OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS

(Recopilación de problemas)

PROBLEMARIO

Oficina Técnica Febrero 2015

2

Presentación Con el propósito de apoyar a los alumnos de las escuelas pertenecientes a la Dirección

General de Bachillerato, en su participación en la Fase Regional y Estatal de la Olimpiada de

Matemáticas, el Departamento de Bachillerato a través de la Oficina Técnica elabora el presente

material, consistente en la recopilación de problemas publicados por la Sociedad Matemática

Mexicana en años anteriores, en sus cuadernillos de entrenamiento, con la finalidad de que los

interesados en concursar, posean un material base que les permita conocer el tipo de problemas, así

como el nivel de éstos, de tal forma que los jóvenes reciban un entrenamiento más adecuado.

Los problemas que aquí aparecen comprenden temas variados de Aritmética, Geometría y

Combinatoria. Además, requieren de una buena dosis de ingenio, creatividad y esfuerzo para ser

resueltos, ya que no son ejercicios rutinarios en los que se apliquen directamente los conocimientos

adquiridos en la escuela.

Se incluyen opciones para las respuestas de los problemas, con el fin de que éstas le

muestren ciertas características de la veracidad de su razonamiento. En ocasiones, es conveniente

ignorar las opciones propuestas para acostumbrar al alumno a las condiciones de una competencia.

Para resolverlos, se aconseja el esfuerzo individual, pero también es muy importante comentarlos

con los compañeros y profesores. Además, se tendrá que prescindir de la calculadora, ya que en las

diferentes etapas en que participe, no se permite su uso.

Se espera que este material resulte útil para todas aquellas personas que se interesen en

resolver sus problemas, y al mismo tiempo cumpla con el propósito para el cual fue elaborado.

3

Problemas A continuación se presentan algunos problemas para mostrar el tipo de matemáticas que se

manejan en las primeras fases de la Olimpiada de Matemáticas. 1. Si ( 6! ) ( 7! ) = n! ¿Cuál es el valor de n? [ n! = 1 · 2 · 3... · (n-1) · n ]

a) 10 b) 12 c) 13 d) 42 e) 52 2. Cada movimiento en un juego consiste de invertir dos flechas adyacentes, la posición ini-

cial es ↑↑↑↓↓↓ y la posición final es ↑↓↑↓↑↓. ¿Cuál es el número mínimo de movimien-tos para llegar a esta posición final? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Los niños A,B y C tomaron 13 dulces de una mesa, al final, A dijo tomé 2 dulces más que

B, B dijo tomé la mitad de dulces que A y 5 menos que C, y finalmente C dijo tomé un nú-mero par de dulces. Si sabemos que a lo más uno de ellos mentía, ¿quién es el mentiroso? a) A b) B c) C d) Ninguno e) Todos

4. Si el perímetro de un triángulo cualquiera es p y el radio del círculo inscrito es r. ¿Cuál de

las siguientes afirmaciones es cierta en todos los casos? a) p>2πr b) p>2πr c) p2=πr2 d) p<3r e) p=3r2

5. ¿Cuál es el número más pequeño por el que ha de multiplicarse el número 126 para que el

producto sea un cuadrado perfecto? a) 81 b) 14 c) 16 d) 20 e) 36

6. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14. ¿Cuál es el área del triángulo?

a) 3 b) 7 c) 12 d) 14 e) 19 7. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 2, 2, 3?

a) 120 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10 8. Dado p(x) = x3 + ax + 1, si p(1) = 1. ¿Cuál es el valor de p(2)?

a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 9 9. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un número entre 400 y 699 (inclusive) tenga sus

tres cifras diferentes?

a) 2518 b)

10081 c)

8110 d)

5027 e)

7225

10. Se tiene un triángulo ΔABC con AB=5, BC=3 y CA=4. Sea ΔA'B'C' un triángulo semejan-

te al ΔABC y tal que su circunferencia inscrita sea la circunferencia circunscrita del ΔABC. ¿Cuánto vale A'C'?

a) 215 b) 8 c) 10 d)

225 e) 13

4

A

∪∪ 48° α B D C

11. Si el promedio de tres números es 85 y el promedio de otros dos es 95, ¿cuál es el promedio de los cinco números? a) 88 b) 89 c) 90 d) 91 e) 92

12. Si 1052 yx == . ¿Cuánto vale y1

x1+ ?

a) 101 b)

51

21+ c) 10 d) 1 e) 5

13. Dibujar en la figura el camino más corto que puede recorrer la araña que está en A, si úni-

camente puede caminar sobre la superficie del paralepípedo, para llegar a la mosca que está en B. ¿Cuál es la longitud del camino?

B 1 1 1 A 3

a) 4 b) 13 c) 5 d) 3 e) 5 14. ¿Cuánto mide el ángulo α en la siguiente figura? (Los lados AB, AD y DC son iguales).

a) 42° b) 40° c) 33° d) 24° e) 22° 15. Si ABCD es un cuadrado de lado 2, M es el punto medio de AB y P es la intersección de

los segmentos DB y MC. ¿Cuánto vale PC?

a) 32 b) 1 c)

35 d)

352 e) 2

A M B D C

5

16. En un cuadrado ABCD de lado 1, E es punto medio de la diagonal BD y F punto medio de ED. ¿Cuál es el área del triángulo CFD?

a) 83 b)

121 c)

21 d)

81 e)

41

17. La suma de todos los dígitos del número 1099−99 es:

a) 873 b) 874 c) 879 d) 899 e) 901 18. El lado AC de un triángulo ABC se divide en ocho partes iguales, siete segmentos de recta

paralelos a BC se dibujan desde los puntos de división. Si BC=10, ¿cuánto mide la suma de las longitudes de los siete segmentos?

B C A

a) 35 b) 70 c) 80 d) 89 e) 91 19. Una “operación” consiste en multiplicar el número inicial por tres y sumarle cinco. Si se

empieza con el número uno, ¿cuál es la cifra de las unidades después de aplicar la operación 1999 veces? a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 10

20. Un estratega francés de la Segunda Guerra Mundial tiene el siguiente problema: la distancia

(en línea recta) de Chálons a Vitry es de 30 km; de Vitry a Chaumont 80 km; de Chaumont a St. Quetin 236 km; de St. Quetin a Reims 86 km y de Reims a Chálons 40 km ¿cuál es la dis-tancia en línea recta que hay entre Reims y Chaumont? a) 110 km b) 120 km c) 322 km d) 150 km e) 190 km

21. La hierba en un prado crece con densidad y rapidez homogéneas. Sabiendo que 70 vacas con-

sumen la hierba en 24 días y 30 vacas en 60 días, ¿cuántas vacas consumirán la hierba en 96 días? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25

22. Si un cubo de arista igual a cinco se parte en cubos de arista igual a uno, entonces la suma de

las longitudes de todas las aristas de todos los nuevos cubos es: a) 300 b) 400 c) 2000 d) 1500 e) 900

23. Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determine el valor de P.

a) 10 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48

6

24. El 70% de los habitantes de un país habla un idioma y 60% de la misma población habla otro idioma. ¿Qué porcentaje de la población habla los dos idiomas, sabiendo que cada habitante habla al menos uno de ellos? a) 70% b) 60% c) 30% d) 10% e) 40%

