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Coordinación de Matemática y Estadística ME003 Cálculo I Operaciones con fracciones algebraicas
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Coordinación de Matemática y Estadística ME-‐003 Cálculo I
Operaciones con fracciones algebraicas
Este material tiene como finalidad reforzar losconceptos de operaciones básicas confracciones algebraicas haciendo uso de laresolución de ejercicios.
Estos ejercicios serán resueltos paso a paso yresaltando aquellos aspectos importantes pararesolver cada uno.
Es importante recalcar que estosconocimientos son necesarios para resolverprácticas de la unidad de límites.
Presentación
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Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Índice
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Presentación 2Sumas y restas de fracciones 4Caso I: Igual denominador 5Ejercicio 1 6Ejercicios 2 7Caso II: Diferentes Denominadores 10Ejercicio 3 11Ejercicio 4 15Ejercicio 5 18Fracciones Complejas 22Ejercicio 6 23Créditos 29
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se le presentan una serie deejercicios separados por casos para facilitar suestudio, con la finalidad de mostrar lo másdescriptivo posible los procedimientos para poderresolver cada una de las prácticas.
Con el seguimiento de los pasos se espera que elparticipante pueda “repasar” conocimientos dematemática general que son necesarios paraobtener el éxito en el curso de Cálculo I.
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Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Casos de estudio
Igual denominador
En este caso, se conserva el denominador y sesuman o restan los numeradores (solo se suman lostérminos semejantes, razón por la cual quedanalgunas sumas indicadas).
Los resultados deben simplificarse al máximo.
35 +
85 =
3 + 85 =
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Como se puede observar en el ejemplo, sepresenta el mismo denominador, este se conservay se suman o restan los numeradores.
Caso I
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuáldebe simplificar al máximo.
3𝑥 + 2 +
7𝑥 + 2
Paso 1 3
𝑥 + 2 +7
𝑥 + 2 =3 + 7𝑥 + 2
Paso 2: Respuesta
𝑥 + 2 = 𝑥 + 2
Los numeradores se suman 3 + 7 = 10
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10𝑥 + 2
Se conserva el denominador
Ejercicio 1
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
7𝑥𝑥 + 3 + −
3𝑥 + 3
Paso 1 7𝑥
𝑥 + 3 + −3
𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 +
En este caso se toma el de mayor exponente para usarlo de Común denominador:
𝑥 + 3 +
Se escribe 𝑥 + 3 + en el denominador de la fracción, esto representa el denominador común.
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Los denominadores son igualespero elevados a diferentespotencias.
Ejercicio 2
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 27𝑥
𝑥 + 3 + −3
𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 +
Paso 37𝑥
𝑥 + 3 + −3
𝑥 + 3 =7𝑥 −𝑥 + 3 +
EL denominador común se divide entre el primer denominador:𝑥 + 3 +
𝑥 + 3 + = 1
Ese resultado se multiplica por el numerador de esa misma fracción:1 - 7𝑥 = 7𝑥
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EL denominador común se divide entre el segundo denominador:𝑥 + 3 +
𝑥 + 3 = 𝑥 + 3Ese resultado se multiplica por el numerador de esa
misma fracción:𝑥 + 3 - 3 = 3𝑥 + 9
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Ejercicio 2
Paso 47𝑥
𝑥 + 3 + −3
𝑥 + 3 =7𝑥 − 3𝑥 + 9
𝑥 + 3 +
Paso 5
7𝑥𝑥 + 3 + −
3𝑥 + 3 =
7𝑥 − 3𝑥 − 9𝑥 + 3 +
Paso 6: Respuesta
En el numerador se procede a cambiar signos delante del paréntesis:
− 3𝑥 + 9 = −3𝑥 − 9
En el numerador se resta los semejantes para simplificar.
