Obtención de la primitiva de algunas funciones...1 nia 11 á iiia BACHILLERATO Matemáticas II...

1

Unidad 11. Cálculo de primitivas BACHILLERATOMatemáticas II

Resuelve

Página 327

Obtención de la primitiva de algunas funciones

■ números y potencias sencillas

a) y 1 dx = x b) y 2 dx = 2x c) y 2 dx = x2

d) y 2x dx = x 2 e) y x dx = x22

f ) y 3x dx = x23 2

g) y 7x dx = x27 2 h) y x 2 dx = x3

3 i) y x dx

21 2 = x6

3

■ potencias de exponente entero

a) y (–1)x –2 dx = x –1 = x1 b) y x –2 dx = x

x11

––1– =

c) y x

dx52 = x5– d) y

xdx13 = x dx

xx2 21

––3 2

2– –= =y

e) y x

dx23 = xdx

x x2 1

22 1– –

3 2 2= =y f ) y ( )x dx35– 3

= ( )x2 3

5–

–2

■ las raíces también son potencias

a) y x dx23 /1 2 = x 3/2 = x3

b) y x dx23 = x dx x x

23 / /1 2 3 2 3= =y

c) y x dx7 = x dx x7 314 3=y

d) y x dx21 /1 2– = x 1/2 = x

e) y x

dx2

1 = x

f ) y x dx5 3 = /x dxx x5 55 2

2//3 2 5 2 5= =y

■ ¿recuerdas que D (ln x) = x1 ?

a) y x

dx1 = ln | x | b) y x

dx51 = | |ln

xdx x

51

55

51 5=y

c) y x

dx5

1+

= ln | x + 5 | d) y x

dx2 6

3+

= | |lnx

dx x23

2 62

23 2 6

+= +y

BACHILLERATOUnidad 11. Cálculo de primitivas

2

Matemáticas II

■ algunas funciones trigonométricas

a) y cos x dx = sen x

b) y 2cos x dx = 2sen x

c) y πcos x dx2

+b l = πsen x2

+c m

d) y cos 2x dx = cos x dx sen x21 2 2

21 2=y

e) y (–sen x) dx = cos x

f ) y sen x dx = –cos x

g) y sen (x – π) dx = –cos (x – π)

h) y sen 2x dx = cossen x dx x21 2 2

21 2–=y

i) y (1 + tg 2 2x) dx = ( )tg x dx tg x21 2 1 2

21 22+ =y

j) y tg 2 2x dx = ( ) ( )tg x dx tg x dx dx tg x x1 2 1 1 2 1 21 2– – –2 2+ = + =9 yy

■ algunas exponenciales

a) y e x – 1 dx = e x – 1

b) y e 2x + 1 dx = e21 x2 1+


3

Matemáticas II

1 Primitivas. Reglas básicas para su cálculoPágina 329

1 Halla:

a) y x 4 dx b) y (5x 3 – 8x 2 + 2x – 3) dx c) x dx3y

d) x

dx1y e) yx1

25 f )

x32y

g) x

dx65

4y h)

xx dx

323y i)

xx x dx

353 3+y

j) ( )x dx5 3– 4y k) ( )x dx7 6– 23y l) x

x x x dx5 6 2 3–3 2+ +y

m) x

x x x dx2

2 6 5–4 3+

+y n) x

dx6 45–

y ñ) x

x x dx2

2 6 3–

–4 +y

o) x

x x x dx7 5 3 4– –24 2 +y

a) y x 4 dx = x k55

+

b) y (5x 3 – 8x 2 + 2x – 3) dx = x dx x dx x dx dx x x x x k5 8 2 34

53

8 3– – – –3 24 3 2+ = + +yyyy

c) x dx3y = x dx x k x x x k31 1 4

34

3/ ( / ) /1 3 1 3 1 4 3 3=+

+ = = ++y

d) x

dx1y = x dx x k x k x k21 1

2 2–

/ ( / ) /1 2 1 2 1 1 2– –=+

+ = + = ++y

e) yx

dx125

= x dx x k x k x k

52 1 3

53

5

–

/ ( / ) /2 5 2 5 1 3 535

– –=+

+ = + = ++y

f ) x

dx32y = x dx x k x k3 3 2 13

––2

12– –=+

+ = ++y

g) x

dx65

4y = x dx x k x k65

65

4 1 185·

––4

4 1

3– –=

++ = +

+y

h) xx dx

323y = ·

xx dx x dx x k x k

32

32

32

61 1 5 3

6 2

–/

/ / ( / )3

1 2

1 3 3 1 63 1 6 1 3 56– –= =

++ = +

+yy

i) x

x dxx3

53 3+y = x

x dxx

dx x dx x dxx3 3

531

35/ / //1 3 2 3 1 23 2 –+ = + =yyyy

= · ·x x k x x k31

31 3

5

23 9

2 5/ /1 3 3 2 3 3+ + = + +


4

Matemáticas II

j) ( )x dx5 3– 4y = · ( () )k kx x51

4 15

5 553 3– –4 1 5

++ = +

+

k) ( )x dx7 6– 23y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x dx x k x k x x k7 6 71

32 1

7 6353 7 6

353 7 6 7 6– · – – – –/

( / )/2 3

2 3 15 3

23=

++ = + = +

+y

l) x

x x dxx5 6 2 3–3 2+ +y = | |lnx x x xdx x x k5 6 2 3

33

5 3 2 3– –23 2+ + = + + +e oy

m) x

x x x dx2

2 6 5–4 3+

+y = | |lnx x xx

dx x x x x x k2 10 20 352

702 3

10 10 35 70 2– – – –3 24 3 2+ +

+= + + + +d ny

n) x

dx6 4

5–y = | |ln x k

45 6 4– – +

ñ) x x dxx

2 6 32

––

4 +y = | |lnx x xx

dx x x x x x k2 4 8 222

412 3

4 4 22 41 2–

–3 24 3 2+ + + + = + + + + +d ny

o) x

x x x dx7 5 3 4– –24 2 +y =

xx dx

xx dx

xx dx

xdx7 5 3 4– –2

4

2

2

2 2+ =f f e ep p o oy yyy

= | |lnx dx dx x dx xdx x x x

xk7 5 3 4

37 5 3 4– – –2 2

3+ = + + +y yyy

Página 330

2 a) y (3x – 5 tg x) dx b) y (5 cos x + 3 x) dx c) y (3 tg x – 5 cos x) dx d) y (10x – 5x) dx

a) y (3x – 5 tg x) dx = ( | |) | |ln cos ln cosx dx tg x dx x x k x x k3 5 23 5

23 5– – –

2 2= + = + +yy

b) y (5 cos x + 3 x) dx = cosln

x dx dx sen x k5 3 53

3x x+ = + +yy

c) y (3 tg x – 5 cos x) dx = ( | |)cos ln costg x dx x dx x sen x k3 5 3 5– – –= + =yy –3ln | cos x | – 5sen x + k

d) y (10x – 5x) dx = ln ln

k10

105

5–x x

+

3 a) y x 1

32 +

dx b) y x

x1

22 +

dx c) y xx

11–

2

2

+ dx d) y ( )

xx

11

2

2

++ dx

a) y x 1

32 +

dx = 3 arctg x + k

b) y x

x1

22 +

dx = ln | x 2 + 1 | + k

c) y xx

11–

22

+ dx =

xdx x arctg x k1

12 2– –2+ +

= +e oy

d) y ( )xx

11

2

2

++ dx = | |ln

xx x dx

xx dx x x k

12 1 1

12 12

2

22

++ + = +

+= + + +e oyy


5

Matemáticas II

Página 331

4 a) sen x dx2y b) x

dx1 9 2+y c)

xdx

1 8 2+y

d) x

dx25 9 2+y e)

xdx

3 2 2+y f )

xdx

1 9– 2y

g) x

dx1 8– 2y h)

xdx

25 9– 2y i)

xdx

3 2– 2y

j) e dxx5 2–ya) Restando las ecuaciones del ejercicio resuelto 2.a) de esta página, obtenemos que 1 – cos 2x = 2sen 2 x.

cos cossen x dx x dx dx x dx x sen x k x sen x k2

1 221

21 2

2 21

22

2 42– – – –2 = = = + = +yyyy

b) x

dx1 9 2+y =

( )xdx arc tg x k

1 3 31 32+

= +y

c) x

dx1 8 2+y =

( )xdx arc tg x k

1 8 81 82+

= +y

d) x

dx25 9 2+y =

x

dx

x

dx arc tg x k arc tg x k251

1259 25

1

153 25

1

531

53

151

53·

2 2+=

+= + = +

d nyy

e) x

dx3 2 2+y =

xdx

x


132 3

1

132 3

1

32

132

66

32·

2 2+=

+= + = +

d nyy

f ) x

dx1 9– 2y =

( )xdx arc sen x k

1 3 31 3

– 2= +y

g) x

dx1 8– 2y =

( )dx arc sen x k

x1 8 81 8

– 2= +y

h) x

dx25 9– 2y = ·

x

dx

x

dx arc sen x k arc sen x k51

1 259 5

1

1 53 5

1

531

53

31

53

– –2 2

= = + = +

d nyy

i) x

dx3 2– 2y = ·

x

dx dx arc sen

x

x k arc sen x k31

1 32 3

1

1 32 3

1

32

132

21

32

– –2 2

= = + = +

d nyy

j) e dxx5 2–y = e k51 x5 2– +


6

Matemáticas II

2 Expresión compuesta de integrales inmediatasPágina 333

1 a) ( )cos x sen x dx–5y b) ( )cos x sen x dx–23y c) e sen x dxcos xy

d) ( )e x x dx3 2x x 23 2

++y e) ·tg x x dx22y f ) x

x dx13

6

2

+y

g) e

e1 ––

x

x

2–

–y dx h) ( )ln x x dx1 22 +y i) ( ) ( )x x x dx5 4 54 23 3+ +y

a) ( )cos x sen x dx–5y = ( ) ( )cos cosx sen x dx x k6–5 6= +y , ya que D[cos x] = –sen x.

b) ( )cos x sen x dx–23y = ( )cos x 1+

( ) ( )cos cosx sen x dx k x

32 1

32

53–/2 3 53=

++ =y , porque D [cos x] = –sen x.

c) e sen x dxcos xy = ( )e sen x dx e k– – –cos cosx x= +y , puesto que D[cos x] = –sen x.

d) ( )e x x dx3 2x x 223 ++y = e kx x3 2 ++ , ya que D [x 3 + x 2] = 3x 2 + 2x.

e) ·tg x x dx229 = · · | |cos cos

ln cosx

sen x x dxx

sen x x dx x k2 2– – –22

2

2 2= = +yy , porque D [cos 2 x] = –sen x 2 · 2x.

f ) x

x dx13

6

2

+y =

( )xx dx arc tg x k

13

3 2

2 3

+= +y , puesto que D [x 3] = 3x 2.

g) e

e1––

x

x

2–

–y dx = ( )ee dx arc sen e

1 ––

x

x x2–

– –=y , ya que D [e –x] = –e –x.

h) ( )ln x x dx1 22 +y = ( ) ( ) ( )lnx x x k1 1 1–2 2 2+ + + + , porque D [x 2 + 1] = 2x.

i) ( ) ( )x x x dx5 4 54 23 3+ +y = ( ) ( ) ( ) ( )x x x dx x x k x x k5 4 532 1

553 5/

( / )4 2 3 3

4 2 3 14 53+ + =

+

+ + = + ++

y ,

ya que D [x 4 + 5x] = 4x 3 + 5.

Página 334

2 a) ( )x x x x dx3 5 2– · –3 2 2+y b) e x

e dx1

1– x

x

2y c) cos

sen xx dx4

3y

d) ( ) ( )lnx x x dx1 32 3+ +y e) cossen x

sen x x dx1 4+y f ) e

xx x dx6 3x x ++ e oy

a) Llamamos u = x 3 – 3x 2 + 5 → du = 3(x 2 – 2x) dx → ( )du x x dx3

2–2=

( ) ( )x x x x dx u du u du u k x x k3 5 23 3

162

92 3 5– – –/ / /3 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2+ = = = + = + + =9 yy

= ( )x x k92 3 5–3 2 3+ +


7

Matemáticas II

b) e x

e dx1

1– x

x

2y =

( )e xe dx I

11

– xx

2=y

Hacemos 8 8u e dux

e dx dux

e dx2

2xx x

= = =

I = u

du arc sen u k arc sen e k1

1 2 2 2–

x2

= + = +y

c) cossen x

x dx4

3y = · ( ) ·cos cos cossen x

x x dxsen x

sen x x dx I1 –4

2

4

2= =< y

Llamamos u = sen x → du = cos x dx

I = u

u duudu

udu u du u du

u uk

sen x sen xk1

31 1

31 1– – – – –

4

2

4 24 2

3 3– –= = = + + = + +yyy yy

d) ( ) ( )lnx x x dx1 32 3+ +y = I

Si ( ) ( )8 8u x x du x dx du x dx3 3 33

13 2 2= + = + = +

I = · ( ) ( ) ( )ln ln lnu du u u u k x x x x x x k3 3

131

31 3 3

31 3– –3 3 3= + = + + + +y

e) · cossen x

sen x x dx1 4+y =

( )· cos

sen xsen x x dx I1 2 2+

=y

Llamamos · ·8 8cos cosu sen x du sen x x dx du sen x x dx22

2= = =

I = ( )u

du arc tg u k arc tg sen x k1

12 2

121

22

+= + = +y

f ) ex

x x dx6 3x x ++ e oy = ex

dx I6 3x x + =+ e oy

Como [ ]D x xx

12

1+ = + , hacemos 8 8u x x dux

dx dux

dx12

1 6 6 3= + = + = +e eo o

I = e du e k e k6 6 6u u x x= + = ++y

Página 335

3 ( )x x dx4 5– +y

Para eliminar la raíz hacemos 8x t dx t dt4 2– 2= = (x = t 2 + 4)

( ) ( ) ( ) ( )x x dx t t t dt t t dt t t dt4 5 4 5 2 2 9 2 9– 2 2 2 2 4 2+ = + + = + = + =y yyy

= ( ) ( )t t k x x k5

2 65

2 4 6 4– –5 3

53+ + = + +


8

Matemáticas II

4 ( )x

x x dx1

1 1–

– –3

3 +y

Para eliminar las raíces hacemos x – 1 = t 6 → dx = 6t 5 dt (x = 1 + t 6)

( ) ( )xx dx

t

t t dtt

t t t dtt

tx t dt1

1 6 6 6 11–

– –3

3

6 3

635

9

2 6 52

26

= = + = ++ + =e oy yyy

= ( ) ( )t t dtt

t kx

x k6 6 21

6 2 1– ––

–2 2 3 636– + = + + = + +y

5 x dx4 – 2yHacemos el cambio x = 2sen α → dx = 2cos α dα

( )a a a a a acos cosx dx sen d sen d4 4 2 2 4 4 2– – –2 2 2= = =y yy

= a a a a a a acos cossen d d sen k2 1 2 4 42 4

2– 2 2= = + + =d ny y

= arc sen x sen arc sen x k22

22

+ +c cm m= G


9

Matemáticas II

3 Integración “por partes”Página 336

1 Calcula:

x sen x dxy

Llamamos I = ·x sen x dxy

,, · ·cos cos cos cos

u x du dxdv sen x dx v x I x x x dx x x sen x k– – –

= == = = + = + +

3 y

2 Calcula:

x arc tg x dxy

Llamamos I = x arc tg x dx·y

,

,

u arc tg x dux

dx

dv x dx v x

11

2

2

2

= =+

= =4

I = x arc tg xx

x dx x arc tg xx

dx2 2

11 2 2

1 11

1– – –2

2

2 2

2+=

+=f ep oy y

= [ ]x arc tg x x arc tg x k x arc tg x x arc tg x k2 2

12 2

121– – –

2 2+ = + + =

= x arc tg x x k12 2

1–2 + +

Página 337

3 Calcula:

x e dxx4y

Resolvámosa integrando por partes:

8

8u x du x dxdv e dx v e

4x x

4 3= == =

4

I = · · · ·x e e x dx x e x e dx4 4– –x x x x4 3 4 3= yy

I1 = · · · ·x e dx x e x e x e e3 6 6– –x x x x x3 3 2= +y

(Visto en el ejercicio resuelto 2 de la página 337)

I = · [ · · · ] · · · ·x e x e x e x e e k x e x e x e x e e k4 3 6 6 4 12 24 24– – – – –x x x x x x x x x x4 3 2 4 3 2+ + = + + +


10

Matemáticas II

4 Calcula:

sen x dx2yResolvámosla integrando por partes:

8

8cos

cosu sen x du x dxdv sen x dx v x–

= == =

4

I = · ( ) ·cos cos cos cos cossen x x x x dx sen x x x dx– – – – 2= + =yy

= · ( ) ·cos cossen x x sen x dx sen x x dx sen x dx1– – – –2 2+ = + =yyy

= · cossen x x x sen x dx– – 2+ yEs decir:

I = · · ·8 8cos cos cossen x x x I I sen x x x I x sen x x k22

– – – –+ = + = +


11

Matemáticas II

4 Integración de funciones racionalesPágina 338

1 Calcula:

xx x dx

43 5 1

––2 +y

| |lnx

x x dx xx

dx x x x k4

3 5 1 3 74

292

3 7 29 4–

––

–2 2+ = + + = + + +d nyy

2 Calcula:

xx x dx

2 13 5 1–2

++y

/x

x x dx xx

dx2 1

3 5 123

413

2 117 4– –

2

++ = +

+=d nyy · | |lnx x x k2

32 4

13817 2 1– –

2+ + =

= | |lnx x x k4

3413

817 2 1– –

2+ +

Página 341

3 Calcula:

a) x xx dx5 3

––

3y b) ( )xx x dx

12 6–

–3

2 +y

a) Descomponemos la fracción:

( ) ( )x x

xx x x

xxA

xB

xC5 3

1 15 3

1 1––

––

–3=

+= + +

+

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x xx

x x xA x x Bx x Cx x5 3

1 11 1 1 1

––

–– –

3 = ++ + + +

5x – 3 = A (x – 1)(x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1) Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1:

888

888

xxx

AB

C

ABC

01

1

32 2

8 2

31

4–

– –

– –

===

==

=

===4

Así, tenemos que:

| | | | | |ln ln lnx xx dx

x x xdx x x x k5 3 3

11

14 3 1 4 1

––

–– – – –3 = + +

= + +: d ny

b) Descomponemos la fracción:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x

x xx

Ax

Bx

Cx

A x B x C1

2 61 1 1 1

1 1–

–– – – –

– –3

2

2 3 3

2+ = + + = + +

( ) ( )x x A x B x C2 6 1 1– – –2 2+ = + + Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda:

888

888

xxx

CA B CA B C

ABC

102

566

105

–===

== += + +

===

4 Por tanto:

( ) ( )

| |( )

lnx

x x dxx x

dx xx

k1

2 61

11

5 12 1

5–

–– –

– ––3

2

3 2+ = + = +f pyy


12

Matemáticas II

4 Calcula:

a) x x

x x x dx4

22 12 8–

–4 2

3 2+ +y b) x x x x

x x x dx2 4 8

4 4– –

–4 3 2

3 2

++y

a) ( ) ( ) ( )x x x x x x x4 4 2 2– – –4 2 2 2 2= = + Descomponemos la fracción:

( ) ( )x x x

x x xxA

xB

xC

xD

2 222 12 8

2 2––

–23 2

2++ + = + + +

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x

x x xx x x

Ax x x B x x Cx x Dx x2 2

22 12 82 2

2 2 2 2 2 2–

––

– – –2

3 2

2

2 2

++ + =

++ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x Ax x x B x x Cx x Dx x22 12 8 2 2 2 2 2 2– – – –3 2 2 2+ + = + + + + + +

Hallamos A, B, C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1:

8888

8888 8

xxxx A B C D A A

BC

D

BCD

0

21 19 3 3 3 3 9 3

28 480 16112 16

25

7–– – – – –

–

–

–

–

==== = + = =

==

=

=== 4

Por tanto:

x x

x x x dxx x x x

dx4

22 12 8 3 22

52

7–

– ––

–4 2

3 2

2+ + = +

+=e oyy

= | | | | | |ln ln lnxx

x x k3 2 5 2 7 2– –+ + + +

b) La fracción se puede simplificar:

( ) ( )

( )x x x x

x x xx x x

x xx2 4 8

4 42 2

22

1– –

––

–4 3 2

3 2

2

2

++ =

+=

+

| |lnx x x x

x x x dxx

dx x k2 4 8

4 42

1 2– –

–4 3 2

3 2

++ =

+= + +yy

Página 342

5 a) xdx

3 32 +y b)

xdx

9 32 +y c)

xdx

6 32 +y d)

xdx

7 112 +y

a) xdx

3 32 +y =

xdx arc tg x k

31

1 31

2 += +y

b) xdx

9 32 +y =

(·

)xdx dx arc tg

xx k arc tg x k

31

3 1 31

3 31

31 3

1 3 31 32 2+

= =+

+ = +yy

c) xdx

6 32 +y =

(·

)xdx dx arc tg

xx k arc tg x k

31

2 1 31

2 31

21 2

1 3 21 22 2+

= =+

+ = +yy

d) x

dx7 112 +y =

x

dx

x

dx arc tg x k111

117 1 11

1

117 1

111

117

1117·

2 2+=

+= + =

d ny y

= arc tg x k771

117 +


13

Matemáticas II

6 a) x x

dx4 5–2 +

y b) x x

dx4 10–2 +

y c) x x

dx3 82 + +

y d) x x

dx2 12 26–2 +y

a) Como el polinomio x 2 – 4x + 5 no tiene raíces reales,

( )

( )x x

dxx x

dxx

dx arc tg x k4 5 4 4 1 2 1

2– – –

–2 2 2+=

+ +=

+= +yyy

b) Al igual que en el apartado anterior, el polinomio x 2 – 4x + 10 no tiene raíces reales,

