Observabilidad y control

7/26/2019 Observabilidad y control

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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LENFACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

DEPARTAMENTO DE CONTROL

Prctica N 10 de Control ModernoDiseo de Observadores

OBJETIVO

Junto con la teora vista en clase, las tareas realizadas en casa y el buen uso de los comandos deMatlabayudar al alumno a adquirir lacompetenciapara el diseo de Observadores de orden completo

para Sistemas Continuos Monovariable.

MARCO TERICO

En las dos prcticas anteriores se estudi la estructura de la retroalimentacin del estado de unsistema, en el que se supuso que todas las variables de estado de la parte controlable eran medidles y

cuyos valores podan utilizarse de forma inmediata en dicha estructura de control. Las variables de

estado son, sin embargo, en el caso ms genrico, variables internas de funcionamiento del sistema

cuyos valores no pueden medirse directamente sobre magnitudes fsicas de ste. En este caso general,los valores de las variables de estado que se desea conocer para efectuar la retroalimentacin han de ser

estimadas a partir de la evolucin de las seales conocidas del sistema, que son sus salidas y sus

entradas.

Fig. 1Concepto de Observador

El conjunto de las variables que pueden calcularse a partir de las entradas y las salidas delsistema forman, como se sabe, el subsistema observable. El clculo de las variables de estado se realizaen el sistema denominado Observador, cuyo esquema se muestra en laFigura 1, que en todo momento

es capaz de estimar los valores de las variables de estado reales del sistema, que son necesarias para su

control segn la matriz de retroalimentacin del estado vista con anterioridad.

Dado un sistema lineal, invariante y observable:

x(t)B(t

A(t)

C(t)

Observador

u(t) y(t)

xc(t)

.x(t)


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Prctica 10 Laboratorio Control Moderno

M.C. Manuel Amarante Rodrguez

28 de Julio del 20112

( ) ( ) ( )

( ) ( )tCxty

tButAxtx

=

+=

o

(1)

el esquema general de un observador es el representado en la Figura 1, en el que ste proporciona una

medida o estimacin dinmica de las variables de estado del sistema a partir de la evolucin de sus

entradas y salidas.

Para la realizacin de un observador, existe un caso trivial en el que las salidas son unacombinacin lineal de las variables de estado, caracterizado por una matriz Cinvariable. En este caso el

observador del estado se resuelve simplemente invirtiendo esta matriz:

( ) ( )tyCtx 1=

Si se desea obtener de forma continua la evolucin de las variables de estado del sistema encada instante, se implementa un sistema dinmico que tiene como entradas las entradas y salidas del

sistema, y que responde a las condiciones enunciadas por el siguiente teorema:

Dado u sistema lineal, invariante y observable:

( ) ( ) ( )

( ) ( )tCxty

tButAxtx

=

+=

o

(1)

se dice que el sistema definido por las ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )tHytGutFxtx ec ++=o

es un observador del anterior, si verifica las dos condiciones siguientes:

1. Si los estados de ambos sistemas coinciden en un instante t0, xe(t0) = x(t0), entonces losestados coinciden para todo instan te posterior xe(t) = x(t) para cualquier entrada u(t)

aplicada sobre el sistema.

2. xe(t) debe tender asintoticamente al estado x(t) para cualquier entrada u(t) y paracualesquiera estados iniciales xe(t0) y x(t0).

( ) ( ) 0lim =

txtxet

(2)

Estas dos condiciones imponen diversas restricciones a las matrices del observador. As, si se

forma la diferencia entre la evolucin del estado del observador y del sistema:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tHCxtuBGtAxtFxtxtx ee ++=oo

(3)

se deduce que:


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Por la primera condicin, se sabe que si se parte de un mismo estado inicial, ante cualquierentrada, los estados deben coincidir en todo instante. Para que la entrada no influya en la

diferencia entre ambos se debe cumplir:

BG = (4)

con lo que laEc. (3)quedaEc. (5):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tHCxtAxtFxtxtx ee +=oo

(5)

Dada esta ecuacin, para que los estados coincidan en todo instante se debe cumplir Ec. (6):

HCAF = (6)

con lo que laEc. (5)pasa a valerEc.(7):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxHCAtxtx ee =oo

(7)

Como puede observarse de esta expresin, la dinmica de la diferencia entre las variables

estimadas y las variables de estado viene gobernada por la matrizA-HC.

Si los estados iniciales no coinciden xe(0) x0, el estado estimado debe tender

asintoticamente al estado del sistema, por lo que los valores propios de la matriz A-HCdeben estar en el semiplano negativo.

Adicionalmente, en la prctica se necesita que la dinmica del observador dado por Fsea msrpida que la del sistema dado por A, para que el observador estime las variables de estado ms

rpidamente que la variacin de stos y, por lo tanto, puedan ser utilizadas de forma eficaz como unabuena estimacin de las variables de estado en la retroalimentacin del estado del sistema. Esto se

consigue si la parte real de los valores propios de la matrizA-HCes significativamente menor que la delos valores propios de la matrizA.

