Ondas Estacionarias

5/7/2018 Ondas Estacionarias - slidepdf.com

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FísicaII–IngenieríadeSonido‐UNTREFOndasEstacionarias

RamónFacundo

PROFESOR:

Ing.DanielValdivia



UNTREF – Física II – Ondas Estacionarias

Ramón Facundo – Legajo 18234 – 1er Cuatrimestre 2010 – Pág 1

INTRODUCCIÓNLas ondas estacionarias y la resonancia son fenómenos muypoderosos, capaces de generar sonido, ayudar a un niño a

columpiarse y hasta derribar un edificio.

En este trabajo partimos del desarrollo teórico del movimientoondulatorio, estudiamos la reflexión, refracción e interferencia deondas para luego comprender el concepto de ondas estacionarias. Ypor último desarrollamos brevemente el concepto de resonancia,brindando ejemplos de su poder.

ONDAS

MOVIMIENTOARMÓNICOMatemáticamente, las ondas son interpretadas como una curva ƒ(x) que se propaga, sin deformarse, a una velocidad constante a travésdel espacio y tiempo. Es decir, se expresan como una función dedos variables (posición y tiempo).

[0]

Donde x es la variable posición, t es la variable tiempo y v es lavelocidad, considerada constante. Aquí representamos una curva

que se mueve hacia la derecha con una velocidad v , conocida comovelocidad de fase.

Por supuesto que la curva viajera puede tener cualquier forma yrepresentar diversas situaciones. Sin embargo, en este trabajo sólonos ocuparemos del caso en que ξ (x,t) representa un movimientoarmónico, es decir, la curva es una función periódica definida de lasiguiente manera:

[1]

Donde ξ 0 es la amplitud, k es la constante conocida como númerode onda, y v es la velocidad de fase.

La amplitud es la máxima distancia que la función alcanza del puntode equilibrio. Sabemos que la imagen de ƒ(x)=sen(x) es [-1;1],entonces si se multiplica a ƒ(x) por una constante a la imagenpasará a ser [-a;a], entonces a es la amplitud de ƒ(x).

La constante k es el número de onda, indica el número delongitudes de onda que hay en la distancia 2π.





[2]

Por ser ξ una función periódica, sabemos que consiste en un patrónque se repite cada λ unidades. Aquí aparece el concepto de longitudde onda ( λ), es una distancia, la curva se repite cada longitud λ.Como también hay una velocidad, podemos obtener el tiempo quela función tarda en realizar un ciclo, este tiempo será el período (T ).

[3]

Ahora que tenemos un período, es decir, el tiempo que tarda laonda en realizar un ciclo, podemos obtener la cantidad de ciclos quela onda realiza en un segundo y así tendríamos la frecuencia (f ).

[4]

Relacionando [3] con [4] obtenemos una relación entre frecuencia,longitud de onda y velocidad de propagación.

[5]

Recordemos que una onda senoidal puede ser representada por un

fasor rotando con una determinada velocidad angular. Entoncestambién habrá una frecuencia angular, que se representa con ω.Sabiendo la frecuencia de nuestra onda es fácil obtener lafrecuencia angular, dado que en un ciclo el fasor recorre 2π radianes sólo debemos multiplicar la frecuencia por 2π y obtener lacantidad de “vueltas” que el fasor da en un segundo.

[6]

Utilizando [6] podemos reescribir [2] y [3] de la siguiente manera:

[7]

[8]

Entonces ahora, utilizando [7] y [8], podemos reescribir [1].

[9]

También se puede escribir [9] de la siguiente manera:





[10]

ECUACIÓNGENERALDELAONDAUna vez definido el movimiento armónico, es necesario definir una

ecuación diferencial general que ayude a determinar cuando unasituación responde a un movimiento armónico. Entonces, si sereconoce un campo particular que, teniendo en cuenta suspropiedades físicas, responde a la ecuación de onda, podremosasegurar que realiza un movimiento ondulatorio, es decir, sepropaga con velocidad constante y sin distorsión.

Para hacerlo partimos de la expresión [0] y la derivamos respecto asu variable x y a su variable t .

Podemos escribir ξ (x,t) como ξ (u) y definir u=x-vt . Entonces,

aplicando la regla de la cadena.

