МІНІСТЕРСТВО - matan.kpi.uamatan.kpi.ua/public/files/МА1.pdf · 3 Вступ...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ

ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

Київ

«ПОЛІТЕХНІКА»

2001

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ

ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ

Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»

Київ

«ПОЛІТЕХНІКА»

2001

Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної: Збірник завдань до

типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів / Уклад.:

Л.Б. Федорова, Н.Р. Коновалова, І.В. Алексєєва та ін. — К.: ІВЦ «Політехніка», 2001. — 65 с. Гриф надано Методичною

радою НТУУ «КПІ»

(Протокол № 4 від 20.12.2001)

Навчальне видання

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ

ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Збірник завдань

до типової розрахункової роботи

для студентів І курсу технічних факультетів

Укладачі: Федорова Лідія Борисівна

Коновалова Наталія Романівна

Алексєєва Ірина Віталіївна

Кіндибалюк Адріана Юріївна

Трофимчук Олена Петрівна

Гайдей Віктор Олександрович

Відповідальний

редактор

В.В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензент В.Г. Лозовик, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Темплан 2001 р., поз. 138 Редактор К.Г. Левчук

Підп. до друку Формат 60×84 1/16.

Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» НТУУ «КПІ»

Лабораторія офсетного друку НТУУ «КПІ»

03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37.

Зам. № . Тираж 200. Ум. друк. арк. 3,78.

Папір офсетний. Різограф.

3

Вступ

Дотепер накопичено багаторічний досвід використання типових індивідуальних

розрахункових робіт для організації й контролю самостійної роботи студентів. Ре-

зультатом цього є створена нова зручна форма типового варіанта.

Запропонований збірник містить 30 варіантів індивідуальних завдань і додаткові

задачі, а кожний варіант — завдання з розділів: комплексні числа, теорія границь і

неперервність функції, похідна функції, геометричний зміст похідної, дослідження

функцій і побудова графіків функцій, методи інтегрування, визначений інтеграл, за-

стосування визначеного інтегралу. Наявність додаткових задач, які вміщено в кінці

збірника, і які ілюструють теоретичний матеріал курсу, дає змогу заохотити сумлін-

них студентів. Частину задач узято зі збірників завдань Л.А. Кузнецова «Сборник

заданий по высшей математике» (М., 1994) і А.П. Рябушка «Сборник индивидуальных

заданий по высшей математике» (Минск, 1990). Крім того, укладачі пропонують

використовувати збірники задач [1—8].

Передбачається, що перед виконанням завдань типового варіанта розрахункової

роботи, студент ознайомиться з відповідними розділами методичних вказівок, які

містять:

1. Стислий виклад теоретичного матеріалу з вказівками шляхів поглиблення

знань.

2. Приклади розв’язання типових задач з використанням ефективних, оригіна-

льних методик.

3. Довідковий матеріал, зібраний і організований у зручній формі.

4. Зразок розв’язання типового варіанта та деяких додаткових задач, а також

поради щодо розв’язання останніх.

5. Відповіді до частини завдань.

6. Список рекомендованої літератури.

Список рекомендованої літератури

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.

— 446 с.

2. Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики. — К.: КДУ, 1967. — 352 с.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.:

МГУ, 1999. — 624 с.

4. Вища математика: Збірник задач / В.П. Дубовик, І.І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін. —

К.: Вища шк., 1999. — 480 с.

5. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математиче-

ского анализа: В 3 ч. / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др. — М.:

Наука, 1993. — Ч. 1. — 461 с.

6. Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина,

П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.

7. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифферен-

цируемость / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.:

Наука, 1984. — 592 с.

8. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды / Л.Д. Кудрявцев,

А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1986. — 528 с.

4

Варіант 1

1. Побудувати графіки функцій:

( ) ( )2

11) sin 2 . 4) tg 2 .2 3 4

2) 2arcsin( 1). 5) 2 .

13) arcctg( 1). 6) ln( 3).2

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= + = +

= + =

= + = +

2. Знайти:

а) алгебричну форму 3132

2 ;z

z iz + −

б) тригонометричну форму 3;z

в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz

д), е) всі значення 31z та 4

2z , якщо:

1 2 33 3 , 3 , 1 5 .z i z i z i= − + = − = − −

3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ

3 2

1) 1 1 2,0 arg .4

2) , Re 1.

3) 3 6 4 0.

z z

z i z i z

z z z

π< − ≤ < ≤

− > + >

− + − =

Знайти границі (4—7):

3 42 8

2

2 2

2

2 22 0

2 2

2 3 23 0

3

( 2)! ( 1)!4.1) lim .

( 3)!

5 9 12) lim .

( ) 7

3) lim ( 1 1).

5 6 1 cos 85.1) lim . 6.1) lim .

12 20 3

2 11 15 ln(1 3 )2) lim . 2) lim .

3 5 12 5

3 53) lim

n

n

n

x x

x x

x

n n n nn

n n n

n n n n

n n n

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

→∞

+ − ++

+ +

+ − +

+ − −

− + −− ++ + ++ − −−

( )

2

3 2 0

5 2

4 2 1

2 2 3

3 2 0

24 0

3

2 ln(1 sin ). 3) lim .

sin 42 5

2 4 14) lim . 4)lim .

ln2 3 1

2 3 5 7 55) lim . 5) lim .

2 arctg 37 2 1

1 2 3 26) lim . 6) lim .

2 sin

4 ln7) lim . 7) lim

8

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x e

xxx x x

x x xxx x

x xx xx x

x e ex x

x xx

→

→−∞ →

→∞ →

−

→ →

−

→∞ →

+ ++ −− + −+ ++ − −

−− ++ − + −

−

++ ( )

( ) ( )3

sin2

111

1

1.

2 3 3 18) lim . 8)lim .

5 7 1

xe

xx

x x

x e

x xx x

π

+−

→∞ →

−−

+ −+ +

sin4 0

1

30

ln( 5)7.1) lim . 3) lim .

3arcsin 4 4

2) lim . 4) lim ( 2 ) .5 5 15

x

x x

x xxx x

xâ x

xx x

ë xe x

→∞ →+

−→ →+∞

++

−+

− −

8. Визначити порядок і головну частину

розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ

3 4

3

1) ( ) tg2 , ( ) arcsin , 0.

2) ( ) , ( ) 3 , 0.

3) ( ) sin , ( ) , 0.

x x x x x

x x x x x x x

Ó x x x x x

α = β = →

α = − β = − →

α = β = →

9. Дослідити функцію на неперервність:

2

1) ( ) .sin

4, 1,

2) ( ) 2, 1 1,

2 , 1.

xf x

xx x

f x x x

x x

=

+ < −= + − ≤ < ≥

133) ( ) 2 1xf x −= + у точках 1 23, 4.x x= =

Знайти похідні функцій (10—13):

2

5 53 3

43 4

3 52

arccos2

4 3 tg 3

4arcsin

5

log (3 7)410. 1) .

( 2) ctg7

arcctg 52) 3 sin 3 .

sh

9arctg( 7)3) sin 2 cos 8 .

( 1)

4) ln arctg 5 .5

5) tg 3 arcsin2 (arccos ) .

( 1) 76) (cth 3 )

( 2) (

x

x

x

xy x

x x

xy x x

xx

y x xx

ey x x

x

y x x x

x xy x

x x

−= − +

−

= + − −

+= ⋅ +

−

= −+

= ⋅ +

− += −

+ + 2 .3)

2 2 arctg 211.1) . 2) sin 8 .yxx y e y y x+ = + =

3

cosln ,? , 1 2cos

12. : 1) 2)sin? ln . .

1 2 cos

x

xx

tt xy x tt

ty y t t yt

= ′ = = + ′′ = = = +

2 (5)

( )

13.1) (2 7)ln( 1), ?

2) , ?ax n

y x x y

y xe y

= − − =

= =

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі

до кривої у заданій точці: 2

01) 7 3, 1.y x x x= − + =

5

3 30

2 30

2) sin , cos , .3

1 13) , , , (6 ,18 ,72 ).2 3

x a t y a t t

x at y at z at M a a a

π= = =

= = =

15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції 3 22 9 12 9.y x x x= − + − 2

maxmin 2[ , ]

1) ln( 2 2),[0;3].

16. ( ) ? 162) 16,[1;4].a b

y x xf x

y xx

= − +=

= + −

17. Дослідити функцію і побудувати її

графік:

2

23 2

3 23

2( 1)2

sin cos

171) 1 2 . 5) .

4 5

2) 3 6 (2 ) . 6) .

43) (2 3) . 7) .

4

14) . 8) .

1

x x

x

x x

xy x x y

x

y x x y e

xy x e y

x

y e y xx

−

− +

+

−= − − =

−

= − + − =

= + =+

= = +−

Знайти інтеграли (18—21):

2

2

2 2

2 7 4

3 5

2 2

3 4

2

2

18.1) 3 . 7) sin(2 3 ) .

32) . 8) .

3 9 32

3) . 9) .5 4 2 5

4) . 10) sin 2 cos2 .

tg arctg 35) . 11) .

cos 1 9

sin26) . 12) .

1 3 cos2

2 3 (3 20 9)19.1) . 5)

2

x

x

xdx x dx

dx dxx xxdx dx

x x

e dx x xdx

x xdx dxx x

xdx xdxxe

x x x ddx

x

−

+

+ −

− −

− −

+

+

− + ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

3 3

2 3 2

2 2

2 4 2

2 4 2

2

.( 4 3)( 5)

1 2 12) . 6) .

1

3 133) . 7) .

4 5 4 ( 1)( 2 5)

( 1) 54) . 8) .

2 3 4 3 4

20.1) tg . 4) cos 3 sin 3 .

2) sin (1 ) . 5) .5 2 sin 3cos

3) sin 3 cos

xx x x

x x xdx dx

x x xdx x dx

x x x x x

x dx xdxx x x x

xdx x xdx

dxx dx

x x

x xd

+ + +

− − ++ −

+− + − + +++ + + −

−+ +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫. 6) .

8 sin (sin 2 cos )

dxx

x x x−∫ ∫

.2 2

32

2

2

4 7

22

2

1 2 1321 1) . 5) .

7 4 3 3 16

12) . 6) .

(1 )4 8

13) . 7) .

1

14) . 8) .

2 3

ln(cos )22.1) . 4) cos2 .

cos

2) ( 1) . 5) 1 arccos .

3) ln( 5) . 6) arctg2

x

x xdx dx

x x xdx x

dxx xx x

x dxdx

x x x

dx xdx

x xxdx x xdx

x

x e dx x xdx

x dx xdx

− −

+ − −−

++ −

−

++

+ +

+ −

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ .∫

23. Обчислити інтеграли:

3

8 8

22

1 24 22 2

20 0

29 22 33

233

4

1) ln( 1) . 4) 2 sin .

3 3 12) . 5) 4 .

1

( 2) cos3) . 6) .

sin3 ( 2)

x x dx xdx

x xdx x x dx

x

x xdx dx

xx

π

π

π

π

−

+ +−

+

−

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

24. Обчислити інтеграли або довести їх

розбіжність: 1

341 0

1) . 2) .2 416 1

xdx dxxx

∞

−−∫ ∫

25. Обчислити площу фігури, обмеженої

кривими: 3

3

3

1) ( 2) , 4 8.

4 2 cos ,2) 2( 2).

2 2 sin ,

3) 4 cos 3 , 2( 2).

y x y x

x tx x

y t

= − = −

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного

обертанням фігури, обмеженої кривими

0,x = 2 4 ,y x= − навколо осі Ox .

27. Обчислити площу поверхні, утвореної

обертанням кривої 31 1 1, ;3 2 2

y x x = ∈ −

навколо осі .Ox

6

Варіант 2


( )

( )

21) 2 cos 3 . 4) 3 .2

12) arccos( 3). 5) 2arctg( 1).3

13) ctg . 6) lg( 3).4 8

xy x y

y x y x

y x y x

−π= − − =

= + = −

π= − = − −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 32 2 , 1 3 , 2 3 .z i z i z i= − = − + = +


3 2

21) 1 1 3, arg .3 3

2) 1 , Im 2.

3) 2 2 1 0.

z z

z z i z

z z z

π π< + ≤ < ≤

− < + >

− + − =


2

3 43 5

2

3 2

20 0

2

31 0

3

3 2

(2 1)! (2 2)!4.1) lim .

(2 3)!

1 12) lim .

3 3 1

3) lim ( ( 2) 3).

2 sin 3 sin5.1) lim . 6.1) lim .

5

2 5 7 arcsin 52)lim . 2) lim .

tg 31

4 73) lim . 3) l

2 4 5

n

n

n

x x

x x

x

n nn

n n

n n

n n n n

x x x x xxx x

x x xxx

x xx x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + ++

− − +

+ + +

− − −

− + −+

+ −−+

− +

( )( )

20

4 2

2 1

2 3 2

4 0

1

24

2 1 1

0

1 cos10im .

1

3 2 5 2 1 14) lim . 4)lim .

ln2 7

3 7 25) lim . 5) lim .

2arcsin2 4

12 8 sin6) lim .6) lim .

sin2 8

7) lim . 7) lim(cos ) .1

8) lim

xx

x x

x x

x x

x a

x x a

xx

x x

x

x

e

x x xxx x

x x e ex xx x

x xax x

xx

x

→

→∞ →

−

→−∞ →

−

→− →

−

→∞ →

→∞

−

−

+ − − −+ +− + −

−+ −

+ −+ −

+

( ) 20

2 1 1 sin cos2. 8) lim .

1 sin

x

x

x x x xx x→

+ + −−

( )( )

ln

1 0

sin

0 0

1 17.1)lim . 3) lim .

1 sin

12) lim . 4) lim ln .

x

x x

xx

x x

a xx x x

x x

→ →

→+ →+

−−

−



2

2

3

1) ( ) 1 cos , ( ) 3 , 0.

2) ( ) 3 2, ( ) 2, 2.

3) ( ) 1, ( ) , 0.x

x x x x x

x x x x x x

x e x x x

α = − β = →

α = − − β = − →

α = − β = →


2

2

2

sin1) ( ) .

1, 0,

) ( ) ( 1) , 0 2,

4 , 2.

xf x

xx x

f x x x

x x

=

+ ≤= + < ≤ − >

133) ( ) 5 1xf x −= − у точках 1 23, 4.x x= =

Знайти похідні функцій (10—13): 2

3arcctg4

3 44

35 3

3 ln

4 43

5 3ctg

2 3

2 ( 4)10.1) 4 .

ln(5 3)2) 2 cos ln2 .

4 tg 3

arcctg 23) cos 3 tg .

ch

4) ln arctg 2 (cos ) .

arctg(2 3)5) ( 2) arcsin 5 .

8( 1)

( 3) ( 2)6) (arcsin2 ) .

( 1) ( 1)

x

x

x

xy x

exx

y xx

xy x x

x

y x x x

xy x x

x

x xy x

x x

−= + −

−= − +

= ⋅ −

= +

+= − −

+

− += +

+ −

2 2

11.1) 1. 2) tg( ).5 7

x yy x y+ = = +

2 2

2

? 2 cos , 1 ,12. : 1) 2)

? 3 sin . tg 1 .

x

xx

y x t x t

y y t y t

′ = = = − ′′ = = = +

2 (4)

( )

13.1) (3 )ln , ?

2) sin2 cos( 1), ?n

y x x y

y x x y

= − =

= + + =


до кривої у заданій точці: 2

0

0

1) 16 7, 1.

2) 3 cos , sin , .3

y x x x

x t y t t

= − + =

π= = =

7

( )0

3) sin , 1 cos , 4 sin ,2

1,1,2 2 .2

tx t t y t z

M

= − = − =

π −


кції 33 .y x x= −

2maxmin[ , ]

2

31) ,[0;5].

116. ( ) ?

42) 4 ,[1;4].a b

xy

xf xy x

x

=+=

= − −


графік: 2

3 2

233

2

22

2( 1)

11) . 5) 2 3 .

1

12) ( 3) 3 9. 6) .

4 31

3) ln( 4). 7) .( 1)

sin cos4) arctg . 8) .

2( 1)2

x

x xy y x x

xx

y x x yxx

y x x yx

x x ey y

x

+

− += = −

−+

= + − − =−

+= + − =

−

+= =

+


2

3

2

2 2

233 5

3

2 3 4

3

3 4

2 2

18.1) 1 . 7) sin(3 2 ) .

2) . 8) .3 92 5

3) . 9) .9 3 5 3

ln (1 )4) . 10) .

1

arcsin5) . 11) .

1

cos2 36) . 12) .

sin 2 11 2 12

19.1) . 5)5 1 ( 2)( 2

x

x

xdx x dx

dx dxxx

dx xdx

x x

xe dx dx

xx xdxdx

x ex xdx dxx xx dxdx

x x x x

+

+

+ −

+−

+ −

−−

−

−−

− − −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫2 3 2

3 2

2

2 3

5

2 4

3 5 2

3

35

.3)

7 2 2 12) . 6) .

1

6 83) . 7) .

4 10 8

6 2 2 14) . 8) .

3 1 1

20.1) ctg 2 . 4) sin 2 cos 2 ;

2) sin (1 ) . 5) .8 sin (2 sin cos )

3) sin cos . 6)5 4 s

x x x xdx dxx x xdx x x

dxx x x

x x xdx dx

x x x

xdx x xdx

dxx dx

x x x

dxx xdx

+

− − − +− −

− +− + +

+ − ++ + −

−−

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .in 2 cosx x+∫

.2 2

4

2 2

2 3

3 2

2

3 5 321 1) . 5) .

1 2 4 1

2) . 6) .13

3) . 7) .3 4 1 ( 1) 1

1 14) . 8) .

22.1) cos(ln ) . 4) 1 arcsin .

2) ( 2) . 5) sin .

3) arctg2 . 6) cos6 .

x

x xdx dx

x x xxdx x x

dxxx

dx dx

x x x x

x xdx dx

x x x

x dx x xdx

x e dx x xdx

xdx x xdx

− −

− − −+++

− + + −

− +

−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫


2

0

2 4 6 2

2 0

32 4 2

20 2

1 ln 22

202

1) . 4) 2 sin cos .

2 5 42) . 5) .

2 cos 1

43) . 6) .

(3 )

x

x x

x e dx x xdx

dx x xdx

x x

x dxdx

e ex

π−

−π

−

− ++ −

−+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


розбіжність: 3 8

4 2 20 0

1) . 2) .16 1

ax dx x dx

x a x

∞

+ −∫ ∫


кривими: 21) 9 , 0, [0;3].

2 cos ,2) 2( 2).

2 2 sin ,

3) cos2 .

y x x y x

x ty y

y t

= − = ∈

= = ≥ =ρ = ϕ



0, 0, 2,x y x y= = + = навколо осі

.Ox

27. Обчислити площу поверхні, утворе-

ної обертанням кривої 2cosρ = ϕ навко-

ло полярної осі.

8

Варіант 3


( ) ( )( ) 1

1) 3 sin 2 . 4) tg 2 .4 4

12) 2arcsin( 1). 5) .2

13) arcctg( 2). 6) ln(2 ).3

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= + = +

= + =

= − = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 34 4 , 3 , 3 4 .z i z i z i= − − = + = −


3 2

1) 1 3, arg .4

2) 1 , Re 3.

3) 2 6 9 0.

z i z

z i z z

z z z

π< − ≤ < ≤ π

+ > − <

+ + − =


3

3 3

3 3

2

3 23 0

3

21 0

4 2

4 3

1 3 ... (2 1) 2 14.1) lim .

1 2

1 12) lim .

1 1

3) lim ( 5).

6 cos cos 55.1) lim . 6.1) lim .

27 2

3 2 sin 72)lim . 2) lim .

tg24 3

5 3 73) lim

2

n

n

n

x x

x x

x

n nn

n n

n n

n n n n

x x x x

x x

x x xxx x

x xx x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + + − + − +

+ − −

+ − −

− −

+ − −−

− +− +

− ++

( )

2

0

2

5 2

4 2 2

2 0

3

23 1

4

0

3 5. 3) lim .

sin 31

3 7 4 1 cos 34) lim . 4) lim .

2 1 sin 7

7 3 4 6 75) lim . 5) lim

sin 3 23 2 1

10 7 16) lim . 6) lim .

sin( 1)2 21

2 1 27) lim . 7) lim

1 2 1 3

x

x x

x x

x x

x x

x x

xx x

x xx

x x xx x x

x xx xx x

x xxx x

x xx

→

→−∞ →π

−

→∞ →

→− →−

−

→∞ →

−+

+ − ++ −− + −

−− ++ − +

+− −

++ +

( ) ( )

12

313

1.

1

.

1 2 18) lim . 8) lim

2 1

x

xx

x x

x

x xx x

−

→∞ →

+ −−

( )

2

0 1

21

2102

tg7.1) lim . 3) lim ln ln( 1).

sin

12) lim . 4) lim (2 3 ) .

cos 1

x x

xx x

x x

x xx x

x x

e xx

x x

→ →

→ →∞

−−

−

− −+

− +


розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2 2

2 3 2

1) ( ) arctg 3 , ( ) 4 , 0.

1 12) ( ) , ( ) , .2 2

3) ( ) ln(1 ), ( ) , 0.

x x x x x

x x xx x x x

x x x x x

α = β = →

α = β = → ∞+ −

α = + β = →


2

1) ( ) .

2, 1,

2) ( ) 1, 1 1,

3, 1.

xf x

xx x

f x x x

x x

=

+ ≤ −= + − < ≤− + >

73) ( )

2

xf x

x+

=−

у точках 1 22, 3.x x= =


2

2

42 2

5

43

2

2 4 4

arccos4

3 5cos2

410.1) 3 .

5 1

ln(7 2)2) ( 4) tg lg 3 .

5 cos 42

arccos 33) sh 4 arccos .

th

4) ln( 1)arccos 2 arctg7 .

7 arccos(4 1)5) (sin 3 ) .

( 2)

( 2) ( 1)6) (arctg6 )

( 1

x

x

x

x

ey x

x x xx

y xxx

y x xx

y x x x

xy x

x

x xy x

x

−

−

= − −+ −

+= − + +

= ⋅ −

= − +

−= −

+

− += +

+ 3 2 .) ( 4)x −

11.1) arctg . 2) .x yy x y e xy−= + =

3

3

? 6 cos , cos ,12. : 1) 2)

? sin .2 sin .

tx

txx

y x t x e t

y y e ty t

′ = = = ′′ = ==

2 (5)

5 7 1 ( )

13.1) cos , ?

2) , ?x n

y x x y

y e y−

= =

= =


до кривої в заданій точці:

0

0

1) 4, 8.

2) ( sin ), (1 cos ), .3

y x x

x a t t y a t t

= − =

π= − = − =

9

4 3 20

1 1 13) , , , (1;1;1).4 3 2

x t y t z t M= = =


кції 2 2( 2) .y x x= −

2maxmin[ , ] 23

2 1 11) , ;0 .2( 1)16. ( ) ?

2) 2( 2) (8 ),[0;6].a b

xy

xf x

y x x

− = − −== − −


графік:

15

23

2

2

333

2

2

12 6( 2)1) . 5) .

82

2) 3 ln 1. 6) .3 2

43) ( 2) 3 6. 7) .

3 4

2( 1)4) ln(cos sin ). 8) .

2

xx

y y exx

y yx x x

x xy x x y

xx

y x x yx

+−

= =+

= − =− +

−= + − − =

−+

= + =−


23

2

2 2

2 34

23

2 4

2

2

2

18.1) (1 ) . 7) sin(5 3 ) .

2) . 8) .2 39 3

33) . 9) .

4 1 7 3sin 3

4) . 10) .cos 3

ln (1 )5) . 11) .

(1 )sin ctg

arccos 3 sin 36) . 12) .

3 cos 31 9

2 119.1) . 5

5 1

x

x dx x dx

dx dxxx

xdx dxx x

xe dx dx

x

dx xdx

xx x

x xdx dx

xxx

dxx

−

+ −

−+

+ −

−−

−−++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

3 3 2

2 2

2 2

3 2

2 4 2

4 3 8

4

(43 67)) .

( 1)( 12)

2 2 22) . 6) .

1 ( 1)( 1)

12 63) . 7) .

2 7 10 ( 1)( 4 13)

(2 1) 3 24) . 8) .

3 2 6 5 4

20.1) tg 3 . 4) cos sin .

2) sin . 5)4 1

x dxx x x

x x x xdx dx

x x x

dx x dxx x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xdx x xdx

x dxdx

−− − −

+ + − +− − −

−− + + − +

− − + −− + + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 2

.3 cos

3 sin 2 cos3) sin 3 cos 3 .6) .

1 cos

xx x

x xdx dxx

+−

+

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2

3 6

2 3

2

2

8 13 121.1) . 5) .

1 3 5

2) . 6) .2 3 2 1

4 1 13) . 7) .

1 1

14) . 8) .

3ln

22.1) . 4) arctg2 .

2) sin cos . 5) ( 7)cos2 .

3) . 6) arcsin 3 .x

x xdx dx

x x xdx dx

x x x x

x xdx dx

x x x

x dx xdx

x xxxdx x xdx

x

x x xdx x xdx

x e dx xdx−

− −

− − +

− − −

+ + ++ + +

+−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫


224 4

0 0

3 6 2

2 42 3

543

0 0

1) cos . 4) sin cos .

2 92) . 5) .

( 1)

3) sin 2 . 6) .2 3 1

x xdx x xdx

x xdx dx

x x x

dxxdx

x x

π π

π

+ −−

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



13 3

4 21 0

161) . 2) .

16 1

xxdx edx

x x

∞ +

−∫ ∫


кривими: 2 21) 4 , 2 .

4( sin ),2)

4(1 cos ),

4 (0 8 , 4).

3) 3 cos , sin .

y x y x x

x t t

y t

y x y

= − = −

= − = −= < < π ≥

ρ = ϕ ρ = ϕ



sin , 3 sin , 0,0 ,y x y x y x= = = ≤ ≤ π на-

вколо осі .Ox


ної обертанням кривої 10( sin ),x t t= −

10(1 cos ) (0 2 )y t t= − ≤ ≤ π навколо осі

.Ox

10

Варіант 4


( ) ( )( ) 1

1 31) cos 3 . 4) ctg 3 .2 4 4

12) 2arccos( 1). 5) .3

3) 3arctg( 2). 6) lg( 2).

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= + = +

= − =

= + = − +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 33 3 , 3 , 1 5 .z i z i z i= − + = − = − −


3 2

51) 1 2,0 arg .4

2) 1 , Im 1.

3) 2 0.

z i z

z z i z

z z

π< + ≤ < ≤

+ < − <

+ − =


( )

4

3 2 3

4 12

2 2 4

2

21 0

2 3

3 32 0

3 2

3 0

1 2 ...4.1) lim .

9 1

1 72) lim .

1

3) lim ( 1)( 4) 9 .

2 1 tg 35.1)lim . 6.1) lim .

2 sin3 2

3 2 1 12) lim . 2) lim .

8 27

7 2 4 1 c3) lim . 3) lim

2 5

n

n

n

x x

x

x x

x x

n

n

n n

n n n

n n n

x x xxx x

x x ex x x

x x xx

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞ →

+ + +

+

− +

+ + −

+ − − −

− −− −

+ + −− +

− + −+

( ) 2 2

6

2 24

2 5 3

4 2 0

22

3arctg

sin0

os2.

cos 7 cos 3

3 1 sin24) lim . 4) lim .

2 5 ( 4 )

2 75) lim . 5) lim .

sin2 sin3 5 1

2 2 tg tg6) lim . 6) lim .

ln ln6

17) lim . 7) lim(2 3 ) .

8

x x

x x

x x

x x a

xx x

x x

xx x

x x xx x x

x x e ex xx x

x x ax ax x

xx

π→∞ →

→−∞ →

→− →

−

→∞ →

−

− −− + π −

− + −−− +

− − −−− −

−−

( ) ( )13 12

2

2 1 cos) lim . 8) lim .

4 1 cos2

xx

x x

x xx

−−

→−∞ →

−+

1

2

20 1

tg ln0 0

1 1 127.1) lim . 3) lim .1 1cos 12

2) lim (arcsin ) . 4) lim(ctg ) .

x

x x

x xx x

e x x x

xx x

x x

α

β→ →

→+ →

− − − −−− −



2

3

1) ( ) sin 3 sin , ( ) 5 , 0.

2) ( ) 2, ( ) 16, 4.

3) ( ) tg , ( ) sin , 0.

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

α = − β = →

α = − β = − →

α = β = →


2

2

11) ( ) .

, 0,

2) ( ) ( 1) , 0 2,

3, 2.

xef x

xx x

f x x x

x x

−=

− ≤= − − < < − ≥

53) ( )

3

xf x

x−

=+

у точках 1 22, 3.x x= − = −


ctg 5

5 2 2

32 35

33 4

5

2 2 arcsin( 1)

25sin 4

210.1) 7 .

( 1) (3 4 )

sin 52) 7 ctg 5 .

ln(2 3)

arcsin 53) arcsin 2 ctg7 .

ch6arcsin2

4) 3 arccos2 .( 2)

5) th arctg 3 (th 5 ) .