Recuerde que sólo los monomios semejantes se pueden sumar o restar.7 − 3 𝑥 − 9 = 4𝑥 − 9
9
4𝑥 − 9𝑥 + 3 +
Ejercicio 2Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
La mayoría de los ejercicios admite los siguientespasos:
1. Se factorizan todos los denominadores quesean factorizables en ℝ.
2. Se calcula el mínimo común múltiplo (mcm)de los denominadores, el cual se componepor el producto de los factores comunes y nocomunes de mayor exponente.
3. El común denominador se divide por cadadenominador y el cociente se multiplica porel respectivo numerador.
4. Se efectúan las multiplicaciones y luego sereducen los términos semejantes.
5. Finalmente, se simplifica la fracciónalgebraica resultante, de ser posible.
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Diferente denominador
Caso II
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
125 𝑥 + 2 −
75 𝑥 + 7 =
Paso 1
125 𝑥 + 2 −
75 𝑥 + 7 = 5 𝑥 + 2 𝑥 + 7
Primero se saca eldenominador común omínimo comúnmúltiplo.
El 5 repite en ambos denominadores y 𝑥 + 2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 + 7
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Ejercicio 3
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 3
125 𝑥 + 2 −
75 𝑥 + 7 = 5 𝑥 + 2 𝑥 + 7
Paso 4=
125 𝑥 + 2 −
75 𝑥 + 7 =
12𝑥 + 84 −5 𝑥 + 2 𝑥 + 7
12
EL denominador común se divide entre el primerdenominador:
5 𝑥 + 2 𝑥 + 75 𝑥 + 2 = 𝑥 + 7
Ese resultado se multiplica por el numerador de esamisma fracción:
𝑥 + 7 - 12 = 12𝑥 + 84
EL denominador común se divide entre el segundodenominador:
5 𝑥 + 2 𝑥 + 75 𝑥 + 7 = 𝑥 + 2
Ese resultado se multiplica por el numerador de esamisma fracción:
𝑥 + 2 - 7 = 7𝑥 + 14
Ejercicio 3Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 5
=12
5 𝑥 + 2 −7
5 𝑥 + 7 =12𝑥 + 84 − 7𝑥 + 145 𝑥 + 2 𝑥 + 7
Paso 6
𝟏𝟐𝒙 + 84 − 𝟕𝒙 − 145 𝑥 + 2 𝑥 + 7
En el numerador se procede a cambiar signosdelante del paréntesis:
− 7𝑥 + 14 = −7𝑥 − 14
En el numerador se resta los semejantes para simplificar.
Recuerde que sólo los monomios semejantes se pueden sumar o restar.
12 − 7 𝑥 + 84 − 14 = 5𝑥 + 70
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Ejercicio 3Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 7=
5𝑥 + 705 𝑥 + 2 𝑥 + 7
Paso 85 𝑥 + 14
5 𝑥 + 2 𝑥 + 7
Paso 9: Respuesta
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Factoriza el numerador:5 𝑥 + 14
Se cancela las expresiones iguales del numeradory del denominador:
> ?@AB> ?@+ ?@C
𝑥 + 14𝑥 + 2 𝑥 + 7
Ejercicio 3Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
3𝑥+ + 5𝑥 + 6 −
7𝑥+ − 9 =
Paso 13
𝑥+ + 5𝑥 + 6 −7
𝑥+ − 9 =
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Primero se factorizalos denominadoresde ambasfracciones.
Se factoriza la expresión
𝑥+ + 5𝑥 + 6 =𝑥 + 3 𝑥 + 2
Se factoriza la expresión𝑥+ − 9 =
𝑥 + 3 𝑥 − 3
Ejercicio 4
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 2 3
𝑥 + 2 𝑥 + 3 −7
𝑥 + 3 𝑥 − 3 =
Paso 33𝑥 − 9 − 7
𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3 =
Se construye el denominador común que sería comouna “colección” de expresiones de los denominadores:
𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3Note que contiene a los dos denominadores, viene aser como un mínimo común múltiplo de losdenominadores.