[11]

[12]

Derivamos [11] nuevamente respecto de x y [12] respecto de t .

[13]

[14]

Igualando [13] y [14] obtenemos la siguiente ecuación diferencial.

[15]

La ecuación [15] resulta ser la ecuación de onda unidimensional. Susolución general es de la forma de [0].

[16]

La función [16] representa dos ondas que se propagan en igualdirección pero sentido opuesto, por supuesto que si ƒ2=0representaría una única onda en un solo sentido.





La velocidad de propagación dependerá de las propiedades físicasdel medio, por ejemplo, en un gas dependerá de la presión ydensidad, en un sólido de su densidad y compresibilidad, etc.

REFLEXIÓNYREFRACCIÓNSupongamos una onda que se propaga en un medio A alcanza unmedio B con distintas características físicas. Parte de la energía dela onda será reflejada al medio A y otra parte será refractada almedio B.

Sabemos que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexióny que el cociente entre seno del ángulo de incidencia y el ángulo derefracción es constante.

[17]

[18]

La constante η se denomina índice de refracción del medio Brespecto del medio A.

También es importante saber, si pensamos el esquematridimensional, que la dirección de incidencia, reflexión y refracciónse encuentran en un mismo plano.

Es interesante mencionar la Ley de Snell que establece que el índicede refracción relativo de dos medios es igual al cociente de lasvelocidades de propagación de las ondas en esos medios, es decir:

[19]

Ahora bien, mientras mas denso sea el medio B respecto del A, elángulo de refracción tenderá más a 90º. En cambio, si la ondacomienza en B y se refracta en A, al ángulo de refracción tenderá a

0º. De hecho, se puede encontrar un ángulo crítico a partir del cual

θincidente θreflejado

θrefractado

A

B





la onda deja de refractarse y se refleja por completo. Esto sucedecuando η<1.

REFLEXIÓNYREFRACCIÓNENCUERDASSupongamos un pulso que viaja en una cuerda. La cuerda tiene un

extremo libre y su otro extremo esta rígidamente unido a unapared. Al llegar a la pared, el pulso encuentra un brusco cambio demedio. Incide con una energía insignificante comparada con la masade la pared, en consecuencia la pared responde con una fuerzaigual pero opuesta y el resultado es el mismo pulso viajando endirección opuesta e invertido.

Por otro lado, si el extremo fijo fuera libre de moverseverticalmente, manteniendo la tensión, el pulso se reflejaría condirección opuesta pero sin estar invertido. Dado que el extremolibre reproduciría el movimiento original que creó a la onda en unprimer momento. Cuando el pulso llega al final libre acelera lacuerda hacia arriba y luego la componente hacia debajo de la fuerzade tensión acelera a la cuerda en sentido contrario, generando así un pulso que no se invierte.

El último caso importante de considerar es el de un pulso que viajapor una cuerda con masa lineal m1 unida a una cuerda con masalineal m2. Si la m1>m2 entonces la reflexión no se invierte, lasegunda cuerda de masa menor actúa como el extremo libre deejemplo anterior. Y además, parte de la energía del pulso originalpasa a la segunda cuerda generando un pulso nuevo. Por otro lado,si m1<m2 el pulso reflejado si se invierte. La cuerda de mayor masaactúa como la pared de la primera situación, asimismo hay un pulsonuevo impulso transmitido.

REFLEXIÓNDEONDASESFÉRICAS

Cuando una onda esférica incide sobre una superficie plana lareflexión es también una onda esférica.

Supongamos una fuente que emite ondas esféricas a una altura hrespecto del piso (horizontal). Sabemos que el ángulo de incidenciaserá igual al ángulo de reflexión, por lo tanto, debemos imaginar laonda esférica como una familia de rectas. Las rectas de losextremos tendrán mayor recorrido hasta llegar al suelo que la rectacentral, por lo tanto, en un tiempo t la reflexión de la recta centralserá mayor a la de las rectas de los extremos. El resultado es que la

reflexión resulta ser una onda esférica igual y opuesta a la ondaoriginal.