( 3) ( 2)6) (arcctg5 )

(

x

x

x

x

ey x

x x x

xy x

x

xy x x

xx

y xx

y x x x

x xy x

−

−

−

= − −− −

= + +−

= ⋅ −

= +−

= ⋅ −

+ −= + 7 2 .

1) ( 1)x x+ −

2 24 4 2 211.1) 1. 2) .

5 3

x yx y x y+ = + =

2

2

22

1 , sh ,? 212. : 1) 2) 1? ..

ch( 2)

x

xx

x x ty tty yy

tt

= =′ = + ′′ = == +

2 (5)

( )

13.1) ( 1) ln( 1), ?

4 72) , ?

2 3n

y x x y

xy y

x

= − − =

+= =

+



0

2 30

1) 4, 3.

2) 2 , 3 , 1.

y x x

x t t y t t t

= + = −

= − = − =

11

( )0

33) cos , sin , ,2

1 1 3; ; .82 2

x y z

M

= ϕ = ϕ = π


кції 3 21 ( 9 ) 6 9.4

y x x x= − + −

1

max2min

[ , ]2

1) ( 2) ,[ 2;2].

16. ( ) ? 2( 3)2) ,[ 3;3].

2 5

x

a b

y x e

f x xy

x x

−= + −= +

= −− +


графік: 2 23

2

22

2

33

2

12 6( 1) 4 91) . 5) .

4 82 9

42) (3 ) . 6) .

3

3) ( 1) 3 3. 7) .9

14) . 8) ln .

sin cos

x

x xy y

xx x

xy x e y

xx

y x x yx

y y x xx x

−

− += − =

++ +

= − =+

= + − − =−

= =+


( )

2

22

2 1 cos

5

23

3

2

2

2

18.1) . 7) cos(2 3 ) .1

92) . 8) .

1 49 34

3) . 9) .5 23 4

4) . 10) sin .

sin ctg 25) . 11) .

cos sin 2

arctg 26) . 12) .

2 31 4

7 12 76 119.1) . 5)

2 1 (

x x

x

x

dxx dx

xdx dx

xxxdx dx

xx

e dx e xdx

x xdx dxx xx e dxdx

ex

x x dxxdx

x x

+

++

−−

+−

+++ −+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

3

3 2

2

2 2

4 2

2 4 2

2 4 3

22 2

.2)( 3)

8 1 22) . 6) .

2 1

(2 2 20)3) . 7) .

2 6 ( 1)( 2 5)

3 14) . 8) .

2 5 3 4

20.1) tg 7 . 4) cos sin .

2 tg 32) cos 5 . 5) .

sin 2 cos

x x

x xdx dx

x x x

dx x x dxx x x x x

xdx x xdx

x x x x

xdx x xdx

xxdx dx

x x

+ − +

− ++ −

+ ++ − − + +

+ ++ + + −

++

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2 2

2 3

4

3 3

9 4

2

3) cos5 sin . 6) .5 3 cos 5 sin

3 2 121.1) . 5) .

4 1 3

2) . 6) .6 8 1

1 13) . 7) .

1

14) . 8) .

2 4

arcsin22.1) ln( 2) . 4) .

1

2) cos5 . 5) (sin2 3)

dxx xdx

x xx x

dx dxx x xdx dx

x x x x

x xdx dx

xx

xdx xdx

x x xx

x dx dxx

x xdx x x

+ −+ +

+ + −

+ + −

− ++

++ +

++

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫4

.

3) ( 1) . 6) arccos2 .x

dx

x e dx xdx−+

∫∫ ∫


2

2 2 6

0 0

3 1

22

2 0

8

5

0 3

1) sin . 4) sin cos .4 4

2) . 5) 4 .( 1)

1 13) sin . 6) .

2 1 1

x xx xdx dx

dxx dx

x x

x xdx dx

x

π π

π

−−

+ ++ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



4 530 1

1) . 2) .16 1 (3 )

xdx dx

x x

∞

+ −∫ ∫


кривими:

( )2

3

3

1) sin cos , 0 0 .2

16 cos ,2) 2 ( 2).

2 sin ,

3) 4 sin 3 , 2 ( 2).

y x x y x

x tx x

y t

π= = ≤ ≤

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥



0, 5 cos , cos , 0,x y x y x x= = = ≥ навколо

осі .Ox


ної обертанням кривої ( )21 32 2

y x y= ≤

навколо осі .Oy

12

Варіант 5


( ) ( )2

11) 2 sin 3 . 4) tg .4 2 8

2) 3arcsin( 2). 5) .

13) arcctg( 3). 6) ln(2 3).2

x

y x y x

y x y e

y x y x

−

π π= − − = −

= + =

= − = +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 36 6 , 2 2 3 , 1 2 .z i z i z i= − + = − = − −


3 2

1) 2 2 3,0 arg .2

2) 2 2 , Re 2.

3) 3 12 16 0.

z z

z i z z

z z z

π< − ≤ < ≤

− > + >

+ + − =


4

3 3

5

5 2

2

2 22 0

4 2

4 21 0

3 2

1 3 ... (2 1)4.1) lim .

4 3

3 1 1252) lim .

8 ( 5)3) lim .

2 7 6 tg sin5.1) lim . 6.1) lim .

5 6 3

1 arctg62) lim . 2) lim .

1 2 3

4 283) lim

n

n

n

x x

x x

x

n

n

n n nn n

n n n nn

x x x xx x x

x x x xx x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

→∞

+ + + − +

− − +−

− − +

− + −− +

− + +− −

− +

( )

3 2 0

3

4 21

3 2 2 3

2 30

21 0

5 3

8

4. 3) lim .

tg(2 )5 3 1

2 7 1 1 cos4) lim . 4)lim .

3 2 5 tg

4 2 3 55) lim . 5) lim .

3 2 arctg

3 2 5 1 tg 16)lim . 6) lim .

3 4 1

2 5 27) lim . 7) lim

2 1

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x xxx x

x x xx x x

x x xx x x x

x xxx x

x xx

→

→∞ →

→−∞ →

→ →

−

→∞ →

π + π+ +

+ − + π+ + π

− + −− + +

+ − + −− +

+ −+ ( )

( )

3

3

12

ctg

0

7.

1

5 8 1 sin cos8) lim . 8) lim .

2 1 sin cos

x

xx

x x

x

x x xx x x

−

→∞ →

+

+ + α − + β

tg

0 0

1cos ln

02

1 sin7.1) lim . 3) lim .

tg

2) lim ( 2 ) . 4) lim (ln2 ) .

x a x

x ax x

x xxx

e x x ax x a a

x x

→ →

π →∞→ −

− − −− −

π −


розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2

3

3

1) ( ) cos 3 cos , ( ) 7 , 0.

2) ( ) 2, ( ) 1, 1.

3) ( ) arcsin ( 2), ( ) 4,

4.

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x

α = − β = →

α = + − β = − →

α = − β = −

→

9. Дослідити функцію на неперервність: 2

3

6 11) ( ) .2 1

2( 1), 1,

2) ( ) ( 1) , 1 0,

, 0.

x xf xxx x

f x x x

x x

− −= −− + ≤ −= + − < < ≥

133) ( ) 4 2xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =


37 4

cos2

24 2

32

cos 24

3 2 arcsin 3

7arcsin2

5 7 5 110.1) .

cos 32) 3 cos sin 5 .

lg(3 4)

cth ( 1)3) ctg 3 arccos 3 .

arccos23arcctg(2 5)

4) 3 ln( 3 ) .( 1)

5) cth 5 arcsin (ctg 3 ) .

( 2) (6) (sh 3 )

x

x

x

x

x xy x

exx

y xx

xy x x

xx

y x xx

y x x x

xy x

− += − +

= − −−

+= ⋅ +

−= − −

+

= ⋅ +

+= −

3

2 5

3).

( 1) ( 1)

x

x x

−− +

2 sin11.1) sin 25 . 2) .y xy y x x ye+ = =

2

4

? , sin ,12. : 1) 2)

2 cos .? .

tx

txx

y x e x t t

y ty y e

−′ = = = + = −′′ = =

2 (6)

( )

13.1) cos(2 1), ?

2) lg(5 2), ?n

y x x y

y x y

= − =

= + =


до кривої в заданій точці: 3 2

01) 2 4 7, 2.y x x x x= − + − =

13

( )

2 2

03 3

60

2 22) , , 1.1 1

3 13) cos , sin , , ; ; .2 2

t

t t t tx y tt t

x t y t z e M eπ

+ −= = =+ +

= = =


кції 2 32 3 .y x x= − −

2

maxmin[ , ]

31) ln( 2 4), 1; .216. ( ) ?

2) 2 ,[0;4].a b

y x xf x

y x x

= − + − == −


графік:

2

23 2

3 2

2

233

32 sin

2

4 41) 1 2 . 5) .

4 3 8 22) .6) 4 .

2 3

3) ( 1) 3 3. 7) .2

44) . 8) .

1

x

x

x

x xy x x y

xx x x

y y ex

ey x x y

xx

y e yx

−

−

− −= − + =

+ − −= = −

−

= − − + =−+

= =+


3

3

2

22

37 2

3

5 2

2 1 22

2 2

18.1) . 7) cos(3 2 ) .(1 )

2) . 8) .2 3 3 9

23) . 9) .

2 38 9

ln (1 )4) . 10) .

1

sin tg 45) . 11) .

cos cos 4sin2

6) . 12) .cos 4

3 2 819.1) . 5)

2 7 ( 6

x

x

dxx dx

x

dx dxx xxdx dx

xxx

e dx dxx

x xdx dxx x

xe x dx dx

xx xdx

dxx x x

−

−

+−

+ −

+−−

−

−−+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫5 2

2 3 2

3 2

2 2

3

2 4 2

35

3 4

32 2

.5)( 3)

2 4 3 32) . 6) .

4 2

( 8 22 7)3) . 7) .

5 2 7 ( 1)( 6 13)

( 5) 8 24) . 8) .

2 4

cos20.1) tg 2 . 4) .

sin

2) cos (1 ) . 5) .3 cos 4 sin

3) si

x

x x xdx dx

x x x x

dx x x x dxx x x x x

x dx x xdx

x x x x

xxdx dx

xdx

x dxx x

+ +

− + +− + +

+ + ++ + + + +

+ + −+ − +

−+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

n cos . 6) .2 4 5cos 10 sin

x x dxdx

x x+∫ ∫

2 2

2 2

6 52 2

66 5 7

3 33 2

9 8

2

2

2 2

2 2 521.1) . 5) .

2 4 8 9

2) . 6) .2 8 2 1

13) 4 . 7) .

14) . 8) .

1

ln(cos ) arcsin22.1) . 4) .

1sin

2) (sin 1) . 5) ( 2)cos 3 .

3) .x

x xdx dx

x x xdx dx

x x x x

x xx x dx dx

x x

x dx xdx

x x xx xdx dx

xx

x x dx x xdx

x e dx−

− +

− + +

+ − +

+ +−

+

++

−

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ 6) arctg 8 .xdx∫

23. Обчислити інтеграли: 12

4 8

1 02

3 13 5

2 21 1

8 33

3 0

1) arccos . 4) 2 cos .2

12) . 5) .

24

3) . 6) cos sin2 .1

xxdx dx

x x dxdx

xx x

xdxx xdx

x

π

−

−π

++−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 313

ln(3 1)1) . 2) .

3 1( 4)

xdx xdx

xx−∞

−−+∫ ∫


кривими: 21) 4 , 0, 0, 1.

2 cos ,2) 3 ( 3).

6 sin ,

3) 2 cos , 2 3 sin .

y x y x x

x ty y

y t

= − = = =

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ϕ



0,y = 2sin , ,2

y x xπ

= = навколо осі .Ox


обертанням кривої 23 (0 2)y x x= ≤ ≤


14

Варіант 6


( ) ( )2

11) 3 cos 2 . 4) ctg .3 3 6

2) 3arccos( 2). 5) .

3) 2arctg( 3). 6) ln( 2).

x

y x y x

y x y e

y x y x

−

π π= + = −

= − =

= + = − −

2. Знайти границі (4—7):


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 32 2 , 2 3 2 , 2 3 .z i z i z i= + = − − = − +


3 2

1) 1 2 3, arg .2

2) 2 2 , Im 3.

3) 3 4 8 0.

z z

z z i z

z z z

π< + ≤ < ≤ π

− > − >

− + + =

Знайти границі:

3 6 25

24

2

2

33 0

2

41 0

2

2

1 3 ... (2 1)4.1) lim .

1 2 ...

272) lim .

( ) 9

3) lim ( 3 2 ).

12 arcsin 55.1) lim ; 6.1) lim .

sin 327

2 3 1 arctg 32)lim . 2) lim .

21

3 10 33) lim .3) l

2 5 3

n

n

n

x x

x x

x

nn

n n n n

n n n

n n n

x x xxx

x x xxx

x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + + −+ + +

− +

+ +

− + −

− −−

− −−

+ ++ − ( )

( ) ( )( )1

0

3 2

42

4 2 3

2 20

2

2 0

5

0

2im .

tg 2

2 7 tg 34) lim . 4) lim .

tg5 1

3 2 15) lim . 5) lim .

3 2 5 arctg

3 26) lim . 6) lim .

sin sin5 3

37) lim . 7) lim tg .

4

18) lim

3

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

xx

x x xxx x

x x e ex x x x

x x e ex xx

xx

x

x

→

π→−∞ →

→∞ →

α β

→ →

→−∞ →

→−∞

π + π

++ −

− + −+ − −

− + −α − β− −

+ π−

+( ) ( ) 2

12 1

sin 3

0

4. 8) lim 5 .

1 cos

xx

xx x

+

→−

−

1 0

0

ln(1 ) tg27.1)lim . 3) lim .

ctg sin

2) lim ( 2arctg )ln . 4) lim (sin ) .

ax bx

x x

x

x x

xx e ex x x

x x x

→ →

→∞ →+

π− + −π −

π −



2

1) ( ) 1 cos2 , ( ) 6 , 0.

2) ( ) sin( 2), ( ) 4, 4.

3) ( ) , ( ) , 0.

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

α = + − β = →

α = − β = − →

α = + − β = →


3

2

11) ( ) .

, 0,

2) ( ) , 0 2,

1, 2.

xef x

xx x

f x x x

x x

−=

− ≤= < ≤ + >

123) ( ) 9 xf x −= у точках 1 20, 2.x x= =


2

tg 33 4

3 2

34

52

2

32

arctg2

4 2arccos2

410.1) .

( 2) 3 4

tg (2 1)2) 3 sin cos 3 .

lg(5 1)

th 33) ln( 1)arccos 4 .

arctg 3

arctg(3 2)4) 5 arcsin 3 .

2( 3)

5) log arctg (ch5 ) .

( 1) ( 2)6) (tg 4 )

x

x

x

x

ey x

x x x

xy x

x

xy x x

x

xy x

x

y x x y x

x xy x

−

= − ++ − +

−= + −

+

= − +

+= −

−

= + =

− −= −

5

2 23.

( 1) ( 4)x x+ −

11.1) arctg 5 .2) 2 2 sin 2 .x y x yy x y x += + + =

5

arcctg ,,?12. : 1) 2)

..?

x

txx

x tx ty

y ey ty

=′ == ′′ ===

2 2 1 (5)

3 ( )

13.1) (4 5) , ?

2) , ?

x

x n

y x e y

y a y

+= + =

= =


до кривої у заданій точці: 3 2

0

2 2

0

1) 5 7 2, 1.

12) arcsin , arccos ,1 1

1.

y x x x x

tx yt t

t

= − + − =

= =+ +

= −

15

( )01 13) sin , cos , tg , ; ;1 .2 2

x t y t z t M= = =


кції 2 2( 1) ( 1) .y x x= + − 3

2maxmin[ , ] 23

1) ,[ 1;1].116. ( ) ?

2) ( 1) ( 7),[ 1;5].a b

xy

x xf x

y x x

= −− +=

= − − −


графік:

( )

223

2

2 2

2

23 23

31) 2 3 ( 3) . 5) .

3 2

3 32) . 6) .

1 4 1

3) ( 3) 3 9.7) exp .2

4) arctg sin . 8) ln 1.2

xy x x y

xx x x

y yx x

xy x x y x

xy x y

x

−= − + =

−− +

= =− −

= − − + = −

= = ++


( )

3

2

2 2

5 7

37

2

2 3

3 2

2

18.1) . 7) sin(4 2 ) .2

2) . 8) .2 57 4

43) . 9) .

4 3 5 1

ln(2 1)4) . 10) .

2 1

tg55) . 11) cos 2 sin2 .

cos 5

6) . 12) .4 3 (1 )arctg

5 20519.1) . 5)

3 1

x

x

x

dxx dx

xdx dx

xxxdx dx

x x

xe dx dx

xxdx x xdxx

e dx dxe x x

x x xxdx

x

−

−+

−−

+ +−

−

− +

+ −−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

4

2 3 2

2

2 3

3 2

2 2 2

52 2 2 3

32

.( 5 6)( 1)

2 3 22) . 6) .

1

3 23) . 7) .

2 2 1 1

3 2 2 2 54) . 8) .

5 3 2 ( 1) ( 4)

20.1) tg . 4) sin 2 cos 2 .

tg2) sin 3 . 5) .

1 ctg

3) cos sin 9 .

dx

x x x

x xdx dx

x x x

dx x xdx

x x x

x dx x xdx

x x x x

x x dx x xdx

xxdx dx

x

x xdx

− + +

− ++ +

+ +− + −− − +− + − +

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 6) .3 2 cos sin

dxx x+ −∫

2 2

2 2

2

3

23 3

9 5

2

3 7 2 1021.1) . 5) .

1 4 1

2) . 6) .3 2 2 1

93) . 7) .

2 1 2 1

1 (1 )4) . 8) .

2

ln(ln ) arcsin22.1) . 4) .

1

2) ( ) . 5) arctg 3 .

3) ( 2)cos 4 . 6) si

x

x xdx dx

x x xdx dx

x x x x

x dxdx

x x x

x xdx dx

x x x xx xdx dx

x x

x x e dx xdx

x xdx x

−

− −

− + −

+ − −

+− − −

+ ++

−

+

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ n( 2) .x dx−∫


2 0

8 8

12

3 322

32 0

ln 532

0 0

1) ( 1)ln . 4) 2 sin .

3 2 32) . 5) 3 .

13) tg . 6) .

3

x x

x

x xdx xdx

x xdx x dx

x x

e exdx dx

e

π−

π

−

+ −−

−

−+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



23 43104

1) . 2) .20 9 1( 8)

x dx dxx xx

∞

− ++∫ ∫


кривими: 2 21) 4 , 0 (0 2).

2( sin ),2) 3 (0 4 ).

2(1 cos ),

3) sin 3 .

y x x y x

x t ty x

y t

= − = ≤ ≤

= − ≥ < < π = −ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 31, 1, 2,x y x y= = = − навколо осі .Ox


ної обертанням кривої ,y x y x= = на-


16

Варіант 7


( ) ( )( ) 1

11) sin 3 . 4) tg 2 .2 2 4

1 12) arcsin . 5) 5 .2 2

3) 3arcctg( 1). 6) lg(2 5).

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − − = +

= + =

= − = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 33 3 , 3 , 3 4 .z i z i z i= − + = − − = −


3 2

31) 1 2 2, arg .4 4

2) 2 2 , Re 1.

3) 2 4 0.

z i z

z i z z

z z z

π π< − ≤ < ≤

+ > + <

− + + =


2

34 4 4

3 3

2

31 13

2

22 0

2 4

4

1 3 ... (2 1)4.1) lim .

3

2 22) lim .

4 1 1

3) lim ( 4 ).

3 2 15.1) lim . 6.3)lim(1 )tg .

227 1

2 sin52) lim . 2) lim .

arctg23 10

33) lim

3

n

n

n

xx

x x

x

nn

n

n n

n n

n n

x x xxx

x x xxx x

x x xx x

→∞

→∞

→∞

→→

→ →

→∞

+ + + − − +

+ − +

+ − −

+ −

+ − π−−

− −+ −+ −+ −

( ) ( )

2

3

20

6 2 2 2

3 4

2 5

4 2 0

2 2

sin1 0

2 1 sin

3

1 cos. 3) lim .

2 4

3 5 sin tg4) lim . 4) lim .

2 4 5 ( )

2 5 2 3 25) lim . 5) lim .

sin 93 9

3 4 1 1 16) lim . 6) lim .

3 2 1

27) lim . 7) lim 2

1 3

x

x x

x x

x x

xx x

x x

x x

xx

x x x xx x x

x xx xx x

x x xx e

x xx

→

→−∞ →π

→∞ →

→− →

− π

→∞ →

−

− −+ − − π

− + −−+ −

+ + + −+ − −

+−

+

( ) ( )514

1

1

.

2 1 2 18) lim . 8)lim .

1

xx

x x

x xx x

−

→−∞ →

+ −−

202

ln

1

ln(1 )7.1) lim . 3) lim .

ctg 2 costg

cos ln( )2) lim . 4)lim(1 ) .

ln( )

x x

xx ax a x

x x xx xx

x x ax

e e

π→ →

→ →

+ − π −

−−

−



2

2 3

1) ( ) 1 1, ( ) 2 , 0.

2) ( ) tg( ), ( ) , 0.

3) ( ) , ( ) , 0.x x

x x x x x

x x x x x x

x e e x x x

α = + − β = →

α = − β = →

α = − β = →


11) ( ) .

3, 0,

2) ( ) 1, 0 4,

3 , 4.

xf x xe

x x

f x x x

x x

−=

− <= + ≤ ≤ + >

153) ( ) 2 1xf x −= + у точках 1 24, 5.x x= =


sin3

5 7

3 5 3

75 4

5

552

3 2 arcctg 3

2arctg 5

3 7

1010.1) .

( 5)

log (4 5)2) 5 cos ln 7 .

2 ctg

arccos (2 5)3) ln arctg7 .

th4 sh 3

4) log arctg .( 2)

5) ch 4 arccos 4 (3 ) .

( 3) 46) (cos2 ) .

( 1) ( 2)

x

x

x

ey x

x x

xy x

x

xy x x

xx

y x xx

y x x x

x xy x

x x

= + +−

+= + −

−= +

= −+

= ⋅ +

− += −

+ +

2

2

2

2

11.1) cos . 2) ln .

2 , 1,? 112. : 1) 2) 1? .. 11

y

x

xx

y x y e xy y

tx x ty t

ty yy tt

− = + =

= = − ′ = + ′′ = = = −+

2 (6)

( )

13.1) sin(5 3), ?

2) , ?6 4

n

y x x y

xy y

x

= − =

= =+


до кривої у заданій точці:

0

0

11) , 4.

1

2) cos , sin , , (1;0;1).t t t

xy x

xx e t y e t z e M

+= =

−= = =

17

0

3) cos 2 sin , sin 2 cos ,

.4

x t t t y t t t

t

= − = +

π=


кції 3 22 3 4.y x x= − −

( )3

maxmin[ , ]

11) ,[1;2].

16. ( ) ?

2) 4 5,[1;9].a b

xy

xf xy x x

+=

== − +


графік:

( )

2 23

2

3

12 23

2

6 6( 3) 2 61) . 5) .

22 9

ln2) ( 2) . 6) .

3) ( 4 3) . 7) .

44) ln 2 sin . 8) .

1

x

x

x xy y

xx xx

y x e yx

y x x y xe

xy x y

x

−

− −= =

−− +

= − =

= − + =

= =+


( )

2

7

2

22

35 7

23

2

27 2

3

2

2

18.1) (1 4 ) . 7) cos(5 2 ) .

32) . 8) .

3 2 7 4

3) . 9) .2 99 8

ln(3 1)4) . 10) .

3 1

cos ctg5) . 11) .

sin 2 sin

6) . 12) .7 5

2 33 61519.1) . 5)

3 1 (

x

x

x dx x dx

dx dxx xxdx dx

xx

xe dx dx

x

xdx xdx

x x

x dxe xdx

x

x x dxxdx

x

+

+

− −

− −

+−+

+

+

−+ ++

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

3 2

2

2 2

4 3

2 4 2

33

3 2

22 2

.1)( 5 6)

1 42) . 6) .

2 1 ( 2 1)( 1)

363) .7) .

2 11 20 ( 2)( 2 10)

4 34) . 8) .

2 6 8

cos20.1) ctg 2 . 4) .

sin3

2) sin . 5) .2 4 sin 5 cos

3) sin 5 c

x x x

x x dxdx

x x x x

dx dxx x x x x

x dx x x xdx

x x x xx

xdx dxx

x dxdx

x x

x

− + +

−+ − + +

− + + − +

+ + − −− − −

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫os2 . 6) .

5 3 cos

dxxdx

x−∫ ∫

2

2 2

2 2

2 3

2 6

3 23

2 9

2

2

2

5 3 2 821.1) . 5) .

2 1 1

2) . 6) .2 2 3 1

4 13) . 7) .

1 1

(1 )4) . 8) .

3arctg

22.1) ln . 4) .1

2) ( ) . 5) cos 8 .

3) ( 4)sin2 . 6) arcsin 8

x

x xdx dx

x x xdx dx

x x x x

x x dxdx

xx

dx xdx

x x x xx x

xdx dxx

x x e dx x xdx

x xdx xdx

− −

+ − +

− − +

+ −− +

++

+

+

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ .∫


12

0

2 6 2

2

13 2

2 23

133

1 2 ln 2

21 ln22

1) . 4) sin cos .

2) 9 . 5) .( 1)

3) . 6) .18 2

x

x

xe dx x xdx

xdxx x dx

x

dx dxex x

π−

π−

−

−

−−

−+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



22 54102

1) . 2) .(1 )ln (1 )(16 )

xdx dxx xx

∞

− −+∫ ∫


кривими:

( )

( )

2

3

3

1) cos sin , 0 0 .2

16cos ,2) 6 3 6 3 .

sin ,

3) 6 sin 3 , 3 ( 3).

y x x y x

x tx x

y t

π= = ≤ ≤

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥



1,x = , 0,xy xe y= = навколо осі .Ox


обертанням кривої 2( sin ),x t t y= − =

2(1 cos ) (0 2 )t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox

18

Варіант 8


( ) ( )12

41) 2cos 2 . 4) ctg 3 .3 3

12) arccos( 2).5) 2 .213) arctg( 2). 6) ln(2 3).3

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= + = −

= + =

= + = − −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 34 4 , 1 3 , 4 5 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

41) 2 2 3, arg .3 3

2) 2 , Re 2

3) 3 3 2 0.

z i z

z z i z

z z z

π π< + ≤ < ≤

+ < − <

− + − =

Знайти границі:

4

4

4 4

2

2

212

2

22 0

2

2

1 4 ... (3 2)4.1) lim .

5 1

2 22) lim .

2 2

3) lim ( ( 2) 2 3).

4 5 1 sin5.1) lim . 6.1) lim .

22 3

2 ln(1 3 )2) lim . 2) lim .

sin24 4

2 7 33) lim .

5 3 4

n

n

n

x x

x x

x

n

n n

n n

n n

n n n n

x x xxx x

x x xxx x

x xx x

→∞

→∞

→∞

π→− →

→− →

→∞

+ + + −

+ +

+ + −

+ + −

+ − − +

− − −π −− −

+ ++ ++ +− +

( )3

0

7 2 2

2 1

2 4 2

3 0

2 2

14 0

4

0

arcsin 33) lim .

2 2

5 1 14) lim .4) lim .

tg3 11 7

5 4 25) lim . 5) lim .

2arctg sin4 2 5

2 9 4 ( )6) lim . 6) lim .

5 1

37) lim . 7) lim(2

1

x

x x

x x

x x

x x

xx x

x

x x

xx

x x x xxx x

x x e ex xx x

x x x e ex e e

xe

x

→

→∞ →

−

→−∞ →

−

+→ →

−

→∞ →

+ −

+ − + −π+ −

− + −−+ −

− + −− − −+

−−

( ) ( )

2 3arcsin

5 tg2

) .

18) lim . 8) lim 2 .

2 1

x x

xxa

x x a

x xx a

π

→∞ →

+−

−

12

tg ln

0 0

17.1) lim . 3) lim( )tg .

2ln

2) lim (arctg ) . 4) lim (ctg ) .

x

x x

x xx x

x xxx

x x

→ →π

→+ →+

−π −



3 3 10

1) ( ) sin sin 5 , ( ) 2 , 0.

1 12) ( ) , ( ) , .2

3) ( ) ln(1 1), ( ) 1,

1.

x x x x x x

x x xx x x

x x x x

x

α = + β = →

α = β = → ∞+ +

α = + + β = +

→ −


3

tg2 sin21) ( ) .

1 , 0,

2) ( ) 1, 0 4,

3, 4.

x xf x

x

x x

f x x x

x x

−=

− <= + ≤ ≤ + >

143) ( ) 5 2xf x −= − у точках 1 23, 4.x x= =


3 75 2

36 35

sin 33

2

3 3 2

3 2 sin

10arcctg( 1)

2

4 ln(7 3)10.1) .

