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Ondas de Materia Física 3 -2018 Facultad de Ingeniería UNMDP
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Ondas de Materia
Física 3 -2018Facultad de Ingeniería UNMDP
Problemas abiertos de la física clásica a fines del siglo XIXAntecedentes de la mecánica cuántica
Radiación de cuerpo negro Efecto fotoeléctrico
•Todo cuerpo a temperatura mayor a 0K emite radiación en todo el espectro de frecuencias.
•El espectro de emisión depende tanto de la frecuencia como de la temperatura.
• Un cuerpo negro modela un cuerpo que es capaz de absorber toda la radiación que incide sobre él.
•Luz incidente sobre un metal con una frecuencia mayor a cierto umbral produce una corriente.
•La corriente aparece en forma casi instantánea, aun para luz de muy baja intensidad.
•La corriente es proporcional a la intensidad que llega a la superficie del metal.
Observaciones experimentales
Conforme la temperatura aumenta crece la potencia emitida y el pico de la distribución se corre hacia longitudes de onda mas cortas, del
infrarrojo al ultravioleta.
Radiación de cuerpo negroObservaciones experimentales
Termografía
Todo cuerpo con temperatura T >0K emite radiación.
Radiación de cuerpo negroPredicciones de la teoría clásica y la solución de Planck
Predicción de la teoría clásica
La teoría del electromagnetismo clásico, predice que un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico
debe emitir energía en todos los rangos de frecuencia; de manera que a mayor frecuencia,
mayor energía. Esto da a lugar al fenómeno conocido como catástrofe del ultravioleta.
Teoría de Planck (1900)
Solución
Un cuerpo negro puede emitir radiación en
paquetes discretos o cuantos, con
energías,que son múltiplos de la energía
E = hfdonde h es una constante y f es la
frequencia de la radiación.
h = 6.62 x 10-34 Joule secSurge así una nueva constante fundamental de
la naturaleza, que determina dónde cobran relevancia los fenómenos a escala
microscópica.Lo presentamos en el capitulo 3!!
Efecto fotoeléctricoContexto histórico
En 1885 Heinrich Hertz uno de los pioneros experimentales de generación de ondas
electromagnética escribió un artículo cuyo título era
Sobre un efecto de la luz ultravioleta en en la descarga eléctrica
Hertz encontró que las chispas generadas en sus experimentos de ondas electromagnéticas generaban corrientes en los circuitos receptores. Uno de sus colaboradores Anton Von Lenard demostró la luz de las chipas originaba la emisión de electrones desde la superficie metalica de los circuitos receptoresAsí concluyeron que cuando la luz ultravioleta incide sobre superficies metálicas, se genera una corriente de electrones emitidos desde dicha superficie. A este fenómeno se lo llama
Los electrones emitidos mediante este proceso se los llama
EFECTO FOTOELECTRICO
FOTOELECTRONES
Efecto fotoeléctricoEvidencia experimental
1- No se emiten fotoelectrones cuando lafrecuencia de la luz incidente esta por
debajo de una frecuencia mínima, independientemente de la intensidad.
2- El valor de la frecuencia mínima requerida para que se detecten fotoelectrones dependedel metal sobre el la luz incide.
Efecto fotoeléctricoEvidencia experimental continuaciòn
3- Cuando la frecuencia de la luz incidente es mayor que la frecuencia mínima requerida para emisión de fotoelectrones, la energía cinética de estos aumenta con la frecuenciade la luz incidente.
4- Cuando la frecuencia de la luz incidente es mayor que la frecuencia mínima el la corrientede fotoelectrones aumenta cuando aumenta la intensidad de la luz incidente.
Efecto fotoeléctricoEvidencia experimental continuaciòn
Cómo explicamos estos resultados con la teoría del electromagnetismo clásico?
5- Cuando la frecuencia de la luz incidente es mayor que la frecuencia mínima la emisión defotoelectrones ocurre de manera instantánea .
Efecto fotoeléctricoModelo clásico
Sabemos que una onda transporta energía e ímpetud L y AY podemos así intentar modelar cómo el electrón adquiere energía de manera continua de la OEM para salir del metal. Si la fuente de OEM tiene una potencia P y se encuentra a una distancia L del metal la energía por unidad de área y por unidad de tiempo que llega a la superficie del metal es :
Supongamos que el electrón puede obtener su de un área circular cuyo radio es tan pequeño como la longitud de onda de radiación incidente l. (Rayleigh 1892)
(1)
(2)
Efecto fotoeléctricoModelo clásico continuación
Dado que la energía que adquiere el electrón por unidad de tiempo proviene de la OEMentonces las ecuación (1) y (2) deben igualarse de donde podemos entonces obtener el
tiempo que requerirá el electrón para ganar una energía igual a la función trabajo f.
La funciones trabajo f típicas de los metales son por ejemplo Cs (1.9eV) Ti (3,9eV), Pt(6,3eV)Así para una potencia típica de 10W una f=1,6eV (4f/P) ~10-19s. Para luz ultravioleta l~10-6m y una distancia L~1m resulta t~ 107 s ~ 102 años un poco lento!!. Incompatible con la evidencia experimental (4). Tampoco es compatible con el resto de las evidencias dado que nosurge de manera natural la existencia de una frecuencia mínima o de corte como se conoce (2)
(3)
La predicción de un t de extracción finito sumado a la no existencia de un umbral de Frecuencia muestran que la teoría clásica fracasa al tratar de explicar el Efecto Fotoeléctrico
Error= Considerar que la OEM le entrega energía al electròn de manera continua
Efecto fotoeléctricoRatifica el concepto de “cuanto” que surge en la teoría de Planck
Teoría de Einstein (1905)
•Basado en la hipòtesis de Plank la luz está compuesta por partículas llamadas fotones•Así un fotón al interactuar con el electrón tiene una Energía E=hf . Producto de esta interacción la energía final del electrón seráEk = hf – f, donde f es la función trabajo del metal. Dado que el evento es una colisión, la emisión es instantanea y la generación de fotoelectrones es uno a uno con respecto a los fotones incidentes.
Efecto fotoeléctricoRatifica el concepto de “cuanto” que surge en la teoría de Planck
METAL VACIO
ENERGIA DELFOTON
Energìa del cinètica del
electròn
Funciòn Trabajodel metal
f
hn = f + P2/2m
P2/2m P2/2m
f
Efecto fotoeléctricoMedida de la energìa cinètica de los electrones
Potencial de detenciòn .Medimos la energìa cinètica de los electrones mediante la aplicaciòn de un campo elèctrico
(variamos el potencia V ) hasta que hasta que suprimimos la corriente
eVo =Ek=P2/2m
eVo =hn –feVo= h(n-n0)
Potencial de
detenciòn
Energìa
Del fotòn
Funciòn
Trabajo del metal
n0= f/hFrecuencia de corte
Efecto fotoeléctricoMedida de la energìa cinètica de los electrones
Medimos la energìa cinètica de los electrones mediante la aplicaciòn de un campo magnètico B mediante el cual deflectamos el haz electrònico
y medimos el radio de curvatura r
Ek=P2/2m
(eBr)2= 2mh(n-n0)
Fm =e(vxB)=mv2/r
Asì a mayor energìa de los fotones incidentes mayor serà la energìa cinètica de los electrones mayor el radio de deflexiòn
FotònLa luz es una onda y una partìcula
Energìa de la OEM ~ (Amplitud)2 Energía del fotòn
Ìmpetud del fotòn
Fotones
Los electrones son golpedos por lfotones en colisiones 1 a 1
-
-
-
OEM
Los electrones extraen de forma continua la energìade la OEM
-
-
-
La luz es una ONDÍCULACuriosidades acerca de la dualidad de la luz
ON
DÍC
ULA
Evolución de nuestro conocimiento acerca de la naturaleza de la luz
Teoría corpuscular de Newton (1704)
Modelo corpuscular
Fenómenos de Interferencia y difracción de Luz no podían ser
explicados por el modelo corpuscular.
