Objetivo general: simplificar expresiones aritméticas y ...

EXPRESIONES RADICALES

Objetivo general: simplificar expresiones aritméticas y algebraicas aplicando las propiedades de las potencias

y de los radicales.

Rectángulo rojo Rectángulo azul Rectángulo anaranjado

Noción Histórica:

El término raíz viene del término latín Radix. Se denotaba con el símbolo Rx. Los árabes tomaron el

conocimiento, sobre radicación, de los hindúes, quienes inventaron las reglas para extraer raíces cuadradas y

cúbicas.

El símbolo que hoy conocemos ( ) fue publicado hasta 1525 y con este trabajamos actualmente.

Definición: Un radical es un número de la forma:

Donde se llama radical,

Observemos: i) 981 con esto podemos observar y desarrollar otras cantidades, ejemplo: desarrolle las

cantidades que faltan

817

3 275

08

15 3 10008 – 1966

5 328 + 1696 – 3 648 – 225

ii) coloque el nombre respectivo de

acuerdo a la parte del radical.

Repasemos algunas leyes de potencias

* a n = a•a•a•a…a n factores

a5 = 5 factores

( –3) 3=

( – 5) 4=

– 4 2=

iii) 10 a ; iv) 00 n; existeno00

0

3501 15010 0530 =

Definición: n m

n

m

aa Nota: toda potencia de exponente fraccionario se puede

convertir en una raíz.

EJEMPLOS

1)

2)

4)

5)

=

3 5

3

5

aa

3

2

3

aa

32225

2

5

55

1

33

n mak

n se llama índice, ma se llama subradical,

k se llama coeficiente.

Cuando no aparece el

índice existe un dos.

5 37

Trabajo Cotidiano 1: Traslade a notación radical las siguientes potencias y simplifique al máximo

a) 2

1

64 b) 2

1

253 c) 3

1

1252 d) 2

1

64

I- Traslade a notación radical las siguientes potencias y calcule, si es posible, el resultado.

2

1

1448 ________________

3

1

27 ________________

3

1

27 ________________

3

1

27 ________________

6

1

75 ________________

2

1

49 ________________

2

1

49 ________________

2

1

49 ________________

Importante es que recuerde que si

( – a) n El resultado es positivo si n es par.

( – a) n El resultado es negativo si n es impar.

III. Entonces responda si existe o no

9 ____________. Porque __________________________________________.

64 ____________. Porque __________________________________________.

3 64 ____________. Porque __________________________________________.

6 64 ____________. Porque __________________________________________.

4 25 ____________. Porque __________________________________________.

¿Existen raíces de números negativos? ( ) siempre ( ) No siempre

Conclusión: ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

VI- Traslade a notación de potencias los siguientes radicales. Simplifique los exponentes que pueda.

3 28 ___________ 14 18 ___________ 13 745 5 ___________

58 2 ___________ 5 2 ___________ 18 64 7 ___________

11 8 ___________ 28 ___________ 6 127 75 ___________

742 75 ___________ 6 8 ___________ *** 12 1215 5 ___________

V. Complete la siguiente tabla con lo que se le solicita, en todos los casos simplifique al máximo

NOTACION

RADICAL

NOTACION DE

POTENCIAS

NOTACION

RADICAL

NOTACION DE

POTENCIAS

LEYES DE POTENCIAS:

1) 1 1 para todo n 8)

2) -1 1 si n es par 9)

3) -1 1 si n es impar

nn x nx

n x y x y

n

b b

b b b

0

10)

14) b 1 para todo 0 11)

5) 12)

6)

n n

n

n

n

n n nx y x y

n

x x x x

a a

b b

b bb

a b bb b b

b a a

b b b b

13)

7) 14)

n veces

n veces

m

nx mnn

m

x x x x x mnn

b b b

b b b b nb ab a b

Conclusión:

Algunas potencias se convierten en un radical, por lo tanto, los radicales cumplen las leyes de

potencias.

Potencias de un Radical.

Sabemos:

mna

Por lo tanto:

k

m

n

a

d

c

m

n

a

d

cna

nR

m ka

Como obtener raíces:

¿Recuerda qué es un factor? Es un elemento de una multiplicación.

Recordemos que

n

a b y

na

b

por lo tanto,

•m

na b

Si n

m

n

m

n

m

b

a

b

a

entonces

=

m

nm

a

b

Extracción de Factores del Subradical

Encontraremos casos diferentes. Ejemplos:

I- raíces

exactas de

potencias con

números

II- raíces

exactas de

números

III- raíces exactas

de potencias con

letras

IV- raíces

no-exactas de

potencias con

letras

V- raíces no-

exactas de

potencias con

números

VI- raíces no-

exactas de números

y letras

* 82

*

* 5 00030024

* 3 3a

*

3 17a

* 3 172

*

4 1235 mhc67228

*

3 1221 32

* 3 1252197

* 4 16a

* 5 3510ba

* 5 1237 up

5 1237 3111

Descomponga

24 300 000

2197

* * 125 * 67228 * *

Nota: recuerda que el asuntito de saber cual raíz es

Exacta o no se conoce hasta después de descomponer.

