Opciones Financieras y Opciones Reales...• Teoría de Opciones Reales – Conceptos Preliminares...

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Prof. Diego Fernando Manotas DuqueEscuela de Ingeniería Industrial

Opciones Financieras y Opciones Reales

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¿Qué son las opciones financieras?(Call Option)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Utilidad con Forward

Utilidad con Option

3

¿Qué son las opciones financieras? (Put Option)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Utilidad con Forw ard

Utilidad con Option

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Estrategias con opciones

• Comprar “call options” Estrategia alcista• Venta de “call options” Estrategia bajista• Comprar “put options” Estrategia bajista• Vender “put options” Estrategia alcista

Ejemplo: Suponga que las acciones de MSFT subirán en valor desde su nivel actual (70 US$).

Usted cree que el anterior planteamiento puede no ser correcto.

Suponga que una opción de compra con vencimiento a 6 meses y precio de ejercicio de 70US$ sevende a10 US$. La tasa de interés semestral es del 2%. Considere tres estrategias para invertir 7.000US$. (MSFT no paga dividendos):

Estrategia A Compra 100 acciones de MSFTEstrategia B Compra de 700 opciones de compra sobre MSFT (Precio de ejercicio 70$) (Estorequerirá 7 contratos, cada uno con 100 acciones).Estrategia C Compra 100 opciones de compra por $1.000 Los $6.000 restantes se colocan entítulos financieros a 6 meses para ganar un 2%)

6

Estrategias con opciones

65 70 75 80 85 90A. Comprar 100 acciones 6,500 7,000 7,500 8,000 8,500 9,000B. 700 Opciones compra - - 3,500 7,000 10,500 14,000

- - 500 1,000 1,500 2,0006,120 6,120 6,120 6,120 6,120 6,120

Estrategia C 6,120 6,120 6,620 7,120 7,620 8,120

Precio MSFTPortafolio

C. 100 Opciones compra y $6.000 en títulos al2%

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Estrategias con opciones – Put de cobertura

Activo + Opción de Venta Asegura ganancias mínimas iguales a precio de ejerciciode la opción de venta.

X

X

X

X

X-(S0+P)

X

Resultado

Resultado

Resultado

Beneficio

ST

ST

ST

Estrategia A: Posición de acciones

Estrategia B: Put

Estrategia C: Put de cobertura

ST < X ST > XA: Acción ST ST

B: Put X - ST 0C: Put cubierta X ST

8

Estrategias con opciones – Venta cubierta de una Call (CoveredCalls)

Posición larga activo + Posición corta en “call” La posición se cubre porque la obligaciónpotencial de entregar la acción se cubre con la que se tiene en el portafolio.

ST < X ST > XResultadoacciones

ST ST

-Resultadoopción decompra

-0 -(ST – X)

Total ST X

X

X

X

X

-(S0 - C)

Resultado

Resultado

Resultado

Beneficio

ST

ST

ST

Estrategia A:Posición de acciones

Estrategia B: Callemitida

Estrategia C: Venta cubierta de call

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Estrategias con opciones – straddle - cono

Posición larga put + Posición larga en “call” (ambas con el mismo precio de ejercicio yfecha de vencimiento) La posición se cubre porque la obligación potencial de entregar laacción se cubre con la que se tiene en el portafolio.

ST < X ST > XResultado deCall

0 ST – X

Resultado deput

+(X-ST ) 0

Total X-ST ST – X

X

X

X-(P + C)

Resultado

Resultado

Beneficio

ST

ST

ST

Estrategia A:Compra call

Estrategia B: Compraput

Resultado

Beneficio

Resultado

-C

-P

X

X-P

X-P-C

XP + C

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Estrategias con opciones – “spreads”

Combinación de dos o más opciones de compra o venta sobre el mismo activo con diferentesprecios de ejercicio o fechas de vencimiento.

Spread vertical o “intercontratos” implica la compra de una opción y la venta simultánea deotra con un precio de ejercicio diferente.

Spread horizontal o de tiempo Venta y compra de opciones con diferentes fechas devencimiento.

ST < X1 X1<ST > X2 ST > X2

Resultado de 1ª compra a precio deejercicio X1

0 ST – X1 ST – X1

-Resultado de 2ª compra a preciode ejercicio X2

-0 -0 -(ST – X2)

Total 0 ST – X1 X2-X1

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Prof. Diego Fernando Manotas DuqueEscuela de Ingeniería Industrial

Las Opciones Reales en el Análisisde Decisiones de Inversión y

Financiación

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Contenido

• Antecedentes

• Teoría de Opciones Reales – Conceptos Preliminares

• Aplicaciones y usos potenciales

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Revisemos el siguiente ejemplo…

Previo chequeo médico, un equipo defútbol compra los derechos deportivos deun jugador cuyo rendimiento ha sido muybien referenciado en torneos recientes.Existen grandes esperanzas en la nuevaincorporación dados los magníficosantecedentes. Se rumora que latransacción estuvo cercana a los US$ 2millones.

Después de 15 partidos se escuchan lassiguientes declaraciones del cuerpo directivo de lainstitución. “Apostamos todos nuestros recursosen esta contratación, pero el fútbol es así, eljugador no se ha podido adaptar, los resultados nohan sido los mejores. Creemos que lo mejor estransferirlo a otro club” Unas veces se acierta yotras no, qué le vamos a hacer.

US$2 MM

Salarios, beneficios (celular, carro, apartamento, etc)

Valor de transferencia a otroclub (Inferior al valor decompra)

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Revisemos el siguiente ejemplo…

Previo chequeo médico, un equipo defútbol adquiere una opción de comprasobre los derechos deportivos de unjugador cuyo rendimiento ha sido muy bienreferenciado en torneos recientes. Existengrandes esperanzas en la nuevaincorporación dados los magníficosantecedentes. La opción se adquirió enUS$ 100.000 y estipulaba un preciodespués de la primera temporada deUS$2.000.000

Después de 15 partidos se escuchan lassiguientes declaraciones del cuerpo directivo de lainstitución. “Apostamos todos nuestros recursosen esta contratación, pero el fútbol es así, eljugador no se ha podido adaptar, los resultados nohan sido los mejores. Creemos que lo mejor estransferirlo a otro club” Unas veces se acierta yotras no, qué le vamos a hacer.