Teoría ondulatoria Huygens,Young, Fresnel,
Arago (1790)
Teoría de EF (Fotón)Einstein (1905)
Atomo de BohrOrígenes de la mecánica cuántica
La estabilidad del átomo se ve comprometida dado que la
electrodinámica clásica predice que toda carga acelerada
irradia energía en forma de una OEM. Como el electrón
Está girando entorno al protón en el átomo de hidrógeno
entonces cabría esperar que el electrón perdiera energía
de manera continua cayendo sobre el núcleo.
Atomo de BohrModelo de Bohr - Hipótesis
Para resolver este dilema Bohr tomó las ideas que Planck y de
Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico. Para compatibilizar
estas ideas con los resultados experimentales relativos a la
emisión de luz debió apelar a una serie de restricciones que
propuso como postulados:
1-El electrón gira en torno al núcleo del átomo en una órbita circular.
2- Dado que las orbitas son circulares el momento del electrón es solo angular.
Por tal razón L [L= r x p = r x (m·v ] está cuantificado, lo que significa que de
todas las órbitas posibles, sólo son posibles aquellas que cumplen que el impulso
angular sea un múltiplo entero de h/2p (h es la constante de Planck).
3- Las órbitas electrónicas son estacionarias y el electrón cuando se mueve
en ellas, no radia energía. El electrón solo absorbe o emite radiación en las
transiciones entre orbitas estacionarias
Atomo de BohrModelo de Bohr – determinación de las órbitas permitidas
Notemos que si el electrón gira alrededor del protón entonces la
energía total del mismo es
La energìa total es solo función del radio. Como se determina fácilmente de la
expresión a largo alcance r>>1 domina el potencial eléctrico (1/r) que es de carácter
atractivo (signo -) mientras a corto alcance r<<1 lo hace el potencial centrífugo (1/r2)
que es de carácter (repulsivo signo +). De esto se deduce que existe una posición
de equilibrio r0 para la cual la energía es mínima. Minimizando la expresión obtenemos
r
e
mr
L
r
e
m
PE
0
2
2
2
0
22
4242 pp
ec Fr
e
r
vmF
2
0
22
4p
r
e
dr
d
mr
L
dr
d
0
2
2
2
42 p EC FFr
e
r
mv ;
4 2
0
22
pO bien
Atomo de BohrModelo de Bohr – determinación de las órbitas permitidas -Cont
Esto nos indica que en equilibrio la fuerza de atracción electrostática que ejerce el
núcleo sobre el electrón tiene que ser igual al producto de su masa por su
aceleración (centrípeta). Además surge de manera natural que
Esto es la energía total del electrón en el átomo es negativa. (estado ligado!!)De acuerdo con el segundo postulado, las órbitas permitidas con aquellas para
las que el impulso angular del electrón es
De donde se determina de manera sencilla la expresión para los radios permitidos
cpcpc EEEEEr
emvE ;
42
1
0
22
p
...3,2,12
; nh
nmvrpxrL p
...3,2,105.04
;4
2
2
0
0
2
0
2
2
2
0 nnmme
rnrrnme
r nn
pp
Esto muestra claramente la cuantificación de las órbitas electrónicas. Sólo son posibles
aquellas que tienen los radios múltiplos (n2 - , n se conoce como número cuántico
principal n=1,2,3..) de r0 denominado radio de Bohr. Para el hidrógeno r0 =0.05nm (este es el tamaño de un átomo de H en su estado fundamental –mínina energía)
Atomo de BohrModelo de Bohr - Cuantización de la energía
•A partir de la Ec.(1) donde demostramos que la energía total del electrón igual a su
energía cinética con signo negativo. Esto es combinando las Ecs. (1) y (2) se
obtiene que
Así el espectro energía para el electrón es discreto sus valores posibles son fracciones
de E0 Energia del estado fundamental también llamada en los textos RH
(constante de Rydberg)
...3,2,16.138
;82 22
0
4
02
0
222
0
4
2
2
neVh
meE
n
EE
nh
me
mr
LEE nc
Dado que la energía se conserva en todos los procesos, se obtienen
las siguientes predicciones:
1) Si un electrón que está originalmente en una órbita estacionaria de
número n, a una órbita estacionaria de número m, con n<m, se absorbe
un fotón de frecuencia:νnm=(Em−En)/h
2)Si la frecuencia ν del fotón no coincide con ninguna de estas
frecuencias características, no será absorbido por el átomo.
3)Si un electrón que está originalmente en una órbita estacionaria de
número n, a una órbita estacionaria de número m, con n>m, se emite
un fotón de frecuencia: νnm=(En−Em/h
Atomo de BohrModelo de Bohr – Otras temas importantes
EFECTO DE LA MASA FINITA DEL NÚCLEOHasta ahora hemos considerado al núcleo con masa M =∞. Sin embargo, tanto el núcleo
como el electrón giran alrededor del centro de masas(CM) del sistema. Si P es el
momento lineal del núcleo (p+) y p el momento lineal del electrón (e-) en el sistema
del CM, la energía del átomo es:
MOMENTO MAGNÉTICO – MAGNETÓN DE BOHR
El electrón girando entorno del núcleo (p+) produce una corriente i que fácilmente
se puede calcular como
222 mr
eLe
t
qi
pp
Dado que el electrón gira en órbitas circulares podemos calcular el momento
magnético correspondiente como
nnm
e
m
eLr
mr
eLAi 0
2
2 222p
p
epep
pccmMr
ep
r
e
m
p
M
PrEeEpEE
111;
42422)()()(
0
22
0
222
+
+++ +
pp
22
0
4
02
0
8 h
eEcon
n
EEn
En este caso la constante de Rydberg
Louis V. de Broglie presenta su tesis
doctoral en 1923, en la que sugiere que las
partículas con masa deberían tener
propiedades ondulatorias similares a la luz.
La longitud de onda para las ondas de materia se
conoce como longitud de onda piloto de de Broglie
Si la luz puede actuar como una partícula (Fotón) . ¿Por qué no
podrán las partículas de materia comportarse también
como ondas?
¿Serán ONDÍCULAS las partículas de materia?Hipótesis de de Broglie
p
hB lLongitud de onda
piloto de de Broglie
Constantede Planck
Momento de la partícula
Hipòtesis de De Broglie - FOTONESTeorìa de Planck y Einstein
Sabemos a partir de la la teorìa del EF que la energìa de un fotòn es
lhc
hfEp
consequentemente, para partìculas con masa en reposo cero (FOTON) el ìmpetud p viene dado por
lh
c
hf
c
Ep
2222 pcmcE +
De la teorìa especial de la relatividad de Einstein conocemos que
Nuestro conocimiento tradicional
de partícula referencia a algo que
está “LOCALIZADO”- confinado
en el espacio con una posición y
un momento definido.
Partícula Onda
Nuestro conocimiento tradicional
de una onda está relacionado con
algo “DE-LOCALIZADO”- disperso
en el espacio y el tiempo
¿Cómo podríamos representar tanto a una onda como a una partícula?