Lo interesante de la reflexión y refracción es que son una de lasprincipales causas de interferencia. Por ejemplo, una de lassituaciones mas comunes en las que se genera interferencia es enlas regiones donde las ondas incidentes coinciden con las reflejadas.En la vida real es casi imposible que una onda no encuentre unobstáculo en el cual reflejarse.

La reflexión es una de las principales generadoras de ondasestacionarias, cuando una fuente emite un movimiento ondulatorioen un recinto cerrado, las reflexiones interfieren con las ondasoriginales generando, bajo determinadas circunstancias, ondasestacionarias.

INTERFERENCIACuando dos movimientos ondulatorios coinciden en el espacio y

tiempo ocurre interferencia y se cumple el principio desobreposición, el cual plantea que “si dos o mas ondas progresivasse mueven a través de un medio, el valor resultante de la funciónde onda en cualquier punto es la suma algebraica de los valores delas funciones de onda de las ondas individuales”.

A este principio responden las ondas lineales, que son generalmentelas ondas cuya amplitud es menor a su longitud de onda.

Como consecuencia de este principio se puede observar que dosondas progresivas pueden “atravesarse” sin variar su amplitud o

distorsionarse.

La interferencia es muy común en las regiones donde las ondasincidentes coinciden con las ondas reflejadas. Existen dos tipos deinterferencia, la constructiva y la destructiva. Constructiva sedenomina a la interferencia que genera una onda con amplitudmayor que la de sus componentes. Y destructiva es la que generauna onda resultante con amplitud menor que alguna de suscomponentes.

SOBREPOSICIÓNDEONDASUNIDIMENSIONALES

La situación mas sencilla de interferencia es la sobreposición deondas unidimensionales de igual frecuencia, amplitud y longitud de





onda pero distinta fase que se desplazan en la misma dirección ysentido.

Supongamos dos ondas progresivas desfasadas por un ángulo Φ:

Utilizamos la expresión [9] para mayor facilidad de cálculo.

La función resultante será la suma algebraica de las doscomponentes, tal como anuncia el principio de superposición.

Usamos siguiente identidad trigonométrica para resolver.

[20]

Entonces obtenemos:

[21]

Ya podemos notar que la función de onda resultante es senoidal yposee misma frecuencia y longitud de onda que las ondas

individuales. La nueva amplitud es 2Acos( Φ /2) y la nueva fase es( Φ /2).

Ahora veamos, si Φ=0 entonces el resultado final es una de las dosfunciones originales con una amplitud multiplicada por dos. Es decir,la amplitud resultante es mayor que la amplitud de cualquiera desus componentes, entonces esta interferencia es constructiva. Lafase resultante es igual a la de cada componente, entonces sepuede afirmar que las ondas están en fase. Esto sucede cuando Φ es un múltiplo par de π.

Si Φ=π entonces cos(Φ /2)=0, el resultado final es nulo. Esto es unainterferencia destructiva, las ondas están desfasadas π radianes, esdecir cuando la onda ξ 1 alcanza su máximo la onda ξ 2 está en sumínimo, como ambas tienen igual amplitud, el resultado de la sumaalgebraica es cero.

Cuando 0<Φ<π entonces la amplitud resultante está entre un valorde cero a 2A.

Para generalizar, podemos decir que la onda resultante de lainterferencia entre dos ondas con iguales frecuencias y longitudes

de onda pero distinta amplitud va a depender del ángulo dedesfasaje, si este ángulo es múltiplo par de π entonces la amplitud





resultante será la suma de las amplitudes parciales, y si el defasajees π o múltiplo impar de π, la amplitud resultante no será nula, sinoque será la diferencia entre las amplitudes parciales.

INTERFERENCIADEONDASESFÉRICAS

Consideremos dos fuentes F1 y F2 separadas por una distancia Dque emiten ondas esféricas con igual amplitud, frecuencia y ensincronía. El centro de la circunferencia mas pequeña de laizquierda será nuestra F1 y el centro de la circunferencia maspequeña de la derecha será F2. Están separadas por una distancia Dde 4 unidades.

La señal que emiten tiene una longitud de onda igual a 1 unidad,por lo tanto, las circunferencias marcadas corresponden a lascrestas de las ondas propagadas. Es decir, las líneas decircunferencia marcan los puntos de mayor amplitud de cada ciclo.