US$ 100.000

Salarios, beneficios (celular, carro, apartamento, etc)

Valor de transferencia a otroclub (Inferior al valor decompra)

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Una opción común no financiera… un seguro

• Poliza de seguro

– Prima anual que provee seguro contra pérdidas potenciales– Remuneración es igual al monto del daño menos un deducible– El reclamo es presentado (opción ejercida) si el daño es mayor

que el deducible.

Por un vehículo se paga una prima de seguro total de $2.000.000 / año, pero debido al buen manejoque se le ha dado a la póliza, el cliente tiene derecho a un descuento del 50% en el valor de lamisma. Dicho descuento se mantiene para el año siguiente si no se presentan reclamaciones. ¿Enqué condiciones de siniestralidad valdría la pena hacer uso del seguro?

Siniestro Valor del siniestro

< $1.000.000

> $1.000.000

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¿Preguntas?

• ¿Qué debería valer más, un contrato con opciones o uncontrato sin ningún tipo de opción?

• ¿Existen los contratos sin opciones?

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Limitaciones del VPN

Las técnicas tradicionales de evaluación no logran capturar laflexibilidad presente en la gran mayoría de proyectos.

Los criterios de decisión basados en FCD subestiman el valor deproyectos que cuentan con flexibilidades futuras.

¿Cuándo es óptimo invertir?¿Qué hacer ante la aparición de un nuevo competidor?¿Qué hacer frente a una nueva tecnología?¿Qué hacer frente a un producto sustituto?¿Qué hacer si los precios pensados no se dan?¿Qué hacer si la demanda es más de lo esperado?

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Las dos caras de la incertidumbre

LadobuenoLado

malo

Valoresperado

Valoresperado conflexibilidad

Valor de la flexibilidadpara alterar lasdecisiones a medidaque llega nuevainformación

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El Valor de la Flexibilidad

Valor moderadode la flexibilidad

Alto valorde la flexibilidad

Bajo valor dela flexibilidad

Probabilidad de recibir nueva información

Baja Alta

Moderado valorde la flexibilidad

Baja

Alta

Hab

ilidad

par

a re

spon

der

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¿Qué son las opciones financieras?

• Las opciones no deben ser confundidas con otros instrumentosderivados. Una opción da el derecho, no la obligación a comprar(call) o vender (put) un cierto activo subyacente en un periodo detiempo predeterminado y aun precio establecido (strike price).

• El activo subyacente puede ir desde activos financieros hastaactivos reales.

• ¿Cómo valorar una opción?

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Un ejemplo simple

• Considere una firma que está tratando de decidir si invertir en unaplanta productora de cajas y cuándo. La inversión puederealizarse en cualquier momento, pero una vez hecha escompletamente irreversible. Si la firma decide invertir, laconstrucción de la planta tendría un costo de US$16 millones. Cadaaño, la fábrica puede producir un millón de cajas a un costounitario de US$1. El precio corriente es de US$3 por caja. Elmercado cree que el próximo año el precio unitario subirá a US$4,con una probabilidad de 1/2, o caerá a US$ 2, con unaprobabilidad de 1/2, permaneciendo constante de ahí en adelante.¿Debería la firma invertir ahora? Suponga que la tasa de descuentopara los flujos de la fábrica de cajas es de 10 por ciento anual,interés simple.

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Un ejemplo simple

• Como vemos, la firma tiene una opción de gastar US$16 millonespara adquirir el valor presente de los flujos generados por lafábrica . Esta es una opción americana con maduración infinita.La regla tradicional del valor presente neto nos dice que debemosejercer dicha opción cuando ésta esté in-the-money, es decir,cuando su valor intrínseco sea positivo.

• Supongamos que el VPN de construir la nueva planta es de US$1millón. La regla del VPN sugiere que la firma debería invertir en elproyecto hoy día y “matar” la opción de esperar. Sin embargo, talrecomendación es errónea porque al no ejercer la opción deinversión, la firma retiene el valor ésta, el cual puede ser mayorque el VPN.

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Un ejemplo simple

• El VPN de este proyecto vienedado por:

• La regla de decisión VPN>0sugiere que se debe realizar elproyecto hoy

• El análisis de opciones sugiereque se podría esperar un año.Si el precio de la cajaaumenta a US$ 4, el VPN delproyecto sería:

millonesUSVPN

VPN

4$%10

216

1.113

1.113

1.113

16 32

millonesUSVPN

VPN

14$%10

316

1.114

1.114

1.114

16 32

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Un ejemplo simple

• Si el precio cae a US$2, el VPNdel proyecto sería:

• Hoy, el VP(Ingresos) al esperarun año está dado por:

millonesUSVPN

VPN

6$%10

116

1.112

1.112

1.112

16 32

millonesUS

MaxVPN

36.6$1.1

)6,0(%50)14%(50

¿Cuáles son los beneficios y costos de retrasar la inversión un año?

Al retrasar la inversión un año, la empresa mantiene el derecho a no ejercer(valor de la opción) y podría tomar una mejor decisión basada en la nuevainformación disponible.

La empresa pierde el ingreso del 1er año al retrasar la inversión

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Un ejemplo simple (El momento óptimo)

• ¿Sería óptimo retrasar la inversión enun año si la firma pudiera recuperaren su totalidad los US$16 millones,en caso de que invirtiera hoy (t=0) ydecidiera cerrar la planta cuando elprecio unitario de las cajas cayera aUS$2? La respuesta es NO. ¿Por qué?

• EL valor esperado es de 14*0,5-0,45*0,5=

• US$6,77 millones>US$6,36 millones.

• Esto implica que es óptimo ejercer laopción en t=0.

Si el precio aumenta aUS$4 por unidad,continuamosproduciendo parasiempre (rinde másque producir por untiempo y cerrar en elfuturo) obteniendo:

Si el precio cae a US$2,producimos el primer añoy cerramos la planta(rinde más que continuarproduciendo y cerrar enel futuro) obteniendo:

millonesUS

VPN

14$%10

316

millonesUS

VPN

45.0$%10

121616

Como se observa, cuando la inversión es completamente recuperable,la regla del VPN nos lleva a la decisión correcta.

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Analogía entre Opciones Financieras y Reales

• Lo anterior sugiere que las reglas de ejercicio temprano para opcionesamericanas pueden ser también aplicadas, al menos a nivel intuitivo, alas decisiones de inversión de una compañía.

• En particular, en el caso de inversiones irreversibles que la firma puederetrasar, las inversiones no debieran llevarse a cabo simplemente porqueel VPN es positivo. En vez, la firma debería invertir sólo si el VPN delproyecto excede a cero en una cantidad mayor o igual que el valor demantener vigente la opción de invertir.

• Entre más inciertos sean los flujos futuros del proyecto, más beneficiosoresultará postergar su puesta en marcha. Haciendo un paralelo con unaopción financiera, una mayor volatilidad del valor de la firma (activosubyacente) aumenta el valor de la opción de inversión.

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Analogía entre Opciones Financieras y Reales

• En el ejemplo anterior se sugiere que una oportunidad de inversión esmuy similar a una opción americana sobre una acción que pagaríadividendos con un vencimiento muy lejano en el futuro. Veamos porqué?

Opción Americana Opción de Inversión

Subyacente Valor de la acción Valor de la planta

Precio de ejercicio K Costo de construir laplanta

Fuente deincertidumbre

Precio de la acción S(t) Valor de la planta

Ganancia por esperar Derecho a no ejercerAplazar el costo de K

Derecho a no invertirAplazar el costo de laplanta

Pérdida por esperar Dividendos Pérdida por no producir

Valor de la opciónejercida

S(t) - K VPN

Valor de la opción sinejercer

C(t) Valor de la opción deinvertir

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Analogía entre opciones financieras y reales

– Abandonment options (American put)– Option to defer (American call)– Option to expand (American call)– Option to contract (American put)– Switching options (portfolio of call and put options)– Option to extend (a European call)

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Opciones como parte de sistemas reales

• Los proyectos a menudo contienen flexibilidades quepueden ser modeladas como opciones.

– Derechos, no obligaciones– Proveen retornos asimétricos– Se ejercen solo si conviene

– Ejemplos: Leasing con opción de compra al final del contrato.

Procesos de manufactura flexible

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Conceptos BásicosOpción Real – Flexibilidad - Convexidad

• Opción Real Derecho, pero no la obligación de asumir unaacción (diferir, expandir, contraer, abandonar, etc) a un costopredeterminado, llamado precio de ejercicio, para un periodopredeterminado (la vida de la opción).

• La flexibilidad en un proyecto de inversión se manifiesta medianteflujos de caja convexos, en los cuales producto de la flexibilidad sepueden capitalizar condiciones favorables y restringir las pérdidasbajo condiciones adversas. Los flujos de caja convexos se generanpor dos razones:

– Decisiones gerenciales– Estructura implícita de los flujos de caja

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• La convexidad en los flujos de caja crea valor para las opcionesreales debido a la desigualdad de Jensen. Esta demuestra que elvalor esperado de una función convexa, es mayor que la funcióndel valor esperado de las variables, es decir:

])([])([^^

wEUwUE

Esto sólo se cumple si la función es convexa. El VPNconsidera los valores esperados de las variables. En cambio, elmétodo de opciones reales considera el valor esperado de lafunción. (Ver Figura)

])(^

wU

32


])(^

wU

)]([^

wUE

)]([^

wEUw1 w2

2)([ 21

^ wwwE

Valor creadopor laconvexidad

^

w

33


El concepto clave es que la incertidumbre por si sola es perjudicial, perola incertidumbre con flexibilidad es valiosa, debido a que se puedenaprovechar las condiciones favorables y restringir las desfavorables.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Un proyecto que requiere una inversión de US$ 80 millones y produciráingresos esperados de US$ 400 millones con volatilidad del 25% anual. Loscostos de producción son de US$ 320 millones y la tasa de descuentopertinente es de 10% anual. Si no se considera la flexibilidad y laincertidumbre, se obtiene:

27.710.1

)320400(80

VPN Proyecto no factible

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Si existe flexibilidad de producción, no se tiene que producir a pérdida, seobtiene:

64.8310.1

)320500(80

VPN

400

500

300 80080 VPN

82.12

8064.83

VPN

Proyecto factible

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“La incertidumbre aumenta el valor”

Las opciones directivasIncrementan el valor

Análisis deOpcionesReales

Enfoque tradicional

Valo

r

Incertidumbre

El análisis tradicional señala que amayor incertidumbre menor es el valordel activo. El análisis de opcionesreales demuestra que la incertidumbrepuede inducir un valor superior delactivo si los directivos logran identificary utilizar sus opciones para respondercon flexibilidad al desarrollo de losacontecimientos

Amram y Kulatilaka, 1999“Real Options, Managing strategic invesments in a uncertain world”

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“El cono de incertidumbre”Po

sibl

es V

alor

es F

utur

os

Hoy 2 años

$1M

Alto

Bajo

Rango de posibles valores futuros

Prob

abili

dad

Bajo Alto

Media

Desviaciónestándar

Valor de una empresa en dos años

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Ejemplos IlustrativosOpción de Abandono

Pero, si el proyecto no es exitoso el primer año, es mejor abandonar y recibir$500.000. Cuál es el valor de la opción? Nos encontramos frente a una put(opción de venta) con vencimiento 1 año, con precio de ejercicio $500.000 ydonde el valor presente del activo subyacente es $553.000. Suponemos que latasa libre de riesgo es 5% por periodo.

