Este articulo aparecio en: L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 29B(1), 12-39 (2006).

OBSTCULOS EPISTEMOLGICOS Y PERSPECTIVA SOCIO-CULTURAL DE LA MATEMTICA

Bruno D`Amore Luis Radford

Giorgio T. Bagni

Sumario. En el presente trabajo proponemos una conversacin sobre algunos temas que han sido objeto de debate y controversia en didctica de la matemtica en los ltimos aos, como las actuales concepciones epistemolgicas, las interpretaciones de los desarrollos histricos de los conceptos, el papel de la cultura en la cognicin y en el aula, considerada esta ltima como una forma de sociedad. Entre otras cosas, nuestra conversacin retoma la cuestin de si la idea de un obstculo epistemolgico pueda ser o no considerada como base para establecer un vnculo significativo entre la historia y la didctica de la matemtica.

1. Introduccin El considerar a un concepto matemtico por medio de su evolucin histrica y epistemolgica requiere asumir posiciones comprometidas y significativas. Adems, son problemas relevantes los relacionados con la interpretacin, inevitablemente conducida a la luz de nuestros paradigmas culturales actuales mediante los cuales se ponen en contacto culturas diferentes pero no inconmensurables (Radford, Boero, Vasco, 2000, 165; 1). La actualidad didctica del argumento introducido es evidente: los procesos de enseanzaaprendizaje de la matemtica estn influenciados por las concepciones de los docentes sobre la naturaleza del conocimiento cientfico y de su evolucin (Brickhouse, 1990; Hashweb, 1996) y de los cambios de convicciones ocurridos luego de la maduracin alcanzada con reflexiones personales o, mejor, por ocasiones de fuerte confrontacin terica (DAmore, Fandio Pinilla, 2004; Bagni, 2005 por publicar). Una evolucin histrica didcticamente propuesta desde un punto de vista moderno permitira tal vez presentar a los estudiantes los obstculos espistemolgicos principales y aclarar algunas posiciones histricas, cuya debilidad fue revelada sucesivamente; pero, por otro lado, un planteamiento que pretenda hacer seguir al desarrollo cognitivo un recorrido modelado en base a la evolucin histrica2 encontrara notables dificultades tericas (Werner, 1984; Radford, 1997). La presentacin de elementos histricos con referencia al propio contexto cultural ofrece la posibilidad de una profundizacin orgnica e induce reflexiones fundamentales sobre la gnesis de un concepto (Bagni, D'Amore, 2005): la eleccin de una historia interna, que da cuenta de un desarrollo

1 En el presente trabajo las traducciones son nuestras 2 Pensemos en el paralelismo entre ontognesis y filognesis, expresado por E. Hackel en el lejano 1874, y a la conocida tesis en: Piaget, Garcia, 1983; vease : Furinghetti, Radford, 2002

aislado de la matemtica, resulta problemtica (Grugnetti, Rogers, 2000, 40) y difcilmente sostenible desde el punto de vista epistemolgico. Varios agentes clasificados en los aos '70-'80 por G. Brousseau (1976, 1983, 1989) contrastan la formacin de los conceptos que actan como obstculos. Analizaremos en este escrito la formulacin terica de L. Radford, a propsito de la interpretacin que daremos a la idea de obstculo epistemolgico (Bachelard, 1938), sobre la cual pueda fundamentarse una conexin de la historia a la didctica, a travs de la epistemologa. Realizaremos tal profundizacin proponiendo la relatora de una conversacin entre tres, con Luis Radford y Bruno D'Amore que respondern a algunas preguntas propuestas por Giorgio Bagni. 2. Historia de la matemtica y didctica Bagni: Ludwig Wittgenstein (1956, IV, 52) escribi: Incluso quinientos aos atrs poda existir una filosofa de la matemtica; una filosofa de aquello que era la matemtica en ese entonces. Eso significa que la reflexin sobre la matemtica y sobre la didctica tiene que ser historizada? Radford: Aqu Wittgenstein distingue el trabajo del matemtico del trabajo del filsofo. El filsofo, dice Wittgenstein, no hace matemtica: juzga la matemtica. Como todos los juicios, el del filsofo se ubica en un perodo histrico; por lo tanto, el filsofo juzga la matemtica desde su propio tiempo. En este sentido, una filosofa de la matemtica era posible hace 500 aos y es posible an ahora. El punto notable de la idea de Wittgenstein es el subrayar la distancia entre el filsofo y el matemtico. Es esta distancia la que hace posible diferenciar un juego lingstico (la matemtica) del otro (la filosofa de la matemtica). Ambos juegos lingsticos son histricos, Wittgenstein nos lo dice. Y las relaciones entre stos tambin lo son. Aunque yo no sea un apasionado de la idea de los juegos lingsticos, por razones que surgirn en el curso de nuestra conversacin, considerar, para responder la pregunta, la didctica de la matemtica como un juego lingstico. As como la filosofa, la didctica ofrece una nueva luz sobre la naturaleza de la matemtica. Se trata de una luz diferente de aquella aportada por el filsofo, dado que el rol del didacta no es el de juzgar la matemtica. Algunos estn ms interesados en el problema del desarrollo conceptual del pensamiento matemtico (cfr., por ejemplo, el Captulo 5 del ICMI Study sobre la historia y la didctica de la matemtica: Fauvel, van Maanen, 2000). Este problema nos lleva a considerar otros problemas, como la relacin entre filognesis y ontognesis. Podemos entonces crear un juego lingstico que es, como todos los juegos lingsticos, cultural e histricamente situado- que, sin llevar a un juicio, pueda proporcionar elementos de comprensin de la naturaleza de la matemtica. No obstante, el problema es mucho ms complicado de lo que puede parecer a primera vista. En efecto, dicho juego no puede jugarse sin comprometerse necesariamente con alguna conceptualizacin del desarrollo de la matemtica y de las metodologas apropiadas para llevar a cabo el estudio de dicho desarrollo. Por ejemplo, muchos epistemlogos no aceptan la epistemologa gentica de Piaget; para estos epistemlogos la naturaleza y el desarrollo de la matemtica no pueden ser esclarecidos con el estudio del pensamiento infantil. Nos enfrentamos aqu con la clsica oposicin entre psicologa y epistemologa que

fue parte del debate sobre los fundamentos de la matemtica en los albores del siglo XX, un debate en el cual Wittgenstein decididamente tom partido en contra de la psicologa de su tiempo. D'Amore: Cuando cualquier reflexin humana adquiere la denominacin de disciplina, significa que se est historizando, es decir, que est asumiendo una dimensin de desarrollo que tiene como eje de apoyo al eje temporal. Primero, existen tantas teoras como practicantes; luego, se forman un vocabulario y unas prcticas comunes (Romberg, 1988). Cuando existe una prctica suficientemente compartida, nacen una meta-prctica y una reflexin sobre aquello que la disciplina permite construir. Esta reflexin, en un inicio, est hecha por los mismos seres humanos que desarrollaron las prcticas, luego puede ser realizada por otros. Una reflexin sobre la disciplina es ineludible y acompaa a cada disciplina, tambin a la matemtica. En general, las didcticas se mantienen a la par de las disciplinas, pero el caso de la matemtica es especial, en mi opinin. Parece implcita en la misma creacin matemtica la necesidad de comunicarla, y ste es el primer paso hacia su didctica. Esto no significa que la matemtica y la didctica tengan que ser historizadas, sino que de hecho lo son. Sobre ambas, sin embargo, se pueden expresar juicios y valoraciones, y esto nos lleva a la frase de Wittgenstein. Existirn juicios y valoraciones sobre la matemtica y existirn sobre la didctica de la matemtica; refirindose a temas diversos, a prcticas humanas diferentes, lenguas diferentes, objetivos diferentes; y sin embargo tendrn en comn un sustrato que a ambas alimenta. La historizacin ocurre entonces separadamente, segn la acepcin de Feyerabend (2003, 120): la totalidad del conocimiento humano es un proceso histrico complejo y heterogneo que contiene anticipaciones todava vagas e incoherentes de futuras ideologas junto a sistemas tericos muy sofisticados y a formas de pensamiento antiguas y fosilizadas. Algunos de sus elementos estn disponibles en la forma de aserciones, escritas en forma clara y precisa, mientras otros estn ocultos y adquieren notoriedad slo por contraste, por comparacin con opiniones nuevas e inslitas (Feyerabend, 2003, 120). Para la matemtica, el pasaje descrito por Feyerabend ocurri siglos atrs, para la didctica, en mi opinin, est en curso. Bagni: Parece importante, incluso fundamental, que un profesor de matemtica, en cada nivel escolar, dialogue con la historia y la epistemologa de la propia disciplina y logre emplear las referencias histricas concientemente y coherentemente con las propias concepciones epistemolgicas. Pero Cmo es posible, para un profesor, acercarse a la historia? Mediante fuentes secundarias? Y Qu rol se sugiere reservar a la lectura de los textos originales? En particular, Cmo se pueden tener correctamente en cuenta (Barbin, 1994) las concepciones de los estudiosos que, en los diferentes perodos histricos, se han encargado de las ediciones de las obras matemticas consideradas? Radford: Una de las principales caractersticas de la aproximacin histrico cultural al pensamiento matemtico que he descrito en aos pasados es la componente histrica. Esto significa, entre otras cosas, que aquello que conocemos y el modo con el cual llegamos a conocerlo deben enmarcarse no

slo por medio de aquello que hacemos ahora y cmo lo hacemos, sino tambin por una inteligencia histrica que reposa en prcticas sociales, instituciones, lenguajes, artefactos, libros, monumentos , etc. No debemos perder de vista que el conocimiento y el conocer son ambos sostenidos por esta inteligencia histrica que hemos heredado de las generaciones pasadas. Este es el motivo por el cual los profesor