25. Dados dos números a y b, se define la operación ♦ de la siguiente manera: a♦b=a+b+ab.

¿Cuál es el valor de 1♦1/2♦1/3♦...♦1/1999?

a) 19991000 b) 1999 c) 1000+

19991 d) 2000 e) 2999

26. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación: 6522 x3x3 =+ −+ ?

a) 3 b) 2 c) 19 d) 0 e) 5 27. Se tienen nueve ciudades y se quieren construir carreteras entre pares de ellas, de tal forma

que sea posible viajar entre cualesquiera dos de ellas. ¿Cuál es el mínimo número de carrete-ras que se deben construir? a) 8 b) 9 c) 18 d) 36 e) 42

28. Un hombre nació en el año x2 y murió en el año y2 (donde los números x, y son enteros posi-

tivos). Considérese que murió en el día de su cumpleaños. Se sabe que vivió entre el año 1800 y el 2000. ¿Cuántos años vivió el hombre? a) 43 b) 44 c) 78 d) 87 e) 90

29. Si 02x8x2 =−+ . ¿Qué número representa la expresión 10x16x8x 34 +++ ?

a) 0 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16 30. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a ocho y se dibuja un círculo que pasa a través de

los vértices A y D, y es tangente al lado BC. El radio del círculo es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

31. Si 1m11

n11 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + , entonces m es igual a:

a) n−1 b) n+1 c) 2n d) 1n2 + e) n 32. Si ABCD es trapecio de bases AB=8 y CD=2 y sus diagonales se cortan en E, la razón del

área del trapecio entre el área del triángulo ABE es: a) 8 b) 4 c) 25/16 d) 16/25 e) 3

33. Si los números a,b,c satisfacen las siguientes igualdades:

1c1

b1

a1

=++ , 31

c1

b1

a1

=+− , 0c1

b1

a1

=−+ , entonces, c3b2a ++ es igual a:

a) 6 b) 12 c) 18 d) 26 e) 26

7

34. En la siguiente figura, el área del triángulo chico es 8. ¿Cuál es el área del triángulo gran-de?

a 2a 2b 3b

a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 35. Un punto P está fuera de un círculo, a una distancia 13 del centro. Una secante trazada des-

de P corta a la circunferencia en Q y R, de tal manera que el segmento externo de la secante PQ, mide 9 y QR mide 7. El radio del círculo es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

36. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación: 99 − 97 + 95 − 93 + ... + 3 − 1 = ?

a) 48 b) 64 c) 32 d) 50 e) 0 37. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de

cortar. ¿Qué fracción de pastel original quedó después de cortar tres veces?

a) 32 b)

34 c)

94 d)

98 e)

278

38. En un triángulo equilátero ABC se dividen los lados en tres partes iguales. Sean las divisio-

nes M, N, O, P, Q y R como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región NPRQ, si el área del triángulo ABC es 18?

A M Q N R B O P C

a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 39. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes al círculo cuyo centro es

O y cuyo radio es 3 . El área del cuadrilátero AOBC es igual a: A O C B

a) 2 3 b) π 3 c) 2π d) 3 3 e) 3π

8

40. Un costal está lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cuál es el número mínimo de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color? a) 1960 b) 1977 c) 1981 d) 1995 e) 2001

41. En el rectángulo de la siguiente figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respecti-

vamente, y P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo que AD mide 5 y que AB mide 3, ¿cuál es la superficie del cuadrilátero MPQD?

A M D P Q B N C

a) 2.75 b) 3 c) 3.25 d) 3.75 e) 4 42. A una cantidad le sumo su 10%, y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcen-

taje de la cantidad original me queda? a) 98 b) 99 c) 100 d) 101 e) 102

43. Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3, 4 se pueden escribir diferentes números, por ejem-

plo, podemos escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los números que se construyen así? a) 2203 b) 2889 c) 3003 d) 3087 e) 3333

44. El boleto de entrada al Palacio de las Ciencias cuesta 5 pesos por niño y 10 pesos por adul-

to. Al final del día 50 personas visitaron el Palacio y el ingreso total de las entradas fue de 350 pesos. ¿Cuántos adultos visitaron el Palacio? a) 18 b) 20 c) 25 d) 40 e) 45

45. El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para bañar un elefante. Su

hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en bañar 3 elefantes trabajando juntos? a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 100

46. Una acción en la bolsa de valores vale 1499 pesos en mayo. De mayo a junio la acción au-

menta 10% y de junio a julio la acción disminuye 10%. ¿Cuántos pesos vale a fin de julio? a) 1450 b) 1400 c) 1390 d) 1386 e) 1376

47. Si se efectúa el producto de todos los números impares comprendidos entre 1 y 1994, ¿cuál

es la cifra de las unidades del número así obtenido? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

48. ¿Cuánto vale la suma de las cifras del número 9210N 92 −= ?

a) 1992 b) 992 c) 818 d) 808 e) 798

9

49. A cierta persona le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es cero; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

50. En el cubo siguiente, ¿de cuántas formas se puede ir de A a B, sobre las aristas sin pasar

dos veces por el mismo vértice y no se permite subir? A B

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 51. Alicia va al club cada día; Beatriz va cada 2 días; Carlos va cada 3; Daniel cada 4; Enrique

cada 5; Francisco cada 6 y Gabriela cada 7. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuán-tos días será la primera vez que vuelvan a reunirse? a) 27 b) 28 c) 210 d) 420 e) 5040

52. Dos enteros a>1 y b>1 satisfacen 57ba ab =+ . Encontrar el valor de ba + .

a) 5 b) 7 c) 10 d) 12 e) 57 53. En la siguiente figura AD=DC, AB=AC, el ángulo ∠ABC mide 75° y el ángulo ∠ADC

mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo ∠BAD? A

D B

C a) 30° b) 85° c) 95° d) 125° e) 140°

54. Si “x” es un número par y “y” un número impar, ¿cuál de los siguientes números no es im-

par?

a) yx + b) 1xx ++ c) 2x2 d)

2yy + e) 1xy +

55. Sea f una función de números tal que 3)2(f = y ab)b(f)a(f)ba(f ++=+ , para toda a y b.

Entonces )11(f es igual a: a) 22 b) 33 c) 44 d) 55 e) 66

56. Un poliedro de forma parecida a la de un balón de fútbol tiene 32 caras: 20 son hexágonos

regulares y 12 son pentágonos regulares. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro? a) 72 b) 90 c) 60 d) 56 e) 54

10

57. Cinco amigos P, Q, R, S y T se dan la mano. Tanto P como Q estrecharon la mano de uno solo de sus amigos, mientras R, S y T estrecharon cada uno la mano de dos de sus amigos. Se sabe que P estrechó la mano de T. ¿Quiénes se puede asegurar que no se dieron la mano? a) T y S b) T y R c) Q y R d) Q y T e) Q y S

58. ¿Cuál es la longitud de x en la siguiente figura, si CD=18 y EF=10? A B C D x E F

a) 116 b) 104 c) 9 d) 12 e) 18 59. Jorge y Raúl apostaron según las siguientes reglas: van a lanzar un dado normal (con los nú-

meros del 1 al 6 en sus caras) y una moneda (con los números 1 y 2 marcados en sus caras). Después multiplicarán el número que salga en el dado con el que salga en la moneda. Si el re-sultado es par gana Jorge, y si es impar gana Raúl. ¿Qué probabilidad de ganar tiene Jorge?

a) 21 b)

31 c)

32 d)

43 e)

65

60. Una caja que compró Lupita está llena de chocolates en forma de cubo. Primero se comió

todos los del piso de arriba, que eran 77; después se comió 55, que eran los que quedaban en un costado; finalmente se comió los que quedaban enfrente. Sobraron algunos chocolates en la caja, ¿cuántos? a) 203 b) 256 c) 295 d) 300 e) 350

61. En la siguiente figura, los puntos P, Q, R y S dividen respectivamente a cada lado del rectán-

gulo en la razón 1:2. ¿Cuál es el cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área de ABCD?