El objetivo final de la utilizacin de un observador es disear un control por retroalimentacindel estado a partir del estado estimado. Cabe, por lo tanto, analizar la controlabilidad al sistema en

forma conjunta con el observador, tanto antes de realizar la retroalimentacin del estado como despus.

Las ecuaciones tanto del sistema inicial como del observador son:

( ) ( ) ( )tButAxtx +=o (8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tHCxtButxHCAtx ee ++=o

(9)

escrito en forma matricial:

( )

( )

( )

( ) ( )tuB

B

tx

tx

HCAHC

A

tx

tx

ee

+

=

0o

o

(10)


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cuya representacin grfica se observa en laFigura 2.Si se estudia la controlabilidad del sistema conjunto, mediante la construccin de la matriz Q:

=

BABAABB

BABAABBQ

n

n

12

12

L

L (11)

Como puede verse fcilmente, el conjunto formado por los dos grupos de variables es no

controlable.Dado que se parte de que el sistema inicial es controlable, el rango de esta matriz sigue siendo

n, por lo que se puede se puede hacer una separacin de la parte no controlable, mediante el cambio:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

=

=

txtx

tx

tx

tx

II

Itx

ee

0~ (12)

Con lo que la nueva expresin de la ecuacin de estado es:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )tuB

txtx

tx

HCA

A

txtx

tx

ee

+

=

00

0oo

o

(13)

Ecuacin de la que puede extraerse las siguientes conclusiones:

La parte no controlable es la diferencia entre el estado estimado y el estado real: actuando

sobre la entrada no se modificar el comportamiento de esta diferencia, como cabe esperar de

las condiciones impuestas en la definicin del observador.

Fig. 2Esquema del sistema con observador.La evolucin de la parte no controlable es:

( ) ( ) ( )( )000, xxtttxtx eHCAe = (14)que corrobora lo ya conocido: ser cero, si el estado inicial para las variables reales y para las

estimadas es el mismo, y tendera a cero, si siendo el estado inicial distinto, los valores propiosdeA-HCtienen parte real negativa.

B C

A

x(t)u(t) y(t)

B

A-HC

xe(t

H


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El hecho de retroalimentar el estadox(t)no afecta la dinmica del observador, slo a la delsistema observado. Sin embargo, no hay que olvidar que no es posible retroalimentar x(t), al

no tener acceso a estas variables, sinoxe(t), el conjunto de variables estimadas.

El objetivo de este apartado es, dado un sistema lineal, invariante, observable y monovariable,disear un observador que estime el estado. Conocidas las matricesA,By Cdel sistema, y segn se vio

con anterioridad, el observador debe cumplir.

G = B

F = A-HC, siendoHtal que los valores propios deFdeben estar en el semiplano negativo, yadems, de parte real significativamente menor que los valores propios dominantes de la

matrizAAr, en caso de un sistema con retroalimentacin del estado.

El objetivo es calcularHde forma que se cumplan las anteriores condiciones. La representacindel estado estimado obtenido depender de la representacin del estado elegida para expresarA,B, y C.

al igual que suceder con el mecanismo elegido para disear la retroalimentacin del estado, es

interesante elegir una representacin que simplifique los clculos. As si se elige la llamada formacannica observable.

Calcular los elementos de la matrizHa partir de los coeficientes de la ecuacin Expresar el

sistema en su forma cannica observable; para ello es necesario determinar la matriz detransformacin, mediante el mtodo que se describe en el siguiente subapartado.

Determinar la posicin que deben ocupar los polos del observador y obtener, a continuacin,

los coeficientes de su ecuacin caracterstica (fn, fn-1,,f0). La posicin elegida para dichos

polos depender de la posicin de los polos del sistema, de forma que la dinmica delobservador sea significativamente ms rpida que la del sistema observado.

caracterstica deFy de la ecuacin caracterstica deA, segn las siguientes expresiones

11

112

001

+=

+=

+=

nnn fah

fah

fah

M (15)

Montar el observador segn la Figura 3 permite obtener una estimacin del estadoexpresado en la forma cannica observable, a partir de las matrices B,FyH anteriormente

calculadas.

Fig. 3Esquema del sistema con el Observador expresado en la forma cannica observable.

B C

A

x(t)u(t) y(t)

~ ~ ~

F=Ao-HCo

~xe(t)

H

~Bo


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Obsrvese que todas las matrices involucradas en el esquema de laFigura 3estn expresadasen la forma cannica observable.

DESARROLLO

Para el sistema, del cual se muestran a continuacin las matrices que determinan su dinmica,

que no e tienen accesibles las variables de estado es necesario disear un Observador del Estado que lasestime.

( ) ( )

( ) ( )tCxty

tButAxx

=

+=

Donde

[ ]0025

1

0

0

8.828.1185.35

100

010

=

=

= CBA

Para iniciar con el diseo primero probamos la dinmica del sistema determinando sus valores

propios, la Observabilidad para saber cuantas variables de estado tiene, cuantas son observables y si es

estable.

