1Animaciones tomadas de: Wikipedia y

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave

ONDAS

2

Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz

de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática

del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.

Ondas transversales: Las oscilaciones

ocurren perpendicularmente a la dirección

de propagación en que se transfiere la

energía de la onda. Así ocurre por ejemplo

en una onda viajera en una cuerda tensa, en

este caso la magnitud que varía es la

distancia desde la posición horizontal de

equilibrio.

Ondas longitudinales: Aquellas en que la

dirección de propagación coincide con la

dirección de vibración. Así el momvimiento

de las partículas del medio es o bien en el

mismo sentido o en sentido opuesto a la

propagación de la onda. Por ejemplo, la

propagación del sonido en un fluido: lo que

cambia en este caso es la presión en el medio.

Vibración

PropagaciónVibraciónPropagación

Algunas ondas transversales, las ondas

electromagnéticas, pueden propagarse en

el vacío. Sin embargo, las ondas

longitudinales se propagan solo en medios

materiales.

3

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

tvxfyEcuación de ondas

Signo +

La onda viaja hacia la derecha

La onda viaja hacia la izquierda

Signo -

Espacio Tiempo

Velocidad

de fase

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

X

Y

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

X

Y

tvxfy

tvxfy

Forma de onda (perfil) f

Forma de onda (perfil) f

La ecuación de onda describe una onda

viajera si está presente el grupo (x v t).

Esta es una condición necesaria. (El

término onda viajera se usa para enfatizar

que nos referimos a ondas que se propagan

en un medio, caso distinto del de las ondas

estacionarias que se considerarán después.

4

Onda armónica moviéndose hacia la derecha

tvxAy2

sin

y

x

Ecuación de onda

tvxAy2

cos

o

ONDAS ARMÓNICAS

Podemos elegir cualquiera de las dos formas

añadiendo una fase inicial 0 al argumento de

la función…

Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. ?

… lo que significa que elegimos el

inicio de tiempos a nuestra conveniencia.

Una cosa más

Siempre que una onda

armónica se propaga en

un medio, cada punto del

mismo describe un

movimiento armónico.

0xx

Por ejemplo:

Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su

ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda

2/2

sin tvxAy

00

2cos tvxty

x

y

2/0

0

2cos tvxAy

Esto describe exactamente la misma onda

tvxAy2

cos

¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda

usando la ecuación para el seno?

Respuesta:

Recordatorio: cos2/sin cos2/cos sin2/sin

Perfil de onda en t = 0

y depende sólo del tiempo

0xxes una distancia

5 Dependencia temporal en x = x0

t

y

Perfil de onda para t = t0

y

x

ONDAS ARMÓNICAS / 2

0

2cos tvxAy

Ec. de onda armónica

(eligiendo forma coseno)

Velocidad de

fase

Espacio Tiempo

Recordatorio: la función coseno

es periódica, verificando que.

Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad

Ttftf

Periodo

0

2cos tvxAy

Fase

Amplitud

Fase

inicial

Desplazamiento

1tt

10 , txy

2tt

20 , txy

T

T

espacio

tiempo

Valle

Cresta

A

-A

01, txy

1xx

02 , txy

2xx

Puntos en fase

Longitud de onda

Period

Foto instantánea Gráfica posición / tiempo

6

(s) t2

2(m) x

ONDAS ARMÓNICAS / 3

Ec. de onda armónica

(eligiendo forma coseno)

Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente

de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A.

Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos

cuya diferencia de fase es 2 . .

Número de ondas k: número de ondas contenido en una

vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número

de ondas angular o número de ondas circular.

m 3/21-m 3

3/2

22k

Unidades S.I.: rad/m, pero a

menudo se indica solo m-1.

1st onda 2nd onda 3rd onda

Periodo T: tiempo que tarda la fase de la

onda armónica en aumentar 2 radianes.

Frequencia f: inversa del periodo.