Además de lo anterior se sabe, que el valor del activo puede aumentar en un33% (738/553 – 1) o caer en un 25% (415/553 – 1). Por otra parte en un mundoneutral al riesgo los inversionistas exigen como retorno la tasa libre de riesgo.Por lo tanto si p representa la probabilidad de alta demanda en un mundoneutral al riesgo, se tiene que:

(p)(0.33) + (1-p)(-0.25) = 0.05 p=0.52

Si enfrentamos el evento de alta demanda, la opción de abandono vale cero. Entanto si el proyecto es un fracaso, podemos venderlo (salir) y ahorrar $85.000(500.000 – 415.000).

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Ejemplos IlustrativosOpción de Abandono

Por lo tanto:

E(opción) = (p)(0) + (1-p)(85) = $ 41.000 y el valor presente de la opción deabandono es:

VP (opción) = $41.000/1.05 = $39.000

El proyecto vale = $553.000 + $39.000 = $592.000

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Ejemplos IlustrativosOpciones Compuestas

Casi todas las decisiones de desembolso de capital tienen que ver coninversiones en etapas y todas las inversiones son opciones compuestas. Ladecisión de asignar recursos en las primeras etapas equivale al ejercicio deopciones que facilitarán el camino para concretar las etapas siguientes. Cadaetapa es una opción sobre otra opción. Ejemplos: I+D, exploración y generaciónde energía, decisiones de construcción de nuevas instalaciones.

[Copeland 2001] propone el siguiente ejemplo: Construcción de una gran plantaquímica. La construcción se hace por fases. La industria química tiene flujos decaja cíclicos. Cuando el spread entre el precio del producto final y el de susinsumos es grande, la rentabilidad de la industria impulsa la construcción denueva capacidad y rápidamente, por medio de arbitraje, el spread disminuye.Entonces viene un periodo de baja rentabilidad en el que no hay plantas enconstrucción, hasta que la demanda se reestablece y el ciclo empiezanuevamente.

40

Ejemplos IlustrativosOpciones Compuestas

Ejercer la opciónde compra: invertir

50 $M en diseño delproyecto

Comprometerseinversión

total: 650 $M(sin flexibilidad)

Abandonar proyecto(ausencia deflexibilidad)

Punto dedecisión

Año 0

Ejercer la opciónde compra: invertir

200 $M fase dePre-construcción

Opción de compra:600 $M restantes sin

flexibilidad ulterior

Abandonar proyecto(ausencia deflexibilidad)

Seis meses despuésEjercer la opción

de compra: invertir400 $M para completar

construcción

Abandonar el proyecto

Final 1er año

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Valorización Neutral al RiesgoProbabilidad de Riesgo Neutral

• Esta es la técnica másimportante para el análisis deinstrumentos derivados. Sedesarrolló a partir de unapropiedad de la ecuacióndiferencial deBlack&Scholes&Merton

• Esta ecuación usada paravalorar opciones no involucrapreferencias de riesgo de losinversionistas. Tdd

T

TrXSd

dNXedNSC rT

12

2

0

1

210

)2

()/ln(

)()(

Los inversionistas pueden asumirseneutrales al riesgo y esto no afecta el valorde la opción.

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Valorando Opciones Reales en la Práctica

Copeland y Antikarov. Real Options – A Practitioner’s Guide. 2001

Etapa Objetivos Observaciones

Evaluar el caso base delproyecto (FCD, VPN,TIR)

Estimar VP caso base sinflexibilidad.

Técnicas tradicionales-Sin incluir flexibilidades

Modelar laincertidumbreutilizando árboles deeventos.

Entender comoevoluciona el VP através del tiempo.

Sin flexibilidad. Estimarincertidumbre usandodatos históricos.Simulación financiera.

Identificar e incorporarflexibilidades directivasy crear un nuevo árbolde decisión.

Analizar el árbol deeventos para incorporarflexibilidades directivaspara responder a nuevainformación.

La flexibilidad altera elperfil de riesgo delproyecto Cambio enel costo de capital.

Análisis de OpcionesReales

Valorar el proyecto totalusando Análisis deOpciones Reales (ROAReal Options Analysis)

ROA VP caso base +valor de opciones(flexibilidad)

1

2

3

4

43

Estimación de la VolatilidadAproximación Consolidada

ModeloValor Presentedel ProyectoCaso Base

Año 1, Año 2, … Año TInputs

Incertidumbre 1

Incertidumbre 2

Incertidumbre NVP

Probabilidad del VP

Outputs

Simulación de Monte Carlo

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Estimación de la VolatilidadAproximación Consolidada

FCF y estimaciónde VPN

• Construir modelodel proyecto

• Descontar flujoscon la tasaapropiada

Incertidumbrevariables delmodelo

• Autocorrelación decada variable con simisma (reversión a lamedia)

• Correlaciones entrevariables

Simulaciónfinanciera delproyecto-Distribucióndel VP

• Distribución del VP

• Volatilidad basada enretorno logarítmico

0

lnVP

VPt

Construirárbol de VPComportamientodel subyacente

• VP (con flujos de cajareinvertidos) siguemovimiento Brownianogeométrico

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Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”

Caso 1: “Cuando no existen opciones estratégicas”

Los flujos de caja de una mina de cobre pueden replicarse por mediode activos financieros, ya que el valor de la mina viene determinadofundamentalmente por el precio del cobre.