A P B Q

S D R C

a) 52 b)

53 c)

94 d)

95 e)

32

11

62. En la figura, ABCDE representa un pentágono regular de una unidad de lado y ABQ es un triángulo equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo ∠BCQ?

A

E B Q D C

a) 45° b) 54° c) 60° d) 66° e) 72° 63. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del montón

A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas como hay en el C y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el mismo número de canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón A? a) 16 b) 19 c) 20 d) 22 e) 30

64. En la siguiente figura, cada lado del cuadrado más pequeño mide 3 y cada lado del cuadra-

do más grande mide 6. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado? 6 3 3 6

a) 6 b) 10 c) 12 d) 18 e) 24 65. Se escriben los números enteros del 0 al 2000 y se dibujan flechas entre ellos con el siguiente

patrón:

0 è 1 3 6 è 7 9 12 è 1

3 15

ê ì ê é ê ì ê é ê ì

2 4 è 5 8 10 è 1

1 14

Y así sucesivamente. ¿Cuál es la sucesión de flechas que llevan del 1997 al 2000? a) èêì b) ìêè c) êèé d) èéè e) éèê

66. Marcos compró una bolsa con 2000 caramelos de cinco colores; 387 eran blancos, 396

amarillos, 402 rojos, 407 verdes y 408 cafés. Decidió comerse los caramelos de la siguiente forma: sin mirar sacaba tres de la bolsa. Si los tres eran del mismo color, se los comía, si no, los regresaba a la bolsa. Continuó así hasta que sólo quedaron dos caramelos en la bol-sa. ¿De qué color eran estos caramelos? a) blancos b) cafés c) rojos d) verdes e) amarillos

12

67. Un pedazo rectangular de piel mágica se reduce a la mitad de su longitud y a la tercera par-te de su ancho después de cumplirle un deseo a su dueño. Después de tres deseos tiene un área de 4 cm2. Si su ancho inicial era de 9 cm, ¿cuál era su largo inicial? a) 32 cm b) 96 cm c) 144 cm d) 288 cm e) faltan datos

68. Pedro tiene dos relojes de arena de diferente tamaño. En el primer reloj cada centímetro

cúbico de arena pasa en un minuto y en el segundo reloj esa misma cantidad de arena pasa en tres minutos. En ambos relojes la arena total pasa en el mismo tiempo. Si el primer reloj contiene 27 cm3 de arena, ¿cuántos centímetros cúbicos de arena contiene el segundo? a) 3 b) 6 c) 9 d) 27 e) 81

69. Se tienen seis números enteros A, B, C, D, E, F que cumplen lo siguiente: C=AB, D=BC,

E=CD y F=DE (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anterio-res). Si se sabe que A=2 y que F=6075000, ¿cuánto vale B+C+D+E? a) 12345 b) 12525 c) 13000 d) 13995 e) 14555

70. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 71998?

a) 01 b) 07 c) 18 d) 43 e) 49 71. Los lados de un triángulo miden 2, 3, “x”. Si el área también es “x”, ¿cuánto vale “x”?

a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 5 72. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un solo punto), los tres círcu-

los son del mismo tamaño y su radio es igual a 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) π−12 b) π− 212 c) π− 2122 d) π− 412 e) π−1212 73. Un vendedor tiene seis canastas de frutas, unas de puras naranjas y otras de puras manza-

nas. Las seis canastas tienen 8, 12, 14, 17, 19 y 23 frutas respectivamente, pero no se sabe cuáles son de naranjas y cuáles de manzanas. La persona vendió una canasta completa, y en total en las restantes cinco canastas quedaron el doble de naranjas que de manzanas. ¿Cuán-tas naranjas le quedan en total al vendedor? a) 25 b) 27 c) 40 d) 53 e) 54

74. En cierta escuela, uno de 69 alumnos tiene promedio de 10, uno de 87 alumnos está becado

y uno de 29 alumnos domina el inglés. Con estas condiciones, ¿cuál es el número mínimo de alumnos que puede tener la escuela? a) 29 b) 87 c) 185 d) 2001 e) 174087

75. Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ARQ=150°,

∠QPC=35° y ∠PCB=45°, ¿cuánto vale ∠PQR?

13

D P C Q A R B

a) 50° b) 60° c) 65° d) 70° e) 75° 76. Un punto P está fuera de un círculo, a una distancia 13 del centro. Una secante trazada des-

de P corta a la circunferencia en Q y R de tal manera que el segmento externo de la secante PQ mide 9 y QR mide 7. ¿Cuál es la longitud del radio del círculo? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

77. Una escalera tiene numerados los escalones a partir del 0 en orden creciente hacia arriba: 0,

1, 2, 3, 4, 5, ... Una rana está en el escalón 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el es-calón 5 y luego dos para abajo hasta el escalón 3, después sigue saltando alternando cinco escalones para arriba y dos para abajo. La sucesión de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6, ... ¿Cuál de los siguientes escalones no pisa la rana? a) 1997 b) 1998 c) 1999 d) 2000 e) 2001

78. Un círculo cuyo radio mide una unidad está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está

inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el radio del círculo cir-cunscrito?

a) 1 b) 2 c) 2 /2 d) 3 e) 3 /2 79. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros de igual longitud. Si el

triángulo tiene área igual a dos, ¿cuál es el área del hexágono? a) 3/4 b) 2 c) 5/2 d) 3 e) 4

80. El producto de las edades de los hijos de Don Wenceslao es 1664. La edad del más grande

es el doble que la del más pequeño. ¿Cuántos hijos tiene Don Wenceslao? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

81. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de tres cifras escogido al azar sea par y mayor

de 399? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 2/3 e) 1/9

82. En una clase hay 25 alumnos: de ellos 17 alumnos son ciclistas, 13 nadadores y 8 esquiado-

res. Ningún alumno practica tres deportes. Los ciclistas, nadadores y esquiadores se sacaron 9 en matemáticas. Si seis alumnos de la clase se sacaron 6 en matemáticas, ¿cuántos nada-dores saben esquiar? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

14

83. Si las diagonales de un rombo difieren en 14 unidades y sus lados miden 13 unidades, el área del rombo es igual a: a) 28 13 b) 48 3 c) 108 d) 120 e) 156

84. ¿Cuántos números enteros “x” hay tales que1x21x10

−

+ es un número entero?