La frecuencia nos dice el número

de oscilaciones por unidad de

tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 =

1 Hz).

Frecuencia angular : número

de oscilaciones en un intervalo

de fase de 2 radianes.

2k

fT

22

Tf

1

La velocidad de fase está dada porkT

v

0

2cos tvxAy

Velocidad de

fase

Espacio Tiempo

Amplitud

Fase

inicial

Desplazamiento

0

2cos tvxAy

Fase

En función del número de ondas y de la frecuencia

angular, la ecuación de onda se escribe como

txkAy cos rad/s 42/

22

THz

21

Tf

s 2/T

7

Ecuación de onda2

4

4

tvxy

donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s

Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x (m)

y (m) t = 0

t = 5t = 10

EJEMPLOS

Ejemplo 1: pulso viajero

Cada perfil indica la

forma del pulso para

el tiempo señalado.

El pulso se mueve hacia la

derecha (sentido positivo del

eje X) a razón de 0.50 m/s

8

Ecuación de onda 221

2sen

tx

txy

donde x, y están en m, t en s

Gráfica de y en función

del tiempo (instantánea)

Ejemplo 2: pulso viajero

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

x (m)

y (m)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

t = 0

t = 2

t = 4

Cada perfil indica la

forma del pulso

para el tiempo

señalado.

Escribamos la ecuación de onda de

modo que el grupo x+v·t aparezca

explícitamente

2

241

22sen

tx

tx

y

Este pulso se mueve hacia la

izquierda (sentido negativo

del eje X) a razón de 0.50

m/s. Véase que v t = t/2.

EJEMPLOS / 2

9

Onda armónica txy cos

Ejemplo 3: onda armónica viajera

donde x, y están en m, t en s

Comparar con

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

x (m)

y (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

t = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

t = 2

t = 1

Hz s 2

11 1-

Tf

s 2T

m 2

EJEMPLOS / 3

Esta onda se mueve hacia la derecha

(sentido positivo del eje X) con una

velocidad de 1.00 m/s

m/s 1m 1

rad/s 11-k

vtxkAy cos

2m 1 1-k

T

2rad/s 1

m 1A m/s 1m 2

m 2

Tv

10

Onda armónica txtxy 2sin2cos

Ejemplo 4

donde x, y están en m, t en s

EJEMPLOS / 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

x (m)

y (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2t0t 4t

Esta onda se mueve hacia la

derecha (sentido positivo del eje X)

con una velocidad de 0.50 m/s

Número de ondas y frecuencia

rad/s 1

tkxtkxy sincos

-1m 2k

m 2

ks 2

2T

1-s 2

11

Tf

m/s 5.0m 2

rad/s 11-k

v

Velocidad de fase

Comparando A = 1 m, y

11

VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS

Tv

Bv

Yv

LL

AFY

/

/

relativo toalargamien

área de unidadpor fuerza

VV

PB

/ volumendevariación

presión

Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse.

Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.

Fluidos densidad del fluido (kg/m3)

Módulo de compresibilidad

Solidos densidad del sólido (kg/m3)Módulo de Young

Cuerda

tensadensidad lineal de masa (kg/m) (N) cuerda la detension T

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO

txkAy cos

txkAt

yy sin

yAtxkAt

yy cos 22

2

2

Velocidad máxima Ay max

Aceleración

máxima Ay 2

max

Velocidad en gases en función de la temperatura

M

TRv

-1kg·mol 0289.0M

Aire:-1-1·molJ·K 314.8R

12

LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA

Cada sección de la cuerda (masa m) oscila

hacia arriba y abajo debido a la energía

transportada por la onda.

Consideremos una onda transversal en una cuerda.

Según la onda se propaga en la cuerda, cada

punto de la misma describe un movimiento

armónico.

x x

mA

A partir de la ecuación de onda, obtenemos para

el elemento m en la posición fija x0

txkAy cos 0

Puesto que en un punto fijo k.x0 ie

constante, podemos escribir quetAy cos

Esta es la ecuación del movimiento armónico

descrito por el elemento de masa m. La

frecuencia angular de ese movimiento es .