1111 KQpC 2222 KQpC

Periodo 1 Periodo 2

p1 Precio del mineral de cobre al final del periodo 1p2 Precio del mineral de cobre al final del periodo 2

(1)

46

Ejemplo 1. Inversión en Recursos Naturales Caso “Mina deCobre”(2)


Q1 Cantidad de cobre extraída en el periodo 1Q2 Cantidad de cobre extraída en el periodo 2K1 Costo de extracción en el periodo 1K2 Costo de extracción en el periodo 2

Los flujos de caja de la explotación de la mina pueden replicarse con laformación de un portafolio réplica con las siguientes características:

1. Un contrato a plazo (forward) para comprar Q1 unidades de cobre al finaldel periodo 1 al precio forward vigente de F1 por unidad y un segundocontrato forward para comprar Q2 unidades de cobre al final del periodo 2al precio forward vigente de F2

47



2. Una obligación cero cupón a tasa libre de riesgo que proporcioneF1Q1 – K1 al final del periodo 1 y una segunda obligación F2Q2 – K2 al finaldel periodo 2

ttt

t

KQF

r

r

KQF

r

KQFVP

2

1

222

1

111

)1()1(

Rendimiento al vencimiento de una obligación cero cupón quevence al final del periodo t

El pago de reembolso futuro de una obligación cro cupónque vence al final del peiodo t

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Ejemplo Numérico

Una empresa es propietaria de los derechos de explotación de una mina decobre cuya producción será de 75.000 libras, 25.000 al cabo del primer año y elsaldo en el segundo año. Los costos de extracción serán de 0.10 US$/libra y losprecios forward actuales son de 0.65 US$/libra para entrega a 1 año y 0.60US$/libra para entrega a 2 años. Las tasas libres de riesgo a plazo un año sondel 5% y 6% para plazo 2 años.

345.35$06.1

50000)10.060.0(

05.1

25000)10.065.0(2

ValorMina

ValorMina

49


Caso 2 “cuando existen opciones estratégicas”

En la práctica el propietario de una mina de Cu la cierra cuando el precio delmineral baja tanto que la explotación de la misma deja de ser rentable y acelerala producción cuando los precios son excepcionalmente altos. La posibilidad dealterar la tasa de producción es un ejemplo de opción estratégica.

Brennan y Schwartz (1985)1 desarrollaron un método de valoración deexplotaciones mineras que tiene en cuenta las posibilidades de alterar la tasa deproducción y utiliza como parámetros el precio forward hoy del mineral, lavolatilidad del precio del mineral y la tasa de interés libre de riesgo. El modeloBrennan – Schwartz puede aproximarse mediante el enfoque binomial devaloración de derivados.

50


El volumen de producción de una mina alcanzará los 75 millones de libras deCu dentro de un año si las condiciones económicas son favorables. Losdirectivos de la empresa minera prevén dos posibles precios para el Cu a unaño vista: 0.50 US$/libra si la demanda es baja y 0.90 US$/libra si la demandaes alta. El precio forward a un año es hoy de 0.60 US$/libra. La tasa de interéslibre de riesgo es 5%. Los costos de extracción ascienden a 0.8 US$/libra. Cuáles el valor de la mina?

Valor ?

t=0

t=1Escenario AFlujo de caja = 75.000.000(0.9-0.8)= 7.5 millones de US$

Escenario BFlujo de caja = Max[75000000(0.5-0.8),0]

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Caso 2 “cuando existen opciones estratégicasEjemplo ‘Numérico” Portafolio Réplica

Escenario A:

000.500.705.1)6.09.0( YX

Escenario B:

005.1)6.05.0( YX

X 18.750.000 libras de Cu recibidas mediante un contrato forward 1 añoY 1.785.714 US$ invertidos en obligaciones cero cupón

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Caso 2 “cuando existen opciones estratégicasConclusión

Una mina puede considerarse como una opción para extraer mineral a unprecio de ejercicio igual al costo de extracción. El valor de la opción deextracción se incrementa tanto con la volatilidad del precio del mineral comocon la volatilidad del costo de extracción.

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Las técnicas tradicionales fallan…?

Ejemplo: (Similar a una concesión vial)

Una empresa quiere valorar la oportunidad de invertir en un proyecto cuyosflujos de caja esperados dentro de un año serán de 180 millones de pesos silas condiciones son favorables o 60 millones de pesos si son desfavorables.Los resultados son equiprobables. El gobierno, desea asegurar este proyectoconstituyendo para ello una garantía a favor del ejecutante por 180 millonesde pesos aún si las condiciones son desfavorables. Sin la garantía delgobierno, la tasa de descuento ajustada por riesgo es k=20%, mientras que latasa libre de riesgo es 8%. Cuál es valor del proyecto (V) y de la opción deabandono amparada en la garantía?

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Ejemplo …

V=? P=?

q=0.5

1-q=0.5

V+ = 180

V- = 60

Flujo de caja

P+ = 0

Valor opciónabandono

P- = 180 – 60 = 120

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Ejemplo Valoración de Tierraf(uso potencial)

Un lote en que se puede construir un edificio de 6 o 9 pisos. Los costosde construcción por piso son de US$ 80.000 si es de 6 pisos y $90.000US$ si es de 9 pisos. Estas cifras no cambian si la construcción se hacehoy o el próximo año.

Pmercado hoy 100.000 US$Palquiler = 8.000 US$/añoRf= 12% anual

Si las condiciones de mercado son favorables, cada piso se venderá en120.000 US$ y si son desfavorables, el precio de venta será 90.000 US$.

¿Cuál es el valor del lote en función de su posible uso?

56


Hoy:

Utilidad bloque 9 pisos = 9(100.000-90.000) = 90.000 US$Utilidad bloque 6 pisos = 6(100.000-80.000) = 120.000 US$

Opción Esperar 1 año:

p

1-p

?

Condiciones de mercado favorablesFC = 9(120.000-90.000) = 270.000

Condiciones de mercado desfavorablesFC = 6(90.000-80.000) = 60.000

57


Estimar probabilidades neutrales al riesgo p, 1-p

p

1-p

100.000

120.000+8.000 = 128.000

90.000+8.000 = 98.000

15/81

15/7

12.1)1(98)(128

100

p

p

pp

58

141.071 > FC obtenido con la opción de hacer 6 pisos hoy (120.000)

Conclusión: El suelo no edificado contemplarse como una opción parade compra de construcción, cuyo precio de ejercicio es el costo de laedificación. El valor de esta opción aumenta en función de laincertidumbre y el tipo de construcción.