Trabajo cotidiano 2: Resuelva los siguientes ejercicios

i) 5 321

ii) 5 73

viii) 162

ix) 3

216

1

xv) 75

xvi)

21

449

xxii) 8 72120

xxiii)

5

486

32

iii) 5 128a

iv)

79

78

5

32

v) 3 1875

vi) 41

4802

x) 4

1

243

128

xi) 7 2114 28

xii) 6 276

xiii) 9 546

xvii) 2

1

50

18

xviii) 4 112

xix) 147

xx) 3 4a

xxiv) 3 250

xxv) 3 81

xxvi)

3

2764

8

xxvii)

2

1

98

80

vii) 3 1080

xiv)

3

1

7

94

2

35

xxi) 3 1711

xxviii) 4 405

Simplifique las siguientes raíces extrayendo factores del subradical.

* 3 86

hc3888 * 7 5

c256 * 6 126

mh729 * 4 4065

mhc50000

Objetivo General: Obtener radicales semejantes y radicales homogéneos.

RADICALES SEMEJANTES

Definición: Dos o más radicales son semejantes si poseen igual índice e igual Subradical.

Ejemplo: n mba es semejante

n mbk 3

36 son semejantes con 3 37

y con ___________________________________

875 es semejante con

8 751000y con ________________________________.

Trabajo cotidiano 3: Escriba 5 radicales semejantes a

3 87 ___________________________________________________________.

7 276 ___________________________________________________________.

RADICALES HOMOGÉNEOS

Definición: Dos o más radicales son homogéneos si poseen el mismo índice.

Ejemplo: n mba es homogéneo con

n tck

3 85 es homogéneo con 3 36

Trabajo cotidiano 3b: Escriba 5 radicales homogéneos a

3 87 __________________________________________________________.

7 276 __________________________________________________________.

¿Los radicales homogéneos siempre son semejantes?_______

¿Los radicales semejantes siempre son homogéneos?_______

Objetivo general: .Resolver sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones con radicales.

OPERACIONES CON RADICALES

Suma y resta de radicales.

Para sumar y restar radicales deben ser semejantes. Para operar se

el radical y se suma o resta el coeficiente.

Ejemplo:

i) ii) iii)

iv) v) vi )

Trabajo Cotidiano 4: realice las siguientes sumas y restas

333 108107103

7768711

6666 1710178177178

44 9695

n n n n

n

a d c d d d e d

d

2172522

666 555658

3 3 3 35 3 3 3 7 3 2 3

253232827 33 5 32224

3835

33 43

84

3

5

333 5651052

66 66

16

5

1

55 2

4

52

4

3

37

53

7

8

Nota: En algunos casos se simplifican los radicales para obtener radicales semejantes.

Ejemplos:

* 32 8

*

* 25

3

27

15

16

3

54 128

432

84323

333 43231282546

Trabajo Cotidiano 5: Realice las siguientes operaciones con radicales.

a) 33 34812

b) 501283

c) 33 324

d) 482123

e) 33 3752812

f) 110010

199

3

144

2

1

g) 3962

12523

h) 9

28

9

1122

4

63

2

1

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES

Recordemos:

n ma a :n ma a

na b

na

b

Para multiplicar o dividir radicales es necesario que posean igual índice, o sea, los radicales deben ser

_________________________. Se multiplican coeficiente por coeficiente y subradical por subradical.

Ejemplo:

a) b)

m cn nl a m bx mn nx a y a

c) d)

Trabajo cotidiano 6: RESUELVA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES

c) d) e)

f) g) h)

Realice las siguientes operaciones y simplifique los resultados:

i) • 10 5 15 3 3 34 43a a b c 4b a b c ii) • 3 738 5a 9a a

iii) •

3 3551 927ab 27a b

3 5 iiii) • 5 53 2 26 a 6 a

3 35 8 82 3 •4 3a a

•35 7 2 7

3 35 4 • 3 3 • 55 6 2 7

888-3 8 32

• 8 • 92 3 3

33 3

3 89 • 6 • 12

6 5

55 43 87 n 5n 2 4643 •

PROBLEMAS:

Calcule el área de:

a) Un cuadrado de lado 35 m. b) Un rectángulo de largo 316 metros y ancho 155 m.

c) Un rectángulo de largo 316 metros y ancho 155 metros.

d) Un triángulo de altura 35 metros y base 275 metros.

e) Un rombo cuyo diagonal mayor mide 32 cm. y el diagonal menor 6 cm.

f) Un círculo cuyo diámetro mide 46 cm.

g) Un círculo cuyo diámetro mide 3 36 cm.