Paquete de onda
Sobre las ondas y las partículas Conceptos y paquete de onda
Interferencia de doble rendijaTrabajando con partículas y ondas
Ondas
PartículasEsperamos que las partículas pasen por la rendija (1)
ó (2). Observamos asi un patrón que se correponde con la suma de las figuras de difracción
Patrón de Interferencia de electrones
Si se mide la distribución de eletrones sobre una superficie detectora conforme pasa el tiempo,se observa un patrón de interferencia. Esto indica que los electrones no pudieron haber pasado por (1) o por (2) tal lo suponemos para una partícula sino que debieron pasar por (1) y (2).
La hipótesis de de Broglie se cumple.
¡¡Los electrones son ondículas!!
Esto fué verificado por Davidsson & Germer de los Bell Labs (1926)
• Las energías tipicas del beam de electrones es de 0,2 a 40 keV Puede ser por transmisiòn TEM en cuyo caso las muestras deben ser finas y transparentes a los electrones o bien puede funcionar por reflexiòn SEM
Longitudes de onda de De BrogleEjemplos de cálculo de la longitud de onda piloto
Electrones acelerados mediante una diferencia de potencial DV(Microscopio electrónico de barrido)
DV= eV0= P2/2m
usando la hipótesis de DeBroglie
eV0= h2/2ml2
21
0
0
21
22.12
nmVVmeV
hl
Dif de potencial Ek del electrón
Cabello humano d~70m
Partìculas de polen d~70m
Ataque quìmico hùmedo
de Si(100) Tamaño tipico
de las piràmides formadas
0.5m a 10m
Microscopio electrónicoImàgenes
Electrodeposiciòn de Cu
sobre Cu. Filamentos 0.1m
de diàmetro. Crecimiento
Dendrìtco (hojas) Tamaño medio
2m a 20m
Difracción de electronesEjemplos de cálculo de la longitud de onda piloto
Eke= P2/2musando la hipótesis de DeBroglie
Eke = h2/2ml2
212
1
22.12
nmeVEmE
hke
ke
l
electrones
Supongamos que un haz monocromàtico de
electrones de energìa Eke incide sobre una
rendija de ancho D. Podemos calcular el
ancho del màximo principal de difracciòn
L
ytgsenDsen
2;
D l
El ancho del màximo principal
keeEmDhLy
2D
• Notamos que l decrece con la temperatura, de modo que esperamos que a bajas temperaturas se aparezcan efectos producto de la interferencia
Longitudes de onda de De BrogleEjemplos de cálculo de la longitud de onda piloto
Neutrones térmicos emitidos por una reactor nuclear
(3/2) kT= P2/2mn
usando la hipótesis de DeBroglie
1.5 kT= h2/2mn l2
212
1
51.23
nmKTmkT
h
l
Energía térmica Ek del neutrón
mn=1.695x10-27Kg
Teorema de equipartición de la energía postula que cada grado de libertad de un
sistema mecánico contribuye con 1/2kT a la energía total del sistema
Efecto ComptonInteracción de la luz con electrones libres
Si se hacia incidir rayos X sobre una lámina de carbono (grafito) la radiación era dispersada. Si se analiza la radiación
dispersada se encuentra que hay dos una de igual longitud de onda que los rayos incidentes y otra de longitud de onda
ligeramente mayor (correspondiente a una energía menor)
-La primera componente (la parte correspondiente a λ0 ) estaba explicada por argumentos del electromagnetismo clásico
y no fue un problema para los científicos que la estudiaban.
- La segunda (correspondiente a la 1correspondiente a la λ1 ) no tenía explicación hasta que Compton desarrolló una
teoría simple para explicarla
EXPLICACION DE COMPTON
Compton propuso explicar el corrimiento de longitud de onda en términos de una colisión entre un fotón y un
electrón libre aplicando las ideas de Einstein. El considerar que se trataba de una interacción con electrones
libres (poco ligados) (Ec~0) del material estaba basaba en la observación de que el cambio de frecuencia no
dependía del material
Efecto ComptonInteracción de la luz con electrones libres
22
0
22 )( cmpcE +
l/hchfpcE
coscos10 eppp +
SenpSenp e 10
222
1
2
0 cmcphfcmhfEE eeeef ++++
cos2 10
2
1
2
0
2pppppe +
2
10
2
10
2 )(2)( cmppcppp ee
)cos1()( 01 ll cm
h
e
Dado que tanto los fotones se mueven a la velocidad de la luz para entender el modelo de Compton debemos recurrir al uso de la teoría de
la relatividad especial. En particular usaremos que la total relativista de una partícula se expresa en este dominio como:
donde m0 es la masa en reposo, p la cantidad de movimiento y c la velocidad de la luz. Lo fotones que son los mensajes del campo
electromagnético no tiene masa en reposos (m0=0) por tal los fotones se mueven a la velocidad de la luz y la fuerza electromagnética tiene
alcance infinito. Así para los fotones la energía total relativista será
De la conservación de la energía
Elevando al cuadrado las Ec (1a,1b) y sumando ambas componentes se obtiene que:
En tanto que si despejamos pec2 de la Ec(2) obtenemos que:
Si usamos que para los fotones se cumple que p=E/c=h/l encontramos una expresión para el corrimiento de la longitud de onda
entre en la radiación incidente y dispersada.
Aplicando la conservación del ímpetud lineal para los componentes x e y obtenemos
(1a)
(1b)
(2)
Modelando las ondículas Paquetes de onda
Suma de ondas de diferentes frecuenciasBatidos
Consideremos una pertubación compuesta pos dos ondas de igual amplitud y fase inicial pero de distintas frecuencias
)( 111 txkACosf )( 221 txkACosf
])2
()2
[(])2
()2
[(2 2121212121 tx
kkCostx
kkACosfff
+
++
La perturbación resultante es:
Que puede ser reescrita como ][(),(2 txkCostxAf mm
donde ][(),( tkxACostxA DD
que es una onda viajera de frecuencia m con una amplitud modulada A(x,t)
)2
(2
2121
+
+ mm
kkk
)2
(2
2121
D
D
kkk
Suma de ondas de diferentes frecuencias
En las aplicaciones de comunicaciones por lo general 1 y 2 son grandes y difieren poco entre si de modo que km~k>>Dk lo mismo el válido para m~>>D. Note que
A(x,t) (moduladora) varía lentamente lm=4p/|k1-k2| mientras que f(x,t) (portadora)
lo hace con l=4p/|k1+k2|
La intensidad es proporcional a |f|2
])[1(2),( 22tkxCosAtxA DD+donde |A(x,t)|2 es
Note que |A(x,t)|2 oscila lentamente alrededor de 2A2 con una frecuencia D que se denomina frecuencia de pulsación (beat)
][(),( 222txkCostxAfI mm
Velocidad de GrupoBatidos
En la perturbación que estudiamos
dk
d
kLimV kg
DD
D 0
dk
dn
n
kc
n
c
n
ck
dk
dkv
dk
dVg 2
Dado que =kv entonces
Así si el medio es no dispersivo (vacío) =kc entonces Vg=c , pero si la velocidad depende de la longitud de onda, por ejemplo el índice de refracciòn cambia con lafrecuencia -> depende no-linealmente de k se dice que el medio es dispersivo y Vg<>c
][(),(2 txkCostxAf mm
consiste de en una onda portadora de alta frecuencia m>>D. modulada en amplitudpor A(x,t) que tiene una forma coseno. Note que si A(x,t) fuera constante la portadora viajaría con la velocidad de fase vf=/k (esto ocurre solo si 1=2=). Caso contrario si1<>2 la portadora viajará con una velocidad de fase vf=(1+2)/(k1+k2)mientras la envolvente lo hará una vg=|1- 2|/|k1-k2|=D/Dk.
A la velocidad con la que avanza la envolvente s la conoce como velocidad de grupo
Las velocidades de las ondas individuales que se superponen para formar elpaquete de ondas son diferentes de modo que el paquete, como un todo, tiene unavelocidad diferente a la de sus componentes.
•Velocidad de fase (Vf): La velocidad a la que la fase de la onda se propaga en elespacio.
•Velocidad de grupo (Vg): La velocidad a la que la envolvente del paquete deondas se propaga.
22
2
2
p
f
V
m
P
P
mP
P
E
kkV
pg Vm
P
m
P
dP
d
dP
dE
kd
d
dk
dV
2)(
)( 2
Paquetes de ondaVelocidad de fase y grupo
Suma de infinitas ondasSeries de Fourier
++
1
0 sincos2
)(n
nnL
xnb
L
xna
axf
pp
dxL
xnxf
La
L
n
p
2
0cos)(
1dx
L
xnxf
Lb
L
n
p
2
0sin)(
1
Podemos espresar una perturbaciòn como una suma de dos o mas funciones armònicas con aplitudes y longitudes de onda . La perturbaciòn resultante es armònica
Podemos probar que los senos y cosenos forman una base
mn
L
dxL
xmCos
L
xnCos ,
2
0
pp mn
L
dxL
xmSen
L
xnSen ,
2
0
pp mndx
L
xmSen
L
xnCos
L
,02
0
pp
Podemos obtener los coeficientes de la combinaciòn lineal proyectando la funciòn f(x)sobre los elementos de la base obteniendo en este caso que:
Asì una funciòn periòdica y continua por partes puede expresarse como una serie de FourierQue no es mas que una expansiòn en una base ortogonal y completa de senos y cosenos
Suma de infinitas ondasSerie de Fourier
A continuaciòn estudiamos la serie de Fourier de una funciòn periòdica escalonada
)(xf ppp2,1
0,1
x
x
p 2p
0 0 cos)1( 0 cos11
0 cos)(1 2
0
2
00
+ dxdxdxxfa
p
p
pp
pp
0 cos)1( cos11 2
0
+ dxnxdxnxan
p
p
p
pTodos los an=0 dado que f(x)=-f(-x) es impar
2
4))1(1(
2 sin sin
1 22
0
pppp
p
p
p nSen
nndxnxdxnxb
n
n
+++
..5
5
13
3
1414)( x
LSenx
LSenx
LSen
L
xnsen
nxf
imparn
pppp
pp
n=1
n=3
n=5
nb
bn 1
1
Calculamos los coeficiente de Fourier
Asi podemos excribir la serie y ver como converge a la Funciòn objetivo conforme n crece
Tal como observamos en el histograma espectral lasAmplitudos de los sucesivas componentes de k ,n crecendecrecen conforme
Paquetes de ondaTransformada de Fourier
Asi expresamos a la serie de Fourier en su forma compleja que es más compacta
nk DDlp2
*)(2
1)exp()( nnnnnnn
n
n ccibacL
nkxikcxf
p
Ahora queremos describir un pulso localizado en lugar uno periòdico haciendo que elIntervalo de periodicidad L->oo de modo que la distancia ente loas distintas componentesk, Dk->0
dxikxxfkg
)exp()(
2
1)(
p
dkikxkgxf
)exp()(
2
1)(
p
Transformada de Fourier (distribuciòn espectral) Espacio k
Anti-transformada de Fourier (distribuciòn espacial - pulso) Espacio x
Paquetes de ondaPulso rectangular – Difracciòn de una rendija
Calculemos la transformada de Fourier de un un pulsoRectangular de amplitud A (ver figura), Note quees equivalente a una rendiga de ancho L e intensidad I0=A2
El ancho del pulso en el espaciò real y el ancho Espectral en el espacio conjugado son:
)2()2(2
)2(
)2(
1)(
2/12/1kLSinc
L
k
kLSenkg
pp
dxikxAkgL
L 2
2
)exp(2
1)(
p
LkLx
p4DD
kxctekxkx DDDDDD /14p
Note que el producto de los anchos la distribuciònEspacial y espectral es tal que:
Integrando obtenemos:
L=1 L=2
A mayor localizaciòn Dx menormayor ancho espectral Dk
Paquetes de ondaPaquete Gausiano
Calculemos la transformada de Fourier de un un pulso Gaussiano
pulsokxkx DDDD2
12
1
El producto de los anchos la distribuciònespacial y espectral para el pulso gausianotoma el menor de entre todos los productos Calculados para cualquier forma fincional
donde:
s=2 s=4
A mayor localizaciòn (Dx menor)mayor ancho espectral Dk
A=1)(kg
)(kgLa TF de un pulso gausiano tiene una distribuciònespectral gausiana
• Tal como hemos encontrado en la diapositiva anterior los anchos espaciales y espectrales de las variables conjugadas son tales que.
2
1DD kx
2
1DD t
Posición / vector de onda k y frecuencia /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas
De la segunda de ellas podemos ahora enterder porque debemos pagar mas dinero para poder navegar, descargar informaciòn y videos de internet ràpido.
•Navegar/descargar màs ràpido significa que por unidad de tiempo (ej x seg) debemos recibir mas bits en nuestra PC. Esto implica que cada bit (pensado ahora como un pulso regctangular ) debe ser mas angosto esto es su ancho Dt debe ser menor por ende Dw debe ser mayor ( debemos entonces contratar mayor ancho de banda!!)
Ancho espectralCuriosidades
• Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la dualidad onda-partícula de la materia y la radiación y es inherente a su naturaleza cuántica. Una de las desigualdades postula, que la posición y el momento de un objeto no están definidos con exactitud simultáneamente.
p2
hpx x DD
p2
htE DD
Posición / momento Energía / tiempo
Posición / momento y Energía /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas
Dos consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son:
•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico•La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador
Desigualdades de HeisenbergConocido como principio de incertidumbre
• Aplicando la hipòtesis de De Broglie a las desigualdades planteadas en la filmina anterior obtenemos las llamada DESIGUALDADES DE HEISENBERG conocidas tambièn como principio de incertidumbre de Heisenberg
Debemos buscar una ecuación para modelar la dinámica de las ondículas
F=macomo consecuencia de las desigualdades de Heisenberg
•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico
2
2
2
2 ),(),(
t
txE
x
txEoo
2
p
f
V
kV
Pues
¿Entonces?
Ecuación de onda clásica
2
2
2
2 ),(),(
t
txE
x
txEoo
Ecuación de Onda Simetrías
2
2
)()( xxx
x -x
Inversión espacial (reflexión)
t -t 2
2
)()( ttt
Inversión temporal
Soluciones
)(),(
)(),(
)(),(
tkxietxE
tkxCostxE
tkxSentxE
kck )(
Relacion de dispersión
)(2
2
xVm
PE +
Energía de una partícula en 1D
En busca de una ecuación que describa la dinámica de las ondículas
)(2
22
xVm
k+
)(exp),( tkxitx ti
2
22
x
Solución
)(
2 2
22
xVxmt
i +
Ecuación de Schrödinger en 1D
EPlanck
khp lDe Broglie
),( tx Función compleja de variable real que
representa el estado de la ondícula
La ecuación de Schrödinger dependiente de tAlgunos comentarios
• La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo no nula y velocidad mucho menor que c)
• La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de onda clásica, es de primer orden en el tiempo. En este sentido se corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que modela un proceso irreversible.
• Sus soluciones son funciones complejas de variable real a diferencia de las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e imaginaria son soluciones.
Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula
en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado
de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las
podemos medir directamente).
Solución
Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de
encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del
un punto x en un tiempo t es igual a
2 2
0( , ) ( , ) d
bb
xx a a
x t x x t x
2( , )x t x
Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo
se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?
Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es proporcional a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.
Así la probabilidad total de encontrar a la
partícula entre dos posiciones a y b es
a b
|Ψ|2
x
δx
Max Born
Interpretación de la función de ondaInterpretación de Born
2 *
Conservación del flujo de probabilidadOtras propiedades interesantes
)(
2 2
22
xVxmt
i +
*
2
*22*
)(2
xVxmt
i +
tJ
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de
segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que
éstas son complejas entonces:
Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.),( tx ),(* tx
(1) (2)
Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |(x,t)|2,
simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por * y (2) por .
2|),(| tx
xxm
iJ
**
2
Pantalla
detectora
Flujo incidente de partículas coherentes, o luz
sind
D
θ
y
1
2
1 2 +
1 2
2 2 2 * *
1 2 2 1 + + +
Término correspondiente a las “partículas” usuales
Término de interferencia
Reintrerpretando la interferencia de doble rendija
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación
Si el potencial es independiente del tiempo
2 2
2i ( )
2V x
t m x
+
h
h
El lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variación Ψ con t.
El lado derecho sólo involucra la
variación de Ψ con x.
Proponemos asi una solución donde x y t
son independientes( , ) ( ) ( )x t x T t
Sustituyendo:
, ( )V x t V x
2 2
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2x T t V x x T t i x T t
m x t
+
h
h
2 2
2 2( ) ( ) ( )
dx T t T t
x dx
2 2
2( )
2
d dTT V x T i
m dx dt
+
hh
Las ecuaciones son a derivadas totales
2 2
2
1 1( )
2
d dTV x i
m dx T dt
+ h
h
Dividiendo ambos miembros por ψT
Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t.Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así
2 2
2( )
2
d dTT V x T i
m dx dt
+
hh
1 dTi A
T dth
2 2
2
1( )
2
dV x A
m dx
+ h
(3)
Da cuenta de la evolución temporal
Determina la dependencia espacial
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoContinuación
/( ) iEtT t ae h
1 dTi A
T dth
dT iAT
dt
h
/( ) iAtT t ae h
1 dTi A
T dth
2 2
2
1( )
2
dV x A
m dx
+ h
• Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema.• Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dadoque el potencial como muestra (3) determina los valores posible de E.
(4) (5)
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoEvolución temporal
2 2
2
d( )
2 dV x E
m x
+
h
Usando que A = E en la Ec(5):
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
Note que la densidad de probabilidad no depende
del tiempo
2 * / /
2*
, , ( ) ( )
( ) ( ) ( )
iEt iEtP x t x t x e x e
x x x
+
h h
/( , ) ( ) ( ) ( ) iEtx t x T t x e hLa solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:
Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
ExVm
P
+ )(
2
2
EH
Movimiento de un partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas
V(x)
X
E1
X1X2
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
Puntos de retorno clásico
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
V(x)
X
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
E2
X1 X2 X3 X4 X5 X6
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
Movimiento de un partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas continuación
2 2
2
d( )
2 dV x E
m x
+
h
Usando que A = E en la Ec(5):
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
Note que la densidad de probabilidad no depende
del tiempo
2 * / /
2*
, , ( ) ( )
( ) ( ) ( )
iEt iEtP x t x t x e x e
x x x
+
h h
/( , ) ( ) ( ) ( ) iEtx t x T t x e hLa solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:
Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
ExVm
P
+ )(
2
2
EH
V(x)
x
E
Ondícula en un potencial 1D Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes
Notemos que la solución de la ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias
SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6) para las ZCX. Estas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales
)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj + )exp()exp()( xDxCx lllll +
][2
2EV
mll
ZCP ZCP
ZCX ZCX ZCX
Solución general para cada ZCXSolución general para cada ZCP
dónde][2
2 jj VEm
k
dónde
Debemos escribir la ESIT para cada zona
122
1
2 2
EV
m
dx
dj
jj
jEV
m
dx
d
22
22
V(x)
x
E
Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCPFlujos
)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj +ZCP ZCP
ZCX ZCX ZCX
Solución general para cada ZCP
][2
2 jj VEm
k
dónde
Recordemos que de la ESDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad. t
J 2|),(| tx
xxm
iJ
**
2
dónde y
Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que
)exp()(),( Eti
xtx
Por lo tanto 22 |)(||),(| xtx 0 Jy
Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x.
izq
l
der
lll
ll
lll
l jjBm
kA
m
kBA
m
kj 2222 ||||||||
Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl
y obtenemos
Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial
02'' + k )(2
2
'' VEm
Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos:
'' '
’’ discontinua de 1er orden
)('' 0
+x)('' 0
x)(' 0
+x)(' 0
x
’ continua
continua
)('' 0
+x)('' 0
x )(' 0
+x)(' 0
x
continua’’ discontinua de 2do orden ’ discontinua de 1er orden
)('' 0
+x
)('' 0
x
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialAplicaciones de la ESIT
ZCP ZCP
x
Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialUbicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado.
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaVemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales].
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.
V=V0
Modelo
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialCálculo para E>V0
ZCP ZCP
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
V=V0
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que propusimos anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas mkmPEc ii 22
222
)(2
,0 022 VEm
kx
)exp()exp()( 222 xikDxikCx + donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx + Em
kx21
2,0
donde
El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. En este caso no tiene sentido físico el flujo . Por lo tanto podemos reescribir las CC.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)
V(x)
X=0
EZCP ZCP
x
V=V0
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.
2
1 ||)( Amk
CkkAk )(2 211 +
)0()0( 21 )0(')0(' 21 y
DCBA ++ )()( 21 DCikBAik y
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
BkkAkk )()( 2121 +
2
2 ||)( Dmk
Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación 2)
V(x)
X=0
E
A C
x
V=V0
oTransmitidreflejadoincidente JJJ +
TRAk
Ck
A
B
J
J
J
J
incidente
trasmitido
incidente
reflejado + 1;||
||
||
||1;1
2
1
2
2
2
2
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
)0()0( 21 JJ 2
2
2
1
2
1 ||)(||)(||)( CmkBmkAmk B
Ondículas incidentes
Ondículas Transmitidas
Ondículas reflejadas
Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico
Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene
Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones.
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
X=0
E
A C
x
V=V0
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
B
MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!!
2
0
2
0
2
12
2
12
2
2
)(
)(
)(
)(
||
||
EVE
EVE
kk
kk
A
BR
+
+
T k2 | C |2
k1 | A |2
4k1k2
(k2 + k1)2
4 E(E V0)
( E V0 + E )2
Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0
CURIOSIDAD: Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialCálculo para E<V0
ZCP ZCX
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
V=V0
P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda.x=0 es un punto de retorno clásico
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que efectuado anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaE es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX) La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales.
)(2
,0 02EV
mx
)exp()exp()(2 xDxCx + donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx + Em
kx21
2,0
donde
En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)
V(x)
X=0
E
ZCP ZCX
x
V=V0
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función
)0()0( 21 )0(')0(' 21 y
DBA + DBAik )(1y
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
)exp()exp()(2 xDxCx +Notemos que |2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se debe cumplir que
0
2
2 |)(| dxx )exp()exp()(2 xDxCx +debe ser finita, entoncesC=0
2
1 ||)( Amk
Escalón de Potencial (E<V)Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
X=0
E
A
x
V=V0
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
B
1||
||
||
||2
1
2
1
2
2
+
ik
ik
A
BR
T J2
J1
0
Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
)0()0( 21 JJ 2
1
2
11 ||)(||)( BmkAmkJ
xxm
iJ
*
22
2*
222
Dado que 2 es real J2=0
Longitud de penetración
De las desigualdades de Heisenberg
oE E V + D ;
Escalón de Potencial (E<V)Interpretando la solución en la ZCX
2***
22 ))1(exp()2exp(),(),( DDxDDtxtx
para )(2
//1 02EV
mx D
Una ondícula en el Escalón de Potencial (E<V)Reflexión de la ondícula.