La imagen es una “foto” tomada en un tiempo t . En tiempo real, lascircunferencias agrandarían su radio a una velocidad constante.

Las hipérbolas marcan los puntos donde las ondas interfieren,ambas con su máxima amplitud. En esos puntos la interferencia escompletamente constructiva y la amplitud de la onda resultante esla suma de cada una de las parciales. A lo largo de las hipérbolasambas ondas interfieren en fase.

Analicemos la situación. Como ya hicimos antes, veamos la ondaesférica como una familia de rectas que se propagan en todas lasdirecciones. Cada recta proveniente de F

1recorrerá cierta longitud

r 1 antes de interferir con una recta de F 2, que también habrárecorrido cierta distancia r 2. Como ambas ondas partieron con igual





fase y frecuencia, si recorren igual distancia llegarán en igual fase,de hecho, si la diferencia entre las distancias que recorrieron es unmúltiplo entero de la longitud de onda, entonces llegarán en fase. Sidos ondas iguales se interceptan en fase, entonces sus amplitudesse suman directamente.

Entonces si |r 1 – r 2|=nλ (siendo n un número natural) lainterferencia será totalmente constructiva.

Pero si |r 1 – r 2|=(2n+1)λ /2 (siendo n un número natural) entoncesla interferencia es destructiva, y la resultante tiene una amplitudmenor a alguna de sus componentes.

ONDASESTACIONARIAS

ONDASESTACIONARIASENUNADIMENSIÓNSupongamos una onda que viaja por una cuerda en dirección +X yotra igual que viaja por la misma cuerda pero en dirección –X.

Llamemos ξ +=Asin(kx-ωt) a la onda que se desplaza a hacia laderecha y ξ -=Asin(kx+ωt) a la que se desplaza hacia la izquierda.Entonces, cuando se interfieran, la onda resultante será la sumaalgebraica de las dos componentes.

Utilizando la siguiente propiedad trigonométrica

[22]

obtenemos:

[23]

La función [23] representa una onda estacionaria. Esta función yano representa una curva en desplazamiento, sino que es un patrón

de oscilación con un contorno estacionario. Es el resultado de lainterferencia entre dos ondas idénticas que viajan en direccionesopuestas. La amplitud está dada por 2Asen(kx), es decir, dependede la posición. Cuando kx=0 ó kx=nπ con n entero, la amplitud seránula. Si recordamos que k=2π / λ entonces podemos notar que paralos siguientes valores de x la amplitud será nula:

Estos puntos son conocidos como nodos.





Por otro lado, cuando kx=π /2 ó kx=(2n+1)π /2 con n entero, laamplitud resultará máxima. Los valores de x que cumplen estacondción serán los siguientes:

Los puntos de amplitud máxima son antinodos.

ONDASESTACIONARIASPORREFLEXIÓNSupongamos ahora el ejemplo usado para explicar la reflexión encuerdas. Tenemos una cuerda fija en un extremo por la cual se

desplaza una onda en dirección +X, al llegar al extremo fijo la ondase refleja, invirtiendo su sentido y desfasándose π radianes.Entonces tendremos una onda ξ incidente y otra ξ reflejada definidas de lasiguiente manera.

Utilizamos la función [10] para lograr el mismo resultado que en elcaso anterior. Es exactamente igual.

Entonces, la onda resultante será la suma entre la incidente y lareflejada.

Que por la propiedad [22] resulta ser:

Como se puede observar, el resultado es una onda estacionaria.

Si agregamos las condiciones de que la cuerda tenga una longituddeterminada y esté fija en ambos extremos, entonces estamos





restringiendo la cantidad de longitudes de onda que pueden generaruna onda estacionaria.

Si no hay restricciones, es decir, si la cuerda es infinita, cualquieronda con cualquier longitud de onda puede generar una onda

estacionaria al interferir con su opuesta. Pero si condicionamos lalongitud del medio de propagación y lo fijamos en ambos extremos,entonces estamos creando forzosamente dos nodos que deben estara una distancia de nλ /2 (con n entero) del siguiente nodo.

