MINISTERIO DE EDUCACION SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004

Cuarta Fase – Nivel 3 13 de noviembre de 2004

- - - -

1. Sea

dos co

a

posibl

2. Se tie

monedmás liusand

3. Sean

Halla

4. Halla

tienen Nota:

donde

La prueba tiene una duración máxima de 4 horas. No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros. Entrega tu cuadernillo de soluciones justificando adecuadamente todos los pasos. Puedes llevar las hojas con los enunciados de las preguntas.

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Cuarta Fase – Nivel 3 1

JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN

un número de dígitos ( ). Un número b de dígitos se obtiene escribiendo

pias de una a continuación de la otra. Si

n 1>n n2

a 2

ba

es un número entero k, encuentra los

es valores de k.

nen 100 monedas aparentemente iguales, donde al menos una de ellas es falsa. Las as verdaderas son de igual peso y las monedas falsas también son de igual peso, pero

vianas que las verdaderas. Explica cómo se puede hallar la cantidad de monedas falsas o una balanza de platillos, a lo más 51 veces.

zyx ,, números reales positivos, menores que π, tales que: 0coscoscos =++ zyx

02cos2cos2cos =++ zyx 03cos3cos3cos =++ zyx .

todos los valores que puede tomar zyx sensensen ++ .

el menor número real para el cual existen dos triángulos no congruentes, cuyos lados longitudes enteras y el valor númerico del área de cada triángulo es .

xx

Puedes usar la fórmula de Herón para el área de un triángulo de lados , b y c : S a

( )( )( )cpbpappS −−−=

es el semiperímetro del triángulo, es decir p2

cbap ++= .

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN