Operador nablaUn operador vectorial sumamente til es diversas disciplinas el operador nabla, definido como: Este operador puede operar sobre funciones escalares o funciones vectoriales Si acta sobre una funcin escalar tendremos: Donde Esta ltima operacin es ms conocida como el gradiente de una funcin.Gradiente de un campo escalarSea f:UR3R un campo escalar, y sean fx,fy,fz las derivadas parciales de f (es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes). Entonces, el gradiente de f es: grad(f)=(fx,fy,fz)Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque f sea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que: El gradiente apunta en la direccin en la que la derivada direccional de la funcin f es mxima, y su mdulo en un punto es el valor de sta derivada direccional en ese punto. Se anula en los puntos de inflexin de la funcin f. El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.

DivergenciaSi acta sobre un campo vectorial lo puede hacer de dos formas distintas. La que a continuacin presentamos se llama divergencia:donde La divergencia es utilizada en algunas aplicaciones fsicas entre las que destacan el teorema de Gauss en teora electromagntica, o teorema de la divergencia.

DivergenciaSi acta sobre un campo vectorial lo puede hacer de dos formas distintas. La que a continuacin presentamos se llama divergencia:

donde

La divergencia es utilizada en algunas aplicaciones fsicas entre las que destacan el teorema de Gauss en teora electromagntica, o teorema de la divergencia.

RotacionalLa otra forma de operar con el operador nabla se llama rotacional, que es algo similar al producto vectorial:

Donde Este resultado es importante ya que nos puede indicar, entre otras, cuando un campo es conservativo o no. Si el rotacional es cero: se dice que es un campo conservativo.Nota: Se hace especial nfasis en aclarar que F no es el vector fuerza si no una funcin cualquiera.Tanto la divergencia como el rotacional se pueden operar en otras coordenadas de manera anloga como lo hicimos para el gradiente.

Operador LaplacianoLa divergencia del gradiente de una funcin escalar se llama Laplaciano. En coordenadas rectangulares:

El Laplaciano encuentra aplicacin en la Ecuacin de Schrodinger en mecnica cuntica. En electrosttica, es una parte de la ecuacin de LaPlace y la ecuacin de Poisson para las relaciones entre el potencial elctrico y la densidad de carga.

El teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, conocido tambin como el Teorema de Gauss, establece una forma analtica del clculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Especficamente el teorema de la divergencia dice que:

Teorema de StokesEl Teorema de Stokes establece que el clculo de la integral de lnea del campo vectorial F en la direccin tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulacin del campo F alrededor de la frontera, en la direccin de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S. Este teorema establece una relacin entre una integral de lnea y una de superficie,

En que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La direccin de recorrido de la curva C determina la orientacin del vector, normal a la superficie. El teorema de Stokes en geometra diferencial es una proposicin sobre la integracin de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del clculo vectorial. Se nombra as por George Gabriel Stokes (18191903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes.