Opciones y Futuros Derivados

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Cobertura fuera de Balance Opciones sobre bonos Mercados e Instituciones Financieras Enero - Mayo 2013

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Opciones Futuros y Derivados

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Cobertura fuera de BalanceOpciones sobre bonos

Mercados e Instituciones FinancierasEnero - Mayo 2013

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Introducción Supongamos que un Banco posee un Bono con precio

P=$100 y teme un aumento en las tasas de interés. El Banco podría cubrirse con una posición corta en un

Forward sobre el mismo bono, con F=$100.

Si las tasas suben, y el Bono se deprecia a P=$90:• compra otro bono a $90, y al ejercer el Forward lo vende a $100• la ganancia de +$10 compensa perfectamente las pérdidas

Pero si las tasas bajan, y el Bono se aprecia a P=$110:• compra otro bono a $110, y al ejercer el Forward lo vende a $100• la pérdida de -$10 elimina completamente las ganancias• el Banco preferiría no ejercer el Forward, y ganar +$10 por el bono• pero el contrato Forward lo obliga a vender a $100, no tiene opción

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Contratos de Opciones Opción: sobre un activo financiero (activo subyacente) le

otorga al tenedor (posición larga) el derecho, más no la obligación, de comprar o vender, antes o en un día en particular, el activo a un precio determinado.

• Call: le otorga al tenedor el derecho de comprar el activo• Put: le otorga al tenedor el derecho de vender el activo.

Precio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el tenedor de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender (put) el subyacente

Fecha de expiración: en la que vence el contrato• Opción Europea: solo se puede ejercer en la fecha de expiración• Opción Americana: se puede ejercer en cualquier momento antes

de, e incluyendo, la fecha de expiración

Prima: valor de mercado del contrato (siempre mayor a cero)

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Definiciones Sea “S” es el precio de mercado del subyacente.

Dentro del Dinero (in-the-money): da al tenedor de la opción un flujo positivo en caso de ejercer la opción. • Call S > X , Put S < X

Fuera del Dinero (out-of-the-money): daría al tenedor un flujo negativo en caso de que ejerciera la opción.• Call S < X , Put S > X

En el Dinero (at-the-money): S = X

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Definiciones Precio de Ejercicio X: se escogen precios

cercanos a los valores spot. Por ejemplo si el precio de una acción es $100, los precios de ejercicio podrían ser $90, $95, $100, $105 y $110.

Valor Intrínseco: es el máximo entre cero y el valor de la opción en caso de que se ejerciera.

• Call max(St – X,0)

• Put max(X – St,0)

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Contratos de Opciones

Call PutPosición Larga Compra a X Vende a X(compra contrato) solo si ST > X

no ejerce la opción si ST ≤ Xsolo si ST < Xno ejerce la opción si ST ≥ X

(buyer) Valor = max(ST – X,0) Valor = max(X – ST,0)

– c (prima de la opción) – p (prima de la opción)

Posición Corta Vende a X Compra a X(vende contrato) solo si ST > X

(pierde, pero no tiene otra opción)solo si ST < X(pierde, pero no tiene otra opción)

(writer) Recibe c > 0 Recibe p > 0

Valor = c – max(ST – X,0) Valor = p – max(X – ST,0)

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Largo en Opción Call sobre Bonos Da el derecho (pero no la obligación) de comprar el bono

(subyacente) a un precio determinado X. El comprador deberá pagar una prima c, (flujo negativo

inmediato). Si el precio del subyacente es menor que el precio de

ejercicio, no se ejercerá la opción.

X A BPrecio

del Bono

Ganancia

Pérdida

0

π

Precio Call = - c

Se toma una posición larga en un call cuando se espera que las tasas de interés disminuyan.

• Si el precio se eleva a B, el comprador tendrá una ganancia de π = B – X – c

• Si el precio es igual a A, el comprador compensa el precio del call c teniendo ganancia igual a cero: A – X = c

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Largo en Opción Call sobre Bonos

Mientras más decrezcan las tasas de interés, más se incrementarán los precios de los bonos• Se incrementa el potencial de ganancias

Al subir las tasas de interés, caerán los precios de los bonos.• El potencial de obtener pérdidas se incrementa.• Pero las pérdidas están acotadas por c, porque el

comprador no está obligado a ejercer la opción.

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Corto en Opción Call sobre Bonos

El vendedor recibe al momento la prima c por vender el call.

Adquiere la obligación de vender el subyacente si el tenedor (comprador del call) desea ejercer la opción.

X A

B Precio del Bono

Ganancia

Pérdida

0

π

Precio Call = c

Se toma una posición corta en un call cuando se espera que las tasas de interés aumenten.

• Si el precio permanece por debajo de X, el comprador no ejercerá la opción. El vendedor tiene una ganancia de c.

• Si el precio está entre X y A, el vendedor tendrá una utilidad menor a c.

• Las pérdidas para el vendedor pueden ser ilimitadas.

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Corto en Opción Call sobre Bonos

Al subir las tasas, el precio de los bonos caerá:• existe el potencial de que el vendedor obtenga una

utilidad, pues es más probable que el comprador no ejerza la opción.

• La utilidad máxima que puede obtener el vendedor es c

Si las tasas de interés caen, el potencial de pérdida para el vendedor aumenta:• El precio de los bonos aumentará y por lo tanto hay una

alta probabilidad de que el comprador ejerza la opción• Las pérdidas en una posición corta en un call pueden ser

muy grandes.

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Largo en Opción Put sobre Bonos Da el derecho a vender el bono a precio X en cierto

plazo de tiempo. El comprador paga una prima p.

Precio BonoXD

Ganancia

Pérdida

0

π

- p

• Si las tasas aumentan, el precio del bono cae. Aumenta la probabilidad de que el comprador del put tenga ganancia. Si el precio cae a D el comprador puede adquirir los bonos en el mercado para venderlos al precio de ejercicio X, teniendo una ganancia π.

• Si las tasas disminuyen, el precio del bono aumenta. Aumenta la probabilidad de que el comprador del put tenga pérdidas. El precio del bono seguramente estará por encima del precio del ejercicio.

• La pérdida está limitada al precio pagado p.

Se toma una posición larga en un put cuando se espera que las tasas de interés aumenten.

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Corto en Opción Put sobre Bonos El vendedor recibe una prima p a cambio de

obligarse a comprar bonos al precio X, en caso de que el comprador del put decida ejercer la opción.

• Si las tasas disminuyen, el precio del bono (subyacente) sube, por lo que el vendedor (posición corta) tiene la posibilidad de tener una ganancia porque el comprador no ejercerá la opción.

• La ganancia esta acotada a p.

• Si las tasas aumentan, el precio del bono disminuirá y seguramente el comprador del put ejercerá la opción.

• El vendedor incurre en una pérdida π.

X

D Precio Bono

Ganancia

Pérdida

0

p

π

Se toma una posición corta en un put cuando se espera que las tasas de interés disminuyan.

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En Suma:PO

SIC

IÓN

LA

RG

APO

SIC

IÓN

CO

RTA

Se espera que las tasas bajen

CALL PUT

Precio Bono

Se espera que las tasas bajen

Se espera que las tasas suban

Se espera que las tasas suban

0

– pXX

0

– c

0X

pPrecio BonoX

c0

Precio Bono

Precio Bono

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Cobertura Las estrategias de los IFs suelen estar limitadas

a la compra de opciones y no a la venta:

• Razones económicas:• Por ejemplo si un IF vende un Call, sus pérdidas

pueden ser ilimitadas. El potencial de ganancia está truncado pero no las pérdidas.

• Razones regulatorias.

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Cobertura Si se vende un Call:

• Si las tasas suben (precio del bono baja) la ganancia del Call cubre una parte de las pérdidas de valor del bono.

• Pero si las tasas bajaran (precio del bono sube), toda la ganancia en el bono se anularía por las pérdidas en el call.

Mejor alternativa: Comprar Put

XS0

c

Posición Larga en un Bono

Posición Corta en un Call

Posición Larga Put

- p

Ganancia/Pérdida

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Cobertura

Si se tiene una posición corta en un bono, es preferible cubrirla con una posición larga en un call.

X0

- c

Posición Larga Call

Posición Corta en un Bono

p Posición Corta en un PutS

Ganancia/Pérdida

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Paridad Put – Call Se puede calcular el precio de un Put o un Call a partir del

otro, usando el Teorema de la paridad Put-Call

Esta es una consecuencia del principio de no arbitraje.

Solo es válida para opciones europeas, que no se pueden ejercer antes de la fecha de expiración.

rtp S c Xe−+ = +

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Paridad Put – Call Tiempo Portafolio A Portafolio B

0Comprar Opción Call

(comprará subyacente en T a X)Ahorrar X e-rT

Comprar Opción Put(venderá subyacente en T a X)

Comparar subyacente

Costo = c + X e-rT Costo = p + S0

Recibe X de los ahorros Posee subyacente con valor ST

Si ST > X, ejerce opción:Compra subyacente (opción): - XVende subyacente (mercado): + ST

Si ST > X, NO ejerce opción

T Valor = X - X + ST = ST Valor = ST

Si ST ≤ X, NO ejerce opción Si ST ≤ X, ejerce opción:Vende subyacente (opción): + X

Valor = X Valor = XValor = max(ST, X) Valor = max(ST, X)

Ambos portafolios valen max(ST, X) en la fecha de vencimiento.

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Paridad Put – Call Si no se cumple que

pueden surgir oportunidades de arbitraje.

Ejemplo: Se tiene una acción con valor $31, el precio de ejercicio es $30. La tasa de interés libre de riesgo es 10% anual. El precio de un Call europeo a tres meses es $3, y el precio de un Put es $2.25.

¿Hay posibilidades de arbitraje? ¿Cómo?

rtp S c Xe−+ = +

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Arbol binomial de precios de un activoSe asume que:1. El precio evoluciona en tiempo discreto. Es decir, los

precios solo cambian en los instantes t1, t2, t3, ...2. En cada paso, el precio sólo puede cambiar a dos

posibles valores, uno ascendente y otro descendente.3. El que ocurra un movimiento ascendente o

descendente depende del resultado de un experimento aleatorio.

4. Cada experimento aleatorio es independiente de los demás

St = precio en el instante t

Por lo general u > 1 con probabilidad p, d < 1 con probabilidad 1– p

St

St+1=d St

St+1=u Stu

d

21

Arbol binomial de precios de un activo

0 1 2 3 t

S1= d S0

S1= u S0u

dS0

S2= u2 S0u

dS2= ud S0u

d

S3= u3 S0u

d

S3= ud2 S0u

d

S3= u2d S0u

d

S2= d2 S0

S3= d3 S0

Precio Inicial

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Arbol binomial – Tasas de interés

r0 = 10%

r1,L = 9%

r1,H = 11%

r2,HH = 12%

r2,HL = 10%

r2,LL = 8%

Tasas a 1 año(Inicio año 2)

Tasas a 1 año (Inicio año 3)

P0

P1,L

P1,H

P2,HH

P2,HL

P2,LL

$100

$100

$100

$100

¿Cuáles son los precios esperados de un bono cupón cero a tres años al inicio de los años 1, 2 y 3? Las tasas de interés esperadas se muestran en el árbol binomial. Las probabilidades de ocurrencia son iguales (0.5).

Tasa a 1 año(Inicio año 1)

0 1 2 3 t

23

Arbol binomial – Tasas de interés

$81.1688

$84.1751$75.1563

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2,

2,

2,

1,

1,

0

0.5 $100 0.5 $100$89.2857

1.120.5 $100 0.5 $100

$90.90911.10

0.5 $100 0.5 $100$92.5926

1.08

0.5 $89.2857 0.5 $90.9091$81.1688

1.110.5 $90.9091 0.5 $92.5926

$84.17511.09

0.5 $81.1688 0

HH

HL

LL

H

L

P

P

P

P

P

P

+= =

+= =

+= =

+= =

+= =

+= ( ).5 $84.1751

$75.15631.10

=

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Arbol binomial – Valor de la opción

$75.1563

$84.1751

$81.1688

$89.2857

$90.9091

$92.5926

Suponga que se quiere adquirir este bono cupón cero a principios del año 2 como una necesidad de reinversión. Para asegurar el precio de compra, se toma una posición larga en un Call con precio de ejercicio de $90.00. ¿Cuál es la prima que se pagaría?

max[$89.2857 – $90.00,0] = $0

max[$90.9091 – $90.00,0] = $0.9091

max[$92.5926 – $90.00,0] = $2.5926

[0.5($0)+0.5($0.9091)]/1.11= $0.4095

[0.5($0.9091)+0.5($2.5926)]/1.09= $1.6063

c = [0.5($0.4095) + 0.5($1.6063)]/1.10c = $0.9163

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Ejercicio: Modelo binomial Se adquiere un bono a dos años con cupón anual de 10% y

con valor nominal de $100. El bono se adquiere a un precio de $97.59 (rendimiento al vencimiento de 11.42%).

Además se sabe que las tasas a un año son del 10% y se estima que la tasas dentro de un año serán del 13.82% ó 12.18% (ambas con probabilidades iguales).

a) Calcule la tasa spot esperada dentro de un año, y la tasa spot a dos años hoy. Verifique que el valor del bono es el correcto.

b) ¿Cuáles son los posibles precios del bono dentro de un año?c) El IF puede necesitar vender el bono en t =1 por razones de liquidez.

Si quiere asegurarse que la venta del bono produzca al menos el precio esperado del año 1, ¿qué puede hacer? ¿Cuánto pagaría de prima?

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Ejercicio: Modelo binomial (Respuestas)

r_0 10.00%P_0 $97.59

Put_0 $0.32r_1,L 12.18%

P_1,L $98.06Put_1,L $0.00

r_2,LLP_2,LL $100

r_2,HLP_2,HL $100

r_2,HHP_2,HH $100

r_1,H 13.82%P_1,H $96.64

Put_1,H $0.71

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Modelo de Black-Scholes El modelo parte de la misma idea que el

modelo binomial:

• En un árbol binomial se estiman los valores del portafolio periodo por periodo. El valor en cierto momento en el tiempo está relacionado con el siguiente valor.

• En el modelo de Black-Scholes esta valuación se hace de manera continua en el tiempo, relacionando el valor en un periodo a los cambios de tasas de durante ese periodo.

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Modelo de Black-Scholes Las fórmulas para estimar el precio de opciones europeas

call y put al tiempo cero son:

( ) ( )( ) ( )102

210

dNSdNXep

dNXedNScrT

rT

−−−=

−=−

Donde:

S0 = Precio del activo subyacente en t = 0X = Precio de ejercicioN(•) = Función de distribución acumulada para una distribución normalσ = es la volatilidad del subyacenteT = fecha de expiraciónr = tasa libre de riesgo

20

1

2 1

ln( / ) ( / 2)S X r TdT

d d T

σσ

σ

+ +=

= −

2

21( )2

d x

N d e dxπ

−∞

=

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Modelo de Black-Scholes Ejemplo: El precio de un activo financiero seis meses antes

de la fecha de expiración de su opción es $42, el precio de ejercicio es $40, la tasa libre de riesgo es 10% por año y la volatilidad es 20%. ¿Cuál es el precio de las opciones call y put sobre este activo?

0.1 0.5

0.1 0.5

$42 0.7791 $40 0.7349 $4.759$0.80$40 0.2650 $42 0.220 88

c ep e

− ×

− ×

= × − × == × − × =

2

1

2

ln($42 / $40) (0.1 0.2 / 2) 0.5 0.76920.2 0.5

0.7692 0.2 0.5 0.6278

d

d

+ + ×= =

= − =

1 2

2 1

( ) 0.7791 ( ) 0.7349( ) 0.2650 ( ) 0.2208

N d N dN d N d

= =− = − =

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Modelo de Black-Scholes Los supuestos del modelo son:

• Los precios de los activos están determinados por un proceso aleatorio (browniano geométrico).

• La tasa libre de riesgo y la volatilidad del activo son conocidas, y fijas, a lo largo de la vida de la opción.

