Operaciones con números binarios

Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

100110101 + 11010101 ——————————— 1000001010

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama  arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

 

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690) 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 01111 00101110

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011

Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:

1011011 1011011 -0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

11011011 11011011 -00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

 

Producto de números binarios

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110

En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo de Booth.

 

División de números binarios

La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101 ——————- 0000 010101——————— 10001- 1101——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001

 

Conversión entre binarios y decimales, binario a octal y de binario a hexadecimal

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=10*(2) elevado a (1)=01*(2) elevado a (2)=40*(2) elevado a (3)=01*(2) elevado a (4)=161*(2) elevado a (5)=32La suma es: 53

10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=11*(2) elevado a (1)=21*(2) elevado a (2)=40*(2) elevado a (3)=01*(2) elevado a (4)=160*(2) elevado a (5)=00*(2) elevado a (6)=01*(2) elevado a (7)=128La suma es: 151

110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=11*(2) elevado a (1)=21*(2) elevado a (2)=40*(2) elevado a (3)=01*(2) elevado a (4)=161*(2) elevado a (5)=32La suma es: 55

 

Decimal a binario

Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con el número decimal 100 pasado a binario.

100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> 100 1100100 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Y luego se haría un cuadro con las potencias con el resultado.

Ejemplo:

100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> 100 1100100

Y también tenemos otro método el método de distribución en el que distribuimos el número decimal y podemos tener el resultado en binario, trabaja de la siguiente manera tenemos el número 151 lo que tenemos que hacer es distribuir este número buscando el número más próximo; en este caso es 128 así que en la casilla donde hay capacidad de contener el número que tenemos lo vamos marcando. y en las casillas que no empleamos las marcaremos con un 0.

Ejemplo:

2^0= 1|1 2^1= 2|1 2^2= 4|1 2^3= 8|0 2^4= 16|1 2^5= 32|0 2^6= 64|0

2^7= 128|1 128+16+4+2+1=151 2^8= 256|0

Y sucesivos.

 

Binario a octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario

000 001 010 011 100 101 110 111

Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos:

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7110 = 6Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7001 = 111 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3000 = 01 entonces agregue 001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 103.

 

Octal a binario

Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo:

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binari

o

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Número en hexadecimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos:

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A1011 = B1 entonces agregue 0001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 51111 = F110 entonces agregue 0110 = 6Agrupe de izquierda a derercha: 6F5

Hexadecimal a binario

Ídem que para pasar de hexadecimal a binario, solo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario.

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado

Decimal Binario Hexadecimal OctalBCD

Exceso 3 Gray o Reflejado

0 0000 0 0 0000 0011 0000

1 0001 1 1 0001 0100 0001

2 0010 2 2 0010 0101 0011

3 0011 3 3 0011 0110 0010

4 0100 4 4 0100 0111 0110

5 0101 5 5 0101 1000 0111

6 0110 6 6 0110 1001 0101

7 0111 7 7 0111 1010 0100

8 1000 8 10 1000 1011 1100

9 1001 9 11 1001 1100 1101

10 1010 A 12      

11 1011 B 13      

12 1100 C 14      

13 1101 D 15      

14 1110 E 16      

15 1111 F 17      

OPERACIONES LÓGICAS

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lógicas.

Las principales operaciones lógicas son: conjunción, disyunción, negación, condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le corresponde una tabla de verdad.

1.

p q p Ù q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

F

2. Conjunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p Ù q.

p q p Ú q

V V

V F

F V

F F

V

V

V

F

3. Disyunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman la proposición compuesta llamada disyunción, la cual se simboliza así: p Ú q.

~ p se lee: no p

o también: no es cierto que p

p ~ p

V

F

F

V

4. Negación. Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de p, la cual se simboliza así:

p q p Þ q

V V

V F

F V

F F

V

F

V

V

5. Condicional o Implicativa. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "entonces" conforman la proposición compuesta llamada condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p Þ q:

6. Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo si" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p « q.

p q p Û q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

FÓRMULA LÓGICA

Una fórmula lógica es la representación simbólica de una proposición compuesta, las cuales están conformadas por proposiciones simples, conectivos lógicos y signos de agrupación.

