Operaciones con números enteros

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL

DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N.

ESCUELA DE INGENIERIAS

AREA DE CIENCIAS BASICAS

LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

SISTEMAS NUMÉRICOS En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores. Martin A. Cagliani dice “….La noción de número y de contar, así como los nombres de los números mas pequeños y más comúnmente empleados, se remonta a épocas prehistóricas. Con la invención de la escritura, se proporcionó el paso siguiente, que fue el de escribir los números los cuales eran simplemente signos iguales que se limitaban a contar hasta llegar al número deseado. Por ejemplo uno era ('), dos (''), cinco (''''), ocho (''''''''), y así sucesivamente hasta llegar al numero deseado. Como se hace difícil leer muchos signos de este estilo, por ejemplo 27 seria muy molesto tener que leer ('''''''''''''''''''''''''''), así que se los empezó a separar en grupos, preferentemente de a diez (es el que se utilizo mas en la antigüedad). Luego se invento un símbolo para el diez, cien, y así sucesivamente. Este sistema lo utilizaban los babilonios, pero con un sistema cuneiforme, que eran formas de cuya marcadas en arcilla. En las primeras etapas de su desarrollo, los griegos usaron un sistema semejante al de los babilonios, pero en épocas posteriores se generalizó un método alternativo. Recurrieron al empleo de otro sistema ordenado: el de las letras del alfabeto. Los griegos serian los que inventarían los números irracionales, más precisamente Pitágoras. El cero lo inventaron los hindúes por el año 500, los hindúes denominaron a este símbolo sunya, que quiere decir "vacío". Este fue un gran avance porque ya no se confundirían los números como el 507 con el 57, esta era la forma utilizada anteriormente, dejando un espacio. Este símbolo de la nada fue recogido por los árabes hacia el s. VIII, quienes lo denominaron céfer, que en su idioma quería decir "vacío". Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra. Con mucha lentitud llegaron los números arábigos a occidente y reemplazaron a los números romanos, que estos habían esparcido por todo su imperio. Fue un matemático italiano, Leonardo Fibonacci (1170-1240), el primero en escribir sobre los números arábigos en occidente. Tuvo la ocasión de viajar ampliamente por el norte de África. Allí aprendió la numeración árabe y la notación posicional (el cero). Fibonacci escribió un libro sobre el tema en 1202, Liber Abaci (o libro del ábaco), que sirvió para introducir los números arábigos en Europa, pero los romanos aún se mantuvieron en vigor durante tres siglos más. El matemático italiano Geronimo Cardano (1501-1575), fue el que demostró, en 1545, que las deudas y los fenómenos similares se podían tratar con números negativos.






Hasta ese momento, los matemáticos habían creído que todos los números tenían que ser mayores que cero. En la antigüedad no se contaba mas de varios miles, si así era se limitaban a exagerar diciendo cientos de miles o mas que las estrellas. El numero millón y la palabra, (que viene del latín que significa "gran millar"), que son mil millares, data de la alta Edad Media, época en que el comercio había revivido, hasta alcanzar un punto de necesitar una palabra especial. Los billones y los trillones vinieron mas tarde. En 1614 John Napie, llamado Neper o Neperius, invento los logaritmos, del griego logos, razón, y arithmos, número. Un logaritmo es un número que indica la potencia a la que hay que elevar otro dado para que resulte un tercero también conocido. El matemático ingles John Wallis (1616-1703) fue el que consiguió dar sentido a los números imaginarios (numero que se inventa y se le asigna un símbolo como i) en 1685, así como los números complejos. En 1744 el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) descubrió los números trascendentales, que son los que jamás constituirán una solución a cualquier ecuación algebraica que pueda escribirse. En 1845 el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1815-1865) comenzó a trabajar con números hipercomplejos, o como el los llamo cuaternios...” Al iniciar la vida escolar una de las primeras cosas que aprendimos fue a construir círculos y líneas y con el pasar de los días estas se convirtieron en palabras y números; con lo que más tarde expresamos ideas y cantidades, asociando esto a gran cantidad de situaciones propias de nuestra cotidianidad. Al trascender los primeros años de la etapa escolar, se comienza a establecer relaciones entre los números, realizando las operaciones que se podían realizar a partir ellos y años más tarde vimos como muchas de los problemas se podían expresar a partir de relaciones entre ellos. En las matemáticas para expresar las relaciones que existen entre los números se utilizan símbolos, los más utilizados son:

OPERACION SÍMBOLO NOMBRE DEL

SÍMBOLO NOMBRE DEL RESULTADO

PARTES

ADICIÓN + MAS TOTAL SUMANDOS Y TOTAL

SUSTRACCIÓN - MENOS DIFERENCIA MINUENDO,

SUSTRAENDO Y DIFERENCIA

MULTIPLIACIÓN ( ), ,,

POR PRODUCTO FACTORES Y PRODUCTO

DIVISIÓN , /, - VÍNCULO COCIENTE

DIVIDENDO, DIVISOR, COCIENTE Y RESIDUO






POTENCIACIÓN YX POTENCIA POTENCIA

BASE, EXPONENTE Y POTENCIA

RADICACIÓN

RADICAL RAÍZ INDICE, CANTIDAD

SUBRADICAL Y RAÍZ

LOGARITMACIÓN Log

LOGARITMO LOGARITMO BASE, POTENCIA Y

LOGARITMO

Clasificación de los Sistemas Numéricos

Números naturales El conjunto de los números naturales, surge de la necesidad de contar se representa

con .

