1

2

ONDAS ESFÉRICAS ≡≡≡≡ RADIACIÓN ACÚSTICA

1.- SEA UN MEDIO FLUIDO, ILIMITADO, ISÓTROPO Y HOMOGÉNEO. CONSIDEREMOS EN SU INTERIOR UNA ESFERA DE RADIO a0 QUE SE HINCHA RÁPIDAMENTE HASTA LOGRAR UN VALOR DE RADIO a. EL FLUIDO ALREDEDOR DE LA ESFERA SUFRE UNA BRUSCA COMPRESIÓN, PROPAGÁNDOSE DICHA PERTURBACIÓN EN TODAS LAS DIRECCIONES ≡ RADIADOR ISÓTROPO.

* TODOS LOS PUNTOS A IGUAL DISTANCIA DEL CENTRO “O” SON ALCANZA-DOS A LA VEZ Y PRESENTAN LA MISMA AMPLITUD DE PRESIÓN ⇒ SE FORMAN FRENTES DE ONDA (F.O.) ESFÉRICOS QUE SE PROPAGAN POR EL MEDIO ≡ ONDAS ESFÉRICAS.

2.- SI LA PERTURBACIÓN ES PERIÓDICA (HINCHAR – DESHINCHAR) SE FORMARÁN SUCESIVOS FRENTES DE ONDA ESFÉRICOS DONDE LA PERTUR-BACIÓN LLEGA A LA VEZ, AUNQUE SUCESIVOS F.O. DIFIERAN EN LA AMPLI-TUD DE PRESIÓN DEBIDO A MOTIVOS EXCLUSIVAMENTE GEOMÉTRICOS. * LOS F.O., EN IDÉNTICO ESTADO VIBRATORIO (IGUALDAD DE FASE), ESTÁN SEPARADOS POR UN NÚMERO ENTERO DE LONGITUDES DE ONDA (λ).

3.- EL MOVIMIENTO VIBRATORIO DE CADA PUNTO “P” DEL MEDIO SE

REALIZA EN LA DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN DE MODO QUE EL RADIO OP ES PERPENDICULAR AL F.O.

4.- EN FUNCIÓN DE LA FORMA DE LA FUENTE LA AMPLITUD DE PRESIÓN

PUEDE QUE NO SEA LA MISMA EN TODOS LOS PUNTOS DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA, AUNQUE SE VERIFICA LA IGUALDAD DE FASE YA QUE TODOS LOS PUNTOS DEL F.O. SON ALCANZADOS POR LA PERTURBACIÓN EN EL MISMO INSTANTE. EN ESTOS CASOS SURGE LA CUESTIÓN DE LAS PROPIEDADES DE DIRECCIONALIDAD DE LAS FUENTES SONORAS.

5.- COMO LA OBSERVACIÓN SE REALIZA EN UNA DETERMINADA

DIRECCIÓN, SI NOS ALEJAMOS MUCHO DE LA FUENTE, INDEPENDIENTE MENTE DE SU FORMA, a>>> , TODOS LOS PUNTOS QUE SE VEN BAJO UN DETERMINADO ÁNGULO SÓLIDO Ωd , ESTARÁN MÁS O MENOS EN EL MISMO ESTADO VIBRATORIO (IGUALDAD DE FASE Y AMPLITUD) Y SE PUEDE APROXIMAR UN TROZO DE SUPERFICIE ESFÉRICA POR SU PLANO TANGENTE CONSTITUYENDO, EN PRIMERA APROXIMACIÓN, UNA ONDA PLANA

3

ECUACIÓN GENERAL DE LAS ONDAS

* PARA OBTENER LA ECUACIÓN GENERAL DE LAS ONDAS (3D) UTILIZAMOS, AL IGUAL QUE PARA EL CASO DE LAS ONDAS PLANAS, LAS SIGUIENTES RELACIONES: 1.- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 2.- PROPIEDADES ELÁSTICAS DEL MEDIO 3.- ECUACIÓN DE LA DINÁMICA

* SUPONEMOS UNA SITUACIÓN IDEAL DONDE NO SE TIENEN EN CUENTA

LAS PÉRDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO AL CARÁCTER VISCOSO DEL MEDIO NI CUALQUIER OTRO TIPO DE PÉRDIDA ENERGÉTICA.

* EN LA FIGURA SE OBSERVA UN ELEMENTO DE VOLUMEN DEL FLUIDO EN EQUILIBRIO Y CUANDO ES ALCANZADO POR UNA ONDA DE PRESIÓN.

( ) ( ) ( ) kjiAAkzjyixkzjyixOA 321321 'OA' ξξξξξξ ++=+++++=++=

1.- CONSERVACIÓN DE LA MASA( )( )( )3210 ξξξρρ ddzddyddxdzdydx +++= (1)

DE LA DEFINICIÓN DEL FACTOR DE CONDENSACIÓN ( ) 00 / ρρρθ −= (2)

DE (1) Y (2) ( ) 11111 321 =

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

++zyxξξξ

θ ,

DESPRECIANDO INFINITÉSIMOS DE ORDEN SUPERIOR A 1 SE OBTIENE:

ξξξξ

θr

•−∇=

∂∂

+∂∂+

∂∂

−=zyx321

(3)

2.- ECUACIÓN DE ESTADO

PARA EL CASO UNIDIMENSIONAL TENIAMOS x

ccp∂∂

−== ξρθρ 20

20

QUE TENIENDO EN CUENTA (3), PARA EL CASO TRIDIMENSIONAL, QUEDA:

ξρθρr

•∇−== 20

20 ccp (4)

4

3.- ECUACIÓN DE LA DINÁMICA

zzyyxx amFamFamFamF ===⇒=* ACTUANDO SOBRE LA COMPONENTE x, TENEMOS

( )[ ] 21

2

0 tdzdydxdzdydx

xpSdx

xpppSdpppF xxx ∂

∂=

∂∂

−=

∂∂

−−=+−=ξ

ρ

Y CON IGUAL PROCESO PARA LAS OTRAS DOS DIRECCIONES DEL ESPACIO,

(5.1) 21

2

0 txp

∂∂

=∂∂

−ξ

ρ (5.2) 22

2

0 typ

∂∂

=∂∂

−ξ

ρ (5.3) 23

2

0 tzp

∂∂

=∂∂

−ξ

ρ

* MULTIPLICANDO LAS ECUACIONES (5.*) POR LOS VECTORES UNITARIOS SEGÚN LAS DIRECCIONES x, y, z y SUMÁNDOLAS RESULTA

tv

tp

∂∂

−=∂∂

−=∇rr

02

2

0 ρξρ (6)

* DERIVANDO LAS ECUCs. (5.*) RESPECTIVAMENTE RESPECTO DE x, y, z:

∂∂

∂∂=

∂∂

−

∂∂

∂∂=

∂∂

−

∂∂

∂∂=

∂∂

−ztz

pyty

pxtx

p 32

2

02

22

2

2

02

21

2

2

02

2 ξρ

ξρ

ξρ

Y SUMÁNDOLAS

[ ] 2

2

22

20

2

2

02

2

2

02 11

tp

cp

ctpp

tp

∂∂=∇⇒

∂∂=∇⇒•∇

∂∂=∇−

ρρξρ

r(7)

* DE LA RELACIÓN ENTRE PRESIÓN Y DESPLAZAMIENTO DE LAS

PARTÍCULAS SE OBTIENE

2

2

22 1

tc ∂∂=∇ξξr

r(8)

DONDE kjirrrr

32

22

122 ξξξξ ∇+∇+∇=∇ .