a) 1 b) 8 c) 357 d) 358 e) 4 85. Si a, b, c, d y e son números positivos, tales que ab=1, bc=2, cd=3, de=4 y ea=5, ¿cuál es el

valor de b?

a) 103 2 b)

158 c)

516 d)

340 e) 30

86. El producto de tres dígitos a,b,c es el número de dos dígitos “bc”; el producto de los dígitos b

y c es c. ¿Cuánto vale “a” si c=2? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

87. Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el

25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada en hectáreas. a) 4.5 b) 2 c) 10 d) 4 e) 8

88. En la siguiente figura, AB=AD=DC. Si el ángulo ∠BAD=48°, ¿cuánto mide el ángulo

∠DAC? A B D C

a) 24° b) 29° c) 33° d) 40° e) 42° 89. ¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+12)+(2+22)+(3+32)+(4+42)+ ... +(2000+20002)?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 90. ¿Cuántas cantidades diferentes de dinero se pueden pagar con cambio exacto si se tienen

dos monedas de un peso y dos monedas de 50 centavos? a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) más de 6

91. En una hoja de papel cuadriculado cada cuadrito mide 1×1. Se coloca una moneda de

diámetro 2 encima de la hoja. ¿Cuál es el máximo número de cuadritos que puede cubrir parcialmente la moneda? (parcialmente se entiende que la región cubierta en un cuadrito tenga área mayor que cero). a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15

92. En la siguiente figura, WXYZ es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto YZ de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUVX es 12, ¿cuánto vale el área del rectángulo WXYZ?

a) 16 b) 19 c) 21 d) 24 e) 26 93. Las tres cuartas partes de los alumnos de un grupo son hombres y el resto son mujeres.

¿Cuál es el “quebrado” que representa la razón del número de hombres entre el número de mujeres?

a) 43 b)

34 c)

73 d)

74 e)

13

94. Si cuatro manzanas y dos naranjas cuestan $15.40 y dos naranjas y cuatro plátanos cuestan

$17.00, ¿cuánto se tiene que pagar en total por una manzana, una naranja y un plátano? a) $7.70 b) $7.80 c) $7.90 d) $8.00 e) $8.10

95. Una calculadora se descompuso y trabaja de manera muy rara: cuando se le teclea un nú-

mero, la calculadora lo multiplica por dos, después le voltea todos los dígitos y termina su-mando dos al resultado. ¿Cuál de los siguientes números podría ser el que aparece en la calculadora, si se le tecleó un número de dos cifras? a) 39 b) 41 c) 42 d) 43 e) 45

96. Se numeran 2002 tarjetas del 1 al 2002 y se quitan aquéllas que terminen en cero. Después

se vuelven a numerar las que quedan y otra vez se quitan las que terminen en cero. Al final, ¿cuántas tarjetas quedaron? a) 1622 b) 1620 c) 1000 d) 900 e) 782

97. Un gato y medio se come un ratón y medio cada hora y media. ¿Cuántos ratones pueden

comer quince gatos en quince horas? a) 15 b) 45 c) 60 d) 125 e) 150

98. Los siguientes números: 43,y,x,

21 están en orden creciente y la diferencia entre cuales-

quiera dos consecutivos es la misma. ¿Cuánto vale “y”?

a) 83 b)

32 c)

127 d)

65 e)

85

W T Z U X V Y

16

99. ¿Cuál es el doble del cuadrado de la mitad de la diagonal de un cuadrado de lado uno?

a) 21 b)

43 c) 1 d) 2 e) 2

100. En la figura, ABCD es un cuadrado con AB=1. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo

PQOR? A P D Q R O B C

a) 21 b)

23 c) 2 d) 1 e) no se puede

determinar 101. En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas. Si hubo en total 123

saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta? a) 54 b) 67 c) 77 d) 82 e) 101

102. Si se escriben todos los múltiplos de 5 menores que 2002, ¿cuántos números “uno” se utili-

zan? a) 140 b) 200 c) 280 d) 360 e) 400

103. Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las posibles combinaciones. Los pesos obte-

nidos son 5 kg, 6 kg, 8 kg, 11 kg y 12 kg. El peso total de los cuatro paquetes es: a) 12 kg b) 17 kg c) 28 kg d) 34 kg e) 51 kg

104. ¿Cuál es el máximo número de intersecciones que pueden obtenerse dibujando dos círculos

y tres líneas rectas? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

105. Una persona corre detrás de una tortuga. En un principio, la distancia entre ellos es de 990

metros. Si la persona recorre 100 metros cada minuto y la tortuga recorre un metro cada minuto, ¿en cuántos minutos alcanzará la persona a la tortuga? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

106. Haciendo cortes paralelos a las caras de un cubo de madera se obtiene una pieza como la

que se muestra en la siguiente figura. Si el volumen original del cubo era 8 m3, ¿cuál es ahora la nueva superficie de la pieza resultante?

17

a) 18 m2 b) 24 m2 c) 26 m2 d) 28 m2 e) no se puede determinar

107. En cierta población de ratones, el 25% son blancos y el 75% son negros. De los ratones

blancos, el 50% tiene ojos azules y de los negros, el 20% tiene ojos azules. Si se sabe que 99 ratones tienen ojos azules, ¿cuántos ratones tiene la población? a) 360 b) 340 c) 240 d) otra respuesta e) sin solución

108. Si 91

ba= y

31

cb= , entonces

bcab

−− es igual a:

a) 127 b)

825 c)

14 d)

94 e)

103

109. Sea ABC un triángulo con AB=AC, D un punto en BC, tal que ∠BAD=30° y E un punto en

AC, tal que AD=AE. Entonces ∠EDC es igual a: a) 8° b) 10° c) 15° d) 20° e) 30°

110. Un barco recoge 30 náufragos en una isla. Como resultado, los alimentos del barco que

eran suficientes para 60 días ahora son sólo suficientes para 50 días. ¿Cuántas personas ha-bía en el barco antes de llegar a la isla? a) 15 b) 40 c) 110 d) 140 e) 150

111. Si a y b son números distintos que cumplen ab4ba 22 =+ , el valor de 2

baba⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+ es:

a) 3 b) 4ab c) 4(a+b) d) 2 e) a/b 112. Una escalera eléctrica tarda 60 segundos en transportar a una persona del primero al segun-

do piso. Si la escalera está apagada, la persona tarda 90 segundos en subir de un piso a otro caminando sobre ella. ¿Cuántos segundos tarda en subir una persona que camina sobre la escalera eléctrica cuando está en funcionamiento? a) 36 b) 75 c) 45 d) 30 e) 50

113. ¿Cuál es el valor de x que cumple 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155 ?

a) 26 b) 28 c) 29 d) 30 e) 32 114. Cuando a un barril le falta el 30% para llenarse, contiene 30 litros más que cuando está

lleno hasta el 30% de su capacidad. ¿Cuántos litros le caben al barril? a) 60 b) 75 c) 90 d) 100 e) 120

18

115. En un torneo de básquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen en grupos de cuatro. En cada grupo, cada equipo juega una vez contra cada uno de los equipos restantes. De cada grupo, los mejores dos equipos califican para la siguiente ronda y los dos peores son eliminados. Después de la última ronda quedan dos equipos que se enfrentan en un partido para determinar al ganador del torneo. ¿Cuántos partidos se jugarán a lo largo de todo el torneo? a) 33 b) 41 c) 43 d) 49 e) 63