( )x x

dxx x

dxx

dxx

dx4 10 4 4 6 2 6 6

1

62 1

– – – –2 2 2 2+=

+ +=

+=

+=

e oyyyy

= · arc tg x k arc tg x k61

611

62

66

62– –+ = +e eo o

c) Como el polinomio x 2 + 3x + 8 no tiene raíces,

x +·x x

dx

x x

dx dx dx

x3 8 2

23

49

49 8

23

4231

223

23

423

1–

2 2 2 2+ +=

+ + +=

+= =

++

d fn pyyyy

= ·x

dx arc tg x k arc tg x k

4231

232 3 4

231

2321

232 3

123

2 2323

2 32+

= +

++ = + +

ee e

oo oy

d) Una vez comprobado que el polinomio x 2 – 6x + 13 no tiene raíces,

( )x x

dxx x

dxx x

dxx

dx2 12 26 2

16 13 2

12 3 9 4 2

13 4– – – · –2 2 2 2+

=+

=+ +

=+

=yyyy

= ·x


23 1

81

211

23

41

23

–– –

2+

= + = +

dd d

nn ny

Página 343

7 a) x x

x dx4 10

2–

–2 +y b)

x xx dx

4 1011

––

2 +y c)

x xx dx4 10

7 11–

–2 +y d)

x xx dx3 10

5 122 + +

+y

a) x x

x dx4 10

2–

–2 +y = ( ) ( )ln

x xx dx

x xx dx x x k

21

4 102 2

21

4 102 4

21 4 10

––

–– –2 2

2

+=

+= + +yy

b) x x

x dx4 10

11–

–2 +y =

( ) ·x2 4 4 11– –+

x xdx

x xx dx

x xdx

4 1021

21

21

4 102 4 9

4 101

– –– –

–2 2 2+=

+ +=yyy I I2

1 9–1 2

I1 = ( )lnx xx dx x x k4 10

2 4 4 10–

– –22

+= + +y

I2 = ( )x xdx

x xdx

xdx

xdx

4 101

4 4 61

2 61

61

621

1– – – –

2 2 2 2+=

+ +=

+= =

+e oyyyy

= · arc tg x k arc tg x k61

611

62

66

62– –+ = +e eo o


14

Matemáticas II

Por tanto:

( )lnx x

x dx x x arc tg x k4 10

1121 4 10

23 6

62

–– – – –2

2

+= + +e oy

c) x x

x dx4 10

7 11–

–2 +y =

( ) ·x2 4 4 11– –+

x xdx

x xx dx

x xdx

4 1027

27

27

4 102 4 3

4 101

– ––

–2 2 2+=

++

+=yyy

= ( )ln x x arc tg x k27 4 10

26

62– –2 + + +e o

(Las dos últimas integrales están resueltas en los apartados anteriores).

d) x x

x dx3 10

5 122 + +

+y = ( )x2 3 –+ · 3 12+

x xdx

x xx dx

x xdx I I

3 1025

25

25

3 102 3

29

3 10 25

29

2 2 2 1 2+ +=

+ ++ +

+ += +yyy

I1 = ( )lnx xx dx x x k3 10

2 3 3 1022

+ ++ = + + +y

I2 = x +·x x

dx

x

dx dxx

dx

223

49

49 10

23

4311

231

23

4311

312 3 14

311

–222 2

+ + +=

+= =

+ +=

++

d f en p oyyyy

= arc tg x k arc tg x k

4311

3121

312 3

312

312 3+ + = + +e eo o

Por tanto:

( )lnx x

x dx x x arc tg x k3 10

5 1225 3 10

319

312 3

22

+ ++ = + + + + +e oy

Página 344

8 Calcula x x x

x x x x dx2 3

2 3 3 33 2

4 3 2

+ ++ + + +y .

Comenzamos efectuando la división:

x x x xx x x

xx x x

x2 3 3 32 3 2 3

3 34 3 23 2 3 2

+ + + ++ +

= ++ +

+

x x xx x x x dx x

x x xx dx x dx

x x xx dx

2 32 3 3 3

2 33 3

2 33 3

3 2

4 3 2

3 2 3 2+ ++ + + + = +

+ ++ = +

+ ++e oyy yy

Descomponemos el cociente en fracciones simples:

x 3 + 2x 2 + 3x = x (x 2 + 2x + 3)

, ,8x x x

xxA

x xMx N A M N

2 33 3

2 31 1 1–3 2 2+ +

+ = ++ +

+ = = =

x x x

xx x x

x2 3

3 3 12 3

1–3 2 2+ +

+ = ++ +

+

x x xx x x x dx x dx

xdx

x xx dx I I I

2 32 3 3 3 1

2 31–

3 2

4 3 2

2 1 2 3+ ++ + + + = + +

+ ++ = + +yyyy


15

Matemáticas II

I1 = x dxx k22

= +y

I2 = | |lnxdx x k1 = +y

I3 = ( ) ·x2 2 12–+ +

x xx dx

x xdx

x xx dx

x xdx

2 31

2 321

21

21

2 32 2 2

2 31–

– ––

2 2 2 2+ ++ =

+ +=

+ ++ +

+ +yyyy

Calculamos esta segunda integral:

( )x x

dxx x

dxx

dxx

dx2 31

2 1 21

1 21

21

211

12 2 2 2+ +

=+ + +

=+ +

=+

=+e o

yyy y

= · arc tg x x kk arc tg21

211

21

21

22+ + ++ =e eo o

De donde I3 = ( )ln x xx karc tg

21 2 3 2

21– 2 + + + + +e o

Finalmente, obtenemos el resultado:

| | ( )ln lnx x x

x x x x dx x x x x x karc tg2 3

2 3 3 32 2

1 2 3 221–3 2

4 3 2 2 2

+ ++ + + + = + + + + + +e oy


16

Matemáticas II

Ejercicios y problemas resueltosPágina 345

1. Integrales inmediatas de funciones compuestas

Hazlo tú. Calcula las siguientes integrales:

a) coscos

sen x xsen x x dx

3 33 3

–+y b)

xx dx

23

–2y

c) cossen x

x dx2

1 – 2y d) x

x dx12

2

+y

a) Observamos que D [sen 3x – cos 3x] = 3(cos 3x + sen 3x). Por tanto:

( ) | |coscos

coscos ln cos

sen x xsen x x dx

sen x xx sen x dx sen x x k

3 33 3

31

3 33 3 3

31 3 3

– ––+ = + = +yy

b) ( ) ( )x

x dxx

x dx x x dx x k x k2

323

22

23 2 2

23

21 1

2 3 2– –

––

– –/( / )

2 22 1 2

2 1 2 1 2––

= = =+

+ = ++

yyy

c) | |cos cos cos cos ln cossen xx dx sen x x

sen x dx xsen x dx x

sen x dx x k21

2 21

21

21– – – –

2 2= = = = +yyyy

d) x

x dxx

x dxxx dx

xdx dx

xdx x arc tg x k

1 11 1

11

11

11– – – –2

2

2

2

2

2

2 2+=

++ =

++

+=

+= +yyyyyy

Página 346

2. Método de sustitución

Hazlo tú. Aplicar el método de sustitución para resolver estas integrales:

a) lnx x

dx1 –

y b) x

x dx1+y

a) Hacemos el cambio 1 – ln x = t 2 → 8x

dx t dtxdx t dt1 2 2– –= =

( )ln

lnx x

dxtt dt dt t k x k

12 2 2 2 1

–– – – – –

2= = = + = +yyy

b) Usando el cambio x = t 2 → dx = 2t dt, obtenemos:

x

x dxt

t t dtt

t dt t tt

dt1 1

2 21

2 11

1– –2

2 3 2

+=

+=

+= +

+=d nyyyy

= | | | |ln lnt t t t k x x x x k23 2

1 23 2

1– – – –3 2 3

+ + + = + + +e fo p


17

Matemáticas II

3. Integración por partes

Hazlo tú.

a) arc sen x dx2

y b) lnx

x dx12ya) Integramos por partes:

·8

8

u arc sen x dux

dx

dv dx v x

22 1

4

1

–2

= =

= =

* I = x · arc sen ·x

xx dx x arc sen x x x dx2

2 14

21

4 2–

· ––

( / )

2

2 1 2–

= + + =e co myy

= 1 –

· · ·x arc sen xx

k x arc sen x x k x arc sen x x k2

21 1

42

2 14 2

4–

– –

( / )2 1 2 1

2 2

–

++

+ = + + = + +

+e o

b) Integramos por partes:

8

8

lnu x dux

dx

dvx

dx vx

1

1 1–2

= =

= =*

I = ·ln ln lnx

xx x

dxx

xx

dxx

xx

k1 1 1 1 1 11– – – –2+ = + = +yy

Página 347

4. Integración por partes

Hazlo tú. Calcular:

a) I = cosx x dx2 22y b) I = cose x dx2x–ya) Integramos por partes:

8

8cos

u x du x dx

dv x dx v sen x2 4

222

2= =

= =*

I = · ·x sen x sen x x dx x sen x x sen x dx x sen x I222

22 4 2 2 2 2 2· – · – –2 2 2 1= =yy

I1 = ·x sen x dx2y Aplicamos de nuevo la integración por partes:

8

8 cosu x du dx

dv sen x dx v x222–

= =

= =*

I1 = cos cos cos cos cosx x x dx x x x dx x x sen x k

22

22

22

21 2

22

41 2– – –+ = + = + +yy

Finalmente:

I = · · · cosx sen x I x sen x x x sen x k2 2 2 221 2– –2 1

2= + +


18

Matemáticas II

b) I = · ( )cos cose x dx e x sen x251 2 2 2– –x x– –=y

Integramos por partes:

8

8cos

u e du e dx

dv x dx v sen x222

–x x– –= =

= =*

I = e sen x e sen x dx e sen x I22

21 2

22

21x x x

1– – –+ = +y

I1 = e sen x dx2x–y

Integramos de nuevo por partes:

8

8 cosu e du e dx

dv x dx v xsen 22

2–

– –

x x– –= =

= =*

I1 = · ·cos cose x e x dx

22

21 2– –x x– –y

Sustituimos I1 en I y se obtiene:

· · · ·cos cos cose x dx e sen x e x e x dx222

42

41 2– –x x x x– – – –= yy

Pasamos el último término al primer miembro y despejamos:

· · · · · ·8cos cos cos cose x dx e sen x e x e x dx e sen x e x k45 2

22

42 2

52 2

51 2– –x x x x x x– – – – – –= = +yy

5. Integración de funciones racionales

Hazlo tú.

a) x x

x dx2 1

2–4 2 +

+y b) x

dx3 4

22 +

y

a) x x

x dx2 1

2–4 2 +

+y = ( ) ( )x x

x dx1 1

2– 2 2+

+y

Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( ) ( ) ( )

, , ,8x x

xx

Ax

Bx

Cx

D A B C D1 1

21 1 1 1 2

143

21

41

– – ––2 2 2 2+

+ = + ++

++

= = = =

( ) ( )x x

x dxx

dxx

dxx

dxx

dx2 1

221

11

43

11

21

11

41

11

––

– –4 2 2 2++ = + +

++

+=yyyyy

= ( )( )

( )( )

ln lnxx

xx

k21 1

4 13

21 1

4 11– – –

––+ +

++

b) x

dx3 4

22 +

y = · arc tgx

x k arc tg x k42

23

121

231

23

131

23

2=

+

+ = +

ee e

oo oy


19

Matemáticas II

Página 348

6. Integrales racionales con raíces reales y complejas

Hazlo tú.