OPERADORES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

* LA RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y ESFÉRICAS, CON LA NOTACIÓN DE LA FIGURA, ES:

===

θψθψθ

cos

cos

rzsensenry

senrx

* LOS OPERADORES NABLA Y LAPLACIANO SE ESCRIBEN COMO:

∂∂+

∂∂+

∂∂

≡∇ψθθ ψθ senr

ur

ur

ur11 rrr

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

≡∇ 2

2

2222

22 112

ψθθθ

θθ senrsen

senrrrr

5

ONDAS ESFÉRICAS. ONDAS ESFÉRICAS ARMÓNICAS

* SI LAS ONDAS SON ESFÉRICAS (SIMETRÍA ESFÉRICA) ENTONCES LA VARIABLE PRESIÓN NO DEPENDE DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES ANGULARES, ES DECIR TOMA LA FORMA ( )trpp ,r=

* A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE ONDAS (7), Y PONIENDO EL OPERADOR LAPLACIANO EN COORDENADS ESFÉRICAS SE DEDUCE QUE:

( ) ( ) ( )2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

22 11112

tpr

crpr

tp

crpr

rtp

crp

rrpp

∂∂=

∂∂

⇒∂∂=

∂∂

⇒∂∂=

∂∂+

∂∂=∇ (9)

* LA ECUACIÓN (9) ES IDÉNTICA AL CASO UNIDIMENSIONAL, POR TANTO LA FUNCIÓN DE ONDA SOLUCIÓN MÁS GENERAL SERÁ:

++

−=⇒

++

−=

crtg

crtf

rp

crtg

crtfpr 1

* LA PRIMERA PARTE DE LA SOLUCIÓN ANTERIOR ES UNA ONDA DIVERGENTE QUE PARTE DEL ORIGEN CON VELOCIDAD c, MIENTRAS QUE LA SEGUNDA ES UNA ONDA CONVERGENTE HACIA EL ORIGEN, PERO AL SER UN MEDIO ILIMITADO NO PUEDE HABER ONDA REFLEJADA; EN CONSECUENCIA LA SOLUCIÓN ES:

( )

−=

crtf

rtrp 1, (10)

* DE LA ECUACIÓN (6), LA COMPONENTE RADIAL DE LA VELOCIDAD (QUE ES LA TOTAL) ES:

∫ ∂∂−=⇒∂∂

−=∂∂=∇ dt

rpvu

tvu

rpp rr

00

1ρ

ρ rr(11)

Y EL DESPLAZAMIENTO RADIAL DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO

∫=⇒∂∂= dtv

tv ξξ

(12)

* PARA EL CASO DE LA PERTURBACIÓN ARMÓNICA, DE TIPO COSENO, Y

TRABAJANDO CON LA EXPONENCIAL COMPLEJA SE OBTIENEN LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

♦ PERTURBACIÓN: ( ) [ ]tjeAtap ωˆR,ˆ e=

♦ PRESIÓN ACÚSTICA: ( ) ( )rktjeAtrp −= ωˆ

,ˆ (13.1) DONDE A ES UNA CONSTANTE

RELACIONADA CON LA FUENTE EMISORA Y QUE TIENE QUE TENER UNAS DIMENSIONES DE UNA PRESIÓN POR UNA DISTANCIA, [A] ≡≡≡≡ Pa⋅⋅⋅⋅ m = kg ⋅⋅⋅⋅ s -2; Y EL VALOR DE r, DONDE CALCULAMOS LA PRESIÓN, DEBE SER MAYOR QUE LAS DIMENSIONES DE LA FUENTE, a> .

6

♦ FACTOR DE CONDENSACIÓN: ( )rktje

rcA

cp −== ω

ρρθ 2

02

0

ˆˆˆ(13.2)

♦ VELOCIDAD DE VIBRACIÓN: ∫

+=

∂∂

−=ωρρ 00

ˆ1ˆ1ˆj

pkjr

dtrpv (13.3)

♦ DESPLAZAMIENTO DE PARTÍCULAS: ∫ −=

+−==

ωωρξ

vjpkjr

dtvˆˆ1ˆˆ

20

(13.4)

* TOMANDO LAS PARTES REALES DE LAS EXPRESIONES (13.*) OBTENEMOS LOS VALORES DE LAS MAGNITUDES RELEVANTES.

CONCLUSIÓN: A DIFERENCIA DE LAS ONDAS PLANAS, LA PRESIÓN Y LA

VELOCIDAD VIBRATORIA DE LAS PARTÍCULAS NO ESTÁN EN FASE, POR LO CUAL LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA ES UNA CANTIDAD COMPLEJA

* LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA, QUE ES UNA CARACTERÍSTICA DEL MEDIO, A PARTIR DE (13.3) RESULTA SER:

[ ]EE XjR

krkcj

krkc

kjrkrkc

vpz +=

++

+=

++== 22022

22

0220 111ˆˆˆ ρρρ (14)

QUE TAMBIÉN PUEDE EXPRESARSE COMO:

[ ] [ ] [ ]βρ jez

rkj

rkrk

rkrkcz ˆ

11

11ˆ 2/1222/1222/122

0 =

++

++= (15.1)

TAL QUE:

[ ] rrktg

rkrkcz

πλβ

ρ2

1y1

ˆ 2/1220 ==

+=

(15.2)

* EN LA FIGURA SE MUESTRAN LOS FASORES DE LAS DISTINTAS VARIABLES PARA UN INSTANTE Y UNA POSICIÓN DADAS. A LO LARGO DEL TIEMPO TODOS ELLOS GIRAN CON VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE EN EL SENTIDO DIRECTO (ANTIHORARIO).

* EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DEL DESFASE ENTRE LOS FASORES DE

PRESIÓN Y VELOCIDAD PODEMOS REALIZAR DISTINTAS APROXIMACIONES Y VER COMO CAMBIAN ALGUNAS DE LAS MAGNITUDES ACÚSTICAS CON LA DISTANCIA r A LA FUENTE EMISORA. EL PARÁMETRO RELEVANTE USADO ES EL PRODUCTO DEL Nº DE ONDA, k, Y LA DISTANCIA, r. ASÍ:

A) ( )0y

ˆˆy/1ˆ011Si0

→→≅⇒→⇒<<⇒>>

EE XcRvprktgrk

ραξββ

7

* ESTO NOS QUIERE DECIR QUE A DISTANCIAS r >> λ LA ONDA ESFÉRICA SE APROXIMA A UNA ONDA PLANA, Y QUE LA ENERGÍA RADIADA POR LA FUENTE AL MEDIO EN ESAS DISTANCIAS DECAE SUAVEMENTE (TÉRMINO DE RADIACIÓN).

B) ( )

simpedancia otrasdefinir queHay 0y0ˆˆy/1ˆ2/11Si

22

⇒→→≅⊥⇒→⇒>>⇒<<

EE XRvprktgrk αξπββ

* ESTO NOS QUIERE DECIR QUE A DISTANCIAS r << λλλλ ES MUY DIFÍCIL TRANSFERIR ENERGÍA ÚTIL (LA POTENCIA ACTIVA ES PROPORCIONAL AL βcos ) DESDE LA FUENTE AL MEDIO. COMO LA MAGNITUD CARACTERÍSTICA DEL TAMAÑO DE LA FUENTE a DEBE SER MENOR QUE r; SE INFIERE QUE UNA FUENTE PEQUEÑA NO PUEDE RADIAR BIEN A LONGITUDES DE ONDA MUCHO MAYORES QUE DICHO TAMAÑO O LO QUE ES LO MISMO A BAJAS FRECUENCIAS. MEDIO ES MUY REACTIVO.

* CAMBIANDO UN POCO LA NOTACIÓN ESTO MISMO PUEDE COMPROBARSE VIENDO QUE:

βρβρ cos cosˆ 0000

00 vcp

vp

cz =⇒==rkcrkpv

r

Ap

0

220

001

yˆ

ρ+

==

Y POR TANTO PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS A LA FUENTE, FRENTE A LA LONGITUD DE ONDA, A VELOCIDADES DE VIBRACIÓN DADAS LE CORRESPONDEN PRESIONES MUY PEQUEÑAS YA QUE 0cos →β Y EN CONSECUENCIA LA ENERGÍA PUESTA EN JUEGO QUE ATRAVIESA LA UNIDAD DE SUPERFICIE EN LA UNIDAD DE TIEMPO (INTENSIDAD DE LA ONDA) ES MUY PEQUEÑA YA QUE ES PROPORCIONAL AL βcos .

CONCLUSIÓN: NO SE PUEDEN CONSTRUIR FUENTES SONORAS PEQUEÑAS CAPACES DE RADIAR BASTANTE ENERGÍA A BAJAS FRECUENCIAS.

DENSIDAD DE ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS ESFÉRICAS

* OBTENÍAMOS, EN EL TEMA ANTERIOR, CON CARÁCTER GENERAL QUE LA DENSIDAD DE ENERGÍA INSTANTÁNEA, e, ASOCIADA A UNA ONDA MECÁNICA ERA:

+=+=+= 22

0

22

020

22

0 21

221

cpv

cpveee PC ρ

ρρ

ρ (16)

* PARA ONDAS ESFÉRICAS LA AMPLITUD DE PRESIÓN NO ES CONSTANTE, SINO QUE DISMINUYE CON LA DISTANCIA POR CAUSAS EMINENTEMENTE GEOMÉTRICAS.

8

( ) ( ) ( ) ( ) trpRtrpeAtrp erktj ,ˆ,donde

ˆ,ˆ rrr == −ω

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) trvRtrverkc

rkAtrztrptrv e

rktj ,ˆ,donde 1ˆ

,ˆ,ˆ

,ˆ2

0

22 rrr

rr =+== −− βω

ρ

( ) ( )rkc

rkpckr

rkAvvv0

2/1220

20

2/1222/1

011ˆˆρρ+

=+=⋅= ∗

* PARA CALCULAR PROMEDIOS HEMOS DE TENER EN CUENTA QUE TRABAJANDO CON MAGNITUDES COMPLEJAS, SE VERIFICA QUE: ♣DADOS ( ) ( ) ( ) ( )cos,ecos, 00 yyyxxx rktytryrktxtrx δωδω −−=−−=SE PUEDEN DEFINIR LAS MAGNITUDES COMPLEJAS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tryRtrytrxRtrxerytryerxtrx eetjtj ,ˆ,e,ˆ,/ˆ,ˆyˆ,ˆ ==== ωω

DE MODO QUE:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) trytrxRdttrytrxT

trytrx e

T

,ˆ,ˆ21,,1,,

0

∗⋅=⋅=⋅ ∫ (17)

* SEGÚN LO ANTERIOR, LA INTENSIDAD PROMEDIO DE LAS ONDAS

ESFÉRICAS EN UN PERIODO, QUE PUEDE CALCULARSE COMO EL VALOR PROMEDIO DEL TRABAJO REALIZADO POR LA ONDA CONTRA EL MEDIO EXTERNO, ES:

( ) ( ) ( )trvelocidadtrpresiónTiempoSuperficie

EspacioFuerzaTiempoSuperficie

EnergíatrI ,,, ⋅=⋅

⋅=⋅

=

DE LO QUE SE INFIERE:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c

pvptrvtrpRdttrvtrpT

ItrI e

T

0

20

000 2

cos21,ˆ,ˆ

21,,1,

ρβ ==⋅=⋅== ∗∫ (18)

QUE COINCIDE EN SU FORMA CON EL VALOR OBTENIDO PARA ONDAS PLANAS, DONDE HAY QUE TENER EN CUENTA QUE:

ˆˆˆˆ

2

2*

0020 r

Ar

ArAppp =

⋅=⋅= ∗

* EL VALOR MEDIO DEL FLUJO DE ENERGÍA QUE ATRAVIESA LA SUPERFICIE ESFÉRICA DE RADIO r ES:

cA

rcArIrW

0

2

20

222 2

244(POTENCIA)

ρπ

ρππ === (19)

LO QUE NOS DICE QUE LA POTENCIA, COMO CARACTERÍSTICA DE LA FUENTE, ES INDEPENDIENTE DEL RADIO DE LA ESFERA (CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA).

9

* LA DENSIDAD DE ENERGÍA CINÉTICA PROMEDIO EN UN PERIODO SE DETERMINA:

( ) ( )222

0

22202

000

2200

0 41

41cos

211

rkcrkpvdtrktv

Tdte

Te

TT

CC ρρβωρ

+==−−== ∫∫

* DE IGUAL MODO PUEDE DETERMINARSE LA DENSIDAD DE ENERGÍA POTENCIAL PROMEDIO EN UN PERIODO:

( ) 20

20

0

22

0

20

0 4cos

21

cpdtrkt

cTpdte

Te

TT

PP ρω

ρ ∫∫ =−==

* LA DENSIDAD TOTAL DE ENERGÍA PROMEDIO EN UN PERIODO RESULTA

+=

+=+= 22222

0

20

211

211

2 rkcI

rkcpeee PC ρ (20)

CONCLUSIÓN: COMO LA PRESIÓN Y LA VELOCIDAD NO ESTÁN EN FASE, PARTE DE LA ENERGÍA DE LA ONDA NO SE TRANSMITE FUERA DEL SISTEMA (EQUIVALENTE A LA POTENCIA REACTIVA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS) ⇒LA DENSIDAD ES ≠ DE I/c (ONDAS PLANAS), Y TENEMOS QUE AÑADIR UN TÉRMINO RELACIONADO CON EL PARÁMETRO kr.

FUENTES ACÚSTICAS SIMPLES

* SE DENOMINA FUENTE SIMPLE A CUALQUIER RADIADOR QUE EMITA CON UNA FRECUENCIA TAL QUE SU LONGITUD DE ONDA ASOCIADA, λ, SEA MUCHO MAYOR QUE LAS DIMENSIONES DE LA FUENTE Y CON CUALQUIER DISTRIBUCCIÓN DE VELOCIDADES ( ) ( ) ( )tjePvtPv ω

0ˆ,ˆ = DONDE P ES UN PUNTO CUALQUIERA DE LA SUPERFICIE VIBRANTE. UN PARÁMETRO RELEVANTE DE LOS RADIADORES ES LA FORTALEZA DE LA FUENTE, DEFINIDA COMO EL VOLUMEN DEL MEDIO DESPLAZADO POR LA FUENTE EN LA UNIDAD DE TIEMPO; MATEMÁTICAMENTE, EN SU FORMA COMPLEJA, PODEMOS PONER:

∫∫∫ •=⇒•=⇒•=SVSV

tjtj

SV

SdvQSdeveQSdvQrrrrrr

00 ˆˆˆˆ ωω

♣ EL TEOREMA DE RECIPROCIDAD ACÚSTICA (NO DEMOSTRADO), AFIRMA QUE PARA FUENTES SIMPLES CON FORTALEZAS Q1 Y Q2 QUE PROPORCIONAN UNOS PATRONES DE RADIACIÓN ( ) ( )rprp 21 y SE VERIFICA

( ) ( )rpQ

rpQ

2

2

1

1 = .

* POR TANTO SI SABEMOS CALCULAR EL CAMPO DE PRESIONES PARA UNA FUENTE SIMPLE PODEMOS SABER EL CAMPO PARA CUALQUIER OTRA FUENTE SIMPLE DE LA MISMA FORTALEZA.

10

ESFERA PULSANTE ≡≡≡≡ MONOPOLO ACÚSTICO

* SEA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CUYO RADIO a VARÍA ARMONICAMENTE DE MODO QUE LOS PUNTOS SE MUEVEN CON UNA VELOCIDAD RADIAL DE IGUAL VALOR ABSOLUTO:

rtj

SrS uevvutvv rrrrrr ωω 00 ˆcos =⇒=

LO QUE DA UNA FORTALEZA DE LA FUENTE:

022

00 44ˆˆ vaQeavudSuveSdveQQ SEtj

SE

rrtj

SE

Stj

SE

aa

ππ ωωω =⇒=•=•== ∫∫ rrrrrr

(21)

SUFICIENTE PARA LOGRAR UN PATRÓN DE RADIACIÓN DEFINIDO.

* UN PUNTO DEL MEDIO EN CONTACTO CON LA SUPERFICIE ESFÉRICA TENDRÁ IDÉNTICA VELOCIDAD QUE ELLA (CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN VELOCIDAD),

( ) ( ) ( ) ( )tjaktj

a

rktj evezaAtave

zrAtrv ωωω

0ˆ

ˆ),(ˆ

ˆ

ˆ,ˆ ==⇒= −−

( ) akjakja

a

akj

eak

jkaakacvezvaAza

eAv 220000 1ˆˆ

ˆ

ˆ

++==⇒=

−

ρ (22)

Y SUSTITUYENDO EN LAS EXPRESIONES (13.*) OBTENEMOS LOS VALORES DE LAS MAGNITUDES ACÚSTICAS. EN PARTICULAR DE (19) OBTENEMOS LA POTENCIA ÚTIL, PUESTA EN JUEGO POR EL MONOPOLO ACÚSTICO, O POTENCIA EMITIDA QUE SERÁ:

( ) ( )( ) 22

22

020

220

2222

222222

000

220

2

0

2

12

1

2ˆ22ak

akcvavaak

akakccc

zvacAW a

+=

+

+=== ρπρρπ

ρπ

ρπ

( )kaRa

Qak

akca

QW SESESE

2

2

22

22

02

2

818 πρ

π=

+= (23)

DONDE RSE (ka) ES LA PARTE REAL DE LA IMPEDANCIA ESPECÍFICA DEL MEDIO EVALUADA EN r = a.

CONCLUSIÓN: LA POTENCIA ÚTIL (RADIADA) AL MEDIO DEPENDE DEL FACTOR ka; ES DECIR DE LA DIMENSIONES DE LA FUENTE Y DE LA LONGITUD DE ONDA CORRESPONDIENTE A LA FRECUENCIA EMITIDA. OTRA VEZ SE PONE DE MANIFIESTO A PARTIR DE (23) QUE LA POTENCIA ÚTIL RADIADA ES MUY PEQUEÑA SI 1<<ka , POR LO QUE ES IMPOSIBLE QUE CON UN RADIADOR DE TAMAÑO PEQUEÑO PODAMOS EMITIR APRECIABLEMENTE A BAJAS FRECUENCIAS (A LAS QUE CORRESPONDE LONGITUDES DE ONDA GRANDES EN COMPARACIÓN AL TAMAÑO DE LA FUENTE).

11

♣ TODO ESTO ES ANÁLOGO AL CASO ELÉCTRICO DONDE SE TIENE: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tIjXRWtWtIZtItVtW 22 )(2/1)( +==⇒==

( ) ( ) reaac WjWIXjIRW +=+= 22 2/12/1* EN EL CASO ACÚSTICO:

( ) ( ) ( ) ( ) StUztUtvztUtptW /)()( 2===

( ) ( ) ( )( ) ( ) 22220 4/42/1 aavkaXjkaRWtW SS ππ+==

( ) ( ) ( )( ) reactactSSSE jWWkaXjkaRa

QtW +=+= 2

2

8π

* ES CONVENIENTE HACER ALGUNA APROXIMACIÓN RAZONABLE; UNA DE LAS MÁS USUALES ES LA CONOCIDA COMO LÍMITE DE ONDAS LARGAS EN LA QUE SE SUPONE QUE LA FUENTE EMITE A FRECUENCIAS CUYA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA ES MUCHO MAYOR QUE EL RADIO DE LA ESFERA. ASÍ, SI 1<<⇒<< aka λ

DE (22) SE INFIERE QUE πρ

ρ4

ˆ 000

2 kcQjkcvajA SE=≅ CON LO CUAL

( ) ( ) ( )rktsenr

kcQtrper

kcQjp SErktjSE −−=⇒= − ωπρ

πρ ω

4,

4ˆ 00

(24.1)

POR TANTO LA INTENSIDAD EN UN PUNTO A DISTANCIA r, A PARTIR DE LA AMPLITUD DE PRESIÓN, ES:

22

2220

2

2

2

20 16

ˆ

rkcQ

r

Ap SE

πρ

==2

22

20

0

20

322 SEQr

kcc

pIπ

ρρ

== (24.2)

Y LA POTENCIA MEDIA QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA DE RADIO r ES:

22

02

84 SEQkcrISIW

πρ

π === (24.3)

EL RESTO DE LAS MAGNITUDES, v, θ, ξ SE CALCULAN A PARTIR DE (13.*) CON LOS VALORES DE (24.1).

12

FUENTE HEMIESFÉRICA

* EN LA REALIDAD LAS FUENTES SONORAS SUELEN ESTAR APOYA-DAS EN ALGUNA SUPER-FICIE RÍGIDA. EL CASO MÁS ELEMENTAL ES LA LLAMADA FUENTE HEMI-ÉSFERICA QUE CONSISTE EN MEDIA SUPERFICIE ESFÉRICA, DE RADIO a, MONTADA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA INFI-NITA (ES SUFICIENTE CON QUE LAS DIMENSIONES DE LA PANTALLA SEAN MUCHO MAYORES QUE LA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA A LA FRECUENCIA DE EMISIÓN), CUYA RADIACIÓN ESTÁ CONFINADA A UN SÓLO SEMIESPACIO.

* ASÍ SI LA VELOCIDAD DE LOS PUNTOS DE LA SUPERFICIE

HEMIESFÉRICA ES IGUAL QUE EN EL CASO ANTERIOR, TENDREMOS:

AL SER UNA FUENTE SIMPLE EL PATRÓN DE RADIACIÓN ES IDÉNTICO AL CASO DEL MONOPOLO, SIN MÁS QUE CAMBIAR EL VALOR DE LA FORTALEZA DE LA FUENTE, COMO HSE QQ 2= , RESULTA:

( ) ( ) ( )rktsenr

kcQtrper

kcQjp HrktjHH −−=⇒= − ω

πρ

πρ ω

2,

2ˆ 00

(25.1)

POR LO QUE LOS VALORES DE LA INTENSIDAD EN UN PUNTO A LA DISTANCIA r Y LA ENERGÍA POR UNIDAD DE TIEMPO QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE HEMIESFÉRICA DE RADIO r, SERÁN RESPECTIVAMENTE:

222

20

0

20

82 HH Qrkc

cpI

πρ

ρ== (25.2)

22

02

42 HHHH QkcrISIW

πρπ === (25.3)

022

00 22ˆˆ vaQeavudSuveSdveQQ Htj

SHErr

tj

SHES

tjH

aa

ππ ωωω =⇒=•=•== ∫∫ rrrrrr

13

FUENTES REALES

* LOS RADIADORES REALES SON MÁS COMPLICADOS QUE LOS DESCRITOS EN PÁRRAFOS ANTERIORES, Y EN LA MAYORÍA DE LOS CASOS, SE COMPONEN DE SUPERFICIES VIBRANTES APOYADAS POR SU CANTO EN UNA ESTRUCTURA EN LA QUE SE HA PRACTICADO UNA ABERTURA Y QUE DIVIDE EL ESPACIO EN DOS ZONAS, AL MENOS EN SU VECINDAD. * CADA PUNTO DE LA SUPERFICIE (MEMBRANA o DIAFRAGMA) TIENE UNA VELOCIDAD PROPIA QUE VARÍA CON LA POSICIÓN DEL PUNTO E INCLUSO CON LA FRECUENCIA, ( )fPv , , Y PUEDE CONSIDERARSE UNA FUENTE SIMPLE COMO LAS VISTAS CON ANTERIORIDAD. SUMANDO LAS CONTRIBUCIONES INDIVIDUALES PODEMOS DETERMINAR EL PATRÓN DE RADIACIÓN DE PRESIONES DE LA FUENTE. * SE PUEDEN DISTINGUIR DIFERENTES SITUACIONES, EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA A LA FRECUENCIA EMITIDA Y DE LA DISTANCIA AL FOCO DONDE QUEREMOS DETERMINAR EL VALOR DE LA PRESIÓN, YA QUE PUEDEN REALIZARSE DISTINTAS APROXIMACIONES. A) CAMPO LEJANO: CUANDO λ10 1 >>≡>> rrk

* PARA DISTANCIAS MUY GRANDES A LA FUENTE REAL, LA DISTANCIA DE CADA PUNTO DEL FOCO AL LUGAR DONDE QUEREMOS DETERMINAR LA PRESIÓN ES APROXIMADAMENTE LA MISMA; ASÍ EN LOS DENOMINADORES DE LAS PRESIONES SE PUEDE PONER UN VALOR FIJO Y EN LOS ARGUMENTOS DE LAS EXPONENCIALES SE PUEDE HACER UNA APROXIMACIÓN DE PRIMER ORDEN, LO QUE CONLLEVA QUE:

* SE MANTIENE LA LEY INVERSA DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA PARA LA DISTRIBUCCIÓN DE LAS INTENSIDADES, COMO LAS FUENTES SIMPLES, PERO EN CONTRAPOSICIÓN A LAS ANTERIORES, SE PIERDE EL CARÁCTER OMNIDIRECCIONAL PASANDO A SER FUENTES DIRECCIONALES (RADÍAN DIFERENTE INTENSIDAD EN LAS DISTINTAS DIRECCIONES DEL ESPACIO). EL PROBLEMA PRINCIPAL ES EL DE DETERMINAR LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓNPARA LO QUE DEBEMOS DETERMINAR LA PRESIÓN DEBIDA A LA FUENTE, A UNA DISTANCIA FIJA, EN FUNCIÓN DE LA ORIENTACIÓN EN EL PLANO O EN EL ESPACIO.

B) CAMPO PRÓXIMO: EN ESTE CASO λπ 10 20 <≡< rrk

* AUNQUE PUEDE MANTENERSE UNA DISTANCIA FIJA EN LOS DENOMINADORES QUE APARECEN EN LA PRESIÓN, YA NO PUEDE HACERSE UNA APROXIMACIÓN DE PRIMER ORDEN EN LOS ARGUMENTOS DE LAS EXPONENCIALES; CON UNA APROXIMACIÓN DE SEGUNDO ORDEN SE INFIEREN LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES:

14

* YA NO SE SIGUE LA LEY DE LA INVERSA DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA, APARECIENDO REGIONES ALTERNADAS DONDE LAS PRESIONES PASAN POR MÁXIMOS Y POR CEROS O MÍNIMOS. * ESTE CAMPO, EN LA ACTUALIDAD, TIENE MUCHO INTERÉS EN LA TÉCNICA ULTRASONORA APLICADA A LA INDUSTRÍA QUÍMICA, DEBIDO A LA PROXIMIDAD DEL PUNTO TRATADO, SOMETIDO A LA PRESIÓN ULTRASONORA, A LA SUPERFICIE RADIANTE; NO DEBIENDO SITUARSE DE FORMA QUE QUEDE EN UNA ZONA DE PRESIÓN NULA O MÍNIMA, SINO EN UNA DE PRESIÓN MÁXIMA. C) CAMPO INMEDIATO: IMPEDANCIA DE RADIACIÓN

* A DISTANCIAS MUY PRÓXIMAS A LA FUENTE LOS CÁLCULOS DE PRESIÓN SE COMPLICAN MUCHO DEBIDO A LA INFLUENCIA MÚTUA QUE SE EJERCEN LOS RADIADORES ELEMENTALES ENTRE SÍ. EL COCIENTE ENTRE LA FUERZA TOTAL APLICADA A LA SUPERFICIE VIBRANTE PARA CONSEGUIR UN PATRÓN DE VELOCIDADES DE VIBRACIÓN DADO Y LA VELOCIDAD EN UN PUNTO DE DICHA SUPERFICIE SE LE DA EL NOMBRE DE IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN.

RADIACIÓN POR UN DIAFRAGMA

* SE DENOMINA DIAFRAGMA O PISTÓN A UNA SUPERFICIE CIRCULAR PLANA. MUCHOS RADIADORES REALES SE PARECEN EN MAYOR O MENOR MEDIDA A ESTE TIPO DE ESTRUCTURAS.

* SEA UN PISTÓN DE RADIO a MONTADO EN UNA PANTALLA ACÚSTICA PLANA Y RÍGIDA DE EXTENSIÓN INFINITA (MUCHO MÁS GRANDE AL MENOS QUE LA LONGITUD DE ONDA ASOCIADA A LA FRECUENCIA DE EMISIÓN); SUPONGAMOS QUE TODOS LOS PUNTOS DE LA SUPERFICIE VIBRANTE TIENEN LA MISMA VELOCIDAD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tvRtvevtvtvtv e

tj ˆ/ˆcos 00 ==⇒= ωω LA CUAL ES NORMAL A LA SUPERFICIE Y QUE EMITE SÓLO HACÍA UNO DE LOS DOS SEMIESPACIOS EN QUE DIVIDE LA PANTALLA EL ESPACIO TOTAL.

* LA PRESIÓN EN CUALQUIER

PUNTO SE PUEDE DETERMINAR DIVIDIENDO LA SUPERFICIE VIBRANTE EN ELEMENTOS DE ÁREA INFINITESIMAL, CADA UNO DE LOS CUALES ACTÚA COMO UNA FUENTE SIMPLE Y DEL QUE SABEMOS CALCULAR LA PRESIÓN QUE CREA; SUMANDO LAS CONTRIBUCIONES DE TODOS LOS ELEMENTOS TENEMOS RESUELTO EL PROBLEMA.

* LA PRESIÓN pdˆ CREADA POR UN ELEMENTO DE ÁREA dS CON FORTALEZA tjtj edQedSvQd ωω == 0

ˆ , YA QUE EL ELEMENTO DE SUPERFICIE Y LA VELOCIDAD SON PARALELOS, EN UN PUNTO A UNA DISTANCIA r’, SERÁ:

15

( )''2

ˆ rktjedQrkcjpd −= ω

πρ

LA PRESIÓN TOTAL, DEBIDA A TODO EL DIAFRAGMA, SERÁ:

( ) ( ) ∫∫−

− ==SD

rkjtj

SD

rktj dSr

eevkcjdSevrkcjtrp

'2'2,,ˆ

'0'

0 πρ

πρθ

ωω (26)

* RESOLVIENDO LA INTEGRAL QUE APARECE EN (26) TENDREMOS DETERMINADO EL CAMPO DE PRESIONES CREADO POR EL DIAFRAGMA. VAMOS A CONSIDERAR DOS SITUACIONES:

A) PRESIÓN EN EL EJE, θ = 0, DONDE HAREMOS LAS APROXIMACIONES DE CAMPO PRÓXIMO Y CAMPO LEJANO.

* LLAMANDO EJE z AL EJE DEL PISTÓN Y DESCOMPONIENDO LA SUPERFICIE DEL PISTÓN EN CORONAS CIRCULARES DE RADIOS σ Y σ + dσRESULTA:

( )[ ]

[ ]∫ +=

+−a

zkjtj

dz

eevkcjtzp0

2/122

0 22

,0,ˆ2/122

σσπσπ

ρ σω

Y TENIENDO EN CUENTA QUE

22

2/122

22

zkjzkj

ezkj

edd +−

+−

+−=

σ

σ

σ

σσ

( ) [ ] [ ] tjzakjzkjzkjzakjtj

eeevceekj

evkcjtzp ωω

ρρ 2222

00,0,ˆ +−−−+− −=−−=

( )

−

+= 11

2120,

2

0 zazksenvczp ρ (27)

* DE (27) SE DEDUCE QUE LA PRESIÓN AXIAL TIENE FUERTES EFECTOS DE INTERFERENCIA QUE FLUCTÚAN ENTRE 0 Y 2 ρ c v0 CONFORME z VARIA ENTRE 0 E ∞.

LOS EXTREMOS DE PRESIÓN SE PRODUCEN EN z TAL QUE:

⇒=⇒=

=

−

+

MIN siMAX si

QUE TAL 2

1121 2

parmimparm

mzazk π

DE LA CONDICIÓN DE MÁXIMO TENEMOS:

( ) ( )z

nzan

zaz

212112/1211

22 λλ

+=−

+⇒+=

−

+

ana

naz λ

λ 412

121 +

−+

= (28)

16

( )

−=⇒=

⇒−=⇒=

aa

azn

za

aazn

λλ

λλ

12941Si

alejado más MAX. 4

40Si22

0

22

* SI ESTAMOS EN CAMPO LEJANO 1/, <<⇒<< zaza λ

CON LA APROXIMACIÓN DE 0siy2/11 →≈+≈+ xxxsenxx

( )

=

=

zaksenvc

zazksenvczp

2

0

2

0 412

21

2120, ρρ

( )zaakvc

zakasenvczp 00 2

14120, ρρ ≈

= (29)

QUE DECRECE CON LA INVERSA DE LA DISTANCIA (REGLA DE LA DIVERGENCIA ESPERADA)

B) PRESIÓN EN FUNCIÓN DE θθθθ PARA EL CASO DE CAMPO LEJANO

* ELIGIENDO LOS ELEMENTOS DE SUPERFICIE COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA, PODEMOS PONER LA FORTALEZA ELEMENTAL COMO

dxsenavdQ φ20= ; Y LA PRESIÓN CREADA POR DICHO ELEMENTO SERÁ:

( )''2

ˆ rktjedQrkcjpd −= ω

πρ

( )dxesenakr

vcjpd rktj '0

'ˆ −= ωφ

πρ

17

* TENIENDO EN CUENTA QUE φφφ dsenadxax −=⇒= cos ,

DE LA FIGURA SE DEDUCEN LAS SIGUIENTES APROXIMACIONES:

EXPONENTE ELENcos1'

−≈ φθsen

rarr

RDENOMINADO ELEN'Y rr ≈

( ) ( ) ∫−

−≈

a

a

senakjkrtj dxseneekar

vcjtrp φπ

ρθ φθω cos0,,ˆ

( ) ( ) ∫−−≈

0

2cos0,,ˆπ

φθω φφπ

ρθ dseneekarav

cjtrp senakjkrtj

( ) ( ) ∫−≈

π

φθω φφπ

ρθ0

2cos0,,ˆ dseneekarav

cjtrp senakjkrtj

( ) ( ) ( ) ( )

+≈ ∫∫

ππ

φφφθφφφθπ

ρθ0

2

0

20 coscoscos,ˆ dsensenaksenjdsensenakekarav

cjrp rkj

* EL ARGUMENTO DEL SENO ENTRE LOS LÍMITES 0 Y π DEL ÁNGULO φVARÍA ENTRE θθ senaksenak −Y Y POR TANTO EL INTEGRANDO ES UNA FUNCIÓN IMPAR DE MODO QUE LA SEGUNDA INTEGRAL SE ANULA.

TENIENDO EN CUENTA QUE: ( )∫ =π

πφφφ0

12 )(coscos

hhJdsenh DONDE J1(h) ES LA

FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN UNO.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )krtjkrtj esenak

senakJr

vakcjsenaksenakJeka

ravcjtrp −−

=≈ ωω

θθρ

θθ

ππ

ρθ 102

10 22

,,ˆ (30)

( ) ( ) 20QUE TAL ,,ˆ,, avQtrpRtrp Pe πθθ ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )krtsensenak

senakJrQkckrtsen

senaksenakJ

rvakc

trp P −

−=−

−= ω

θθ

πρ

ωθθρ

θ 1102 2

22

2,,

CONCLUSIONES:

* PARA UNA DISTANCIA r FIJA, EN LOS PUNTOS QUE ESTÁN A LO LARGO DEL EJE, θθθθ = 0, EL TÉRMINO ENTRE [ ] ES IGUAL A LA UNIDAD; LO QUE QUIERE DECIR QUE LA PRESIÓN PRODUCIDA POR UN PISTÓN A LO LARGO DEL EJE ES IGUAL A LA PRODUCIDA POR UNA FUENTE HEMIESFÉRICA DE IGUAL FORTALEZA

* LOS CEROS DE LA FUNCIÓN 2 J1(ν)/ν ESTÁN LOCALIZADOS EN ν = 3.83, 7.02, 10.15, etc. POR LO QUE PARA r = cte, LA PRESIÓN p ↓ AL AUMENTAR θ DE MODO QUE LA PRESIÓN SE ANULA SI ( )asenarcsenak /61.083.3 1 λθθ =⇒= QUE

18

MARCA EL EXTREMO ANGULAR DEL ANCHO DEL HAZ SONORO DEL LÓBULO PRINCIPAL DE LA PRESIÓN ACÚSTICA

* NO EXISTE SIMETRÍA ESFÉRICA, AUNQUE SE CONSERVA EL PATRÓN DE UNA ONDA DIVERGENTE rp /1α , PARA UNA DIRECCIÓN DADA.

* EN EL PRIMER LÓBULO SECUNDARIO LA PRESIÓN MÁXIMA ES MUCHO MENOR, PS pp ,0,0 133.0= ESTANDO LOCALIZADO ENTRE LAS DIRECCIONES DADAS POR θ1 Y θ2 TAL QUE ( )asenarcsenak /12.102.7 2 λθθ =⇒= .

* SI 10 >⇒> aka λ , EL PATRÓN TIENE MUCHOS LÓBULOS SECUNDARIOS.

* SI 83.3<ak SÓLO EXISTE EL LÓBULO PRINCIPAL * SI 1<<ak EL TÉRMINO ENTRE [ ] ES APROXIMADAMENTE IGUAL A 1. * EL VALOR DE LA INTENSIDAD SERÁ:

( ) ( ) ( ) 21

22

2220

222

82),(

,

==

θθ

ππρ

ρθ

θsenak

senakJr

avkcc

rprI (32)

( ) ( ) 222

2

22

2220

2

880, PQ

rkc

ravkcrI

πρ

ππρ

== (33)

DE (32) O (33) SE OBSERVA QUE ( )

( )

⇒=⇒=

pistóndelArearIctevfrIcteQP

αα

0,PARA 0,PARA

0

2

19

DIRECTIVIDAD

* LA INTENSIDAD EN LAS DISTINTAS DIRECCIONES DEL ESPACIO, DEPENDE DEL ASPECTO GEOMÉTRICO Y DEL TAMAÑO, EN RELACIÓN A LA LONGITUD DE ONDA, DEL EMISOR Y EXPLICA COMO SE DISTRIBUYE LA ENERGÍA EN EL MEDIO. DE MODO SIMILAR SE PODRÍA HABLAR DE LA MISMA PROPIEDAD EN EL CASO DE RECEPTORES (TRANSFERENCIA DE ENERGÍA DESDE EL MEDIO).

PARA DESCRIBIR ESTO SE UTILIZAN DOS TIPOS DE HERRAMIENTAS:

1) DIAGRAMAS DE DIRECTIVIDAD: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RESPUESTA DEL TRASDUCTOR, EN CAMPO LEJANO, EN FUNCIÓN DE LA DIRECCIÓN DE LAS ONDAS SONORAS SOBRE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA DE RADIO r, PARA UNA FRECUENCIA CONCRETA.

* DESCRIBE EL MODO EN QUE LA RADIACIÓN SE DISTRIBUYE EN TORNO A LA FUENTE. EN LA FIGURA SE MUESTRAN LAS POSICIONES DE MEDIDA PARA UN CASO DE ALTAVOZ EN CAJA. EN GENERAL SE PUEDE REPRESENTAR BIEN EL VALOR ( )φθ ,,rpO UN VALOR NORMALIZADO REFERIDO A LA PRESIÓN MÁXIMA QUE CORRESPONDE A LOS VALORES ANGULARES NULOS 0== φθ . DEL MISMO MODO SE PUEDE UTILIZAR UNA ESCALA LINEAL O UNA ESCALA LOGARÍTMICA, ES DECIR EXPRESADA EN DECIBELIOS.

2) PARÁMETROS NUMÉRICOS.

2.1) FACTOR DE DIRECTIVIDAD E ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD * DEFINIDO PARA CADA FRECUENCIA SE DEFINE EL FACTOR DE

DIRECTIVIDAD EN UNA DIRECCIÓN DADA ( )00 ,φθQ COMO LA RELACIÓN ENTRE LA INTENSIDAD ACÚSTICA QUE EN ESA DIRECCIÓN EMITE LA FUENTE Y LA INTENSIDAD QUE PRODUCIRÍA UNA FUENTE OMNIDIRECCIONAL (ISOTRÓPICA) QUE RADIA IGUAL POTENCIA QUE LA FUENTE EN ESTUDIO.

( ) ( )2

0000 4

QUE TAL ,

,r

WII

IQ ISO

ISO πφθ

φθ == (34)

* LA POTENCIA SONORA EMITIDA POR LA FUENTE SE DETERMINA SUMANDO LA CONTRIBUCIÓN EN TODAS LAS DIRECCIONES, A SABER:

( )( )

24

,,

r

dSIIdSIW SE

ISOSE π

φθφθ

∫∫ =⇒=

20

EN LA FIGURA ADJUNTA SE OBSERVA UNA SUPERFICIE ELEMENTAL,

φθθ ddsenrdS 2= DONDE SE SUPONE QUE EL EJE PRINCIPAL DE LA FUENTE ES EL EJE z.SUSTITUYENDO EN LA ECUACIÓN ANTERIOR

( ) ( ) ( )( ),

,4,, 0000

00

∫∫==

φθ

φθθφθ

φθπφθφθ

ddsenI

II

IQ

ISO

EN MUCHOS CASOS LOS FOCOS SONOROS PRESENTAN SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN ALREDEDOR DEL EJE z POR LO QUE LA INTENSIDAD ES INDEPENDIENTE DEL ÁNGULOφ. EN ESTAS SITUACIONES TENEMOS:

( ) ( )

( ) ( )( )∫∫

== ππ

θθθθθθθπ

θπθ

00

0

00

2

2

4

dsenIIdsenI

IQ (35)

SE DEFINE EL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD, ID≡DI (dB) COMO:

( ) QdBID log10= (36)

⇒<⇒>

ISOTRÓPICAMEDIA LAAMENORES ESINTENSIDAD CON DIREC. 0ISOTRÓPICAMEDIA LAAMAYORES ESINTENSIDAD CON DIREC. 0

DIDI

EN GENERAL NO SE CONOCE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA DE ( )θI POR LO QUE PARA DETERMINAR Q SE RECURRE A MÉTODOS NUMÉRICOS MIDIENDO EL VALOR DE LA INTENSIDAD PARA DIFERENTES DIRECCIONES Y CALCULANDO LOS VALORES:

( ) ( ) NsenIdsenI kk

N

k

kk /QUE TAL 10

πθθθθθθθπ

=∆∆≅∑∫=

θk I(θk) sen θk I(θk)/I(θ0) I(θk) sen θk ∆θk /I(θ0)…. ….. ….. …… ……….

Σ

( )( )( )∑

=

∆

= N

k

kkk sen

II

Q

1 0

02

θθθθ

θ (37)

2.2) DIRECTIVIDAD (DIRECTIVIDAD RELATIVA): PARA UNA DISTANCIA FIJA Y EN EL CASO DE SIMETRÍA CILÍNDRICA SE DEFINE LA DIRECTIVIDAD DE LA FUENTE COMO EL COCIENTE ENTRE LA PRESIÓN SEGÚN UNA DIRECCIÓN DADA Y LA PRESIÓN SEGÚN EL EJE DE SIMETRÍA DE LA FUENTE 0=θ , ES DECIR:

21

( ) ( )( )

( )00 p

pp

pD θθθθ ==

= (38)

A VECES EN LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓN SE MUESTRAN LOS VALORES DE LA DIRECTIVIDAD EXPRESADA EN DECIBELIOS. EN UNA REPRESENTACIÓN POLAR SE DAN LOS VALORES DE ( )θDlog20 FRENTE AL ÁNGULO QUE INDICA LA DIRECCIÓN DE OBSERVACIÓNθ.

* EN EL CASO DEL PISTÓN LA DIRECTIVIDAD RESULTA

( ) ( )θθ

θsenak

senakJD 12= (39)

Y EN LA FIGURA SE MUESTRA SU DIAGRAMA DE DIRECTIVIDAD EN EL QUE SE REPRESENTA ( )θDlog20 FRENTE A θ.

22

* SEGÚN LAS DEFINICIONES ANTERIORES, EL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD DE UN ÁNGULO CUALQUIERA ( )θID ES LA SUMA DE UN TÉRMINO QUE CORRESPONDE AL ÍNDICE DE DIRECTIVIDAD MÁXIMO ID0 Y OTRO QUE ES LA DIRECTIVIDAD D(θ ) EXPRESADO EN LA ESCALA LOGARITMICA.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θθθθθ DIDp

pII

II

II

IIID

ISOISOISO

log20log10log10log10log10 020

20

0

0 +=+===

DONDE EL SEGUNDO TÉRMINO DEL ÚLTIMO MIEMBRO SE PUEDE DETERMINAR SI SE CONOCE EL DIAGRAMA DE DIRECTIVIDAD.

2.3) ANCHO DEL HAZ: ES EL ÁNGULO SÓLIDO BAJO EL CUAL SE RADIARÍA LA MISMA POTENCIA QUE LA DE LA FUENTE EN ESTUDIO CON INTENSIDAD CONSTANTE IGUAL A LA MÁXIMA.

SÓLIDOÁNGULOBBrISIW MAXESFÉRCASQMAX ≡== QUE TAL 2..

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ =⇒==φθφθ

φθθφθφθθφθφθ,,

2 ,1,, ddsenII

BddsenrIdSIWMAX

S

SI EXISTE SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN 2/ ruSddB rrr

⋅=

( ) 2

0∫=π

θθθπ dsenII

BMAX

(40.1)

Y PARA MEDIDAS DISCRETAS

( )∑=

∆=N

k

MAXkkk IsenIB1

/2 θθθπ (40.2)

* A ESTE ÁNGULO SÓLIDO LE CORRESPONDE UN ÁNGULO PLANO, SEMIÁNGULO CÓNICO, DE VALOR:

( )

−=⇒−=⇒= ∫ π

θθπθθπ

θ

21cos cos122 00

0

22

0

BarcBdsenrBr

( )

−= ∫

π

θθθθ0

011cos dsenI

Iarc

MAX

(41)

2.4) UN CONCEPTO MÁS PRÁCTICO ES EL DE ÁNGULO PLANO DEFINIDO

POR LAS DOS DIRECCIONES SIMÉTRICAS RESPECTO DEL EJE A LAS QUE CORRESPONDEN INTENSIDADES IGUAL A LA MITAD DE LA MÁXIMA.

23

IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN: CAMPO INMEDIATO

* PARA CONSEGUIR UNA RÁPIDA VIBRACIÓN DE CUALQUIER MASA EN EL VACÍO SE NECESITA UNA POTENCIA MECÁNICA:

vFdt

rdFdtdEW rr

•=•==

( ) ( ) 222

0

0

00

0

1 ˆˆˆ2

cosˆ

cos11eM

M

e

M

T

M

T

vzzF

zF

dttzF

tFT

dttvtFT

WW ====== ∫∫ ωω

DONDE v(t) ES LA COMPONENTE DE VELOCIDAD EN LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA.

* SI LA MISMA MASA SE TIENE QUE MOVER EN EL SENO DE UN FLUIDO Y QUEREMOS MANTENER LA VELOCIDAD HEMOS DE INCREMENTAR LA POTENCIA; ASÍ QUE

( ) 221 ˆˆ eMRM vzzWW +=+

* EL VALOR DEv

Fz EMR ˆ

ˆˆ = ES UN VALOR CUANTITATIVO DE CÓMO EL

MEDIO REACCIONA CONTRA EL MOVIMIENTO DE LA SUPERFICIE VIBRANTE. ESTA FUERZA EXTRA PROPORCIONA LA ENERGÍA QUE SE RADIA AL ESPACIO DE LA CUAL UNA PARTE SERÁ ÚTIL, POTENCIA DEL ALTAVOZ, Y OTRA PARTE SERÁ REACTIVA LA CUAL QUEDA ALMACENADA EN EL MEDIO Y SE DEVOLVERÁ A LA FUENTE DE ALGUNA MANERA.

* ASÍ PUES LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN TENDRÁ UNA

PARTE REAL Y OTRA IMAGINARIA LA CUAL SERÁ EQUIVALENTE A UNA MASA ACÚSTICA YA QUE EL MOVIMIENTO DEL MEDIO SE REALIZA SIN COMPRESIÓN APRECIABLE (MEDIO MUY GRANDE).

* EL CÁLCULO PARA EL CASO DEL PISTÓN ES COMPLICADO Y NO LO

DESARROLLAMOS AQUÍ. EL RESULTADO QUE SE OBTIENE ES:

( ) ( )[ ] MRMRMR XjRakXjakRacz +=+= 22ˆ 112πρ (42)

( ) ( ) ( ) ( )22

11

11 2

22Y212ak

akKakXak

akJakR =−=

ESTE VALOR, EN ANALOGÍA IMPEDANCIA, SE PUEDE MODELAR COMO UNA RESISTENCIA Y UNA AUTOINDUCCIÓN (MASA MECÁNICA) EN SERIE.

CONCLUSIONES:

* LA PARTE IMAGINARIA EQUIVALE A SUMAR UNA MASA EXTRA, mR, ALA REAL DEL PISTÓN, DE MODO QUE SE VERIFICA:

( ) kakXamXm RMRR /212 ρπω =⇒=

QUE A FRECUENCIAS BAJAS SE APROXIMA POR 3/8 3amR ρ≈ (43)

QUE NO ES DESPRECIABLE EN MEDIOS DENSOS.

24

* LA POTENCIA RADIADA POR EL PISTÓN ES IGUAL AL TRABAJO REALIZADO CONTRA LA RESISTENCIA DE RADIACIÓN; SIENDO POR TANTO LA POTENCIA MEDIA RADIADA (POTENCIA ÚTIL)

( )akRvacvRW MRR 2212/ 1

20

220 πρ== (44)

* SI ⇒<< 1ak PISTONES PEQUEÑOS O BAJAS FRECUENCIAS

( ) 20

22222

20

2

4221 vakcakvacWR π

πρ

πρ =

≈ (44.1)

* SI ⇒> 1ak PISTONES GRANDES O ALTAS FRECUENCIAS

20

2

21 vacWR πρ≈ (44.2)

* SI 1>>ak ( ) ( )ak

akXakR 122Y12 11 π→→⇒

* EN LA FIGURA SE MUESTRA EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE RADIACIÓN A BAJAS FRECUENCIAS a) Y A ALTAS FRECUENCIAS b)

25

APÉNDICE A: FUNCIONES DE BESSEL Y FUNCIÓN DE STRUVE

* SI LA FUNCIÓN ( )xfy = VERIFICA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL (1),

( ) 0222

22 =−++ ypx

xdydx

xdydx (A.1)

ENTONCES DICHA FUNCIÓN ES UNA FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN p, QUE PUEDE ESCRIBIRSE EN FORMA DE UNA SERIE DE POTENCIAS DE LA FORMA:

( ) ( ) ( ) ( )( )∑

∞

=

+

+−===

0

2

!!2/1

n

npn

p pnnxxJxfy (A.2)

* ESTAS FUNCIONES VERIFICAN LAS SIGUIENTES RELACIONES:

( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]3221 11110 xJxJ

xpxJxJx

xdxJxd

xJxd

xJdpppp

ppp

−+− −==−=

* EN ACÚSTICA SE UTILIZA LA FUNCIÓN DE BESSEL DE ORDEN 1, ( )xJ1 ,EVALUADA EN akx 2=

( ) ( ) ( )( )∑

∞

=

+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅⋅

+⋅

−=+

−=0

222

7

22

5

2

321

1 8642642422!1!2/1

n

nn xxxxnnxxJ (A.3)

* OTRA FUNCIÓN QUE APARECE EN ACÚSTICA ES LA FUNCIÓN DE

STRUVE DE ORDEN 1, ( )xK1 , EVALUADA EN akx 2= . ADQUIERE LA FORMA:

( ) ( )( )[ ]

−+==−=

+

∞

= −

+−

∑ 1423

/122

1

0

1 1

121

1 iaaa

axxK

iii i

ii

π(A.4)

CUYOS PRIMEROS TÉRMINOS SE DAN A CONTINUACIÓN

( )

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅⋅

+⋅

−=9753753533

2222

9

22

7

2

53

1xxxxxK

π

26

APÉNDICE B: GRÁFICO DE LA IMPEDANCIA DE RADIACIÓN DE UN PISTÓN CIRCULAR DE RADIO a MONTADO EN PANTALLA INFINITA

27

APÉNDICE C: TABULACIÓN PARA EL PISTÓN DE LAS FUNCIONES DE DIRECTIVIDAD EN PRESIONES E INTENSIDADES Y DE LA RESISTENCIA Y

REACTANCIA DE LA IMPEDANCIA DE RADIACIÓN

28

Continuación de la tabla

29

APÉNDICE D: DIAGRAMA POLAR