3 tg 4

arcsin 42) ctg 5 .

sh(3 1)

arcsin(3 8)3) 3 arctg 4 .

( 7)

4) log arccos 3 .2 3

5) sh arcctg 5 (ln ) .

( 7) 3 16) (sin 7 )

( 1) (

x

x

x

x

xy x

x x

xy x

x

xy x

x

ey x x

x xy x x x

x xy x

x x+

−= + +

= + −+

+= +

−

= −−

= ⋅ +

− −= −

+ + 5 .3)

( )211.1) ln arctg ; 2) 3 sin 5 .y

x y x y yx+ = + =

2

2

1 ,? sin ,112. : 1) 2)

sec .1? .1

x

xx

xy x tty tty y

t

=′ = = − =+ ′′ = = −

2 (5)

( )

13.1) ( 1) ln( 2), ?

4 72) , ?

2 3n

y x x y

xy y

x

= − − =

+= =

+



0

2 30

1) 4, 3.

2) 2 , 3 , 1.

y x x

x t t y t t t

= + = −

= − = − =

19

3 2 2 3

0

3) 5, 3 1, 2 16,

( 1;13;0).

x t t y t z t

M

= − − = + = −

−


кції 2 33 2.y x x= − −

3

maxmin[ , ]

2

1) 4 ,[ 2;2].

16. ( ) ? 102) ,[0;3].

1a b

y x xf x x

yx

= − −=

=+


графік:

3 22

3 2

2

2 2 2

2 23

21) 1 4 3. 5) .

( 1)

2 2 3 1 ln2) .6) .

2 4

4 13) . 7) .

4 2 21

4) . 8) ( 2) .sin cos

x

xy x x y

x

x x x xy y x

xxx x e

y yx x

y y x xx x

−

+= − + + =

+

+ − −= = +

−− +

= =− −

= = +−


( )

2

52

2 2

237 2

2

2 3

32

2

2

18.1) . 7) cos(7 3) .2 3

2) (1 4 ) . 8) .5 3

33) . 9) .

3 2 9 2

arctg4) . 10) .

1

cos5) . 11) .

3 sinsin ctg

sin26) . 12) .

3 sin 4

22 452 519.1) . 5)

7 3

x

x

dxx dx

xdx

x dxx

xdx dx

x x

xe dx dx

xdx xdx

xx xx

e xdx dxx

x xxdx

x

−

−

++

++

− −

+

−

++ +−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

5 3 2

3 2 3

2 2

3

2 4 2

32

3 4

22 2

.( 4 3)( 5)

2 12) . 6) .

19 9

3) . 7) .2 2 ( 1)( 4 13)

( 4) 54) . 8) .

2 7 3 3 4

sin20.1) tg . 4) .

2 cos

2) (cos 3) . 5) .7 cos 2 sin

3) sin2

dx

x x x

x x x xdx dx

x x xdx x dx

x x x x x

x dx x xdx

x x x x

xx dx dxxdx

x dxx x

x

+ + +

+ − −− −

−+ + + − +

+ − −− + + −

++

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫3cos . 6) .2 8 4 sin 7 cos

dxx dxx x− +∫ ∫

( )

2 2

6

62

2

4 2

23

6 5

2

2

121.1) . 5) .

2 1

1 22) . 6) .

1 21

4 3 43) . 7) .

6 13

2 (1 )4) . 8) .

3

ln arcsin22.1) . 4) .

1

2) arctg 4 . 5) ( 1) .

3) ( 3)cos . 6) sin

x

x dxdx

x x x x

dx xdx

xx x

x x dxdx

x x x

x xdx dx

x x xx x xdx dxx x

xdx x x e dx

x xdx x

−

+

− − +− −− ++ −

− +

+ +

+ +−

−

− +

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ( 3) .x dx+∫


4 4 4

0

5 1 2

6142

2 ln 2

21 0

1) sin cos . 4) 2 sin cos .

12) . 5) .

( 1)( 2)

3) . 6) 1 .5 4

x

x x xdx x xdx

dx xdx

x x x

dxe dx

x x

π π

−π

−− +

−+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 44 0

21) . 2) .

4 1 1

xdx xdx

x x x

∞

− + −∫ ∫


кривими:

1) 1, 0, ln2.

6 cos ,2) 3( 3).

2 sin ,

3) cos 3 .

xy e y x

x ty y

y t

= − = =

= = ≥ =ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 32, ( 1) ,x y x= = − навколо осі .Ox

27. Обчислити площу поверхні, утворену

обертанням кривої cos , 3 sinx t y t= = +


20

Варіант 9


( ) ( )3

11) 3 sin 2 . 4) tg .4 2 8

2) 2arcsin( 3). 5) 3 ;

3) 2arcctg( 2). 6) ln(5 ).

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= − − = +

= − =

= − = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 35 5 , 3 , 5 6 .z i z i z i= − = + = − +


3 2

1) 1 1 2,0 arg .2

2) 3 2 , Re 3.

3) 4 12 9 0.

z i z

z i z z

z z z

π< − + ≤ < ≤

− > + >

+ + + =


( )

3 5

6

2

2 21 0

2 3

21 0

2

2

( 4)! ( 2)!4.1) lim .

( 3)!

6 12) lim .

4 3

3) lim ( 2)( 1) ( 1)( 3) .

3 2 1 tg2 sin25.1) lim .6.1) lim .

2

1 12) lim . 2) lim .

tg 33 2

3 13) lim . 3) l

3 5

n

n

n

x x

x

x x

x

n n

n

n n

n n

n n n n

x x x xx x x

x exx x

x x

x x

→∞

→∞

→∞

→− →

→− →

→∞

+ − +

+

− +

+ −+ + − − +

+ − −− + +

− −+ +

− + ++ −

( )

0

2

3 2

3 2 3

2 0

253

3 1

0

2 1im .

ln(1 2 )

7 5 9 cos5 cos 34) lim . 4) lim .

1 4 sin

2 3 2 12 55) lim .5) lim .

2arcsin7 1

2 1 11 1 2 cos6) lim . 6) lim .

sin( 3 )2 7 15

27) lim . 7) lim(

2 3

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x x x

x x x

x x xx xx x

x xxx x

xx

→

→−∞ →π

−

→∞ →

π→ →

+

→∞ →

−+

+ + −+ −− + −

−+ ++ − −

π −− −

−

( )

1sin

ctg2sin 3

2

cos ) .

38) lim . 8) lim (cos ) .

2 4

x x

x xx

x x

x

xx

x

π

→−∞ → π

π

+−

( )

( )1

ln( 1)

30

tg

0 0

arctg 27.1) lim . 3) lim ln arctg .

12) lim . 4) lim .xe

x x

x

x x

x xx x

x

x x−

→ →+∞

→ →

−π



31) ( ) , ( ) , 0.1 4

2) ( ) sin( ), ( ) 2 , 0.

13) ( ) 3 cos , ( ) ,1

0.

x xx x xx x

x x x x x x

x x x x xx

x

α = β = →− +α = − β = →

α = − + β =+→


3

tg sin1) ( ) .

1 , 0,

2) ( ) 0, 0 2,

2, 2.

x xf x

x

x x

f x x

x x

−=

− ≤= < ≤ − >

133) ( ) 6 3xf x −= + у точках

1 23, 4.x x= =


33 4

3

22

4cos 3

2 2 32

5 ctg 72

8 2ln( 3)

4 5210.1) .

tg(11 3)2) 5 ctg cos2 .

cos 5

th (2 5)3) 2 arcctg5 .

arccos 3

arctg(4 1)4) arccos ctg 7 .

7( 4)

5) th 3 arcsin (log ) .

( 1) ( 3)6) (arcsin2 )

(

x

x

x

x

x xy xexx

y xx

xy x x

xy x x

x

y x x x

x xy x +

+ −= − −

+= + +

+= −

+= ⋅ +

−

= ⋅ −

+ −= +

3 5.

4) ( 2)x x+ +

11.1) tg 3 5 . 2) arctg .y x y y xy= + =

3

3 22

tg ,? 3 ,12. : 1) 2) 1 .? 5 3 .

sin

x

xx

x ty x t t

yy y t tt

=′ = = − =′′ = = −

2 (5)

( )

13.1) (2 3)ln , ?

2) sin2 cos( 1), ?n

y x x y

y x x y

= + =

= + + =


до кривої в заданій точці: 2

0

0

1) 2 3 1, 1.

2) 2 ln ctg 1, tg ctg , .4

y x x x

x t y t t t

= − + =π= + = + =

21

2 303) , 1 , , (1;0;1).x t y t z t M= = − =


кції 2 2( 1) ( 3) .y x x= − − 2

maxmin 23[ , ]

1) 4 ,[0;1].16. ( ) ?

2) ( 1) (5 ),[ 3;3].

x

a b

y ef x

y x x

−= −=

= + − −


графік: 3

232

32

2

2

sin cos 2 23

51) 3 ( 3) . 5) .5 3

(1 )2) ln(1 ). 6) .

( 2)

2 13) 3 3 ln . 7) .4

4) . 8) ( 2) .x x

x xy x yxx

y x x yx

xxy yx x

y e y x x−

−= − =−−

= − + =−+= − =+

= = −


( )

2

4

2

2 2

3 4

5

2 4 2

24 5

2

2

2

18.1) (1 3 ) . 7) .3 4

2) sin(8 3) . 8) .5 3

23) . 9) .

3 2 9 2

sin4) . 10) .

cos 3

arcsin 25) . 11) .

cos 3 tg 3 1 4

6) . 12) .5

6 6 63 219.1) . 5)

2 1

x

xx

x

dxx dx

xdx

x dxx

xdx dx

x xxdx

e dxx

dx xdx

x x x

ee xdx dx

e

x x dxxdx

x

−

+

−−

−−

− +

+

−

++ −+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

2

3 2

2 3 2

2 3

3

2 4 2

33

4

34 4

.( 1)( 2)

2 5 12) . 6) .

3 2

7 103) .7) .

3 12 13 8

5 2 14) . 8) .

2 5 2

3 sin20.1) tg . 4) .

2 cossin2

2) cos ( 3) . 5) .sin cos

3) cos 5 cos . 6)

x x x

x x xdx dx

x x x xdx x

dxx x x

x dx x xdx

x x x x

xx dx dxxx

x dx dxx x

x xdx

+ + −

− ++ − +

−− + +− − −− + +

++

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .3 5 cos

dxx+∫

( )2 2

3

62

2 3 2

3 2

2

2

2 3 3 121.1) . 5) .

9 2 5 1

32) . 6) .

3 15 10 4

3) . 7) .(1 ) 1

14) . 8) .

31

22.1) ln . 4) arctg .1

2) ( 1) . 5) arcsin 5 .

3) ( 4)sin2 . 6) cos(

x

x x dxdx

x x x

xdxdx

xx xdx dx

x x x x

dx xdx

x xx

x dx x xdxx

x x e dx xdx

x xdx x x

− −

− − ++

+ +− +

+ + −

++

−+

− +

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ 4) .dx∫


233 2 6

2 03

2 1

2 32

0 0

5

0 0

1) . 4) sin cos .

2) . 5) (1 ) .3 2

3) cos cos . 6) .2 3 4

xxe dx x xdx

xdxx dx

x x

xdxx x dxx

− π−

−

π

−+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 41 0

1) . 2) .( 4 5) 1

dx xdxx x x

∞

−π + + −∫ ∫


кривими:

( )( )

311) , 0 (1 ).

1 ln

3( sin ),2) 3 ( 3,0 6 ).

3(1 cos ),

3) cos , 2 cos ,4

.4 2

y y x ex x

x t ty y x

y t

= = ≤ ≤+

= − = ≥ < < π = −πρ = ϕ ρ = ϕ −

π π− ≤ ϕ ≤

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-

ртанням фігури, обмеженої кривими

2 30, 1 , ,2

y x y y x= = − = навколо осі .Ox


обертанням кривої 33x y= (0 2)y≤ ≤


22

Варіант 10


( ) ( )2

1 11) cos 3 . 4) ctg .2 3 3 3

2) 3arccos( 1). 5) 3 .

3) 3arctg( 2). 6) lg( 3).

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= + = −

= − =

= + = +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 36 6 , 1 3 , 6 7 .z i z i z i= + = − + = − −


3 2

1) 2 1 3, arg .2

2) 3 , Im 1.

3) 3 4 2 0.

z i z

z z i z

z z z

π< + − ≤ < ≤ π

− > − >

+ + + =


2 2

3 3

4

2 4 5

2 2

23 0

2

3 44 2

3

(3 1)! (3 1)!4.1) lim .

(3 )!( 1)

5 2 8 52) lim .

7

3) lim ( ( 1) 8).

3 11 6 1 cos5.1) lim . 6.1) lim .

tg2 5 3

2 7 4 sin7 sin 32) lim . 2) lim .

64

3) lim

n

n

n

x x

xx x

x

n nn n

n nn n

n n n n

x x xx xx x

x x x xx e e

x

→∞

→∞

→∞

→ →

π→− → π

→∞

− + +−

+ − ++ −

− − −

− + −− −

+ − −+ −

−

( )

2

3 0

4 2

2 23

2 7 2

5 3 0

2

25 1

2

3 10 arctg2. 3) lim .

sin(2 20 )7 2 1

3 6 sin( 3)4) lim . 4) lim .

2 3 1 5 6

3 7 55) lim . 5) lim .

sin 24 3 2

3 17 2 16) lim . 6)lim .

sin8 15

77) lim

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x xxx x

x x xx x x x

x x e ex xx x

x xxx x

xx

→

→∞ →

−

→−∞ →

→− →

→∞

+π + π+ +

+ − −+ + − +− + −

−− ++ − −

π+ +−

( )

21

sin 22

1 12 ln cos

0

. 7) lim (cos ) .

2 18) lim . 8) lim(1 sin 3 ) .

3 1

xx

xx

x x

x

xx

x

→ π

−

→−∞ →

++

−

3

5 21 0

0

5 2 tg7.1)lim ; 3) lim .

112) lim sin ln ctg . 4) lim .

xx x

xx x

x x x x xe xx

x x x

→ →

→ →∞

− − −− −−

⋅



2

2

31) ( ) , ( ) 7 , 0.2

2) ( ) arcsin(2 ), ( ) 4 , 4.

1 13) ( ) , ( ) , .7

xx x x xx

x x x x x

x x xxx x

α = β = →+α = − β = − →

α = β = → ∞− +


2

1) ( ) .sin

2 , 0,

2) ( ) , 0 1,

2 , 1.

xf x x

x x

f x x x

x x

=

≤= < ≤ + >

153) ( ) 7 1xf x −= + у точках 1 24, 5.x x= =


2

ctg 53 74 3

223 3

34

4 2

44

2 arctg(2 1)

3 4tg5

710.1) .( 4)

ctg 52) 4 ctg2 .

ln(7 2)

arctg23) log arcsin .

sh

arcsin(2 7)4) 5 arccos5 .

3( 2)

15) cth arccos (sh 3 ) .

( 2) ( 7)6) (arccos 3 )

( 1)

x

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x x

xx

y xx

y x xx

x xy x

x

−

+

= − ++

= − −−

= +

−= −

+

= ⋅ +

+ −= −

+ 2 43.

( 1)x −

11.1) 4 . 2) cos ln .yy e x xy x= + =

1,? cos ,12. : 1) 2)

? .sin .1

tx

txx

x ty x e t

ty yy e tt

= −′ = = ′′ = == −

2 (6)

( )

13.1) (1 )sin(2 1), ?

2 52) , ?3 1

n

y x x y

xy yx

= + + =

+= =+


до кривої у заданій точці:

02

2 4 2 30

3 61) 1 , 3.

1 1 1 12) , , 0.2 4 2 3

y xx x

x t t y t t t

= − + =

= − = + =

23

103) , , 2, ( ; ; 2).t tx e y e z t M e e− −= = =


кції 3 23 5.

4x xy += −

2maxmin

2[ , ]

41) ,[1;2].

16. ( ) ?1082) 2 ,[2;4].a b

y xxf x

y x x

= +=

= +


графік: 23 2

2

32( 1)

2

2 23

2

2

6 46 61) . 5) .3 24 12

2) (2 1) . 6) .1

3) ( 2 3) . 7) .

sin cos ( 1)4) arctg . 8) .

2

x

x

x xxy yxx x

xy x e yx x

y x x y xe

x x xy y

x

+

− += − = −+ +

= − + =− +

= − − =

− −= =


( )

2

22

2510 2

23

3

4 2 arcsin

2

18.1) 1 3 . 7) .4 3

2) sin(3 4 ) . 8) .3 5

23) . 9) .

5 47 2

ln ( 1)4) . 10) .

1

sin ctg75) . 11) .

cos 1 sin 7

46) . 12) .

7 2 11 5 37 85

19.1) . 5)1 25

x

x

dxxdx

xdx

x dxx

xdx dxxx

xe dx dx

x

xdx xdx

x x

x dxdx

x x ex x ddx

x

+

+−

+−

−−

++

+

+ −− −

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

( )

2

2 4 3

2

2

2 2

2

2 2 2

2 5 4

3

.( 2 3)( 4)

4 2 1 4 8 22) .6) .

2 1 ( 1)

4 3 173) . 7) .

2 3 ( 1)( 2 5)

4 1 (2 7 10)4) . 8) .

4 4 5 ( 1) ( 4)

20.1) tg 4 . 4) sin cos .

42) sin . 5)5 cos si

x

x x x

x x x x xdx dx

x x x

x x dxdxx x x x x

x dx x x dx

x x x x

xdx x xdx

dxx dxx

+ − −

− + + − −− +

+ ++ − + +

− − +− + − +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 3 .n

3) cos2 cos 3 . 6) .2 sin 3 cos 3

xdx

x xdxx x+ +

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2

4 6 3

2

2 2

3 2 5 221.1) . 5) .

3 1 3 4

2) . 6) .2 3 1

43) . 7) .

1 1

14) . 8) .

( 3)

22.1) sin 3 . 4) arcctg .

2) ctg . 5) ln( 1 ) .

3) ( 1) . 6) arccos7 .x

x xdx dx

x x xdx dx

x x x x x

x dxdx

x xx

dx xdx

x x x x

x xdx x xdx

x xdx x x dx

x e dx xdx−

− +

+ + −

+ − − −

+− + −+

+

+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫


228

21 0

1 1

32 2 31 03

2 4

21 0

ln1) . 4) cos .

4

2 32) . 5) .

( 2)(1 )

53) . 6) .

1 2 12 2

ex xdx dx

x

dx xdx

xx x

x dxdx

xx x

π

+−+

−+ +− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


розбіжність:

6

2 561 0

cos 31) . 2) .

4 5 (1 sin 3 )

xdx xdxdx

x x x

π∞

−+ + −∫ ∫


кривими:

( )( )

3

3

1) arccos , 0, 0.

8 2 cos ,2) 4 ( 4).

2 sin ,

3) sin , 2 cos ,4

30 .4

y x y x

x tx x

y t

= = =

= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ −

π≤ ϕ ≤

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обер-

танням фігури, обмеженої кривими 0,y =

sin ,0 ,y x x= ≤ ≤ π навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 31 , [ 1;1]3

y x x= ∈ −


24

Варіант 11


( ) ( )( )( )

1

11) 2 sin 3 . 4) tg .4 4 16

1 12) arcsin . 5) 4 .2 31 13) arcctg . 6) lg(3 ).2 2

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= − − = +

= + =

= − = − −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 39 9 , 3 , 2 3 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

31) 4, arg .4 4

2) 3 , Re 1.

3) 5 20 16 0.

z z

z z i z

z z z

π π> < ≤

+ < + <

+ + + =


( )2 1 1 12 4 2

4 24

23

3 3

3

22 0

2

25 0

( 1) ...4.1) lim .

1 3 ... (2 1)

3 1 81 12) lim .

( ) 5

3) lim ( 5 8 2 ).

8 1 15.1) lim . 6.1) lim .

tg sin6

4 19 5 cos 3 cos2) lim . 2) lim

2 11 5

n

n

n

n

x x

x x

n

n

n n n n

n n n n

n n n

x

x xx x

x x x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

+ + + ++ + + −

+ + − +

+ − +

+ −

− − + −+ − −+ + 2

2

2 0

2

4 2 2

5 4 3

24

2 5 7

20 0

.tg2

4 5 7 ln(1 7 )3) lim . 3) lim .

sin( ( 7))2 10

2 5 7 sin 74) lim . 4) lim .

sin 83 2

7 6 sin cos5) lim .5) lim .

ln tg2 6 1

2 2 3 26) lim . 6) lim

arcsin21 1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

xx x

x x x

xx x x

x x x x x

xx x

x

x

→∞ →

→∞ →

π→∞ →

→ →

+ − −π +− +

+ + ππ− +

+ − −+ +

+ − −

+ −

( ) ( )( ) ( )( )

3 2 tg6

3

3 ctg

0

.

1 67) lim . 7) lim .

4 3

5 38) lim . 8) lim tg .

4 4

xx

x x

x x

x x

x x

x x

x

xx

x

π+

→∞ →

+

→∞ →

−

− −+

− π−

+

( )

2

2

1

26

12 sin

0

1 1 2 sin7.1) lim . 3) lim .

cos 32arctg

2) lim(sin ) . 4) lim 3 2 .

x

x x

xx x

x x

e x

xx

x x

π→∞ →

→ →+∞

− −− π

+



3

2

3

51) ( ) 2 , ( ) , 0.4

2) ( ) 1, ( ) , 0.

3) ( ) 10 3 , ( ) , 0.

x

xx x x xx

x e x x x

x x x x x x

α = β = →−α = − β = →

α = − β = →


1) ( ) .2

sin , 0,

2) ( ) , 0 2,

0, 2.

xf xx

x x

f x x x

x

= − <= ≤ ≤ >

33) ( )4

xf xx

−= + у точках 1 25, 4.x x= − = −


23

5

22

2tg 4

4 44

14 2 ctg

2 35log2

2 210.1) 2 .

tg ( 2)1 12) 2 cos tg .3 2 lg( 3)

arcsin (4 1)3) 3 arcsin 7 .

th(5 3)

2 lg(4 5)4) arctg cos7 .

( 6)

5) sh 2 arccos (ch 3 ) .

( 1) ( 4)6) (arctg5 )

( 1)

x

x

x

x

x xy xex

xy x

x

xy x

x

xy x x

x

y x x x

x xy x

x

−= − −

−= + +

+

−= −

−+

= ⋅ ++

= ⋅ −

+ += +

− 2 5.

( 3)x +

( )11.1) ctg . 2) .ax

y xxy y a y= =

3

1,? ln ,12. : 1) 2)

ln .? 1.

x

xx

x ty x t

y t ty y t

′ = −= = =′′ = = −

3 (5)

3 5 ( )

13.1) ln , ?

2) 2 , ?x n

y x x y

y y+

= =

= =



0

0

1) 3 , 64.

2) cos , sin , .2

y x x x

x at t y at t t

= − =

π= = =

25

2

20

3) 4 sin , 4 sin cos ,

2 cos , .4

x t y t t

z t t

= =

π= =


кції 36 8 .y x x= −

maxmin[ , ] 3

1) ,[ 2;0].

16. ( ) ? 42) ,[ 1;2].( 2)

x

a b

y xe

f xy x

x

= −=

= + −+


графік: 2

2

2

12

22 23

2

2( 2)23

21) . 5) 2 ln .9 4

2) ln(sin cos ). 6) .

3) ( 4) . 7) .( 1)

4) 4 6 ( 2) . 8) .2( 2)

x

x

xy y x xx

y x x y x e

xy x x yx

ey x x yx

+

−= = −−

= − =

= + =−

= + + =+


( )

2

2

22

52 10

5 3

35

2 2

2

2

18.1) 5 4 . 7) .3 4

2) sin(3 4 ) . 8) .3 7

3) . 9) .2 75 3

ln ( 1)4) . 10) .

1cos

5) . 11) .4 sin

ctg 3 arccos 26) . 12) .

sin 3 1 4

3 3 244 319.1) . 5)

3 4

x

x

dxxdx

x

dxx dx

x

dx xdx

xx

xe dx dx

xx

e xdx dxx

x xdx dxx x

x xxdx

x

−

−

−+

−−

−+

++

−

−+ −−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

( )

2

4

2 2

2 2

5 3

2 4 2

33

5 3

2

.( 2)( 3)

4 12) . 6) .

3 ( 1)

3 133) . 7) .

5 6 ( 1)( 2 5)

1 4 4 24) . 8) .

2 1 4

sin20.1) ctg . 4) .

cos

2) sin 5 sin 7 . 5) .1 sin

dx

x x x

x xdx dx

x x x

dx x dx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xxdx dx

x

dxx xdx

x

− − −

−− −

+− + − + +

+ + + ++ + +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( )

2

2 2

2 2

2 3

6 3

34

8 7

2

2

3) (1 cos ) . 6) .5 4 sin

1 421.1) . 5) .

5 2 2 7

2) . 6) .4 8 3 1

(4 ) 33) . 7) .

1 3

1 (1 )4) . 8) .

arccos222.1) ln( 4) . 4) .

1 4

2) . 5) ( 5x

dxx dx

x

x x dxdx

x x x

dx dx

x x x x x

x xdx dx

xx

x xdx dx

x x x x

x xx dx dx

x

x e dx x−

−+

− −

− − +

− + + −

− ++ +

+ ++

+−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ )sin .

3) arctg . 6) cos( 7) .

xdx

x xdx x x dx−

∫∫ ∫


4 8

1 0

3 2 2

22 1

72 3

2203

1) ln . 4) 2 sin .2

12) . 5) .

( 1) ( 1)

cos3) . 6) .

2 3sin 1

ex

x xdx dx

dx xdx

xx x

xdx xdx

xx

π

π

−− +

++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



20 0

arctg2 ln(2 3 )1) . 2) .

2 3(1 4 )

x xdx dx

xx

∞−

−π +∫ ∫

25. Обчислити площі фігур, обмежених

кривими: 2 21) ( 1) , 1.

2 2 cos ,2) 3 ( 3).

3 2 sin ,

3) 6 cos 3 , 3 ( 3).

y x y x

x ty y

y t

= + = +

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 4 ,y x=

2 4 ,x y= навколо осі Ox .




26

Варіант 12


( ) ( )( ) 1

1) 2 cos 2 . 4) ctg 2 .3 3

1 12) arccos( 1). 5) .3 4

3) arctg( 1). 6) ln(2 5).

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= + = +

= − =

= − + = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 37 7 , 2 3 2 , 7 8 .z i z i z i= − + = − − = −


3 2

31) 1 2, arg .2 2

2) 3 3 , Im 2.

3) 6 16 16 0.

z z

z z z

z z z

π π− > < ≤

+ > − <

− + − =


1 13 31 15 5

2

3 45 4

3 32 3 3

2 2 2

3 21 0

3 2

3 21 0

4

4 3

1 ...4.1) lim .

1 ...

3 32) lim .

4 1

3) lim ( 5 3 ).

2 sin 3 tg5.1) lim . 6.1) lim .

1

1 1 cos62)lim . 2) lim .

2 4

3 2 13) lim

2

n

nn

n

n

x x

x x

x

n n

n n

n n n

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x

x x x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →

→∞

+ + ++ + +

+ − −

− − +

+ − +

− − −+

− + − −+ −+ +

− +

( )

52

20

3 2

2 2

2 5

4 30

0

2 13

0

cos( )tg. 3) lim .

arcsin2

3 4 7 ln(5 2 )4) lim . 4) lim .

10 3 22 7 3

4 3 25) lim . 5) lim .

4 5 arcsin

7 76) lim . 6)lim .

7

2 17) lim . 7) lim(1 )

2 1

x

x x

x x

x x

x b

x x b

x

x x

x x

x

x x x x

xx x

x x e e

x x x x

x a a

x bx

xx

x

π

→

→∞ →

→−∞ →

→ →

+

→∞ →

+

+ − −− −+ −

− − −+ +

− − −−

+−

−

( )

3ln(1 )

ctgsin 4

4

.

2 38) lim . 8) lim (cos ) .

7 4

x

x xx

x x

xx

x

+π

→−∞ → π

−+

( )

20 2

301 0

tgcos2

1 0

2 1 1 27.1) lim . 3) lim .

ln(1 2 ) 22 1

2)lim(1 ) . 4) lim arctg .

x

x x

x x

x x

x x e x

x xx x

x x

→ →

π

→ →+

− + − −+ −− +

−



3

3

41) ( ) , ( ) , 0.5 1

2) ( ) ln(1 ), ( ) 1 1,

0.

3) ( ) 2, ( ) 8, 8.

x xx x xx x

x x x x

x

x x x x x

α = β = →+ −α = + β = + −

→

α = + β = + → −


1) ( ) arctg .1

cos , ,2

2) ( ) 0, ,2

2, .

xf x

x

x x

f x x

x

=−

π ≤ π= < < π ≥ π

53) ( )2

xf xx

+= − у точках 1 23, 2.x x= =


22

5 22 2

325

33

32

3 tg

2 73lg( 1)

3610.1) .3 4 7

sin (5 1)12) 3 ln sin .2 tg(3 2)

ch (4 2)3) 5 arccos2 .

arctg

5 ln(5 7)4) ctg 5 arctg .

