OPORCIONES - pasalafija.com · 3 ARITMÉTICA 1 Resolución: Sea x el número de años 40+x 6 = 30+x...

1SAN MARCOS ARITMÉTICA TEMA 1

ARITMÉTICATEMA 1

RAZONES Y PROPORCIONES

DESARROLLO DEL TEMA

I. RAZÓNEs la comparación entre dos cantidades, la misma quese establece a través de dos operaciones matemáticaslo cual determina las dos clases de razones.

A. Razón aritméticaEs la comparación de dos cantidades mediante unadiferencia. Sean a y b los números, con a mayor queb, tenemos:

a – b = r

Donde: a : Antecedenteb : Consecuenter : valor de la razón

Ejemplo: Si Alejandra tiene 10 años y su hermana María tiene 8 años se puede establecer que la razón aritmética de sus edades es 2, es decir:

10 – 8 = 2 Lo cual representa que:• MaríaesexcedidaporAlejandraen2años.• AlejandraexcedeaMaríaen2años.• AlejandraesmayorqueMaríaen2años.

B. Razón geométricaEs la comparación de dos cantidades mediante ladivisión de dichas cantidades. Sean a y b los números,entonces:

ab

= k

Donde: a : Antecedente b: Consecuentek : valor de la razón

Ejemplo:

Laexpresión ab

= 27

indica o representa:

• Larazóngeométricadeaybes2/7.• "a"esa"b"como2esa7.• "a"y"b"sonentresícomo2esa7.• "a"y"b"estánenlarelaciónde2a7.• Porcada2unidadesde"a"hay7unidadesde"b".

Recuerda:A partir de aquí en adelante al término razón y no especificar de que clase es, hablaremos de la razóngeométrica

C. Series de razones geométricas equivalentes(SRGE)Esunconjuntoderazonestodasigualesentresíqueposeen el mismo valor el cual se convierte en el valorde toda la serie.

ab

= cd

= ... = mn

= k

Propiedades

•a + c + ... + mb + d + ... + n

= k

•a × c × ... × mb × d × ... × n

= ka

a: N.° de razones

Serie de Razones Geométricas Equivalentes Continuas

ab

= bc

= cd

= k

Donde:c = dk ; b = dk2 ; a = dk3


22 SAN MARCOSARITMÉTICATEMA 1

II. PROPORCIÓNEs el resultado de tener dos razones de la misma clasequetienenigualvalor.Puedenser:

A. Proporción aritmética• Discreta

Cuando los términos medios son diferentesentre sí.

a – b = c – d

ayd:extremosb y c : mediosd : cuarta diferencial

• ContinuaCuandolostérminosmediossoniguales.

a – b = b – c

ayc:extremosc : tercera diferencialb : media diferencial

B. Proporción geométrica• Discreta

Es cuando los términos medios son diferentesentre sí.

ab

= cd

ayd:extremosb y c : mediosd : cuarta proporcional

• ContinuaCuandolostérminosmediossoniguales.

ab

= bc

ayc:extremosc : tercera proporcionalb : media proporcional

Proporción Aritmética

Discreta Continua

Extremos

a – b = c – d

Mediosd: cuarta diferencial de a, b y c.

Extremos

a – b = b – c

Mediosb: media diferencial de a y c.

b = a + c2

c: Tercera diferencial de a y b.

Proporción Geométrica

Discreta Continua

ab

= cd

d: Cuarta proporcional de a, b y c.

ab

= bc

b: Media proporcional de a y c.

b = a.c

c: Tercera proporcional de a y b

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Lasumadedosnúmerosexcedeen36a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el número mayor es:A) 48B) 40C) 32D) 16E) 56

UNMSM 2004-I

NIVEL FÁCIL

Resolución:

⇒ (a+b)– (a – b) = 36 b = 18

⇒ b3 = a

8183 = a

8

a = 48

Respuesta: 48

Problema 2Si dos personas tienen 40 y 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de susedadesseráde6a5?A) 10B) 15C) 20D) 22 E) 30

UNMSM 2006-II

NIVEL FÁCIL



Resolución:

Seaxelnúmerodeaños

40+x6 = 30+x

5x= 20

Respuesta: 20

Problema 3 Antes que empiece una asamblea había 690personasyporcada8varoneshabía15damas.Iniciadalaasambleallegaron

30 damas. Hallar la nueva relación de los varones con respecto a las damas.A) 24/25 B) 1/2C) 1/3 D) 8/45E) 7/16

UNMSM 2008-II

NIVEL FÁCIL

Resolución:Sea: H: cantidad de hombresM: cantidad de mujeresSetieneH+M=690además:

M15

H8 =

H+M8+15 = M

15H8 =

= 30

Sillegan30mujeres:M = 450 + 30 = 480H = 240

Entonces la nueva relación será:240480 = 1

2HM =

Respuesta: 1/2


ARITMÉTICATEMA 2

PROMEDIOS

DESARROLLO DEL TEMA

Es una cantidad representativa de un conjunto de valores (medidas de tendencia central).De los valores, se tiene:

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ …… ≤ an

↓ ↓

MENOR≤PROMEDIO≤MAYOR VALOR VALOR

I. TIPOS DE PROMEDIOA. Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA)

o simplemente promedio

MA = Suma de datosNúmero de datos

• DarlaMAde:7;13y4 Resolución

7 + 13 + 43 = 8

Nota:Sea “n” números y “S” suma de los números

⇒ S = n . MA (“n” números)

B. Promedios Geométricos o Media Geométrica (MG)

MG = Productodelosdatosn

n: número de datos

• Dar la MG de: 5; 15 y 45

Resolución

5 . 15 . 453

= 15

C. Promedio Armónico o Media Armónica (MH)

MA = Número de datosSuma inversa de datos

• DarlaMHde:2;6y12 Resolución

12

16

112

+

3

+ =

912

3 = 4

Propiedades

1. Para datos diferentes

MH < MG < MA

menorpromedio

mayorpromedio

2. Datos iguales

MH = MG = MA

3. Para dos datos

MA MG MH

a + b2 ab 1

a1b

+

2 = 2ab

a + b

Se cumple:

MG2 = MA × MH

(a – b)2 = 4(MA2 – MG2)

4. Datos en progresión aritmética

a1, a2, a3, ..., an

PROMEDIOS


el promedio de todos los términos:

MA = a1 + an

2

5. La alteración de la media aritméticaSean los números: 3, 5 y 10

MA = 3 + 5 + 103 =6

Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:

Pfinal = 3 + (5 + 7) + (10 – 4)

3

Pfinal = 3 + 5 + 103 + 7 – 4

3

Pfinal =Pinicial + Variación

Variación = (Aumenta) – (Disminuye)

Total datos

D. Promedio ponderado (PP) (Promedio de Promedios)• Aldar3exámenes,obtengo11,17y13;siendo

lospesosdecadaexamen2,1y3.¿Cuálseráminotapromedio?

Resolución:

NOTAS PESOS TOTAL11 2 11 × 2

17 1 17 × 1

13 3 13 × 3

6 78

++

La nota promedio será:

11.2 + 17.1 + 13.32 + 1 + 3

= 786

= 13

En general:

PP = a1P1 + a2P2 + a3P3 + ... + anPn

P1 +P2 +P3 + ... +Pn

Donde:an: enésimo de las notas, precios, … etc.Pn: enésimo de los promedios, peso frecuencias,

créditos, ...., etc.

Problema 1Elpromediode6númerosesx, si seretira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre xyelnúmeromayorretirado.A) –24 B) 24 C) 20D) –20 E) 30

UNMSM 2001

NIVEL FÁCIL

Resolución:

MA(6N°)=x

∑6N°6

=x

∑ 6N°=6x

∑ 5N° + Mayor =6x

∑ 5N° =6x– Mayor .............(1)

Donde:

MA(5N°) =x– 4

∑5N°5

=x– 4

6x– Mayor5

=x– 4

6x– Mayor =5x– 20

Mayor –x= 20

Respuesta: 20

Problema 2Juan viaja de A a B y, recíprocamente de B a A con velocidades medias de 30 y 60millasporhora;respectivamente.Lavelocidad media en el viaje completo es: A) 40m/h B) 50m/h C) 45m/hD) 35m/h E) 30m/h

UNMSM 2004-I

NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Como aplicación de la media armónica tenemos el cálculo de la rapidez media

Vpromedio = MH (Velocidades)

Vpromedio = 2 × 30 ×6030 +60

Vpromedio = 40

Respuesta: 40m/h

Problema 3La media aritmética de 30 números es 20.Siagregamos20númeroscuyasumaes600,hallelamediaaritméticadelos50 números.A) 30 B) 10 C) 20 D) 24 E) 60

UNMSM 2013-I

NIVEL FÁCIL

Resolución:

∑50N° = ∑30N° + ∑20N°

∑50N° = 30 × 20 +600w

Donde:

MA(50N°)

⇒ ∑50N°50

⇒ 120050

= 24

Respuesta: 24

PROBLEMAS RESUELTOS


ARITMÉTICATEMA 3

MAGNITUDES PROPORCIONALES

DESARROLLO DEL TEMA

I. MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede

serpercibidoporalgúnmedio.Unacaracterísticadelasmagnitudeseselpoderaumentarodisminuir.