Calcula xx dx

12

–3+y .

xx dx

12

–3+y =

( ) ( )x x xx dx

1 12

– 2 + ++y


( ) ( )

, ,8x x x

xx

Ax x

A M NMx N1 1

21 1

1 1 1– –

– –2 2+ ++ = +

+ += = =+

I = ( ) ( )

| | lnx x x

x dxx

dxx x

x dx x I1 1

21

11

1 1– –

– – –2 2 1+ ++ =

+ ++ =yyy

I1 = ( )x2 1 1–+ +

x xx dx

x xdx

x xx dx

x xdx

11

121

21

21

12 1

21

11

2 2 2 2+ ++ =

+ +=

+ ++ +

+ +=yyyy

= ( )ln x x I21 1

212

2+ + +

I2 = x +·x x x

dx dxdx2

21

41

41 1

1

21

43

1

431

2321

1

1–2

2 2+ + + + +

=

+

==d fn p

y y y

= ·x

dx arc tg x k arc tg x k

431

32 1 1

1

431

321

32 1

32

32 1

2+ += + + = + +

ee e

oo oy

Sustituimos en I1:

I1 = ( )ln x x arc tgx k

21 1

31

32 12 + + + + +e o

Sustituimos en I:

I = ln | x – 1 | – ( )ln x x arc tg x k21 1

31

32 1–2 + + + +e o

7. Integrales de diversos tipos

Hazlo tú.

a) x

x dx1+y b)

( ) ( )e ee dx

1 1–x xx

2 +y c) [ ( ) ]cos cosx sen x x dx2 +y

a) Llamamos u = 8 8x dux

dx u du dx2

1 2= =

I = u

u u duu

u du uu

du1

2 21

2 11

1–2

+=

+= +

+=d nyyy

= | | ( )ln lnu u u k x x x k22

1 22

1– –2

+ + + = + + +e co m


20

Matemáticas II

b) Llamamos u = e x → du = e x dx

I = ( ) ( ) ( ) ( )u u

duu u

du1 1 1 1– –2 2+

=+

yy


– –

( ) ( ) ( )u u u u u1 11

141

141

121

– –2 2+= +

++

+

I = ( )

| | | |ln lnu

duu

duu

du u uu

k41

11

41

11

21

11

41 1

41 1

21

11

–– – – –2+ +

= + ++

+ =yyy

= | | ( )( )

ln lne ee

k41 1

41 1

2 11– –x x x+ + +

+

c) ( · ) ·cos cos cos cosx sen x x dx x dx sen x x dx sen x sen x k2 222

22

+ = + = + +: yy En la segunda integral se ha tenido en cuenta que D [sen x] = cos x.

8. Primitiva que cumple una condición

Hazlo tú. Halla f (x) sabiendo que f (0) = 1, f ' (0) = 2 y f '' (x) = 3x.

f ' (x) = x dx x k32

3 21= +y

f ' (0) = 2 → k1 = 2

f (x) = x dx x x k2

3 22

22 3

2+ = + +e oyf (0) = 1 → k2 = 1

f (x) = x x2

2 13

+ +


21

Matemáticas II

Ejercicios y problemas guiadosPágina 349

1. Curva de la que se conocen las pendientes de las rectas tangentesHallar la curva en la que las pendientes de las rectas tangentes en cualquier punto vienen dadas por la función f (x) = xe 2x. Se sabe también que la curva pasa por el punto A (0, 2).

Si llamamos F (x) a la función buscada, esta cumple dos condiciones: F ' (x) = x · e 2x

F (0) = 2 para que pase por el punto A.Por tanto,

F (x) = ·x e dxx29Integramos por partes:

8

8

u x du dx

dv e dx v e2

x x2 2

= =

= =*

F (x) = · ·x e e dx x e e k2 2 2

141– –

x x x x2 2 2 2= +y F (0) = 2 → 8k k

41 2

49– + = =

Así, F (x) = ·x e e21

41

49–x x2 2 + .

2. Función derivableHallar una función f (x) derivable en Á, que pase por el punto P (–1, 3) y cuya derivada es:

f ' (x) = x

x

xx

2 11

11

– si ≤si >*

Calculamos las primitivas de los dos tramos:

f1(x) = ( )x dx x x k2 1– –2

1= +y f2(x) = lnx dx x k1

2= +y , ya que x > 1.Como pasa por el punto P : f1(–1) = 3 → 2 + k1 = 3 → k1 = 1Así:

f (x) = ≤

lnx x

x kxx

1 11

– sisi >

2

2

++*

Como f (x) es derivable en Á, debe ser continua en Á y, en particular, en x = 1. f (1) = 1

l mí8x 1

f (x) = ( )

( )ln

l m

l m

x x

x k k

1 1–í

í8

8

x

x

1

1

2

2 2

–=+

+ =+

* → k2 = 1Con el valor de k2 obtenido se cumplen todas las condiciones y la función es:

f (x) = lnx x

xxx

1 111

– si ≤si >

2 ++

*


22

Matemáticas II

3. Integración de un valor absoluto

Dada la función f (x) = x2

– 2, calcular | ( )|f x dxy .Definimos la función por intervalos:

8x x2

2 0 4– = =

| f (x)| = ≥

x

x

x

x2

2

22

4

4

–

–

si

si


23

Matemáticas II

Ejercicios y problemas propuestosPágina 350

Para practicar

Integrales casi inmediatas

1 Calcula las siguientes integrales:

a) x x dx2

4 5 7–2 +y b) x

x dx3y

c) x

dx2 7

1+

y d) ( )x sen x dx–y

a) x x dx2

4 5 7–2 +y = x x dx x x x k2 25

27

32

45

27– –2

3 2+ = + +d ny

b) x

x dx3y = x

x dx x dx x k x k

35 5

3/

/ /

1 32 3 5 3

53= = + = +yy

c) x

dx2 7

1+y = | |ln x k2

1 2 7+ +

d) ( )x sen x dx–y = cosx x k22

+ +

2 Resuelve estas integrales:

a) ( )x dx12 2+y b) y (x – 5)3 dxc) x dx3 5+y d) ( )cos x e dxx+y

a) ( )x dx12 2+y = ( )x x dx x x x k2 1 5 324 2 5 3+ + = + + +y

b) y (x – 5)3 dx = ( )x k45– 4 +

c) x dx3 5+y = ( ) ( ) ( )x dx x k x k31 3 5 3

31

23

3 592 3 5/

/1 2

3 23+ = + + = + +y

d) ( )cos x e dxx+y = cos x dx e dx sen x e kx x+ = + +yy

3 Calcula:

a) x dx223y b)

cos xdx72y

c) ( )sen x dx4–y d) ( )e e dx3x x2 –+y

a) x dx223y = x dx x k x k

21

21

35 5 2

3/ /3

2 33

5 3

353= + = +y

b) cos x

dx72y = 7tg x + k

c) ( )sen x dx4–y = –cos (x – 4) + k

d) ( )e e dx3x x2 –+y = ( )e dx e dx e dx e dx e e k3 21 2 3 1

21 3– – –x x x x x x2 2 2– – –+ = = +yyyy


24

Matemáticas II

4 Halla las siguientes integrales:

a) x x

dx2 22+c my b) ( )xdx

1– 3y c)

xx x dx2

+y

d) yx

dx1

8–2+

e) y xx dx

13

2+ f ) y

xx dx

2 – 32

a) x x

dx2 22+d ny = | |lnx dx x dx x x k21 2 2 2–2–+ = +yy

b) ( )x

dx1– 3

y = ( )( )

x dxx

k12 1

1– ––

32

– = +y

c) x

x x dx2+y = | |ln

xx dx x

xk1 2–/3 2–+ = +d ny

d) yx

dx1

8–2+

= – 8arc tg x + k

e) y xx dx

13

2+ = ( )ln

xx dx x k

23

12

23 12

2

+= + +y

f ) y x

x dx2 – 3

2 = | |ln

xx dx x k

31

23

31 2–

–– – –3

2 3= +y

5 Resuelve las integrales siguientes:

a) y xdx

3 4– b) y

( )xdx

3 4– 2 c) y x dx3 4– d) y

( )xdx

3 41– 3

5

a) y xdx

3 4– = | |ln

xdx x k

31

3 43

31 3 4

––= +y

b) y ( )x

dx3 4– 2

= ( )( )

x dxx

k31 3 4 3

3 3 41– –

–2– = +y

c) y x dx3 4– = ( ) ( ) ( )x dx x k x k31 3 4 3

31

23

3 492 3 4– – –/

/1 2

3 23= + = +y

d) y ( )x

dx3 4

1– 3

5 = ( ) ( ) ( )x dx x k x k31 3 4 3

31

52

3 465 3 4– – –/

/3 5

2 525– = + = +y

6 Halla las siguientes integrales del tipo exponencial:

a) y e x – 4 dx b) y e –2x + 9 dx c) y e 5x dx d) y (3x – x 3) dx

a) y e x – 4 dx = e x – 4 + k

b) y e –2x + 9 dx = e dx e k21 2

21– – –x x2 9 2 9– –= ++ +y

c) y e 5x dx = e dx e k51 5

51x x5 5= +y

d) y (3x – x 3) dx = ln

x k3

34

–x 4

+


25

Matemáticas II

7 Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente:

a) x

dx1 25

22+

y b) y xdx

100 15

2 + c) y

xdx

3 34

2+ d) y

xdx

4 2+

e) y x

dx4 9 2+

f ) y x

dx9 2+

g) y x

dx2 4 2+

h) y e

e dx1 x

x

2+

a) x

dx1

225 2+

y = ( )xdx arc tg x k

1 52

52 52+

= +y

b) y xdx

100 15

2 + =

( )xdx arc tg x k arc tg x k

10 15

105 10

21 102 +

= + = +y

c) y x

dx3 3

42+

= ( )x

dxx

dx arc tg x k3 1

434

1 34

2 2+=

+= +yy

d) y x

dx4 2+

= / /x

dxx

dx arc tg x k1

2

1 421

12

1 221

22 2+

=+

= +c c

cm m

myy

e) y x

dx94 2+

= ·x


123 4

1

231

23

61

23

2+

= + = +

dd d

nn ny

f ) y x

dx9 2+

= ·x


13

91

311

3 31

32+

= + = +c

c cm

m my

g) y x

dx2 4 2+

= · ( )x


12

2 21

221

22

42 2

2+

= + = +

ee

ooy

h) y e

e dx1 x

x

2+ =

( )( )

ee dx arc tg e k

1 xx x

2+= +y

8 Expresa el cociente de la forma QP C

QR= + y resuelve:

a) y x

x dx3–

2 b) y

xx x dx

15 4–2+

+

c) y xx dx

21–2

+ d) y

xx x dx

22 2 42

++ +

e) y x

x dx1–2

3 f ) y

xx x x dx

23 1

–– –3 2 +

a) y x

x dx3–

2 = | |lnx

xdx x dx dx

xdx x x x k3

39 3

39

23 9 3

– ––

2+ + = + + = + + +d ny yyy

b) y x

x x dx1

5 4–2+

+ = | |lnxx

dx x x x k61

102

6 10 1– –2

++

= + + +d ny

c) y xx dx

21–2

+ = | |lnx

xdx x dx dx

xdx x x x k2

23 2

23

22 3 2– – –

2+

+= +

+= + + +d ny yyy

d) y x

x x dx2

2 2 42+

+ + = | |lnxx

dx x dx dxx

dx x x x k2 22

8 2 22

8 2 8 2– – –2++

= ++

= + + +d ny yyy

e) y x

x dx1–2

3 = | |lnx

xx dx x dx

xx dx x dx

xx dx x x k

1 1 21

12

2 21 1

– – ––2 2 2

2 2+ = + = + = + +d ny yyyy

f ) y x

x x x dx2

3 1–

– –3 2 + = x xx

dx x dx x dx dxx

dx12

32

3– – ––

– – ––

2 2= =d n yyyy

| |lnx x x x k3 2

3 2– – – –3 2

= +


26

Matemáticas II

9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno:

a) y x

dx1 4– 2

b) y x

dx4 – 2

c) y x

dx1 100

1– 2

d) y ( )lnx x

dx1· – 2

a) y x

dx1 4– 2

= ( )

( )x

dx arc sen x k21

1 22

21 2

– 2= +y

b) y x

dx4 – 2

= /x

dx arc sen x k1 2

1 22

–2

= +c

cm

my

c) y dxx1 100

1– 2

= ( )x

dx arc sen x k101

1 1010

101 10

– 2= +y

d) y ( )· ln x

dxx 1– 2

= arc sen ln x + k, ya que D [ln x] = x1 .

