Opciones Reales - Metodo Binomial

Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878

32 - Opciones Reales: Valoración por el método binomial

Opciones Reales: Valoración por el método binomial

© Juan Mascareñas

Universidad Complutense de Madrid

Primera versión: ene 1994 - Última versión: abril 2015

- Introducción, 1

- El método binomial para un período, 1

- El método binomial para dos periodos, 6

- El modelo binomial para varios períodos, 9

- De la binomial a la distribución normal logarítmica, 10

- La valoración de las opciones de venta, 12

- Utilizando el modelo binomial en la práctica, 15

- Valoración de opciones mediante la simulación, 16



1

1.#1. # INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN ## !!De!entre!los!métodos!de!valoración!de!opciones!reales!existentes,!el!binomial!es!el!más!in6tuitivo!y!el!que!utiliza!unos!cálculos!matemáticos!más!sencillos.!Esto!es!importante!porque!la!aplicabilidad!de! las!opciones!reales!descansa!fundamentalmente!en!que! los!directivos!y!empresarios!entiendan!perfectamente!cómo!el!método!obtiene!el!valor!para!poder!así!con6fiar!en!sus!resultados.!!!Existen!otros!métodos!basados!en!formulación!matemática!en!tiempo!continuo,!probable6mente!mucho!más!elegantes!y!precisos,!pero!cuya!comprensión!implica!unos!conocimientos!matemáticos!de! la!que!carecen! la!gran!mayoría!de! los!directivos,!quienes! los! contemplan!como!una!“caja!negra”!de!la!que!no!entienden!nada!salvo!la!cifra!arrojada!como!resultado!del!cálculo,!cifra!que!evidentemente!no!se!creerán!al!no!entender!el!proceso!por!el!que!se!ha!obtenido.!!Cox,! Ross! y! Rubinstein1! desarrollaron! este!método!de! valoración!de!opciones! financieras,!que!realiza!sus!cálculos!en!tiempo!discreto,!con!la!vista!puesta!en!la!valoración!de!opciones!sobre!acciones!pero!que,!sin!embargo,!es!perfecto!para!valorar!opciones!reales.!Para!ver!có6mo!funciona!nada!mejor!que!comenzar!valorando!una!opción!de!compra!sobre!una!acción!que!no!reparte!dividendos!y!cuyo!plazo!es!un!año.!!!!

2.#EL#MÉTODO#BINOMIA2.#EL#MÉTODO#BINOMIAL#PARA#UN#PERÍODOL#PARA#UN#PERÍODO ##!El!valor!de!la!acción!del!Banco!Santander!en!el!momento!de!escribir!estas!líneas!es!de!8!€!y!los!inversores!piensan!que!dentro!de!un!año!puede!alcanzar!un!valor!de!12,05!€!o!uno!de!5,31!€.!Por!supuesto,!usted!pensará,!al!menos,!dos!cosas:!¿Por!qué!no!puede!tomar!más!va6lores!dentro!de!un!año?!y,!de!tomar!sólo!dos,!¿por!qué!precisamente!esos!dos?.!La!respues6ta!a! la!primera!pregunta!viene!dada!por!el!nombre!del!método!de!valoración:!binomial,! la!sílaba!“bi”! implica!que!en!el!periodo!de!tiempo!siguiente!(un!año!en!nuestro!caso)!sólo!se!pueden!tomar!dos!valores;!esto!no!es!un!problema!como!veremos!más!adelante!así!que!de!momento!“sígame!el!juego”.!La!respuesta!a!la!segunda!pregunta!viene!dada!por!la!volatili6dad!de!la!acción!del!Santander!en!el!mercado!de!valores!(un!41%)!algo!que!también!dejare6mos!para!más!adelante.!Otra!cosa!interesante!es!que!la!probabilidad!de!que!ocurra!un!re6sultado!(12,05!€)!o!el!otro!(5,31!€)!no!importa,!sólo!interesa!el!rango!de!resultados!posibles.!!!Bien!pasemos!ahora!a!calcular!el!valor!que!tendría!hoy!mismo!una!opción!de!compra!de!tipo!europeo! (sólo!se!puede!ejercer!en!la!fecha!de!su!vencimiento,!es!decir,!dentro!de!un!año)!

1 Cox,!J.,!Ross,!S.,!y!Rubinstein,M.!(1979):!"Options!pricing:!a!simplified!approach".!Journal-of-Financial-Economics.!nº!7.!Págs.:!2296263



2

sobre!la!acción!del!Santander!descrita!en!el!párrafo!anterior!y!que!posee!un!precio!de!ejerci6cio!de!8!€.! Su!valor!actual! 6que!es!el!que!pretendemos!hallar6!es!de!c! €,!mientras!que!su!valor!intrínseco!en!la!fecha!de!vencimiento!dentro!de!un!año!será!(figura!1):!!!

a)!cu!=!4,05!€,!si!la!acción!se!sitúa!en!12,05!€!(es!el!máximo!valor!entre!12,05!6!8!y!0)!b)!cd!=!0!€!si!la!cotización!de!la!acción!desciende!a!5,31!€!(máximo!valor!entre!5,31!6!8!

y!0).!!!

!Fig.!1!Precios!de!la!acción!ordinaria!y!valores!de!su!opción!de!compra!

!Una! forma!de!valorar!un!activo! financiero! (una!opción!en!nuestro!caso)!consiste!en!saber!cuánto!vale!otro!activo!financiero!o!una!combinación!de!activos!financieros,!al!que!se!deno6mina!activo!“gemelo”,!que!genere!exactamente!los!mismos!flujos!de!caja!que!el!activo!a!va6lorar.!Este!método!lo!vamos!a!utilizar!para!valorar!la!opción!de!compra!sobre!la!acción!del!Santander.!La!cartera!que!vamos!a!utilizar!como!comparación!(también!conocida!como!car3tera-réplica,!porque!replica!los!flujos!de!caja!del!activo!a!valorar)!se!compone!de!H!acciones!del!Santander!y!de!un!préstamo!que!hemos!contraído!por!B!€!a!un!tipo!de!interés!sin!riesgo!(rf)!–!no!tiene!riesgo!porque!en!todo!momento!habrá!dinero!para!devolver!el!préstamo!co6mo!veremos!enseguida6.!Por!tanto,!dentro!de!un!período!anual! los!flujos!de!caja!de!dicha!cartera!pueden!tomar!los!dos!valores!siguientes:!!! Si!Su!=!12,05!€!→!12,05!H!6!(1!+!rf)!B!=!4,05!€!! Si!Sd!=!!!5,31!€!→!!!5,31!H!6!(1!+!rf)!B!=!0!€!!es!decir,!en!el!caso!de!que!la!acción!alcance!los!12,05!€!el!valor!de!la!cartera!será!de!H!ac6ciones!a!12,05!€!cada!una!(12,05!H)!menos!la!devolución!del!préstamo!con!sus!intereses!(B!+!B! rf)! todo! lo! cual! es! igual! a! 4,05! €.! De! forma! semejante! se! explica! la! segunda! ecuación.!Restando!ambas!ecuaciones!obtendremos!el!número!(H)!de!acciones!del!Santander!que!se!deben!comprar!para!constituir!la!cartera:!!! 6,74!H!=!4,05!→!H!=!4,05/6,74!=!0,6009!acciones!!Si!el!tipo!de!interés!sin!riesgo!rf!es!igual!al!3%!anual!podemos!detraer!el!valor!de!B!en!cual6quiera!de!las!dos!ecuaciones!anteriores:!3,098!€.!Obsérvese!como!siempre!hay!dinero!para!