Asocie el nombre de la figura con su respectiva fórmula de área.

Ejemplo:

Encuentre el área de los triángulos adjuntos. Utilice la fórmula de Herón

csbsassA

cbaS

2

6m 6 m 9cm

10m 10cm 7cm

15 m 39m 75 Km

36 m 21 Km 72 Km

1. Rectángulo

2. Círculo

3. cuadrado

4. Polígonos regulares

5. Rombo

6. Triángulo

7. Romboide

( ) A =

( ) A =

( ) A =

( ) A =

( ) A =

( ) A =

( ) A =

2

Ax P

h x b

2

d x D

L x L

2r x

2

h x b

a x L

c b

a

Trabajo cotidiano 7: Encuentre el área de los triángulos adjuntos. Utilice la fórmula de Herón A =

DIVISIÓN DE RADICALES

Para dividir radicales es necesario que sean homogéneos, o sea, que posean igual ______________.

Se divide coeficiente entre coeficiente y subradical entre subradical.

Ejemplos:

a) b) c) d)

Trabajo Cotidiano 8: Realice las siguientes divisiones. Simplifique al máximo.

3

4

a3

a27

4 3

4 75

xz2

zx32

3,1 cm

3,4 cm

3,1 cm

5,5 cm

3,9 cm

2,4 cm

4,1 cm

3,9 cm

2,2 cm

2,00 cm

3,47 cm

4,01 cm

3 23 5 a2:a5

d

c

b

a

3

2:

4

75

3a

aba

ab

3

3 2

108

4

xy

xy

22

88

3 3

3 5

b2

b16

2

432

Objetivo General: Simplificar expresiones con radicales en las que se utilice la combinación de operaciones.

OPERACIONES COMBINADAS

Se trabaja en el orden acostumbrado.

Ejemplo:

a) b)

Trabajo Cotidiano 9: Realice los siguientes ejercicios:

360a15a553a 33243 2538

3333

4

35

4

3225

2

66

31553

8

6

356a32a5 353453

Resuelva las siguientes operaciones respetando las prioridades y extrayendo factores del subradical.

a) 5555 324:1237 b)

3333 1443562185

Introducción de Factores dentro del Subradical

Encontraremos casos diferentes

Ejemplos:

I- número dentro de raíz II- letra dentro de raíz

* 2 3

* 23 5

* 24 7

* 27 9

* 28 2

* 210 a

* a 5 ab

* a 8 b

* a3 5 3a

* ab2 6 3ab

Trabajo Cotidiano 10: Introduzca Factores dentro del Subradical

5ab 3 3a 7a3b

3 5a 6a3b

2c 7ac

Trabajo Cotidiano 11:Simplifique las siguientes raíces introduciendo factores dentro del radical, aplicando el

concepto de raíz de una raíz extrayendo factores del subradical.

4 3 511a33a

3 2 3 35a5a 7 aac

183 3 54 3 33 aa

Recuerde:

Resolvamos en forma de potencia

* 33= 3

2•3

1

* 42•4

1 =

* 52•5

1 =

* 3•3 = 3

2

* 4•4 =

Observe y resuelva en un solo

paso.

* 3 3 = 33 2

* 5 5 =

* 13 13 =

Observe y resuelva en un solo

paso.

* 555 53 32 3

3

* 3 2 223

* 3 223 233

* 100•100 = * 20 20 =

* 213 213 =

* 21453 21453 =

* 3 7 723

* 3 211 113

* 3 213481 134813

Trabajo Cotidiano 12

Complete la expresión para que

el resultado sea verdadero

* 5_______ 5

* 11_______ 11

* 35_______ 35

* 3_______ 3

* 2_______ 2

* 15_______ 15

* 65_______ 65

Complete la expresión para que

el resultado sea verdadero

* 5______ 52 3

* 5______ 5 3

* 3______ 32 3

* 86______ 86 3

* 51______ 512 3

* 16______ 162 3

* 6______ 62 3

RACIONALIZACIÓN

El proceso de racionalización que veremos este año consiste en operar para eliminar los radicales del

denominador de una fracción.

Ejemplos

* 2

1

* 3

1 *

5

1 *

7

1

* 2

3

* 25

1 *

26

3 *

57

5

* 2

3

* 7

53 *

6

26 *

87

75

* 2a

3a

* 7y

53xy *

ab 6

26ab3

* 8y7y

7y5y

* 3 3

1

* 3 4

3 *

3 25

3 *

3 24

3

* 3 3

53

* 3 24xy

3xy3

* 3 5xy5

3xy *

3 4xy

3xy3

Trabajo Cotidiano 13: simplifique los resultados extrayendo factores del subradical en donde se puede.