• No hay costos de transacción• No hay dividendos• No hay arbitraje• El intercambio (compra/venta) de la acción se lleva a

cabo de manera continua (trading continuo).• Se pueden hacer ventas en corto• Los activos son infinitamente divisibles

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Modelo de Black-Scholes El modelo funciona bien para acciones, pero tiene

dos inconvenientes cuando se usa para valuar opciones sobre bonos:

1. Asume que las tasas de interés de corto plazo son constantes, que por lo general no lo son.

2. Asume que la volatilidad de los retornos del activo subyacente son constantes, pero:• el retorno de bonos tiene poca volatilidad alrededor de la fechas

de emisión y de vencimiento.• la volatilidad del retorno aumenta a la mitad del plazo

la volatilidad de los retornos de bonos no es constante (efecto pull-to-par).

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Modelo de Black (para bonos) Las primas de opciones Call y Put Europeas son:

Donde • rT = tasa cero a plazo T.

• F0 = precio futuro/forward del bono a plazo T.

• σF = volatilidad del precio futuro/forward.

Las volatilidades cotizadas para opciones sobre bonos son las volatilidades de los YTM, no de los precios. Ambas están relacionadas por:

( ) ( )( ) ( )

0 1 2

2 0 1

T

T

r T

r T

c e F N d KN d

p e KN d F N d

− ×

− ×

= − = − − −

20

1,2

ln2

F

F

F TKd

T

σ

σ

± =

F F YTMMD YTMσ σ= × ×

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Delta de una opción El cambio en el precio de una opción depende del cambio

en el precio del activo subyacente. Suponiendo que se tienen puts sobre bonos, delta se

define como:

• Donde dp se refiere al cambio en el precio del put,y dB al cambio en el precio del bono (activo subyacente).

Para opciones put δ tiene signo negativo si sube el precio del bono, bajará el precio del put.

Para opciones call δ tiene signo positivo si sube el precio del bono, subirá el precio del call.

dBdp=δ

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Macrocobertura Se trata de cubrir el total del balance de un IF ante cambios

desfavorables en las tasas de interés.

¿Cuál es el número óptimo de opciones Put para cubrir el capital del banco contra alzas en las tasas de interés?

Si el cambio total de valor en una posición larga en puts es,

se trata de igualar el cambio en el capital con el cambio en el valor de una posición larga en puts.

( ) ( )rrAkDDC PA +

Δ−−=Δ1

PP N pΔ = × Δ

0C PΔ + Δ =

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Macrocobertura El cambio en el valor de cada contrato de

opciones put será,

Considerando que:

Entonces

rdrdB

dBdpp Δ×=Δ

( )1dB D Bdr r

−= ×+

( ) ( )

( )

1

1p

rp D Br

rP N D Br

δ

δ

ΔΔ = × − ×+

ΔΔ = − × × +

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Macrocobertura Igualando ΔC con ΔP se puede conocer el número de

contratos put necesarios para hacer la macrocobertura.

• Donde D se refiere a la duración del bono subyacente, y B al precio del bono.

Tomando en cuenta el riesgo base:

( ) ( ) ( )0

1 1A P Pr rD D k A N D Br r

δ Δ Δ− − − × × = + +

( )A PP

D D k AN

D Bδ− −

=× ×

( ) ( )

( )

1

1

A

f

fr

r

PP

rr

b rbD D k A

Dr

NBδ

Δ+

= Δ×− −

Cuando el cambio en las tasas de rendimiento del bono subyacente a la opción no se mueve de forma paralela a las tasas que afectan al IF.

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Ejemplo de Macrocobertura Por ejemplo si un IF tiene $100 millones de activos con

DA = 5 años, y $90 millones de pasivos con DP = 3 años. Se espera que las tasas de interés cambien de 10% a

11% dentro de los siguientes 6 meses. Eso significa una pérdida de $2.091 millones en capital para el IF.

Si la δ de una opción put es -0.5, la duración del bono subyacente es 8.82 y el valor de mercado de un contrato de T-bonds de valor nominal $100,000 es $97,000, ¿cuántos contratos put se necesitan para cubrir la pérdida potencial en el capital?

( )5 3 0.9 $100537.672

( 0.5) 8.82 $0.0970.01537 ( 0.5) 8.82 $0.097 $2.09 millones1.1

PN

P

− − × ×= =

− × ×

Δ = − × − × × × = +