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EL denominador común se divide entre el primerdenominador:
𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥 − 3
Ese resultado se multiplica por el numerador de esamisma fracción:
𝑥 − 3 - 3 = 3𝑥 − 9
Ejercicio 4Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 43𝑥 − 9 − 7 𝑥 + 2𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3
Paso 53𝑥 − 9 − 7𝑥 − 14𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3
Paso 6: Respuesta
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EL denominador común se divide entre el segundodenominador:
𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 𝑥 + 2
Ese resultado se multiplica por el numerador de esamisma fracción:
−7 𝑥 + 2 = −7𝑥 − 14
En el numerador se resta los semejantes parasimplificar.Recuerde que sólo los monomios semejantes sepueden sumar o restar.
3 − 7 𝑥 + −9 − 14 = −4𝑥 − 23
−4𝑥 − 23𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 3
Ejercicio 4Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
2𝑥+ + 5𝑥 + 6 −
35𝑥+ + 14𝑥 − 3 +
7𝑥+ − 7𝑥 − 18 =
Paso 12
𝑥+ + 5𝑥 + 6 −3
5𝑥+ + 14𝑥 − 3 +7
𝑥+ − 7𝑥 − 18
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Primero se factoriza los denominadores de todas fracciones.
Se factoriza la expresión𝑥+ + 5𝑥 + 6𝑥 + 3 𝑥 + 2
Se factoriza la expresión
5𝑥+ + 14𝑥 − 35𝑥 − 1 𝑥 + 3
Se factoriza la expresión
𝑥+ − 7𝑥 − 18𝑥 + 2 𝑥 − 9
Ejercicio 5
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 2
2𝑥 + 3 𝑥 + 2 −
35𝑥 − 1 𝑥 + 3 +
7𝑥 + 2 𝑥 − 9
Paso 32 5𝑥 − 1 𝑥 − 9 − 3 + 7𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
Se construye el denominador común que sería como una“colección” de expresiones de los denominadores:
𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9Note que contiene a los tres denominadores, viene a sercomo un mínimo común múltiplo de los denominadores.
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EL denominador común se divide entre el primerdenominador:
𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9𝑥 + 3 𝑥 + 2 = 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
Ese resultado se multiplica por el numerador de esa mismafracción:
2 - 5𝑥 − 1 𝑥 − 9 = 2 - 5𝑥+ − 46𝑥 + 910𝑥+ − 92𝑥 + 18
Ejercicio 5Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 3
10𝑥+ − 92𝑥 + 18 − 3 - 5𝑥 − 1 𝑥 − 9 + +7𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
Paso 4
10𝑥+ − 92𝑥 + 18 − 3𝑥+ + 21𝑥 + 54 + 7𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
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EL denominador común se divide entre el segundo denominador:𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
5𝑥 − 1 𝑥 + 3 = 𝑥 + 2 𝑥 − 9
Ese resultado se multiplica por el numerador de esa misma fracción:−3 - 5𝑥 − 1 𝑥 − 9 = −3 - 𝑥+ − 7𝑥 − 18
−3𝑥+ + 21𝑥 + 54
EL denominador común se divide entre el tercer denominador:𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
𝑥 + 2 𝑥 − 9 = 5𝑥 − 1 𝑥 + 3
Ese resultado se multiplica por el numerador de esa misma fracción:7 - 5𝑥 − 1 𝑥 + 3 = 7 5𝑥+ + 14𝑥 − 3
35𝑥+ + 98𝑥 − 21
Ejercicio 5Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 5
𝟏𝟎𝒙𝟐 − 92𝑥 + 18 − 𝟑𝒙𝟐 + 21𝑥 + 54 + 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 98𝑥 − 21𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
Paso 6: Respuesta
42𝑥+ + 27𝑥 + 51𝑥 + 3 𝑥 + 2 5𝑥 − 1 𝑥 − 9
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En el numerador se resta los semejantes parasimplificar.Recuerde que sólo los monomios semejantes sepueden sumar o restar.