3

pagar!el!préstamo!más!sus!intereses!(si!el!valor!de!la!acción!fuese!inferior!a!5,31!€!el!valor!de!B!también!sería!inferior!a!3,098!€!de!tal!manera!que!siempre!habría!dinero!para!pagar!el!servicio!de!la!deuda).!Luego!el!valor!de!la!opción!de!compra,!c,!en!la!actualidad,!será!igual!al!valor!actual!de!la!cartera!formada!por!H!acciones!(8!€/acc!x!0,6009!accs)!menos!una!deuda!de!B!euros,!es!decir:!!! c!=!S!H!–!B!=!8!x!0,6009!–!3,098!=!1,7092#€!!Antes!de!continuar,!observe!que!la!combinación!formada!por!H!acciones!del!Santander!y!la!venta!de!una!única!opción!de!compra!proporciona!el!mismo!resultado!dentro!de!un!año!sea!cual!sea!el!valor!futuro!de!la!acción!del!banco:!!! Si!Su!=!12,05!€!→!12,05!x!0,6009!–!4,05!=!3,191!€!! Si!Sd!=!!!5,31!€!→!!!5,31!x!0,6009!–!0!=!3,191!€!!es!decir,!no!hay!riesgo,!otro!motivo!más!para!utilizar!el!tipo!de!interés!sin!riesgo!(rf).!Fíjese!que!si!descuenta!al!3%!de!interés!3,191!obtiene!un!valor!de!3,098!€!que!es!el!valor!del!prin6cipal!de!la!deuda.!!2.1#El#arbitraje#entra#en#acción#Imagine!que!en!el!mercado!de!productos!financieros!derivados!el!valor!de!la!opción!de!com6pra!anterior!es!de!¡2,5!€!!y!usted!está!seguro!de!que!el!valor!intrínseco!es!más!bajo:!1,7092!€,!¿qué!puede!hacer!para!aprovecharse!de!la!discrepancia!en!la!valoración!entre!el!mercado!y!usted?.!!Pues!vendería!una!opción!de!compra! 6! recibiendo!a!cambio!2,5€! 6!y!compraría!0,6009!ac6ciones!del!Santander.!Su!cartera!tendría!hoy!un!valor!igual!a:!!

0,6009!x!8€!6!2,5€!=!2,3072!€!!y!no!de!3,098!€!como!debería;!sin!embargo!dentro!de!un!año!su!cartera!valdría!3,191!€!(fí6jese!que!el!valor!futuro!depende!del!valor!intrínseco!de!la!opción!en!ese!momento,!no!de!su!valor!actual),!es!decir,!habría!obtenido!un!rendimiento!anual!igual!a:!!!

3,191/2,3072!–!1!=!38,31%!(VAN!=!62,3072!+!3,191/1,03!=!0,7909€)!!en!lugar!del!3%!que!debería!haber!obtenido.!Así!que!en!lugar!de!vender!una!única!opción!podría!vender!bastantes!miles!¿no?.!Con!esto!impulsaría!a!la!baja!el!valor!de!las!opciones!de!compra!hasta!que!se!situase!su!valor!en!1,7092!€.!Pero,!mientras!tanto,!usted!se!habría!em6bolsado!un!buen!dinero!sin!ningún!riesgo;!a!esto!es!a!lo!que!los!financieros!denominamos!una!“comida!gratis”!(free-lunch!en!inglés)!y!es!lo!que!hacen!los!arbitrajistas,!es!decir,!aque6



4

llos!que!se!aprovechan!de!las!discrepancias!entre!los!valores!de!dos!activos!idénticos:!com6pran!el!barato!y!simultáneamente!venden!el!caro!hasta!que!los!precios!de!ambos!se!igualen.!!Y!¿si!el!precio!actual!de!la!opción!de!compra!fuese!de!1!€?:!Pues!la!adquiriríamos!y!vende6ríamos!H!acciones!del!Santander.!Así!que!el!flujo!de!caja!actual!de!la!cartera!sería:!!

6!1!€!+!8!x!0,6009!=!3,8072!€!!es!decir,! recibiríamos!un!total!de!3,8072!€!y!dentro!de!un!año!deberíamos!pagar!3,191!€,!sea!cual!sea!el!valor!de!la!acción!del!Santander!en!ese!instante.!Así!que!ganamos,!a!valor!ac6tual:!!

VAN!=!3,8072!–!3,191/1,03!=!0,71!€!!A! la! vista!de!este!beneficio! sin! riesgo!compraremos!un!montón!de!opciones!de!compra!y!venderemos! simultáneamente!acciones!del! Santander!hasta!que!el! valor!de!aquellas! (que!ascenderán!debido!a!la!presión!de!la!demanda)!se!iguale!a!1,7092!€!momento!en!el!que!ya!no!habrá!ningún!beneficio!que!obtener!y!dejaremos!de!comprar!opciones!y!vender!accio6nes.!!2.2#El#modelo#general#Si!ahora!queremos!obtener!el!valor!de!la!opción!de!compra!mediante!una!expresión!mate6mática!general,!lo!primero!que!haremos!será!reproducir!el!valor!intrínseco!de!la!opción!de!compra!dentro!de!un!período!e!igualarlo!a!los!flujos!de!caja!de!la!cartera-réplica:!!! cu!=!Su!H!6!(1!+!rf)!B!! cd!=!Sd!H!6!(1!+!rf)!B!!donde!S!es!el!precio!actual!de!la!acción!subyacente!(la!del!Santander!en!nuestro!ejemplo),!Su!será!el!precio!de!la!acción!dentro!de!un!período!si!es!alcista,!pues!si!fuese!bajista!se!le!de6nominaría!Sd!(donde!u!y!d!son!los!coeficientes!por!los!que!hay!que!multiplicar!S!para!obte6ner!el!precio!de!la!acción!al!final!del!período!–en!nuestro!ejemplo!u!=!1,5063!y!d!=!0,6646).!Por!otra!parte,!el!precio!de!la!opción!de!compra!en!la!actualidad!sería!c,!siendo!cu!y!cd,!res6pectivamente,!para!los!casos!en!que!el!precio!de!la!acción!haya!ascendido!o!haya!bajado.!Si!ahora!restamos!una!ecuación!de!la!otra!y!despejamos!el!valor!de!H,!obtendremos!el!valor!del!denominado!ratio-de-cobertura:!!