Porejemploaunniñoselepodríamedir:supeso,esta-tura, presión arterial, etc.

II. CANTIDAD (VALOR) Resultadodemedirelcambioovariaciónqueexperimenta

lamagnitud.

Magnitudes Longitud

Longitud 2 km

Tiempo 7 días

N.° de obreros 12 obreros

III. RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dosmagnitudessonproporcionales,cuandoalvariarel

valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en lamismaproporción. Se puedenrelacionar de 2 maneras.

A. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)

Ejemplo ilustrativo:• Si compramos libros cada uno a S/ 2 (Precio

constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:

COSTO TOTAL 2 6 48 8

# DE LIBROS 1 3 24 4

x3

x3

x8

x8

÷6

÷6

⇒(Costototal)DP(N.°delibros)

Se observó:

Costo totalN.° de cuadernos

26

63

84

4824= = = 2=

Constante

En general:Decimosquelasmagnitudes“A”y“B”sondirecta-mente proporcionales; si al aumentar o disminuir losvaloresdelamagnitudde“A”,elvalorde“B”también aumenta o disminuye en la misma pro-porción.LacondiciónnecesariaysuficienteparaquedosmagnitudesseanD.P.esqueelcocientedecadapar de sus valores correspondientes, sea una constante.

OJO:Debemos considerar que al relacionar 2magnitudes, lasdemás no deben variar del ejemplo anterior, el precio de cada libro, no varía (permanece constante).

Si: “A”DP“B”↔ (Valor de A)(Valor de B) = k → constante

Interpretación geométrica

48

6

2

1 3 24

N.° de cuadernos

Costo total(A)

Recta

AB = 2(constante)



B. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)Ejemplo ilustrativo:• Parapintar las60habitaciones idénticasdeun

edificiosedeseacontratarobrerosquepintenunahabitación.Alanalizarcómovaríaeltiemposegúnel número de pintores contratados, se tendrá:

N°DEPINTORES 1 2 6 30

N° DE DÍAS 60 30 10 2

x2

÷2 ÷3 ÷5

x3 x5

⇒ (#depintores)IP(#días)Se observa:(#depintores)(#días)=1.60=2.30=6.10=30.2= 60

Constante

En general:Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.La condición necesaria y suficiente para que dosmagnitudesseanIPesqueelproductodecadaparde sus valores correspondientes sea una constante.

AI.P.B↔ (valor de A)(valor de B) = cte.

IMPORTANTE

I. Lagráficade2magnitudesD.Pesunarectaquepasaporelorigendecoordenadas

II. En cualquier punto de la gráfica (excepto el origende coordenadas) el cociente de cada par de valorescorrespondientes resulta una constante.

III. Si tenemos que “A” DP “B”

Valores correspondientes

MagnitudA a1 a2 a3 .... an

MagnitudB b1 b2 b3 .... bn

Severifica:

a1b1

a2b2

a3b3

anbn

= = = ... = = k

IV. Si tenemos que “A”DP“B”

F(X) = mX

m: pendiente (constante)

Interpretación Geométrica

30

6

21

2 10 30 60

Tiempo(días)(B)

#dePintores Ramal de una hipér-bola equilátera

A×B=60(Constante)

IMPORTANTE:

I. La gráfica de dosmagnitudes ip es una rama dehipérbola equilátera.

II. Encualquierpuntodelagráficaelproductodecadapar de valores correspondientes resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad inversa será:

F(x) = mx

m:Constante[áreadelrectángulobajolacurva]IV. Sitenemosque"A"IP"B"

Valores Correspondientes

MagnitudA a1 a2 a3 .... an

MagnitudB b1 b2 b3 .... bn

Severifica: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k

III. PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES

A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:

1.

2

3

*AD.PB⇔BD.P.A*AI.PB⇔BI.P.A

*AD.PB⇔ AnD.P.Bn

*AI.PB⇔ AnI.P.Bn

*AD.PB⇔AI.P. 1B

*AI.PB⇔AD.P. 1B

B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:

Si:AD.P.B(Cesconstante)

AD.P.C(Besconstante)

⇒ AD.P.(B.C)

∴ AB . C

Engeneral:Seanlasmagnitudes:A,B,C, D y E

donde:



Problema 1Se usan 4/5 de una camionada deuvaparaelaborar1/5delaproducciónanual de vino en cierto depósito de licor. ¿Cuántas camionadas de uvas se necesitan para elaborar el total de vino anual?A) 8 B) 2 C) 4 D)16/5E)8/5

UNMSM 2005-I

NIVEL FÁCIL

Resolución:

Camionada Producción

45

15

x 1

CamionadasProducción =

4515

= x1

x= 4

Respuesta: 4

Problema 2Un albañil puede construir una casaen 20 días, pero con la ayuda de su hijo pueden construirla en 15 días. Si el hijo trabajara solo, ¿en cuántos días construiríalamismacasa?A) 75 B) 50 C) 40 D)45 E)60

UNMSM 2009-I

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:Obraxpersona Días A 20 A + H 15 H X

Obra por persona × díasA × 20 = (A+H) × 15 = H × X A × 4 = A × 3 + H × 3 A = 3HDonde: A × 20 = H × X3H × 20 = H × X X =60

Respuesta: 60

Problema 3Pedrorealizauntrabajoen10horasysu ayudante, en 15 horas. El ayudante comienza primero y, después de 5 horas, trabajan juntos hasta terminar la obra. ¿Cuántashorastrabajaronjuntos?A)4 B)5 C)6D) 3 E) 7

UNMSM 2013-II

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:Pedro 1h............ 1

10

Ayudante 1h ............ 115

5h............xx= 1

3 de obra

Juntos:

1 h ........... NOP

JKL

110

115

16

=+

y .............. 23

Luego:y= 4 horas

Respuesta: 4

A D.P.BA I.P.CA A.P.DA D.P.E

A.CB . D . E⇒ = cte

OJOCuandorelacionamoslosvaloresde2magnitudes,entonceslosvaloresdelasotrasmagnitudespermanecenconstantes.

Consecuencia de la propiedad

• Obras

(Obreros)(días)(h/d)(eficiencia)(obra)(dificultad)

= cte.

• Regla de compañía

(ganancia)(capital)(tiempo)

= cte.

• Engranajes

a) Concatenados

(N.° vueltas)(N.° dientes) = cte.

b) Unidosporuneje

A B

VA = VB (vueltas)

PROBLEMAS RESUELTOS


ARITMÉTICATEMA 4

CONJUNTOS I

DESARROLLO DEL TEMA

I. INTRODUCCIÓN La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la

vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del espíritu, la diferenciación, se empieza a percibir distintamentelosobjetosdelmundoexterior,yatenerconcienciadelapropiapersonalidad,originándoseestosconceptos primarios, desarrollaremos aquí, en forma breveyexplícita,loquesuelellamarse“TeoríaIntuitivade Conjuntos”, así como definiciones y consecuenciasque derivan inmediatamente de ellos y que servirán como preámbulo al desarrollo profundo de la aritmética. Comenzaremos destacando el trabajo desarrollado por G. Cantor, a quién con justicia se le reconoce como “Creador o padre de la teoría de conjuntos”.

II. CONCEPTO PREVIOSA. idea de conjunto

En matemática Conjunto y elemento, son concep-tosprimitivosquenosedefinenyseconsiderancon-ceptos fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto esunacolecciónoagrupacióndeobjetosllamadosElementos.Así, por ejemplo: El conjunto de vocales estará forma-do por las letras “a”, “e”, “i”. “o” y “u” que se llaman elementos del conjunto de las vocales.Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas “A”, “B”, “C”, etc. y los elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo: Si llamamos “A” al conjunto de vocales, entonces:A = {a, e , i, o, u}

B. Relación de pertenenciaEs un concepto primitivo que relaciona los elementos con los conjuntos; es decir, si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “∈” y en el caso de no pertenecer por “∉”.

Porejemplo,paraelconjunto:A= {a, e , i, o, u}; diremos:a ∈ A: Se lee “a” pertenece a “A”b ∉ A: Se lee “b” no pertenece a “A”La pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.

C. Determinación de conjuntosSe dice que un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión que elementos pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto, existen2formasprincipalesparadeterminarconjuntos.

1. Por extensiónCuandosuselementosestánindicadosexplícita-mente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.

Ejemplo: A ={7;8;9;10;11};Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7;8;9;10y11.

2. Por comprensiónCuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto.Así, por ejemplo, del ejercicio anterior:A ={x/x∈N;6<x< 12}

Selee:“A”eselconjuntodeloselementos“x”,talque“x”esunnúmeronatural,ademásesmayorque6peromenorque12.

D. Cardinal de un conjunto Es el número de elementos diferentes que posee un

conjuntofinito. Ejemplo: Sea: A = {a, e, i, o, u}

Entonces: n(A) = 5

Que se lee: El cardinal de “A” es 5.