Consideremos ahora una cuerda vibrante fija a ambos extremos conlongitud L, dijimos que sus extremos serán nodos por definición.Cada nodo debe estar separado nλ /2 (con n entero) de los demás.Como nuestra cuerda oscilante comienza y termina con un nodo,podremos concluir que la longitud L debe ser igual a nλ /2 (con nentero) para tener n+1 cantidad de nodos.

[24]

Cuando L cumpla con esa condición, la onda que tenga por longitudde onda λ será un modo normal de vibración para la cuerda.

Obviamente, a cada λ corresponde una frecuencia, que se llamaráfrecuencia fundamental o frecuencia natural.

La frecuencia natural de oscilación para una cuerda se obtiene apartir de la relación [5].

Con [5] y [24] obtenemos:

[25]

Conociendo la velocidad de propagación de las ondas en una cuerdaes simple obtener las distintas frecuencias naturales de oscilación.Esto sirve para cualquier medio por el cual se propaguen ondas

unidimensionales. Columnas de gas cerradas, por ejemplo, o barrassólidas sujetas en ambos extremos.

ECUACIÓNDEONDASESTACIONARIASComo fue necesario desarrollar una ecuación diferencial parareconocer movimiento ondulatorio en un sistema, tambien esnecesaria una ecuación para reconocer ondas estacionarias en unsistema.

En este caso, como se observa en la función [23], debemos partirde una función cuya amplitud esté fija en cada valor de x , perodistinta para cada valor de t .





[26]

La función [26] cumple lo deseado. Ahora, al igual que cuandodesarrollamos la ecuación de la onda unidimensional, derivamos[26] dos veces respecto de x y dos veces respecto de t .

[27]

[28]

Debemos mantener la relación de la ecuación [15] para que lafunción [1] siga siendo solución.

[29]

Si utilizamos la igualdad [7] podemos reescribir [29] del siguientemodo:

[30]

Y esa es la ecuación diferencial que debe satisfacer la amplitud ƒ(x) para ser onda estacionaria. Su solución general es:

[31]

Reemplazando [31] en [26] obtenemos la función de una ondaestacionaria.

[32]

Entonces, ahora para que ξ sea una onda estacionaria se debecumplir que cuando x=0 ó x=L, ξ =0.

Por lo tanto en x=0 tenemos

y en x=L





Sin embargo también se pueden plantear otras condiciones bajo lascuales ξ seguiría siendo estacionaria.

En el caso de ondas estacionarias en tubos abiertos, los extremosdel tubo son antinodos. Sin embargo la condición de λ se mantiene.

En tubos abiertos, cuando x=0 ó x=L, ξ =máx. O bien la derivada deξ respecto de x es igual a cero.

[33]

Si x=0 entonces

y en x=L

Y por último, en un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otrotendremos un antinodo en el extremo abierto y un nodo en elcerrado. Entonces, si x=0 la derivada de ξ respecto de x será iguala cero, y si x=L entonces ξ =0.

Si x=0 tenemos la misma situación que en el ejemplo previo. Ycuando x=L tendremos lo siguiente:

Es decir, la frecuencia natural para un tubo abierto en un extremo ycerrado en el otro viene dada por la función:

[34]

RESONANCIAConsideremos un sistema que consiste en una cuerda de longitud Lfija en sus dos extremos. Este sistema tendrá una frecuencianatural de oscilación, que será igual a nv/2L. Si se le aplica unafuerza periódica, la amplitud del movimiento resultante es mayorcuando la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con sufrecuencia natural de oscilación. Se conoce a este fenómeno como

Resonancia.





La resonancia es un fenómeno muy poderoso, con fuerzasrelativamente pequeñas aplicadas periódicamente a un sistema sepueden lograr oscilaciones considerables. Puede ser muydestructivo. Sin embargo, también es el fenómeno gracias al cual selogran sonidos en los instrumentos de viento.

OSCILACIONESFORZADASVeámoslo desde el punto de vista de un oscilador simple.

Partimos de la ley de Hooke

[35]

Ahora a nuestro oscilador lo perturbamos con una fuerza F 0sen( ωt).

[36]Utilizando las leyes de Newton reescribimos [36].