!!

€

H! = !cu! % !cdS!(u! % !d)

!

!El!siguiente!paso,!será!despejar!B!en!una!de!las!ecuaciones!anteriores:!!



5

! cu!=!Su!H!–!B!(1+rf)!!!B!=!(Su!H!–!cu!)!/!(1!+!rf)!!y!sustituir!su!valor!en!la!ecuación!c!=!S!H!–!B!!# c!=!S!H!6!(Su!H!6!cu!)!/!(1!+!rf)!# c!(1!+!rf)!=!S!H!+!S!H!rf!6!Su!H!+!cu!!# c!(1!+!rf)!=!S!H!(1!+!rf!6!u)!+!cu!!!sustituyendo!ahora!H!por!su!valor!y!eliminando!S!del!denominador!y!del!numerador:!!

!!! c!(1!+!rf)!=!S!!!

€

cu! $ !cdS!(u! $ !d)

(1!+!rf!6!u)!+!cu!=!

€

cu - cd

u - d(1!+!rf!6!u)!+!cu!!

!Ahora,!haciendo!un!alto!en!nuestra!demostración,!vamos!a!denominar:!!

! a)!p!=!!!!

€

1! + !rf ! % !du! % !d

!

! b)!16!p!=!!!!

€

u! # !(1! + !rf)u! # !d

!

!Estos!valores!representan!la!probabilidad!implícita!de!ascenso!(p)!y!de!descenso!(16p)!del!va6lor!de!la!acción!subyacente.!Así,!por!ejemplo,!si!sustituimos!en!la!ecuación!de!p!las!variables!por!los!datos!del!ejemplo!con!el!que!venimos!trabajando!obtendremos!dichas!probabilida6des:!!! p!=!(1!+!0,03!6!0,664)!÷!(1,5063!6!0,664)!=!43,46%!de!que!ascienda!! 16p!=!56,54%!de!que!descienda!!Por!tanto,!si!ahora!retomamos!nuestra!demostración!y!sustituimos!parte!de!la!ecuación!an6terior!por!el!valor!de!16p,!obtendremos:!!

c!(1!+!rf)!=!!!

€

cu! $ !cdu! $ !d

(1!+!rf!6!u)!+!cu!=!(cu!6!cd)!(p61)!+!cu!

!ahora!despejando!c,!obtendremos!la!expresión!que!calcula!el!valor!de!la!opción!de!compra!según!el!método!binomial!que,!como!se!puede!apreciar,!consiste!en!calcular!la!media!pon6derada!de!los!flujos!de!caja!proporcionados!por! la!opción!de!compra!tanto!si!el!precio!del!activo!subyacente!asciende!como!si!desciende,!y!utilizando!como!ponderaciones!las!proba6bilidades!implícitas!de!que!dicho!precio!del!activo!suba!o!caiga.!Y!todo!ello!actualizado!al!ti6po!libre!de!riesgo:!!

c!(1!+!rf)!=!cu!p!6!cu!6!cd!p!+!cd!+!cu!=!cu!p!+!cd!(16p)!!



6

!!

€

c! = !cu!p! + !cd!(1 ( p)

1! + !rf!

!!Concretando,!el!precio!teórico!de! la!opción!de!compra!es! igual!al!valor!actual!de! la!media!ponderada!de! los! flujos!de! caja!que!proporciona.!Para!demostrar!que!ésta!es! la!ecuación!que!buscamos!sustituiremos!las!variables!por!sus!valores2:!!! c!=!(4,05!x!0,4346!+!0!x!0,5654)!÷!(1,03)!=!1,709!€!!A!p!y!1Lp!se!las!conoce!como!“probabilidades!neutrales!al!riesgo”!(de!ascenso!y!de!descen6so)!porque!parecen!probabilidades!pero!no!lo!son.!Realmente!son!los!precios!tiempo6estado!de!los!dos!posibles!estados!(ascenso6descenso)!multiplicados!por!1+rf.!El!nombre!por!el!que!son!conocidas:!probabilidad-neutral-al-riesgo!viene!dado!porque:!!!

a)!ambas!suman!la!unidad,!como!las!probabilidades!subjetivas!b)!ambas!son!positivas,!como!las!probabilidades!subjetivas!c)!cuando!se!utilizan!para!estimar!el!rendimiento!esperado!de!un!activo!con!riesgo!hacen!

que!la!prima!de!riesgo!desaparezca!(son!una!especie!de!equivalentes-de-certeza!de!los!flujos!de!caja!inciertos)3.!

!!!3.#EL#MÉTODO#BINOMIAL#PARA#DOS#PERÍODOS#!Con!objeto!de!obtener!el!valor!de!la!opción!de!compra!europea!para!varios!períodos,!prime6ramente!vamos!a!aplicar!el!método!binomial!para!un!par!de!ellos.!Y!vamos!a!hacerlo!utili6zando! los!datos!del! ejemplo! anterior!de! tal!manera!que! vamos!a! volver! a! calcularlo!pero!subdividiéndolo!en!dos!periodos!semestrales.!Para!ello!debemos!readaptar!los!datos!de!los!que!disponemos!para!poder!mantener!la!volatilidad!anual!del!41%!a!través!de!dos!periodos!semestrales! de! tal!manera! que! la! volatilidad! semestral! equivalente4! será! del! 29%! lo! que!implica!un!coeficiente!u!semestral!igual!a!1,3363!y!una!d!semestral!de!0,7483.!En!cuanto!al!tipo!de!interés!sin!riesgo!semestral!pasa!a!ser!ahora!igual!a!(1,03)1/2!–!1!=!1,49%.!!!Resumiendo!los!datos!básicos!del!ejemplo!van!a!ser:!!! 6!Precio!actual!de!la!acción!Santander!=!8!€!! 6!Precio!de!ejercicio!de!la!opción!de!compra!=!8!€!! 6!Tiempo:!2!semestres!! 6!Tipo!de!interés!sin!riesgo:!1,49%!semestral!