CONJUNTOS I


E. Conjuntos especiales1. Conjunto Vacío o Nulo

Es aquel conjunto que no posee elementos. Se lerepresenta por: { } y se denota por el símbolo: ∅.Esdecir:{x/x≠x}= { } = ∅

Ejemplo:{x/x∈N;5<x<6} = { }Noexisteun“x∈ N” que sea mayor que 5 y menorque6alavez.

2. Conjunto UnitarioEs aquel que está constituido por un solo elemento.

Ejemplo:{x/x∈ N; 5 <x< 7} = {6}puestoque“6∈ N” es el único comprendido entre5 y 7.

3. Conjunto UniversalEs un conjunto referencial que contiene a todoslosconjuntosconsideradosyseledenotagene-ralmentepor“U”.Asíporejemplo,elconjunto“U”paralossiguientesconjuntos:A = {2;4;6;8}yB= {1;3;5;7;9}U={x/x∈ N; 1 ≤x≤9} óU={x/x∈N;x<10} óU={x/x∈ Z}

F. Relaciones entre conjuntos1. Inclusión de Conjuntos

A ⊂ B ⇔ ∀x∈ A →x∈ BSe lee: “A” está incluido en “B”, si y solo si,paratodo“x”quepertenecea“A”,estetambiénpertenece a “B”.• Además:

A ⊂ B”A” está incluido en “B”“A” está contenido en “B”“A” es subconjunto de “B”

• n[subconjuntos“A”]= 2n(A)

• n[subconjuntospropiosde“A”]= 2n(A) – 1

2. Igualdad de ConjuntosSi todos los elementos del conjunto “A” pertenecenal conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto“B” pertenecen también al conjunto “A”. Estaigualdaddelosconjuntos“A”y“B”sedenotapor:A = B.

Ejemplo: Si:A = {x/xesunaletradelapalabraAROMA}B = {x/xesunaletradelapalabraMAROMA}Entonces:A = {A, R, O, M}

B = {M, A, R, O}Luego: A = B

3. Conjunto PotenciaSea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de esteconjunto son: {a}; {b}; {a, b}; ∅Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntosanteriores, se le llama también conjunto departes de “A” y se le denota:P(A)= {∅, {a}, {b}, {a, b}}Engeneral,elnúmerodesubconjuntossehallaconlasiguienterelación:2n; donde “n” es el númerode elementos del conjunto.

⇒ n[P(A)]= 2n(A)

Ejemplo:A = {m, a, r}; Entonces:P(A)= {{m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r},

{m, a, r}, ∅}n[P(A)]= 23 = 8

G. Representacióngráficadelosconjuntos1. Diagrama de Venn – Euler

Es una forma ilustrativa y muy práctica paracomprender intuitivamente las relaciones entreconjuntos.

Ejemplos:A = {2; 3; 5; 7}B = {2;3;4;5;6}U= {1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Entonces:

A

1

B

U8

2 5

4

69

7

3

La interpretación sería:• {7} sólo pertenece a “A”• {2;3;5} pertenecen a “A” y a “B”• {4;6} solo pertenece a “B”• {1;8;9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B”

2. Diagrama de CarrollSeusageneralmentepararepresentarconjuntosdisjuntos.Ejemplo:Para2conjuntoscualesquiera:

A B

CONJUNTOS I


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Determine por extensión el siguienteconjunto:A={5x+ 1 <3x+ 11 <4x+10/x∈ Z }la suma de los elementos de A es … A) 3 B) 4 C) 5 D) 9E) 11

NIVEL FÁCIL

Resolución:

5x+ 1 <3x+113x+ 11 < 4x+ 10x< 5 1 < x

Entonces:x= 2;3;4Sumadevaloresdex = 9

Respuesta: 9

Problema 2En los conjuntos unitariosH = {q2 + 1, 3q – 1}S = {3x+ y,x – y + 8}Unodelosvaloresdeq+ x+ y es:

A)9 B)8 C)7D) 4 E) 5

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:q2 + 1 = 3q – 1 entonces q2 – 3q + 2 = 0 q = 2 ; 1 3x+ y =x – y +8entonces2x+ 2y = 8x+ y = 4

Ahora: q + x+ y = 5

Respuesta: 5

Problema 3Dados los conjuntos unitarios:P= {x+ y , 8}Q = {y + z, 10}S = {x+ z, 12}Calcular:(x+ 4y – z)A)8 B)9 C)10D) 11 E) 12

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:x+ y = 8y + z = 10x+ z = 12

Sumando:x+ y + z = 15Seobserva:x= 5; y = 3; z = 7x+ 4y – z = 10

Respuesta: 10

•A→Puederepresentar a los mujeres

B →Puederepresentaraloshombres

• A→Puederepresentarcapitalinos

B →Puederepresentar provincianos


ARITMÉTICATEMA 5

CONJUNTOS II

DESARROLLO DEL TEMA

I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos

a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos.

Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que el conjuntos

formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza:

A ∪ B, y se lee “A unión B”. Notación: A ∪B={x/x∈Aóx∈ B}

RepresentaciónGráfica

A B A B

A y B no disjuntos A y B disjuntos

A

B

A ⊂ B

II. INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B”

es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”.

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los

elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe:

A ∩ B y se lee: “A intersección B”. Notación: A ∩B={x/x∈Ayx∈ B}

Representacióngráfica

A B A B


A

B

A ⊂ B

Entre la Reunión y la Intersección de dos conjuntos “A”

y“B”,sepuedenestablecerlassiguientesrelaciones:Propiedad Distributiva:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Propiedad Absorción: A ∪ (A ∩ B) = A, puesto que: (A ∩ B) ⊂ A A ∩ (A ∪ B) = A, puesto que: A ⊂ (A ∪ B)

III. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de

todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee:

“A menos B”, ó también “A diferencia B” Así por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A”

pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”.

Notación:A–B={x/x∈Ayx∉ B}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTOS II


Representacióngráfica:

A B A B


B

A

B ⊂ A

IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto

formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se

observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por:

A ∆ B. Notación: A ∆B={x/x∈ (A – B) ∪ (B – A)}


A B A B


AB

A ⊂ B

V. COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto

B = {a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’

Luego,si“B”estáincluidoen“A”,ladiferencia:“A–B”se llama complemento de “B” respecto a “A”

Notación:B'={x/x∈Ayx∉ B} ó B'={x/x∉ B}

Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal y

además se tiene: B ⊂ U,entonces: B' = B = CB={x/x∈ Uyx∉B}={x∈(U–B)}


B

AB

A

VI. RELACIONES ENTRE LOS CARDINALES DE LOS CONJUNTOS1. Si los conjuntos son disjuntos (A ∩ B = φ) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

2. Si los conjuntos no son disjuntos: a) Paradosconjuntoscualesquiera“A”y“B”: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

VII. PRODUCTO CARTESIANO A×B={(x;y)/x∈A ∧ y∈B} A y B son conjuntos no vacíos Ejemplo: A = {2; 3; 5} B = {5; 8} A×B = {(2;5); (2;8); (3;5); (3,8); (5;5); (5;8)}

Representacióngráfica Diagramasagital

A B

•2•3•5

•5

•8

Propiedades: • n(A×B)=n(A).n(B) • n(A×B)=n(B×A) • A×B=B×A↔ A = B

CONJUNTOS II

1414 SAN MARCOS ARITMÉTICATEMA 5

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Dados los conjuntos:A = {x∈N/x≤ 5} B = {x∈N/4<x≤ 9};xesparHallar A ∪ B

A) {0;2;4;6} B) {0;1;2;3;6;8} C) {0; 1; 2; 3; 4; 5} D) {0;1;2;3;4;5;6;8} E) { }

NIVEL FÁCIL

Resolución:

A:x≤ 5 ⇒ A = {5, 4, 3, 2, 1, 0}ParaB:Losvaloresquetomaxson9,8,7,6,5deestosnúmerossolotomamoslos números pares.

⇒ B ={8;6}⇒ En consecuencia A ∪ B ={0;1;2;3;4;5;6;8}

Respuesta: {0;1;2;3;4;5;6;8}

Problema 2Dados los conjuntos: Q ={2;4;6}R = {3; 5}, hallar Q – RA) {2; 4} B) {4;6} C) {0; 2; 4}D) {2;6;8} E) {2;4;6}

Resolución:Como ambos conjuntos no tienen elementos comunesLuego: Q– R = Q ⇒ Q – R ={2;4;6}

Respuesta: {2;4;6}

Problema 3Sean los conjuntos: A ={1;2;3;4;5;6;7}B = {2; 3; 5}Hallar: A – B

A) {1;4;6} B) {2;4;6}C) {4;5;6} D) {3;5;6} E) {2; 4; 5}

Resolución:

Quitando a A lo que aparece en B tendremos:

A – B ={1;4;6}

Respuesta: {1;4;6}


ARITMÉTICATEMA 6

NUMERACIÓN

DESARROLLO DEL TEMA

I. NUMERACIÓN Es la parte de la aritmética que estudia el número en su

formación, representación, propiedades y aplicaciones que con ellas se puede efectuar.

II. NÚMERO Esunenteabstracto,carentededefinición,sinembargo

nos da la idea de cantidad.

