UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

Materia:

ÁLGEBRA LINEAL

Trabajo:

OPERADOR NORMAL

Integrantes del equipo:

ACEVEDO BERRUECOS ERIKA

Castillo Méndez Elizabeth

Flores Sandoval Oscar

Fecha de entrega:

23/Mayo/2011

OPERADOR NORMAL

1. DEFINICIÓN Sea V un espacio con producto interno y sea T: V → V un operador lineal. Se dice que T es normal si T ○ T* = T*○ T.

De esta definición decimos que si T es normal T* también es normal y viceversa.

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES NORMALES

2. TEOREMASea un espacio con producto interno y sea T: V → V un operador normal:

i. ║ T( )║ = ║ T*( )║, Vii. Si T( ) = λ entonces T*( ) = iii. Si 1, 2 son vectores característicos de T correspondientes a los

valores λ1, λ2 y λ1 ≠ λ2, entonces ( 1│ 2) = 0

DEMOSTRACIÓN

i. ║ T ( ) ║2 = (T ( ) │ T ( )) por 3.

║ T ( ) ║2 = ( │ T* [T ( )]) por 4.

║ T ( ) ║2 = ( │ T* ○ T) ( )) por 5.

║ T ( ) ║2 = ( │ T ○ T*) ( )) por 6.

║ T ( ) ║2 = ( │ T [T*( )]) por 1.

║ T ( ) ║2 = ( │ (T*)*[T*( )]) por 7.

║ T ( ) ║2 = (T*( ) │T*( )) por 4.

║ T ( ) ║2 = ║ T ( ) ║2 por 3.

De donde║ T ( ) ║ = ║ T*( ) ║

Es decir, las imágenes asignadas a un vector cualquiera por un operador normal y su adjunto “tienen el mismo tamaño”.

ii. Primero demostraremos que T – I es un operador normal para cualquier escalar .

Por teorema 7 y tomando en cuenta que I* = I se tiene

(T – I)* = T* - I

Entonces, por las propiedades del álgebra de transformaciones se tiene que.

(T – I) ○ (T – I)* = (T – I) ○ (T* – I) (T – I) ○ (T – I)* = (T ○ T* - T* - T + I)

Y también que:

(T – I)* ○ (T – I) = (T* - I) ○ (T – I)

(T – I)* ○ (T – I) = T* ○ T - T - T* + I)

Como T es normal T ○ T* = T* ○ T, por lo que:

(T – I) ○ (T – I)* = (T- I)* ○ (T – I)

Y T – I es normal.

TEOREMAS Y DEFINICIONES

3. Definición

Sea un espacio vectorial sobre C y sea (• │ •) un producto interno en V. Se llama norma de V, y se representa con ║ ║, al número real no negativo definido por:

║ ║ = ( │ )½

4. Sea V un espacio con producto interno y sea