Al evaluar una fórmula se confecciona su tabla de verdad. Ejemplo:

Se tiene las siguientes proposiciones:

p: Abigail Alcalde Flores gana la partida de damas.

q: Abigail Alcalde Flores recibe el premio.

Una proposición compuesta empleando p y q será:

"Si Abigail Alcalde Flores gana la partida entonces recibe el premio", la cual se representa simbólicamente así: p Þ q.

Expresiones como: ~ p Þ ~ q

(p Ú q) Þ ~ q

~ (p Ù q) Û (~ p Ú q)

reciben el nombre de fórmulas lógicas.

Al evaluar una Fórmula se confecciona su Tabla de Verdad.

Si en esta tabla todos los valores de verdad son V, tal fórmula es una TAUTOLOGÍA.

Si en esta tabla todos los valores de verdad son F, tal fórmula es una CONTRADICCIÓN.

Si en esta tabla, algunos de los valores de verdad son V y otros son F, tal fórmula es una CONTINGENCIA.

Al evaluar una fórmula debemos tener en cuenta un orden en las operaciones lógicas a realizarse. Empezamos con las operaciones encerradas por los paréntesis interiores, siguen todas las negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha.

Es recomendable identificar el conectivo principal de la fórmula que representa la operación final a realizarse. Si en el interior de un paréntesis alguna proposición simple esta precedida por una negación, primero se opera ésta.

He aquí algunos ejemplos resueltos:

1. v v v v v v Desarrollamos (1) condicional

v v f v f f Desarrollamos (2) conjunción

v f v f v f Desarrollamos (3) Bicondicional del resultados de

v f f f v f (1) y (2)

f v v v v v

f v f v f f

f f v v f f

f f f v f f

(1) (3) (1)

2. p q r ( p Þ q ) Û ( q Ù r )

v v f v v v Desarrollamos (1) conjunción

v f v v v v (2) después de haber negado (1)

f v v f v v Desarrollamos (3) disyunción

f v v f f f Desarrollamos (4) condicional del resultado de

(2) (1) (4) (3) (2) y (3)

EJERCICIO POR RESOLVER

Evaluar las siguientes fórmulas lógicas y establecer si se trata de Tautología, Contradicción o Contingencia.

3. p q ~ ( p Ù q ) Þ ( p Ú q )4. ~ ( p Û q ) Û ( ~ p Û ~ q )5. ~ [ ~ p Ù q ] Þ q6. ( p Þ q ) Ù ( ~ p Ú q )7. ~ ( p Ù q ) Þ [ ( p Ú r ) Þ q ]8. [ (~ p) Ù (~ r) ] Þ q9. [ ( p Ú q ) Þ ~ p ] Ù p10.( p Ù q ) Þ ( p Þ q )11.[ (p Ú q) Þ q] Û q12.( ~ p Þ q ) Û ( q Ù r )13.( p Û r ) Ù ( p Þ q)

CUANTIFICADORES

Es convertir en un enunciado abierto en proposición.

Enunciado abierto.-

Es aquel enunciado (frase u oración) que incluye una o varias variables, y de acuerdo a la que emplee podrá ser falso o verdadero.

Es aquella expresión que tiene al menos una variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el enunciado abierto en una proposición.

Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se representa así: p(x), lo que leemos como " p de x ".

Ejemplo:

Sea el enunciado abierto:

P(x) = "x +1 es un número múltiplo de 2 "

Ahora damos valores a x:

Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es múltiplo de 2", proposición verdadera. Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es múltiplo de 2", proposición falsa. Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es múltiplo de 2", proposición verdadera.

Al enunciado abierto también se le llama Función Proposicional.

Existen dos tipos de cuantificadores:

Cuantificador Universal

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente escribimos:

" todo x + 1 es un número múltiplo de 2 " " para todo x + 1 es un número múltiplo de 2 " " para cualquier x + 1 es un número múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición pero FALSA porque hay números x + 1 que no necesariamente son múltiplos de 2.

" significa "para todo", "todo" o "para cualquier"

Cuantificador Existencial

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente escribimos:

" Existe por lo menos un número x + 1 es un múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición aunque ahora si VERDADERA porque por lo menos existe un número que reemplazado por x en x + 1 nos da un múltiplo de 2.

$ significa "existe por lo menos" o "existe"

PROPOSICIONES LÓGICAS EQUIVALENTES

Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad idénticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones son equivalentes:

Esto se simboliza p º q

Ejemplo: La proposición compuesta p Þ q es equivalente a la proposición compuesta.

( ~ p) Ú q

p Þ q º (~ p) Ú q

Entonces en una fórmula lógica podemos ahorrar tiempo y espacio si reemplazamos:

p Þ q º ( ~ p) Ú q o viceversa.

Las equivalencias lógicas más importantes son:

1. p Ú p º p2. p Ú V º V3. p Ú F º p4. p Ú q º q Ú p5. p Ú (~ p) º V6. ~ (~ p) º p7. ( p Ú q ) Ú r º p Ú ( q Ú r )8. p Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )9. p Ù p º p10.( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q Ù r )11.p Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )12.p Ù F º F

13.p Ù V º p14.p Ù (~ p) º F15.p Ù q º q Ù p16.~ ( p Ú q ) º (~ p) Ù (~ q)17.~ ( p Ù q ) º (~ p) Ú (~ q)18.p Þ q º (~ p) Ú q19.p Þ q Þ ( ~ q) Þ ( ~ p)20.p Ù ( p Ú q ) º p21.p Ú ( p Ù q ) º p22.p Û q º ( p Þ q ) Ù ( q Þ p )23.p Û q º ( p Ù q ) Ú [ ( ~ p ) Ù ( ~ q ) ]24.~ V º F ; ~ F º V

PROBLEMAS PROPUESTOSI.

a. Los números pares son divisible por 2.b. Los números impares son divisibles por 2.c. La semana tiene 8 días.d. Cuan profundo es mi amor.e. Mario Vargas Llosa es español.f. ¡Tú puedes, no desistas!g. Lima, la tres veces coronada ciudad de los reyes.h. El cuadrado es un cuadrilátero.i. No todo número primo es impar.j. Alberto Fujimori, por qué has llegado tarde.k. ¡Has ganado una computadora!l. El año tiene 12 meses.

m. Todas las semanas tiene 7 días.n. Alan García Pérez viajo a Roma o Brasil.o. Si me caso, entonces no seré soltero.p. No es cierto que la ciudad de Lima está en la costa.q. El Sol es un astro o el día tiene 24 horas.r. 2 + 3 = 7 ó 22 + 32 = 52s. 6 es mayor que 7, ó 5 es menor que 8.t. El triángulo tiene 3 lados o el cuadrado solo 3 lados.

II. Indique cuál de las siguientes expresiones es una proposición, si fuera así cual de ellas son proposiciones simples y cuales son proposiciones compuestas. Señale además su valor de verdad correspondiente.

[ ( ~ p Ú ~ q ) Þ ( ~ r Ú q ) ] Þ ( p Þ ~ r )

III. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera (v), q es falsa (F) y r es falsa (F). Indique el valor de verdad de la proposición:

IV. De las siguientes proposiciones ¿Cuáles son tautologías?

a.b. ( p Þ q ) Þ [ ( ~ p ) Ú q ]c. [ ~ ( p Ù q ) Þ ( ~ q Ù q ) ] Þ p

d. [ ( p Ù q ) Ú ( ~ q ) ] Þ ~ p

I.i. ( p Û q ) Þ ( r Ù s )

ii. ( p Ù q ) Þ ( r Û s )iii. ~ p Û ( r Ù q )iv. ~ q Û ( p Ù s )v. ~ s Û ( p Ú q )

II. Sabiendo que las proposiciones p y r son proposiciones verdaderas y las proposiciones q y s son proposiciones falsas; indicar cuantas de las siguientes proposiciones son falsas:

o ( p Ú q )o ( p Þ q ) Ù qo [ ( p Ú q ) Þ ( p Ù q ) ] Û ( p Þ ~ q )o ( ~ p ) Þ ( p Ú q )o ( ~ q ) Û ( p Ù ~ p )

 

 

 

Autor:

Eddy Rubem Alcalde Rumiche

III. Si se sabe que la proposición p Ù q es verdadera, entonces cuantas de las proposiciones dadas son falsas:

Partes: 1, 2

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