10 Resuelve las siguientes integrales:

a) y sen x cos x dx b) y cos x

sen x dx5 c) y x

x dx92

– 2 d) y

xx dx

52 +

a) y sen x · cos x dx = sen x k22

+

b) y cos x

sen x dx5 = ( ) · cos

coscos

sen x x dx x kx

k4 4

1– ––

–5 44

– –= + = +y

c) y x

x dx92

– 2 = ( ) (x x dx x k x k2 9

21

9 2 9– – – – – – –/)

2 1 22

2–/1 2

= + = +y

d) y xx dx

52 + = ( ) ( )x x dx x x k

21 2 5

21

215 5/

/2 1 2

2 1 22–+ = + = + +y


a) y ( )x x x dx2 1– –2 b) y x

arc sen x dx1 – 2

c) y ( )cos x sen x dx1 3+d) y ( )ln

xx dx1

2+ e) y ( )x

x dx2

2– 3 2

2 f ) y

ee dx

1 xx

+

a) y ( )x x x dx2 1– –2 = ( ) ( ) ( )x x x dx x x x dx21 2 2 2

21 2 2 2– – – –/2 2 1 2= =y y

= ( ) ( )x x k x x k21

232

32– –/2 3 2 2 3+ = +

b) y x

arc sen x dx1– 2

= x

arc sen x dx arc sen x k1

12– 2

2= +y

c) y ( )cos x sen x dx1 3+ = ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cosx sen x dx x k x k125

15

2 1– – – –//

3 25 2 5

+ = + + = + +y

d) y ( )lnx

x dx12+ = ( ) · ( )ln lnx x dx

x k1 13

12 3+ = + +y

e) y ( )x

x dx2

2– 3 2

2 =

( )( )

( )xx dx x x dx

xk

32

23

32 2 3

3 22

–– –

–3 22 3 2 2

3–= = +yy

f ) y e

e dx1 x

x

+ = ( ) ( )e e dx e k e k1

21

1 2 1//

x xx

x1 21 2

–+ = + + = + +y


27

Matemáticas II

Integración por partes

12 Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

a) y x e2x dx b) y x 2 ln x dx

c) y 3x cos x dx d) y ln (2x – 1) dx

e) y ex dxx f ) y arc cos x dx

a) y x e2x dx

8

8

u x du dx

dv dx v ee21 xx 22

= =

= =* x e dx x e e dx x e e k

2 21

2 41– –x x x x x2 2 2 2 2= = +yy

b) y x 2 ln x dx

8

8

lnu x dux

dx

dv dx v xx

1

232

= =

= =*

ln ln lnx x dx x x x dx x x x k3 3 3 9

– –23 2 3 3

= = +yy

c) y 3x cos x dx = cosx x dx3 y

8

8cosu x du dxdv dx v sen xx

= == =

*

[ ]cos cos cosx x dx x sen x sen x dx x sen x x k x sen x x k3 3 3 3 3–= = + + = + +< Fyy

d) y ln (2x – 1) dx

8

8

lnu x dux

dv dx v x

2 12 1

2––

= =

= =*

( ) ( ) ( )ln ln lnx dx x xx

x dx x xx

dx2 1 2 12 1

2 2 1 12 1

1– – ––

– ––

= = + =d nyyy

= ( ) ( )ln lnx x x x k2 121 2 1– – – – +

e) y ex dxx

8

8u x du dxdv dx v ee dx– xx ––

= == =

*

· ·ex dx x e e dx x e e k– – –x

x x x x– – – –= + = +yy

f ) y arc cos x dx

8

8

cosu arc du dx

dv dx v x

xx

11–– 2

= =

= =*

· ·cos coscos dx x arc x dx x arc x x karc xx

x 11

– ––

22

= + = +yy


28

Matemáticas II

13 Resuelve las siguientes integrales aplicando dos veces la integración por partes:

a) y x 2 sen x dx b) y x 2 e 2x dx c) y e x cos x dx d) y (x + 1)2 e x dx

a) x sen x dx2y

8

8 cosu x du x dxdv dx v xsen x

2–

2= == =

*

cos cos cos cosx sen x dx x x x x dx x x x x dx2 2– –I

2 2 2

1

= + = +>

y yy

8

8cosu du dxdv x dx v x

xsen

1 1

1 1

= == =*

I1 = x sen x – cossen x dx x sen x x= +y Por tanto:

cos cosx sen x dx x x x sen x x k2 2–2 2= + + +y

b) x e dxx2 2y

8

8

u x du x dx

dv dx v ee

2

21 xx

2

22

= =

= =*

x e dx x e x e dx2

–x x x

I

2 2 2 2 2

1

=>yy

8

8

u x du dx

dv dx v ee21 xx

1 1

1 122

= =

= =*

I1 = x e e dx x e e2 2

12 4

1– –x x x x2 2 2 2=y Por tanto:

x e dx x e x e e k x x e k2 2 4

12 2 4

1– –x x x x x2 22 2 2 2 2 2= + + = + +e oy

c) cose x dxxy

8

8cosu du dxdv dx v

e ex sen x

x x= == =

*

I = e x sen x – dxe sen xI

x

1>y

8

8 cosu e du e dxdv x dx v xsen –

x x= == =

*

I1 = cos cosx e e x dx–x x+ y

I = ( )cose sen x x e I– –x x +

2I = cose sen x e xx x+

I = cose sen x e x k2

x x+ +


29

Matemáticas II

d) ( )x e dx1 x2+y

( )( ) 8

8u du x dxdv e dx v e

x 2 11x x

2= = += =

+*

( ) ( ) ( ) dxx e dx x e x e1 1 2 1–I

x x x2 2

1

+ = + +>yy

( ) 8

8

u du dx

dv dx v e

x

e

1xx

1 1

1 1

= =

= =

+*

I1 = ( ) ( ) ( )x e e dx x e e x e x e1 1 1 1– – –x x x x x x+ = + = + =y

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )x e dx x e x e k x x x e k x e k1 1 2 2 1 2 1– –x x x x x2 2 2 2+ = + + = + + + = + +y

Página 351

Integrales racionales

14 Aplica la descomposición en fracciones simples para resolver las siguientes integrales:

a) y x x

dx6

1–2 +

b) y x

x dx4

3–2

3

c) y ( ) ( )x x

dx25 4– –2

d) y x xx dx12

2

++

e) y x x

dx2

4–2 +

f ) y x x

x dx4 32

2

+ +

a) y x x

dx6

1–2 +

x x x

Ax

B6

13 2– –2 +

=+

+ /

/AB

1 51 5–=

=

/ / | | | |ln lnx x

dxx

dxx

dx x x k6

13

1 52

1 551 3

51 2

––

–– –2 +

=+

+ = + + +yyy

b) y x

x dx4

3–23

3x 3 x 2 – 4

–3x 3 + 12x 3x12x

x

x xx

x4

3 34

12– –23

2= +

| |lnx

x dx xx

x dx x x k4

3 34

122

3 6 4– –

–23

2

2 2= + = + +e oyy

c) y ( ) ( )x x

dx25 4– –2

= ( ) ( ) ( )x x x

dx5 5 4– –+

y


( ) ( ) ( )

, ,8x x x x

Ax

Bx

C A B C5 5 4

15 5 4 90

1101

91

– – – ––

+=

++ + = = =

I = | | | | | |ln ln lnx

dxx

dxx

dx x x x k901

51

101

51

91

41

901 5

101 5

91 4

––

–– – –

++ = + + +yyy


30

Matemáticas II

d) y x xx dx12

2

++

Por el mismo procedimiento:

x xx

x xx

x x1 1 1 1 1

12– –2

2

2++ = +

++ = +

+

| | | |ln lnx xx dx x x x k1 2 1–2

2

++ = + + +y

e) y x x

dx2

4–2 +

,8x x x

Ax

B A B2

42 1 3

434

– ––2 +

=+

+ = =

| | | |ln lnx x

dx x x k2

434 2

34 1

–– –2 +

= + + +y

f ) y x x

x dx4 322

+ +

x ,8x x x x

xx

Ax

B A B4 3

14 3

4 3 1 3 1 29

21– – –2

2

2+ +=

+ ++ = + + +

= =d n

/ / | | | |ln lnx x

x dxx x

dx x x x k4 3

13

9 21

1 229 3

21 1– – –2

2

+ +=

++

+= + + + +d n> Hyy


a) y x xx x dx

3 22 5 3

––

2

2

++ b) y

x xdx

2 1516

– ––

2

c) y ( ) ( )x x

x dx1 32 4

––

2 + d) y

( ) ( )x xx dx2 5

2 3– +

+

e) y ( ) ( )x x

dx1 3

1– 2+

f ) y xx dx

43 2

––

2

a) y x xx x dx

3 22 5 3

––

2

2

++ =

x xx dx dx

x xx dx x I2

3 21 2

3 21 2

––

––

2 2 1+ += +

+= +e oy yy

I1 = ( ) ( ) ( )| |ln

x xx dx

x xx dx

xdx x

3 21

1 21

21 2

––

– ––

––2 +

= = =yyy

Por tanto, I = 2x + ln (x – 2) + k

b) y x x

dx2 1516

– ––

2 = ( ) ( )x xdx

3 516

––

+y Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( )

,8x x x

Ax

B A B3 5

163 5

2 2–

––

–+

=+

+ = =

I = | | | |ln lnx

dxx

dx x x k23

1 25

1 2 3 2 5––

– –+

= + +yy

c) y ( ) ( )x x

x dx1 32 4

––2 +


( ) ( ) ( )x x

xx

Ax

Bx

C1 32 4

1 1 3––

– –2 2+= + +

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x

xx x

A x x B x C x1 32 4

1 31 3 3 1

––

–– –

2 2

2

+=

++ + + +


31

Matemáticas II

( ) ( ) ( ) ( )x A x x B x C x2 4 1 3 3 1– – – 2= + + + +

Hallamos A, B y C :

//

/

888

888

xxx

CA B C

BC

B

A10 164 3 3

1 213

0

2 45 8

5 8–– –

––

––

===

== + +

===

=4

Por tanto:

( ) ( )

/( )

/ /x x

x dxx

dxx

dxx

dx1 32 4

15 8

11 2

35 8

––

– –– –

2 2+= + +

+=yyyy

= | | ·( )

| |ln ln lnxx

x kxx

xk

85 1

21

11

85 3

85

31

2 21–

–– –

–+ + + =

++ +d n

d) y ( ) ( )x xx dx2 5

2 3– +

+


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x x

xx

Ax

Bx x

A x B x2 5

2 32 5 2 5

5 2– – –

–+

+ = ++

=+

+ +

2x + 3 = A (x + 5) + B (x – 2)