2 La!mínima!discrepancia!en!la!cuarta!cifra!decimal!se!debe!a!los!errores!de!redondeo.!3 Véase!Shockley,!Richard!(2007)!pág.!193.!4 Más!adelante,!en!el!epígrafe!quinto,!veremos!el!porqué!de!ese!valor!y!el!de!los!coeficientes!semestrales!u!y!d.



7

! 6!Coeficiente!de!ascenso!u!=!1,3363!! 6!Coeficiente!de!descenso!d!=!0,7483!!El!primer!paso!es!dibujar!el!árbol!binomial!de!la!evolución!del!precio!de!la!acción!del!Santan6der!a!lo!largo!de!los!dos!próximos!semestres,!árbol!que!aparece!en!la!figura!2.!Para!ello!mul6tiplicamos!por!u!y!por!d!el!valor!actual!de!los!8!€!lo!que!nos!permite!obtener!los!dos!precios!que!la!acción!puede!tomar!al!final!del!primer!semestre:!10,69!€!y!5,987!€.!Ahora!repitiendo!la!operación!para!cada!uno!de!estos!dos!precios!del!primer!semestre!obtendremos!los!tres!precios!(realmente!son!cuatro!pero!dos!coinciden)!del!final!del!segundo!semestre:!14,286!€,!8!€!y!4,48!€.!!El!paso!siguiente!es!calcular!el!valor! intrínseco!de! la!opción!de!compra!al! final!del!año!te6niendo!en!cuenta!los!tres!precios!posibles:!!! Cuu!=!Máx![14,286!6!8!;!0]!=!6,286!€!! Cud!=!Máx![8!6!8!;!0!]!=!0!€!! Cdd!=!Máx![4,48!6!8!;!0]!=!0!€!!

!Fig.!2!Evolución!semestral!del!valor!de!la!acción!del!Santander!

!En!la!figura!3!se!observan!los!tres!valores!intrínsecos!anteriores.!Así!que!ahora!se!trata!de!ir!calculando!hacia!la!izquierda!del!árbol!binomial!los!valores!intermedios!de!la!opción!de!com6pra.!Para!ello!utilizaremos!las!probabilidades!neutrales!al!riesgo.!!

!Fig.!3!Valores!intrínsecos!de!la!opción!de!compra!al!final!del!año!

!La!probabilidad!de!ascenso!p!es!igual!a:!



8

!

! p!= !!

€

1! + !rf ! % !du! % !d

=1,0149 − 0,74831,3363 − 0,7483

=!45,33%!

!Ahora!podemos!calcular!cu!y!cd!(véase!la!figura!4):!!

! cu!=!

€

cuu p + cud (1 -p)1 + rf

= 6,286 x 0,4533 + 0 x (1 - 0,4533)1,0149

=!2,808!€!

!

! cd!=!

€

cud p + cdd (1 -p)1 + rf

= 0 x 0,4533 + 0 x (1 - 0,4533)1,0149

=!0!€!

!

!Fig.!4!Valores!intrínsecos!de!la!opción!de!compra!al!final!del!año!y!valores!de!la!opción!al!final!del!primer!

semestre.!

!Por!último,!calculamos!el!valor!de!c:!!

! c!=!

€

cu p + cd (1 -p)1 + rf

= 2,808 x 0,4533 + 0 x (1 - 0,4533)1,0149

=!1,254!€!

!

!Fig.!5!Evolución!de!los!valores!teóricos!de!la!opción!de!compra!

!Este!valor!de!la!opción!de!compra!sobre!la!acción!del!Santander!es!diferente!del!calculado!anteriormente.!De!hecho!si!dividimos!el!año!en!tres!cuatrimestres!el!valor!de!la!opción!será!de!1,51!€,!si!lo!subdividimos!en!cuatro!trimestres!el!valor!de!la!opción!será!de!1,32!€,!si!lo!subdividimos!en!cinco!periodos!el!valor!es!de!1,46!€!y!así!sucesivamente!el!valor!se!irá!apro6ximando!a!1,40!€!que!es!el!valor!real!de!la!opción!de!compra!(véase!la!figura!6).!



9

!

Fig.!6!Evolución!del!valor!de!la!opción!de!compra!según!las!iteraciones!del!modelo!binomial!

!Conforme!vayamos!aumentando!el!número!de!subperíodos!y,!por!consiguiente,!reduciendo!el! tiempo!de! los!mismos!pasaremos!de!considerar!el! tiempo!como!una!variable!discreta!a!considerarlo!una!variable!continua.!En!realidad,!para!unos!resultados!válidos!el!tiempo!has6ta! el! vencimiento! (un! año!en!nuestro! ejemplo)! debería! ser! dividido! al!menos! en!unos! 50!subperíodos.!!!!4.#EL#MODELO#BINOMIAL#PARA#VARIOS#PERÍODOS#!No!es!mi!intención!explicar!la!matemática!que!aplicada!a!una!serie!de!períodos!(basada!en!el!triángulo!de!Pascal!y!en!la!combinatoria)!proporciona!la!expresión!de!la!binomial!para!la!valoración!de!las!opciones!de!tipo!europeo.!Como!curiosidad!mostraremos!la!expresión!de!la!misma:!!

!!

€

c! = !1

(1! + !rf )n !

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& ' !pk!(1 * p)n*k !máx! Sukdn*k! * !X( )!, !0}{

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k=0

n

∑ !

!Casi!todas!las!variables!ya!son!conocidas!a!excepción!de!"n"!que!indica!el!número!de!pasos!o!iteraciones!en!los!que!se!descompone!el!proceso!binomial.!En!resumen,!la!expresión!consi6dera!que!la!opción!vale!simplemente!el!valor!actual!de!los!flujos!de!caja!esperados!a!lo!largo!de!un!árbol!binomial!con!n!pasos,!cuyos!principales!supuestos!básicos!son:!!

1º.!La!distribución!de!los!precios!de!las!acciones!es!una!binomial!multiplicativa.!2º.!Los!multiplicadores!u!y!d! (y,!por!ende,! las!varianzas!de! los!rendimientos)!son! los!

mismos!en!todos!los!períodos.!



10

3º.!No!hay! costes!de! transacción,!por! lo!que! se!puede!establecer!una! cobertura! sin!riesgo!para!cada!período!entre!la!opción!y!el!activo!sin!necesidad!de!realizar!ningún!coste!irrecuperable.!

4º.!Los!tipos!de!interés!sin!riesgo!se!suponen!constantes.!!Es!importante!recalcar!que!no!es!necesario!asumir!que!los!inversores!tengan!una!determi6nada!actitud!hacia!el!riesgo,!de!hecho!el!modelo!supone!una!neutralidad!ante!el!riesgo!por6que!se!puede!construir!una!cartera!de!arbitraje!que!elimina!totalmente!el!riesgo!de!la!inver6sión.!Si!el!valor!de!la!opción!no!coincide!con!éste,!entonces!se!puede!conseguir!un!beneficio!sin!riesgo.!!!!5.#DE#LA#BINOMIAL#A#LA#DISTRIBUCIÓN#NORMAL#LOGARÍTMICA#!En!el!proceso!de!cálculo!multiplicativo!del!modelo!binomial!podríamos!suponer!que!el!fac6tor!de!descenso!d!es!igual!a!la!inversa!del!factor!de!ascenso!u,!lo!que!provocaría!que!los!ren6dimientos! del! activo! serían! simétricos.! Ahora! bien,! téngase! en! cuenta! que! para! que! esto!suceda!deberemos!medir!dicho! rendimiento!a! través!del! logaritmo!de! la! relación!entre!el!precio!en!un!momento!determinado!(St)!y!el!del!momento!precedente!(St61).!Esto!es!así,!de6bido!a!que!si,!por!ejemplo,!el!precio!de!una!acción!durante!tres!instantes!de!tiempo!conse6cutivos!vale!10,!12!y!10!euros,!respectivamente,!sus!rendimientos!serán!del!20%!(es!decir,!2÷10)!y!del!616,66%!(es!decir,!62÷12),!como!se!observa!el!valor!absoluto!de!ambas!cantida6des!no!es!simétrico!aunque!el!ascenso!y!descenso!sea!el!mismo!en!euros,!lo!que!cambia!es!la!base!sobre!la!que!se!calcula!dicha!variación.!Sin!embargo,!si!aplicamos!el!cálculo!logarít6mico!obtendremos!unos!rendimientos!de:!Ln(12÷10)!=!18,23%!y!Ln(10÷12)!=!618,23%,!lo!que!sí!los!hace!simétricos.!Por!lo!tanto,!los!precios!que!se!distribuyen!según!una!normal!logarít6mica! tendrán!unos! rendimientos!distribuidos!normalmente,!que!serán!calculados!según! la!expresión:!!

rt!=!Ln!(St!÷!St61)!!

!Fig.!7!Árbol!binomial!de!seis!períodos!y!distribución!de!los!precios!



11

!!En!la!figura!7!se!muestra!un!ejemplo!de!un!árbol!binomial!donde!los!coeficientes!de!ascenso!y!descenso!son,!respectivamente,!u!=!1,1822!y!d!=!1/u!=!0,8459,!que!se!extiende!a!lo!largo!de!seis!períodos!y!que!comienza!con!un!valor!de!la!acción!de!8!euros.!La!amplitud!de!un!ár6bol!binomial!dependerá!del!tamaño!de!u!y!del!número!de!pasos!en!los!que!se!descompone.!El!supuesto!equivalente!para!un!activo!cuyos!rendimientos!se!distribuyen!según!una!normal,!es!que!la!varianza!de!los!rendimientos!es!constante!en!cada!período.!Así,!si!la!varianza!del!período!es!σ2,!la!varianza!para!t!años!será!σ2t.!Mientras!que!la!desviación!típica!será!σ√t!a!la!que!se!le!suele!denominar!volatilidad!del!activo.!!Si!σ!es! la!desviación! típica!de! los! rendimientos!por!período,! t!el!número!de!años!hasta!el!vencimiento!y!n!el!número!de!períodos!en!los!que!se!subdivide!t,!el!proceso!binomial!para!el!activo!proporciona!unos!rendimientos!normalmente!distribuidos!en!el!límite!si:!!

u!=! !y!!!!d!=!1/u!=!! !!Así,!por!ejemplo,!si!S!=!8!€;!σ!=!0,41;!t!=!1!años;!rf!=!3%!y!n!=!10!iteraciones!(cada!subperíodo!es!igual!a!1/10!años):!!

u!=!!!

€

e0,41 1/10!=!1,1384!!!!y!!!!d!=!1/u!=!0,8784!

!además,!según!las!ecuaciones!que!vimos!en!el!segundo!epígrafe!obtendremos!unos!valores!de! las!probabilidades!neutrales!al! riesgo! iguales!a! (el! tipo!de! interés!sin!riesgo!anual!es!el!3%):!!! p!=![(1!+!(0,03/10))!–!0,8784]!/!(1,1384!–!0,8784)!=!47,923%!! 16p!=!52,077%!!Si!ahora!vuelve!a!ver!el!comienzo!del!epígrafe!tercero!verá!que!la!volatilidad!anual!del!San6tander!era!del!41%!anual!y!que!si!queremos!saber!la!volatilidad!equivalente!semestral!para!poder!iterar!un!par!de!veces!sin!alterar!la!volatilidad!anual!deberemos!realizar!el!cálculo!si6guiente!!!! σsem!=!41%!x!(1/2)

1/2!=!29%!!Es! decir,! la! desviación! típica! semestral! será! igual! a! la! anual! (41%)!multiplicada!por! la! raíz!cuadrada!de!la!unidad!dividida!por!el!número!de!semestres!que!hay!en!un!año!(2).!El!coefi6ciente!de!ascenso!será!entonces!e0,29!=!1,3363!y!d!=!1/u!=!0,7383.!!Las! distribuciones! normal6logarítmicas! de! los! precios! tienen! una! forma! semejante! a! una!campana!asimétrica!y!podemos!pensar!que!conforme!el!tiempo!va!transcurriendo!la!distri6



12

bución!se!va!ampliando,!lo!mismo!que!le!ocurre!al!árbol!binomial.!Como!se!aprecia!en!la!fi6gura!8!en!la!que!se!muestra!una!opción!de!compra!fuera-de-dinero,!comenzando!en!el!mo6mento!cero!cuando!el!precio!de!la!acción!subyacente!es!S,!conforme!el!tiempo!pasa!la!distri6bución!se!amplia!hasta!que!una!parte!de!ella!supera,!o!no,!al!precio!de!ejercicio!(X)!en!la!fe6cha!de!vencimiento.!En!dicha!fecha,!los!flujos!de!caja!de!la!opción!se!representan!por!la!zo6na!sombreada!que!se!encuentra!por!encima!de!X.!El!valor!actual!de!la!opción!de!compra!se6gún!el!método!de!Black!y!Scholes!es!sencillamente!el!valor!actual!de!dicho!área.!!

!Fig.8!El!valor!de!la!opción!aumenta!conforme!la!distribución!del!precio!aumenta!al!transcurrir!el!tiempo!