X=0
Barrera de PotencialCálculo para E>V0
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres so,cuines de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Que las partículas experimenten una disminución de la Ec (y por lo tanto en su velocidad) en el intervalo[0,a]. Y que vuelva a aumentar la Ec nuevamente. Esperaríamos que todas las partículas atraviesen esta región del potencial.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSi seguimos el procedimiento que propusimos anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces todas las zonas son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1,3 y 2 son distintas mkmPEc ii 22
222
)(2
,0 022 VEm
kax )exp()exp()( 222 xikDxikCx + donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx + Em
kx21
2,0
donde
X=a
V(x) E
ZCP1 ZCP2
V=V0
ZCP3
)exp()exp()( 113 xikFxikEx + Em
kx21
2,0
donde
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.
)0(')0('
)0()0(
21
21
)(')('
)()(
32
32
aa
aa
y
)()( 21 DCikBAik
DCBA
++
Especializando en x=0 ,obtenemos
DkkCkkAk )()(2 21211 ++
V(x) E
ZCP1 ZCP2
V=V0
ZCP3
))exp()exp(())exp()exp((
)exp()exp()exp()exp(
112222
1122
aikGaikFikaikDaikCik
aikGaikFikDikC
++
Especializando en x=a ,obtenemos
[1]
[2]
[3]
[4]
k1[1] +[2]
DkkCkkBk )()(2 21211 ++k1[1] - [2]
)exp()()exp()()exp(2
)exp()()exp()()exp(2
12112122
12112122
aikGkkaikFkkaikDk
aikGkkaikFkkaikCk
++
++k2[3] +[4]
k2[3] - [4]
Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:
Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y el correspondiente en la zona 2:
[5]
[6]
Barrera de PotencialConservación del Flujo de probabilidad
Si determinamos que las ondículas inciden de la izquierda en esta caso entonces. El flujo no tiene sentido físico . Operando adecuadamente con éstas ecuaciones obtenemos .
2
2 ||)( Gmk
V(x) E
V=V0
AB
AA C FD G
V(x) E
V=V0
AB
AA C FD G A
B
F
21 ||)( Am
kJ inc
21 ||)( Bm
kJ ref
21 ||)( Fm
kJ trans
V(x)
)0()0( 21 JJ 2
2
2
2
2
1
2
1 ||)(||)(||)(||)( DmkCmkBmkAmk
)()( 32 aJaJ 2
1
2
1
2
2
2
2 ||)(||)(||)(||)( GmkFmkDmkCmk
V(x) E
V=V0
AB
AA C FD G
Si calculamos el flujo de probabilidad en cada uno de los puntos de discontinuidad del potencial obtenemos:
Notemos que los flujos de la zona 2 conectan a los de la zona 1 y 3 respectivamente .
2
2
||
||
A
B
J
JR
incidente
reflejado 2
1
2
2
||
||
Ak
Fk
J
JT
incidente
otransmitid
El coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, resultan en este caso.
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E>V0
A partir de las ecuaciones [5],[6] podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [6] y reemplazándo en [5] se obtiene
22
221221
22
2
2
1 |||2)(2|||16 FaSenkkikaCoskkkAkk +
De esta expresión puede calcularse de manera directa T y se obtiene:
akSenkk
kkA
FT
2
2
2
21
2
1
2
2
2
2
21
1
||
||
+
Note en este caso que al igual que en el escalón de potencialT(E)=1 si E >>V0, esto es cuando k1 >>k2. CURIOSIDAD:Note que tambien T(E) =1 si
pnak 2 22 lna 0
2
2
2 2 VmkEn + pnak 2 22 lna
[7]
Barrera de PotencialCálculo para E<V0
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Si las partículas inciden de izquierda a derecha esperamos que el punto x=0 sea un punto de retorno clasíco donde las partículas rebota y vuelven al mismo medio.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSeguimos el procedimiento usual para resolver el problema
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es mayor que la E se trata de una ZCX
202)(
2,0 ikEV
max
)exp()exp()(2 xDxCx + donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx + Em
kx21
2,0
donde
)exp()exp()( 113 xikFxikEx + Em
kx21
2,0
donde
X=0 xX=a
V(x)
E
ZCP1 ZCX
V=V0
ZCP3
NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes
C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero manteniendo finita
0
2
2 |)(| dxx
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua como ocurrió en el caso en que E>V
)0(')0('
)0()0(
21
21
)(')('
)()(
32
32
aa
aa
y
)()(1 DCBAik
DCBA
++
Especializando en x=0 ,obtenemos
DikCikAk )()(2 111 +
))exp()exp(())exp()exp((
)exp()exp()exp()exp(
112
11
aikGaikFikaDaC
aikFaikFaDaC
++
Especializando en x=a ,obtenemos
[8]
[9]
[10]
[11]
k1[8] +[9]
DikCikBk )()(2 111 ++ k1[8] - [9]
)exp()()exp()()exp(2
)exp()()exp()()exp(2
1111
1111
aikGikaikFikaD
aikGikaikFikaC
++
++
k2[10] +[11]
k2[10] - [11]
Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:
Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y las soluciones en la zona 2:
[12]
[13]
X=0 xX=a
V(x)
E
ZCP1 ZCX
V=V0
ZCP3
Barrera de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E<V0
A partir de las ecuaciones [12],[13] y suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda(G=0) podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [11] y reemplazándo en [10] se obtiene:
22
1
22
1
22
1
2 |||4)(2|||16 FaChkiaShkAk +De esta expresión puede calcularse de manera directa T .
aShk
kA
FT
2
2
1
2
1
22
2
21
1
||
||
++
Note que en el caso en que si E >>V0 o a >>1 (esto es el potencial de la barrera es grande repecto de la energía o la barrera es ancha) Entonces a>>1 el coeficiente de transmisión tiene una forma exponencial decreciente.
)2exp(2
||
||2
2
1
2
1
2
2
ak
k
A
FT
+
22 ||)2exp(|| AaF
A
B F
SORPRESA!! Las ondículas tienen una probabilidad finita de transmitirse a través
de la barrerra. Este fenómeno se conoce como EFECTO TUNEL
NOTA: Es posible obtener [14] a partir de [7] simplemente reemplazando k2 =i. Por qué?
[14]
aeV
E
V
ET 2
00
116
Microscopía de efecto tunel STM
Se utilizan tres barras de cuarzo para regsitrar la topografía de una superficie semi/condutora por medio de una sonda muy
fina (un átomo)Se estable una diferencia de potencialentre el material y una fina punta detungsteno. Cuando la distancia entre lapunta y la superficie conductora ES pequeña, se entablece una corriente entre lasuperficie y la punta por ET. El nro deelectrones que fluyen desde la superficiepor unidad de tiempo (corriente tunel) esmuy sensible a la distancia entre la puntay el material.
Principio de operación
Las barras de cuarzo forma un un soporte piezoeléctrico, dado que suspropiedades elásticas dependen de la tensión aplicada. Un circuitoelectrónico sensa la corriente La magnitud de la corriente y con estomantiene constante la distancia entre la punta y la superficie y lapunta. Asi la punta se mueve hacia arriba y hacia abajo siguiendo elcontorno de la superficie generando un mapa topográfico de lasuperfice a escala atómica.