Racionalice y simplifique los resultados.

3 2a

ab

3b3

a

3 8

3

3

K

55

4

3 55

4

73

52

7

1

3

23

6

5

ba

3a

3

4

3

3 37

6

7

63

Trabajo extra clase Valor 5%

Deben de aparecer los pasos que utilizó para llegar al resultado cuando se necesiten.

Indicaciones: Cada uno de los enunciados que aparecen a continuación, tiene una sola opción que es válida

como respuesta, marque una equis (x) dentro del paréntesis de la opción que corresponde a la respuesta

correcta.

1. Al racionalizar la expresión x

x

3

2, se obtiene como resultado

( ) 3

6 2x ( )

3

32 x

( ) x23 ( ) 3

x

2. Para racionalizar la expresión 3 7

6, se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión

( ) 3 7 ( ) 3 49

( ) 3 42 ( ) 49

3. Al racionalizar la expresión ab

ab, se obtiene como resultado

( ) ab

ba 22

( ) ab

ab2

( ) ab ( ) ab

4. Al racionalizar la expresión 2


( ) 2

25 ( )

2

223

( ) 23 ( ) 2

2

5. Al racionalizar la expresión 3 22

4

aa, se obtiene como resultado

( ) 2

32

a

a ( )

a

a2

( ) 322 aa ( ) 2

32 aa

6. Para racionalizar la expresión 3 22

3

n

mn,se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión

( )3 242 n ( ) 3 4

( ) 24n ( ) 3 24n

7. Al racionalizar la expresión n

m

4


( ) n

nm2 ( )

n

nm

2

( ) nm2 ( ) m

mn2

8. Al racionalizar la expresión 2


( ) 2

25 ( )

2

223

( ) 23 ( ) 2

2

9. Para racionalizar la expresión 23

5,se debe multiplicar el numerador y denominador por la expresión

( ) 43 ( ) 2

( ) 8 ( ) 3 43


mn , se obtiene como resultado

( ) n

nmn ( )

n

nmnn

( ) nmn ( ) n

mnmn


mn , se obtiene como resultado

( ) n

nmn ( )

n

nmnn

( ) nmn ( ) n

nmn

12) El resultado simplificado 3 126 xx corresponde a:

42xA 24xB

15xC 10xD

13) El resultado simplificado 3 9664 yx corresponde a:

328 yxA 634 yxB

324 yxC 638 yxD

14) El resultado simplificado

3 92 83 aa corresponde a:

1124aA 66aB

56aC

56aD

15) El resultado simplificado 5

5

10

32

2

y

x

x

y corresponde a:

y

xyA xB

xC 2 xy

xyD

2

2

16) El resultado simplificado 12 84813 yxa corresponde a:

6 4293 yxaA 3 233 xyaB

6 2813 xyaC 6 42813 yxaD


12 4x corresponde a:

3xA

2

3

xB

xC 3

1

xD


6 482 mm corresponde a:

44mA mmB 82

mmC 22 mD 2


3 2x corresponde a:

6 xA xB

3 2xC 3 xD


3 964a corresponde a:

32aA

6 32 aB

6 32 aaC aaD 2

21) La Expresión 36 636b

es equivalente a:

6 36bA 6 36bB

36bC

6 bbD

22) El resultado de baba 22 94 corresponde a:

baA bB 5

bC 5 baD

23) El resultado de

43

2

1 24

2 kkk

corresponde a:

2

3 2kA kkB 2

2

kC

2kD

24) El resultado de

4 74 4 11b

bb

b

corresponde a:

4 2bA 4 3bB

4 11bC 4 28bD

25) El resultado de aaa 487527 corresponde a:

aA 3 aB 32

aC 33 aD 37

Simplifique al máximo las siguientes expresiones con radicales. Considérese todas las variables bien

definidas en IR. Escriba los procedimientos y la respuesta en el espacio asignado para tal fin.

1) El resultado simplificado de

valor 3 puntos


valor 3 puntos


valor 4 puntos

4) La expresión

3 556b simplificada corresponde valor 3 puntos

5) La expresión a

a

10

20 5

simplificada corresponde valor 2 puntos

SIMPLIFIQUE AL MAXÍMO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. Considérese todas las variables bien

definidas en IR. Escriba los procedimientos y la respuesta en el espacio asignado para tal fin.

1) RESUELVA LA SUMA DE

323 443 47 37812242 bxxbxbbxb Valor 5 puntos

2) Resuelva la multiplicación de

6 24 32 12525 xyx Valor 5

puntos

3) Resuelva la multiplicación de

33 2 3894

3aba

Valor 5 puntos

Objetivo general: simplificar expresiones aritméticas y ...

Documents

Transcript of Objetivo general: simplificar expresiones aritméticas y ...