( 7)

5) ch arctg 3 (arcsin 5 ) .

( 2) ( 1)6) (arctg7 )

( 1

x

x

x

xey xx x x

xy x

x

xy x

x

xy x x

x

y x x x

x xy x

x+

= + −− −

+= + +

−

+= −

+= ⋅ +

−

= ⋅ −

+ −= +

+ 5 3 .) ( 5)x −

11.1) ln 7. 2) 2 ln .y

y y y xx− = =

4 cos ,? , 1 2 cos12. : 1) 2)

sinln .? .1 2 cos

x

xx

txy x t t

ty ty yt

′ == = + ′′ == = +

(5)

( )

13.1) (4 3)2 , ?

2) sin( 1) cos2 , ?

x

n

y x y

y x x y

−= + =

= + + =



0321) , 2.2

xy xx

+= =−

27

( )

2 20

2 3 40

2) sin , cos , .6

1 1 1 83) , , , 2; ;4 .2 3 4 3

x t y t t

x t y t z t M

π= = =

= = =


кції 2 216 ( 1) .y x x= −

maxmin 23[ , ]

1) ( 2) ,[ 2;1].16. ( ) ?

2) 2 ( 3),[ 1;6].

x

a b

y x e

f xy x x

= − −=

= − −


графік:

( )

2

2

23 2

3

2 2

3

2 232

3 6( 4)1) . 5) .

2 24 12

84 32) . 6) .4 1 ( 1) 4

3) ln 2. 7) .21

4) .8) ( 4) .(cos sin )

x

x xy yxx x

x xy yx x

xy y x ex

y y x xx x

−

−= = +− +

−= =− − +

= − =−

= = −+


2

3

2

27

2

7

2 2

4 32

41 4

2

4 3

2

18.1) . 7) cos(4 3) .5 3

2) . 8) .4 2 3 8

ln ( 1)3) . 9) .

14 7

arctg 34) . 10) .

3 7 1 9sin 3

5) . 11) .cos 3

tg 76) . 12) .

cos 7

2 3 2 7 319.1) . 5)

1 3

x

x

dxx dx

x

dx xdx

x x

dx xdx

xx

dx xdx

x x

xe dx dx

x

xe xdx dx

x

x x xdx

x

+

−

++

− +

++−

+ +

+ − +−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

( )

2

3 2

2 2

2

2 2

3

2 4 2

32 2 3

2

20.

( 2)( 2 3)

5 3 22) . 6) .

1 ( 1)

5 403) . 7) .

2 3 4 ( 2)( 2 10)

1 24) . 8) .

3 2 8

20.1) ctg 5 . 4) cos sin .

2) sin (2 1) . 5)4 sin (sin 2 co

xdx

x x x

x x x xdx dx

x x x

x x dxdx

x x x x x

x dx x xdx

x x x x

xdx x xdx

dxx dx

x x

+− − −

+ − −+ +

− +− − + − +

+ − +− − −

−+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .s )

3) sin 4 cos2 . 6) .8 4 cos

x

dxx xdx

x+

∫

∫ ∫

( )2 2

2 2

3

62 5

34 3

12 7

2 3

2

2 2

5 1 2 121.1) . 5) .

6 3 4

2) . 6) .1 2 2

3) . 7) .(1 )

(1 )4) . 8) .

1

22.1) . 4) arccos2 .

ln( 1 )2) . 5) .

sin 1

3) sin( 5) . 6) ( 5)c

x

x x dxdx

x x x

dx dx

x x x x x

dx x xdx

x xx

xdx xdx

x x x

x e dx xdx

xdx x x xdx

x x

x x dx x

+ −

− − +

+ − + −+++

+−

+ +

+

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ os .xdx∫


( )

1 0

8 6 2

0

1 5 2

3 2220 3

ln 334

ln 24

1) arctg . 4) 2 sin cos .

22) . 5) .

( 1) ( 1)( 3)

3) tg . 6) .x x

xdx x xdx

x dxdx

x xx

dxxdx

e e

−π

π

−π

++ −+

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 31 12 3

161) . 2) .

1 3(4 4 5)

dx dx

xx x

∞

−+π + +∫ ∫


кривими: 2 21) 2 3, 4 3.

6( sin ),2) 9 (0 12 ).

6(1 cos ),

13) sin .

2

y x x y x x

x t ty x

y t

= − + = − +

= − ≥ < < π = −

ρ = + ϕ


ртанням фігури, обмеженої кривою 2 2( 2) 1,x y+ − = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2 4 , 2x y y= + =


28

Варіант 13


( ) ( )1

1 1 31) sin . 4) tg 3 .2 2 3 4

2) 2arcsin( 2). 5) .

3) arcctg( 1).6) lg( 2).2

x

y x y x

y x y e

y x y x

−

π π= − + = −

= + =π= + − = − +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 32 2 , 2 2 3 , 8 9 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

21) 3, arg .3 3

2) 4 , Re 3.

3) 4 8 8 0.

z i z

z z i z

z z z

π π− > < ≤

− < − >

− + − =


2

5

5 5

2 23 3

2

24 0

2

21 0

2

1 3 5 ... (2 1)4.1) lim .

1 1

3 32) lim .

3 3

3) lim ( ( 2) ( 3) ).

16 sin 7 sin 35.1) lim . 6.1) lim .

sin20

2 1 arctg 32)lim . 2) lim .

ln(1 2 )2 7 5

3 23) lim

n

n

n

x x

x x

x

n

n n n

n n

n n

n n

x x x

x xx x

x x x

xx x

x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + + + −

+ + +

+ − −

+ + −

+ − −

− +++ −

− ++− +

+

( )

( )

2

23

2 0

3 2

4 2 3 12

4 7

3 2 0

cosec

0 0

2 3

9 9 ln(1 2 ). 3) lim .

4 arctg 32 4

5 3 7 tg ln(3 5)4) lim .4) lim .

2 3 1

7 3 4 25) lim . 5) lim .

tg 32 3 5

36) lim . 6) lim 2 5 .

1 1

27) lim . 7)li

1

x

x xx x

x x

x x

xxx

x x

x

x

x x

xx x

x x x

x x e e

x

x xx x

x

x

x

x

→

+ +→−∞ →

→−∞ →

→ →

−

→∞

+ −− +− + −+ + −− −

−+ −

−+ −−+

( )

tg2

1

22

.0

m(3 2 ) .

5 1 cos2 tg8) lim . 8) lim

3 4 sin 3

x

x

x

x x

x

x x x

x x x

π

→

→−∞ →

−

− − ++

( )0 0

2

02

ln 1 17.1) lim . 3) lim .

ln sin arcsin

1 sin ln2) lim . 4) lim(tg ) .

1 tg

x x

xx

xx x

x

x x x

a x ax

e x

→+ →

−ππ→ →

−

− −− −



2

3

3

1) ( ) sin 8 , ( ) arcsin 5 , 0.

2) ( ) 3, ( ) 27 , 27.

3) ( ) cos , ( ) , 0.x

x x x x x

x x x x x

x e x x x x

α = β = →

α = − β = − →

α = − β = →


3

2

41) ( ) .8

1, 0,

2) ( ) , 0 2,

2 , 2.

xf xx

x x

f x x x

x x

−=+

− ≤= < < ≥

233) ( ) 5xf x −= у точках 1 23, 4.x x= =


sin 2

3 4

443

54 3

3

cos 4 32

3 4 ln

3arcsin

4

810.1) 4 .( 5)

cos (7 1)2) 5 8 sin ctg 3 .

lg( 5)

arcsin 43) sin 3 arctg2 .th

4 log (3 1)4) arcctg7 .

( 1)

5) th 4 arcctg (arccos5 ) .

( 3) ( 1)6) (log 2 )

x

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x xx

xy e x

x

y x x x

x xy x

−

−

= + −+

−= + +

+

= ⋅ −

+= +

+

= ⋅ −

+ −= +

4

2 7 .( 1) ( 2)x x+ +

2 211.1) cos . 2) sin sin .y x xy y x x y+ = =

35cos ,? 1,12. : 1) 2)

4 sin .? ln .

x

xx

x ty x t

y ty y t

′ == = − = ′′ = =

1 2 (5)

( )

13.1) sin(2 3 ), ?

2) lg( 4), ?

x

n

y e x y

y x y

−= + =

= + =



01) 2 3, 1.y x x= + = −

29

02

0

2) arcsin , arccos , 1.1

3) ch , sh , , 0.

tx y t t

t

x t y a t z at t

= = =+

= = = =


кції 3 22 3 5.y x x= + −

max2min

[ , ] 2

1) ( 1) ,[0;3].

16. ( ) ? 7 72) ,[1;4].2 2

x

a b

y x e

f xx xyx x

−= −= − −=

− +


графік: 2

3

21

2

22( 2)

2

2 cos 23

3 71) ( 2). 5) .2 1

12) . 6) ( 2) .2

12 33) (2 5) . 7) .12

4) . 8) ( 3) .

x

x

x

xy x x yx

x xy y x ex x

xy x e yx

y e y x x

−

− +

−

−= + = +− −= = +

−−= + =+

= = +


2

53

2

2 2

34 5

53 4

2

2

2

2

18.1) . 7) .5 3 (1 4 )

52) . 8) cos(3 4 ) .

3 42

3) . 9) .3 7 6 7

ln ( 1)4) . 10) .

1

ctg 65) . 11) .

sin 6arccos 4 cos 3

6) . 12) .2 sin 31 16

3319.1) . 5)

9 7

x

x

dx dx

x x

dxx dx

x

xdx dx

x x

xe dx dx

x

xdx e xdxx

x xdx dx

xx

xxdx

x

+

+

− −

−−

− −

++

−−−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

( )

2

2 3

2 2

2

2 3

2

2 4 2

33 2 3

34 4

15.

( 1)( 5 6)

5 6 2 12) . 6) .

4 ( 1)

4 123) . 7) .

3 8 3 8

4 5 2 44) . 8) .

4 6 10 5 4

20.1) tg . 4) sin cos .3

sin22) sin 6 . 5) .

4 sin cos

3) cos 4

dx

x x x

x x xdx dx

x x x

dx x xdx

x x x

x dx x xdx

x x x x

x dx x xdx

xdxxdx

x x

−− + +

− + ++ +

− −− − +

+ + ++ − + +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

sin 5 . 6) .3 sin 4 cos

dxx xdx

x x−∫ ∫

2 2

2 2

2

3 6

3 2 34

2 6

2

2

2 3 4 121.1) . 5) .

5 2 2

2) . 6) .4 4 ( 1) 1

93) . 7) .

3 3

(1 )4) . 8) .

1

ln(sin )22.1) . 4) arctg .

sin

2) . 5) ( 9)sin .cos

3) cos( 4) . 6) (

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dxdx

x x x

xdx xdx

x x x

xdx xdx

x

xdxx xdx

x

x x dx x

+ +

+ + −

− + + − +

−+ + +

+−

+

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 4) .xe dx∫


8 4 4

02

1 24 32

20 1

32 4

2102

1) ( 2)cos . 4) 2 sin cos .2

3 12) . 5) 2 .

( 1)

33) cos cos . 6) .2 2

xx dx x xdx

x xdx x dx

x

dxx x dxx x

π π

π

π

+

+ −−

+

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



52304

1) . 2) .3 44 4 5

xdx dx

xx x

∞

−+ +∫ ∫


кривими:

( )

2

3

3

1) 36 , 0 (0 6).

32 cos ,2) 4 ( 4).

sin ,

3) cos , sin , 0 .2

y x x y x

x tx x

y t

= − = ≤ ≤

= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤


ртанням фігури, обмеженої кривими 20, 1, 1 , 2,x x y x x y= = = − = − на-



обертанням кривої 3( sin ),x t t y= − =

3(1 cos ) (0 2 )t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox

30

Варіант 14


( ) ( )1

2 11) 2 cos 2 . 4) ctg .3 2 6

2) 2arccos( 1). 5) .

3) arctg( 1) . 6) ln(2 5).3

x

y x y x

y x y e

y x y x

+

π π= − = +

= + =π= + − = − +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 33 3 , 3 , 9 8 .z i z i z i= − = + = − +


3 2

21) 4, arg .2 3

2) 4 2 , Im 1.

3) 2 0.

z z

z i z z

z z z

π π> < ≤

− > − >

+ − + =


2

23

4 8

3

2

2 23 0

3

22 0

2

2

1 2 ... (2 1) 24.1) lim .

3

92) lim .

3 9 1

( 1) ( 1)( 3)3) lim .

4 11 3 1 cos55.1) lim .6.1) lim .

2 3 2

8 arcsin 42) lim . 2) lim .

tg52 9 10

3 5 73) lim .

3 1

n

n

n

x x

x x

x

n n

n

n n

n n

n n n n

n

x x x

x x x

x x

xx x

x x

x x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →

→∞

+ + + − +

+−

− +

+ − − −

+ − −+ −

−− +

+ −+ + ( )

( )

0

2

4 sin22

4 3

2 0

4 0

5

4

1 3 13) lim .

cos ( 1)2

5 3 1 ln cos4) lim . 4) lim .

1 2 3 1

8 7 35) lim . 5) lim .

tg2 sin3 5 1

2 1 3 sin2 2 sin6) lim . 6) lim .

ln cos52 2

7) lim . 7) lim (cos3

x

xx x

x x

x x

x x

x

x x

x

x

x x x

x x

x x e e

x xx x

x x x

x xx

x

x

→

→∞ → π

−

→∞ →

→ →−

→∞ → π

− +π +

− ++ − −

+ − −−− +

+ − −− −

−

( ) 2

5tg5 sin2

2 1ln(1 )

0

) .

38) lim . 8) lim(2 cos 3 ) .

4 5

x x

x

x

x x

x

xx

x+

→∞ →

+−

−

( )

520

34 ln

0

( )7.1) lim . 3) lim .

22) lim . 4) lim arctg .

x xx

x x

xx

x x

a x ax e

x

x x

−→∞ →

+→ →∞

+ −

π



2

1) ( ) sin 3 sin , ( ) 10 , 0.

2 42) ( ) , ( ) , 4.2 4

3) ( ) arcsin( 9 3), ( ) ,

0.

x x x x x x

x xx x xx x

x x x x

x

α = + β = →

− −α = β = →+ +

α = + − β =

→


21

2

1) ( ) .

1, 0,

2) ( ) 1, 0 1,

, 1.

xf x e

x x

f x x x

x x

=

+ <= + ≤ <− ≥

213) ( ) 4 3xf x −= − у точках 1 21, 2.x x= =

Знайти похідні функцій (10—13): cos 53 4

3 2

327

33

sin 3 4 45

4 sin

arccos(2 3)5

910.1) .5 2

sin (4 3)2) cos ctg 3 7 .

ln(7 1)

arctg (2 1)3) cos 4 arcctg .

ch

7 log (2 5)4) 2 arcsin .

( 1)

5) cth 7 arcsin (arctg 3 ) .

( 26) (log 3 )

x

x

x

x

ey xx x x

xy x

x

xy x x

x

xy x

x

y x x x

xy x

−

−

= + −− −

+= − +

+

+= ⋅ −

−= +

−

= ⋅ −

−= −

5 23

4 3

) ( 3).

( 1) ( 7)

x

x x

++ −

11.1) 4 7 . 2) ln .y n n ne x y x y a y= − + =

2

22

sh ,? 5 cos ,12. : 1) 2)

th .? 3 sin .

x

xx

x ty x t

y ty y t

′ == = ′′ == =

3 2 (5)

( )

13.1) sin(2 3 ), ?

32) , ?7

x

n

y e x y

xy y

x

+= + =

+= =−



04

02

61) , 1.1

1 ln 3 2 ln2) , , 1.

xy x

x

t tx y ttt

+= =+

+ += = =

31

2 303) 1, 5, , (0;6;1).x t y t z t M= − = + =


кції 2 32 12 8 .y x x= − −

2maxmin[ , ]

1) ,[ 2;2].916. ( ) ?

2) 4 2,[ 1;7].a b

xyxf x

y x x

= −−=

= − + −


графік: 3

3 2

22

223

2

1) 4 3. 5) .3

( 2)162) . 6) .129 8

9 6 33) ( 1)( 2) .7) .2 13

ln4) arctg cos . 8) .

xey x x yx

xxy y

xx

x xy x x yx x

xy x y x

−= + + = −

−+= = +−+ −= − + =

− +

= − =


23

2

22

6 2

5

5 43

2 2

3 2

2

18.1) . 7) .4 7 (3 4 )

2) . 8) cos(2 5 ) .2 92

3) . 9) .7 62 5

4) . 10) .( 1) ln( 1)

tg 4 arcsin5) . 11) .

cos 4 1cos 4 sin2

6) . 12) .sin 4 1 cos

( 3)19.1) .

4 1

x

dx dx

x x

dxx dx

x

xdx dx

xx

dxe dx

x x

x xdx dxx x

x xdx dxx x

x dx

x

+

− −

+−

++

+ +

−

+−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

( )

2

2

3 3

2

2

2 2

5 3 2

2 4

53 3 3

2

( 19 6)5) .

( 1)( 5 6)

1 32) . 6) .

3 ( 1)( 1)

13 403) . 7) .

8 2 ( 1)( 4 13)

5 1 2 24) . 8) .

4 1 1

20.1) tg 2 . 4) cos 2 sin 2 .

2) sin . 5)2 1 4 cos

x x dx

x x x

x xdx dx

x x x

x x dxdx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x

xdx x xdx

x dxdx

x

− +− + +

− −+ − −

− +− − + − +

+ − +− + −

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .(cos sin )

3) cos cos5 .6) .7 sin 3 cos

x x

dxx xdx

x x

−

−

∫

∫ ∫

2 2

2 2

6 5

6 52 3 3

4 3

2 8

2

2

5 3 5 321.1) . 5) .

4 3 2 4 5

2) . 6) .2 4 3 ( 1) 1

13) . 7) .

(1 )( 1)

14) . 8) .

3 5arccos

22.1) tg . 4) .1

2) ln( 1) . 5) ( 7)sin2 .

3) cos( 2)

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx x xdx

x xx

dx xdx

x x xx

x xdx dxx

x x dx x xdx

x x

− −

− + −

+ − + − −

+ ++−

++ +

−

+ +

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫6. 6) .xdx xe dx−∫ ∫


82 4 2 6

0 0

0 0 5 2

231 1

04

2102

1) sin 4 . 4) 2 sin cos .

2 32) . 5) .

1 1 ( 2)

2 83) sin 3 cos 5 . 6) .

1

x xdx x xdx

dx x xdx

x x

xx xdx dx

x x

π π

− −π

−

− ++ + −

−

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 tg

22 430 0

( 2)1) . 2) .

cos( 4 1)

xx dx e dx

xx x

π∞+

+ +∫ ∫


кривими:

( ) ( )( )

1) arccos , 0, 0.

3 cos ,2) 4 ( 4).

8 sin ,

3) 2 cos , 2 sin ,4 4

3 .4 4

x y x y

x ty y

y t

= = =

= = ≥ =π πρ = ϕ − ρ = ϕ −

π π≤ ϕ ≤


обертанням фігури, обмеженої кривими 2, 1,y x y= = 2,x = навколо осі Ox .


обертанням кривої 3 3cos , sinx t y t= =


32

Варіант 15


( ) ( )2

11) 3 sin 3 . 4) tg .3 3 12

2) 3arcsin( 2). 5) 2 .

3) arcctg( 2). 6) lg( 3).

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= + = −

= − = −

= + = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 34 4 , 3 3 3 , 8 7 .z i z i z i= + = − + = − −


3 2

1) 3 4, arg .4 2

2) 4 , Re 2.

3) 5 15 18 0.

z z

z z i z

z z z

π π+ > < ≤

+ < − <

+ + + =


3 3 4

3 3

3 54

2 2

2

2 23 0

2 5

22 0

3

5 3 24.1) lim .

1 3 ... (2 1)

4 1 27 42) lim .

3) lim ( 3 2 3).

3 7 6 cos2 cos 45.1) lim . 6.1) lim .

2 7 3 3

9 17 2 12) lim . 2) lim .

sin22

2 7 23) lim

3

n

n

n

x x

x

x x

x

n n

n

n n

n n n

n n n

x x x x

x x x

x x e

xx x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

→∞

+ − ++ + + −

+ − +

− +

+ − − −

− − −− +

+ − −+

+ −

( )

2

3 20

3 2 5 3 2

2 1

3 2

2 1

2

1 0

2s

0

sin 7. 3) lim .

4

2 3 5 3 34) lim . 4) lim .

tg3 4 1

3 7 1 ln 15) lim . 5) lim .

1 cos2 3 4

5 2 10 76) lim . 6) lim .

2 tg arctg8 3

3 47) lim . 7) lim 2

3 2

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x x x

x x

xx x

x x

xx x

x

x xx

xe

x

→

−

→∞ →

→∞ →

−

→− →

→∞ →

− − + π

+ + −π− +

+ + −+ π− +

+ − −−− −

−−

+( )

( ) ( )

ctgin

5 tg6

3

.

2 9 28) lim . 8) lim .

3 1 3

xx

xx

x x

x x

x

π

π

→−∞ →

− −+

( )

31 0

tg2 tg

1 0

1 ( 1) 2( 1)7.1) lim ; 3) lim .

1 sin2

2)lim tg . 4) lim .4

x x

x x

xx

x x

x x e ex x

x x

→ →

π

→ →+

− + − −π−

π



3

3 2

1) ( ) cos7 cos , ( ) 2 , 0.

2) ( ) sin , ( ) , 0.

3) ( ) arctg( 27 2 3),

( ) , 0.

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

α = − β = →

α = β = →

α = − − −

β = →


1

2

2 11) ( ) .2 1

, 0,

2) ( ) 1, 0 1,

1, 1.

x

x

f x

x x

f x x x

x x

−=+

− <= + ≤ < + ≥

513) ( ) 2 1xf x −= − у точках 1 20, 1.x x= =


35 2

tg5

354

3

33 5

4

sin 44

3 2 arctg2

64ctg2

5

(2 5)410.1) .

ctg (2 3)12) 4 cos tg .3 log ( 2)

arccos 43) tg 2 arcsin .sh

ln(7 2)4) 2 arcctg .

2( 6)

5) sh 2 arcsin 7 (lg ) .

8( 2)6) (ln( 7))

( 1) (

x

x

x

x

xy x

ex

xy x

x

xy x xx

xy x

x

y x x x

x xy x

x

+= − −

−= − +

+

= ⋅ −

+= +

−

= ⋅ −

− += + +

− 2 .3)x +

211.1) 4 sin ( ) . 2) tg .tgxx y y xyy

+ = =

2

1,arctg ,?12. : 1) 2) 1ln(1 ).? .

x

xx

x tx ty

y ty yt

= −=′ = ′′ = += =

3 (5)

( )

13.1) (2 1)cos , ?

2) lg(3 1), ?n

y x x y

y x y

= + =

= + =



011) 2 , 1.y x xx= + =

33

02 2

20

1 3 22) , , 2.2

3) , cos , 1, (1;1; 1).t

tx y ttt t

x e y t z t M

+= = + =

= = = + −


кції 2 2(2 1) (2 1) .y x x= + −

maxmin

23[ , ]

1 ln 11) , ; .16. ( ) ?

2) ( 2) (5 ),[1;5].a b

xy ex ef x

y x x

+ = == − −


графік:

( )

3 2

2

23

2

232 23

2

3 2 21) . 5) 2 ln .12

3 6( 1) 12) . 6) ln .16 17

23) ( 1) . 7) .1

84) ln( 2 cos ). 8) .4

x x x xy yxx

x xy yxx x

xy x x yx

xy x yx

+ − −= = +−

+ += = − −+ +

−= − − = +−= − =

+


2

3

2

2 2

75 2

43

2

34

2

2 3 2

18.1) . 7) .5 3 2 5

2) . 8) cos(3 5) .2 7

3) . 9) .7 3 7 3

ln ( 1)4) . 10) .

1

ctg 35) . 11) sin 4 cos 4 .

sin 3

arcsin 26) . 12) .

1 43 6

19.1) . 5)1 4 2

x

x

dx dx

x x

dxx dx

x

xdx dx

x x

xe dx dx

x

xdx x xdxx

xe xdx dx

x

x xdxdx

x x x

−

−

− −

++

− −

++

−−

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

3 2

2 3 2

2 3

4

2 4 2

35

5 3

22 2

.2

3 22) . 6) .

1 2

3 93) . 7) .

5 6 1

4) . 8) .2 2 5 5 4

cos20.1) tg 2 . 4) .

sin

2) sin 1 . 5) .2 4 cos 3 sin

3) cos sin 9 . 6) .2 4 sin 3cos

x

x x xdx dx

x x x x

dx xdx

x x x

xdx x dx

x x x x

xxdx dx

x

dxx dxx x

dxx xdx

x x

− −− +

− + +−

− − −

+ + + +

++

+ +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2 2

3 23

3 4 3

2

2

2

4 2 3 221.1) . 5) .

1 4 4 2

2) . 6) .4 2 4 ( 1) 1

13) 9 . 7) .

( 1)

14) . 8) .

1 1

arccos ln ln(ln )22.1) . 4) .

1

2) ( 2) . 5) ( 4)sin 3 .

3) cos( 3)

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

xx x dx dx

x x

dx xdx

x x

x x x xdx dx

xx

x e dx x xdx

x x d

−

− +

− + −

+ + + + +−

−+

++ −

−

+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫. 6) arctg7 .x xdx∫ ∫


2 2

2 8

1 0

1 6

2 2 20 2 3

113 83

4 2304

1) ln . 4) cos .

2) . 5) .3 2 9

sin3) . 6) .

cos 2 3 2

x xdx xdx

xdx dx

x x x x

x dxdxx x x

π

π

+ + −

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


розбіжність: 1 2arcsin2 1

2 20 0

3 21) . 2) .

4 1

xx edx dx

x x

∞ − π−+ π −∫ ∫


кривими:

1) arctg , 0, 3.

6( sin ),2) 6 (0 12 ).

6(1 cos ),

3) 4 sin 3 , 2 ( 2).

y x x y x

x t ty x

y t

= = =

= − ≥ < < π = −ρ = ϕ ρ = ρ ≥


обертанням фігури, обмеженої кривими 3, ,y x y x= = навколо осі .Ox

27. Знайти площу поверхні, утвореної

обертанням кривої 2 cos2ρ = ϕ навколо

полярної осі.

34

Варіант 16


( )( )

( )

111) 2cos .4) 3 .2 4

1 12) arccos .5) 2arctg( 3).2 2

13) ctg . 6) ln( 5).4 24

xy x y

y x y x

y x y x

−π= − − =

= + = −

π= + = +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 35 5 , 2 3 2 , 7 6 .z i z i z i= − + = − − = −


3

31) 2 3, arg .4

2) 4 3 , Im 3.

3) 2 4 0.

z i z

z i z z

z z

π− > < ≤ π

+ > − <

− − =


4 83

2

2

22 0

3

3 2 21 2

2

(3 )! (3 1)!4.1) lim .

(3 1)! (3 2)!

7 81 12) lim .

( 4 ) 5

3) lim ( 2 3).

4 7 2 arctg25.1) lim . 6.1) lim .

tg 33 8 4

2 tg( 2)2)lim . 2) lim .

1 4

18 53) lim

n

n

n

x x

x x

x

n n n

n n

n n n

n n n

n n n

x x x

xx x

x x x

x x x x

x x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →−

→∞

− −− + −

− −

+ −

+ − −

+ −+ +

+ − +− − + −

+

( )

2 0

2

3 4

3 2

0

5 12

3 1ln(1 sin

0

4 2. 3) lim .

3arctg8 3 9

6 5 2 2 164) lim . 4) lim .

sin4 2 1

2 3 15) lim . 5) lim .

7 5 sin 3 sin5

4 3 16) lim . 6)lim .

log1 2

2 17) lim . 7) lim(cos )

2 4

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

xx x

x x

xx x

x x e e

x x x

x x

xx

xx

x

→

→∞ →

→−∞ →

→ →

+→∞ →

+ −− −

− + −π+ −

− + −+ −

+ − −− −

−+

( )

2 )

1tg tg 3

2

.

3 48) lim . 8) lim(sin ) .

6

x

xx x

x x

xx

x

−

π→−∞ →

−+

( )( )

tg2

3 1

sin30 0

ln7.1) lim . 3)lim ctg .

4

arcsin2 2arcsin2) lim .4) lim ctg .

x

x x

x

x x

x xx

x xx

x

π

→∞ →

→ →+

π

−



1( 1)1) ( ) , ( ) 1, 0.

ln

2) ( ) sin , ( ) , 0.