Si(111) reconstrucción (7x7) Si(110) reconstrucción (2x1). Terrazas, islas y huecos
Microscopía de efecto tunel STMObservando y manipulando el paisaje a escala atómica
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E=V0
X=a
V(x)
EZCP1 ZCX
V=V0
ZCP3
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
Veamos ahora que ocurre con las ondículas en este caso
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es igual a E se trata de una ZCX
ax 0DCxx +)(2 dado que
)exp()exp()( 111 xikBxikAx + Em
kx21
2,0
donde
)exp()exp()( 113 xikFxikEx + Em
kx21
2,0
donde
NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes
C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero
0)(22
2
xdx
d
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E=V0
Nuevamente suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda (G=0) podemos obteneruna relación entre A y F. Notemos que en este caso no es necesario repetir todo el procedimiento dado que las solución en el caso de E<Vo es la prolongación analítica de lascorrepondiente a E>V0 . Por lo tanto la solución en el caso E=Vo puede obtenerse en el límitede cualquiera de éstas evaluando:
0)(2
limlim 0200 EV
mVEVE
2
12
2
1
2
1
202
2
0
21
1
21
1lim
||
||lim)(
0
+
++
ak
aShk
kA
FVET VE
Note que en el caso podemos obtener T(E) a partir de [14] tomando el límite arriba propuesto.
DCxxQxPxQxPx +++ + )1()1()exp()exp()(02
Qué ocurre si a>>1 es decir que transforma la barrera en un escalón?
Potencial delta de DiracLa función Delta de Dirac es una distribución o función generailzada, que se define como"límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:
0
0
00
)(xx
xxsixx
Ecuación de Shrodinger con un potencial tipo delta de Dirac.
1)( 0
dxxx
)()()( 00 xFdxxxxF
)()()()(2 2
22
xExxPxdx
d
m +
)(lim)]()()(2
[lim
0
0
02
220
0
0 xExxPxdx
d
m
+
+
+
)]()()([2
lim)]0()0([lim
0
0
0
0
20
''
0 xEdxxxPm
+
+
+
)0(2
)0()0( 2,12
'
1
'
2 mP
Definición:
Propiedad importante que utilizaremos en nuestros cáculos:
Condiciones de continuidad de derivada para la delta de Dirac:
Barrera de potencial tipo delta de Dirac
x
P(x)En este caso tenemos una potencial tipo delta de Dirac. Notemos que en este caso el problema admite soluciones para E> 0 y son
E>0
Operando algebraicamente 3 y 4 podemos expresar fácilmente A y B en función de C y D
Em
kxikxBikxAx21
2,0),exp()exp()(
+
Em
kxikxDikxCx22
2,0),exp()exp()(
+
Soluciones de la ESIT
)0()0( 21
)0(2
)0(')0(' 2,1212 mP
[1]
[2]
+
++
)(2
)()(2
DCmP
BAikDCik
DCBA
[3]
Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad
[4]
1 2
k
mPQ
D
C
iQiQ
iQiQ
B
A21
1
+
Pozo de potencial tipo delta de DiracCálculo del coficiente de transmisión y reflexión
Para el caso en que las ondículas inciden de izquierda a derecha
Asi concluimos que el potencial tipo delta de Dirac divide al espacio en dos mitades y el coeficiente de transmisión y reflexión son distintos de 1 y 0 respectivamente
2
22
2
2
22
2
21
1
||
||
21
1
||
||
mP
EA
BRy
E
mPA
CT
+
+
Ondas de MateriaEstados ligados
Pozo de potencial de paredes infinitas
Consideremos una partícula confinada en una región de tamaño finito –a<x<a por dos barreras de potencial infinito
x
Dado que e potencial es infinito en las zonas 1 y 3 la solución en la de la ESIT es cero indicando que la ondícula esta confinada a la región [0,a]
V V V(x)
0 a
0V
Solución general:
ZCX 1 ZCX 3ZCP 2
0,0)(1 xxE
mkaxikxBikxAx
22
2,0),exp()exp()(
+
axx ,0)(3
En este caso la solución en la ZCP2 debe conectarse a las soluciones reales en la ZCX1,3. Dado que no hay flujo en la ZCX1,3 resulta que el flujo en la ZCP2 J2=0.
)exp(0)|||(| 22
2 iBABAm
kJ
Continuidad de ψ en x = 0:
Continuidad de ψ en x = a:
Dado que la discontuidad del potencial es infinita en x=0 y x=a la derivada primera es discontinua en dichos puntos
Pozo de potencial de paredes infinitas
0)exp()exp( + ikaBikaA
)0()0( 21
)()( 32 aa
0+ BA
pnkakaASen 0)(
2
2222
82 ma
nhE
m
kE n
)()( x
a
nASenxn
p
[1]
Usando [1] tenemos que A= -B resulta que
Dado que la ondícula tiene solo energía cinética en la ZCP resulta que
Sorpresa la energía no puede tomar cualquier valor. ES DISCRETA!!
Pozo de potencial de paredes infinitasPor qué el espectro de energía es discreto?
)(2
)("2
VEm
x
pnkakaASen 0)(
2
2222
82 ma
nhE
m
kE n
)()( x
a
nASenxn
p
Para comprender la naturaleza discreta del espectro de energía de la ondícula confinada entre dos zonas clásicamente prohibidas, note que la energía cinética de la ondícula
está relacionada con la curvatura (derivada segunda) de la función de onda. Dado que la solución debe ser continua en los puntos de discontinuidad entonces no cualquier curvatura de la función puede ajustar a las soluciones en las ZCX de modo continuo y por lo tanto no cualquier energía es posible para la ondícula con lo que el espectro de energía es de naturaleza discreta
Dado que la partícula se haya confinada en la región [0,a]. Así la probabilidad de encontrarla en dicho intervalo es igual a uno
axxa
nASenxn 0),()(
p
1)(|||)(|1|)(|0
22
0
2
2
2
dxxa
nSenAdxxdxx
aa p
aA
2
Pozo de potencial de paredes infinitasNormalización de la solución
1|)(|)( 2
dxxxP
Usando las soluciones obtenidas en el paso anterior y reemplazando en la integral podemos calcular el valor de A (constante de normalización)
Reemplazando obtenemos
)(2
)( xa
nSen
axn
p
Soluciones de la ESIT Densidad de probabilidad
Note que la probabilidad para el estado fundamental |1| es máxima en el centro, mientras que para |2| es cero en el centro. Significa esto que la partícula nunca pasa por el centro?
( )x2
( )x
)(2
)(1 xa
Sena
xp
)2
(2
)(2 xa
Sena
xp
)3
(2
)(3 xa
Sena
xp
2
2
18ma
hE
12 4EE
13 9EE
Pozo de potencial de paredes infinitasGraficamos las soluciones
2
3 |)(| x
2
2 |)(| x
2
1 |)(| x
Es interesante verificar que la densidad de probabilidad: xa
nSen
axn
p 22 2
|)(|
en el límite en que n y teniendo en cuenta que el valor medio de 2
12 xSen
Se recupera la probabilidad clásicaa
xPcl1)( Principio de correspondencia
• El espectro de energía es discreto. Se dice que la energía está cuantificada. Esta es una caracteristica general de los problemas con estados ligados, esto es donde la ondícula está confinada a una región finita del espacio.
• Los niveles de energia están asociados con un número cuántico n (entero) y está relacionado con el número de nodos (n-1) de la función de onda y la energia de la ondicula en dicho estado con la curvatura de la función de onda.