III. NUMERAL Eslarepresentacióngráficadelosnúmeros

IV. REPRESENTACIÓN LITERAL Es la que se utiliza cuando se desconoce los numerales

y para que la representación sea correcta se coloca una barraalolargodetodoelnumeral.

V. SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas y principios que rigen la

formación, escritura y lectura de los números mediante la adecuada combinación de un grupo de símbolos ypalabras.

VI. SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN Es empleado actualmente, este sistema fue inventado

por los hindúes y difundido después por los árabes, razón por la cual se llama sistema indo-arábico. Se utiliza los dígitos:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

La mayor diferencia entre nuestro sistema y el de los romanos radica en que estos no incluían al cero como dígito,locuallesobligabaatenerunsímbolodiferenteparacadanúmeroquequisieranexpresar(porejemplodeexistirelcero,10podríaexpresarsecomo10enlugardex).

VII. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades

de un orden cualquiera para formar una unidad de orden superior.

VIII. CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN• Encualquiersistemadenumeraciónexistentantas

cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

• El mínimo valor que puede tomar una cifra encualquier sistema de numeración es el cero (0) y el máximovaloreslaunidadmenosqueelvalordelabase.

• Labasedeunsistemadenumeraciónsiempreesunentero positivo mayor que 1.

• Si la primera cifra de un numeral es una letra,necesariamente esta debe ser ≠ de 0.

• Todoloqueseencuentraenparéntesisenunnumeralrepresenta una sola cifra.

Sea: a(5a)b (b + 4)(c – 3)

a ≠ 0, el número tiene 5 cifras.

• Sedenominanumeralescapicúasaaquellosqueleídosde izquierda a derecha o de derecha a izquierda se leeniguales.

88;959;5335,aba, cbbc

• Toda cifra en el numeral tiene un orden porconvención, se enumera de derecha a izquierda.

• Valorrelativodeunacifraesaquelquerepresentalacifra por la posición que ocupa dentro del número.

• Valorabsolutoesloquerepresentaporlaformaquetiene.

NUMERACIÓN


Tener en cuenta

Base Nombre del sistema Cifras utilizadas

23456789101112...n

BinarioTerciarioCuaternarioQuinarioSenario HeptarioOctavarioNonalDecimalUndecimalDuodecimal...enesimal

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,

9,10..........................................0, 1, 2, ................ , (n–1)

IX. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Consisteenexpresaralnumeralcomolaadicióndelos

números que resultan a multiplicar cada una de las cifras por la base elevada a la cantidad de cifras que tiene a la derecha la cifra en estudio.

* 4295=4×103+9×102+2x101 + 5

* 2357 = 2 × 72 + 3 × 71 + 5

* abcden= a . n4 + b . n3 + c . n2 + d . n + e

• DescomposiciónenbloqueEs un caso particular de la descomposición polinómica enquesetomangruposdecifras(bloquescomosifueran una sola cifra).

• 4242 =42×102 + 42

• 35357 =357 × 72 + 357

• 6016018=6018 × 83+6018

• abababn = abn . n4 + abn . n

2 + abn

X. TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Consiste en transformar un número de cierta forma en un sistema a otro sistema.

Existentrescasos:

A. De Base m a base 10Se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando las operaciones indicadas.Ejemplo:

abcn = a . n2 + b . n + c

4567 = 4 × 72+5×7+6

B. De base 10 a base mSe utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entre la base “m” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que “m” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hastaquesellegueaunadivisióndondeelcocientesea menor que ‘m’Luego,setomaelúltimococienteylosresiduosdetodas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y ese será el número escrito en base “n”.

C. De base m a base nSe utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir:1.° Llevamos el número del sistema diferente de 10

a base 10 por descomposición polinómica.2.°Luegollevamoselnúmerohalladoenelsistema

decimal a la base que nos piden por divisiones sucesivas.

D. PropiedadSi el numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes,deberácumplirsequedondetengamayorrepresentación aparente le corresponde una menor base y viceversa.

n m

–abcd xyzw

+

=Entonces n > m• Numeraldemáximascifras

k(n)

k cifras

(n )(n )....(n ) n 11 1 1

– – – = –

•k–1 k

(n)k cifras

n abc ... x n≤ <

Ejemplo:

4–1 47

5–1 54

7 abcd 7

4 a0b0c 4

≤ <

≤ <

NUMERACIÓN


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Siaybsondígitostalesque:

(a + b)2 = 144 Hallar ab + ba NIVEL FÁCIL

UNMSM 2000

A) 100 B) 101 C) 132D) 72 E)76

Resolución:

De: (a + b)2 = 144 ⇒ a + b = 12Donde:ab ba 10a b 10b a

11(a b)11(12) 132

+ = + + ++

=

Respuesta: 132

Problema 2Si a un número de tres dígitos queempiezaen7selesuprimeestedígito,elnúmeroresultantees1/26delnúmerooriginal. ¿Cuál es la suma de los tresdígitosdedichonúmero?

NIVEL FÁCIL

UNMSM 2000

A) 14 B) 15 C) 22D) 17 E) 11

Resolución:17ab ab (7ab)261 (700 ab)26

26(ab) 700 ab

25(ab) 700

ab 287 a b 17

⇒

∴

=

= +

= +

=

=+ + =

Respuesta: 17

Problema 3Cierto número de dos cifras es n veces la suma de sus cifras; pero al invertir el orden de sus cifras, el nuevo número es k veces la suma de sus cifras. Halla (n+k)

NIVEL INTERMEDIO

UNMSM 2007 - I

A) 14 B) 15 C) 22D) 17 E) 11

Resolución:

ab n(a b)

ba k(b a)

= +

= +

11(a + b) = (n + k)(a + b)

∴ n + k = 11

Respuesta: 11


ARITMÉTICATEMA 7

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

DESARROLLO DEL TEMA

Dadas dos o más cantidades sumandos la operación adición consiste en reunir dichas cantidades en una sola llamada suma, la cual tiene tantas unidades como todos los sumandos juntos.

∪ ∪

B CA

A ∪ B ∪ C

=

6triángulos+5triángulos+3triángulos=14triángulos

6+5+3=14

sumandos suma total

I. ADICIÓN EN BASE DIEZ (AGRUPACIÓN DE 10 EN 10)

Ejemplos:

4364+623949 5 4 86484

2 2 2

6948+9495476 3 7 817297

2 2 2

II. ADICIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sedebeseguirlossiguientespasos:

ADICIÓN• Todoslossumandosdebenestarenelmismosistema.• Aladicionar,sielresultadoesigualalabaseoexcede

aesta,setendráqueagruparentantascomoindiquela base.

• Elnúmerodegrupos,asíformados,seránlasunidadesa llevar para el siguiente orden y las unidadesrestantes quedarán en el orden respectivo.

Ejemplos:1. Hallar la suma de 324(5) + 223(5) + 434(5) Resolución:

324(5) + 223(5) 434(5) 2014(5)

Orden Procedimiento

1.er4 +3 + 4 = 11 = 2 × 5 + 1 → queda

lleva

2.do2+(2+2+3)=9=1×5+ 4 → queda

lleva

3.er1+ (3+2+4) = 10 = 2× 5 + 0 → queda

lleva

2.

4 3 4(7) +623(7)366(7)

2 1 2 0 (7)

2 2

1 4 3(9) +67(9) 2 8 1(9) 5 1 2(9)

2 +1

5756(8) +656(8) 7 7(8)

6733(8)

2 21



III. SUMAS NOTABLES

A. Suma de los primeros naturalesS = 1 + 2 + 3 + ... + n

S = n(n+1)2

B. Suma de los primeros números paresS=2+4+6+...+2n

S = n(n+1)

C. Suma de los primeros números imparesS = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)

S =2J

KL

n+12NOP

D. Suma de los cuadrados de los primeros nú-meros naturalesS = 12 + 22 + 32 + ... + n2

S = n(n+1)(2n+1)6

E. Suma de los cubos de los primeros números naturalesS = 13 + 23 + 33 + ... + n3

S = n(n+1)2

2

SUSTRACCIÓN

Es una operación inversa a la adición, tal que dados dos números llamados minuendo y sustraendo la operación sustracción hace corresponder un tercer número llamado diferencia, tal que sumando con el sustraendo dé como resultado el minuendo.Es decir:M – S = Ddonde:M: minuendoS: sustraendoD: diferencia

Propiedades1. M = S + D2. M + S + D = 2M

Ejemplos:Sustracción en base 10

4 1 8 –295

1 2 3

1

← minuendo → 4 5 0 7 –2 8 4 5

1662

1

← sustraendo → ← diferencia →

I. SUSTRACCIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Se realiza la operación, orden por orden, de menor a mayor orden. Si la cifra del minuendo fuese menor que la cifra del sustraendo, la cifra correspondiente al orden superior considerando que la unidad prestada del orden superior inmediato equivale a tantas unidades como indica la base.