[37]

Sin embargo, x no deja de ser la suma de dos movimientosarmónicos.

[38]

Derivando dos veces respecto de t .

[39]

Reemplazando [38] en [37] e igualando con [39] obtengo unafunción para la amplitud de la oscilación resultante.





[40]

Donde ω0 es la frecuencia natural del sistema, α0 es la aceleración

sumada, A es la amplitud de la oscilación resultante y ω es lafrecuencia de aplicación de la fuerza. Se puede observar quecuando ω tiende a ω0, A crece bruscamente hasta tender a infinito.

DATOSCURIOSOSEl afamado inventor Nikola Tesla dedicó bastante de su tiempo endemostrar el poder de la resonancia mecánica.

Uno de sus tantos mitos dice que en 1898 creó un osciladorpequeño, que cabía en los bolsillos, y lo acopló a una de las vigasprincipales de un inmueble. Lo encendió, configurado en una de lasfrecuencias naturales de la viga, y lo dejó trabajando toda la noche.El mito dice que, por la madrugada, todos los inquilinos delinmueble salieron a la calle temiendo que el edificio colapse.

Ahora bien, es muy difícil que la estructura de un edificio resuene acausa de una oscilación tan pequeña, ya que por más eficiente quesea la entrega de energía al sistema, este tendrá millones deformas de disiparla, ya sea en calor, en sonido, refractando la ondahacia otra parte de la estructura que no resuena en la mismafrecuencia, etc. Sin embargo, ante oscilaciones de mayor amplitud y

energía, si es posible este fenómeno. Es trabajo de los arquitectosprevenir el colapso de edificios ante sismos. Es sabido que para lasfrecuencias de temblores terrestres, los edificios de entre 5 y 40pisos de altura son propensos a resonar. Si la resonancia no seamortigua como es debido, el edificio puede colapsar ante unpequeño terremoto.

Así también las fuerzas aerodinámicas son capaces de generarondas estacionarias cuyas frecuencias coincidan con las frecuencianatural de algún sistema. Tal es el caso del puente de Tacoma, que

debido a la geometría de sus cables de sostén, generaba una ondaestacionaria cuando el viento provenía de determinada dirección. Lafrecuencia de la onda generada coincidía con la frecuencia naturalde la estructura de hormigón, y ante la primer tormenta de viento,el puente colapsó de manera espectacular.

Hoy en día, la resonancia es un concepto conocido y respetado, sinembargo, todavía no se ha explotado al máximo.





Índice

INTRODUCCIÓN......................................................................................................1

ONDAS ...................................................................................................................1

MOVIMIENTO ARMÓNICO .......................................................... ............................................................. ...... 1 ECUACIÓN GENERAL DE LA ONDA .................................................... ........................................................ 3

REFLEXIÓNYREFRACCIÓN......................................................................................4

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN EN CUERDAS................................................ .............................................. 5 REFLEXIÓN DE ONDAS ESFÉRICAS ................................................... ........................................................ 5

INTERFERENCIA......................................................................................................6

SOBREPOSICIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONALES .................................................. .......................... 6 INTERFERENCIA DE ONDAS ESFÉRICAS................................................... .............................................. 8

ONDASESTACIONARIAS .........................................................................................9 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA DIMENSIÓN ......................................................... ........................... 9 ONDAS ESTACIONARIAS POR REFLEXIÓN...........................................................................................10 ECUACIÓN DE ONDAS ESTACIONARIAS................................................................................................11

RESONANCIA........................................................................................................ 13

OSCILACIONES FORZADAS ......................................................... ............................................................. ....14 DATOS CURIOSOS ....................................................... ............................................................. ........................15

Bibliografía

• Serway, R. Jewett, J. - Física para ciencias e ingeniería Volumen 1 séptima edición -México, D.F. - Editorial CENGAGE Learning – 2008.

• Alonso, M. Finn, E. – Física Volumen II: Campos y Ondas – 1967.

• Tripler, P. Mosca, G. – Física para ciencias e ingeniería Volumen II quinta edición – Barcelona – Editorial Reverté – 2005.

• Apuntes de clase – Física II – Cátedra de Ing. Valdivia, D. – UNTREF – 2010.

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