• El nivel mas bajo de energia del sistema se conoce con el nombre de estado fundamental y esta próximo al límite establecido por las desigualdades de Heisenberg
Pozo de potencial de paredes infinitasResumen
Se reduce la barrera de potencial a una altura finita V0
V(x)
x
-a a
V0
1 2 3
Zona 1 Zona 2 Zona 3
Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones de la ESIT
)exp()exp()(3 qxGqxFx +)exp()exp()(1 qxBqxAx + )exp()exp()(2 ikxDikxCx +0 0
ZCPZCX ZCX
)exp()(1 qxAx )exp()(3 qxGx
))(()())(()( imparxxparxx
)()( xVxVNotemos que como La ESIT es invariante ante una reflexión espacial
esto es xx de modo que las soluciones
)(2
02
2 EVm
q
)(2
02
2 EVm
q
Em
k2
2 2
01 J 03 Jp ,0),exp(||||0 22
2 iDCDCJ
Soluciones pares Soluciones impares
Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones pares e impares
)()( 31 xx
|)|exp()(|| xqAxax
Notemos que usando los argumentos de paridad reducimos el número de coeficientes
de cuatro a dos. Por lo tanto cuando planteamos las condiciones de contorno y dada lasimetría del potencial solo será necesario hacerlo en uno de los dos puntos de discontinuidad x=-a o x=a, simplificando así el problema de resolver un sistema de 4x4 a dos simples sistemas dos 2x2 uno para las soluciones pares y otro para las impares
)()( xx )()( 22 xx
GA DC
)()(|| kxCCosxax
)()( 31 xx
|)|exp()sgn()(|| xqAxxax
)()( xx )()( 22 xx
GA DC
)()(|| kxCSenxax
x a x a +)()( 21 aa
Pozo de potencial de de paredes finitasCondiciones de contorno
)(')(' 21 aa )()( 32 aa
)(')(' 32 aa Tal como adelantamos usando los argumentos de paridad y utlizando las solucionespares e impares , solo es necesario evaluar las condiciones de contorno en una de las discontinuidades. Hagámoslo por ejemplo en x=a [2]
Soluciones pares Soluciones impares
[1] [2]
CCoskaqaA )exp(
kCSenkaqaqA )exp(
CSenkaqaA )exp(
kCCoskaqaqA )exp(
Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos
Energías para las soluciones pares
tanq k ka cotq k ka
Energías para las soluciones impares
Los valores de las energías pueden obtenerse resolviendo numéricamente estas ecuaciones o bien en forma gráfica. Presentamos a continuación esta forma de solución
Las energías de soluciones pares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y roja(siempre existe al menos una)
Las energias de las soluciones impares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y verde
Pozo de potencial de paredes infinitasEspectro de energia
Espectro continuo q imaginario
Espectro discreto q>0q=0
•Todos los estados de energía tienen una curvatura menor que los correpondientes
al pozo de paredes infinitas dado que la ondícula puede penetrar en las zonas
clásicamente prohibidas conforme V0 – E disminuye.
•El número de estado ligados depende de la profundidad del pozo,
sin embargo encontramos que siempre existe aún cuando el potencial
sea muy pequeño
•En el límite V0→∞:
Recuperamos los energias correspondientesal pozo de paredes infinitas
•El espectro de energía es discreto para E<Vo y continuo para E>V0
20
pnkasolucionesk
Pozo de potencial de paredes infinitasResumen
Pozo de potencial tipo delta de Dirac
0,)(2
,0),exp()(21 EconEm
xxAx
0,)(2
,0),exp()(22 EconEm
xxDx
dxx |)(| 2,1
xZCX 1 ZCX2
-P(x)
En este caso tenemos una potencial tipo delta de Dirac con P negativo en x=0. Notemos que en este caso el problema admite soluciones para E> 0 y su espectro es continuo existe solución para todo valor de E, tal lo calculamos en al clase pasada.
E>0
E<0
Llevando a cabo el procedimiento usual para detectar la discontinuidades del potencial notamos que en el caso que E<0 la presencia de la delta da a lugar a que la solución x) no sea nula. De modo que podemos escribir las soluciones como
Donde ya hemos aplicado la condición de normalización convenientemente
Em
kaxikxBikxAx21
2,0),exp()exp()(
+
Em
kaxikxDikxCx21
2,0),exp()exp()(
+
E
mPA
CT
2
22
2
21
1
||
||
+
Debemos ahora aplicar las condiciones de contorno en la discontinuidad en x=0
Soluciones de la ESIT
Pozo de potencial tipo delta de Dirac
)0()0( 21
)0(2
)0(')0(' 2,1212 mP
[1]
[2]
Condiciones de contorno y cálculo de la energía
Note que de [1] surge que A=D. Usando esto en [2] obtenemos que
2
2
2 2
22
mP
EmP
[3]
La ec [3] nos dice que el pozo tipo delta de Dirac tiene solo un estado ligado cuya energía depende de la magnitud del potencial P (peso de la delta) y de la masa de la ondícula. Esto es a mayor |P| mayor es la curvatura de la función de onda y más localizada se encuentra
Curiosidad!!. Note que el valor de la energía calculado en la ec [3] coincide con el polo del coeficiente de transmisión calculado en la transparencia anterior.
Note también que la discontinuidad en la derivada según [3] crece con |P|
Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad
Potencial doble delta de Dirac
0,)(2
,),exp()(21 EconEm
axxAx
0,)(2
,),exp()(23 EconEm
axxEx
dxx |)(| 3,1
Un módelo simple de molécula diatómica homopolar
Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.
Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad
xZCX 1 ZCX2
-P(x+a)
E>0
E<0 xZCX3
-P(x-a)
Nuevamente hemos aplicado la condición de
normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3
)(2
,||),exp()exp()(22 Em
axxDxCx +
Solución par
|x|<=a|x|>=a
|)|exp()( xAxout xDChxin )(
Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(
Potencial doble delta de Dirac
0,)(2
,),exp()(21 EconEm
axxAx
0,)(2
,),exp()(23 EconEm
axxEx
dxx |)(| 3,1
Condiciones de contorno y cálculo de la energía
Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.
Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad
xZCX 1 ZCX2
-P(x+a)
E>0
E<0 xZCX3
-P(x-a)
Nuevamente hemos aplicado la condición de
normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3
)(2
,||),exp()exp()(22 Em
axxDxCx +
Solución par
|x|<=a|x|>=a
|)|exp()( xAxout xDChxin )(
Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(
Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente
Manipulando algebraicamente [1,2] es posible calcular la energía
xZCX 1
ZCX2
-P(x+a)x
ZCX3
-P(x-a)
Función de onda (Orbital enlazante) correspondiente a la solución par. Su energía es menor que la de cada orbital por separado yNote que tiene un probabilidad no nula en el centro (enlace covalente)
Condición de contorno para la solución par en x=a
)()( aa inout aAeaDCh
)(2
)(')(' ,2a
mPaa outininout
aa AemP
aDChAe
2
2
2
2
2)1
2()1
2(
mPa
QyaxconQ
xe
a
mPaath x
[1]
[2]
2x/Q-1
2x
x
Valor de la energía correspondiente al estado par(Fundamental) dado que tiene la menor curvatura
Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente. Cont
Manipulando algebraicamente [3,4] es posible calcular la energía
xZCX 1
ZCX2
-P(x+a)x
ZCX3
-P(x-a)Condición de contorno para la solución impar x=a
)()( aa inout
)(2
)(')(' ,2a
mPaa outininout
aAeaDCh aa Ae
mPaDChAe
2
2
2
2
2)
21()1
2(
mPa
QyaxnuevamenteQ
xe
a
mPaacth x
[3]
[4]
Función de onda (Orbital antienlazante) correspondiente a la solución impar. Note que tiene probabilidad nula en el centro
1-2x/Q
Valor de la energía correspondiente al orbital antielazante. Note que es módulo menor (menos negativa)que la correspondiente al orbital ligantedado que tiene mayorcurvatura
