ONDAS ESLASTICAS EN MEDIOS LIQUIDOS

Deducción de la ecuación de onda en un líquido:

Para poder encontrar la ecuación diferencial que describe la propagación de una onda

en un medio líquido, supongamos que la onda se propagara en un medio isótropo. Si

de alguna manera provocamos una perturbación en la superficie del líquido que se

distribuye de manera uniforme, las partículas de una sección transversal comenzaran a

oscilar de forma transversal y comienzan a viajar con un frente de onda plana.

Además consideramos un líquido que está contenido en un canal de profundidad h y de

ancho L. si perturbamos la superficie del líquido con ondas de pequeña amplitud y gran

longitud de onda (comparada con la profundidad del canal), con una sección vertical

particular de líquido de espesor dx se experimentara desplazamiento en las direcciones

vertical y horizontal. Como se muestra en la figura:

A consecuencias de estos desplazamientos el espesor de la sección varía desde dx

hasta dx+ d𝜉 y su altura desde ℎ hasta ℎ +𝜂. Suponiendo que el líquido es incompresible,

el volumen de la sección debe permanecer constante. Por lo tanto, debemos tener

𝐿ℎ𝑑𝑥 = 𝐿(ℎ + 𝜂)(𝑑𝑥 + 𝑑𝜉)

= 𝐿(ℎ𝑑𝑥 + 𝜂𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝜉 + 𝜂𝑑𝜉) (1)

Consideramos que 𝜂 es muy pequeña comparada con ℎ y que d𝜉 es muy pequeño

comparado con dx, podemos despreciar el ultimo termino,𝜂𝑑𝜉,y escribir

𝜂𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝜉 = 0 𝑜 𝜂 = −ℎ𝜕𝜉

𝜕𝑥 (2)

Que relaciona los desplazamientos vertical y horizontal de la superficie para un líquido

incompresible. Debido a que el nivel perturbado no es horizontal, la presión media a cada

lado de la sección fluida es diferente, como se muestra en la figura. si

𝐴 = ℎ𝐿

Es el área de la sección trasversal del canal, la fuerza neta hacia la derecha de la sección

es:

𝑝𝐴 − 𝑝´𝐴 = −(𝑝´ − 𝑝)𝐴 = −𝐴𝑑𝑝 (3)

Luego la ecuación del movimiento horizontal de la sección es

(𝜌𝐴𝑑𝑥)𝜕2𝜉

𝜕𝑡2= −𝐴𝑑𝑝

𝑜

𝜌𝜕2𝜉

𝜕𝑡2= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥 (4)

Pero sabemos que: 𝑝 = 𝜌𝑔ℎ, la diferencia de presión es

𝑑𝑝 = 𝜌𝑔(𝜂´ − 𝜂) = 𝜌𝑔𝜕𝜂

𝜕𝑥𝑑𝑥

De modo que

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 𝜌𝑔

𝜕𝜂

𝜕𝑥 (5)

De la ecuación (4) y (5) tenemos:

𝜕2𝜉

𝜕𝑡2= −𝑔

𝜕𝜂

𝜕𝑥 (6)

De la ecuación (2) obtenemos, derivando, que

𝜕𝜂

𝜕𝑥= ℎ

𝜕2𝜉

𝜕𝑥2 (7)

Por consiguiente de la ecuación (6) y (7), y eliminado 𝜕𝜂

𝜕𝑥 entre estas dos ecuaciones,

obtenemos finalmente

𝜕2𝜂

𝜕𝑡2= 𝑔ℎ

𝜕2𝜂

𝜕𝑥2

Que es la ecuación diferencial de onda que describe la propagación transversal en un

medio líquido donde la velocidad de propagación viene dada por:

𝑉𝑝𝑟𝑜 = √𝑔ℎ