I.P.E.T. Nº1 CBC Tecnicaturas Superiores - Módulo Herramientas Matemáticas

1

SITUACIONES DONDE SE USA FUNCIÓN LINEAL I

Función Oferta y Función Demanda de un Mercado.

Ejercicios propuestos: 1) Considere la relación 8p +20Q – 25000 = 0, donde p es el precio de un producto.

a) Da la función explícita Q = f(p). ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?.

Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos:

20Q = -8p + 25000

Q = (-8p + 25000) / 20

Q = -8/20 p + 25000/20 = -2/5 p + 1250

La recta obtenida corresponde a demanda ya que su pendiente es negativa.

La curva de demanda es una función decreciente: si suben los precios la gente querrá comprar

menos y si bajan querrá comprar más (parece que es una postura comprensible). Entonces, la

pendiente de la función lineal demanda será negativa.

b) Interpreta la pendiente

La pendiente de la recta es p

Qk

∆

∆=−=

5

2. Esto significa que cada vez que el precio baje 5 pesos, el

mercado demandará 2 unidades más.

c) Grafica dicha recta

Ver problema 2, donde se grafican ambas funciones.

d) Interpreta la ordenada al origen en la grafica.

El valor de la ordenada al origen es $ 1250. Significa

2) Considere la relación – 20p + 8Q + 2000 = 0 para el mismo producto.

a) Da la función Q = f(p). ¿Es ofertas o demanda? ¿Por qué?

Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos:

8Q = 20p - 2000

Q = (20p - 2000) / 8

Q = 20/8 p + 2000/8 = 5/2 p - 250

b) Interpreta la pendiente.

La pendiente de la recta es p

Qk

∆

∆==

2

5. Esto significa que cada vez que el precio aumento 2

pesos, el mercado ofrecerá 5 unidades más.

c) Grafica en el mismo sistema que en 1)

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2

Realizamos una tabla de valores para poder graficar:

2502

5−= pQ o 1250

5

2+−= pQ o

P (precio) Q (Cantidad) P (precio) Q (Cantidad)

3125 0 100 0

0 1250 600 1250

Gráficos de Oferta y Demanda

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

3000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

Cantidad (Q)

Pre

cio

($)

Demanda Oferta

d) Expresa e interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen en el grafico.

Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen ( Precio: $3125) corresponde al precio en

el cual no hay demanda. Para el valor de q=1250 unidades, corresponde a la capacidad máxima de

consumo de el producto o servicio.

En la función oferta, el valor de precio para q=0, donde Precio: $ 100, corresponde al valor mínimo

que está dispuesto a ofrecer sus productos el proveedor.

e) Encuentra el punto de equilibrio

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3

Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.

12505

2250

2

5+−=− pp

25012505

2

2

5+=+ pp

15005

2

2

5=

+ p 1500

10

29=

p 24,517

10

29

1500==p

Ahora reemplazando el valor de p=$517,24, obtenemos el valor de Q.

Elegimos: 2502

5−= pQ o (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).

10,104325024,517.2

5=−=oQ

Punto de equilibrio: ($517,24 ; 1043,10 unidades).

3) Dos puntos (p , Q) sobre la función lineal de demanda son, ($25 ; 50000) y, ($35;42500)

para un determinado producto WXT.

a) Determine la función de demanda Q = f(p).

Las variables serán:

Qcantidadpprecio →→ ;

Precio P Cantidad Q

25 50000

35 42500

Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:

Pendiente 75010

7500

2535

5000042500−=−=

−

−=

∆

∆=

p

Qk

Ahora buscamos la ordenada:

bbbbbpQ =∴=+⇒+=⇒+−=⇒+−= 687501875050000187505000025·75050000750

La función oferta será: 68750750 +−= pQ o

b) ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 60000 unidades?

Reemplazando y haciendo pasaje de términos:

6875075060000 +−= p

p7506875060000 −=−

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4

p7508750 −=− 67,11$750

8750==p

c) Interprete la pendiente de la función.

La pendiente de la recta es p

Qk

∆

∆=−=

1

750. Esto significa que cada vez que el precio baje 1 pesos,

el mercado demandará 750 unidades más.

d) Trace la grafica de la función. (ver ejercicio 4).

e) Interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen del grafico.

Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen (Precio: $68750) corresponde a la

capacidad máxima de consumo de el producto o servicio.

Para Q=0, el precio es de $ 91,67 representa el precio para el cual la demanda es cero.

4) Dos puntos ( p ; Q) sobre la función lineal de oferta son; ($5,5;45000) y ($7,5;75000), para

el producto WXT.

a) Determine la función de oferta Q = f(p).

Determine la función de oferta Q = f(p).

Las variables serán:

Qcantidadpprecio →→ ;

Precio P Cantidad Q

5,5 45000

7,5 75000

Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:

Pendiente 150002

30000

5,55,7

4500075000==

−

−=

∆

∆=

p

Qk

Ahora buscamos la ordenada:

b

bb

bbpQ

=−∴

=−⇒+=

⇒+=⇒+=

37500

1125005000011250075000

5,7·150005000715000

La función oferta será:

3750015000 −= pQ o

b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135000 unidades a la venta?