3) ( ) tg( 2), ( ) 4, 4.

xxx x e x

x

x x x x x x

x x x x x

−−α = β = − →

α = − β = →

α = − β = − →


2

1) ( ) arctg .1

3, 0,

2) ( ) 4 , 0 2,

2, 2.

xf xx

x x

f x x x

x x

= − + ≤= − < ≤ − >

423) ( ) 8 1xf x −= − у точках 1 22, 3.x x= =


2

tg 33

3 2

335

2

27 3

57

5 4 3

75arcctg

4

810.1) 4 .4 3 5

lg12) sin tg .7 sin 5

cth ( 2)3) ctg arccos2 .

arccos 3

4 lg(3 7)4) 3 arctg2 .

( 1)

5) th 4 arccos 3 (ctg7 ) .

1( 3)6) (ln(5 4))

( 2) (

x

x

x

x

ey xx x x

xy x

x

xy x x

x

xy x

x

y x x x

x xy x

x x

−

−

+

= − +− +

= + −

−= ⋅ +

+= −

+

= ⋅ +

+ −= − −

− + 3 .8)

2711.1) sin 3 . 2) 2 sin .y xy y x yx= + =

2

2 2

arcsin ,? cos ,12. : 1) 2)

? 1 . tg .

x

xx

x ty x t

y y t y t

= ′ = = ′′ = = − =

2 (5)

( )

13.1) ( 3)ln( 3), ?

2) sin2 cos( 1), ?n

y x x y

y x x y

= + − =

= + + =



04

3 30

2( 2)1) , 1.

3( 1)

2) sin , cos , .6

xy x

x

x a t y a t t

− += =

+π= = =

35

3 2 2

0

3) , ( 1) , 1,

( 8;1; 5).

x t y t z t

M

= = + = +

−


кції 3 22 9 12 .y x x x= + + 24

maxmin[ , ] 2

1) ,[1;3];16. ( ) ?

42) ,[ 4;2].4

x x

a b

y e

f xxyx

−==

= −+


графік:

( )

223

323

2

23

22

211) 6 ( 2) 4 . 5) .7 9

2) ( 6) . 6) .9

13) (4 ) . 7) .1

14) . 8) ln( 1).

(sin cos )

x

xy x x yx

xy x x yx

xy x e yx

y y xx x

−

−= − − = +

= + =−

−= − = +

= = +−


5

2

2 2

4 3

3

tg3

2

2 2 7

2

2

18.1) 3 2 . 7) .3 2

2) . 8) sin(5 3) .3 1

3) . 9) .2 9 6 1

4) . 10) .( 2) ln( 2)

5) . 11) sin 2 cos2 .cos

6) .12) .cos 4 tg 4 (1 )arctg

4 323 119.1) . 5)

4

x

x

dxxdx

x

dxx dx

x

xdx dx

x x

dxe dx

x x

edx x xdxx

dx dx

x x x x

x xxdx

x

−

−−

−+

+ +

+ +

+

+ +−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

2

4

2 3 2

2 3

4 3

2 4

3 4 2

22

52.

( 6 5)( 3)

1 22) . 6) .

1 2

6 93) . 7) .

4 25 8

( 3) 2 44) . 8) .

5 4 1

20.1) tg 7 . 4) cos 2 sin 2 .

2) cos 2 . 5) .3 cos 2

3) sin 4 cos2 . 6)4 cos

dx

x x x

x xdx dx

x x x x

dx xdx

x x x

x dx x x xdx

x x x

xdx x xdx

dxxdx

x

dxx xdx

x

+ + +

+ ++ − +

−+ + +

− + − +− + −

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .3 sinx+∫

( )

2 2

2 2

32 2 3

4 7

2

2 2

2

5 721.1) . 5) .

2 3 2 1

2) . 6) .2 3 2 ( 1) 1

3 1 23) . 7) .

3 1 2 3 1( 1)

14) . 8) .

7arccos

22.1) ln( 1) . 4) .1

2) sin . 5) ( 3)sin 5 .

3) . 6) ax

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dxdx

x xx x

dx xdx

x x xx

x dx dxx

x xdx x xdx

xe dx+

− −

+ − +

+ − + + −

+ ++ + +−

+−

+−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ rcsin 5 .xdx∫


2 2

82

1 0

10 12

3 2 2 2183

26

2106

ln( 1)1) . 4) sin .

4( 1)

32) . 5) .

6 1

3) . 6) .cos 3 1

x xdx dx

x

x dxdx

x x x x x

dx dx

x x x

π

π

++

+− − +

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 5 20 1

2 arctg21) . 2) .

1 4 4 4

xdx dx

x x x

∞

π + − −∫ ∫


кривими: 3

3

3

1) ( 2) , 4 8.

4 2 cos ,2) 2 ( 2).

2 2 sin ,

3) 4 cos 3 , 2 ( 2).

y x y x

x tx x

y t

= − = −

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 4 , 0,y x x= − = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2 4 , 2y x x= + =


36

Варіант 17


( ) ( )( ) 2

11) 3 sin 2 . 4) tg .3 3 3

1 12) arcsin . 5) 3 .2 313) arcctg( 3). 6) lg(3 2).2

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − + = −

= − =

= + = − −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 36 6 , 1 3 , 6 5 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

1) 2 4, arg .3

2) 5 2 , Re 1.

3) 2 8 32 0.

z i z

z i z z

z z z

π+ > < ≤ π

− < + >

+ + − =


( )3 33 2

4 5

5 4 2

2

2 21 0

3 2

2 30 2

4 2

4

2 24.1) lim .

1 2 ... 3

7 42) lim .

5

( 9) ( 1)( 5)3) lim .

5 4 1 tg 3 sin 35.1) lim . 6.1) lim .

3 2 2

4 2 5 sin( 2)2) lim . 2) lim .

3 7 8

3 6 23) lim

n

n

n

x x

x x

x

n

n

n n

n n

n n n n

n

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →−

→∞

+−

+ + +

− + +

+ +

+ − − +

+ − −+ −

− + ++ +

− +

( )

0

3

22

sin2 sin

4 3 0

3 2

37 0

3

2 sin( ( 1)). 3) lim .

ln(1 2 )4 3

11 3 1 ln2 ln4) lim . 4) lim .

52 7 sin cos2

10 75) lim . 5) lim .

tg3 2 1

3 2 7 36) lim . 6) lim .

2 3 tg

2 47) lim . 7) lim

2

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

xx

x x x

xx x x

x e e

xx x

x

x x x

x

x

→

π→∞ →

→∞ →

→ →

−

→∞

π +++ −

+ + − π− −

− −+ +

− − −+ − +

− ( )

( )

12 2ln 1 tg

30

31 1.

1

(2 ) .

28) lim . 8)lim(2 1)

3 10

xx

x xx x

x x

e

xe

x

π+

→

− −→∞ →

−

−−

+

( )

( ) ( )

sin

3002

tgtg

0 0

7.1) lim ln ctg . 3) lim .2

12) lim . 4) lim sin2 .

x x

xx

xx

x x

a ax x

x

xx

π →→ +

→ →+

−π−



31

4 5

1) ( ) 2 1, ( ) tg , 0.

( 1)2) ( ) , ( ) 1, 1.

ln

3) ( ) 4 sin , ( ) ln(1 ),

0.

x

x

x x x x

xx x e x

x

x x x x x

x

−

α = − β = →

−α = β = − →

α = − β = +

→


2

11) ( ) .

2

, 1,

2) ( ) ( 2) , 1 4,

3 , 4.

xf x

x

x x

f x x x

x x

+=

− ≤= − < ≤ − >

433) ( ) 5 1xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =


sin 43 73 4

243

4

3cos 2

24 2

4

2 arctg2

3 47

22 5

410.1) .

(2 5)

ln ( 1)12) ctg sin .3 cos 3

th (2 2)3) 3 arcsin 3 .

arcsin 5

log ( 1)4) ln arccos 3 .

5( 3)

5) ch 5 arctg (th ) .

( 1) ( 2)6) (log

( 1) ( 6)

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x

x

xy x x

x

y x x x

x xy

x x

−= − −

−

+= − +

+= −

+= ⋅ +

−

= ⋅ −

− −= +

+ −arcsin26 ) .xx

211.1) tg 4 5 . 2) sin( ) .y y x x y y= − + =

? 3( sin ), ,12. : 1) 2)

ln .3(1 cos ).?

x

xx

y x t t x t

y ty ty

′ = = − = ′′ == −= 2 2 (5)

( )

13.1) (1 ) , ?

2) , ?9(4 9)

x

n

y x x e y

xy y

x

= − − =

= =+



04

11) , 1.

1

xy x

x

+= =

+

37

0

20

2) ( sin cos ), (sin cos ),

.4

3) ( cos ) , , sin , (1;0;0).

x a t t t y a t t t

t

x t t y t z t M

= + = −π

=

= + = =


кції 2 312 8 2.y x x= − − 5

4maxmin 2[ , ]

81) ,[ 3; 1].16. ( ) ?

82) ,[ 4; 1].2

a b

xyxf xxy x

−= − −=

= − + − −


графік: 23 2

2 2

22

2

423

3

2( 2)sin cos

3 6( 5) 61) . 5) .6 17 1

2 12) . 6) ( 1) .2

3 13) ( 4)( 2) . 7) .

4) . 8) .2( 2)

x

xx x

x xy yx x x

xy y x ex

xy x x yx

ey e yx

− +− −

− += =− + +

−= = +−

+= − + =

= = −+


44

3

2 3

3

2

2 32

33 5

2

2

2

18.1) . 7) sin(5 3 ) .3 5

ln (3 1)2) 1 3 . 8) .

3 1

3) . 9) .3 2 5

54) . 10) cos 2 sin2 .

3 5

5) . 11) .sin 3 ctg 35 1

arctg26) . 12) .

1 4

2 415 219.1) . 5)

9

x

x

x

dxx dx

x

xxdx dx

x

dx edx

x e

xdxx xdx

x

dx dx

x xx

xe dx dx

x

xxdx

x

−

−+

++

+

+ −

−

−

++−

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

( )

2

4 2 4 3

2 2

2 2

3

2 4 2

34

3 2

42

91.

( 4)( 2 3)

2 1 4 8 12) . 6) .

1 ( )( 1)

4 103) . 7) .

2 8 30 ( 2)( 2 10)

2 1 4 34) .8) .

2 8 6 4

2 sin20.1) tg . 4) .

3 cos

2) cos . 5)2 7 cos 1

x dx

x x x

x x x xdx dx

x x x x

dx x dx

x x x x x

x x xdx dx

x x x x

x xdx dx

x

x dxdx

x

−− + −

− − + −+ + +

−− + + − +

− + −+ + +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 .6 sin x∫

2 2

2 2

2 2 23

3

3 2

3

2 sin 3cos3) sin 3 cos2 . 6) .

1 cos

1 3 521.1) . 5) .

1 4 3 6

2) . 6) .2 8 1 ( 1) 1

3) . 7) .1 (2 1) 2 1

1 14) . 8) .

1

ln22.1) . 4) ( 4)cos2 .

2) arctg

x xx xdx dx

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx dx

x x x x

x xdx dx

x x x x

xdx x xdx

x

− ++

+ +

+ − −

− + + + −

− + − +

+ +−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫2

7

2 . 5) (cos2 3) .

3) . 6) ln( 7) .x

xdx x x dx

xe dx x dx−

+

−

∫ ∫∫ ∫


32

2

4 6 2

0

33 2

24 2

112

42 23

23

6

1) arctg(2 3) . 4) 2 sin cos .2 2

2) . 5) 1 .

3) ctg . 6) .6 10

x xx dx dx

dxx dx

x x

x dxxdx

x x

π

π

π

−

−+

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 7 21

2

4 sin1) . 2) .

(1 ln ) cos

dx xdx

x x x

∞ π

π+∫ ∫


кривими: 21) 9 , 0, [0;3].

2 cos ,2) 2 ( 2).

2 2 sin ,

3) cos2 .

y x x y x

x ty y

y t

= − = ∈

= = ≥ =ρ = ϕ



2, 0, 0,x y x y+ = = = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2 32 ,2

y x x= = на-


38

Варіант 18


( ) ( )( ) 1

1 31) cos 3 . 4) ctg 3 .2 3 4

12) 2arccos( 2). 5) .5

13) arctg( 1). 6) ln(2 ).3

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= − = +

= + =

= − = − −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 37 7 , 2 3 2 , 5 4 .z i z i z i= − = + = − +


3 2

21) 1 2, arg .3

2) 5 3 , Im 2.

3) 2 16 0.

z i z

z z i z

z z

π− + > < ≤ π

− > + >

− + =


6

5 6

2

214

4 2

21 0

2

2

5 13 3 24.1) lim ... .

6 36 6

4 42) lim .

6 6

3) lim ( ( 5) ).

4 5 1 sin25.1) lim . 6.1) lim .

43 2 1

4 5 1 arcsin22)lim . 2) lim .

tg 41

8 4 53) lim

4 3

n n

nn

n

n

x x

x x

x

n n

n n

n n n

x x x

xx x

x x x

xx

x x

x x

→∞

→∞

→∞

π→− →

→ →

→∞

+ + + +

+ + −

+ − −+ −

− − −π −+ −

− +−

+ −−

( ) 2

0

2

3 24

4 2 4 2

2 0

23 1

3 4cosec

0

cos2 cos. 3) lim .

1 cos2

8 3 5 ln tg4) lim . 4) lim .

cos24 2 1

5 35) lim . 5) lim ,

2 tg sin1 2 3

4 3 3 2 26) lim . 6)lim .

ln9

57) lim . 7) lim(3 2cos )

x

x x

x x

x x

x

x x

xx

x x

x x

x

x x x

xx x

x x e e

x xx x

x

xx

xx

x

→

π→∞ →

→−∞ →

→ →

+

→∞ →

−−+

+ +− +

− −−+ +

− − −−

+−

( ) ( )6 1 1

2

2

.

2 38) lim . 8) lim tg .

24

xx

x x

x xx

+π−

π→−∞ →

−+

2

0 01

tg2 11

4

17.1) lim sin ln ctg . 3) lim .

sin2

2) lim(tg ) . 4)lim( 1) .x

x

x x

x e

xx

e xx x

x

x x

→ →

−π →→

− −⋅

−



2

2

2

2

1) ( ) 1 tg 2 1, ( ) arctg ,

0.

2) ( ) cos2 , ( ) arctg , 0.

3) ( ) tg2 sin2 , ( ) ln(1 ),

0.

x

x x x x

x

x e x x x x

x x x x x x

x

α = + − β =

→

α = − β = →

α = − β = +

→


1

2

11) ( ) .

1

2, 1,

2) ( ) 1, 1 2,

5, 2.

xx

f xe

x x

f x x x

x x

−=

+ − ≤ −= − − < ≤− + >

33) ( )

4

xf x

x=

− у точках 1 24, 5.x x= =


( )

2

25

4

2 25

2cos 3

2

3 32 2

arcsin 74 3

2 25arccos 4

4

5 3 510.1) 3 .

log (7 5)2) 4 ctg2 .

tg

cth (3 1)3) ctg 8 .

arccos

6 log (2 9)4) log arctg 4 .

( 4)

15) cth 2 arctg cth .

( 2) ( 1)6) (lg(4 3))

( 3)

x

x

x

x

x xy xx e

xy x

x

xy e x

x

xy x x

x

y x x x

x xy x

x

−−= − +

−= + −

−= +

+= −

+

= ⋅ +

− += − −

− 3 .( 4)x −

11.1) 7 ctg . 2) arcsin .y x y x y y= − + =

sin ,? sin cos ,12. : 1) 2)

cos sin . ln cos .?

x

xx

x ty x t t t

y t t t y ty

′ == = − = + =′′ = 2 (6)

( )

13.1) ( 2 )sin 5 , ?

2) lg(1 ), ?n

y x x x y

y x y

= − =

= + =



116

02

9) , 1.

1 5

xy x

x

+= =

−

39

( )

0

2

0

1 12) , , 1.

3) sin , cos , sin cos ,

1 1 1; ; .2 22

t tx y tt t

x t y t z t t

M

+ −= = = −

= = =


кції 2 2(2 1) (2 3) .y x x= − −

maxmin 23[ , ]

1) ,[ 1;2].16. ( ) ?

2) 2 ( 6),[ 2;4].

x x

a b

y e e

f xy x x

−= + −=

= − −


графік: 3 2

2

32

2 23 3

32

2 3 2 11) . 5) ln .1 3

42) 2 8 ( 2). 6) .4

33) ( 1) ( 2) .7) 2 ln .

44) sin . 8) .( 1)

x x xy y x xx

xy x x yx

xy x x y x

xy x yx

− − += =−

= + + =+

+= − − − =

= =+


3

2

22

1 43 2

2 4

6 2

2 3

2

2

18.1) . 7) 1 3 .3 5

22) . 8) sin(3 6) .

7 2

3) . 9) .3 53 8sin 4

4) . 10) .cos 4

tg65) . 11) .

cos 6 ( 3)ln ( 3)

arctg 36) . 12) .

1 9 7 3

2 510 519.1) . 5)

5 1

x

dxxdx

x

dxx dx

x

xdx dx

xx

xe dx dx

x

x dxdxx x x

x xdx dx

x x

x xxdx

x

−

+−

+−

−+

− −

+ +++

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫( )

( )

2

4 4 3

2 2

2

2 2

2 2 2

54 4 3

42

5.

( 2)( 2 3)

2 4 8 12) . 6) .

4 ( 1)( 1)

( 23)3) . 7) .

3 9 6 ( 1)( 6 13)

2 7 24) . 8) .

4 16 9 ( 1) ( 4)

20.1) ctg 2 . 4) cos sin .

2) cos 3 . 5) .1 3 cos

dx

x x x

x x xdx dx

x x x

dx x dx

x x x x x

x dx xdx

x x x x

xdx x xdx

dxxdx

x

++ + −

+ + −− − +

+− + + + +− −

+ − − +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

3) cos cos7 . 6) .5 sin 3 cos

dxx xdx

x x+ +∫ ∫

2 2

2 2

2 3

2 3 6

3 3

2

2

2

5 4 2 421.1) . 5) .

1 3 5

2) . 6) .5 6 ( 1) 1

93) . 7) .

1

14) . 8) .

7arctg

22.1) ln ; 4) .1

2) ( 2) . 5) ( 4)cos2 .

3) arcsin2 . 6) cos(

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x x xdx dx

x xx

x dx xdx

x xx

x xx xdx dx

x

x e dx x xdx

xdx x x

−

− +

− + −

− + − + +

− −− −+

−

+

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ 6) .dx+∫


3 27

42 0

3 0

8 4 43220

2

5 2

2 33,5 0

1) . 4) ( 3)sin .1

2) . 5) 2 sin cos .(9 )

3) . 6) .7 13 1 ( 1)

x dxx xdx

x

dxx xdx

x

xdx dx

x x x x

π

π−

+−

+

− + + + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



3 2304

1) . 2) .4 35

dx dx

xx

∞

−++∫ ∫


кривими:

( )

2 21) 4 , 2 .

4( sin ),2)

4(1 cos ),

4, (0 8 , 4).

3) 3 cos , sin 0 .2

y x y x x

x t t

y t

y x y

= − = −

= − = −= < < π ≥

πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤



3 sin , sin , 0, 0 ,y x y x y x= = = ≤ ≤ π на-



обертанням кривої 33 (0 1)y x x= ≤ ≤


40

Варіант 19


( ) ( )( ) 1

1 2 11) sin 3 .4) tg .2 3 2 12

12) 2arcsin( 2). 5) .3

3) 3arcctg( 1). 6) lg(3 2).

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − − = −

= − =

= + = − +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 32 2 , 2 2 3 , 4 3 .z i z i z i= + = − + = − −


3 2

1) 1 3, arg .2

2) 5 2 , Re 3.

3) 5 10 12 0.

z i z

z i z z

z z z

π− + > < ≤ π

+ < − <

− + − =


42 3

3 6 3

3 3 3

2 2

2 21 0

2 3

23 4

4 2

2 5 ... 2 (2 3)4.1) lim .

( 3)

42) lim .

1 5

3) lim 8( 2 1).

7 4 3 cos 4 sin 45.1) lim . 6.1) lim .

2 3 1 3

3 5 12 642) lim . 2) lim .

tg( 4)5 6

8 43) lim

n

n

n

x x

x x

x

n n

n n

n n

n n n

n n n

x x x x

x x x

x x x

xx x

x x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →

→∞

+ + + + ++

−

+ + −

+ + − −

+ − ⋅+ +

− − −−− +

−

( )

( )

4 0

3 2

2

2

3 2 0

sin2 tg2

232

4 2

3 1 1. 3) lim .

sin( ( 2))2 1

6 5 34) lim .4) lim .

sin 5 sin 32 7

5 3 3 75) lim . 5) lim .

arcsin 3 54

5 1 46) lim . 6) lim .

22 15 ln

77) lim .

1

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

xx

x x e e

x xx x

x

x xx x x

x e e

xx x

x

x

→

π

→−∞ →π

→∞ →

π→ →

−

→∞

+ + −π ++

+ − −−− +

+ −−− −

+ − −+ − π

−+ ( )

( ) ( )

21

sin ln cos

0

2 3 11 1 .

1

7) lim 2 3 .

38) lim . 8) lim 2 1

3 1

x x

x

x xx x

x x

xe

x

→

−− −

→−∞ →

−

+−

−

( ) 2

2

04

1sin

0 0

sec 2 tg7.1) lim . 3) lim ln .

1 cos 4

tg2) lim(ctg ) . 4) lim .

xx

xx

x x

x xx x

x

xx

x

π →+→

→ →

−+


розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 53 2 3

2

3 3

1) ( ) cos , ( ) arcsin , 0.

2) ( ) ln(2 3 8), ( ) 3,

3.

3) ( ) ln(1 sin ), ( ) tg , 0.

xx e x x x x

x x x x x

x

x x x x x x

α = − β = →

α = − − β = −

→

α = + β = →


2

1) ( ) .tg

2, 2,

2) ( ) , 2 1,

2, 1.

xf x

x

x x

f x x x

x

=

+ ≤ −= − < ≤ >

2

23) ( )

1

xf x

x=

− у точках 1 21, 2.x x= =


53 2 2

2 3

55

5 25

4 2 arcsin(3 2)

2 2arctg 5

7

410.1) .( 4)

log (4 2)2) tg ln2 2

ctg2

sh3) cos arccos 4 .arccos 4

3 log (5 4)4) lg( 2) arcsin .

( 3)

5) sh 5 arccos 3 (cos ) .

( 1) 26) (ln )

( 3)

x

x

x

ey xx x x

xy x

x

xy x xx

xy x x

x

y x x x

x x xy x

x

−

−

= + +− +

−= − −

= ⋅ +

−= − ⋅ −

−

= ⋅ +

+ += −

+ 2.

( 4)x −

311.1) 6 cos . 2) 3 4 0.xy y y y x− = − + =

2

sin2 ,? sin ,12. : 1) 2)

2 cos .cos .?

x

xx

x ty x t t

y ty ty

=′ = = + = +′′ == (5)

( )

13.1) ( 7)ln(3 4), ?

2) , ?5

n

y x x y

xy y

x

= + + =

= =+



0

3 30

1) 3( 2 ), 1.

2) 1 , , 2.

y x x x

x t y t t t

= − =

= − = − =

41

2

0

3) 2 1, 3 2, 1,

(9; 13;26).

x t y t z t

M

= − = − + = +

−


кції 3 227 ( ) 4.4

y x x= − −

[ ]2

maxmin[ , ]

2

1) ln , ;1 .

16. ( ) ? 2 (2 3)2) ,[ 2;1].

4 5a b

y x x e

f x x xy

x x

−== +

= −+ +


графік: 2

23

2 3 13

42(1 )

3

2

111) 6 6 9 ( 1) . 5) .4 3

2) ( 1)( 2) . 6) ( 1) .

3) (2 1) . 7) .1

8( 1)4) ln( sin cos ). 8) .

( 1)

x

x

xy x x yx

y x x y x e

xy x e yx

xy x x y

x

+

−

−= − − − = −

= + − = −

= − =−

−= − − =

+


2

5

2

2 2

2 53

32 3

35 3

2

2

2

18.1) . 7) .5 4 (3 )

142) . 8) cos(5 8) .

2 75

3) . 9) .5 3 2 3

4) . 10) .( 5)ln ( 5)

5) . 11) sin 5 cos5 .sin ctg

arctg6) . 12) .

1

1 2 ( 1019.1) . 5)

3 2

x

x

dx dx

x x

dxx dx

x

xdx dx

x x

dxe dx

x x

dxx xdx

x x

xe xdx dx

x

x x xdx

x

−

−

+ −

−−

+ −

+ +

+− +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

3 4 3 2

3 2

2

2 2

3 2

2 4 2

4 4 2

4

17).

( 8 15)( 1)

3 2 12) . 6) .

5

(2 7 7)3) . 7) .

2 2 5 ( 1)( 2 5)

(2 1) 2 4 24) .8) .

3 6 9 3 4

20.1) ctg 2 . 4) sin 2 cos 2 .

2) sin 2 . 5)2 sin

dx

x x x

x x x xdx dx

x x x

dx x x dx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xdx x xdx

dxxdx

++ + +

− + − −+ +

+ +− + − + +

− + + −− − + −

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

3

.3 sin cos 1

sin23) . 6) .

5 3 cos 4 sincos 2

x x x

x dxdx

x xx

+ −

+ +

∫

∫ ∫

2 2

2 2

43 2

2 3 3

9 4

2

5 1 7 221.1) . 5) .

3 5 1

2) . 6) .3 2 ( 1) 1

3) . 7) .11

14) . 8) .

4

122.1) ln . 4) arcsin2 .

1

2) arctg . 5) ( 4)cos 3 .2

3) sin( 7) . 6) ( 3)sin

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx xdx

xx x

x dx xdx

x x x

xdx xdxx

xdx x xdx

x x dx x xd

− −

− − +

− − − +

−−+

−−+

+

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ .x∫


2 8 2 6

12

3 4 2

42 2

3 0

22 ln 3

1) ln . 4) 2 sin cos .

42) . 5) .

1

3 2 13) . 6) .

14 5

e

x

x

x xdx x xdx

dx xdx

xx

x edx dx

ex x

π

π

−−

− −+− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 2 31

71) . 2) .

( 4 )ln5 ( 1) ln2

dx xdx

x x x

−

−∞− −∫ ∫

25. Обчислити площі фігур, які обмежені

кривими:

( )2

3

3

1) sin cos , 0 0 .2

16 cos ,2) 2 ( 2).

2 sin ,

3) 4 sin 3 , 2 ( 2).

y x x y x

x tx x

y t

π= = ≤ ≤

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥



5 cos , cos , 0, 0,y x y x x x= = = ≥ навколо

осі .Ox


ної обертанням кривої 2 4 cos2ρ = ϕ на-

вколо полярної осі.

42

Варіант 20


( ) ( )2

11) 2cos 2 . 4) ctg .4 3 12

12) arccos( 3). 5) 2 .313) arctg( 2). 6) ln(2 3).2

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= + = +

= + =

= + = +

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 33 3 , 3 , 3 2 .z i z i z i= − + = − − = −


3 2

31) 1 2, arg .4 4

2) 5 , Im 1.

3) 2 2 3 0.

z i z

z z i z

z z z

π π+ − > < ≤

+ > + <

+ − + =


44

2

3 2 4

2

24 0

2

35 0

(2 1)! (2 2)!4.1) lim .

(2 3)! (2 2)!

11 25 812) lim .

( 7 ) 1

( 1)( 3) ( 2)3) lim .

2

3 3 4 1 15.1) lim .6.1) lim .

sin2 tg212

30 cos22) lim . 2) lim

125

n

n

n

x x

x x

n n

n n

n n n

n n n n

n n n n

n

x x

x xx x

x x

x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

+ + ++ − +

+ −

− − +

+ + − +

− − − − −− −

+ 2

2

2 30

2 2

4 3 2

4 2 5

2 0

2

20 0

cos 4.

3

3 4 2 sin(5( ))3) lim . 3) lim .

6 5 1 1

3 4 7 ln(9 2 )4) lim . 4) lim .

sin22 1

3 55) lim . 5) lim .

2 sin tg2 3 7

2 4 2 26) lim . 6) lim .

sin 33

7) l

xx x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

x x e

x x x

xx x

x x e e

x xx x

x x

xx

→∞ →

→∞ →

−

→−∞ →

→ →

−

− + + π+ + −+ − −

π− ++ −

−− −

− + + −

( )( )

23 2

0

sec

2

2im . 7) lim 2 cos .

6 58) lim . 8) lim(1 cos 3 ) .

10

xx

x x

x

x x

xx

x

xx

x

−

→∞ →

π→∞ →

+−

++

−

( )( )

20 0

1

0

3 ln 1 17.1) lim . 3) lim .

2 3 ln sin sin

2) lim (ln ) . 4) lim 4 1 .

x x

xxxx x

x

x x x x

x

→+ →

→∞ →

+−

−

−



6 61) ( ) 1 1, ( ) 1, 0.