116. El “triángulo” de la siguiente figura está formado por seis círculos de radio r. Si la altura

del “triángulo” es 2, ¿cuál es el valor de r? 2

a) 231+− b)

233− c)

231+ d)

232+ e)

31

117. Si se tiene que 7cba =++ y que 107

ac1

cb1

ba1

=+

++

++

, ¿cuál será el valor de la si-

guiente expresión: bac

acb

cba

++

++

+?

a) 1019 b)

1017 c)

79 d)

23 e)

710

118. En un cultivo de bacterias con forma de cuadrícula hay un solo cuadro que está infectado,

pero cada segundo que pasa todos los cuadros que comparten un lado con algún cuadro que esté infectado también quedan infectados. Después de 10 segundos, ¿cuántos cuadros infec-tados hay? (En la siguiente figura se muestran los cuadros que están infectados después de dos segundos, en el primer segundo se infectan los grises, en el segundo los blancos.)

a) 180 b) 181 c) 200 d) 210 e) 221

19

119. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x? 3 2x

x 11

a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3 2 120. En la siguiente figura P y Q son los centros de los círculos tangentes C1 y C2, la línea PQ

corta al círculo C1 en A y el radio QB es perpendicular a PQ. Si la suma de las áreas de los círculos es 10π y el área de AQB es 8, ¿cuál es la longitud de PB?

C1 C2 A Q P B

a) 5 b) 26 c) 6 d) 40 e) 3π

121. Si dos enteros positivos a y b satisfacen la ecuación: 512

b12

1a =+

+ , entonces ¿cuál es el

valor de a + b ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

122. En la figura ABCD es un cuadrado y OEF es un triángulo rectángulo. Si OA=48 y OB=36,

¿cuánto mide EF? F D A C O B E

a) 176 b) 180 c) 185 d) 188 e) 190 123. El área del cuadrado de la figura es “a” y el área de cada uno de los círculos es “b”.

¿Cuánto vale el área de la figura sombreada?

a) 3b b) a+b c) a+2b d) 3a e) 2a+b

124. Se compra un costal lleno de alpiste para alimentar canarios. El primer día, los canarios se

comieron 1/2 del total del alpiste. El segundo día se comieron 1/3 del alpiste restante y el

20

tercer día se comieron 1/4 del sobrante. Del total de alpiste que había en el costal, ¿qué fracción queda?

a) 241 b)

41 c)

31 d)

43 e)

54

125. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?

a) 2003n b) n2+2003 c) n3 d) n+2004 e) 2n2+2003 126. ¿Cuál es el doble del cuadrado de la mitad de la diagonal de un cuadrado de lado uno?

a) 21 b)

43 c) 1 d) 2 e) 2

127. ¿Cuánto vale x en el siguiente cuadrado? X

81cm2

a) 2 cm b) 7 cm c) 9 cm d) 10 cm e) 11 cm 128. Una persona compra peras, manzanas y piñas (al menos una de cada una). Una pera cuesta

una moneda, una manzana cuesta dos monedas y una piña cuesta cuatro monedas. Si la persona compró diez frutas y pagó dieciséis monedas, ¿cuántas piñas compró? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

129. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo y P, Q, R y S son los puntos medios de sus

lados. Además, T es el punto medio del segmento RS. Si el área de ABCD es 1, ¿cuál es el área del triángulo PQT?

D R C

T S Q A P B

a) 165 b)

83 c)

51 d)

61 e)

41

130. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa igual a 6 unidades y su perímetro mide 14 unidades.

¿Cuál es el área del triángulo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

18cm

2

21

131. Se tienen dos esferas de diferente tamaño cuyos radios están en proporción 2/3 y el volumen de la menor es 1. ¿Cuál es el volumen de la esfera mayor?

a) 278 b)

32 c)

94 d)

98 e)

827

132. Si “a” y “b” son dos números distintos tales que cumplen la condición: a1b

b1a +=+ ,

¿cuál es el valor de ab (“a por b”)? a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2

133. En la siguiente figura, los lados AB, DC y AD son iguales. Si ∠BAD=48°, ¿cuánto mide el

ángulo DAC? A B D C

a) 24° b) 26° c) 30° d) 33° e) 37° 134. En un calabozo hay dragones rojos y dragones verdes. Cada dragón rojo tiene seis cabezas,

ocho patas y dos colas. Cada dragón verde tiene ocho cabezas, seis patas y cuatro colas. Si se sabe que entre todos los dragones tienen 44 colas y que hay 6 patas verdes menos que cabezas rojas, ¿cuántos dragones verdes hay? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

135. Las tres cuartas partes de los alumnos de un grupo son hombres y el resto son mujeres.

¿Cuál es el “quebrado” que representa la razón del número de hombres entre el número de mujeres?

a) 43 b)

34 c)

73 d)

74 e)

13

136. Entre seis niños se comieron 20 galletas. Antonio se comió una, Benito se comió dos, César

se comió tres y Darío comió más que ningún otro niño. ¿Cuál es la mínima cantidad de ga-lletas que pudo haberse comido Darío? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

137. Martel dibuja flores: una azul, una verde, una roja, una amarilla, una azul, una verde, etc.

¿De qué color es la flor número veintinueve? a) azul b) verde c) roja d) amarilla e) no se sabe

138. Una máquina corta una pieza de madera en tres partes en un minuto y después corta en tres

las partes restantes, cada una en un minuto. En el momento en que hay al menos 317 piezas de madera la máquina se detiene. Cuando la máquina se detenga, ¿cuántos minutos habrán pasado? a) 6 b) 7 c) 105 d) 106 e) 158

22

139. ¿De cuántas formas puede elegirse siete números del 1 al 9 de tal manera que al sumarlos, el resultado sea múltiplo de 3? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

140. En la siguiente figura, ABC es un triángulo rectángulo donde AB=3, BC=4 y AC=5.

¿Cuánto mide el radio del círculo? A B C

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 141. Dos paralelas son cortadas por dos transversales de manera que se intersectan con los ángu-

los marcados en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo “x”?

a) 57° b) 60° c) 65° d) 70° e) 73° 142. El promedio de estudiantes que ingresaron a una escuela durante los cuatro años del perío-

do 1999-2002 fue de 325 estudiantes por año. Si el promedio de ingreso durante los cinco años del período 1999-2003 es 20% más alto, ¿cuántos estudiantes entraron a la escuela en 2003? a) 390 b) 455 c) 520 d) 600 e) 650

143. Una persona del sexo femenino tiene cuatro blusas, tres faldas y dos pantalones. ¿Cuántas

combinaciones distintas puede hacer para vestirse? a) 9 b) 10 c) 20 d) 24 e) 24

144. En un edificio se numeraron todas las puertas de las oficinas utilizando placas que contie-

nen un dígito cada una (por ejemplo, al numerar la puerta 14 se usaron dos placas, una con el 1 y otra con el 4). Si en total se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas hay? a) 14 b) 19 c) 22 d) 28 e) 35