!!!6.#LA#VALORACIÓN#DE#LAS#OPCIONES#DE#VENTA#!En!este!epígrafe!vamos!a!valorar!una!opción!de!venta!(put-option)!teniendo!en!cuenta!que!no!puede!ejercerse!anticipadamente,!si! se! trata!de!una!de!tipo!europeo.!En! la! figura!9!se!muestra!el!esquema!de!los!posibles!movimientos!del!precio!de!la!acción!y!del!valor!intrínse6co!de!la!opción!de!venta!en!la!fecha!de!vencimiento!(para!un!precio!de!ejercicio!igual!a!8!€).!!!

Fig.9!Precios!de!la!acción!y!valores!de!la!opción!de!venta!

Para!calcular!el!valor!de!la!opción!de!venta!en!el!momento!actual!actuaremos!de!la!misma!manera!que!en!el!caso!de!la!opción!de!compra.!Supondremos,!inicialmente,!que!actualmen6



13

te!disponemos!de!una!cartera!formada!por!H!acciones!y!una!deuda!de!B!euros!contraída!al!tipo!de! interés! sin! riesgo! (rf).!Después!de!un!período!de! tiempo!el! valor!de!dicha! cartera!coincide!con!el!valor!intrínseco!de!la!opción!de!venta!en!dicho!momento:!!

Si!S!=!12,05!€!!!12,05!H!6!(1!+!rf)!B!=!0!€!Si!S!=!!!5,31!€!!!!!5,31!H!6!(1!+!rf)!B!=!2,69!€!

restando!ambas!ecuaciones!obtendremos!el!valor!del!número!de!acciones!ordinarias!a!com6prar!(H):!!

6,74!H!=!62,69!!!H!=!60,4!!si!el!tipo!sin!riesgo!rf!es!igual!al!3%!podemos!detraer!el!valor!de!B!en!cualquiera!de!las!dos!ecuaciones!anteriores:!64,68.!Como!se!ha!podido!observar!la!cartera!está!realmente!forma6da!por!la!venta!de!H!acciones!(H!<!0)!más!una!inversión!de!B!euros!al!tipo!de!interés!sin!ries6go.!Luego!el!valor!de!la!opción!de!venta,!p,!en!la!actualidad,!será!igual!al!valor!actual!de!la!cartera!formada!por!la!venta!de!0,4!acciones!más!la!inversión!de!4,68!€,!es!decir:!!

4,68!–!0,4!x!8!=!1,48!€.!!La!formulación!general!de!este!cálculo!es!idéntico!al!de!las!opciones!de!compra.!Así,!el!ratio!de!cobertura!es!igual!a:!!

!!

€

H! = !pu! % !pd

S!(u! % !d) !

!mientras!que!el!valor!actual!de!la!opción!de!venta,!p,!será!igual!a:!!

!!

€

p! = !pu!p! + !pd!(1 ' p)

1! + !rf!

!donde!p!y!16p!tienen!los!mismo!valores!que!hallamos!en!el!epígrafe!2.2:!43,46%!y!56,54%!respectivamente.!Por!tanto,!la!opción!de!venta!tomará!un!valor!igual!a:!!!

p!=![(0!x!43,46%)!+!(2,69!x!56,54%)]!÷!1,03!=!1,4766!€!!Si!ahora!quisiéramos!comprobar!la!paridad!"put6call"!no!tendremos!más!que!sustituir!en!las!expresión5:!!!

p!=!c!6!S!+!VA(X)!=!1,709!6!8!+!(8!÷!1,03)!=!1,476!€!

5 El!error!en!la!cuarta!cifra!decimal!se!debe!al!redondeo.



14

!En!el!árbol!binomial!de!la!figura!10!se!muestra!el!valor!de!la!opción!de!venta!de!tipo!euro6peo!cuando!hay!dos!períodos!y!se!basa!en!que!la!evolución!del!precio!de!la!acción!es!la!mis6ma!que!vimos!en!la!figura!2;!también!se!mantienen!los!valores!de!la!probabilidad!neutral!al!riesgo!de!ascenso!p!=!45,33%!y!la!de!descenso!16p!=!54,67%.!El!cálculo!comienza!por!los!va6lores! intrínsecos!de! la!opción,!que!aparecen!a! la!derecha!del!árbol,!y!que!son!obtenidos!a!través!de!la!conocida!expresión!Máx{X6S,0},!luego!nos!moveremos!hacia!la!izquierda!calcu6lando!los!valores!de!las!opciones!de!venta!(pu!y!pd)!para!terminar!con!el!cálculo!de!la!opción!

de!venta!europea!hoy!(p!=!0,992).!Comprobamos!este!resultado!a!través!del!teorema!de!la!paridad!put6call:!!

p!!=!c!6!S!+!VA(X)!=!1,254!6!8!+!(8!÷!1,01492)!=!1,021!€!!

Fig.10!Distribución!de!los!valores!de!la!opción!de!venta!de!tipo!europeo!en!el!caso!de!dos!períodos!

Si!calculásemos!el!valor!de!la!opción!de!venta!americana!–la!que!se!puede!ejercer!en!cual6quier!momento6!el!resultado!cambiaría!puesto!que!pu!=!Max![8!6!10,69!;!0]!=!0!€!pero!pd!=!

Max[8!–!5,987!;!0]!=!2,023!€!6valor!preferible!a!1,896!€,!es!decir,!la!opción!de!venta!se!ejer6cería!al!final!del!semestre6!lo!que!proporciona!un!valor!de!P!=!1,09!€!(recuerde!ver!los!pre6cios!de!la!acción!en!la!figura!2).!Con!ello!se!comprueba!como!el!valor!de!la!opción!de!venta!americana!es!superior!al!valor!de!la!opción!de!venta!europea.!

!

!Fig.!11!Distribución!de!los!valores!de!la!opción!de!venta!de!tipo!americano!en!el!caso!de!dos!períodos!

!!!!



15

7.#UTILIZANDO#EL#MODELO#BINOMIAL#EN#LA#PRACTICA#!La!utilización!del!modelo!binomial!para!la!valoración!de!las!opciones!reales!sigue!una!serie!de!pasos.!!1º.-Se-estiman-las-variables-básicas-del-modelo:-

a)!El!valor-del-activo-real-subyacente!se!obtiene!calculando!el!valor!actual!de!los!flu6jos!de!caja,!que!el!proyecto!promete!generar!en!el!futuro,!descontados!a!una!ta6sa!ajustada!a!su!riesgo!sistemático.!

b)!El!valor!del!precio-de-ejercicio!viene!dado!por!el!coste!del!proyecto!de!inversión.!c)!El!tiempo! indica!el!periodo!de!tiempo!del!que!se!dispone!para!poder!ejercer! la!