1 1 12) ( ) sin , ( ) arctg , .1

3) ( ) ln cos6 , ( ) 1, 0.

x

x

x x x e x

x x xx x x

x x x e x

α = + − β = − →

α = β = → ∞+α = β = − →


2

1) ( ) .arctg

, 1,

2) ( ) ( 2) , 1 3,

6, 3.

xf x

x

x x

f x x x

x x

=

≤= − < ≤− + >

323) ( ) 2xf x += у точках 1 22, 1.x x= − = −


a43 7

4 3

323

33 2

25 5

3 3

3 arccos(3 1)

2 43arcsin

3

710. ) .(3 5)

ln (5 5)2) ctg cos5 4 .

1tg

ch3) sin 7 arcctg5 .arctg5

log ( )4) log arctg 7 .

7( 3)

5) ch 9 arctg 3 .

( 1) ( 2)6) (lg2 )

( 5) ( 1)

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x xx

x xy x x

x

y x x x

x xy x

x x

−

= + −+

−= − +

= ⋅ −

+= +

+

= ⋅ −

+ −= −

− + 7 .

3 3 311.1) 3 7 . 2) cos 3.y xy x xy= + + =

3

3

? , sin ,11. : 1) 2)

2 cos .? 3 .

tx

txx

y x e x t t

y ty y t e

′ = = = − = −′′ = = +

(5)

( )

14.1) (3 7)3 , ?

5 12) , ?

13(2 3)

x

n

y x y

xy y

x

−= − =

+= =

+



0

11) , 2.

3 2y x

x= =

+

43

20

0

2) ln(1 ), arctg , 1.

3) cos , sin , ln cos , (1;0;0).

x t y t t t

x t y t z t M

= + = − =

= = =


кції 21 (12 ).8

y x x= −

3 1

max3min

[ , ]2

1) ,[ 4;0].

16. ( ) ? 2( 2)2) ,[ 5;1].

2 5

x

a b

y x e

f x xy

x x

+= −= +

= −+ +


графік: 2

3 2

2 3

22

( 2)2

23

3 21) 6 8. 5) .1

2 9 1 22) . 6) .1

3) ln( 2 6). 7) .2

sin cos4) . 8) ( 3) .

2

x

x xy x x y

x

x xy yxx

ey x x yx

x xy y x x

− +

− += + + = +− −= =−

= − + = − +−

= = −


2

3

2

2 2

3

3

2 2

6 4 5 2

2

2 2

18.1) . 7) .6 33

2) . 8) cos(3 7) .8 9

3) . 9) .3 6 8 3

ln ( 5) cos54) . 10) .

5 sin 5

ctg 45) . 11) .

sin 4 (1 ) arctg

6) . 12) .

1 3 619.1) . 5)

4 1 ( 3

x x

dx dx

xx

dxx dx

x

xdx dx

x x

x xdx dx

x x

x dxdxx x x

e dx e xdx

x x dxdx

x x x

− −

−+

−+

− −−

−

+

−− + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫3 3 2

2 3 2

2

2 2

2

2 4 2

33

3 2

32 2

.2)( 1)

1 4 2 12) . 6) .

1

( 3 6)3) . 7) .

2 3 2 ( 1)( 6 13)

(2 1) 4 24) . 8) .

3 2

cos 220.1) ctg 3 . 4) .

sin 2sin2

2) cos (1 ) . 5) .sin 4 cos

3) co

x

x x x xdx dx

x x x

dx x x dx

x x x x x

x dx xdx

x x x x

xdxxdx

x

xdxx dx

x x

−

+ − + −+ −

+ −− − + + +

− −+ − −

−+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫2 sin

s 3 cos5 . 6) .1 cos

xx xdx dx

x

++∫ ∫

( )

2 2

2 2

62

4 3

3 3 2

9 8

2

2

2

2 4 821.1) . 5) .

16 4 5

2) . 6) .2 3 ( 1) 1

3 1 193) . 7) .

3 1 3 1

4 14) . 8) .

arcsin222.1) .4) ( 1)ln .

1 4

2) ( 3)cos . 5) ( 8)sin 3 .

3)

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dxxdx

x xx

x xdx dx

x x x

x xdx x x xdx

x

x xdx x xdx

x

− −

− + −

− + − + −

+ +−+ − +

+ +

− +−

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫cos( 4) . 6) ln( 8) .x dx x dx− +∫ ∫


32

0

4 83

3 0

10 2

3 2112

22 25

2302

1) ( 2) . 4) 2 cos .

2) . 5) .1 (1 )

( 1)3) sin . 6) .

3 4

x

x e dx xdx

xdx dx

x x

x dxxdx

x x

π−

−

− −

π

−

−

− −

−+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 2 21 03

1) . 2) .(1 9 )arctg 3 9 9 2

dx dx

x x x x

∞π

+ − +∫ ∫


кривими:

( )

21) 4 , 0, 0, 1.

2 cos ,2) 3 ( 3).

6 sin ,

3) 2 cos , 2 3 sin , 0 .2

y x y x x

x ty y

y t

= − = = =

= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤



2sin , , 0,2

y x x yπ

= = = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 6 sinρ = ϕ навко-


44

Варіант 21


( ) ( )2

1 11) 3 sin .4) tg .2 3 4 24

2) 2arcsin( 3). 5) 2 .

3) arcctg( 2). 6) ln(3 2).

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= − + = −

= − =

= − − = − −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 34 4 , 3 3 3 , 2 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

31) 2 1 3, arg .4 4

2) 2 , Re 2.

3) 3 18 0.

z z

z i z z

z z z

π π< − < < <

− < + >

+ + − =


( )

2

3 3

5 54

4 2 2 2

2 3

2 32 0

2 2 2

3 24 0

3

3

1 2 ...4.1) lim .

3

3 8 32) lim .

4 5

3) lim 3 ( 1)( 2) .

2 9 10 ln(1 4 )5.1) lim . 6.1) lim .

2 3 10 2

3 28 cos cos 22) lim . 2) lim .

64

7 43) lim

3

n

n

n

x x

x x

x

n

n n

n n

n n

n n n n

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + +− +

+ − ++ − +

+ − − −

− + ++ −

+ − −−+

− +

( ) ( )

2

2

0

5 3 4

3 2

122 1

4 2 1

2 5 2

320 0

c

0

1 cos. 3) lim .

sin2

8 4 3 1 24) lim .4) lim .

2( 2 2)2 7

2 5 35) lim . 5)lim(ln ) .

3 2

4 2 4 96) lim . 6) lim .

sin tg16 4

2 3 57) lim . 7) lim 6 cos5 3

x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

xx x

x xex

x x x

x

x xx

xxx

→

−

→−∞ →

+→∞ →

−

→ →

→∞ →

−

− + −−+ −

− +− +

+ − −−+ −

−−

−

( )

2tg

4 3 22 2

2

.

3 78) lim . 8) lim(2 1) .

4

x

x xx x

x x

xe

x

+− −

→−∞ →

+−

+

50 61 2 ln .1000

cos2 2

0 1

50 497.1) lim . 3) lim

100 99

2) lim(1 2 )ctg . 4)lim(1 ) .

x

x x

xx

x x

x xx

x x

e x x x

+→ →∞

π

→ →

− +− +

− − −



4 6

1) ( ) cos2 , ( ) arctg , 0.

12) ( ) 1 , ( ) ,1

.

3) ( ) ln 1 sin , ( ) tg , 0.

xx e x x x x

x x x xx

x

x x x x x x

α = − β = →

α = + − β =+

→ ∞

α = + β = →


1) ( ) .1 2

cos , ,4

2) ( ) 1, 3,4

2 5, 3.

xf x

x x

f x x

x x

=−

π < π= < < − ≥

323) ( ) 4 2xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =


5 4

245

23 2

243 7

2

14 arctg

3 4cth( 3)

ctg5410.1) 3 .(3 5)

lg( 2)2) 5 tg 4 .

sin2

th ( 3)3) ln( 9)arcctg 2 .

arcctg

log (2 5)4) 4 arcsin 5 .

( 4)

15) th arcctg (cos(2 1)) .

( 4) ( 2)6) (sin 8 )

(

x

x

xey xx x

xy x

x

xy x x

x

xy x x

x

y x xx

x xy x

x

+

= + +−

+= − −

+= + +

+= − −

−

= ⋅ + −

+ −= −

2 53.

1) ( 2)x+ −

211.1) ln . 2) .x yyy x e y e xx= + + = +

3

2

cos ,? ln ,12. : 1) 2)

ln sin .? ln .

x

xx

x ty x t t

y ty y t t

′ == = = ′′ = = 2 (5)

2 3 ( )

13.1) ( 3)ln(2 5), ?

2) , ?x n

y x x y

y a y+

= − + =

= =

14. Скласти рівняння дотичної та норма-

лі до кривої в заданій точці:

021) , 2.

1

xy x

x= = −

+

45

( )0

2 30

2) (1 sin ), cos , 0.

13) 20 , 16 , , 10;4; .8

x t t y t t t

x t y t z t M

= − = =

= = =


кції 2 21 ( 4) .16

y x x= −

2

maxmin 23[ , ]

21) 2 ,[ 1;3].116. ( ) ?

2) 2( 1) ( 4),[0;4].a b

y x xx

f xy x x

= − + −−== − −


графік:

( )

23 2

2

3 2

2

2 23 32

2 sin

3 6( 1) 3 21) . 5) .18 24

2 3 2 12) . 6) ln 1 .21

43) ( 2) ( 3) .7)2 324). . 8) 2 ln .4

x

x x xy yxx x

x x xy yxx

y x x yx x

y e yx

−

+ − += − = ++ +− − += = −

−

= − − − =+ −

= = −


3

2

2

cos2

5 7 7

3

2 2 3

4

2 2

18.1) . 7) sin(4 2 ) .2

42) . 8) .

2 5 4 3

ln(2 1)3) . 9) .

2 17 4sin

4) . 10) .5 1

5) . 11) cos 2 sin2 .

tg56) . 12) .

cos 5 (1 )arctg

5 619.1) . 5)

3 2 (

x

x

dxx dx

x

dx xdx

x x

dx xdx

xx

dx xdx

ex

e dx x xdx

x dxdxx x x

x x dxdx

x x

−

−+

− +−

−−

+

+

−−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫4 2

2 3 2

2

2 2

3

2 4 2

34

3 2

42 2

.1)( 2)

1 2 6 2 12) . 6) .

1 2

(4 38)3) . 7) .

2 6 11 ( 2)( 2 10)

( 4) 2 2 54) . 8) .

3 2 3 4

sin 220.1) ctg . 4) .

cos 2

2) sin 4 . 5) .7 cos 16 sin

3) co

x

x x xdx dx

x x x x

dx x dx

x x x x x

x dx x xdx

x x x x

xxdx dx

x

dxxdx

x x

− +

− − −+ − +

+− + + − +

− − −+ − + −

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

s2 cos5 . 6) .3 cos sin

dxx xdx

x x+ +∫ ∫

2 2

2 2

32 2 2

3 23 3

9 5

2

5 3 421.1) . 5) .

3 1 2 3

2) . 6) .2 2 ( 1) 1

3) . 7) .9 4

(1 )4) . 8) .

2arccos

22.1) ln . 4) .1

2) ( 1) . 5) ( 6)cos 4 .

3) sin( 4) . 6) arctg

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx xdx

x x x x

x dx xdx

x x xx

x xdx dxx

x e dx x xdx

x x dx

−

− +

+ + −

− − − − −

+ −

++

+

+ +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ .

5

xdx∫

23. Обчислити інтеграли: 2 2

8

1 0

3 3 22

30 2

1ln 52

21 02

1) ( 1)ln . 4) sin ;

3 2 32) 3 . 5) .

13) . 6) .

34 4 5

x x

x

x xdx xdx

x xx dx dx

x x

dx e edx

ex x

π

−

−

+ −−

−

−++ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



23 43104

1) . 2) .20 9 1( 8)

x dx dx

x xx

∞

− ++∫ ∫


кривими: 2 21) 4 , 0 (0 2).

2( sin ),2) 3 (0 4 ).

2(1 cos ),

3) sin 3 .

y x x y x

x t ty x

y t

= − = ≤ ≤

= − ≥ < < π = −ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 3 2,x y= − 1, 1x y= = , навколо осі .Ox


ної обертанням кривої sin ,x t t= −

1 cos (0 2 )y t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox

46

Варіант 22


( ) ( )1

1 21) 3 cos 2 . 4) ctg .6 2 3

2) 3arccos( 1). 5) 5 .

3) 2arctg( 3).6) 2 lg(2 4).

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − − = +

= + =

= − + = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 35 5 , 2 3 2 , 2 3 .z i z i z i= − = + = − −


3 2

1) 2 1 4, arg .2

2) 2 , Im 3.

3) 4 6 4 0.

z z

z i z z

z z z

π< + < < < π

+ > − >

+ + + =

Знайти границі (4—7): 2

3 2 2

5 7

5 2 4

2

2 21 0

3

21 02

4

2 4

14.1) lim .

2 7 ... (5 3)

52) lim .

1

( 1)( 1) ( 1)3) lim .

4 5 arcsin 55.1) lim . 6.1) lim .

2 1

8 1 arctg52) lim . 2) lim .

1 tg24

1 43) lim .3

3 2

n

n

n

x x

xx

x

n n

n

n n

n n

n n n n n

n

x x x

x x x x

x x

xx

x x

x x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→→

→∞

+ −+ + + −

− +

− +

+ − − +

+ −− + −−

−

+ −+ +

( ) ( ) 2

30

2 3

3 2 41

5 3 3 2

2 0

0 0

13 1

sin

0

arcsin2) lim ln2.

2 1

2 7 1 14) lim . 4)lim .

14 3

25) lim .5) lim .

sin 3 tg24 3 6

3 1 cos6) lim . 6) lim .

5 5 1 cos

1 27) lim . 7) lim 3 .

2 cos

8) lim

xx

x x

x x

x x

x x

xx

x x

x

x x x

xx x

x x e e

x xx x

x x

x x

x

x x

−→

→∞ →

→−∞ →

→ →

−

→∞ →

−− + −

−+ −− −

−+ −−

− − −

−−

−

( )3

sin 2

1 ln(2 cos ). 8) lim .

4 5 (3 1)

x

xx x

x x

x→∞ →π

− ++ −

( ) ( )

2 0,01

111

2 ln

0

ln 17.1)lim . 3) lim .

1

2) lim 1 . 4) lim arcsin .

xx

x x

x xx

x x

x xx e

x

e x

−→ →∞

+→∞ →

− +−

−



4

4

3

1) ( ) 1 sin 1, ( ) ln(1 ),

0.

1 12) ( ) , ( ) , .

1

3) ( ) 2 sin , ( ) 1, 0.x

x x x x x

x

xx x x

xx

x x x x e x

α = + − β = +

→

+α = β = → ∞

+α = β = − →


3

1) ( ) .cos

, 0,

2) ( ) , 0 2,

4, 2.

xf x

x

x x

f x x x

x x

=

− ≤= < ≤ + >

213) ( ) 3 2xf x += − у точках

1 21, 0.x x= − =


35 2

35 2

245

27

3 4

6 3th( 7)

2

(2 3)410.1) .

tg 72) cos ln13 .

ln(3 2)

arcsin 33) cos arctg .ch( 5)

2 ln(3 10)4) lg( 2)arcsin 3 .

( 5)

5) cth 4 arcsin(3 1) (tg 3 ) .

( 1) ( 2)6) (cos 4 )

( 1) (

x

x

x

xy x

x e

xy x

x

xy x xx

xy x x

x

y x x x

x xy x

x

−

−

−= − −

= + ++

= ⋅ −−

−= + +

+

= ⋅ + −

− += +

+ 25.

3)x +

2 311.1) 4 5. 2) tg .x yxy y x xy e e− = − = +

2

arccos ,? cos sin ,12. : 1) 2)

sin cos .? 1 .

x

xx

x ty x t t t

y t t ty y t

=′ = = + = −′′ = = −

(5)2

( )

13.1) sin2 , ?

2) sin(3 1) cos5 , ?

x

n

y e x y

y x x y

= =

= + + =


лі до кривої в заданій точці: 2

0

3 31) , 3.

3

x xy x

− += =

47

3

02 2

0

12) , , 2.1 1

3) cos , sin , ln cos ,

( ;0;0).

t tx y tt t

x a t y a t z a t

M a

+= = =− −

= = =


кції 3 227 ( ) 5.4

y x x= + −

3 2

maxmin 2[ , ]

41) ( 1) , ;3 .5

16. ( ) ?162) 2 ,[2;5].

1a b

y x xf x

y x xx

= + − == − + −


графік: 2 5

42

3 13

232

23

2 11) . 5) .11

2) 4 ( 1). 6) .

43) ( 2)( 4) .7) .3 2

4) cos . 8) ( 1) .

x

x

x x xy yxx

y x x y x e

y x x yx x

y x y x e

+

+

+ −= =−−

= − =

= + − =+ −

= = − +


53

3

2 2

2

7

2 2

52 6

6

2

2

18.1) . 7) cos(7 1) .1 7

ln ( 7)2) 5 2 . 8) .

7

tg73) . 9) .

4 3 cos 7

4) . 10) cos7 sin 7 .3 2

5 arccos5) . 11) .

5 3 1

6) . 12) .3 7

2 1 (2 26)19.1) . 5)

3 5 (

x

dxx dx

x

xxdx dx

x

dx xdx

x x

dxx xdx

x

xdx xdx

x x

x dxe dx

x

x x dxdx

x

−

+−

−−

−

+

+

− −

−− −+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

3 3 2

3 2

2 2

2 2 2

3 4 3

22

2

.5)( 4 3)

2 3 2 2 4 32) . 6) .

2

83) . 7) .

2 3 2 ( 1)( 6 13)

(3 1) 3 84) . 8) .

4 5 ( 1) ( 4)

20.1) tg . 4) sin cos .2

22) cos . 5) .

5 2 cos 3

3) sin 2 cos

x x x

x x x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dx xdx

x x x x

xdx x xdx

x dxdx

x

x xdx

+ + +

− + + +− +

− + + + +

+ −− − − +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫6 sin cos

.6) .1 cos

x xdx

x

++∫ ∫

2

2 2

2 2

62 2

6 5

3 23

2 9

22

2

5 3 621.1) . 5) .

2 1 3 2

2) . 6) .3 1 ( 1) 1

13) 1 . 7) .

(1 )4) . 8) .

( 1) 4

ln(sin )22.1) . 4) arctg .

cos

2) ( 1) . 5) ( 6)sin .2

3) cos(

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x xx x dx dx

x x

dx xdx

x x x x

xdx x xdx

xx

x e dx x dx

x x

− −

+ − −

+ − − + −

+ +−

+

++ +

− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫9) . 6) ln( 12) .dx x dx+ +∫ ∫


2 6 2

1 02

132

2 23

1 33

1 2 ln 2

21 ln22

1) . 4) sin cos .4 4

2) . 5) 9 .( 1)

3) . 6) .18 2

x

x

x xxe dx dx

xdxx x dx

x

dx dx

ex x

π−

−

−

−

−−

−+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



22 54102

ln21) . 2) .

(1 )ln (1 )(16 )

xdxdx

x xx

∞

− −+∫ ∫


кривими:

( )2

3

3

1) cos sin , 0 0 .2

16 cos ,2) 6 3 ( 6 3).

sin ,

3) 6 sin 3 , 3 ( 3).

y x x y x

x tx x

y t

π= = ≤ ≤

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥



, 0, 1,xy xe y x= = = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2 sinρ = ϕ навко-


48

Варіант 23


( ) ( )( )1

2 11) 2 sin 3 . 4) tg .3 3 4

1 12) arcsin( 1). 5) .2 313) arcctg( 1). 6) ln(2 3).3

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= + = −

= − =

= − = − −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 36 6 , 3 3 3 , 3 4 .z i z i z i= + = − + = −


3 2

31) 2 3, arg .3 2

2) 1 3 , Re 1.

3) 6 24 32 0.

z i z

z z i z

z z z

π π< − < < <

− < + <

+ + + =


7

7 7

4 2 6

2 2

22 0

3

24 0

3 5 1 24.1) lim ... .

4 16 4

5 52) lim .

5 5

( 1)( 1) 13) lim .

5 11 2 1 cos 25.1) lim .6.1) lim .

arcsin3 10

3 28 sin 32) lim . 2) lim .

ln(1 2 )4

23) lim

n

nn

n

n

x x

x x

x

n n

n n

n n n

n

x x x

x xx x

x x x

xx x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞

+ + + +

+ − −

+ + −

+ − − −

− + − −− −

+ −+−

( )

2

3 2 4

3 02

4 3

2 2

3 3

3 2 sin

2 3

29 0

2

7 2 1. 3) lim .

sin( ( 1))6 4 3

5 2 3 tg4) lim . 4) lim .

22 3 7

3 1 ( )sin 55) lim . 5) lim .

5 4 1

2 7 5 5 26) lim . 6) lim .

3 sin sin

4 17) lim

4 1

x

xx

x x

xx x

x x

x x

x

x

x x e

x x

x x x

xx x

x x x

x x x e

x

x x x

x

x

→

→−∞ →−

→∞ →π

→ →

→∞

+ − −π +− +

− + π++ −

+ − π− + −+ − −− +

−+ ( )

( )

1ln(2 )

1

2 1 3

3

2. 7)lim .

5 7 5 28) lim . 8) lim .

6 sin

x

x

x

x x

x

x

x x

x x

−

→

−

→−∞ →

−

− + −+ π

2 3

1 0

1ln(2 2)

0

17.1)lim(1 )tg . 3) lim .

2 sin

2) lim ( 1) . 4) lim(arcsin ) .

x

x x

xx

x x

e xxxx x

x x

→ →

−→∞ →

− −π−−

−



3

9

1) ( ) cos 3 , ( ) arctg , 0.

2) ( ) 1 , ( ) 1, 1.

3) ( ) ln(1 tg ), ( ) arcsin , 0.

xx e x x x x

x x x x x

x x x x x x

α = − β = →

α = − β = − →

α = + β = →

9. Дослідити функцію на неперервність: arcsin

1) ( ) .sin2

2, 1,

2) ( ) 1 , 1 1,

ln , 1.

xf x

x

x x

f x x x

x x

=

+ ≤ −= − − < ≤ >

343) ( ) 5 1xf x += + у точках

1 25, 4.x x= = −


5 44 3

3

36 2

sin5

2 4 3 sin

4 2ch(2 1)

2 53

(3 1) 810.1) .

ctg 212) 7 ln cos .3 lg(3 5)

arcctg3) tg 2 cos7 .

sh(2 5)

8 lg(4 5)4) 4 arctg 3 .

( 1)

5) ch 5 arctg (ctg2 ) .

( 1) ( 7)6) (tg2 )

( 1) ( 2)

x

x

x

x

xy x

e x

xy x

x

xy x x

x

xy x

x

y x x x

x xy x

x x

−

−

+= − +

−= − ++

= ⋅ −−

+= +

−

= ⋅ −

− −= +

+ +.

2 2 3 2 2 211.1) 5 . 2) sin .x y x y x y y r+ = + =

( )21 ,? ,1

12. : 1) 2)? arcsin ..

1

tx

txx

xy x et

ty y eyt

= ′ = = + ′′ = = = +

2 (5)

6 ( )

13.1) ( ) ln , ?

2) , ?x n

y x x x y

y xe y

= − =

= =


лі до кривої в заданій точці:

02

0

21) , 1.

1

2) 3 cos , 4 sin , .4

xy x

x

x t y t t

= =+

π= = =

49

03) 2sin , 2 cos , tg , ( 2; 2;1).x t y t z t M= = =


кції 2 31 (16 6 ).8

y x x= − −

26

maxmin[ , ]

1) ,[ 3;3].16. ( ) ?

2) 2 1 ,[1;5].

x x

a b

y ef x

y x x

−= −=

= − −


графік: 3

32

3 22

2

223

2

3

41) ( 2). 5) .

3 12) .6) ln(1 ).2 2

2 73) ( 6) . 7) .2 3

4) ln( 2 sin ). 8) .3

x

xy x x yx

x x xy y x xx

x xy x x yx x

ey x yx

+

+= − =

+ − −= = − +−

+ −= − =+ −

= − = +


2

3

6

2

25

2 2

2 4

2

1 62

2

2

18.1) 5 4 . 7) cos(7 3) .

ln ( 3)2) . 8) .

1 6 3

3) . 9) sin 3 cos 3 .4 3

tg 34) . 10) .

2 7 cos 3

arccos25) . 11) .

1 4

6) . 12) .2 7

2 7 (2 12 6)19.1) . 5)

5

x

x

xdx x dx

dx xdx

x x

dxx xdx

x

xdx xdx

x x

xe dx dx

x

dxe xdx

x

x x xdx

x

−

−

− +

++ +

+

−

−

+− + −−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 3

2

2

2 2

2

2 4 2

4 2 4

32

.( 1)( 8 15)

2 5 4 52) . 6) .

1 ( 1)( 1)

(2 4 20)3) . 7) .

7 6 ( 1)( 4 13)

( 5)4) . 8) .

2 1 5 4

20.1) tg 3 . 4) sin cos .

2) sin 5 . 5) .3 2 sin

3) cos co

dx

x x x

x x xdx dx

x x x

dx x x dx

x x x x x

x dx x dx

x x x x

xdx x xdx

dxxdx

x

x

+ + +

+ − ++ − −

+ ++ + + − +

−+ + + +

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫s 7 . 6) .

3 cos 4 sin

dxxdx

x x−∫ ∫

2 2

2 2

3 26

3 5 4

215

2 2

2

3 4 2 321.1) . 5) .

2 5 2 6

2) .6) .5 7 3 ( 1) 1

3) 1 . 7) .

14) . 8) .

( 1)

22.1) arcsin . 4) arctg2 .5

2) cos . 5) ( 1)cos7 .

3) ( 3) . 6) ln(x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dxx x dx

x x

dx xdx

x x x x

x dx x xdx

x xdx x xdx

x e dx x x−

+ +

+ − +

− − + − −

−−

+−

+

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ 1) .dx∫


4

3 2

4 4 4

1 0

2 2 3

2 4 20 2

10 3

27 1

11) arctg . 4) 2 sin cos .

2 2

2) . 5) .( 1)( 4) 3

3) . 6) .1 ln3 2

e

x xdx dxx

dx dx

x x x x

x dx dx

x xx x

π

+ + −

+− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



33 5

0 0

1) . 2) .1

x x dxe xdx

x

∞−

−∫ ∫


кривими:

2 21) , 0, 1.

( 1)

9 cos ,2) 2 ( 2).

4 sin ,

3) sin 6 .

xy y x

x

x ty y

y t

= = =+

= = ≥ =ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 22 , ,y x y x= − = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2cos

3ρ = ϕ навко-


50

Варіант 24


( ) ( )( )

( )

1

11) 2cos 2 . 4) ctg .3 2 4

1 12) arccos( 2). 5) .3 21 13) arctg . 6) 3 ln(5 ).3 2

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − = +

= + =

= − = −

2. Знайти:


2 ;z

z iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 37 7 , 2 3 2 , 4 5 .z i z i z i= − + = − − = +


3 2

1) 2 3,0 arg .

2) 1 3 , Im 2.

3) 7 24 18 0.

z i z

z z i z

z z z

< + < < < π

+ > − <

− + − =


3 2 2

4

2

27 0

2

22 0

2

2 4 ... 24.1) lim .

1 3 ... (2 1)

2 52) lim .

1

3) lim ( ( 1)).

5 14 1 cos 45.1) lim . 6.1) lim .

sin2 9 35

3 11 10 arcsin 82) lim . 2) lim .

tg 45 14

14 33) lim

1 2

n

n

n

x x

x x

x

n

n

n n

n n n

n n n

x x x

x xx x

x x x

xx x

x x

x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

→−∞

+ + ++ + + −

+ −

− − +− −

− − −− −+ +− −

++

( )3 3 2

2

2 3 20

3 2

2

2 3

3 0

4 64 1

2 1

0

1 cos. 3) lim .

7 ( 1)

1 sin8 7 24) lim . 4) lim .2 5 3

2 35) lim . 5) lim .

sin 3 tg216

2 tg( 1)6) lim . 6) lim .

6 1 5

3 47) lim . 7) lim(2 )

3

xx

x x

x x

x x

x xx x

xx

x x

x

x e

xx x

xx x

x x e e

x xx

x x

x e e

xe

x

→

→∞ →π

→−∞ →

− +→ →−

−

→∞ →

−+ −

−+ −π −− +

− − −−−

− ++ − −+

−

( ) ( )

1 cos .

6 1cos

2

3 48) lim . 8) lim ctg .

22

x

xx

x x

x xx

− π

π→∞ →

−−

2

2

20 0

log sin

1 0 1 0

ln( 1) 1 17.1) lim .3) lim .

tg arctg

2) lim (1 ) . 4) lim (ctg ) .

x x

x x

x x

x x x

x x x x x

x x

→ →

π→ − → +

+ − − −

− π



3

2

1) ( ) 1 1, ( ) 1, 0.

2) ( ) 1 2 1 3 , ( ) ,

0.