145. El precio promedio de cinco pinturas era $6000. Cuando se vendió la más cara de las pintu-

ras el precio promedio de las cuatro restantes quedó en $5000. ¿En cuánto se vendió la pin-tura más cara? a) $1000 b) $2000 c) $5500 d) $6000 e) $10000

30° x 140°

23

146. En la siguiente figura, PQRS es un paralelogramo. Si ∠SPT=83° y ∠PQR=41°, ¿cuánto vale el ángulo PTR?

P Q T S R

a) 139° b) 138° c) 124° d) 98° e) 97° 147. Una persona viajando por la carretera a velocidad constante encontró una señal que indica-

ba AB kilómetros (A y B son dígitos). Una hora después vio otra señal con BA kilómetros, y otra hora más tarde encontró una que señalaba A0B kilómetros. Calcular el valor de A+B. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

148. ¿Cuál de las siguientes cantidades corresponde a la mitad de 20044 ? a) 20042 b) 20034 c) 10024 d) 40072 e) 10022

149. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado, E y F son los puntos medios de AB y CD,

respectivamente, AB=1. ¿Cuál es el área del triángulo EOD? A D E O F B C

a) 41 b)

51 c)

61 d)

71 e)

81

150. Sea ABC un triángulo con su lado AB igual a su lado AC, D un punto en BC tal que ∠BAD=30° y E un punto en AC tal que AD=AE. Entonces el ángulo EDC es igual a: a) 8° b) 10° c) 15° d) 20° e) 30°

151. Si a y b son números distintos que cumplen ab4ba 22 =+ , el valor de 2

baba⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+ es:

a) 3 b) 4ab c) 4(a+b) d) 2 e) a/b 152. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y E, F, G, H son los puntos medios de sus

lados. Si se sabe que el círculo que está inscrito en el cuadrado EFGH tiene un área igual a π, ¿cuál es el área de ABCD?

A H D E G B F C

24

a) 8−π b) 8 c) 8π d) π/8 e) 8+π 153. Mirando la hora un poco después de las 6 am se tiene que las agujas formaban un ángulo de

110°. Mirando poco después, eran antes de las 7 am y nuevamente las agujas formaban un ángulo de 110°. ¿Cuántos minutos habían transcurrido? a) 40 b) 30 c) 60 d) 45 e) 35

154. En la figura, el rectángulo ABCD está en el interior de la circunferencia de tal manera que

el vértice B es el centro de la circunferencia. Si AC=6 y ∠ACB=30°, ¿cuánto mide su diámetro?

A D B C

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 155. Una persona eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de tres cifras que se

forman con ellos (sin repeticiones). Después sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál es el valor de la suma que obtuvo la persona, si la suma de los dígitos originales era 14? a) 4662 b) 4800 c) 3108 d) 3200 e) 3226

156. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 16 unidades está inscrito en una

circunferencia. ¿Cuál es el radio de dicha circunferencia? a) 6 b) 8 c) 10 d) 14 e) 15

157. En un número de tres cifras, la suma de las mismas es 18. La cifra de las unidades es el

doble de la de las decenas. Por último, la diferencia que se obtiene restando el número dado y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. ¿Cuál es el número inicial? a) 684 b) 648 c) 936 d) 963 e) 965

158. ¿Por cuál dígito se debe sustituir la letra “a” para que el siguiente número 9758236642a2

sea divisible entre 4? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

159. En una caja se tienen 20 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de tres

tamaños distintos. Si en la caja hay: 4 pares rojos (1 chico, 1 mediano y 2 grandes), 7 pares verdes (2 chicos, 2 medianos y 3 grandes), 9 pares azules (2 chicos, 3 medianos y 4 grandes), ¿cuál es la cantidad mínima de zapatos que se deben sacar para estar seguro de tener un par completo del mismo color y tamaño? a) 4 b) 16 c) 20 d) 21 e) 8

25

160. Tres cuadrados con lados de longitudes: 10, 8 y 6 unidades, respectivamente, se colocan uno al lado del otro como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

a) 100 b) 90 c) 120 d) 80 e) 110 161. Cipriano ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma

cantidad de canicas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus canicas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

162. ¿Cuántos números hay entre 100 y 300 (sin contar el 100 y el 300) que no sean divisibles

entre 3 ni entre 5? a) 106 b) 107 c) 108 d) 140 e) 142

163. ¿Cuál es el valor del exponente que falta en la siguiente expresión para que sea correcta?

?7777777 77777777 =++++++ a) 6 b) 7 c) 49 d) 8 e) 14

164. El trapecio isósceles ABCD es tal que AB=AD=BC=1 y DC=2, donde AB es paralelo a

DC. ¿Cuánto mide el ángulo DBC? A B D C

a) 45° b) 60° c) 90° d) 120° e) 70° 165. Una persona quiere sacar un par de calcetines de un cajón, en el que hay 100 calcetines

blancos, 50 verdes y 25 rojos. ¿Cuántos calcetines debe sacar (sin ver) para asegurar que tendrá un par del mismo color? a) 174 b) 50 c) 25 d) 4 e) 12

166. ¿Qué valor debe de tomar “n” para que “ 41nn2 ++ ” sea un número entero que no es

primo? a) 15 b) 26 c) 37 d) 40 e) 25

26

167. Sea E un punto en el lado AB del cuadrado DCBA. Si EB=1 y EC=2, entonces ¿cuál es la razón entre el área del cuadrilátero DCEA y el área del triángulo ECB?

D C A E B

a) 3 b) 13 − c) 132 − d) )13(2 − e) 13 + 168. En un vértice A de una caja de tamaño 2 × 3 × 4 se encuentra una hormiga que quiere ir al

vértice opuesto B caminando sobre las caras de la caja. ¿Cuál es la distancia mínima que debe recorrer?

2 A B 4 3

a) 41 b) 7 c) 134+ d) 525+ e) 31+ 169. Si los ángulos α, β y δ de un triángulo rectángulo cumplen con la condición β−α=δ , en-

tonces ¿cuál es el valor del ángulo α? a) 75° b) 80° c) 85° d) 90° e) 95°

170. Una persona quiere subir una escalera y lo puede hacer subiendo uno o dos escalones a la

vez. Si la escalera tiene diez escalones en total, ¿de cuántas formas distintas puede subir la escalera? a) 10 b) 20 c) 55 d) 89 e) 30

171. En un triángulo ABC, se tiene que BA=5, BC=7, AC=9 y D es un punto sobre el segmento

BC con BD=5. Encontrar el valor de AD. A B D C

a) 6 b) 319 c)

320 d) 7 e)

322

27

172. Un niño tiene un conjunto de 96 bloques. Cada bloque es de uno: de 2 materiales (plástico o madera), de 3 tamaños (chico, mediano o grande), de 4 colores (azul, verde, rojo o amari-llo) y de 4 formas (círculo, hexágono, cuadrado o triángulo). ¿Cuántos bloques en el con-junto son distintos del bloque de “plástico-mediano-rojo-círculo” en exactamente dos carac-terísticas? Por ejemplo, el bloque de “madera-mediano-rojo-cuadrado” es uno de tales blo-ques. a) 29 b) 39 c) 48 d) 56 e) 36

173. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio igual a

una unidad? A B C O D

a) 2 b) 4 c) 6 d) 16 e) 8 174. Los triángulos ABC y DBC son isósceles y el ángulo BAC mide 30°. ¿Cuánto mide el án-

gulo AEC? A D E O B C

a) 95° b) 100° c) 105° d) 110° e) 115° 175. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por

acomodar. Decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres hay en la tropa? a) 3061 b) 55 c) 3025 d) 2004 e) 110

176. Se tiene un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 8 unidades y área igual a 9 unidades

cuadradas, ¿cuánto vale su perímetro? a) 18 b) 16 c) 17 d) 12 e) 13

177. Si se sabe que 12b3a7 =+ y 8b7a3 =+ , ¿cuál es el valor de ba + ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 178. Un rectángulo mide 9 unidades en uno de sus lados y tiene 45 unidades cuadradas de área,

¿cuál es su perímetro? a) 14 b) 19 c) 23 d) 28 e) 30

28

179. ¿Cuántas parejas de números enteros positivos (x,y) se tienen, de tal forma que cumplan 13yx 22 =− ?

a) ninguna b) 1 c) 2 d) 3 e) muchas 180. ¿Cuántas ternas (x,y,z) de números reales satisfacen el siguiente sistema?

28)zyx(z27)zyx(y26)zyx(x

=++

=++

=++

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ninguna 181. Se tiene un segmento AB de longitud igual a 10 unidades y un punto C en él, de tal forma

que AC:CB=3:2. Se construyen sobre el mismo lado del segmento, un triángulo equilátero de lado AC y otro de lado CB. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de los triángulos equi-láteros, que están fuera del segmento AB?

A C B

a) 52 b) 62 c) 72 d) 82 e) 6 182. Si 1yx =+ y 2yx 22 =+ , entonces ¿cuál es el valor de 33 yx + ?

a) 4 b) 25 c) 3 d)

27 e) 5

183. En la siguiente figura, AB⊥BC, BC⊥CD y BC es tangente al círculo con centro en O y

diámetro AD. ¿Cuáles son los valores de AB y CD para que el área del trapecio ABCD sea un número entero?

A O

D B C

a) 3 y 1 b) 5 y 2 c) 7 y 3 d) 9 y 4 e) 6 y 3 184. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 644)2(2 xx2 += , en números enteros?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

29

185. Seis bolsas de canicas contienen 18, 19, 21 ,23 y 34 canicas, respectivamente. Cinco de las bolsas contienen canicas azules y la otra tiene canicas rojas. José toma tres de las bolsas y Luis, dos bolsas de las otras. Sólo quedó la bolsa con canicas rojas. Si José obtuvo el doble de canicas que Luis, ¿cuántas canicas rojas hay? a) 19 b) 21 c) 23 d) 34 e) 26

186. Se dice que un número es “cuadradísimo” si satisface las siguientes condiciones: a) todos

sus dígitos son cuadrados, b) es un cuadrado perfecto y c) si se separa el número en parejas de dígitos de derecha a izquierda, estas parejas son cuadrados perfectos si se consideran como números de dos dígitos. ¿Cuántos números menores que 2005 son “cuadradísimos”? a) 5 b) 7 c) 8 d) 15 e) 12

187. En la siguiente figura, P y Q son los centros de los círculos tangentes C1 y C2, y la línea PQ

corta el círculo en A y B, como se ilustra. El rectángulo ABCD es tangente a C2 en T. Si el área de ABCD es 15, ¿cuál es el área de PQT?

C2 C1 A P Q B D T C

a) 4 b) 415 c)

2π d) 5 e) 52

188. En la siguiente figura, BC=2AB, el triángulo AEB es un triángulo isósceles de 72 unidades

cuadradas de área y BEDC es un rectángulo. Calcular el área del cuadrilátero ABDE. E D A B C

a) 314 b) 225 c) 216 d) 123 e) 156 189. Sea P un punto en el interior del rectángulo ABCD, si PA=3, PC=5 y PD=4, entonces ¿cuál

es el valor de PB? A B P D C

a) 23 b) 32 c) 415 d) 32 e) 23

30

190. En la siguiente figura, ¿cuánto vale la suma de los ángulos interiores formados en los vérti-ces A, B, C, D y E?

A B E C D

a) 270° b) 240° c) 180° d) 360° e) no se puede determinar

191. Un virus atacó el disco duro de una computadora, el primer día destruyó dos terceras partes,

el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte, finalmente el tercer día destruyó la quinta parte de lo que quedaba. ¿Qué fracción del disco duro quedó sin dañar?

a) 301 b)

6013 c)

607 d)

53 e)

51

192. Cierto profesor de matemáticas realiza cinco exámenes a lo largo del año, en cada uno de

los cuales otorga a sus alumnos como calificación un entero entre 0 y 10. ¿Cuál es el menor promedio que pudo haber obtenido un alumno, si con tan sólo conocer este promedio, su padre supo que su hijo había obtenido 10 en al menos dos de los exámenes? a) 9.2 b) 9.3 c) 9.4 d) 9.5 e) 9.6

193. Cinco amigos llegaron en distintos momentos a un restaurante para comer. En cuanto se

sentó a la mesa, Marisol le contó a Claudia un secreto de Julián, sin que él estuviera presen-te. Cuando llegó Aarón, aún no llegaba Rosalía. A pesar de esto, la mejor amiga de Rosalía ya no pudo platicarle a nadie del regalo sorpresa que planeaba comprarle a Rosalía para su cumpleaños la próxima semana. ¿Quién llegó al final? a) Aarón b) Claudia c) Julián d) Marisol e) Rosalba

194. Una recta parte al rectángulo ABCD como se muestra en la siguiente figura. Si el segmento

AP mide 3 unidades y el segmento QC mide 2, ¿cuánto vale la longitud de DQ menos la longitud de PB?

A P B D Q C

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) no se puede determinar

31

195. En un puesto de frutas y verduras hay cinco cajas de madera colocadas en línea que contie-nen productos distintos. La caja con fresas está junto a la caja con berenjenas y junto a la caja con espinacas; la caja con mandarinas y la caja con papas no están colocadas una junto a la otra; además, la caja con mandarinas se encuentra hacia la derecha de la caja con beren-jenas. ¿Qué artículo se encuentra en la caja del extremo izquierdo de la línea? a) berenjenas b) espinacas c) fresas d) mandarinas e) papas

196. ¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación x2x 92409 +=+ ?

a) 101 b)

102 c)

103 d)

104 e)

21

197. Una alcantarilla rectangular de metal tiene 23 hoyos circulares idénticos por donde fluye

agua a razón de 1.38 litros por segundo. Si a la alcantarilla se le hacen 16 nuevas perfora-ciones circulares cuyo diámetro mide la mitad del diámetro de los hoyos originales, ¿cuán-tos litros de agua por segundo fluirán por la alcantarilla? a) 1.62 b) 1.78 c) 1.86 d) 2.04 e) 2.34

198. En la siguiente figura, los triángulos ΔPAB y ΔPCD son idénticos. Si el ángulo ∠APC=67°

y ∠CPD=38°, ¿cuánto mide el ángulo ∠BPC? P A D C B

a) 29° b) 31° c) 38° d) 39° e) 67° 199. Una alfombra mágica, de forma rectangular, después de cumplirle un deseo a su dueño, se

reduce a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho. Al cabo de tres deseos, la alfombra tiene un área de 4 m2. Si su ancho inicial era de 9 m, ¿cuál era su largo inicial? a) 106 m b) 84 m c) 12 m d) 76 m e) 96 m