Recordemos que la energía de una masa m en

un movimiento armónico de frecuencia

angular y amplitud A está dada por

0x

2

2

1AmE

Velocidad máxima

Sea la masa de la cuerda

por unidad de longitud x xm

xAE 2

1 22

tvx

tvAE 2

1 22

Potencia

transmitida

por la onda

2

1 22 vAt

EE

Unidades: Julio/s = watio

13

EL SONIDO

Sistema mecánico vibrante.

Variaciones de densidad en el medio

Frecuencia de vibración característica

(depende del sistema)

Onda mecánica. Transporte de energía

PP

Mayor amplitud de vibración

Menor amplitud de vibración

A

A

14

330

335

340

345

350

355

360

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura

v (m/s)

T (C)

Figura 1

EL SONIDO / 2

Máximos de presión

Mínimos de presión

ONDAS DE PRESIÓN

La velocidad del sonido

aumenta cuando aumenta

la rigidez del medio.

Sólidos

Líquidos

Gases

Vel

oci

dad

del

sonid

o

M

TRv

-1kg·mol 0289.0M

Aire:

-1-1·molJ·K 314.8R

15

LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS

En el sonido la vibración de las partículas ocurre

en la misma dirección de la transmisión de la

onda: son ondas longitudinales. A la vibración de

las partículas del medio les corresponden

desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo

llamaremos aquí s0:

2/ cos , 0 txkstxs

En la transmisión del sonido, la masa vibrando

en cada punto será la que corresponda al

volumen elemental V que contiene a dicho

punto, esto es m = ρ V. La energía asociada

con esta vibración es:

A tales desplazamientos les corresponden

variaciones de presión alrededor de un valor

de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas

/2 rad respecto a ellos

txkptxp cos , 0

donde 00 svp22

0 2

1smE 22

0 2

1sV

En términos de energía por unidad de volumen

22

0 2

1s

V

E

Energía movimiento armónico 0p

/ tx

16

INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO

Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una

superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía

por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación

A

EI

Frentes de onda

Rayos

Fuente

t

EE

r

t

rA

V

EE

vV

E

A

EI

22

0 2

1s

V

E

00 svpv

ps

00

VVt

E

rA

tV

E

vAV

E

(transparencia anterior)

(transparencia

anterior)

vsI 2

1 22

0

2

1

2

1 2

02

2

0

v

pv

v

pI

0p

/ tx

2/0pprms

Valor rms (valor eficaz)

2

v

pI rms

17

NIVELES

• Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel

(por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad)

• Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia

del mismo tipo.

0

10log10W

WLW

Potencia de referencia: W0 = 10-12 W)120log10(10

log101210 W

WLW

Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente

0

10log10I

ILI

Intensidad de referencia: I0 = 10-12 w/m2

• Umbral de audición: 10-12 w/m2 (0 dB)

• Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)

Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente

)120log10(10

log101210 I

ILI

Nivel de presión sonora: Recepción del sonido de una fuente

Pa 102 referencia depresión 5

refp

refref p

p

p

pL rmsrms

P 10

2

10 log20log10

(definido en términos del cociente de presiones al cuadrado porque la

intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la presión sonora)

18

0

10log10I

ILI

0

102

2log10

I

IL I

2log10log10 10

0

10I

IdB 33log10

0

10 ILI

I

NIVELES: EJEMPLO

a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?

b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?

Se dobla la intensidad

0

1010

10log10

I

IL I

10log10log10 10

0

10I

IdB 1010log10

0

10 ILI

I

Se multiplica por 10 la intensidad

19

Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que

esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno

respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el

movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la

frecuencia es menor.