Ejemplos:

1. Resolver: 423(8)–256(8)

Resolución:

4 2 3(8) –256(8)

1 4 5(8)

Orden Procedimiento

1.er Comoa3noselepuededisminuiren6,loque se hace es prestar del 2.° orden una unidad, que en el 1.er orden equivale a 8 unidades.

8 +3–6=5

2.do8 + 1 – 5 = 4

3.er Se prestó una unidad y quedan 3. Luego3–2=1

2.

4 3 2 4(8) – 1 4 3 2(8)

2672(8)

1 1 3.

3 4 1 0(7) – 2 4 5 3(7)

624(7)

1 1 1

Propiedad Si a > c, además: abc(k) – cba(k) = mnp(k)

se cumple: m + p = k – 1; n = k – 1; a – c = m+1

II. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número entero positivo

esigualalacantidaddeunidadesquelefaltaadichonúmeroparaserigualaunaunidaddelordeninmediatosuperior a su cifra de mayor orden.



Ejemplos:• CA(3)=101 – 3 = 7• CA(28)=102 – 28 = 72• CA(730)=103 – 730 = 270• CA(6340)=104–6340=3660

En otras bases:• CA(53(8)) = 82 – 53(8)

• CA(213(7)) = 73 – 213(7)

• CA(43001(8)) = 85 – 43 001(8)

Engeneral:

Si N = abc...x(n) ⇒ CA(N) = 100...0(n) – N

k cifras k ceros

Forma práctica Para obtener el CA de un numeral a la última cifra

significativaselerestadelabaseyalasanterioresseleresta de la base menos uno. Si terminan en cifras ceros estos se mantienen.

CA(abcd) = (9–a)(9–b)(10–d)

Problema 1Con 3 dígitos distintos y no nulos seforman todos los números posibles de dos cifras diferentes ¿Cuál es la razón entre la suma de todos estos números dedoscifrasylasumadelos3dígitos?A) 22 B) 26 C) 28D) 24 E) 20

UNMSM 2009–I

NIVEL INTERMEDIO

ResoluciónSeanlosdígitosdistintosynonulos:a, b y c. Se pueden formar los números de dos cifras diferentes:

ab; ac; ba; bc; ca; cbSea la suma:ab+ac+ba+bc+ca+cb = 22(a+b+c)(mediante su descomposición polinómica).Sealasumadelos3dígitos:a+ b + cLuego,larazónpedidaserá:

( )22 a b c 22a b c

+ + =+ +

Respuesta: A) 22

Problema 2Seax= abc un número representado en forma decimal, donde a>c, entonces (abc – cba) tiene como cifra intermedia a:A) 5 B) 9 C) 1D) 7 E) 0

UNMSM 2004–I

NIVEL FÁCIL

Resolución

Por propiedad: abc – cba = xyz entonces:

x + z = 9;y=9

Entonceslacifracentrales9.

Respuesta: B) 9

Problema 3Calcular el valor de la expresión: abc + bca + cab = xyz, si se sabe que (a+b+c)2 = 2 025A) 4895 B) 4905

C) 4695 D) 4995

E) 4805

UNMSM 2001

NIVEL INTERMEDIO

ResoluciónDel dato: (a + b + c)2 = 2 025se obtiene que: a + b + c = 45Luego,colocandounsumandobajootro:

abcbcacab

+

4995

Observación:Lo mostrado nos da la solución del ejercicio, sin embargo, lo real es queel ejercicio tiene un dato absurdo: la operación se realiza en base 10 y la suma: a + b + c = 45 es imposible, dado que las cifras tomanunvalormáximode9,siendolasumamáxima27ynopuede ser 45.

Respuesta: D) 4 995

PROBLEMAS RESUELTOS


ARITMÉTICATEMA 8

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

DESARROLLO DEL TEMA

I. MULTIPLICACIÓN Es la operación binaria que hace corresponder a cada par

ordenado de enteros. Sabemos:

M × m =P

donde: M = Multiplicando m = Multiplicador P=Producto si: abc × xy __________ y(abc) → Primerproductoparcial x(abc) → Primerproductoparcial __________

Productototal

II. DIVISIÓN Es la operación binaria que hace corresponder a

cada par ordenado de enteros cuyas componentes se denominan dividendo y divisor, y un tercer número (no necesariamente entero) llamado cociente.

Algoritmogeneraldeladivisión:

D = d . q + r

donde: D = Dividendo d = Divisor q = Cociente r = Residuo siendo: D; d; q; r Z+ (división entera)

III. TIPOS DE DIVISIÓNA. División entera exacta

D d

r=0 q D = d.q

Observación: r = 0

B. División entera inexacta(Si los divisores son positivos)

• D.E.I.pordefecto

D d

rd qd D = d . qd + rd

0 < rd < d, además qd = cociente por defecto

• D.E.I. por exceso

D d

re q+1 D = d . qe – re

0 < re < d, además(q+1)=cocienteporexceso(qe)

Propiedadesa. Suma de residuos: rd + re = d

b. Restos máximo y mínimo: (rd; re)min = 1

(rd; re)máx=d–1

c. qe = qd + 1

d. En una división entera: Si el dividendo y divisor quedan multiplicados por un

número entero, entonces el residuo queda también multiplicado por el mismo entero, sin que se altere el cociente.

D.n = (d.n)q + r.n

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN


Problema 1Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto este quedará aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferenciadelosfactoreses20?A) 4800 B) 3500C) 2400 D) 1500E) 6300

ResoluciónSea el producto iniciala × b = ppor dato:(a + 10)(b + 10) = p + 1100→ a + b = 100 ................. (1)además:a – b = 20 ....................... (2)resolviendo:a =60,b= 40en (1)a × b = 2400∴ El producto es 2400

Respuesta: C) 2400

Problema 2Hallar el mayor número que al ser dividido por 50 se obtiene un resto que es el triple del cociente.A) 343 B) 146C) 488 D) 848E) 180

ResoluciónSea N el mayor número tal que:

N 50

r q

por propiedad14444244443 r < 50 ↓ 3q < 50 q<16,6

luego:

N = 50q + r

N = 53q

Como N es el mayor entonces q también debe ser el mayor.

→ N =53(16)= 848

∴ El mayor número es 848

Respuesta: D) 848

Problema 3La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro,setiene16decocienteyresiduomáximo.Elnúmeromayores:A) 302 B) 234 C) 305D) 304 E) 243

Resolución:Sea los números a y b (a > b), por dato:

a b

rmax 16

por propiedad14444244443 rmax < b – 1

luego:a =16b+ rmaxa = 17b – 1 ....................... (1)además a + b = 323 ↓ (17b – 1) + b = 323 b = 18 a = 305∴ El número mayor es 305

Respuesta: C) 305

PROBLEMAS RESUELTOS


ARITMÉTICATEMA 9

DIVISIBILIDAD I

DESARROLLO DEL TEMA

I. DIVISIBILIDAD Se dice que un número entero “A” es divisible entre otro

número entero positivo “B” (módulo) cuando la división enterade“A”entre“B”esexacta.

A B

0 k

A ∧ k ∈ Z

B ∈ Z+

II. MULTIPLICIDAD UnnúmeroenteroAesmúltiplodeotroentero“B”,si:

A=Bxk;donde“k”esunnúmeroenterocualquierak ∈ {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Conceptos equivalentes:

A = °B

"A"esdivisibleentre"B""A"esmúltiplode"B""B"esdivisorde"A""B"dividira"A""B"esfactorde"A"

III. NOTACIÓN– Si A es múltiplo de B. Entonces: A =

°B o A = BK

– Si A no es múltiplo de B. Entonces A ≠

°B o A = BK ± r

IV. CONSIDERACIONES IMPORTANTES– El cero (0) es múltiplo de todo número entero positivo.– Todo número entero positivo es múltiplo de sí mismo.– La unidad es divisor de todo número entero.– El divisor es un número entero positivo (módulo)

V. PRINCIPIOS OPERATIVOS– Sobre la suma y la resta de múltiplos.

°n + °n = °n°n – °n = °n

– Sobre la multiplicación de un número cualquiera con un múltiplo cualquiera.°n xk=°n k ∈ Z

– Sobre la potencia de un múltiplo cualquiera

(°n)k = °n k ∈ Z+

– (°a + m) (°a + n) = °a + m.n– Sobre la división de múltiplos

°A°A

= no se puede anticipar al resultado.

– Sobre si es múltiplo de varios módulos

N = °a

N = °b

⇒ N = M.C.M.(a; b)°

– Sobre si es múltiplo de varios módulos y un mismo

resto

N = °a + R

N = °b + R

⇒ N = M.C.M.(a; b)°

+ R

VI. BINOMIO DE NEWTON Es el desarrollo del binomio, aplicándose los criterios

de divisibilidad y permite hallar el residuo de manera inmediata.

(°A + B)n = °A + Bn; n ∈ Z+

( °A – B)n =

°A + Bn(si"n"espar)

°A – Bn(si"n"esimpar)

VII. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDESSean dos números enteros A y B diferentes de cero.