opción.!d)!La!volatilidad,!viene!medida!por!la!desviación!típica!de!los!rendimientos!del!ac6

tivo!real!subyacente.!Es!la!variable!clave!a!estimar.!e)!El!tipo-de-interés-sin-riesgo!del!periodo!a!lo!largo!del!cual!la!opción!está!viva.!f)!Los!dividendos,!es!decir,! los! flujos!de!caja!que!genera!el!activo!subyacente!a! lo!

largo!de!la!vida!de!la!opción.!!2º.-Diseño-del-árbol-binomial-Seguidamente!se!calcula!el!valor!de!los!coeficientes!de!ascenso!6!u!6!y!de!descenso!6!d!6!con!objeto!de!ver!la!evolución!futura!del!valor!del!activo!subyacente!a!través!de!un!árbol!bino6mial.!Desde!el!punto!de!vista!didáctico!es!mejor!diseñar!un!árbol!binomial!como!el!visto!en!la!figura!2!pero!desde!el!punto!de!vista!práctico!de!cara!a!obtener!un!resultado!lo!más!exac6to!posible!hay!que!subdividir!el!periodo!en!el!que!la!opción!está!vigente!en!50!subperiodos!lo!que!implica!calcular!la!volatilidad!del!activo!subyacente!durante!ese!subperíodo:!!

σ!=!σanual!x!(1/50)(1/2).!

!

!Figura!12!Árbol!binomial!de!seis!periodos!de!1/6!de!año!

!Lo!mismo!habrá!que!hacer!con!el!tipo!de!interés!sin!riesgo:!rf/50.!Y!a!la!hora!de!diseñar!el!ár6bol!binomial!mediante!una!hoja!de!cálculo!lo!mejor!es!ponerlo!en!la!posición!que!aparece!en! la! figura! 12! donde! se!muestra! uno! de! los! cálculos! de! la! figura! 6! (6! subperiodos,!σ! =!16,74%,!rf!=!0,49%,!u!=!1,1822;!d!=!0,84587).!La!celda!que!está!inmediatamente!a!la!derecha!



16

de!un!valor!cualquiera!se!calcula!multiplicando!dicho!valor!por!u!y!la!que!está!debajo!de!és6ta!resulta!de!multiplicar!el!valor!anterior!por!d.!Así,!por!ejemplo,!8!x!u!=!9,46!y!8!x!d!=!6,77.!!3º-Obtención-del-valor-de-la-opción--El!tercer!paso!consiste!primero!de!calcular!el!valor!intrínseco!de!la!opción!en!el!último!perio6do.!Luego!calcular!el!valor!de!las!probabilidades!neutrales!al!riesgo!p!y!16p.!Y,!por!último,!ir6nos!trasladando!desde!derecha!hacia!izquierda!multiplicando!por!p!la!celda!de!la!derecha!y!por!16p!la!celda!que!está!debajo!de!la!de!la!derecha!y!al!resultado!se!le!actualiza!dividiéndo6le!por!1+rf.!Este!proceso!continua!hasta!llegar!al!extremo!izquierdo!del!árbol,!momento!en!el!que!habremos!calculado!el!valor!de!la!opción.!!En!la!figura!13!se!muestra!lo!que!acabamos!de!comentar.!En!la!columna!6!se!ha!calculado!el!valor!intrínseco!de!la!opción.!Luego!se!va!avanzando!hacia!la!izquierda.!Así,!en!la!columna!5!el!valor!10,51!surge!de!calcular!la!siguiente!operación!(p!=!47,29%):!

!10,51!=![(13,84!x!p)!+!(7,63!x!(16p))]!/!1,0049!

!

!Fig.!13!

!El!resultado!final!es!1,35!€.!!La!ventaja!de!esta!forma!de!diseñar!el!árbol!binomial!es!evidente!porque!permite!modificar6lo!según!el!problema!que!debamos!resolver!como,!por!ejemplo,!pagar!dividendos,!eliminar!diversas!ramas!que!no!tienen!sentido,!etc.,!algo!utilísimo!cuando!se!valoran!opciones!reales.!!

!!! 8.#VALORACIÓN#DE#OPCIONES#MEDIANTE#LA#SIMULACIÓN#

!El!método!de!simulación!de!Montecarlo6,!es!un!método!de!simulación!numérica!que!se!sue6le!utilizar!cuando,!en!el!caso!de!la!valoración!de!opciones,!no!existen!modelos!matemáticos!

6 Originalmente!debido!al!matemático!húngaro!John!Von!Neumann!cuando!trabajaba!en!el!Proyecto!Manhattan!(primera!bomba!atómica)!en! los!Alamos! (Nuevo!México)!con!objeto!de!simular! si! la! radiación!era!capaz!de!penetrar!planchas!de!plomo!de!diversos!tamaños.!La!forma!de!generar!números!aleatorios!recordaba!al!juego!de!la!ruleta!en!un!casino!lo!que!acabó!inspirando!su!nombre!en!honor!al!Casino!de!la!ciudad!mediterránea.



17

que!valoren!el!caso!específico!que!en!ese!momento!se!analice7,!como!puede!ocurrir!como!en!el!caso!de!algunas!opciones!exóticas8.!!El!método!de!Montecarlo!se!utiliza!para!simular!un!rango!muy!grande!de!procesos!estocás6ticos.!La!valoración!de! las!opciones!se!realiza!en!un!mundo!de!riesgo!neutral!en!el!que!se!descuenta!el!valor!de!la!opción!a!la!tasa!de!interés!libre!de!riesgo.!La!hipótesis!de!partida!del!modelo! es! que! el! logaritmo! natural! del! activo! subyacente! sigue! un! proceso! geométrico!browniano!(modelizado!según!los!procesos!de!Wiener!e!Ito),!de!forma!que!tendríamos:!

!

€

S + dS = S ⋅ exp µ - 1σ2

2$

% &

'

( ) dt + σ dz

*

+ ,

-

. / !

!donde!S-es!el!valor!del!activo!subyacente,!µ!es!la!tasa!de!retorno!esperada!del!activo!subya6cente9,!σ!es!la!volatilidad!del!activo!subyacente!y!dz-es!un!proceso!de!Wiener10!con!desvia6ción!típica!1!y!media!0.!!Para!simular!el!proceso,!debemos!transformar!la!ecuación!anterior!para!un!tiempo!discreto,!es! decir,! dividiremos! el! tiempo! en! intervalos!Δt,! de! forma! que! obtengamos! la! siguiente!ecuación:!

!

€

S + ΔS = S ⋅ exp µ - 1σ2

2%

& '

(

) * Δt + σ ε i Δt

,

- .

/

0 1 !