Hallamos A y B :

88

88

xx B B

A A27 7 15

7 7 1– – –

== = =

= = 3 Por tanto:

( ) ( )

| | | | |( ) ( )|ln ln lnx x

x dxx

dxx

dx x x k x x k2 5

2 32

15

1 2 5 2 5– –

– –+

+ = ++

= + + + = + +y yy

e) y ( ) ( )x x

dx1 3

1– 2+


( ) ( ) ( )x x x

Ax

Bx

C1 3

11 3 3– –2 2+

= ++

++

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x x x

A x B x x C x1 3

11 3

3 1 3 1– –

– –2 2

2

+=

++ + + +

1 = A (x + 3)2 + B (x – 1)(x + 3) + C (x – 1)

Hallamos A, B y C :

/

//

888

888

xxx

CA B C

CA A

B

13

0 3

1 161 161 41 9

1 41 16

– ––– – –

===

===

===

4 Por tanto:

( ) ( )

/ /( )

/x x

dxx

dxx

dxx

dx1 3

11

1 163

1 163

1 4– –

– –2 2+

= ++

++

=yyyy

= | | | | ·( ) ( )

ln ln lnx xx

kxx

xk

161 1

161 3

41

31

161

31

4 31– – –+ +

++ =

++

++

f ) y xx dx

43 2

––

2 = ( ) ( )x xx dx2 2

3 2–

–+y


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x x

xx

Ax

Bx x

A x B x2 2

3 22 2 2 2

2 2–

–– –

–+

= ++

=+

+ +

3x – 2 = A (x + 2) + B (x – 2)


32

Matemáticas II

Hallamos A y B :

88

88

xx

AB

AB

2 12

4 44 4 2– – –

==

==

==3

Por tanto:

| | | | [| | ( ) ]ln ln lnxx dx

xdx

xdx x x k x x k

43 2

21

22 2 2 2 2 2

––

–– –2

2= ++

= + + + = + +yyy

Integrales por sustitución

16 Aplica el método de sustitución para resolver las siguientes integrales:

a) y x x

dx–

b) y x x dx23 + c) y xx dx

1–3 d) y

( )x xdx

3 2– –

a) Para eliminar la raíz hacemos x = t 2 → dx = 2t dt

| | | |ln lnx x

dxt t

t dtt

dt t k x k21

2 2 1 2 1– – –

– –2= = = + = +yyyb) Para eliminar la raíz hacemos x + 2 = t 3 → dx = 3t 2 dt (x = t 3 – 2)

( ) · ( ) ( ) ( )x x dx t t t dt t t dt t t k x x k2 2 3 3 27

32

37

3 22

3 2– – – –3 3 2 6 37 4 73 43

+ = = = + = + + +y yyc) Para eliminar la raíz hacemos x = t 6 → dx = 6t 5 dt

xx

tt t dt

tt dt t t t

tdx dt

16 6

16 1

11

1 – – ––3 23 5

2

8 6 4 22= = = + + + +e oyyyy

Calculamos, usando el método de descomposición en fracciones simples:

( ) ( )

| | | |ln lnt

dtt t

dtt

dtt

dt t t k1

11 1

121

11

21

11

21 1

21 1

– ––

–– –2 = +

=+

+ = + + +yyyy

Ya que ( ) ( )

/ /t t t t1 1

11

1 21

1 2–

––+

=+

+ .

Terminamos el cálculo de la integral:

| | | |ln lnI t t t t t t k67 5 3 2

1 121 1– –

7 5 3= + + + + + + =e o

= | | | |ln lnx x x x x x k7

65

6 2 6 3 1 3 1– –76 56

6 6 6+ + + + + +

d) Para eliminar la raíz hacemos 2 – x = t 2 → –dx = 2t dt → dx = –2t dt (x = 2 – t 2)

( ) [ ( )]x x

dxt t

t dtt

d dt arc tg t k arc tg x k3 2 3 2

21

2 2 2 2– – – –

– – – – –2 2= = += + = +yyy

Para resolver17 Resuelve las siguientes integrales:

a) y x 4 e x 5 dx b) y x sen x 2 dx c) y x · 2–x dx d) y x 3 sen x dxe) y ( )x dx3 5+ f ) y

xx dx

2 63

––

2 g) y e 2x + 1 cos x dx h) y x 5 e –x 3 dx

a) y x 4 e x 5 dx = x e dx e k51 5

51x x4 5 5= +y

b) y x sen x 2 dx = cosx sen x dx x k21 2

21–2 2= +y


33

Matemáticas II

c) y x · 2–x dx

8

8ln

u du dx

dv dx v

x

222 –

xx ––

= =

= =*

· · ·( )ln ln ln ln ln ln

x dx x dx x dx x k223

22

22

21 2

22

22– – – –x

x x x x x x

2– – – – – – –= + = + = +yyy

d) y x 3 sen x dx

8

8 cosu x du x dxdv dx v xsen x

3–

3 2= == =

*

cos cosx sen x dx x x x x dx3–I

3 3 2

1

= + >yy

8

8cosu x du x dxdv x dx v xsen

21 11 1

2= == =

*

I1 = x sen x x sen x dx2–I

2

2>y

8

8 cosu du dxdv x dx v x

xsen –

2 2

2 2

= == =*

I2 = cos cos cosx x x dx x x sen x– –+ = +y Así: I1 = x 2 sen x + 2x cos x – 2sen x

Por tanto:

cos cosx sen x dx x x x sen x x x sen x k3 6 6– –3 3 2= + + +y

e) y ( )x dx3 5+ = ( ) /( ) ( )x dx x x k3

7 23

72 3/

/5 2

7 27+ = + = + +y

f ) y x

x dx2 6

3––

2 = | |lnxx dx x k

41

2 612

41 2 6

–– –2

2= +y

g) Esta es una integral que se resuelve aplicando el método de integración por partes dos veces:

I = y e 2x + 1 cos x dx Integramos por partes:

8

8cosu du dxdv x dx v x

e esen

2x x2 1 2 1= == =

+ +*

I = e sen x e sen x dx e sen x I2 2– –x xx2 1 2 1 2 1 1=+ + +y

I1 = e sen x dxx2 1+y

Integramos I1 por partes:

8

8 cosu e du e dxdv x dx v xsen

2–

x x2 1 2 1= == =

+ +*

I1 = cos cose x e x dx2–x x2 1 2 1++ +y


34

Matemáticas II

Sustituyendo en I :

cos cos cose x dx e sen x e x e x dx2 2– –x x x x2 1 2 1 2 1 2 1= + =+ + + +d nyy

cos cose sen x e x e x dx2 4–x x x2 1 2 1 2 1= ++ + +y Pasamos la integral al primer miembro y despejamos:

( )cos cos cose x dx e sen x e x k e sen x x k5

25

2xx x x2 1 2 1 2 1 2 1= + + = + ++

+ + +y

h) y x 5 e –x 3 dx = ·x x e dxx3 2 – 3y

8

8

u x du x dx

dv x e dx v e

3

31–x x

3 2

2 – –3 3= =

= =*

( )x e dx x e x e dx x e e k x e k3 3 3

13

1– – – – –x x x x x x53 2 3

3– – – – – –3 3 3 3 3 3= + = + = +yy


a) y xx dx

12

2 ++ b) y

( )xdx

11–2 2

c) y x x

x dx2 1

2–2 +

+ d) y xx dx

4 91–

–2

e) y x x x

x x dx1

2 7 1– –

–3 2

2

++ f ) y

xx dx

2 83 1–

2 +

a) y xx dx

12

2 ++ ( )ln

xx dx

xdx x arc tg x k2

11

21

221 1 2

( )12 2

2=+

++

= + + +yy

(1) Hacemos ( )x

x dxx

xx

dx1

21 1

22 2 2++ =

++

+e oyy

b) y ( )x

dx1

1–2 2

= ( ) ( )x x

dx1 1

1– 2 2+

y Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x

Ax

Bx

Cx

D1 1

11 1 1 1– – –2 2 2 2+

= + ++

++

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x

A x x B x C x x D x1 1

11 1

1 1 1 1 1 1– –

– – –2 2 2 2

2 2 2 2

+=

++ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x x B x C x x D x1 1 1 1 1 1 1– – –2 2 2 2= + + + + + +

Calculamos A, B, C y D dando a x los valores 1, –1, 0 y 2:

//

// /

////

8 88 88 88 8 8

xxxx

B BD DA B C D A CA B C D A C A C

ABCD

11

02

1 4 1 41 4 1 41 1 21 9 9 3 3 2 9 3 1 2 3

1 41 41 41 4

–– –

– –

–====

= == == + + + = += + + + = + = +

====

4

( ) ( )/

( )/

( )/

( )/

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

11

11 4

11 4

11 4

11 4

– ––

–2 2 2 2= + +

++

+=yyyyy

= | | ·( )

| | ·( )

ln lnxx

xx

k41 1

41

11

41 1

41

11– – – –

++ +

++ =

= | | | |ln lnxx

xx

k41 1

11 1

11– –

––+ + +

++ =< F ln

xx

xx k

41

11

12– ––2+

+ +> H


35

Matemáticas II

c) y x x

x dx2 1

2–2 +

+ = ( ) ( )x x

x dx1 2 1

2–+

+y


( ) ( )

,8x x

xx

AxB A B

1 2 12

1 2 1 31

35

– ––

++ =

++ = =

I = ( ) ( )ln lnxdx

xdx x x k

31

1 35

2 1 31 1

65 2 1–

–– –

++ = + + +yy

d) y xx dx

4 91–

–2 = ( ) ( )x x

x dx2 3 2 3

1–

–+y


( ) ( )

,8x x

xxA

xB A B

2 3 2 31

2 3 2 3 125

121

––

–+=

++ = =

I = ( ) ( )ln lnxdx

xdx x x k

125

2 3 121

2 3 245 2 3

241 2 3

––

++ = + + +yy

e) y x x x

x x dx1

2 7 1– –

–3 2

2

++ =

( ) ( )x xx x dx

1 12 7 1

––

2

2

++y

Descomponemos en fracciones simples (para ello, encontramos las raíces del denominador):

( ) ( ) ( )x x

x xx

Ax

Bx

C1 1

2 7 11 1 1–

––2

2

2++ = +

++

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x

x xx x

A x B x x C x1 1

2 7 11 1

1 1 1 1–

––

– –2

2

2

2

++ =

++ + + +

( ) ( ) ( ) ( )x x A x B x x C x2 7 1 1 1 1 1– – –2 2+ = + + + +

Hallamos A, B y C :

888

888

xxx

AC

A B C

ACB

11

0

86 21

230

4– – –

– – –

===

===

===4

Por tanto:

( )

| |lnx x x

x x dxx

dxx

dx xx

k1

2 7 11

21

3 2 11

3– –

––

– –3 22

2++ = +

+=

++yyy

f ) y xx dx

2 83 1–

2 +

Como el denominador no tiene raíces:

I = ( )lnx

x dxxdx x

xdx

43

2 84

2 8 43 2 8

81

21

– –2 22

2+ += +

+=

c myyy

( ) ( )ln lnx arc tg x k x arc tg x k43 2 8

81

211

2 43 2 8

41

2– –2 2= + + = + +


36

Matemáticas II

19 Resuelve las integrales siguientes:

a) y lnx

x dx b) y cosx xsen x dx1 –

+

c) y lnx x

dx1 d) y e x

e dx1xx

++

e) y x

sen x dx f ) y ln (x – 3) dx

g) y lnx

x dx h) y ln (x 2 + 1) dx

a) y lnxx dx =

| |ln

lnx

x dxx

k12

2= +y

b) y cosx xsen x dx1–

+ = ln | x + cos x | + k

c) y lnx x

dx1 = / | | ||ln

ln lnxx dx x k1 = +y

d) y e x

e dx1xx

++ = ln | e x+ x | + k

e) y x

sen x dx = ( ) ( )cosx

sen x dx x k22

1 2– – –= +y

f ) y ln (x – 3) dx

( ) 8

8

lnu dux

dx

dv dx v x

x3

13–

–= =

= =*

( ) | | | |ln ln lnx dx x xx

x dx x xx

dx3 33

3 13

3– – ––

– ––

= = + =yyy = | | | | ( ) | |ln ln lnx x x x k x x x k3 3 3 3 3– – – – – – –+ = +

g) y lnxx dx

·8

8

lnu x dux x x

dx

vx

dx dv x

12

121

1 2

= = =

= =*

ln ln lnx

x dx x xxx dx x x

xdx2

22 2 1– –= = =y yy

( )ln lnx x x k x x k2 2 2 1– –= + = +

h) y ln (x 2 + 1) dx

( ) 8

8

lnu x dux

dx

dv dx v x

x11

222= =

= =

++*

( ) ( )ln lnx dx x xx

x dx1 11

2–2 2 22

+ = ++

=yy ( )lnx xx

dx1 21

2– –2 2+ +=e oy

( )lnx x x arc tg x k1 2 2–2= + + +


37

Matemáticas II


a) y ( / )x

sen x dx12 b) y xx dx2

2+

c) y x

arc tg xdx

1 2+ d) y

cos xsen x dx

4

e) y (ln x)2 dx f ) y e x cos e x dx g) y x

dx1

1– 2

h) y ( )xx dx

11 – 2

+

a) y ( / )x

sen x dx12 = cosxsen

xkdx

x1 1 1– –2 +=d dn ny

b) y x

x dx2

2+

= | |lnx

dx dxxdx x x k2

24 2 4

22 4 2– – –

+=

+= + +d ny yy

c) y x

arc tg xdx

1 2+ =

xarc tg x dx

arc tg xk

11

222

+= +y

d) y cos xsen x dx

4 = ( ) ( ) ( )cos cos

cossen x x dx x k

xk

3 31– –

––4 3

3–

–= + = +y

e) y (ln x)2 dx

( ) ( )8

8

ln lnu x du xx

dx

dv dx v x

2 1·2= =

= =*

( ) ( ) | | | |ln ln ln ln lnx dx x x x dx x x x x x k2 2 2– –2 2 2= = + +yy

f ) y e x cos e x dx = sen e kx +

g) y x

dx1

1– 2

= ( ) ( )x x

dx1 1

1–

–+y


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x x x

Ax

Bx x

A x B x1 1

11 1 1 1

1 1–

–– –

–+

=+

+ =+

+ +

Hallamos A y B :

/

/88

88

xx B

AAB

11 1 2

1 21 21 2

––– –

–== =

===

3 Por tanto:

/ / | | | |ln ln lnx

dxx x

dx x x kxx k

11

11 2

11 2

21 1

21 1

11

– –– – –

–2=

++ = + + = + +d nyy

h) y ( )xx dx

11– 2

+ = | |ln

xx x dx x

xdx x x x k

12 1 3

14

23 4 1– – –

2 2

++ = +

+= + + +d nyy

21 Resuelve por sustitución:

a) y e

e dx1 – x

x b) y x dx3 2–

a) Hacemos e x = t 2 → e x dx = 2t dt

( ) ( )ln lne

e dxt

t dtt

kdt t t k e e1 1

2 21

2 2 2 1 2 2 1– –

– ––

– – – – – –xx x x= = += + =d nyyy

b) Hacemos 3x – 2 = t 2 → 3 dx = 2t dt → dx = t dt32

· ( )x dx t t dt t dt t k x k3 232

32

92

92 3 2– –2

3 3= = = + = +y yy


38

Matemáticas II

22 Resuelve:

a) y x

x dx1

4– 2+ b) y

( )xdx

1 2 3– – 2

a) y x

x dx1

4– 2+ =

xx dx

xdx

xx dx

xdx

1 14

21

12 4

11

– ––

––

–2 2 2 2+ = + =yy yy

( )x arc sen x k x arc sen x k21

21

1 4 1 4– – – –/2 1 2

2= + + = + +

b) y ( )xdx

1 2 3– – 2 =

( )( )

xdx arc sen x k

21

1 2 32

21 2 3

– ––

2= +y

23 Calcula estas integrales:

a) y x x x

x dx3 3 1

5– –3 2

2

+ b) y

x xx dx

2 53

––

2

2

+

c) y x x xx x dx

22 6

–– –

3 2

4

+ d) y

( ) ( )x xx x dx

2 92 12 6

––

2

2

++

a) y x x x

x dx3 3 1

5– –3 2

2

+ =

( )xx dx1

5– 3

2y Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( ) ( )

, ,8x

xx

Ax

Bx

C A B C1

51 1 1

5 10 5– – – –3

2

2 3= + + = = =

I = ( ) ( ) | |( )

lnxdx x dx x dx x x x

k51

10 1 5 1 5 1 110

2 15

–– – – – – – –

2 32

– –+ + = +yy y

b) y x x

x dx2 5

3–

–2

2

+ =

x xx dx dx

x xx dx1

2 52 8

2 52 8

––

––

2 2+ += +

+e oy yy

Calculamos la segunda integral teniendo en cuenta que el denominador no tiene raíces.

I1 = ( )lnx xx dx

x xx dx

x xx dx

x xdx x x I

2 52 8

2 52 2 6

2 52 2 6

2 51 2 5 6

––

–– –

–– –

–– –2 2 2 2

22+

=+

=+ +

= +yyyy

I2 = ( )x xdx

x xdx

xdx

xdx

2 51

2 1 41

1 41

41

211

1– – – –2 2 2 2+

=+ +

=+

= =+d n

yyyy

· arc tg x k arc tg x k41

211

21

21

21– –= + = +

Sustituimos en I1:

I1 = ln (x 2 – 2x + 5) – 3arc tg x k

21– +

Sustituimos en I :

I = x + ln (x 2 – 2x + 5) – 3arc tg x k2

1– +

c) y x x xx x dx

22 6

–– –

3 24

+ = ( )x

x x xx x dx x dx

x x xx x dx1

23 4 6 1

23 4 6– –

–– – –

––

3 2

2

3 2

2

++ + =

++ +f py yy

Calculamos la segunda integral descomponiendo en fracciones simples:

( ) ( )

, ,8x x x

x xx x x

x xxA

xB

xC A B C

23 4 6

2 13 4 6

2 13

37

37

––

––

–– –3 2

2 2

++ + =

++ + = +

++ = = =

( ) ( )ln ln lnx x x

x x dxxdx

xdx

xdx x x x k

23 4 6 3

37

2 37

13

37 2

37 1

–– – –

–– – –3 2

2

++ + =

++ = + + +y yyy


39

Matemáticas II

Sustituimos en I :

I = ( ) ( )ln ln lnx x x x x k2

337 2

37 1– – –

2+ + + +

d) y ( ) ( )x x

x x dx2 9

2 12 6–

–2

2

++


( ) ( )

, ,8x xx x

xA

xMx N A M N

2 92 12 6

2 92 0 12

––

–22

2++ = +

++ = = =

I = x

dxx

dx22

129– 2

++

yy

·x

dxx

dx arc tg x k arc tg x k9 9

1

391

311

3 31

31

2 2+= = + = +

+c myy

Sustituimos en I :

I = 2ln (x – 2) + 4 arc tg x k3

+

24 Resuelve estas integrales utilizando un cambio de variable:

a) y x x dx1+ b) y x x

dx– 4

c) y xx dx

1+ d) y

x xdx

11

+

e) y x x

dx1+

f ) y x

x dx1+

a) y x x dx1+ Cambio: x + 2 = t 2 → dx = 2t dt

( ) ( ) ( ) ( )x x dx t t t dt t t dt t t k x x k1 1 2 2 25

23

25

2 13

2 1– · – – –2 4 25 3 5 3

+ = = = + = + + +yyy

b) y x x

dx– 4

Cambio: x = t 4 → dx = 4t 3 dt

| | | |ln lnx x

dxt tt dt

tt dt

tt dt t k x k4

14

34

13

34 1

34 1

– – – –– –

4 4

3

3

2

3

2 3 34= = = = + = +yyyy

c) y xx dx

1+ Cambio: x + 1 = t 2 → dx = 2t dt

( ) · ( ) ( )xx dx

tt t dt t dt t t k x x k

11 2 2 2

32 2

32 1 2 1– – – –

22 3

3

+= = = + = + + +yyy

d) y x x

dx1

1+

Cambio: x + 1 = t 2 → dx = 2t dt

( ) ( ) ( )x x

dxt t

t dtt t

dt1

11

21 12

– –2+= =

+yyy Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )t t t

At

Bt t

A t B t1 1

21 1 1 1

1 1– – –

–+

=+

+ =+

+ +

2 = A (t – 1) + B (t + 1)


40

Matemáticas II

Hallamos A y B :

88

88

AB

AB

tt

11

2 22 2 1

1– – –==

==

==3

Por tanto:

( ) ( )

| | | |ln ln lnt t

dtt t

dt t t ktt k

1 12

11

11 1 1

11

––

–– – –

+=

++ = + + + =

++d nyy

Así:

lnx x

dxxx k

11

11

11–

+=

++

++y

e) y x x

dx1+

Cambio: x = t 2 → dx = 2t dt

| | ( )ln lnx x

dxt t

t dtt

dt t k x k1 21

2 2 1 2 12+=

+=

+= + + = + +yyy

f ) y x

x dx1+

Cambio: x = t 2 → dx = 2t dt

·x

x dxt

t t dtt

t dtt

t arc tg t k xdt arc tg x k1 1

212 2

12 2 2 2 2– – –2 2

2

2+=

+=

+=

++ == +e oyyyy

25 Calcula:

a) y e

dx1

1x+

b) y x

x dx9

3– 2+

c) y e e

dx3–x x2

d) y ( )cos x

sen tg xdx2

e) y ee e dx

1–

x

x x

2

3

+ f ) y

xdx

11

+

a) y e

dx1

1x+

( )lne

e e dxee

ee dx

ee x e k

11

11

11

11– – ––

( )x

x x

x

x

x

x

x

x x1=+

+ =++

+=

+= + +e eo oyy y

(1) Sumamos y restamos e x en el numerador.

b) y x

x dx9

3– 2+ =

xx dx

xdx

xx dx

xdx

9 93

21

92

93

– ––

––

–2 2 2 2+ = + =yyyy

/xx

dx x arc sen x k9 31

3

1 3 9 33

– ––

– –22

2= + = + +

cc

mmy

c) y e e

dx3–x x2

Hacemos el cambio: e x = t →x = ln t → dx = t1 dt

/( )e e

dxt t

t dtt t

dtt t

dt3 3

13

13

1– – – –x x2 2 3 2 2

= = = yyyy


( ) ( )