3) ( ) ln cos2 , ( ) sin , 0.

xx x x e x

x x x x x

x

x x x x x

α = + − β = − →

α = − − − β =

→

α = β = →


1) ( ) .lg

1, 0,

2) ( ) cos , 0 ,

1 , .

f xx

x

f x x x

x x

=

− <= ≤ ≤ π − > π

43) ( )

2

xf x

x

−=

+ у точках 1 22, 1.x x= − =


7 24

432

3 34

3cos 3

4 3 5 2

2 5sh 3

2

5 4 2710.1) .

tg(3 5)12) 8 ctg sin .13 ln ( 3)

2 log (4 7)3) ctg 4 arcsin .

( 3)

arccos 54) 2 arcctg .th( 2)

5) th 7 arccos 3 (tg7 ) .

( 7) ( 3)6) (ctg7 )

( 1)

x

x

x

x

x xy x

ex

xy x

x

xy x x

x

xy xx

y x x x

x xy x

x

−

+

+ −= + −

−= − +

+

−= ⋅ −

+

= +−

= ⋅ −

+ −= +

+ 2.

3 1x x+ −

4 2 2 311.1) 4. 2) ln 1.x x y y xy y+ + = − =

3

4 3

cos ,? 5 sin ,12. : 1) 2)

sin .? 3 cos .2

x

xx

x ty x t

tyy y t

= ′ = = ′′ == = 2 (5)

( )

13.1) ln(1 3 ), ?

11 122) , ?

6 5n

y x x y

xy y

x

= − =

+= =

+



0

4 2 30

1) 2( 3 ), 1.

2) , , 1.

y x x x

x t t y t t t

= − + =

= − = − =

51

2 203) , 3 , 1 2 , (1; 3;3).x t y t z t M= = = − −


кції 2 21 ( 4) .16

y x= − −

maxmin 23[ , ]

ln1) ,[1;4].16. ( ) ?

2) ( 2) (1 ),[ 3;4].a b

xy xf x

y x x

==

= + − −


графік. 33 2 2

23

3 2 234

11) 4 3. 5) ( 5).3

6 92) . 6) 1 ln .4

13) ( 1) .7) .1

4) cos . 8) ln 1.5

y x x y x x

x xy y xx

y x x yx

xy x yx

= − + = −

+ += = −+

= − − =−

= = −+


3

252

43

2

3

2 2

3 6 1 2

4

3 2

2

18.1) . 7) sin(7 4 ) .2 7

92) (6 5 ) . 8) .

1 9

ln ( 5)3) . 9) .

53 4

ctg 54) . 10) .

4 3 sin 5

5) . 11) .

cos6 arcctg 56) . 12) .

sin 6 1 25

3 3 (519.1) . 5)

1

x x

dxx dx

x

xdxx dx

x

dx xdx

xx

dx xdx

x x

e dx e x dx

x xdx dxx x

x xdx

x

− +

−+

−−

−−−

−

+−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫2

2

3 2

2 2

2 2

4 2

2 4 2

3 4 2

4

5 58).

( 2 3)( 4)

3 1 3 22) .6) .

2 ( 1)

(5 13)3) . 7) .

2 3 4 ( 1)( 6 13)

(2 3) 2 8 8 24) . 8) .

3 2 8 4

20.1) tg 4 . 4) sin cos .

(3 tg 1)2) sin . 5)

x dx

x x x

x x xdx dx

x x x

dx x dx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xdx x xdx

x dxxdx

+ −+ − −

+ + ++ +

+− + + + +

+ + − ++ − +

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 2 .sin 4 cos

3) sin2 sin 3 . 6) .5 3 cos

x x

dxx xdx

x

+

+

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2 3

4 6

5 4 23

2 3

2

2

7 2 921.1) . 5) .

1 4 2

2) . 6) .3 5 ( 1) 1

(4 )3) . 7) .

3

(1 )4) . 8) .

1 2

22.1) ln . 4) arctg( 5) .

2) ( )sin . 5) ( 2)sin .2

3) arccos . 6) ln(2

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dxdx

x xx

dx xdx

x x x

x xdx x dx

xx x xdx x dx

xdx

− −

− + −

− + − − −

−+

++ −

+

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ 1) .x dx−∫


8 2 6

12

9 42 2

4 2 47 2

4,5 ln 32

24 ln 2

1) ln(1 ) . 4) 2 sin cos .

2 162) . 5) .

5 4

3) . 6) .18 15

x

x x dx x xdx

x x xdx dx

x x x

x dx dx

ex x

π− −

−

− + −− +

+− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫


розбіжність: 0 22 2

3 2 60

1) . 2) .1 1 64

x x x dxdx

x x x−∞

− − + −∫ ∫


кривими: 2 21) 4 , 2 .

8( sin ),2)

8(1 cos ),

12 (0 16 , 12).

3) 2 cos , 3 cos .

x y x y y

x t t

y t

y x y

= − = −

= − = −= < < π ≥

ρ = ϕ ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 28 , ,y x y x= − = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 33cos ,x t= 33 siny t= навколо осі .Ox

52

Варіант 25


( ) ( )

( )

2

1 11) sin 2 . 4) tg .2 4 3 6

2) 2arcsin( 2). 5) 3 .

1 13) arcctg .6) 2 lg( 3).2 2

x

y x y x

y x y

y x y x

+

π π= − = −

= − = −

= + = − +

2. Знайти:


22 ;

zz iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 38 8 , 3 , 5 6 .z i z i z i= − − = − = − +


3 2

1) 1 2 3, arg .4 2

2) 2 1 , Re 3.

3) 4 4 3 0.

z z

z i z z

z z z

π π< − < < <

− < + >

− + − =


3 3

5 57

3 2 6 83 3

2

2 25 0

2 5

22 0

1 5 ... (4 3) 4 14.1) lim .

1 2

2 22) lim .

2 2

3) lim ( ( 4) ( 1)).

3 6 45 cos5 cos5.1) lim . 6.1) lim .

2 3 35 4

4 12) lim . 2) lim .

tg23 10

3) lim

n

n

n

x x

x

x x

n n

n

n n

n n

n n n n

x x x x

x x x

x e

xx x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

+ + + − + − +

+ − ++ − +

+ − −

− − −− −− −

+ −

( )

2 4 2 2

2 4 40

4 2

33

2 3

3 0

3

3 10

1

2 5 sin tg. 3) lim .

2 3

3 2 8 1 2 cos4) lim . 4) lim .

38 4 5

4 10 7 9 25) lim . 5) lim .

arctg2 72 3

27 lg 16) lim . 6) lim .

3 9 1

2 17) lim . 7)l

2 4

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x x x x x

x x x

x x x

xx x

x x

x xx x

x x

x x x

x

x

→∞ →

π→−∞ →

→∞ →

→ →

−

→∞

− + −+ +

+ − −π −− +

− + −−−

− −− − −

−+

( )

sin2

ln(2 )1

2

im(2 ) .

1 2 ln cos28) lim . 8) lim .

3 ln cos 4

x

x

x

x

x x

x

x x

x x

π

−→

−

→∞ →π

−

−−

( )

2

0

12 tgln

0 0

tg7.1) lim . 3) lim .

arcsin ln(1 )

2) lim ctg2 . 4) lim .

n x

x x

xx

x x

x xx e

x x

x x

−→ →∞

→ →

−− +



2

5

5

1) ( ) cos 4 , ( ) arcsin , 0.

1 2 12) ( ) , ( ) sin , .

3) ( ) ln(1 sin ), ( ) tg ; 0.

xx e x x x x

x xx x xxx

x x x x x x

α = − β = →

+ +α = β = → ∞

α = + β = →


21

2

1) ( ) 4 .

0, 1,

2) ( ) 1, 1 2,

2 , 2.

x

xf x

x

f x x x

x x

−=

≤ −= − − < ≤ ≥

43) ( )

3

xf x

x

−=

+ у точках 1 23, 2.x x= − =


5 43 4

25

2

22

3 42

5 cos

53cos( 4)

5 1 510.1) .

1 cos2) 4 sin ln .2 lg( 2 1)

arccos 33) lg( 3)arcsin 5 .sh 2

3 log (2 9)4) tg arcctg 3 .

( 7)

5) cth 4 arccos2 (arccos ) .

3( 7)6) (ch 3 )

( 1)(

x

x

x

x xy xe x

xy xx x

xy x xx

xy x x

x

y x x x

x xy x

x x

+

− += − +

= + −− +

= − +

+= ⋅ −

−

= ⋅ +

− += −

+ 2 .4)−

211.1) sin 5. 2) 1 .xyy xy y e= + = +

23

3 2

ch ,? ,12. : 1) 2)

? ln(1 ). sh .

tx

txx

x ty x e

y y e y t

− ′ == = ′′ = = + =

2 3 2 (5)

( )

13.1) ( 3 1) , ?

2) lg(2 7), ?

x

n

y x x e y

y x y

+= + + =

= + =



02

3 20

1 31) , 1.

3

2) 1, 1, 1.

xy x

x

x t y t t t

+= =

+= + = + + =

53

03) 3 cos , 4 sin , , (3;0;1).tx t y t z e M= = =


кції 3 216 36 24 9.y x x x= − + − 4 3

max2min

[ , ]

1) 3 16 2,[ 3;1].

16. ( ) ?82) 2 ,[ 2;1].22

a b

y x x

f xx

y xx

= − + −=

= − + −−


графік:

( )

2 23 3

2 3

42

24 2

2( 2) cos sin

1) 9 ( 1) 6 . 5) ( 3) .

3 102) . 6) .14 1

3) ( 1) . 7)2

4) (2 3) . 8) .

x

x x x

y x x y x x

x xy yxx

xy x e yx

y x e y e

+

+ −

= + − = −

−= =−−

= − = − +

= − + =


42

42

arctg

2 2

4 5 3

2

2 4 25

2

18.1) . 7) cos(3 7) .7 3

32) 2 5 . 8) .

9 2

3) . 9) .( 3)ln ( 3)9 8

4) . 10) .3 4 1

5) . 11) cos 2 sin2 .

arcsin 56) . 12) .

sin ctg 1 25

5 2 (19.1) . 5)

9

x

x

dxx dx

x

xdxxdx

x

dx dx

x xx

dx edx

x x

e dx x xdx

dx xdx

x x x

x xdx

x

−

−−

−+

+ +−

+ +

−

++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫3

2

2

3 2

2

2 3

3 2

2 4

4 3 8

42

12 13).

( 5 6)( 1)

( 5)2) . 6) .

2 1

4 103) .7) .

5 10 25 8

( 3) 44) . 8) .

4 2 6 1

20.1) tg . 4) sin cos .4

2) cos . 5) .5 3 sin

3) sin2 cos 3

x dx

x x x

x x x dxdxx x x x

dx x xdx

x x x

x dx x x xdx

x x xxdx x xdx

dxxdx

x

x xdx

− +− + +

+ +− − − +

+ +− + +− − ++ − −

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

. 6) .4 sin 6 cos

dx

x x−∫ ∫

2 2

2 2

32 3

5 4 34

52 2

2 2

2

2

1 3 2 721.1) . 5) .

1 5 4

2) . 6) .1 1

3) . 7) .1(4 )

(1 )4) . 8) .

2

22.1) ln . 4) arctg .

2) ( )cos . 5) sin .5

3) ( 3) . 6) ln(2 3) .x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx xdx

xx

dx xdx

x x x x

x xdx x xdx

xx x xdx x dx

x e dx x dx

+ +

+ + −

− − − −

−+

+−

+

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫


3

2

1

8 8

02

76 3

3 23 2

4 0

1

2 20

1) arcsin . 4) 2 cos .2 2

2) . 5) 7 .6 16 16

ln3) . 6) .

4 5 (1 ln )

e

e

x dxxdx

x

xdxx x dx

x x x

dx xdx

x x x x

π

π−

+− + −

+ + −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 9102

1) . 2) .1 22 2 1

dx dx

xx x

∞

−− +∫ ∫

25. Обчислити площі фігур, які обмежені

кривими:

3

3

11) , 0, 1.

1 ln

24 cos ,2) 9 3 ( 9 3).

2 sin ,

3) cos sin .

x x yy y

x tx x

y t

= = =+

= = ≥ =ρ = ϕ + ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2 3( 4) , 0,y x x= + = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 2cos ,x t=

3 2 siny t= + навколо осі .Ox

54

Варіант 26


( ) ( )1

11) 3cos 3 . 4) ctg .3 4 4

2) 3arccos( 3). 5) 4 .

3) 2arctg( 3). 6) lg(6 2 ).

x

y x y x

y x y

y x y x

−

4π π= + = +

= − =

= − + = − −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 32 2 , 2 2 3 , 6 7 .z i z i z i= − = + = − −


3 2

1) 2 2 4, arg .3

2) 2 1 , Im 1.

3) 6 18 27 0.

z z

z i z z

z z z

π< + < < < π

+ > − >

+ + + =


3 6 4

3 6

23

2

20 0

2

23 0

4

1 2 3 ...4.1) lim .

2 2

71 64 92) lim .

( ) 11

3) lim ( ( 1)( 2)).

3 sin 5 sin5.1) lim . 6.1) lim .

arcsin4 5 1

4 7 15 ln(1 4 )2) lim .2) lim .

sin26 27

33) lim

n

n

n

x x

x x

x

n

n n

n n n

n n n

n n n n n

x x x x

xx x

x x x

xx x

x

→∞

→∞

→∞

→ →

→− →

→∞

+ + + +

+ +

− +

− +

− + +

+ +− ++ − +− −

2

4 0

4 2

2 2

3 2

5 3 20

2 1

3 20 0

2 7 arcsin2. 3) lim .

ln( ) 13 3 5

3 2 4 arctg( 2 )4) lim . 4) lim .

sin 33 4 1

2 3 15) lim . 5) lim .

4 sin

1 3 1 3 36) lim . 6) lim .

ln(1 1 )

3 47) lim

x

x x

x x

x x

x

xx x

x

x x

e xx x

x x x x

xx x

x x e e

x x x x

x

x x x xe

x

→

→∞ →

−

→−∞ →

+

→ →

→∞

− −− −+ +

+ − −π− +

− + −+ +

+ − −+ + +

+( )( ) ( )

311

.0

173

3

1 tg cos2. 7) lim

3 5 1 tg cos5

4 3 sin8) lim . 8) lim .

5 sin 3

xx

x

xx

x x

x x

x x x

x x

x

+

→

−

→−∞ →

+ + +

++

2 5

0

11

12

ln27.1) lim . 3) lim .

ln tg

2) lim ln2 ln(2 1). 4) lim .

x

x x

x

xx

xe x

x

x x x

−→ →∞

+→∞→

−



3 2

4

2

1) ( ) 1 1, ( ) sin , 0.

1 12) ( ) , ( ) tg , .1

3) ( ) ln cos2 , ( ) tg , 0.

x x x x x

x x xxx x

x x x x x

α = + − β = →

α = β = → ∞+ +

α = β = →


1

2

1) ( ) 2 .

, 2,

2) ( ) 1 , 2 1,

1, 1.

xxf x

x x

f x x x

x x

− +=

≤ −= − − < ≤ − ≥

53) ( )

3

xf x

x

+=

− у точках 1 23, 4.x x= =


4 35 7

32 5 26

25

22

2 4

4 sh(2 3)

3tg( 5)

410.1) .(2 5)

log (3 7)2) (2 1) cos 2 .

tg 3

arcsin 33) tg arcctg 3 .th

lg( 2 )4) log ( 3) arccos .

( 8)

5) cth 3 arcsin 2 (ctg 7 ) .

10( 8)6) (ch2 )

( 1

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x xx

x xy x x

x

y x x x

x xy x

x

−

+

+

= − +−

+= − − −

= ⋅ +

+= + ⋅ −

+

= ⋅ +

+ −= −

+ 2 5 .) ( 1)x −

3 311.1) 5 . 2) cos( ).x y xy y x y+ = = +

3

23

arctg ,1,?12. : 1) 2) 1? .1.

2

x

xx

x tx ty

y y ty t

=′ = −= ′′ = == − (5)

( )

13.1) (5 8) 2 , ?

2) ln(5 2 ), ?

x

n

y x y

y x y

−= − ⋅ =

= + =



0

0

1) 14 15 2, 1.

2) 2 cos , sin , .3

y x x x

x t y t t

= − + =

π= = = −

55

03) cos , sin , , (1;0;1).t t tx e t y e t z e M− − −= = =


кції 2 31 (6 16).8

y x x= − −

5 4 3

maxmin[ , ] 2

1) 5 5 ,[ 1;2].16. ( ) ? 4 12) 8 , ;2 .

2a b

y x x x

f xy x

x

= − + −= = +


графік: 23 2

2

2

323

2

2( 1)3

6 6( 3) 2 21) . 5) .310 33

2 4 22) . 6) ln .2

323) ( 3) . 7) .

sin cos4) . 8) .

2( 1)2

x

x x xy yxx x

x xy y x xx

xy x x yx

x x ey yx

−

+ − += = ++ ++ += =−

−= + =

+= = −

−


3

32

5

2

4

2

5 2

2 25

3 2

2

2

2

18. 1) . 7) sin(8 5) .5 2

52) 4 2 . 8) .

7 1

ln ( 8)3) . 9) .

84 3

4) . 10) sin 8 cos 8 .8 9

5) . 11) .cos tg

6) . 12) .1 25 arcsin 5

5 (9 3 )19.1) . 5)

7 (

x

x

dxx dx

x

xdxxdx

x

dx xdx

xx

dxx xdx

x

dxe dx

x x

dxe x dx

x x

x x x dxdx

x x

−

−−

−−−

−−

−

−− ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 2

2

2

2 2

3 2

2 4 2

24

4

23

.2)( 1)

2 5 3 7 22) . 6) .

7 ( )( 1)

(4 7 5)3) . 7) .

2 6 7 ( 1)( 2 5)

( 2) 2 8 3 274) . 8) .

3 5 13 36

3cos20.1) tg ( 5) .4) .

sin

cos2) cos 4 . 5)

1 si

x x

x x xdx dx

x x x x

dx x x dx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xx dx dx

x

xxdx

+ − +

+ − +− − −

+ ++ + − + +

+ + − −− + + +

+

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 .n

3) sin 5 cos . 6) .3 5 sin 3 cos

dxx

dxx xdx

x x+ +

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2 3

4 3

2 3 4

3

2

2

4

3 2 3 421.1) . 5) .

8 2 6 1

2) . 6) .1 2 3

9 13) . 7) .

14) . 8) .

2

22.1) ln( 1) . 4) arctg .

2) ( 1) . 5) ( 4)cos .2

3) . 6) arccos .5

x

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x xdx dx

x xx

x dx xdx

x xx

x x dx x xdx

xx e dx x dx

xxe dx dx−

− −

− − +

− − + −

+ −−+

−

+

+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫


4 8

1 0

2 8 2

3 41 24

3

0 9

21 43

1) ln(3 2) . 4) 2 sin .

82) . 5) .

1

3) . 6) .12 6 9

x dx xdx

dx x

x x

dx xdx

xx x

π

−

+

−+

−− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 31 1

1) . 2) .( 1) 31( 1)

dx x dx

x x x

∞

+ −∫ ∫


кривими: 121) , 0, 2, 1.

3 cos ,2) 4 3 ( 4 3).

8 sin ,

3) 2 sin 4 .

xy x e y x x

x ty y

y t

−= = = =

= = ≥ =ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 3, 0, 8,y x x y= = = навколо осі .Oy


ної обертанням кривої 2 9cos2ρ = ϕ на-

вколо полярної осі.

56

Варіант 27


( ) ( )( ) 2

11) 2 sin . 4) tg 2 .2 8 4

12) 3arcsin . 5) 5 .2

13) arcctg( 1). 6) 2 ln(2 5).2

x

y x y x

y x y

y x y x

−

π π= − − = −

= + =

= − = −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 34 4 , 1 3 , 7 8 .z i z i z i= − + = − − = −


3 2

21) 2 2 3, arg .2 3

2) 2 , Re 2.

) 4 6 0.

z i z

z z i z

c z z z

π π< − < < <

− < − <

− − − =


( )

2

3 43 3

3 23 3

2

2 252

2

2 36 3

(2 )! (2 1)!4.1) lim .

(2 1)! (2 )!

6 52) lim .

3 1

3) lim ( ( 1)).

2 35 1 sin5.1) lim . 6.1) lim .

2 11 52

2 11 6 sin( 3)2) lim . 2) lim .

3 20 12 27

3) lim

n

n

n

x x

x x

x

n n n

n n n

n n

n n

n n n n

x x x

x x x

x x x

x x x

→∞

→∞

→∞

π→− →

→ →

→

− +− +

+ − −

+ + +

− −

− − −+ + π −

− − −− + −

( )

2 2

2 5

5 0

3 2

2 1

7 5

5 7

34 0

1 2

4 5 3 tg sin. 3) lim .

(1 cos2 )6 8

7 2 4 14) lim . 4)lim

sin2 5

2 13 15) lim . 5) lim .

tg ln3 4

20 4 3 26) lim . 6) lim .

2 tg64

1 27) lim . 7)

3 2

x

x x

x a

x x a

x x

x x

x

x

x x x x

x xx x

x x x

xx x

x axx x x a

x

x xx

x

x

∞ →

→−∞ →

−

→∞ →

−

→− →

−

→∞

− − −−+ +

− + −π+ −

− −− −

+ − −−+

++

( )2

20

ctg3

0

cos 1lim .

sin 2

3 1 1 38) lim . 8) lim .

2 5 1 7

x

xx x

xx x

x

x

x x

x x

→

→−∞ →

−

− + + +

( )

2

71

45 2 ln

1 03

1 ln( 7)7.1)lim . 3) lim .

ln 1 33 1

2) lim . 4) lim .3 1 ln 3

x

x x

x

xx

x x

x x x

xx x

→ →+∞

+→→

− ++ − −

−−



2

8

1) ( ) cos , ( ) sin , 0.

2) ( ) ln(2 2 3), ( ) 2,

2.

3) ( ) ln( 1), ( ) sin , 0.

xx e x x x x

x x x x x

x

x x x x x

α = − β = →

α = − − β = −

→

α = + β = →


sin21) ( ) .

sin , 0,

2) ( ) , 0 2,

0, 2.

xf x

x

x x

f x x x

x

=

<= ≤ ≤ >

113) ( ) 3 xf x −= у точках 1 21, 2.x x= =

Знайти похідні функцій (10—13): cos 3 3 5

5 4

353 7

23 3

3

23

2

5 arctg( 2)

3 35sin(3 2)

2

210.1) .(2 4)

ln2) 4 tg cos2 .ctg( 3)

arctg 53) tg 2 arccos2 .

cth

3 ln( 5)4) 2 arctg 4 .

( 7)

5) th 3 arcctg (sh 5 ) .

( 2) ( 1)6) (th7 )

( 1) (

x

x

x

x

ey xx x

xy xx

xy x x

x

xy x

x

y x x x

x xy x

x

−

+

+

= − −+

= + −−

= ⋅ +

+= −

−

= ⋅ +

− −= −

+ 4.

3)x +

3 3311.1) . 2) arcsin .xyy e x y xy= + =

2? 2( sin ), ln ,12. : 1) 2)

4(2 cos ). ln .?

x

xx

y x t t x t

y t y t ty

′ = = − = ′′ = + = += 2 (5)

( )

13.1) ln( 1), ?

2) , ?1

n

y x x y

xy y

x

= − =

= =+


лі до кривої у заданій точці: 4

01) 3 , 1.y x x x= − =

57

20

0

2) 2 tg , 2 sin sin2 , .4

3) 3 cos , 3 sin , 5 , ( 3;0;5 ).

x t y t t t

x t y t z t M

π= = + =

= = = − π


кції 2 21 ( 2) ( 6) .16

y x x= − − −

maxmin 23[ , ]

1) (3 ) ,[0;5].16. ( ) ?

2) ( 2) ( 4),[ 4;2].

x

a b

y x e

f xy x x

−= −=

= + − −


графік: 2 23

2

3 22

2

22 23 3

2

11) 8 6 12 ( 2) . 5) .

2 2 9 32) . 6) ln .2 3

4( 1)3) ( 2) ( 3) .7) .

2 454) ln(cos sin ). 8) ln 2.

y x x y xx

x x xy y x xx

xy x x y

x x

xy x x y x

= − − − = +

+ − −= = −−

+= + − + =

+ +−= − = +


5

2

3

2

67 3

2

5

2

84 1

2

2

2

18.1) . 7) cos(8 4) .2 7

32) 3 4 . 8) .

9 5

ln ( 6)3) . 9) .

68 9

tg 24) . 10) .

cos 2

5) . 11) sin 4 cos 4 .5 4

arctg 36) . 12) .

1 9

3 7 (3 13 319.1) . 5)

1

x

x

dxx dx

x

xdxxdx

x

dx xdx

xx

xe dx dx

x

dxx xdx

x

xx e dx dx

x

x x xdx

x

+

− −

−+

−+

++−

−

+− − −+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 3 2

3 2

2

2 3

3 2

2 4 2

53 5 3

22

8).

( 5 4)( 3)

2 3 2 3 22) . 6) .

1

3 2 13) . 7) .

6 8 1

(3 2) 5 21 94) . 8) .

5 7 10 9

20.1) tg 3 . 4) sin cos .

2) cos 7 . 5) .sin sin2 1

3) sin

dx

x x x

x x x xdx dx

x x x

dx x xdx

x x x

x dx x x xdx

x x x x

xdx x xdx

dxxdx

x x

− + +

+ + + +− +

+ +− + −− − + −

+ + + +

− +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

cos 4 . 6) .cos 3 sin

dxx xdx

x x−∫ ∫

2 2

2 2

42 3

23 4

12 5

2

2

2

5 2 521.1) . 5) .

8 4 3 9 4

2) . 6) .4 3 ( 1) 2

3) . 7) .1(9 )

1 (1 )4) . 8) .

2

22.1) sin(ln ) . 4) cos .3

2) ( 1) . 5) ( 1)sin .3

3) ( 1) . 6) ar

x

x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

dx xdx

xx

x xdx dx

x x x xx

x dx x dx

xx e dx x dx

x e dx

−

− +

− + −

− − + + −

++

− +−

− +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ctg .4

xdx∫


23

4 2

3 2 6 2

0 0

3 25

6 4 5 21 2

262 35

20 7

1) 9 . 4) sin cos .

12) 5) .

1

3) cos . 6) .( 1)

x x dx x xdx

x dxdx

x x x x

xxdx dx

x

π

π

+

++ −

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 22 1

1) . 2) .(ln 1) 3 2

e

dx dx

x x x x

∞

− − −∫ ∫


кривими: 2 21) 16 , 0 (0 4).

2( sin ),2)

2(1 cos ),

2 (0 4 , 2).

3) 2 cos6 .

y x x y x

x t t

y t

y x y

= − = ≤ ≤

= − = −= < < π ≥

ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривою 3 3cos , sin ,x t y t= = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої 3 2,

3y x x= = ±


58

Варіант 28


( ) ( )

( )

11) 2 cos 2 . 4) ctg .4 3 4

11 12) arccos( 2). 5) .2 3

3) 2arctg( 2). 6) lg(2 4).

y x y x

xy x y

y x y x

π π= + = −

+= − =

= + = − +

2. Знайти:


22 ;

zz iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 35 5 , 2 3 2 , 8 9 .z i z i z i= − − = − = +


3 2

1) 1 2 3,0 arg .4

2) 2 , Im 3.

3) 5 12 18 0.

z i z

z z i z

z z z

π< + < < <

+ > + <

− + − =


( )

8

8 8

2

282

2

2 26 5

3 2

! ( 2)!4.1) lim .

( 1)! ( 2)!

6 62) lim .

6 6

3) lim 2( 3 4).

2 15 85.1) lim .6.1) lim tg .

23 25 8

2 24 tg( 5)2) lim . 2) lim .

2 15 18 25

5 7 33) lim

2 2

n

n

n

x x

x x

x

n n

n n

n n

n n

n n n

x xx x

x x

x x x

x x x

x x

x

→∞

→∞

→∞

π→− →

→− →−

→∞

+ +− + +

+ − −+ + −

+ + − −

+ − π −+ +

+ − ++ + −− +

+

( )

2

2

3 20

3 2

2 1

2 3 3

3 2 2 sin

2 2

1 0

2

0

ln( 1). 3) lim .

1 1

cos4 5 3 24) lim . 4)lim .13 10

2 3 1 ( )sin 35) lim . 5) lim .

2 5 1

3 36)lim . 6) lim .

sin2 sin8 3

37) lim . 7) lim(1

3 2

x

x x

xx x

x x

x x

x

x x

x

x xx

x x x

xx x

x x x x

x x e

x e e

x xx

x

x

→

→∞ →

→−∞ →π

→ →

−

→∞ →

+− − +

π+ −

−+ −− + − π

+ + −− −

−+ −

+

( )

21

2 ln(1 3 )

5 18 sinctg

2

tg ) .

18) lim . 8) lim(sin ) .