071.14112.1

60000)15/8(270000)15/7(

59

La Valoración de Opciones Reales

• Principios de valoración de opciones reales

– Valoración neutral al riesgo: Probabilidades apropiadas en unahipótesis de neutralidad ante el riesgo.

– Ausencia de arbitraje: Las primas estimadas para las opcionesimpiden el arbitraje entre una compra (o venta) de dichoscontratos y un portafolio réplica formado por posiciones en elsubyacente y en un activo libre de riesgo.

– Modelos analíticos: Valoración en tiempo continuo, extensionesdel modelo B-S.

– Modelos discretos (Cox-Ross-Rubinstein) (1979)– Modelo Boyle – Simulación de Monte Carlo (1977)

60


Aproximación al valor teórico de una opción

El valor teórico de una opción es igual al valor esperado de los beneficios actualizadosque la opción puede proporcionar.

Precio subyacente Probabilidad (%) Valor intrínseco

70 2 0

80 8 0

90 20 0

100 40 0

110 20 10

120 8 20

130 2 30

Tenemos una opción de compra sobre un activo a un precio de ejercicio 100. Laopción es europea y tiene vencimiento a un año. La tasa de interés el del 12%anual y los precios del activo al vencimiento pueden alcanzar los valores que sepresentan en la tabla. ¿Cuál sería el precio de la opción hoy?

61


Preciosubyacente

Probabilidad(%)

Valorintrínseco

Valoresperado dela opción 1

70 2 0 0

80 8 0 0

90 20 0 0

100 40 0 0

110 20 10 2

120 8 20 1,6

130 2 30 0,6

62

Método simple: Modelo binomial

• Cox-Ross-Rubinstein (1979) - Supuestos del modelo

– Eficiencia y profundidad de los mercados– Ausencia de costos de transacción– Es posible comprar y vender en descubierto (sin límite)– Los activos son perfectamente divisibles– Se puede prestar y tomar prestado a la misma tasa de interés-– Todas las transacciones se pueden hacer de forma simultánea– El precio del activo subyacente evoluciona de acuerdo con un

proceso binomial multiplicativo

63

Valoración de opciones: Método binomial

• Principios básicos de valoración– Valoración neutral al riesgo– Ausencia de arbitraje

S

SU

Sd

con probabilidad p

con probabilidad 1- p

C

CU

Cd

con probabilidad p


Ejemplo: Opción de compra europea con vencimiento a un periodo yprecio de ejercicio X.

],0[

],0[

XSdMAXCd

XSuMAXCu

64


S=100

SU =120

Sd = 80

C

CU = MAX[0,120-100]

Cu=20

Cd = MAX [0,80-100]Cd=0

Portafolio réplica

• Posición corta (venta) de una call• Compra de K acciones (posición larga)

KS-C

KSU -Cu

KSd -Cd

)( duS

CdCuK

CdKSdCuKSu

65


5.0)8.02.1(100

020)(

duS

CdCuK

rr

CKSr

CdKSd

r

CuKSu

ˆ)1(

)1()1(

66


CdmmCur

C

du

ru

du

drm

du

drm

du

ruCd

du

drCu

rCuur

du

CdCu

rC

CuurKSrr

CuKSuKSrC

)1(ˆ1

ˆˆ11

ˆ

ˆˆˆ1

)ˆ(ˆ1

)ˆ(ˆ1

ˆˆ

],0[

],0[

XSdMAXCd

XSuMAXCu

67


64.13025.02075.01.1

1

25.01

75.08.02.18.01.1

Cu

m

mPodemos valorar una call europea a 1 periodo

Si la opción anterior cotiza en el marcado a 15, podríamos realizar la siguiente operaciónde arbitraje:

Vender la opción de compra por 15Comprar 0.5 unidades del activo subyacente

Flujo de caja de la operación = 15-0.5 x100=-35. Este valor financiamos al 10%

Valor teórico de la opción

68


Si la opción anterior cotiza en el marcado a 15, podríamos realizar la siguiente operaciónde arbitraje:

Vender la opción de compra por 15Comprar 0.5 unidades del activo subyacente

Flujo de caja de la operación = 15-0.5 x100=-35. Este valor financiamos al 10%

Al vencimiento el subyacente vale 120

• Nos ejercen la opción y perdemos 20 (100-120)• Vendemos nuestra inversión en el subyacente 0.5 x 120 = 60• Pagamos el crédito 35 x 1.1 = 38.5• Beneficio total = 60 – 20 – 38.5 = 1.5

Al vencimiento el subyacente vale 80

• La opción no se ejerce• Vendemos nuestra inversión en el subyacente 0.5 x 80 = 40• Pagamos el crédito 35 x 1.1 = 38.5• Beneficio total = 40 – 38.5 = 1.5

69


En ambos casos el beneficio es igual y coincide con la diferencia entre la primade mercado de la opción (15) y la prima teórica (13.64), capitalizada al 10%.

15 – 13.64 = 1.361.36 X 1.1 = 1.5

El valor teórico de la opción deberá coincidir con su valor de mercado.

Una posición en opciones se puede replicar con una posición en el activo subyacente y enel activo libre de riesgo.

Si se denomina B al activo libre de riesgo podríamos asumir que el valor de una opción sepuede replicar de la siguiente forma:

C=KS-B

KS-B

KSU –B(1+rf)

KSd –B(1+rf)

70


• Para que KS-B = C, se debe elergir K y B de tal modoque:

36.36By0.5KejemploelEn

))(1(y

)(

:Despejando

)1(y)1(

dur

uCddCuB

duS

CdCuK

CdrBKSdCurBKSu

f

ff

Comprando 0,5 unidades del activo subyacente y endeudándonos en 36,36 a tasa del10% se puede replicar una opción de compra con precio de ejercicio 100.Comprando 0,5 unidades del activo subyacente y endeudándonos en 36,36 a tasa del10% se puede replicar una opción de compra con precio de ejercicio 100.