En Matlab:

%Cargando las matrices que determinan la dinmica del sistema

>> A=[0 1 0;0 0 1;-35.85 -11.28 -8.8]

A =

0 1.0000 0

0 0 1.0000-35.8500 -11.2800 -8.8000

>> B=[0;0;1]

B =

00

1

>> C=[25 0 0]

C =

25 0 0

>> D=[0]


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D =0

%Determinacin de estabilidad

>> eig(A)

ans =-7.9483-0.4259 + 2.0806i

-0.4259 - 2.0806i

%Determinacin de la Controlabilidad y la Observabilidad

>> Co=ctrb(A,B)

Co =

0 0 1.00000 1.0000 -8.8000

1.0000 -8.8000 66.1600

>> rank(Co)

ans =

3

>> rank(A)

ans =

3

>> Ob=obsv(A,C)

Ob =

25 0 00 25 0

0 0 25

>> rank(A)

ans =

3

>> rank(Ob)

ans =

3


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De los clculos en Matlab nos damos cuenta que el sistema es estable, que tiene tres Variablesde Estado y que las tres son controlables y observables, de aqu determinaremos la dinmica del

Observador debiendo tenerla ms rpida que la del sistema por lo que colocaremos sus valores propios

ens1=-10,s2=-10ys3=-15, clculo deHcon el comando >>ackerpara obtenerF=A-HC que determinala dinmica del observador.

En Matlab:

%Cargando la matriz P que contiene los polos de lazo cerrado del observador

>> P=[-10 -10 -15]

P =

-10 -10 -15

%Clculo de H para obtener F que determina la dinmica del Observador

>> L=acker(A',C',P)'

L =

1.04806.3264

-8.9278

>> H=L

H =1.0480

6.3264

-8.9278

>> F=A-H*C

F =-26.2000 1.0000 0

-158.1600 0 1.0000

187.3440 -11.2800 -8.8000

>> eig(F)

ans =-15.0000

-10.0000 + 0.0000i

-10.0000 - 0.0000i

Observando los valores propios que determinan la dinmica del Observador, s1=-15, s2=-10 y

s3=-10, nos damos cuenta que la dinmica del observador est basada en los valores propios con que lodiseamos.


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Para estimar la calidad del diseo simularemos con Simulink la dinmica de las variables deestado del sistema, visualizndolas en grficas de Matlab, la dinmica de las variables de estado

estimadas y la diferencia entre ambas, de acuerdo a laFigura 3. Los diagramas de SimulinkFigura 4y

las respectivas grficas que las tenemos en lasFiguras 5, 6, 7 y 8

Fig. 4Diagrama de Simulink para simular el sistema con su Observador de Estado (obsrvese que

aqu la notacin de las Matrices A, B, y C del Observador continan en la forma original sin

expresarse en la Forma Cannica Observable)

Fig. 5Variables generadas por la simulacin Figura 4 y los comandos para realizar las grficas de

las figuras 6, 7 y 8


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Fig. 6Grfica de respuesta al escaln de las Variables de Estado

Fig. 7Grfica de respuesta al escaln de las Variables de Estado Estimadas


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Fig. 8Grfica de respuesta al escaln de la diferencia de las Variables de Estado Reales y las

Estimadas

REPORTESea el siguiente sistema, del cual se presentan sus ecuaciones de estado en seguida, en donde las

Variables de Estado no estn disponibles y necesitan ser estimadas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) [ ]

( )

( )

( )

=

+

=

tx

tx

tx

ty

tu

tx

tx

tx

tx

tx

tx

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

244.1

0

0

145.33956.0244.1

100

010

o

o

o

Disee un Observador que las estime con una dinmica en la que los polos dominantes del

mismo tengan la parte real negativa el triple de los del sistema a estimar.

La entrada r(t) es una funcin escaln unitario.

a. Obtenga la matriz de ganancia del ObservadorH.b.

Obtenga la matriz que determina la dinmica del ObservadorF=A-HC.


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c. Compruebe que los Polos dominantes de la dinmica del observador tiene parte realnegativa el triple de la del sistema a estimar

d.

Obtenga el desempeo en el tiempo de las Variables de Estado reales y las estimadas en

una misma grfica comparando ambos desempeos para una entrada escaln unitario yun tiempo de 0 a 5 seg. con incrementos de 0.05.

e.

Obtenga una grfica del desempeo en el tiempo de los estados reales en forma

individual para una entrada en escaln unitario utilizandoSimulink

. Las grficasdebern realizarse con el comando >>plot.f.

Obtenga una grfica del desempeo en el tiempo de los estados estimados en forma

individual, para una entrada escaln unitario utilizando Simulink. Las grficas debern

realizarse con el comando >>plot.g.

Obtenga una grfica que muestre el desempeo en el tiempo del error de estimacin de

las variables de estado.

h. Haga un informe detallado del procedimiento seguido en la prctica con su debidafundamentacin matemtica.

i.

Explique cada comando utilizado en la prctica.

j. Conclusiones

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