2 10

x

x xx

x x

x

xx

x

+

π→∞ →

+

−−

( )2

sin 2

0 0

1ln

0

tg2 27.1) lim . 3) lim .

sin

2) lim(arcsin )ctg . 4) lim 4 .

x

x x

x x

x x

x xx

x x

x x x x

→ →+

→ →∞

−−

− −



4 4

2

3 3

1) ( ) 1 1, ( ) arcsin2 , 0.

2) ( ) sin( 9 3), ( ) tg , .

3) ( ) cos cos , ( ) ln(1 ),

0.

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

α = + − β = →

α = + − β = → ∞

α = − β = +

→


1) ( ) .

1, 0,

2) ( ) 2 , 0 2,

3, 2.

x

x

f x e

x

f x x

x x

−=

≤= < ≤ + ≥

43) ( )

5

xf x

x=

+ у точках 1 25, 4.x x= − =

Знайти похідні функцій (10—13): sin 5

33 2

47 3

2tg 5

3 22

4 4 th(3 1)

3 54cos(3 4)

210.1) .(3 2)

tg 52) 3 sin tg2 .

ln( 7)

arctg 53) 2 arctg 3 .

th( 3)

4 log (3 5)4) arcsin 4 ctg 3 .

( 2)

5) sh 3 arccos 4 (arctg ) .

( 1) ( 2)6) (ch2 )

(

x

x

x

x

ey xx x

xy x

x

xy x

x

xy x x

x

y x x x

x xy x

x

+

+

= + −−

= + ++

= −+

−= ⋅ +

−

= ⋅ −

+ −= +

2 3.

3) ( 1)x− −

211.1) sin . 2) tg( ).x y

y y x yx y

−= = ++

? , sin cos ,12. : 1) 2)

cos sin .? .

tx

txx

y x e x t t t

y t t ty y te−

′ = = = − = +′′ = = 2 (5)

( )3

13.1) (2 3), ?

2) log (2 1), ?

x

n

y e x y

y x y

−= − =

= − =



0

3 20

3 21) , 1.

3

2) 1, , 2.

x xy x

x t y t t

−= =

= + = = −

59

03) cos , sin , , (0;0;0).x t t y t t z t M= = =


кції 3 216 12 4.y x x= − − 2

maxmin 2[ , ]

1) ln( 2 2),[0;3].16. ( ) ?

162) 4 ,[ 1;2].2

a b

y x x

f xy x x

x

= − +=

= + + −+


графік: 23 2

2

4( 3)

2 23

3

6 6( 6) 3 101) . 5) .3 28 24

5 32) ( 4) . 6) .

3) ( 6) . 7) 2 ln .

3 24) sin . 8) .

x

x xy yxx x

xy x e y x

y x x y x x

xy x yx

− +

− −= − = −− ++= + =

= − = −

−= =


2

52

52

32

2 3

5 2

2 2

2

2

18.1) . 7) sin(9 1) .2 9

2) 3 2 . 8) .1 3

3) . 9) .( 4)ln ( 4)4 7

24) . 10) .

5 3sin 4

5) . 11) .cos 43 4

ctg arccos 76) . 12) .

sin 1 49

4 (7 1719.1) . 5)

7 3

x

dxx dx

x

dxxdx

x

dx dx

x xx

xdxxe dx

x

dx xdxxx

x xdx dx

x x

x x xdx

x

−

−+

+−

− −+

−

−

−+ −+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

4

2 3 2

2 3

5 3 2

2 4

3 4 5

32

).

( 2)( 2 3)

12) . 6) .

4

63) . 7) .

1 2 3 1

( 7) 2 24) . 8) .

4 3 1 1

20.1) tg 5 . 4) sin cos .

2) sin 4 . 5) .6 3 cos

3) cos 3 cos . 6) .4 4 sin 3 cos

dx

x x x

x dxdx

x x x

dx xdx

x x x

x dx x x xdx

x x x

xdx x xdx

dxxdx

x

dxx xdx

x x

− − −

−+ −

− − −− − −+ − −

−

− +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2 2

2

32

3 4 3

12 5

2 2

2

5

8 2 4 321.1) . 5) .

1 3 2 5

2) . 6) .5 1 3 2

( 3 1 1)3) . 7) .

3 1 3 19

14) . 8) .

6

22.1) sin . 4) arctg .

2) ( 4)sin . 5) ( 2)cos .4

3) . 6) ax

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dx x dx

x xx

x dx xdx

x x x

x xdx x xdx

xx xdx x dx

xe dx−

− +

− − +

+ + − ++ −

+ + +−+

+

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ rcsin .7

xdx∫


2 4 4

1 0

3 33 24 2

2 22 0

56

5

21

2 3

1) ( 1) . 4) sin cos .4 4

22) . 5) 9 .

( 1)

3) cos . 6) .8 6 9

x x xx e dx dx

x xdx x x dx

x x

dxxdx

x x

π−

−

π

π

+

+ +−

−

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 32 41 0

101) . 2) .

3 (16 )(6 5 1)ln4

dx xdx

xx x

∞

−− +∫ ∫


кривими: 2

3

3

1) 4 , 0, 0, 1.

4 2 cos ,2) 2 ( 2).

2 sin ,

3) cos sin .

x y x y y

x tx x

y t

= − = = =

= = ≥ =ρ = ϕ − ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 22 ,2 2 3 0,y x x y= + − = навколо осі .Ox


ної обертанням дуги кривої 32cos ,x t=

32 siny t= навколо осі .Ox

60

Варіант 29


( ) ( )2

1 3 11) sin 3 . 4) tg .2 4 2 8

2) 2arcsin( 3). 5) .

13) arcctg( 2). 6) ln(2 3).3

x

y x y x

y x y e

y x y x

−

π π= − = +

= + = −

= − = − −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + +


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 36 6 , 3 3 , 9 8 .z i z i z i= − = + = − +


3 2

21) 2 3 4, arg .2 3

2) 3 2 , Re 1.

3) 5 2 78 0.

z z

z i z z

z z z

π π< − < < <

− < − >

− + + =


2

2 3

3 6

4 4

2

24 0

3

2 22 0

3

3 2 0

3 6 9 ... 34.1) lim .

4

12) lim .

2

3) lim ( 3 2).

3 2 40 75.1) lim . 6.1) lim .

sin sin 73 4

2 4 1 cos 82) lim . 2) lim .

11 18 2

t4 2 13) lim . 3) lim

2 3 2

n

n

n

x x

x x

x x

n

n

n n

n n

n n n

x x x

x xx x

x x x

x x x

x x

x x

→∞

→∞

→∞

→ →

→ →

→∞ →

+ + + ++

− +

+ −

+ − −

− −+− −

− − −− +

− ++ +

( )( )

( ) 2

2

4 1

3 2

2 20

3

2 202

3 2ctg

0

g 12 .

ln( 1)

2 10 11 3 104) lim .4)lim .

sin 33 2 5

815) lim . 5) lim .

3 4 2 tg

9 3 1 sin6) lim . 6) lim .

cos

7) lim . 7) lim(1 ln cos ) .1

38) lim

9

x x

x x

x x

x x

xx

x x

x

x

x

x x x

xx x

x e e

x x x x

x x

x x x

xx

x

x

x

→−∞ →

→∞ →

π→ →

−

→∞ →

→∞

π +

+

+ − − −π− +

− −+ + +

+ − −+

−−

+( ) ( )ln( 1)2ln(2 )

1

1. 8)lim .4

xxx

x x

+−

→−

( )

( )

2 cos2

12

tg

0

ln27.1) lim . 3) lim(1 ) ;

tg 5

22) lim ( 2arctg ) . 4) lim .

x

xx

x

x x

xx

x

x x x

π

π →→

→+∞ →

π−−

π −



2 2

6

1) ( ) cos 4 , ( ) tg , 0.

2) ( ) 4 2, ( ) arcsin ,

0.

3) ( ) ln(1 sin tg ), ( ) , 0.

xx e x x x x

x x x x x

x

x x x x x x

α = − β = →

α = − + − β =

→

α = + ⋅ β = →


2 3

2

11) ( ) .

3 4, 1,

2) ( ) 2, 1 2,

, 2.

xf x

x x

x x

f x x x

x x

−=

− + ≤ −= − − < < ≥

243) ( ) 6 xf x −= у точках 1 23, 4.x x= =


3

5 3 353

3 2 2

35

22

4

cos sin( 3)

5 26tg

4

log ( 4)410.1) .cos

2) 2 cos sin 3 3 7.

sh3) sin 3 arctg .arcctg5

2 ln(2 3)4) lg( 3)arcctg 5

( 7)

5) arcsin2 (cth ) .

( 1) ( 1)6) (ln(7 4))

( 2) (

x

x x

x

xy x

xx

y x e x x

xy x xx

xy x x

x

y e x x

x xy x

x x

− +

+= − −

= − + − −

= ⋅ −

+= + +

−

= −

− += + +

+ − 7.

5)

2211.1) sin . 2) .x yxy y y x= =

22

5

2

1 ,? 6 4,12. : 1) 2)

1? 3 . .1

x

xx

xy x tt

y y t yt

=′ = = − ′′ = = = +

(5)

( )

13.1) (5 1)ln2 , ?

12) , ?

1n

y x x y

xy y

x

= − =

+= =

−



01) 3, 2.10

xy x= + =

61

0

20

2) sin , , 0.

3) 2 , ln , , (2;0;1).

tx t y a t

x t y t z t M

= = =

= = =


кції 2 31 (11 9 3 ).8

y x x x= + − −

4

maxmin[ , ] 2

1) 108 ,[ 1;4].16. ( ) ? 4 12) 8 , 2; .

2a b

y x x

f xy x

x

= − −= = − − −


графік: 23

2 2

2 12

2 3

2

2 cos 23

3 6( 1) 4 21) . 5) .2( 2 9) 1

4 132) . 6) .4 3

6 93) . 7) .3( 1)

4) . 8) ( 6) .

x

x

x

x xy yx x x

x xy y ex

x x ey yxx

y e y x x

+ −

−

− −= =+ + −

−= =+− += = −−

= = +


2

634

2 3 4

25

2 2

35

22

8 1 2 1

4

2

18.1) . 7) cos(10 3) .7 3

ln ( 9)2) (3 5 ) . 8) .

9

2 sin23) . 9) .

4 3 cos 2

ctg4) . 10) .

3 2 sin

arctg5) . 11) .

14 5

6) . 12) .

3 7 6 319.1) . 5)

4

x x

dxx dx

x

xx dx dx

x

dx xdx

x x

xdx xdx

x x

dx xdx

xx

e dx xe dx

x xdx

x

+ − −

−−

++

+

+

−

++

+ −+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫2

2

2 2

3 2

2

2 2

3 2

2 4 2

2 4 2

32

0 30.

( 1)( 2)

4 2 12) . 6) .

3 2

(5 17 36)3) . 7) .

2 3 6 ( 1)( 6 13)

(2 1) 14) . 8) .

5 2 10 5 4

720.1) tg . 4) sin 3 cos 3 .

4

2) sin 4 . 5)sin 3

xdx

x x

x xdx dx

x x x x

dx x x dx

x x x x x

x dx x x xdx

x x x x

xdx x xdx

dxxdx

x

+− +

+ +− − +

+ ++ + + + +

+ + + −+ + + +

+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 .cos

3) cos2 sin 3 . 6) .3 sin cos

x

dxx xdx

x x−

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2

4 6

3 5

15 4

2

2

3

3 2 3 721.1) . 5) .

2 1 5 1

2) . 6) .3 ( 1) 2

163) . 7) .

4

14) . 8) .

3 6

22.1) ln( 5) . 4) arcctg .

2) ( )cos . 5) sin .5

3) . 6) arccos .x

x xdx dx

x x x

dx dx

x x x x x

x dxdx

x xx

dx xdx

x x x

x dx x xdx

xx x xdx x dx

xe dx xdx+

+ −

− − +

− − + − −

−−

++ −

+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫


42 4 2 6

0 0

5 33 2 3

3 2 23 0

3ln122

22 ln 5

1) tg . 4) 2 sin cos .2 2

2 42) . 5) .

( 2) 9

3) . 6) .44 3

x

x xx xdx dx

x x x dxdx

x x x

dx dx

ex x

π π

− +− +

+− −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 31 0

1) . 2) .1 49 9 2

dx dx

xx x

∞

−− +∫ ∫


кривими: 2 21) ( 1) , 1.

2 2 cos ,2) 5 ( 5).

5 2 sin ,

3) 3 sin , 5 sin .

y x y x

x ty y

y t

= − = −

= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2, 0,y x x y= − = навколо осі .Ox


ної обертанням кривої cos ,x t=

2 siny t= + навколо осі .Ox

62

Варіант 30


( ) ( )( ) 2

1 11) cos 2 . 4) ctg .2 3 3 12

12) 2arccos . 5) .2

3) 3arctg( 1). 6) lg(5 3 ).

x

y x y x

y x y e

y x y x

+

π π= − + = +

= − =

= + = −

2. Знайти:


22 ;

zz iz + −


в), г) 81 2( )z z та ( )101

2;

zz


2z , якщо:

1 2 37 7 , 3 , 8 7 .z i z i z i= + = − + = − −


3 2

1) 1 3 4, arg .3

2) 3 2 , Im 2.

3) 5 8 6 0.

z z

z i z z

z z z

π< + < < < π

+ > + >

+ + + =


3 3

5 54

3 3

2 3

2 23 0

3

24 0

7 29 2 54.1) lim ... .

10 100 10

1 12) lim .

1 1

3) lim ( 1)( 2)( 3 2).

2 5 3 cos cos5.1) lim . 6.1) lim .

3 10 3 5

64 ln(1 5 )2) lim . 2) lim .

sin 37 27 4

n n

nn

n

n

x x

x x

n n

n n

n n n n n

x x x x

x x x

x x

xx x

→∞

→∞

→∞

→− →

→ →

+ + + +

+ − ++ − +

+ + − − −

+ − −+ +

− +− −

2

2 30

3

2

3 3cos2

3 2

3 32 0

5 3 1 2( 1)3) lim . 3) lim .

3( 1 1)3 5

7 3 4 sin 54) lim . 4) lim .

tg 32 5 1

7 4 tg(3 3)5) lim . 5) lim .

3 5 1 3 1

4 1 3 2 36) lim . 6) lim .

8 arcsin

4 27) lim

1

x

x x

x x

x

xx x

x x

x x

x

x x e

xx x

x x x

xx x

x

x x

x

x x x

x

π

→∞ →

→∞ →π

π

→−∞ →π

→ →

→∞

− + −+ −+ −

+ −− +

+ −− + −

+ − −− +

−( )( ) ( ) 2

13

3

132 ln(1 tg )

0

log 1. 7) lim .

2 tg

58) lim . 8) lim 1 sin .

24 2

x

x

xx

x x

x

x x

x xx

+

→

+→−∞ →

−− π

+−

−

3

2

22

4

cos sin2

1 0

sec 2 tg7.1) lim . 3) lim .

1 cos 4

2)lim( 1) . 4) lim(ctg ) .

x

xx

x x

x x

x xx e

x

x x

−π →∞→

π

→ →

−+

−



4 3

2

1) ( ) 1 1, ( ) arctg , 0.

2) ( ) ln( 7 11), ( ) 2,

2.

3) ( ) ln cos2 , ( ) arcsin , 0.

x x x x x

x x x x x

x

x x x x x

α = + − β = →

α = + + β = +

→ −

α = β = →


2

2

11) ( ) .

1

2, 1,

2) ( ) 1, 1 1,

3, 1.

xf x

x

x x

f x x x

x x

−=

− + ≤ −= + − < ≤− + >

13) ( )

2

xf x

x

+=

− у точках 1 22, 3.x x= =

Знайти похідні функцій (10—13): tg

74 2

43 5 3

2

54 2

2 35 3

3 arccos2

2tg5

610.1) .4 7 5

tg 32) 5 sin cos2 .

lg( 4)

ch 33) cos 3 arcsin 3 .arctg( 2)

4 lg(3 7)4) log ( 1)arctg .

( 5)

5) th 5 arcctg(2 5) (sh 3 ) .

( 1)6) (lg(8 3))

x

x

x

ey xx x x

xy x

x x

xy x xx

xy x x

x

y x x x

xy x

−= − +

+ −

= − −− +

= ⋅ +++

= + −−

= ⋅ − +

+= + −

35

4 5

( 2).

( 1) ( 3)

x

x x

+− −

2 3 311.1) ctg ( ) 5 . 2) 15 .x y y x y xy+ = + =

arcsin ,? cos sin ,12. : 1) 2)

sin2 . ln .?

x

xx

x ty x t t

y t y ty

′ == = + = =′′ =

2 (5)

( )

13.1) ( 2 1)sin2 , ?

7 12) , ?

4 3n

y x x x y

xy y

x

= + − =

+= =

+



0

2 31) , 4.

4

x xy x

− −= =

63

0

3 2 30

2) sin , cos2 , .6

3) 1, 3 , 2 1, (0;3;1).

x t y t t

x t y t z t M

π= = =

= − = = −


кції 2 21 ( 1) ( 3) .16

y x x= − + −

4 3

maxmin 23[ , ]

11) 6 7,[16;20].416. ( ) ?

2) ( 1) ( 2),[ 2; 5].a b

y x xf x

y x x

= − +=

= + − − −


графік: 23 2

2 2

3

3 2

2 2 23 3

3 6( 1) 81) . 5) .2( 2 9) 4

27 51 52) . 6) .4

3) ( 1) ( 2) .7) ln(4 ).

sin cos 64) . 8) ln .2

x xy yx x x

x x xy yx x

y x x y x

x x xy y x

− − −= =+ + −

− += =−

= + − + = −

+ += =


2

23

2 4

7

22

4

2 2

4 7 4 5

2

2

18.1) . 7) sin(9 7).6 1

ln(3 5)2) ( 2) . 8) .

3 5

cos63) . 9) .

3 2 sin 6

2 tg 34) . 10) .

cos 34 3

7 arctg 85) . 11) .

7 1 1 64

6) . 12) .

5 (3 1719.1) . 5)

9 4

x x

dxx

x

xx dx dx

x

dx xdx

x x

dx xdxxx

xdx xdx

x x

e dx e xdx

x x x

x

− −

++

+−

+

−

−

+ +

− − ++

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

3 3 2

2 3 2

2 2

2 2 2

35

3 4

22

2

2).

( 1)( 5 6)

2 3 2 5 12) . 6) .

2 1

(2 22)3) . 7) .

3 5 2 ( 2)( 2 10)

( 4) (2 3)4) . 8) .

5 1 ( 1) ( 4)

sin20.1) tg 4 . 4) .

cos

3 sin2) sin . 5)

4 3 sin co

dx

x x x

x x xdx dx

x x x

dx x dx

x x x x x

x dx x dx

x x x x

xxdx dx

x

x xdx

x

− + +

+ + −− +

++ + + − +− +− + − +

−

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2.

s

3) cos 7 cos 5 . 6) .2 3 cos sin

dxx

dxx xdx

x x− +

∫

∫ ∫

2 2

2 2

2

2 3

5 5

15 4

2 2

2 1 7 121.1) . 5) .

3 4 2 3

2) . 6) .4 1 1 3 2

16 ( 1 1)3) . 7) .

( 1 1) 1

14) . 8) .

2 8

222.1) ln . 4) ( 4) .

2

2) arctg2 . 5) ( 9)sin .2

3) cos( 2)

x

x xdx

x x x

dx dx

x x x x x

x x dxdx

x xx

dx xdx

x x x

xdx x e dxx

xx xdx x dx

x x dx

− −

− − −

+ + − −

− + −+ + +

++ −

−+

+

−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫. 6) arccos .

3

xdx∫ ∫

23. Обчислити інтеграли. 1 0

8 8

02

13 2

44

0 0

6 1

22

0 1

1) arctg . 4) 2 cos .

2) . 5) sin .21

3) 6 . 6) .2 3

x xdx xdx

x dx xdx

x

dxx dx

x x

π−

π

−

−

−+ +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫



2 23 0

1) . 2) .3 2 (2 1)

dx dx

x x x

∞

− + −∫ ∫


кривими:

( )21) cos , 0 0 .2

4( sin ),2)

4(1 cos ),

6 (0 3 , 6).

3) 2 sin , 4 sin .

y x x y x

x t t

y t

y x y

π= = ≤ ≤

= − = −= < < π ≥

ρ = ϕ ρ = ϕ


обертанням фігури, обмеженої кривими 2

2 , 2,2

xy x y= − + = навколо осі .Oy




64

Додаткові задачі 1. Описати множини , , \ ,A B A B A B∪ ∩

\ ,B A A B△ переліком всіх елементів якщо:

1) {1,2, 3,4}, {2, 3, 4}.

2) {4,5,6}, {5,6,7}.

3) ( 2,3], [2,4).

A B

A B

A B

= =

= =

= − =

2. Вважаючи [0,2]U = універсальною

множиною, знайти і зобразити ,A якщо :A

( )11) {0,1,2}. 2) ,1 . 3) (0,1].2

3. Знайтиmax ,min , sup , infX X X X , якщо:

{ }11) , . 2) [0,1).

5nX n X= ∈ =N

4. Знайти множину точок :z ∈ C

3

4 4

1) 1 Re . 4) 2 Im .

12) arg( 2 ) .5) Im 0.

11 1

3) Re 0. 6) arg 0.1 1

z z z z

zz i

z

z z

z z

π π

− = > +

−≤ + − ≤ =

+− −

= =+ +

5. Довести, що:

21) (2 3 1) 6.

1 12) 1 ... 2 .

23) (1 ) 1 , 1.n

n n n

n nn

x nx x

− +

< + + + <

+ ≥ + > −

⋮

6. Довести, користуючись означенням, що: 2

3

2

1

3 2 3 2 5 31) lim . 3) lim 7.

2 1 2 3

4 1 5 4 12) lim 2. 4)lim 6.

2 1 1

n x

n x

n x x

n x

n x x

n x

→∞ →−

→∞ →

− + −= = −

− +− − −

= =+ −

7. Знайти границі.

( )2 2 2

2

1 4 3 21) lim ... .

1 1 1 1 3 22) lim ... .

2 3 4 9 6

( 2)! ( 1)!3) lim .

( 1)! !

(2 )! (2 1)!4) lim .

(2 2)! (2 1)!

n

n n

nn

n

n

n

n n n

n n n

n n

n n n

n n n

→∞

→∞

→∞

→∞

−+ + +

+ + + + + + + − +

+ ++ −

− − −

8. При яких значеннях α і β функція ( )f x

буде нескінченно малою при 0 :x → +

1 ln(1 )1) ( ) sin . 3) ( ) .

12) ( ) arctg . 4) ( ) (1 ) .x

xf x x f x

x x

f x x f x xx

β

αα

β β

α αβ

+= =

= = −

9. Визначити порядок нескінченно великої: 2 3

5

2

4

2

1) ( ) ctg , 0.

2) ( ) , .1 2

3) ( ) 1, .

ln4) ( ) , 1.

( 1)

f x x x

xf x x

x x

f x x x x

xf x x

x

= →

= → ∞+ +

= + + → ∞

= →−

10. Які з пар функцій є функціями одного

порядку:

3

3 2 3

2

2

2

1) ( ) 1, ( ) ;

1, .

12) ( ) 1 , ( ) ; .

arctg) ( ) , ( ) 1, ;

11

4) ( ) cos , ( ) , 0?

f x x x x g x x x

x x

f x x x g x xx

x xf x g x x

x x

f x x g x x xx

= − − + = −

→ → ∞

= + − = → ±∞

= = → ∞+ +

= = →

11. Визначити при яких значеннях α та

β функції ( )f x та ( )g x x β= α є еквівале-

нтними:

( )

4

3

2 5

1

1) ( ) 2 ; 0, .

2) ( ) 1 2 1 3 , 0.

3) ( ) 2 (cos 1) 2, 0.

4) ( ) 1 cos 1 cos .

x

x

f x x x x x

f x x x x

f x e x x x

f x

= + → + → +∞

= − − − →

= + − + − →

= − −

12. Знайти корені рівнянь на інтервалах з

точністю до 0,1 : 3

3

3 2

1) 3 1,(1;2).

2) 6 2 0,( 3; 2),(0;1),(2;3).

3) 3 3 0,( 1;0),(1;2),(2;3).

x x

x x

x x

− +

− + = − −

− + = −

13. Наближено обчислити:

31) arcsin 0,6. 2) arctg 0,95. 3) 26,19.

14. Перевірити теорему Ролля: 2

3 2

3 2

1) ( ) ( 1), [ 1;1], [0;1].

2) ( ) 5 6, [2;3].

3) ( ) 6 11 6, [1;3].

f x x x x x

f x x x x

f x x x x x

= − ∈ − ∈

= − + ∈

= − + − ∈

15. Перевірити теорему Лагранжа: 3 21) ( ) 3 1, [1;3].

2) ( ) arctg , [1; 3].

f x x x x x

f x x x

= − + + ∈

= ∈

65

16. Довести нерівності:

2

3

3

1) 1 , 0.

12) ln ,0 .

1 1 1

3) ln (1 ) , 0.1

2( 1)4) ln , 1.

1

5) ln(1 ) 2 arctg .

arctg6) ln(1 ), 0.

1

7) sin , 0.6

8) tg , 0; .23

xe x x

b a b b aa b

b a ax

x x x xx

xx x

x

x x x

xx x

x

xx x x

xx x x

> + ≠

− + −< < < <

+ + +

< + < >+

−>

++ ≤

< + >+

− < >

π + < ∈

17. Перевірити теорему Коші: 4 2

;6 3

1) ( ) , ( ) ,[ ; ], 0 .

2) ( ) sin , ( ) cos , .

f x x x x a b a b

f x x x x x π π

= ϕ = < <

= ϕ = ∈

18. Розвинути ( )f x за степенями ( ) :g x

3 2

4

1) ( ) 2 3 1, ( ) 1.

2) ( ) 2 3, ( ) 1.

f x x x x g x x

f x x x g x x

= + − + = +

= − + = −

19. Наближено обчислити з похибкою

меншою 310− : 431) 127. 2) 83. 3) sin 85 . 4)ln(1,3).°

20. Оцінити абсолютну похибку набли-

жених формул:

0

3 5

2 4 6

3

2 3 4

1) , [0;1].!

2) sin , 1.3! 5!

3) cos 1 , 0,5.2! 4 ! 6!

4) tg , 0,1.3

5) ln(1 ) , 0,1.2 3 4

n kx

k

xe x

k

x xx x x

x x xx x

xx x x

x x xx x x

=≈ ∈

≈ − + <

≈ − + − ≤

≈ + ≤

+ ≈ − + − ≤

∑

21. Дослідити функцію в околі заданих

точок: 2

0

2 3 20

2 20

1) 4 ( 2)ln( 1), 2.

2) 6 3 6 , 2.

3) sin ( 2) 4 4, 2.

x

y x x x x x

y e x x x x

y x x x x

−

= − − − − =

= − + − =

= + − − − =

22. Дослідити функцію на екстремум:

2

211) ( ) . 3) ( ) (2 ).

2) ( ) cos . 4) ( ) .x x

f x x f x x xx

f x e x f x xe−

= + = −

= =

23. Знайти найменше та найбільше зна-

чення функції:

2

31) 2 sin sin2 , 0; .2

92) 4 sin , [ ;2 ].

y x x

y x x xx

π = + π

= + + ∈ π π

24. Дослідити функцію на опуклість: 2

2

3

4 22

2 2

3 2

1) ( ) 1. 5) ( ) .

2) ( ) 6 2. 6) .1

3) ( ) ln . 7) ( ) .

4) ( ) 6 2 10.

x

x x

f x x f x e

xf x x x y

x

f x x x f x e

f x x x x

−

−

= + =

= − + =+

= =

= − + +

25. Знайти асимптоти графіка функції:

( )

2 2 3

2

1

1) 1. 3) ( ) .25 4 1

2) ( ) arctg . 4) ( ) 1 .x

x

x y xf x

x

f x x x f x x

− = =−

= = −

26. Побудувати графік функції:

( )

cos

arctg

1sin cos

2

1

1) cos 3 3 cos . 6) .

2) cos ln cos . 7) .

3) . 8) (1 ) .

arcsin4) ln(cos sin ). 9) .

1sin cos

5) arctg . 10) 1 .2

x

x

x x x

x

x

y x x y e

y x x y e

y e y x

xy x x y

x

x xy y

−

+

= + =

= − =

= = +

= + =−

+= = +


52 22 2

42 30 2

3

2 62 31 0

41) . 3) .

(5 )

2) . 4) .(1 )(1 )

dx xdx

xx

dx dx

xx

+∞

−

−

++

∫ ∫

∫ ∫

29. Дослідити інтеграли на збіжність: 17

3 30 0

5 4

30 0

1) . 3) .cos( 1)

sin2) . 4) .

ln

x

x dx dx

e xx x

dx xdx

x x

+∞

π

−+ +∫ ∫

∫ ∫

МІНІСТЕРСТВО - matan.kpi.uamatan.kpi.ua/public/files/МА1.pdf · 3 Вступ...

Documents

Transcript of МІНІСТЕРСТВО - matan.kpi.uamatan.kpi.ua/public/files/МА1.pdf · 3 Вступ...