71

Valoración de opciones

• La probabilidad p no interviene en la fórmula devaloración de la opción.

• El valor de C no depende del riesgo de mercado sino delcarácter aleatorio de la evolución de los precios delsubyacente.

• El valor C no depende de la prima de riesgo de losinversionistas

• Se pueden valorar opciones asumiendo la hipótesis deneutralidad al riesgo.

72

Valoración de opciones

• Si el inversionista es neutral al riesgo, el rendimientoesperado del subyacente debe ser igual a la tasa derentabilidad del activo libre de riesgo.

S

SU

Sd

con probabilidad p


73

Método binomial para n periodos

74

Relación Modelo Binomial – Distribución Lognormal

Precio Activo Retorno % Ln (St+1/St)100120 20,0% 18,23%100 -16,7% -18,23%

Los retornos porcentuales no son simétricos aunque el cambio envalor absoluto del precio del activo es igual

Los log-retornos si son simétricos

75

Relación Modelo Binomial – Distribución LognormalEjemplo

76

Modelo binomial en la prácticaEstimación de variables básicas

77

Modelo binomial en la prácticaDiseño de árbol binomial

78

Modelo binomial en la prácticaDiseño de árbol binomial

Sigma 16,7%

rf 0,49%

u 1,18

d 0,85

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5 36,1 42,7 50,4 59,6

6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5 36,1 42,7

5,7 6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8 25,8 30,5

4,8 5,7 6,8 8,0 9,5 11,2 13,2 15,6 18,5 21,8

4,1 4,8 5,7 6,8 8 9,5 11 13 16

3,5 4,1 4,8 5,7 6,8 8 9,5 11

2,9 3,5 4,1 4,8 5,7 6,8 8

79

Ejemplo: Valoración de plantas de generación eléctrica conopciones reales

80

Load curves,demand behavior,

offer curves

Load curves,demand behavior,

offer curves

UPME, NEON (XM),IEA Databases

UPME, NEON (XM),IEA Databases

Anticipating futureinvestments of

competitors on thehorizon T (years).T = life of plant i

Anticipating futureinvestments of

competitors on thehorizon T (years).T = life of plant i

Estimation ofparameters and

variables ofvaluation model

Estimation ofparameters and

variables ofvaluation model

Defining scenarios forvariables and

parameters of thevaluation model

Defining scenarios forvariables and

parameters of thevaluation model

Energy prices,generation fuel cost,CO2 prices,investment cost,operating cost, powerplant data (usefullife, capacity, usefactor), policies andregulation.

Energy prices,generation fuel cost,CO2 prices,investment cost,operating cost, powerplant data (usefullife, capacity, usefactor), policies andregulation.

Discounted Cash FlowModel (DCF)

Discounted Cash FlowModel (DCF)

Decision criteria(NPV, IRR, XIRR)Decision criteria(NPV, IRR, XIRR)

Simulation modelSimulation model

Financial riskindicatorsProbability

(NPV>0), VaR, CVaR,skewness, kurtosis

Financial riskindicatorsProbability

(NPV>0), VaR, CVaR,skewness, kurtosis

Estimation ofproject volatility

Estimation ofproject volatility

Identification andvaluation of real

options

Identification andvaluation of real

options

Strategic value:NPV + VP (Real

Options)Model to evaluate investments in power generation assets

81

Features of electricity prices

0 24 6 8 10 12 14 16 18 20

22 24020

4060

80100

0

10

20

30

40

50

Trading PeriodReal Power (MW)

Pric

e $

Source: Fabra, Von de Fehr and Harbord (2002)

82

Electricity Prices - Colombia

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Price

s ($/

KWh)

Time

Precio Bolsa

Precio Contratos

Spot prices

Electricity contract prices

83

Volatility of Prices in the Colombian electricitymarket (Source: XM)

-100,00%

-80,00%

-60,00%

-40,00%

-20,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N E M M J S N

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Volat

ility

Ln (P

t+1/

P t)

Time

Volatilidad Contratos

Volatilidad precio spotVolatility - Spot pricesVolatility - Contract prices

84Log returns contracts - monthly electricity prices - Colombian market

85

Weekly Prices for CREs (2008-2012) Source: IEA,2012

86

Electricity price models – long term

Long Term ElectricityPrice Models

One-factormodels

Two-factormodels

Aritmetic BrownianMotion (ABM)

Geometric BrownianMotion (GBM)

Ornstein-Uhlenbeck(OU) Model

Cox-Ingersoll-Ross(CIR) Model

Schwartz One-factorModel

InhomogeneousGeometric Brownian

Motion (GBM)

StochasticVolatility

Ornstein-Uhlenbeck(OU) Model

Geometric BrownianMotion (GBM)

Pilipovic Model

Schwartz-Smith Model

Jump Diffusion Models

Regime SwitchingMethods

Extreme Value Theory(EVT)

87

Case of Study

Stochastic Variables

Electricity pricesFuel costs for biomass fired-power plantsReal generation of power plantCO2 prices

Stochastic Variables

Electricity pricesFuel costs for biomass fired-power plantsReal generation of power plantCO2 prices

Technological Alternatives Small HydropowerPlants (SHPs) Wind Biomass (Sugar cane)

Capacity (MW) 20 20 20Energy sold throughbilateral contracts

100% 100% 100%

WACC (Oxera, 2011) 9% 10% 13%Income Tax Rate 27% 0% (First 15 years)Valuation period 20 20 20Continuity Value Yes No No

Real options considered NoExpansion and

LearningExpansion and Spark

spread

88

Binomial tree of wind project - CO2 price = 5 US$/Ton

Year 0 Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Expansion Factor (Year 5) 100%Investment cost (20 MW) 45.953