𝟏𝟎 − 𝟑 + 𝟑𝟓 𝒙𝟐 = 42𝑥+−92 + 21 + 98 𝑥 = 27𝑥18 + 54 − 21 = 51= 42𝑥+ + 27𝑥 + 51
Ejercicio 5Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Fracciones complejas
Una fracción compleja es aquella que tiene una omás fracciones en su numerador o denominador, oen ambos.
Cuando una fracción compleja contiene sumas orestas en el numerador o en denominador, seresuelven las operaciones que están en elnumerador para obtener una sola fracción, y se hacelo mismo con el denominador.
Luego se reduce la fracción, multiplicándose los“extremos” y los “medios”, lo que a veces se le llamala “orejita”.
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Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
−6𝑥𝑦I5𝑧
2𝑥K𝑦B9𝑧I
Paso 1−6𝑥𝑦I5𝑧
2𝑥K𝑦B9𝑧I
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Fracción en el numerador
Fracción en el denominador
Se multiplican los “medios”5𝑧 - 2𝑥K𝑦B= 10𝑥K𝑦B𝑧
Se multiplican los “extremos”−6𝑥𝑦I - 9𝑧I= −54𝑥𝑦I𝑧I
Ejercicio 6
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 2
−54𝑥𝑦I𝑧I
10𝑥K𝑦B𝑧
Paso 3: Respuesta
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Simplifica la expresión dividiendo los números:−5410 =
−275
Simplifica la expresión aplicando leyes de potencia:𝑥𝑦I𝑧I
𝑥K𝑦B𝑧 = 𝑥ALK𝑦ILB𝑧IL+ =𝑧+
𝑥>𝑦
−9𝑧+
5𝑥>𝑦
Ejercicio 6Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Ejercicio 7
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál debe simplificar al máximo.
𝑥𝑥 + 1 + 1
1 − 𝑥𝑥 + 1
=
Paso 1: Trabajamos el numerador
𝑥𝑥 + 1 + 1
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Suma de Fracciones en el numerador
Resta de fracciones en el denominador
Se realiza la suma de fracciones:𝑥
𝑥 + 1 + 1 =𝑥
𝑥 + 1 + 11
𝑥 + 𝑥 + 1𝑥 + 1 =
𝑥 + 𝑥 + 1𝑥 + 1 =
2𝑥 + 1𝑥 + 1
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 2: Trabajamos el denominador
1 −𝑥
𝑥 + 1
Paso 3 2𝑥 + 1𝑥 + 1
1𝑥 + 1
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Se realiza la resta de fracciones:
1 −𝑥
𝑥 + 1 = 11 −
𝑥𝑥 + 1
𝑥 + 1 − 𝑥𝑥 + 1 =
𝑥 − 𝑥 + 1𝑥 + 1 =
1𝑥 + 1
Se colocan los “nuevos” numerador y denominador, para formar la nueva fracción
compleja.
Ejercicio 7Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Paso 4 2𝑥 + 1𝑥 + 1
1𝑥 + 1
Paso 52𝑥 + 1 - 𝑥 + 1
𝑥 + 1
Paso 6: Respuesta
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Se multiplican los“extremos” dejandoindicada lamultiplicación2𝑥 + 1 - 𝑥 + 1
Se multiplican los“medios”𝑥 + 1 - 1 = 𝑥 + 1
Se cancela numerador con denominador:2𝑥 + 1 𝑥 + 1
𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1
2𝑥 + 1
Ejercicio 7Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
La realización de estos ejercicios le permiten reforzarlos conceptos necesarios de Matemática General ycon los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos de Cálculo I.
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“Las matemáticas son la puerta
y la llave a la ciencia.”
Roger Bacon
Tema: Operaciones con fracciones Algebraicas, Unidad I
Créditos
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Universidad Técnica NacionalCoordinación de Matemáticas y Estadística
ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes
Producción del recurso didáctico:Productora académica: Yetty Lara Alemán
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Operaciones con fracciones algebraicas],por cualquier medio o procedimiento, conocido o porconocerse, sin el consentimiento previo de los titularesde los derechos, así como de las obras literarias,artísticas o científicas particulares que contiene.
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