EFECTO DOPPLER

Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor

Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de

tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por

la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor

que la frecuencia de emisión.

Fuente alejándose del receptor

Sucesivas ondas emitidas en

intervalos de tiempo iguales

20

EFECTO DOPPLER (2)

s

s

r fuv

vf

v velocidad de la onda

fr frecuencia que mide el receptor

fs frecuencia de la fuente

Subíndice s (fuente)

Subíndice r (receptor)

Alejamiento: signo +

Acercamiento: signo

us velocidad de la fuente

Ejemplo. Un tren pasa por una estación a

una velocidad de 90 km por hora. La

frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz.

¿Qué frecuencia percibirá una persona en

el andén de la estación cuando el tren se

acerca y cuando el tren se aleja?

Suponemos que la velocidad del sonido es

de 340 m/s.

m/s 25km/h 90v

rf

sf

su

rf

Hz 8.1424132025340

340rfAcercándose

Hz 6.1229132025340

340rfAlejándose

21 Galaxia de Andrómeda

Galaxia de Pegaso

EFECTO DOPPLER (3)

El desplazamiento al rojo

22

ONDAS ESTACIONARIAS

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y

frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.

Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de

la forma (k x - t).

Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia

la derecha ( ) en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y

da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda ( ). Su combinación puede formar ondas

estacionarias.

Onda incidente, direccion ( ): )cos(1 tkxAy

Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia radianes (se invierte).

Onda reflejada, direccion ( ): )cos(2 tkxAyT

fk2

2 2

)cos(sin)sin(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy

)cos(1 tkxAy

)cos(2 tkxAy

tkxAtkxA sinsincoscos

tkxAtkxA sinsincoscos

tkxAtkxAtkxAyyy sinsin2)cos()cos(21

Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de

amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero

no del tiempo, pues el grupo kx- t no aparece. No es una onda viajera.

23

Como los extremos de la cuerda están fijos, la

amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula.

Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes

condiciones se deben verificar en todo momento:

¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas

estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y

número de ondas?NO!

00sin20

Ayx

0sin2 kLAyLx

nL2

2nL

La igualdad L = n /2 significa que sólo aparecerán

ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L

sea un múltiplo entero de media longitud de onda.

T

L

nfn

2 n

Ln

2

ONDAS ESTACIONARIAS / 2

tkxAyyy sinsin221

,...3,2,1nnkL

Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que

n

Ln

2

L

vnfn

2

A partir de la relación entre frecuencia y longitud de

onda f = v/ , donde v es la velocidad de propagación,

n

n

vf

TvLa velocidad es ...3 ,2 ,1n

n = 1 f1 frecuencia fundamental

n > 1 fn armónicos superiores

Nod0Nodo Nodo Nodo Nodo

Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo

Ejemplo:

4o armónico

n = 4

n+1 nodos

n antinodos

24

0 1 2 3 4 5 6

0

0 1 2 3

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

Onda estacionaria en una cuerda

7th ARMÓNICO

Pesas para

tensar la cuerda

n = 1 f1

Frecuencia

fundamental

n = 2 f2

2º armónico

n = 3 f3

3er armónico

ONDAS ESTACIONARIAS / 3

25

ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO

Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud

dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 5 10-3 kg/m.

n

n

vf

Tv

m 5.14

3224

n

Ln

4o armónico n = 4 de L = n /2 se obtiene

a) Calcular la tensión de la cuerda

m/s 605.14044fv

N 1860105 232vT

b) La

amplitud de

los antinodos es

4 sinsin2 ntxkAy nnn

3.25 cm. Escribir la

ecuación de este armónico

de la onda estacionaria

1-

4

4 m 5.1

22k

rad/s 80 2 nn f

cm 25.32A

(cm) 80sin 5.1

2sin25.3 txy

c) Calcular la frecuencia fundamental.

1

1

vf

m 61

321

La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que

Hz 106

60

1

1

vf (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f4 = 4 f1)