Annual Volatility 25,10%u 1,29d 0,78r 5% 185.362p 53,60% 144.215q 46,40% 112.203 112.203

87.296 87.29667.919 67.919 67.919

52.842 52.842 52.84241.112 41.112 41.112

31.986 31.98624.886 24.886

19.36215.064

89

Sensitivity analysis of expanded NPV

46.000

47.000

48.000

49.000

50.000

51.000

52.000

53.000

0% 10% 20% 30% 40%

ExpansionOption+LearningOption

Expanded value

Annual Volatility

COP$

000

90

Binomial tree of bagasse fired power plant CO2 priceUS$5/ton

Year 0 Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5

Expansion Factor (Year 5) 100%Investment cost (20 MW) 59.400

Annual Volatility 26,60%u 1,30d 0,77r 5% 245.026p 52,70% 187.798q 47,30% 143.935 143.935

110.318 110.31884.552 84.552 84.552

64.804 64.804 64.80449.668 49.668 49.668

38.068 38.06829.177 29.177

22.36217.139

91

Sensitivity analysis of expanded NPV vs Volatilitylevels

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

40.000

0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0%

Expanded value

ExpansionOption+LearningOption

Annual Volatility

COP$

000

92

Financial results for different technologies CO2 price= US$5/ton

Technology NPV Mean($MM)

Probability(NPV>0) (%)

ExpandedNPV ($MM)

SmallHydropowerPlant (SHP)

35.754 80 35.754

Wind 729 52,4 47.781

Biomass -Bagasse

7.868 65 32.286

93

Ejemplo de Valoración de Opciones: Método Binomial

• Valore una call con precio de ejercicio 100 sobre unactivo subyacente cuyo precio spot es igual a 100. Elfactor de ascenso u=1,2 y el factor descenso d=0,8. Latasa libre de riesgo es 2%. Número de periodos es 4.

207,4 107,4172,8 74,8

144,0 144,0 47,9 44,0120,0 120,0 29,2 22,0

100,0 100,0 100,0 17,2 11,0 0,083,3 83,3 5,5 0,0

69,4 69,4 0,0 0,057,9 0,0

48,2 0,0

94

Opciones de crecimiento

Opción de crecimiento o de ampliación Proporciona a su propietario la opción deadquirir una porción adicional de un proyecto a cambio de un costo adicional.

Opción de ampliar escala de operación

Adquisiciones de tipo estratégico

Investigación y desarrollo

Proyecto multietapa

¿ En qué medida es necesaria la realización de la fase inicial para desarrollar elproyecto siguiente?¿Existe exclusividad en el ejercicio de la opción?¿La ventaja competitiva derivada del ejercicio de la opción es sostenible en el tiempo?

VE = VP (Flujo de caja libre) + VP (opciones de crecimiento)

95

Opciones de crecimiento (Ejemplo La 15)

Una cadena de supermercados colombiana (La 15) esta interesada en abrir una tiendaen España, teniendo en cuenta la gran migración que se ha presentado hacia ese país.Sin embargo, debido al riesgo inherente a esta operación que se constituye en laprimera de carácter internacional, la empresa ha considerado realizar una inversión enun formato más pequeño que el tradicional, esto con el fin de explorar la aceptación endicho país. Si pasado el tiempo, la inversión resulta exitosa, La 15 podría consideraruna inversión adicional, con el fin de alcanzar el formato de tamaño habitual.

El desarrollo del formato inicial de negocio supone inversiones por 57 millones de euros.El valor presente promedio de los flujos del negocio se estima en 42 millones de euroscon una desviación estándar del 46%. La tasa libre de riesgo es 4%.

Es evidente que el VPN de este proyecto no es atractivo 42 – 57 = -15 millones de euros

Sin embargo es posible que transcurridos 2 años, los directivos de La 15 consideren la opción deampliar el formato de negocio. La inversión adicional requerida en dos años estaría en torno a los220 millones de euros, pero el valor del negocio en ese momento podría ser hasta 6 veces mayor queel valor del negocio inicial en el mismo momento.

96


Una cadena de supermercados colombiana (La 15) esta interesada en abrir una tiendaen España, teniendo en cuenta la gran migración que se ha presentado hacia ese país.Sin embargo, debido al riesgo inherente a esta operación que se constituye en laprimera de carácter internacional, la empresa ha considerado realizar una inversión enun formato más pequeño que el tradicional, esto con el fin de explorar la aceptación endicho país. Si pasado el tiempo, la inversión resulta exitosa, La 15 podría consideraruna inversión adicional, con el fin de alcanzar el formato de tamaño habitual.

El desarrollo del formato inicial de negocio supone inversiones por 57 millones de euros.El valor presente promedio de los flujos del negocio se estima en 42 millones de euroscon una desviación estándar del 46%. La tasa libre de riesgo es 4% anual compuestacontinuamente.

Es evidente que el VPN de este proyecto no es atractivo 42 – 57 = -15 millones de euros

Sin embargo es posible que transcurridos 2 años, los directivos de La 15 consideren la opción deampliar el formato de negocio. La inversión adicional requerida en dos años estaría en torno a los220 millones de euros, pero el valor del negocio en ese momento podría ser hasta 6 veces mayor queel valor del negocio inicial en el mismo momento.

97


105.39

66.53

42.00 42.00

26.51

16.74

517.73 SUU+MAX((SUU*6)-inv_adicional,0)

E1

E0 74.00 SUD+MAX((SUD*6)-inv_adicional,0)

E2

16.74 SDD+MAX((SDD*6)-inv_adicional,0)

98


254.34

E0

39.73

69.80 8.69570481.1

%)02.5773.39(%)98.4234.254(

73.390481.1

%)02.5774.16(%)98.4274(

34.2540481.1

%)02.5774(%)98.4273.517(

0

1

1

E

E

E

Opción de ampliación = 69.8 –(-15) = 84.8

Opciones Financieras y Opciones Reales...• Teoría de Opciones Reales – Conceptos Preliminares...

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