!-- - - - - - - - !donde!ΔS-es!la!variación!en!tiempo!discreto!para!S!en!el!intervalo!de!tiempo!elegido!Δt,!µ!es!la!tasa!de!retorno!esperada!del!activo!en!un!mundo!libre!de!riesgo,!σ!es!la!volatilidad!del!ac6tivo!subyacente-y!εt!es!un!número!aleatorio!que!se!distribuye!de!forma!normal!estándar11!N(0,1).!Realizando!miles!de!simulaciones!obtendríamos!un!conjunto!de!valores!para!St,!dis6tribuidas!como!aparece!en!la!figura!14.!

7 Esta!metodología!fue!introducida!por!Boyle!en!1977.! 8 Véase!Mascareñas,!Juan!(2013):!“Opciones!Exóticas”.!-Monografias-de-Juan-Mascareñas-sobre-Finanzas-Corporativas-45.!Disponible!en:!http://ssrn.com/abstract=2372613! 9 Si!S!es!el!precio!de!un!activo!subyacente!que!no!paga!dividendos, µ = r. Si!S!es!un!tipo!de!cambio, µ = r - rf 10 Véase!Mascareñas,!Juan!(2014):!“Procesos!estocásticos:!Procesos!de!Wiener!e!Ito”.-Monografias-de-Juan-Mascareñas-sobre-Finanzas-Corporativas-28.!Disponible!en:!http://ssrn.com/abstract=2316025!! 11 La!mayoría!de!los!programas!informáticos!incluyen!funciones!capaces!de!generar!números!aleatorios!que!se!distribuyen!de!forma!normal,!sin!embargo,!si!no!tenemos!esta!función!podremos!generar!números!aleatorios!de!una!distribución!nor6mal!estándar!de!la!siguiente!forma:!

! ! ! ! ! ! ! !donde!Zi!son!números!aleatorios!procedentes!de!una!función!Uniforme!(0,1).!Otro!método!para!generar!números!aleatorios!que!se!distribuyan!de!forma!N(0,1)!es!el!de!Box6Muller:!ε!=!62!ln(xi)!sen(2πx2)!donde!x1!y!x2!son!números!aleatorios!procedentes!de!una!distribución!Uniforme!(0,1).!



18

Fig.14!Aproximación!a!una!distribución!normal!estándar!con!2.000!números!distribuidos!uniformemente!(0,1)!

La!ecuación!anterior!para!un!salto! temporal!Δt! y!para!un!activo!que!no!pague!dividendos!tiene!la!siguiente!forma:!

!

€

St+1 = St ⋅ exp r - 1σ2

2$

% &

'

( ) Δt + σ ε t Δt

,

- .

/

0 1 !

!donde!St!es!el!precio!del!activo!subyacente,!r!es!el!tipo!de!interés!libre!de!riesgo,!σ!es!la!vo6latilidad!del!activo!subyacente,!ε!es!un!número!procedente!de!una!distribución!N(0,1)!y!Δt!es!el!vencimiento!de!la!opción!en!años!partido!del!número!de!periodos.!!Si!el!activo!subyacente!pagara!dividendos,!la!ecuación!sería:!

!

€

St+1 = St ⋅ exp r - q - 1σ2

2$

% &

'

( ) Δt + σ ε t Δt

,

- .

/

0 1 !

!donde!q!son!los!dividendos!del!activo!subyacente.!Por!ejemplo,!si!la!opción!tiene!un!venci6miento!de!un!año!y!el!número!de!períodos!elegido!es!de!50,!Δt!será!igual!a:!!

!!

€

Δt! = !Vencimiento!en!añosNúmero!de!períodos

! = !150

! = !0,02!

En!este!caso!cada!Δt!correspondería!aproximadamente!a!una!semana.!A!medida!que!el!Δt!es!más!pequeño!(menor!salto!temporal!entre!un!momento!y!otro)!más!precisa!es!la!simulación!(como! se! dijo! anteriormente! con! un! valor! de!Δt! =! 1/50! es! suficiente).! En! la! figura! 15! se!muestran!20!simulaciones!de!la!evolución!del!precio!de!una!acción!(S)!a!lo!largo!de!un!año!



19

en!50!pasos!(∆t!=!0,02);!los!valores!para!generar!dicha!evolución!son:!el!precio!inicial!es!8!€,!la!tasa!de!crecimiento!o!tendencia!(r)!es!del!3%!anual!y!la!volatilidad!del!41%!anual.!!

Fig.!15!

!El!número!de!simulaciones!dependerá!del!nivel!de!exactitud!que!queramos!obtener!con!el!modelo.!Normalmente!a!partir!de!10.000!simulaciones!los!resultados!obtenidos!son!fiables.!El!principal! inconveniente!de! la! simulación!es!el!elevado!coste!computacional,!es!decir,!el!tiempo!en!el!que!el!ordenador!ejecuta!la!simulación.!Siguiendo!con!nuestro!ejemplo,!hemos!repetido!la!simulación!100!veces!y!en!la!figura!16!izquierda!se!muestran!los!posibles!valores!de!la!acción!subyacente!al!final!del!año!mientras!que!en!la!figura!de!la!derecha!aparecen!los!correspondientes!valores! intrínsecos!de! la!opción!de!compra!en!esa!misma! fecha!para!un!precio!de!ejercicio!de!8!euros.!!

Fig.!16!

!Por!último,!calcularemos!el!valor!medio!de!todos!los!valores!intrínsecos!de!la!opción!a!fin!de!año!y!lo!descontaremos!al!tipo!de!interés!sin!riesgo!(el!3%!anual)!con!lo!que!obtendremos!el!valor!actual!de!la!opción!de!compra:!1,11!euros.!



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!A! veces!nos!encontramos! con! situaciones!en! las!que!debemos!generar! sendas! correlacio6nadas,! como!por!ejemplo!cuando!nos!enfrentamos!a! la!valoración!de!opciones! sobre!una!cesta!de!activos!o!frente!a!opciones!sobre!el!mejor!(o!el!peor)!de!dos!activos.!En!este!caso,!los!números!aleatorios!generados!deben!estar!correlacionados!según!el!coeficiente!de!co6rrelación!ρ!que!existe!entre!los!activos!subyacentes.!La!forma!de!generar!dos!sendas!de!nú6meros!aleatorios!correlacionados!es!la!siguiente:!

!ε1!=!xi!

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ε2 = !ρ!x1! + !x2! 1 & ρ2 !

!donde!x1!y!x2!son!vectores!de!números!aleatorios!que!se!distribuyen!de!forma!normal!están6dar,!y!ρ!es!el!coeficiente!de!correlación!entre!los!activos!subyacentes.!De!forma!que!ε2!es!un!vector!de!números!aleatorios!que!se!distribuyen!de!forma!normal!estándar!correlacionados!con!un!nivel!ρ!con!ε1.!

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Opciones Reales - Metodo Binomial

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