Si:axb=°n ⇒ a = °n ∨ b = °n

Propiedad

(IMPAR)PAR = °8 + 1

DIVISIBILIDAD I


Problema 1

Si: A = 3k + 1; B = 3k + 2halleelresiduoquedejalaexpresión:

E = [2A + 22B + 23]entre7A) 1 B) 2 C) 3D) 5 E) 4

NIVEL FÁCIL

Resolución:

E = (2A + 22B + 8) ÷ 7

E = (23k+1 + 26k+4 + °7 + 1)

E = (23)k × 21 + (23)2k × 24 + 1

E = (°7+1)2 + (°7+1) × (°7+2)+1

E = 2 + 2 + 1 + °7 E = °7 + 5 → residuo = 5

Respuesta: 5

Problema 2Una importadora ha comprado relojesa S/.143 c/u, lapiceros a S/.91 c/u;pulserasaS/.77c/u.SilafacturatotalfueS/.2213,halleelnúmeroderelojes.

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

NIVEL FÁCIL

Resolución:Planteandoelenunciado:“a” # de relojes143×a+91×b+77×c=2213

1 2 3 1

(–1) +1Módulo de °7:

[(°7 + 3)a + °7 + °7]=3+ 3 + 4 – 2

3a + °7 = 7 + 1

a = 7m+13

m = 2 ; a = 5 Respuesta: 5

Problema 3¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666(8)entre13?6447448102 cifras

A) 2 B) 8C) 3 D) 5E) 9

NIVEL FÁCIL

Resolución:Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.Base 8: 80; 81; 82; 84; 84

1; 8; 12; 5; 11; –5; –1; 5; 1

Cada 4 cifras se anula:102 4 2 25

666.....666(8)

↓ ↓ 6444474448

–5 1 100 cifras = 0

⇒ –30+6= °13 + r°13 + 2 = °13 + r

∴ r = 2

Respuesta: 2

PROBLEMAS RESUELTOS


ARITMÉTICATEMA 10

DIVISIBILIDAD II

DESARROLLO DEL TEMA

I. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADLlamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas reglasprácticas que aplicadas a las cifras de un numeralpermitirán determinar su divisibilidad respecto a ciertomódulo.

A. Criterios de divisibilidad entre potencias de 2

• Unnumeralesdivisibleentre2(21) si y solo sí suúltima cifra es par.

• Unnumeralesdivisibleentre4(22) si y solo síel numeral formado por sus 2 últimas cifras esdivisible entre 4.

• Unnumeralesdivisibleentre8(23) si y solo siel numeral formado por sus 3 últimas cifras esdivisible entre 8.

abcde = °2 → e = °2

abcde = °4 → de = °4

abcde = °8 → cde = °8

B. Criterios de divisibilidad entre 3 ó 9

Unnumeralesdivisibleentre3(oentre9)siysolosilasumadesuscifrasesdivisibleentre3(oentre9)

abcd = °3 → a + b + c + d = °3

abcd = °9 → a + b + c + d = °9

C. Criterios de divisibilidad entre potencias de 5

• Unnumeralesdivisibleentre5 siysolosísuúltima cifra es 0 ó 5.

• Unnumeralesdivisibleentre25siysolosisuúltima cifra es el numeral formado por sus 2últimas cifras es divisible entre 25.

• Un numeral es divisible entre 125 si y solo síel numeral formado por sus 3 últimas cifras esdivisible entre 125.

abcde = °5 → e = 0 ó °5

abcde = °25 → de = °25

abcde = °125 → cde = °125

D. Criterios de divisibilidad entre 11

Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si ladiferencia entre la suma de sus cifras de orden impary la suma de sus cifras de orden par es divisibleentre 11.

a b c d e = °11+ – + – +

(a + c + e) – (b + d) = °11

E. Criterios de divisibilidad entre 7

Un numeral es divisible entre 7 si almultiplicar acada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1,3, 2, –1, –3, –2,1,3,…yluegoefectuar,lasumaalgebraicaresultanteesdivisibleentre7.

1 2 3 1 2 3 1

abcdefg → a – 2b – 3c – d +2e+3f+g= °7

+ – +

F. Criterios de divisibilidad entre 13

Unnumeralesdivisibleentre13ysialmultiplicaracada una de sus cifras (a partir de la derecha) 1, –3,–4, –1, 3, 4, 1, –3, –4,…yluegoefectuar,lasumaalgebraicaresultanteesdivisibleentre13.

1 4 3 1 4 3 1

abcdefg

+ – +a + 4b + 3c – d – 4e – 3f + g = °13

G. Divisibilidad compuesta

Si N es divisible por A y B, lo será por su producto,siemprequeAyBtengancomoúnicodivisorencomún la unidad.

Si: N = °12 ⇒ N = °4 y N = °3, 4 y 3 tienen comoúnico divisor a 1.

DIVISIBILIDAD II


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Calcularelvalorde«x»sabiendoque67× 414esdivisibleentre9.

A) 5

B) 2

C) 6

D) 9

E) 4NIVEL FÁCIL

Resolución:

67× 414 = °9

Entonces:6+ 7 + x+ 4 + 1 + 4 = °9

22 +x= °9

x= 5

Respuesta: A) 5

Problema 2

Cuál es el valor de la suma de los valores quedebenreemplazara«M»y«N»enelnumeral 87653MNpara que sea divisible entre125?

A) 15

B) 12

C) 16

D) 13

E) 14NIVEL FÁCIL

Resolución

87653MN= °125

Como 125 = 53 3MN = °125 = 375

Luego:M= 7 ; N = 5

Respuesta: B) 12

Problema 3¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral 14y17 sea divisible entre11?A) 7B) 4C) 5D) 9E) 8

NIVEL FÁCIL

Resolución14y17 = °11

+–+–+Entonces:1 – 4 + y – 1 + 7 = °113 + y = °11y = 8

Respuesta: E) 8


ARITMÉTICATEMA 11

NÚMEROS PRIMOS

DESARROLLO DEL TEMA

I. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSENTEROS POSITIVOSLosnúmerosenterospositivossepuedenclasificarsegúnla cantidad de divisores enteros y positivos que tiene.

A. Número simpleSi tienen a lo más dos divisores

La Unidad.- Es el único número que tiene un solodivisor, el mismo

Primos Absolutos(NúmeroPrimo).-Sitienedosdivisores, la unidad y el mismo número 2; 3; 5; 7;11; 13; 17; ......................

B. Número compuestoSitienemásdedosdivisores4;6;8;9;.............

Los Números Primos Entre Sí (PESI)DosomásnúmerosenterossonP.E.S.I.cuandosuúnico divisor común es la unidad. Así por ejemplo 8 y15sonP.E.S.I.porque:D8 = {1; 2; 4; 8} D15 = {1; 3; 5; 15}D8 ∩ D15 = {1}

II. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAARITMÉTICA(Descomposición Canónica)Todo número entero positivo mayor a uno, es posibleexpresarlo como un producto de potencias de susdivisores primos diferentes. Dicha representación esúnica.Ejemplo: 24 = 23 × 31 (Descomposición canónica)(Descomposición Canónica)

Sea: N = a2.by.cz un número descompuesto canónicamentedondea,bycsonprimosyx,y,zsonenterospositivos

A. Cantidad de Divisores (CD(N))

CD(N)=(x+1)(y+1)(z+1)

B. Suma de los Divisores (SD(N))

SD(N) = ax+1 – 1a – 1

× by+1 – 1

b – 1 ×

cz+1 – 1c – 1

C. Producto de los Divisores(PD(N))

PD(N) = NCD(N)

D. Suma de las Inversas de los Divisores(SID(N))

SID(N) = SD(N)

N

III. ESTUDIO DE LOS DIVISORES ENTEROSPOSITIVOS DE UN NÚMEROObservación:

24=1;2;3;4;6;8;12;24

Divisores z+

divisoresprimos

divisoressimples

divisores compuestos

24=1;2;3;4;6;8;12;24

Divisores z+

divisores propios

• CD(N) = CD(SIMPLES) + CD(COMPUESTOS)

• CD(N) = CD(PRIMOS) + CD(COMPUESTOS)+ 1

NÚMEROS PRIMOS


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Halleelvalorde"n"sisesabequeelnúmero(189)n tiene 133 divisores.A) 14 B) 15C) 16 D) 13E) 12

UNMSM 2005 - I

NIVEL FÁCIL

Resolución:

(189)n = (33 × 7)n = 33n × 7n

Dato: (3n+1)(n+1) = 133 ∴n=16

Respuesta: C) 16

Problema 2Si M es la suma de los divisores positivos

de 48, entonces M+13

es:A) 3 B) 5C) 6 D) 7E) 8

UNMSM 2005 - II

NIVEL FÁCIL

Resolución:

48 = 24 × 31

M = 25–12–1

× 32–13–1

= 124

De:

M+13

= 24+13

= 5

Respuesta: B) 5

Problema 3Si el número M = 32×10n tiene 48 divisores positivos, entonces el valor de"n"es:A) 2 B) 1C) 4 D) 5E) 3

UNMSM 2008 - II

NIVEL FÁCIL

Resolución:

M = 32 × 2n × 5n

De: 48 = 3(n + 1)2

∴ n = 3

Respuesta: E) 3


ARITMÉTICATEMA 12

MCD – MCM

DESARROLLO DEL TEMA

I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) El máximocomúndivisordedosomásnúmerosenteros

positivos es aquel número entero positivo que cumple las siguientescondiciones:I. Está contenido en todos ellos (divisor de ellos).II. Es el mayor posible.