( ) ( )t t t

AtB

tC

t tAt t B t Ct

31

3 33 3

– – –– –

2 2 2

2= + + = + +

1 = At (t – 3) + B (t – 3) + C t 2

Hallamos A, B y C :


41

Matemáticas II

//

/888

888

ttt

CA B C

CA

B B31

1 91 2 2

1 91 9

0 1 3 1 3

– – –

– –===

== +

==

= =4

Así, tenemos que:

( )

/ / / | | | |ln lnt t

dtt t t

dt tt

t k3

1 1 9 1 33

1 991

31

91 3

–– –

–– –2 2= + + = + + +e oyy

Por tanto:

| | | |ln ln lne e

dx ee

e k xe

e k3 9

131

91 3

91

31

91 3

–– – – –x x

xx

xx

x2 = + + + = + + +y

d) y ( )cos x

sen tg xdx2 = ( )cos tg x k– + , ya que D [tg x] = cos x

12 .

e) y ee e dx

1–

x

x x

23

+ Hacemos el cambio: e x = t → x = ln t → dx =

tdt1

·ee e dx

tt t

tdt

tt dt

tdt

1 11

11 1

12– – – –x

x x

2

3

2

3

2

2

2+=

+=

+=

+=e oyyyy

( )t arc tg t k e arc tg e k2 2– –x x= + = +

f ) y x

dx1

1+

Hacemos el cambio: x = t 2 → dx = 2t dt

| | ( )ln lnx

dxt

t dtt

dt t t k x x k1

112 2

12 2 2 1 2 2 1– – –

+=

+=

+= + + = + +d nyyy

Página 352

26 Para resolver la integral y cos 3 x dx, hacemos:cos 3 x = cos x cos 2 x = cos x (1 – sen 2 x) = cos x – cos x sen 2 x

Resuélvela y calcula después y sen 3 x dx.( · ) ·cos cos cos cos cosx dx x x sen x dx x dx sen x x dx sen x sen x k

3– – –3 2 2

3= = = +y yyy

Para la segunda parte del problema calculamos:

· ( ) ·cos cossen x sen x sen x sen x x sen x sen x x1 – –3 2 2 2= = =

( · ) ( )cos cos cos cossen x dx sen x sen x x dx sen x dx x sen x dx x x k3

– – –3 2 23

= = + = + +yyyy

27 Calcula las siguientes integrales utilizando las relaciones trigonométricas:

a) y ( )cossen x x dx2 22 + b) y ( )coscos cos

xx x

21 2– 2

c) y ( )sen x sen x dx2·2 d) y ( )cos cosx x dx2–2 Ayuda: Ten en cuenta que 1 + cos 2x = 2cos 2 x y que 1 – cos 2x = 2sen 2 x.

a) Teniendo en cuenta que cos cos cos cossen x x x x x2 22

1 2 2 223 2

21–2 + = + = + , obtenemos:

( )cos cossen x x dx x dx sen x x k2 223 2

21

43 2

22 + = + = + +d nyy


42

Matemáticas II

b) ( ) ( ) ·coscos cos

coscos cos

coscos cos cos

xx x dx

xx x dx

xx x dx x dx sen x k

21 2

21 2

22– – – – –

2 2= = = = +yyyy

c) Teniendo en cuenta que · ·cos cossen x sen x x sen x sen x sen x x22

1 2 222

22 2– –2 = = , obtenemos:

· · ·cos cossen x sen x dx sen x sen x x dx sen x dx sen x x dx222

22 2

41 2 2

41 2 2 2– · – ·2 = = =d n yyyy

cos cosx sen x k x sen x k41 2

41

22

41 2

81 2– – – –

2 2= + = +

d) Teniendo en cuenta que cos cos cos cos cosx x x x x22

1 2 221

22– – –2 = + = , obtenemos:

( )cos cos cos cosx x dx x dx dx x dx x sen x k221

22

21

21 2

2 42– – – –2 = = = +d nyy yy

28 Calcula y ( )x

x dx1 23

+

a) Por descomposición en fracciones simples.

b) Mediante un cambio de variable.

a) I = ( ) ( )

( )( )x

x dx xxx dx x dx

xx dx

12

13 2 2

13 2– –2

3

2 2+= +

++ = +

++e oyy yy

Descomponemos la segunda integral en fracciones simples:

( ) ( )

,8xx

xA

xB A B

13 2

1 13 1–2 2+

+ =+

++

= =

( ) ( )

| |lnxx dx

xdx

xdx x

x13 2 3

1 13 1

11–2 2+

+ =+ +

= + ++yyy

Sustituimos en I :

I = | |lnx x xx

k2

2 3 11

1–2

+ + ++

+

b) Llamamos u = x + 1 → du = dx (x = u – 1)

( )

( )x

x dxu

u duu

u u u du uu u

du1

1 3 3 1 3 3 1– – – – –23

2

3

2

3 2

2+= = + = + =e oyyyy

( ) ( ) | |ln lnu u uu

k x x xx

k2

3 3 121 3 1 3 1

11– –

2 2= + + + = + + + + +

++


a) y x x

dx4 52 + +

b) y ( )x x

x dx2 35

2 + ++

c) y x x x

x dx2 3

13 2+ +

+ d) y x xx dx2 1–3 +

e) y x

x x dx9

3 82

2

++ + f ) y

( ) ( )x xdx

1 12 2+ +

a) El denominador no tiene raíces.

( )

( )x x

dxx x

dxx

dx arc tg x k4 5 4 4 1 2 1

22 2 2+ +=

+ + +=

+ += + +yyy

b) El denominador no tiene raíces.

I = ( ) ·x2 2 2 5–+ +( )

x xx dx

x xdx

x xx dx

x xdx I I

2 35

2 321

21

21

2 32 2 4

2 31

21 42 2 2 2 1 2+ +

+ =+ +

=+ +

+ ++ +

= +yyyy


43

Matemáticas II

I1 = ln (x 2 + 2x + 3) + k

I2 = ( )x xdx

xdx

xdx

2 1 21

1 21

21

21 1

12 2 2+ + +

=+ +

=+ +

=

e oyyy

arc tg x k arc tg x k21

211

21

22

21= + + = + +

Por tanto:

I = ( )ln x x arc tg x k21 2 3 2 2

212 + + + + +

c) I = ( )x x x

x dxx x x

x dx2 3

12 3

13 2 2+ +

+ =+ ++yy


( )

, ,8x x x

xxA

x xMx N A M N

2 31

2 3 31

31

31–2 2+ +

+ = ++ +

+ = = =

I = | |lnxdx

x xx dx x I

31

31

2 31

31

31– – –2 1+ +

=yy

I1 = ( ) ·x2 2 2 1– –+

x xdx

x xx dx

x xdx

2 321

21

21

2 32 2 2

2 31–2 2 2+ +

=+ +

++ +

=yyy

( )ln x x arc tg x k21 2 3 2

21–

( ) 2= + + + +*

(*) La segunda integral está resuelta en el apartado anterior.

Por tanto:

I = ( )ln lnx x x arc tg x k31

61 2 3

32

21– 2 + + + + +

d) I = ( )x x

x dxx x

x dx2 11

2 1– –3 2+

=+

yy Descomponemos en fracciones simples:

( )

, ,8x x

xxA

xMx N A M N

12 1

1 21 1 2– –2 2+

= +++ = = =

I = ( )ln lnxdx

xx

xdx

xx dx

xdx x x arc tg x k

21

12

21

21

12 2

11

21

21 1 2– – –2 2 2

2+++ = +

+ += + + + +yyyyy

e) I = x

x x dxxx dx dx

xx dx

93 8 1

93 1

93 1– –

2

2

2 2++ + = +

+= +

+e oyy yy

( )lnxx dx

xx dx

xdx x arc tg x k

93 1

23

92

91

23 9

31

3– – –2 2 2

2

+=

+ += + +yyy

Ya que:

x

dxx


191

3

191

311

3 31

31

2 2+= = + = +

+c myy

Sustituyendo en I :

I = ( )lnx x arc tg x k23 9

31

3–2+ + +


44

Matemáticas II

f ) I = ( ) ( )x x

dx1 12 2+ +

y Descomponemos en fracciones simples:

( ) ( ) ( )

, , ,8x x x

Ax

Bx

Mx N A B M N1 1

11 1 1 2

121

21 0–2 2 2 2+ +

=+

++

+++ = = = =

I = ( )

( )( )

( )ln lnxdx

xdx

xx dx x

xx k

21

1 21

1 21

1 21 1

2 11

41 1– – –2 2

2+

++ +

= ++

+ +yyy

30 Encuentra la primitiva de f (x) = x

x1

3– 2

que pasa por el punto (0, 3).

F (x) = | |lnx

x dxxx dx x k

13

23

12

23 1

––

–– – –2 2

2= = +yyComo pasa por (0, 3) se cumple que F (0) = 3.

8k k23 3

29– + = =

Luego la primitiva buscada es F (x) = | |ln x23 1

29– – 2 + .

31 Halla la función F para la que F ' (x) = x12 y F (1) = 2.

F (x) = x

dxx

k1 1–2 = +yF (1) = –1 + k = 2 → k = 3

Por tanto: F (x) = x1 3– +

32 De todas las primitivas de la función y = 4x – 6, ¿cuál de ellas toma el valor 4 para x = 1?

F (x) = ( )x dx x x k4 6 2 6– –2= +yF (1) = 2 – 6 + k = 4 → k = 8Por tanto: F (x) = 2x 2 – 6x + 8

33 Halla f (x) sabiendo que:

f '' (x) = 6x, f ' (0) = 1 y f (2) = 5

( )

( )

'

'

f x x dx x c

f c

6 3

10

2= = +

= =4y f ' (x) = 3x 2 + 1

( )

( )

( )f x x

f

dx x x k

k

3 1

2 10 5

2 3= +

=

= + +

+ =4y → k = –5

Por tanto: f (x) = x 3 + x – 5

34 Encuentra una primitiva de f (x) = x 2 sen x cuyo valor para x = 0 sea 1.

F (x) = x sen x dx2yIntegramos por partes:

8

8 cosu dudv sen x dx v

x x dxx

2–

2= == =

*


45

Matemáticas II

F (x) = · · ·cos cos cosx x x x dx x x I2 2– –2 2+ = +yIntegramos I por partes:

8

8cosu du dxdv x dx v sen x

x= == =

*

I = · · cosx sen x sen x dx x sen x x– = +ySustituimos en F :

F (x) = · ·cos cosx x x sen x x k2 2– 2 + + +

Ahora se debe cumplir que F (0) = 1 → 2 + k = 1 → k = –1.

La primitiva es F (x) = · ·cos cosx x x sen x x2 2 1– –2 + + .

35 Determina la función f (x) sabiendo que:

f '' (x) = x ln x, f ' (1) = 0 y f (e) = e4

f ' (x) = y f '' (x) dx → f ' (x) = lnx x dxyIntegramos por partes:

8

8

lnu x dux

dx

dv x dx v x

1

22

= =

= =*

f ' (x) = ln ln lnx x x dx x x x k x x k2 2 2 4 2 2

1– – –2 2 2 2

= + = +d ny

f ' (1) = 8k k k21

21

41 0

41– –+ = + = =d n

f ' (x) = lnx x2 2

141–

2+d n

f (x) = y f ' (x) dx → f (x) = ln lnx x dx x x dx x2 21

41

Obtención de la primitiva de algunas funciones...1 nia 11 á iiia BACHILLERATO Matemáticas II...

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