre una producción tan vasta, brillante y variada, es una tarea ardua. Necesariamente se quedan en el camino teoremas fundamentales en áreas en las que su trabajo causó un fuerte impacto. Además, como nuestro personaje fue un maestro a la hora de encontrar demostraciones alternativas para llegar a un mismo resultado, hay que escoger entre varios caminos igualmente interesantes para llegar al mismo final.

El resultado de la selección de Dunham son ocho capítulos en los que se muestra una colección de hermosos y espectaculares resultados debidos a Euler. Los temas desarrollados son la teoría clásica de números, los logaritmos, las series infinitas, la teoría analítica de números, la variable compleja, el álgebra, la geometría y la combinatoria. Es suficiente para dar una idea de la variedad de intereses y de la genialidad de Euler; aunque, como dice el propio Dunham, con los temas que no se cubren se podrían haber escrito al menos cincuenta libros no menos interesantes que éste.

"Si he logrado ver más lejos ha sido porque me he aupado a hombros de gigantes."

Isaac Newton (1643-1727)

Cada capítulo está dedicado a un tema en el que Euler hizo una aportación importante, y se estructura en tres partes. Se comienza con una exposición de lo que se conocía del tema antes de Euler, lo que da la oportunidad de introducir a predecesores ilustres como Euclides, Herón, Briggs o los Bernouilli, sobre cuyos hombros se aupó el protagonista de este libro. Después se pasa a examinar uno de sus grandes teoremas, de los que ampliaron las fronteras del tema en cuestión. Al hacerlo, William Dunham procura explicar las cosas de la forma más fiel posible a la manera en que Euler abordó originalmente el problema. El capítulo concluye con un epílogo que, o bien explica otros trabajos posteriores de Euler sobre el tema, o bien describe cómo matemáticos posteriores desarrollaron sus ideas.

“La lectura de sus artículos es una experiencia estimulante; se siente uno impresionado por su imaginación y originalidad. A veces, un resultado con el que el lector está familiarizado presenta un aspecto

original y esclarecedor, y se desearía que escritores posteriores no lo hubiesen tergiversado.”

Raymond G. Ayoub (1923)

Para leer este libro se requieren algunos conocimientos previos. El lector debe estar familiarizado con conceptos tales como integración por partes, números primos, progresiones geométricas o series infinitas. El gusto de Euler por las series infinitas, y su manejo casi sobrenatural de las mismas, hace que aparezcan en lugares insospechados de sus trabajos, en sitios que, a primera vista, podrían parecer muy alejados del análisis. En particular las encontramos en seis de los ocho capítulos del libro. Desgraciadamente, los estudiantes de bachillerato no están familiarizados con las series, por lo que, en principio, sólo quedan dos capítulos a su alcance; y uno de ellos, Euler y el álgebra, hace uso extenso de la variable compleja, otra herramienta que no suelen manejar. Por tanto, para uso en bachillerato sólo nos queda el capítulo Euler y la geometría. Su contenido no encaja en el currículo, pero podría utilizarse en un taller de matemáticas, sirviendo para ilustrar la diferencia entre la geometría sintética, que hace razonamientos sin usar coordenadas, y la geometría analítica, que sí las usa. En el capítulo se prueban resultados usando ambos tipos de geometrías.


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Sin embargo, para leer el libro no hace falta ser matemático. Un estudiante que haya cursado el primer año de un grado de matemáticas, o de física, o de cualquier ingeniería, está en condiciones de leer y comprender cualquier capítulo. Estos estudiantes habrán usado en numerosas ocasiones, muchas veces sin saberlo, resultados debidos a Euler; pero los habrán aprendido en libros de texto. Esto tiene algunas ventajas: se usa una notación moderna, a la que el lector está más habituado; se tienen en cuenta los avances posteriores a Euler, etc. De este modo la lectura es más cómoda, pero se pierde gran parte de la gracia de la “versión original” que, en el caso de Euler, es mucha. Todo aspirante a matemático debería encontrarse con un Euler “no subtitulado” a lo largo de sus estudios, y este libro ofrece una vía para conseguirlo.

“Difícilmente cualquier otra obra en la historia de la ciencia matemática provoca en el lector una impresión tan intensa sobre el genio de su autor como lo hace la Introductio.”

Ernest W. Hobson (1856-1933)

Este excelente libro (muy bien traducido, por cierto), permite hacerse una idea de la brillante forma de razonar de Euler, así como de la variedad de sus intereses. Después de leerlo es fácil sentir deseos de estudiar una obra original de Euler. Quizá la mejor opción sea hacerse con un ejemplar de la Introductio in analysin infinitorum (Introducción al análisis de los infinitos) en la magnífica edición conjunta del año 2000 de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales y la Real Sociedad Matemática Española. Y también se tendrán ganas de leer otros libros de William Dunham, como Viaje a través de los genios: biografías y teoremas de los grandes matemáticos (Pirámide, 2002) o El universo de las matemáticas: un recorrido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias (Pirámide, 2006). Pero la reseña de éstos queda para otro día.

Fernando Quirós Gracián (U. Autónoma de Madrid)






Congresos

XXIX Jornadas de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas

Homologadas por la Consejería de Educación, Cultura y Deportes del

Gobierno de Canarias

Lugar: Palacio de Salazar, Calle Real, Santa Cruz de La Palma. Fechas: 4, 5, 6 de marzo de 2010. Número de horas: 30 horas.

III Jornada Nacional de Educação Matemática

XVI Jornada Regional de Educação Matemática Instituto de Ciencias Exatas e Geociencias. Laboratorio de Matemáticas

Universidad de Passo Fundo. Río Grande del Sur. Brasil 4 al 7 mayo de 2010

24 Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa

RELME 24 5 al 9 de julio de 2010

Organiza Comité Latinoamericano e Matemática Educativa www.clame.org.mx

[email protected]

8º International Conference on Teaching Statistics ICOTS 8

11 al 16 de Julio de 2010 Universidad Nacional de Luján

Ljubljan. Eslovenia http://icots8.org/

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XIV Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática

7 al 10 de septiembre de 2010-02-04 Organiza: SEIEM

Facultad de Ciencias de la Educación. Universidad de Lleida Lleida. España

VII Congreso Venezolano de Educación Matemática

5 al 8 de Octubre de 2010 Organiza: Asovematrc

Caracas Venezuela [email protected]

XIII Conferencia Iberoamericana de Educación Matemática

26 al 29 de junio de 2011 Universidad Federal de Pernambuco

Recife. Brasil http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011

Información

XXVI Olimpiada Matemática Thales (Andalucía)

Fase provincial 20 de marzo de 2010

Fase regional del 4 al 8 de mayo de 2010 en Granada

Periodo de inscripción: del 22 de febrero al 12 de marzo de 2010. Más información: http://thales.cica.es/

XXVI Torneo de Matemáticas para 2º Curso de Enseñanza Secundaria Obligatoria de Canarias

1ª fase: 10 de abril de 2010. 2ª fase: 14 de mayo de 2010 en La Laguna. Tenerife

Más información: www.sinewton.org



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Volumen 73, marzo de 2010, página 125 ISSN: 1887-1984

1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

mailto:[email protected]/numeros

http://www.sinewton.org/numeros/

NÚMEROS - Volumen 73, Marzo 2010

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