200. En la siguiente figura, la circunferencia grande tiene un perímetro de 2 unidades, mientras

que la circunferencia pequeña tiene un perímetro de una unidad. ¿Cuál es el área de la re-gión sombreada?

a) π21 b)

π43 c)

4π d)

43π

e) no se puede determinar

32

201. Pablo recorta cada una de las cifras del número 2003 de un periódico y se dispone a pegar algunos de estos cuatro “trocitos “ de papel (o tal vez todos) en un reglón de su cuaderno para formar un número. ¿Cuántos números distintos puede construir de esta manera? a) 12 b) 15 c) 18 d) 19 e) 21

202. Si P es el incremento de la circunferencia de un círculo cuando se incrementa en π centíme-

tros el diámetro del círculo, ¿cuál es el valor de P?

a) π

1 b) π c) 2

2π d) 2π e) no se puede determinar

203. Una diseñadora dispone de 5 tonos de naranja, 7 tonos de verde y 4 tonos de morado, y

quiere escoger dos de éstos para un logotipo. Ella considera que usar dos tonos del mismo color es aburrido, pero todas las demás combinaciones le agradan. ¿Cuántas opciones tiene? a) 55 b) 67 c) 70 d) 83 e) 90

204. ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa el lugar 2005 en el desarrollo decimal de 1014 ?

a) 3 b) 6 c) 0 d) 9 e) otro 205. Si x>5, ¿cuál de las siguientes fracciones es la menor?

a) x5 b)

1x5+

c) 1x5−

d) 5x e)

51x +

206. ¿Cuál es el menor entero positivo con la propiedad que al multiplicarlo por 14 se obtenga

como resultado un número cuyas primeras dos cifras son 41? a) 29 b) 30 c) 292 d) 293 e) no existe

207. ¿Cuántos números de dos cifras hay con la propiedad de que sus dígitos son números ente-

ros consecutivos? a) 8 b) 9 c) 16 d) 17 e) 18

208. Inicialmente la aguja de una brújula apunta hacia arriba (Û). Cada minuto, la aguja gira

135° en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Qué aspecto tendrá la aguja después de 405 minutos? a) Û b) Þ c) à d) ß e) Ý

209. ABCD es un trapecio con AB paralela a DC y ∠ADC=∠BCD=45°. E y F son puntos sobre

el lado DC tales que DE=EF=FC=1. Además, el trapecio tiene la propiedad de que AF es paralela a BC y BE es paralela a AD. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?

A B D E F C

a) 24 b) 6 c) 224+ d) 7 e) 324+

33

210. Javier escribió un número de cinco cifras, pero se le borraron dos de ellas. El número se ve

de la siguiente forma: �679�. El primero y último dígito son los que se han borrado. Si se sabe que el número es divisible por 72, ¿cuál es el número? a) 46792 b) 36792 c) 36796 d) 36794 e) 46798

211. Un automóvil se encuentra en una esquina de una ciudad cuyas calles forman una cuadrícu-

la y son todas de doble sentido. Se dispone a recorrer tres cuadras (comenzando hacia cual-quier dirección), con la única condición de que cuando llegue a una esquina no regrese por donde acaba de venir. ¿Cuántos recorridos distintos puede realizar el vehículo? a) 16 b) 27 c) 28 d) 36 e) 40

212. En el extremo de cada rama de cierto matorral hay una hoja o una flor. El matorral crece de

la siguiente manera: si hoy hay una hoja en el extremo de una rama, el próximo año desapa-recerá la hoja y aparecerá una flor en ese lugar; si hoy hay una flor en el extremo de una rama, el próximo año desaparecerá la flor y aparecerán dos ramas nuevas con hojas en sus extremos. Si el matorral tiene hoy 80 flores y el año pasado tenía 70, ¿cuántas hojas tendrá dentro de dos años? a) 150 b) 210 c) 240 d) 280 e) 320

213. Un número que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha se dice que

es un número capicúa, por ejemplo 1221 y 3625263. ¿Cuántos números capicúas de 6 dígi-tos existen? a) 100 b) 900 c) 2005 d) 331 e) 890

214. ¿Cuánto mide el lado de un decágono regular inscrito en un círculo de radio igual a uno?

a) 215 − b)

415 + c)

25 d)

21 e)

53

215. La siguiente figura se forma a partir de un triángulo equilátero de área igual a uno, prolon-

gando cada lado dos veces su longitud en ambas direcciones. ¿Cuál es el área de la figura así formada?

a) 36 b) 37 c) 39 d) 40 e) 34

34

216. Si “s” y “r” son las raíces de 01bxx2 =++ , el valor de 22 s1

r1+ es igual a:

a) 4b2 − b) 24b2 − c) 2b2 + d) 2b2 − e) 2b

217. Una persona camina un kilómetro al este, luego un kilómetro al noreste y finalmente, otro

kilómetro al este. Encontrar la distancia en kilómetros, entre el punto de partida y el punto de llegada. a) 225+ b) 325+ c) 25 d) 25+ e) 235+

218. Si las medidas de dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre estos dos lados

son 7, 50 y 135°, respectivamente, encontrar la medida del segmento que une los puntos medios de estos dos lados.

a) 215 b)

235+ c)

213 d)

25 e)

313

219. Considerar el triángulo rectángulo ΔABC, con ángulo recto en B y tal que AB=BC=1. Sea

D el punto medio de AB y trazar el segmento CD. También, trazar desde B la perpendicular a CD y denotar por P a la intersección. Encontrar la distancia de P a la intersección de las medianas.

a) 153 b)

155 c)

125 d)

105 e)

103

220. En la época en que los cañones lanzaban balas, éstas eran almacenadas en parques de arti-

llería en forma de pirámides de base cuadrada; cada lado del cuadrado de la base contaba con 10 balas. ¿Cuál era el número de balas por pirámide? a) 385 b) 400 c) 1015 d) 1000 e) 1500

35

Bibliografía Illanes Mejía, A., Principios de Olimpiada, Cuadernos de Olimpiada de Matemáticas, Instituto

de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2002.

Bulajich Manfrino, R., Gómez Ortega, J., Geometría, Cuadernos de Olimpiada de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2002

Pérez Seguí, M., Combinatoria, Cuadernos de Olimpiada de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2000.

Pérez Seguí, M., Teoría de Números, Cuadernos de Olimpiada de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2003.

Grimaldi, R., Matemáticas discreta y combinatoria, Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, México, 1989

Litvinenko, V., Mordkovich, A., Prácticas para resolver problemas de matemáticas (Algebra y Trigonometría), Editorial Mir. Moscú, 1989

Niven, I., Zuckerman, H., Introducción a la teoría de los números, Editorial Limusa-Wiley. México, 1972

Shariguin, I., Problemas de geometría, Colección Ciencia Popular, Editorial Mir. Moscú, 1989

Vilenkin, N., ¿De cuántas formas? (Combinatoria), Editorial Mir. Moscú, 1969