Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:

Método por desarrollo y

Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)

entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

(x ─ 2)2 + (y ─ ─ 3)2 = 52

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 52

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25

Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2 + (y ─ k)2

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25

y desarrollamos sus dos binomios:

(x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25

(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25

(x2 ─ 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

x2 + y2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si entonces D = ─ 2a

Si entonces E = ─ 2b

Si entonces F = a2 + b2 ─ r2

Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0

x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

Ahora, hagamos algunos ejercicios

Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas y que tiene un radio igual a

.

Resolución por desarrollo

En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.

Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:

Para hacerlo, partamos de aquí:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Nota:

Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x, y), distante un radio desde el centro.

Volvamos a la fórmula:

Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b):

y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos para llegar a la ecuación general:

Recordemos el cuadrado del binomio:

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:

(x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3

x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3

ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general:

x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0

Resolución por el sistema de fórmulas conocidas

Tenemos:

Centro de la circunferencia (coordenadas)

Radio

r =

Y las fórmulas

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Por lo que solo debemos calcular D, E y F

Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y tendremos:

x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

Importante

Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la circunferencia nos indican que si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene usar el método

de las fórmulas.

No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede usar el sistema del desarrollo.

Ejercicio 2

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio r = 4.

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3), donde

a = 1

b = 3

tendremos que

D = ─2(1) = ─2

E = ─2(3) = ─6

Y ahora sustituimos en

F = a2 + b2 ─ r2

F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2

F = 1 + 9 ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D = ─2

E = ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

Ejercicio 3

Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3, 2) y cuyo centro es el punto C (1, 5)

Resolución

Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las coordenadas de un punto y del centro podemos calcularlo así:

El radio es la distancia de C a P, y como su fórmula para conocer dicha distancia es

Hacemos

Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5

y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0

Nota importante:

En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la circunferencia, P (─3, 2) pero ese dato nos sirvió solo para calcular el radio. Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora servirá para

todos los puntos de la circunferencia equidistantes del centro, representados como P (x, y), por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia reemplazaremos solo los valores de a y de b como las coordenadas del

centro C (1, 5)

Ejercicio 4

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4, ─9)

Resolución

Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos

Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el punto A(2, 3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio

Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios

(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45

(xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45

x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0

x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.

Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las coordenadas de los puntos A y B en x e y

Primero el A(2, 3) que sea x = 2, y = 3

22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0

4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0

Ahora el B(─4, ─9) que sea x = ─4, y = ─9

(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0

16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0

Ejercicio 5

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3.

Resolución

Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3)

Entonces reemplacemos

(x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32

(x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados:

(x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9

(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9

ordenamos e igualamos a cero

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0

Ejercicio 6

Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3).

Resolución:

Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0

Ecuación general de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

El centro y el radio.

El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

Nota importante:

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.

Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.

Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

Cuadrado del binomio

Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:

El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D,

─ 2b = E,

a2 + b2 ─ r2 = F

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a entonces

Si E = ─ 2b entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:

─ 2a = A,

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

La Parábola como lugar geométrico

Se exponen las ecuaciones de las parábolas de eje vertical, horizontal y oblicuo, y la posibilidad de observar como cambian estas ecuaciones al variar las coordenadas del foco. También se comprueba la propiedad que caracteriza al lugar geométrico.

La Parábola como lugar geométrico

Es el lugar de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y de un punto exterior a la misma, llamado foco.

En la parábola la distancia entre el vértice y el foco se llama distancia focal.

La excentricidad de la parábola es igual a 1.

La siguiente construcción pretende ejemplificar la definición y facilitar la comprensión y el aprendizaje de la ecuación reducida de la parábola.

Ildefonso Fernández Trujillo , Creación realizada con GeoGebra

- En las ecuaciones de las parábolas de eje vertical y horizontal, el parámetro p indica la distancia del Foco a la recta directriz.

- En la ecuación de la parábola de eje oblicuo El significado de cada coeficiente es:

Ecuación de la directriz y = mx + n

Coordenadas del Foco (xF, yF)

A 1 ó k (k constante ≠ 0)

B 2 m ó 2 m k (k constante ≠ 0)

C m2 ó m2 k (k constante ≠ 0)

D -2 xF (m2 + 1) - 2 n m ó ....

E -2 yF (m2 + 1) + 2 n ó ....

F(m2 + 1) ( ) - n2 ó ....

Inicialmente se muestra la parábola de eje horizontal, para acceder a la de eje vertical y oblicuo se debe pulsar sobre la etiqueta eje horizontal o sobre el cuadro de selección, para desmarcarlo, una vez desmarcado aparecen las demás opciones.

Desplazando los puntos P, P' y Q de las respectivas directrices se observa la construcción de la parábola como lugar geométrico de los puntos que equidistan de la directriz y del foco.

Ecuación canónica de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y = 2px

Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Elevando al cuadrado:

-px + y2 = px ð y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos:

Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

ð Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0)

ð Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0)

ð Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0)

ð Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0)

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

, donde a es distinto de cero.

La elipse como lugar geometrico

Definición

Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, y , es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:

Los puntos fijos y se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.

Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos, , , y que reciben el nombre de vértices .

La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por . La mitad de esta distancia, , es la semidistancia focal.

Para cualquier punto de la elipse, se verifica que es constante. Llamamos a esta constante .

El segmento es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es . La mitad de esta distancia, , se denomina semieje mayor.

El segmento es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por . La mitad de esta distancia, , es el semieje menor.

Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos , y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?

En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardinpara poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta

distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa lacuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creandoun surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:

Ecuación

Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje , entonces los focos son:

La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, , a los focos es se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:

Igualdad que es equivalente a esta otra:

que constituye la ecuación reducida de la elipse.

Ejemplo

Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una circunferencia y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.

ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN

Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.

La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:

x = x' + hx' = x - h

y = y' + ky' = y - k

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las

abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal.

x =

Cuando la elipse es vertical.

y =

Eje Mayor = 2aEje Menor = 2b

Ecuación de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

Hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.

La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

Definición

Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.

La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

Figura 1.

Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es

con eje transversal horizontal. Y

con eje transversal vertical.

Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de

unidades del centro. Además

Figura 2.

Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

El centro está en

Los vértices están en

Los focos están en .

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

El centro está en

Los vértices están en .

Los focos están en .

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un

rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en .El segmento recto de longitud 2b que

une se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.

Teorema (Asíntotas de una hipérbola)Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de

dimensiones y centro .Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.

Definición (excentricidad de una hipérbola)

La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente

Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).

Teorema (propiedad de reflexión)

La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Figura 3.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal, y

Los vértices están en , los focos en y y la

excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 4.

Ejemplo 2

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y y asíntotas

y . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Solución

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son . Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.

Por tanto, la ecuación canónica es

El valor de está dado por

Los focos están en y y la excentricidad es La gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 5.

Ejercicios

1. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que para

cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos y

es .

2. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices

en y y asíntotas en .

3. Hallar el valor de de forma que la hipérbola

sea tangente a la recta .

4. Determine el tipo de cónica representada por la ecuación

en los casos

a.) Si

b.) Si

c.) Si

5. Determine la excentricidad de la cónica con ecuación: 0

HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Sean h y k las coordenadas del centro de la curva, cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas como se indica en la figura:

La ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:

x = x' + hx' = x - h

y = y' + ky' = y - k

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

La excentricidad es mayor a la unidad

> 1

o por la relación del punto a un foco con respecto del mismo punto a la directriz ubicada la mismo lado del foco.

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos y su longitud la calculamos por

mientras que las ecuaciones de las directrices son:

cuando la hipérbola tiene eje real horizontal, es decir, los focos están sobre el eje de las abscisas

x =

cuando la hipérbola tiene eje real vertical, es decir, los focos están sobre el eje de las ordenadas

y =

Las ecuaciones de las asíntotas son:

cuando el eje real es el eje de las abscisas

(y - k) = (x - h)

cuando el eje real es el eje de las abscisas

(y - k) = (x - h)

Hipérbola equilátera

Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes a y b son iguales:

Esto quiere decir: a = b.Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).

Ecuación reducida de la hipérbola equilátera

Te basta con hacer uso de la forma reducida:

Como a y b son iguales, podemos escribir:

Haciendo operaciones llegamos:

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola equilátera

Dado que las asíntotas son bisectrices, los valores de x e y son iguales, por lo

tanto, son las ecuaciones de las asíntotas. El doble signo se debe al cuadrante donde está situada.

Ecuación de la hipérbola cuando las asíntotas son los ejes de coordenadasPara que las asíntotas se conviertan en ejes de la hipérbola equilátera, es suficiente girar 45º:

Un punto cualquiera P de la hipérbola puede estar situado en el vértice, como puedes apreciar en la figura.

Sabemos por lo estudiado hasta aquí que:

La distancia

Sustituimos valores en esta última igualdad:

Haciendo operaciones:

Desarrollamos los productos notables:

Reducimos términos semejantes:

Simplificamos por 4a:

Elevamos ambos miembros al cuadrado y reducimos términos semejantes:

Como puedes comprobar, la ecuación de la hipérbola equilátera, con relación a las asíntotas es:

Podemos simplificar y nos quedará:

k representa un valor real conocido.

26.30 ¿Puedes decir si xy = 1 representa a la ecuación de alguna de las cónicas que has estudiado hasta ahora?