,...6,5,4,3,2,1,

Números enteros Si partimos del conjunto de los números naturales y formamos un nuevo conjunto incluyendo el cero, se obtendrá el conjunto de los enteros no negativos o positivos, el

cual se denotara como ,...6,5,4,3,2,1,0

. Ahora a cada numero entero no negativo n corresponde un único numero llamado el negativo de n que se denota como –n. el conjunto que consta de todos los números enteros no negativos y sus negativos se llama conjunto de los enteros.

,...6,5,4,3,2,1,0...,..., n

Números racionales Un numero racional es un numero de la forma a/b, donde a y b son enteros y b no es

cero.En el conjunto de los números enteros, las ecuaciones de la forma bax solo tienen solución cuando ”b es múltiplo de a”. Con el fin de que estas ecuaciones tengan

REALES

RACIONALES (Q) IRRACIONALES (Q’)

ENTEROS (Z)

ENTEROS

POSITIVOS

(Z+)

ENTEROS

NEGATIVOS

(Z-)

NATURALES (N)






solución siempre se hace necesario introducir el conjunto Q de los números racionales.

0,,,/ bbab

aQ

Números irracionales El conjunto I, de los números irracionales esta formado por aquellos números que no se pueden expresar como cociente de enteros. Operaciones y propiedades de los Números Naturales y Enteros. Ley de los signos

Las operaciones entre números reales , se basan en las combinaciones de los signos que se encuentran entre ellas, los cuales se definen mediante las siguientes leyes, y en cada una se definen cuatro situaciones a saber:

Ley de los signos para la adición

a) Un número positivo sumado con otro número positivo produce como resultado otro número positivo

Ejemplo: 1248

b) Un número negativo sumado con otro número negativo produce como resultado

otro número negativo

Ejemplo: 1248

c) Un número positivo sumado con un número negativo produce como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor

Ejemplos: 448 484

d) Un número negativo sumado con un número positivo produce como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor

Ejemplos: 484 448

Propiedades de la adición






En el conjunto de los reales, la adición satisfacen las siguientes propiedades: OPERACIÓN PROPIEDAD SÍMBOLO EJEMPLO

AD

ICIÓ

N

CLAUSURATIVA cba 835 CONMUTATIVA abba 104664

ASOCIATIVA cbacba

12543543

MODULATIVA El cero es el neutro de la suma.

Para todo a , aa 00 99009

ANULATIVA Para todo a , existe a

, tal que

0 aaaa

013131313

Ley de los signos para la sustracción (resta)

a) Un número positivo restado con otro número positivo genera como resultado otro

número, cuyo signo, depende del signo del número mayor

Ejemplos: 448 484

b) Un número negativo restado con otro número negativo genera como resultado

otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor

Ejemplos: 44848 48484

c) Un número positivo restado con un número negativo genera como resultado otro número positivo

Ejemplos: 124848 128484

d) Un número negativo restado con un número positivo genera como resultado otro número negativo

Ejemplos: 124848 128484

Ley de los signos para la multiplicación

a) Un número positivo multiplicado con otro número positivo da como resultado otro número positivo

Ejemplo: 3248






b) Un número negativo multiplicado con otro número negativo presenta como

resultado otro número positivo

Ejemplo: 3248

c) Un número positivo multiplicado con un número negativo presenta como resultado otro número negativo

Ejemplos: 3248 3284

d) Un número negativo multiplicado con un número positivo presenta como resultado otro número negativo

Ejemplos: 3248 3284

Propiedades de la multiplicación En el conjunto de los reales, la multiplicación satisfacen las siguientes propiedades: OPERACIÓN PROPIEDAD MULTIPLICACIÓN EJEMPLO

MU

LT

IPL

ICA

CIÓ

N CLAUSURATIVA cba 1535

CONMUTATIVA abba 244664

ASOCIATIVA cbacba

60543543

MODULATIVA

El uno es el neutro del producto.

Para todo a ,

aaa 11

99119

ANULATIVA 000 aa 09009 Existe una propiedad que involucra la operación de adición junto a la operación de multiplicación y se denomina la “propiedad distributiva”. Esta propiedad se utiliza constantemente en los procesos de multiplicación entre expresiones algebraicas.

PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN EJEMPLO

DISTRIBUTIVA cabacba

5x(4+3)=5x4 + 5x3

Ley de los signos para la división

a) Un número positivo dividido con otro número positivo genera como resultado

otro número positivo






Ejemplo: 248

b) Un número negativo dividido con otro número negativo genera como resultado otro número positivo

Ejemplo: 248

c) Un número positivo dividido con un número negativo genera como resultado otro número negativo

Ejemplos: 248 5,084

d) Un número negativo dividido con un número positivo genera como resultado otro número negativo

Ejemplos: 248 5,084

Resumen de las leyes de los signos:

ADICIÓN DIVISIÓN SUSTRACCÍÓN MULTIPLICACIÓN

Nota: Las operaciones de Sustracción (Resta) y División no cumplen la mayoría de propiedades enunciadas para la Adición y la Multiplicación.

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