Reemplazando:

5,11$15000

172500

15000375001350003750015000135000

==

=+⇒−=

p

pp

c) Interprete la pendiente de la función.

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5

La pendiente de la recta es p

Qk

∆

∆==

1

15000. Esto significa que cada vez que el precio aumente 1

peso, el mercado ofrecerá 15000 unidades más.

d) Trace la función en el mismo sistema que en 3)

Realizamos una tabla de valores para poder graficar:

3750015000 −= pQ o 68750750 +−= pQ d

P (precio) Q (Cantidad) P (precio) Q (Cantidad)

2 0 91,67 0

11,5 135000 0 68750

Funciones Oferta y Demanda

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

Cantidad

Pre

cio

Oferta Demanda

e) Interprete la intersección con el eje p.

La intersección con el eje P para la función demanda, significa el precio máximo en el cual no hay

demanda. Para este caso: $ 91,67.

El en caso de la función oferta, el valor mínimo para el cual el proveedor está dispuesto a ofrecer

productos al mercado.

f) Encuentre el punto de equilibrio.

Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.

687507503750015000 +−=− pp

375006875075015000 +=+ pp

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6

( ) 10625075015000 =+ p

( ) 10625015750 =p 75,615750

106250==p

Ahora reemplazando el valor de p=$6,75, obtenemos el valor de Q.

Elegimos: 3750015000 −= pQ o (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).

636903750075,6.15000 =−=oQ

Punto de equilibrio: ($6,75 ; 63690 unidades).

5)

a) Una fábrica de zapatos observa que cuando el precio de cada par es de $50 se

venden 30 pares por día. Si el precio aumenta en $10, sólo se venden 15 pares.

Obtener la forma explícita de la ecuación de la demanda.

Determinamos la función de demanda Q = f(p).

Las variables serán:

Qcantidadpprecio →→ ;

Precio P Cantidad Q

50 30

60 15

Para hallar la ecuación demanda primero buscamos la pendiente:

Pendiente 5,110

15

5060

3015−==

−

−=

∆

∆=

p

Qk

Ahora buscamos la ordenada:

b

bb

bbpQ

=∴

=+⇒+−=

⇒+−=⇒+−=

105

90159015

60·5,1155,1

La función demanda será: 1055,1 +−= pQ o

b) En la misma fábrica de zapatos, cuando el precio es de $50, hay disponibles 50

pares. Cuando el precio es de $75, hay disponibles 100. Obtener la ecuación de la

oferta

Determinamos la función de oferta Q = f(p).

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7

Las variables serán:

Qcantidadpprecio →→ ;

Precio P Cantidad Q

50 50

75 100

Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:

Pendiente 225

50

5075

50100==

−

−=

∆

∆=

p

Qk

Ahora buscamos la ordenada:

b

bb

bbpQ

=−∴

=−⇒+=

⇒+=⇒+=

50

150100150100

75·21002

La función oferta será: 502 −= pQ o

c) Determina el punto de equilibrio del mercado.

Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.

1055,1502 +−=− pp

501055,12 +=+ pp

( ) 1555,12 =+ p ( ) 1555,3 =p 29,445,3

155==p

Ahora reemplazando el valor de p=$44,29, obtenemos el valor de Q.

Elegimos: 502 −= pQ o (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).

57,385029,44.2 =−=oQ

Punto de equilibrio: ($44,29 ; 38,57 unidades).

d) Grafica ambas funciones.

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Oferta y demanda

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Cantidad (Q)

Pre

cio

(P)

Oferta Demanda

6) Una empresa produce un producto en un mercado de competencia perfecta siendo las

funciones:

8002 +−= pqd y 1004 −= pqo (p: precio unitario, q: cantidad )

a) ¿A qué precio puede vender el producto? ¿Qué cantidad de productos puede colocar en el

mercado?

Debemos obtener el punto de equilibrio, igualando ambas ecuaciones.

80021004 +−=− pp

10080024 +=+ pp

9006 =p 1506

900==p

Ahora reemplazando el valor de p=$150, obtenemos el valor de Q.

Elegimos: 1004 −= pQ o (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).

500100150.4 =−=oQ

Punto de equilibrio: ($150 ; 500 unidades).

b) Grafica las funciones.

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Oferta y Demanda

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Cantidad (Q)

Pre

cio

(P)

Oferta Demanda

c) Si el precio es $200, ¿hay escasez o exceso?

Reemplazamos en ambas funciones:

400800400800200.28002 =+−=+−=+−= pqd

700100200.41004 =−=−= pqo

En este caso do qq ⟩ , por lo tanto hay exceso.

d) Suponiendo que se impone un precio mínimo de $100, ¿qué cantidad de unidades en defecto

tendremos?. Justifica tu respuesta.

Reemplazamos en ambas funciones:

600800200800100.28002 =+−=+−=+−= pqd

300100100.41004 =−=−= pqo

En este caso od qq ⟩ , por lo tanto hay defecto.

Cuando el precio está por encima del punto de equilibrio, estamos en una situación de exceso y

cuando está por debajo, en una situación de defecto.