Respuesta: Sí, se trata de la ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas.Solución

Sabemos por lo que acabamos de estudiar que

Teniendo en cuenta los datos del problema, xy= 1 podemos decir que los valores

de x e y son: x = 1, y = 1 y que de donde deducimos:

26.31 Teniendo en cuenta el enunciado del problema anterior ¿cuáles son las coordenadas de los vértices y focos?

Respuesta:

Solución

Dibujamos esta hipérbola equilátera:

Vemos que las coordenadas de los vértices son:

Para calcular las coordenadas de los focos tenemos en cuenta que

Al ser una hipérbola equilátera vemos que:

Anteriormente hemos visto que en (I) sustituimos el valor de a

por y vemos que

Como a y b son iguales, es decir, sus catetos son iguales, para que la hipotenusa (c) valga 2,

luego las coordenadas de los focos serán:

26.32 Calcula los valores de a,b,c y las coordenadas de vértices y focos de la

hipérbola

Respuestas:

Las coordenadas de A son:

Las coordenadas de B son:

Las coordenadas de los focos son:

SoluciónAplico la fórmula de la ecuación de una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas:

Como se trata de una hipérbola equilátera x e y son iguales.Ahora trato el problema como si se tratara de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa vale 2 y los catetos son iguales:

Tenemos que tener en cuenta que las hipérbolas las tenemos situadas en el primer y tercer cuadrantes:

Las coordenadas de A son:

Las coordenadas de B son:

Como

Sabemos que , sustituimos en

Si la distancia es la hipotenusa de dos catetos iguales

Las coordenadas de los focos son:

26.33 ¿Cuáles serían las coordenadas de los vértices y focos de la hipérbola equilátera cuya ecuación es xy = 4?

Respuestas:

Ecuación General de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y sabiendo que , llegamos a:

Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.

Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola

F'(0, -c) y F(0, c)

La ecuación será:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplos

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y0+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ejemplo

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

Las Lineas Conicas

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo.

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

Este griego nació en donde en aquel entonces se llamaba Prega, Mauritania, que ahora es, Antalya, Turquía. Perga era el centro de cultura ese tiempo, donde se encontraban todos los sabios y científicos. En sus tiempos de juventud Apollonius fue Alejandría donde estudio con los seguidores de Euclid, donde luego se convertiría en maestro. Luego de estar varios años en Alejandría, el matemático se mudó a Pergamum, que ahora es la ciudad de Bergama, en la provincia de Izmir en Turquía. Pergamum era una ciudad antigua, situada a 25 km. de mar Aegan.

Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenia un hijo, que tenía el mismo nombre.

Apollonius escribió cónicas en ocho libros, de los cuales solo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.

Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intersecta la superficie de un cono.

Curvas Cónicas

Sección Cónica

En geometría, una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo de el ángulo de el plano relativo al cono, la intersección es un círculo, un elipse, una hipérbola o una parábola.

Las Cónicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la línea determinada (directriz) que es constante.

Si la excentricidad es cero, la curva forma un círculo, si es igual a dos, forma una parábola, si es menor a uno, forma un elipse, y si es mayor a uno, forma una hipérbola.

Elipse

Es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.

Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.

El foco es simétrico a sus dos ejes, la curva formada cuando se rota el elipse se llama elipsoide de revolución, o esferoide.

La ecuación de un elipse es x2/a2 +y2/b2=1

La distancia de el diámetro mayor es 2a, la distancia de el diámetro menor es 2b. Si c es tomada como la distancia desde el origen hasta el foco, entonces c2= a2 - b y el foco de la curva podría ser localizado cuando los diámetros menor y mayor se saben.

Ecuación:

(x-h) 2 + (y-k) 2 =1 Centro = (h, k)

a2 b2

Vertices = (h, k+a) y (h+a, k)

Focos = (h, k+c)

Hipérbola

Es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.

Si una línea es dibujada por el foco y prolongada después de el eje transversal de la hipérbola, perpendicular a ese eje, e intersectándolo en el centro geométrico de la hipérbola, un punto a la mitad entre los dos focos, ahí se encuentra el aje conjugado. La hipérbola es simétrica con respecto a sus dos ejes.

Dos líneas simétricas, las asíntotas de la curva, pasa por el centro geométrico. Ha hipérbola no toca las asíntotas, pero su distancia con ellas se acorta, pero nunca llegan a intersectarse.

Ecuación:

(y-k) 2 - (x-h) 2 =1 Centro = (h, k)

b2 a2

Vértices = (h, k+b)

Focos = (h, k+c)

Parábola

Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es igual a su distancia desde algún punto fijo (foco).

El vértice de la parábola es el punto en la curva que esta más cerca de la directriz, su distancia es igual desde la directriz y el foco. El vértice y el foco determinan una línea perpendicular a la directriz, a ésta línea se le conoce como el eje de la parábola.

Para una parábola que tiene el vértice el origen la formula es y2= 2px, donde p es la distancia entre la directriz y el foco.

Ecuacion:

(x-h) 2 = 4p (y-k) Vértice = (h, k)

y Foco = (h, k+p) y (h+p, k)

(y-h) 2 = 4p (x-k) Eje = x =h y y =k

Círculo

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es igual a cero.

Ecuación:

(x-h) 2 + (y-k) 2 = r2 Centro = (h, k)

Radio = r

Uso de las Cónicas

Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

Para explicar la teoria que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.