Ejemplo: Paralosnúmeros:12y18Div. de 12 = {1;2;3;4;6;12}Div. de 18 ={1;2;3;6;9;18}

Losdivisorescomunesson:1;2;3y6 Elmayordedichosdivisoreses6 ⇒ MCD (12; 18) =6

Observa que los divisores comunes a 12 y 18 son los divisores de su M.C.D.

Procedimientos de cálculo para el M.C.D.a. Pordescomposición en factores primos (descomposición

canónica).

Ejemplo: CalcularelMCDde360y300

Enprimerlugardescomponemoscanónicamentecadanúmero:

360= 23 × 32 × 5 300 = 22 × 3 × 52

LuegoelMCDeselproductodelosfactoresprimoscomuneselevadosasumenorexponente.

⇒MCD(360;300)=22 × 3 × 5 =60

II. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) El M.C.M. de varios números enteros positivos es aquel

número entero positivo que cumple dos condiciones:I. Contieneatodosellosexactamente(múltiplodeellos).II. Es el menor posible.

Ejemplo: Paralosnúmeros:4y6

Mult. (+)de4={4;8;12;16;20;24;...} Mult. (+)de6={6;12;18;24;30;...} Los múltiplos comunes son: 12; 24; ... etc. El menor de los múltiplos comunes es 12 ⇒ M.C.M.(4;6)= 12 Observa que los múltiplos comunes son múltiplos de su

M.C.M.

Procedimientos de cálculo para el M.C.M.a. Pordescomposiciónenfactoresprimos(descomposición

canónica).Ejemplo:Calcular el MCM de los números: 80; 180 y 150

Enprimerlugardescomponemoscanónicamentecadanúmero:80 = 24 × 5180 = 22 × 32 × 5150 = 2 × 3 × 52

Luego el MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

MCM (80; 180; 150) = 24 × 32 ×52=3600

Propiedades relativas al M.C.D. y al M.C.M.1. Si se tiene dos números “A” y “B” primos entre sí

(PESI)

M.C.D. (A y B) = 1M.C.M. (A y B) = A × B

2. Si el M.C.D. (A; B; C) = K

⇒ M.C.D. (nA ; nB ; nC) = nK

M.C.D. An

JKL

NOP

; Bn

; Cn

kn

=

MCD – MCM


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1El MCM de dos números es 30 030 y su MCD es 5. ¿Cuántos pares de números hayconestapropiedad?A) 8 B) 16C) 32 D) 64E) 60

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:Sean A y B los números, entonces el MCD (A, B) = 5Los números A y B se podrán escribir como:A = 5 p y B = 5 q; donde p y q son números primos entre sí.

Aplicando la propiedad:A × B = MCD (A, B) × MCM (A, B)

(5p) × (5q) = 5 × 30030

Entonces: p . q = 2 × 3 × 7 × 11 × 13

La cantidad de pares de valores enteros distintos será:

# de divisores de su producto2

# de pares =

(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)

2=

# de pares =16Observación: Solo se cumple cuando en la descomposición canónica tiene exponentesuno.

Respuesta: B) 16

Problema 2Si:

MCD (3 A; 24 C) = 18 N y MCD (2 C; B ) = 2N

Calcule “N” si:

MCD (A; 4 B; 8 C) = 21 000 A) 10 500 B) 21 000 C) 13 500 D) 12 200 E) 12 400

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:

MCD (3 A; 24 C) = 18 N

• MCD(A;8C)=6N...(a)

MCD (2 C; B) = 2 N

• MCD(8C;4B)= 8 N ... (b)

De (a) y (b)

MCD(A;4B;8C) =MCD(6N,8N)= 2 N

En el cual intervienen los tres números y nos piden: MCD (A; 4B; 8C) = 21 000 = 2 NN = 10 500

Respuesta: A) 10 500

Problema 3Determinar dos números de tres cifras, cuya suma es 432 y su MCM es 323 veces su MCD. Dar como respuesta la diferencia de dichos números.

3. Si el M.C.M. (A; B; C) = m

⇒ M.C.M. (nA ; nB ; nC) = nm

M.C.M. JKLAn ;

Bn ;

CnNOP

= mn

4. Los cocientes de dividir a varios números enteros por surespectivoM.C.D.sonPESI.

Si: M.C.D. (A ; B ; C) = K

AK = p= p

BK = q

CK = r

primosentresí(PESI)

De donde se deduce que:

A = K.p B = K.q y C = K.r

5. Los cocientes de dividir el M.C.M. de varios números entrecadaunodeellossonPESI

Si: M.C.M. (A ; B ; C) = m

mA = p= p

mB = q

mC = r

PESI

6. Propiedadsoloparadosnúmeros: Elproductodedosnúmerosesigualalproductode

su M.C.D. y su M.C.M.Si: M.C.D. (A ; B) = K

⇒ A × B = K × mM.C.M. (A ; B) = m

Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides Solo permite el cálculo del MCD de dos números Engeneral:seanlosnúmerosAyBdondeA>B

q1 q2 q3 q1 ← cocientes

A B r1 r2 r3 ← MCD

r1 r2 r3 0 ← residuos MCD(A;B) = r3

MCD – MCM


A) 12 B) 18 C) 24 D) 36E) 42

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:A + B = 542mcm(A; B) = 323 × MCD (A, B)

mcm (A, B)MCD (A, B)

=323 =17×19

Pesi

A = MCD × 17

B =MCD×19

MCD × (17 +19)= 432

MCD = = 1243236

B – A = (MCD)

B – A = 2 × 12 = 24

Respuesta: C) 24


ARITMÉTICATEMA 13

RACIONALES I

DESARROLLO DEL TEMA

I. DEFINICIÓN Se llama número racional a todo número que puede

representarse como el cociente de 2 enteros con denominador distinto de cero

II. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES• Consideramoslasparejasdenúmerosenteros(a;b)

donde b ≠ 0.• Sedenota(a;b).Aaselellamanumeradorya b se

le llama denominador.• Al conjunto de estos números (conjunto de los

racionales) se les denota por Q. Es decir: Q = {a

b/a∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

III. NÚMEROS FRACCIONARIOS Son aquellos números racionales que no son enteros.

Ejemplos: 57

; 312

; 15–4

; –7–8

A. Fracción Son aquellos números fraccionarios, cuyos términos

son positivos.

Ejemplos: 1213

; 94

; 12141

; 83

f = a

b→ numerador→ denominador

"f"esfracción⇔ a ≠ b, a ∈ Z+; b ∈ Z+

B. Clasificacióndelasfracciones

1. Por la comparación de su valor respecto de la unidad* Propia: Cuando es menor que la unidad.

f = < 1; a < bab

Ejemplos: 712

; 531

; 19

* Impropia: Cuando es mayor que la unidad.

f = > 1; a > bab

Ejemplos: 174

; 95

; 23164

Nota:• Todafracciónimpropiasepuedeexpresarcomo

una fracciónmixta, es decir, como una parteentera más una fracción propia.

• Expresarcomofracciónmixtaa:92

92

1 4

9

2= 4

1

2⇒

2. Por su denominador* Decimal: Cuando el denominador es una potencia de 10.

f = ; b = 10n; n ∈ Z+ab

Ejemplo: 7100

; 3100

; 17010000

* Ordinaria o común: Cuando el denominador no es una potencia de 10.

f = ; b ≠ 10n; n ∈ Z+ab

Ejemplo: 73

; 1831

; 7286

3. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos* Irreductible: Cuando sus términos sólo poseen como divisor

común a la unidad.

f=;aybsonPESI,MCD(a,b)=1ab

Ejemplos: 87

; 1549

; 1324

RACIONALES I


PROBLEMAS RESUELTOS

* Reductible: Cuando sus términos tienen más de un divisor

común.

f=;aybsonPESI,MCD(a,b)≠ 1ab

4.Porgrupodefracciones* Homogéneas: Todoslosdenominadoressoniguales.

Ejemplos: 815

; 915

; 4115

* Heterogéneas: Porlomenoshayundenominadordiferentea

los demás.

Ejemplos: 185

; 615

; 916

; 43

C. Propiedades

1. Sean ab

y cd

fracciones irreductibles.

2. Dadas las fracciones irreductibles:

am

; bn

; cp

Se cumple que:

MCD(a, b, c)MCM(m, n, p)

MCD ; ; =am

bn

cp

MCM(a, b, c)MCD(m, n, p)

MCM ; ; =am

bn

cp

Ejemplos:

MCD(18, 45, 27)MCM(11, 4, 22)

MCD ; ; = =1811

454

2722

944

MCM(9,21,7)

MCC(20, 32, 44)MCM ; ; = =

920

2132

744

634

Problema 1Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3; la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción?A) 3/4B) 3/7C) 3/5D) 3/8E) 3/6

Resolución:

Sea: f = 3D

De: 3D – 4

= 3D

+ 1

3JKL

1D–4

–

1DNOP = 1

4(D – 4)D

= 13

12 = D(D – 4) D=6

∴ f = 36

Respuesta: 3/6

Problema 2El número de fracciones irreductibles con denominador28;mayorque1/9peromenorque3/4es:A) 14 B) 8C) 17 D) 9E) 7

Resolución:

De: 19

< N28

< 34

3,1 < N ∧ N < 21 N=4;5;6;7;...;20

∴ Hay 17 fracciones

Respuesta: 17

Problema 3

Quéfracciónhayqueadicionara2/11paraqueseaigualalos2/3delos5/7delos4/9delos6/11de9.

A) 4/9

B) 5/7

C) 2/9

D) 6/7

E) 3/11

Resolución:

211

+ f = 23

× 57

× 49

× 611×9

211

+ f = 8077

∴ f = 67

Respuesta: 6/7


ARITMÉTICATEMA 14

RACIONALES II

DESARROLLO DEL TEMA

I. NÚMEROS DECIMALESA. Número Decimal

Esunaexpresiónenformalinealdeunafracción;lacual posee una parte entera y otra parte no entera,separados por una coma:

Parteentera

Parteno entera

Coma decimal

24 , 7531

B. Clasificacióndelosnúmerosdecimales

1. Decimal exacto

Presentaunnúmerolimitadodecifrasenlaparteno entera.

Ejemplo: 0,14 0,3152 32,005

Observaciones::• Una fracciónpropia irreductible,daráorigenaun

decimal exacto; cuando el denominador es unapotencia de 2 de 5 o del producto de potencias de2 y 5 únicamente.

• La cantidad de cifras decimales está dada porel mayor exponente de 2 ó 5 contenido en eldenominador de la fracción irreductible.Ejemplo: Las siguientes fracciones propias sonirreductibles:

• N22 ;origina2cifrasdecimales:0,ab.

• N54 ;origina4cifrasdecimales:0,abcd.

•N

2452 ;origina 4 cifras decimales: 0, abcd.

2. Decimal inexactoPosee infinita cantidad de cifras en la parte noentera. Se presentan dos casos:

a. Periódico puroPresentaelperíodo,inmediatamentedespuésde la coma decimal.Ejemplo: 0,6 =0,666...

12,35 = 12,353535 ...

Observaciones:Estosnúmerosdecimalessonoriginadosporfraccionesirreductibles cuyo denominador está formado por factores primos diferentes a 2 y 5.Ejemplos:

• 43

= 1,3 • 2311 = 2,09

•35333 = 0,105

La cantidad de cifras periódicas está dado por el menor número formado únicamente por cifras “nueve”, que contieneexactamentealdenominadorde la fracciónirreductible.Tabla de los Nueves

9= 32

99= 32 × 11999= 33 × 379999= 32 × 11 × 10199999= 32 × 41 × 271999999= 33 × 7 × 11 × 13 × 37

Lassiguientesfraccionessonirreductibles;entonces:

• N33Origina2cifrasperiódicas(33estáen99).

↓2 cifras

•N

101 Origina4cifrasperiódicas(101estáen9999)↓

4 cifras

RACIONALES II


Si el denominador de la fracción irreductible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de cifras periódicas está dada por el MCM de la cantidad de cifras de los menores númerosformadosporcifras9,quecontengana los factores primos indicados.Ejemplo:

7 6 cifras periódicas5 11 2 cifras periódicas

7 11 101 101 4 cifras periódicas

→

→× × →

Entonces la fracción señalada tendrá:MCM(6,2,4)= 12 cifras periódicas.

b. Periódico mixtoPresentaelperiodoluegodeunacifraogrupodecifras después de la coma decimal.Ejemplo:

0,12 = 0,1222... 2,4357 = 2,435757...

Observaciones:Las fracciones irreductibles que originan estosnúmeros decimales, poseen en el denominador producto de potencias de 2 ó 5 y además factores primos diferentes a 2 y 5.Ejemplo:

• 782

= 2

2 × 41 = 0,085365

• 1344

= 13

22 × 11 = 0,2954

Paraencontrarlacantidaddecifrasperiódicasynoperiódicasseprocedesegúncomose indicaen loscasos anteriores.Ejemplo:La fracción es irreductible:

•N

23 × 5 × 413 cifras no periódicas5 cifras periódicas

C. Fracción generatrizFracción común e irreductible equivalente a unnúmero decimal.• Paraundecimalexacto:

abcd0,abcd10000

=

Si posee parte entera:

E, abcd = E + 0, abcd

• Paraundecimalinexactoperiódicopuro:

abcd0,abcd =9999

Si posee parte entera:

E, abcd = E + 0, abcd

• Paraundecimalinexactoperiódicomixto:

abxyz – ab0,abxyz =99900

Si posee parte entera: E, ab xyz = E + 0,ab xyz

Denominador Cantidaddecifras

3;9 1

11 2

27; 37 3

101 4

41; 271 5

7; 13 6

239;4649 7

73; 137 8

Nota:Si hay 2 o más factores se calculará el MCM de las cantidades de cifras

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Unestudiantetienequeresolverciertosproblemas de ciencias en tres días. El primerdíaresuelve3/10deltotal,aldíasiguiente4/7del restoyelúltimodíalos 27 problemas restantes. ¿Cuál fue la cantidad de problemas que resolvió enlostresdías?A) 90 B) 80C) 70 D) 60E) 50

UNMSM 2004

Resolución:Sealacantidadproblemas:P

Resuelve Queda

1.er día: 3/10P 7/10P

2.do día: ( )4 7 p7 10 ( )3 7 p

7 10

3.er día: ( )3 7 p = 277 10

P= 90

Respuesta: P = 90

Problema 2Un caño llena un tanque vacío en 4horas y otro llena el mismo tanque en 12 horas. Si se abren ambos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en cuántas horassellenaráeltanque?A) 3 hB) 4 hC) 2 hD) 5 hE) 1 h

UNMSM 1999

RACIONALES II


Resolución:

En 1 hora En 1 hora A y B1A

1 1 14 + =4 12 31B

12

⇒ ⇒

Los dos caños juntos llenarán el tanque

en 3 horas

Respuesta: 3h

Problema 3Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tienelaescalera?

A) 40 B) 60C) 50 D) 70E) 90

NIVEL INTERMEDIO

Resolución:

4

4

N° de pasos =

xescalones

x4

5

5 xescalones

N° de pasos = x5

En el primer caso, se dieron 3 pasos más queenelsegundocaso;porlotanto:

x4 =

x5 + 3

Resolviendo:x=60

Respuesta: 60


ARITMÉTICATEMA 15

TANTO POR CIENTO

DESARROLLO DEL TEMA

I. INTRODUCCIÓNLaexpresión".....porciento"esderivadadelaexpresiónlatina “......per centum”, apareciendo en las principales obrasdearitméticaenlaItaliadelsigloXVysusigno(%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste en un libro de comercio y ciencias mercantiles en el año 1685.

II. DEFINICIÓNEl tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cienpartesen lascualessedivideunaciertacantidad.Porejemplo,sidecimosqueel10%de100esiguala10;esporque éste se sustenta en el hecho de que al número100seledividenen100partesregulares(perfectamenteiguales), demanera tal que se consideran de dichaspartes a unas diez. Las partes que se pueden considerarrespecto de una determinada cantidad pueden ser tantocomo fraccionarias.

Notación: = A%

A100

Sia%debesigualac:a%b=c⇔ a100

(b) = c

III. PORCENTAJEEs el resultado de aplicar el tanto por ciento a unadeterminada cantidad.A. Operaciones con porcentajes

1. Sumas y/o restas

a% ± b% = (a ± b)%

a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N

N = 100%N

2. Producto

a%xb%=x=%a

100b

100ab100

IV. DESCUENTO SUCESIVOSi tenemos 2 descuentos sucesivos del a % más el b %severificaqueeldescuentoúnico(DU)equivalenteserá:

DU = a + b – % a.b100

V. AUMENTO SUCESIVOPara2aumentossucesivosdela%máselb%elaumentoúnico(AU)equivalentees:

AU = a + b + % a.b100

VI. ASUNTOS COMERCIALESUnatransaccióncomercialeselintercambiodebienesyservicios a cambio de dinero que se establece entre dos omás personas, de manera que la persona que vende dichobien o dicho servicio puede obtener –como consecuenciade la transacción– un beneficio o una pérdida de supatrimonio.Parapoderenfrentardistintassituacionesrelacionadasconlos asuntos comerciales, esfundamentalysuficienteelcorrectoconocimientodeladefinicióndeporcentaje;aunquetambiénesnecesarioconocerlasdefinicionesdelasrelacionesfinancierasdadasacontinuación:1. Precio de Venta (Pv): es aquel con el cual se cotiza

un determinado artículo. Ejem: si en el mercadoobservamos que el kilo de Azúcar cuesta S/ 1,50entoncesdecimosqueS/1,50eselpreciodeventadel azúcar.

2. Precio de Costo ó de Compra (Pc): es aquel conel cual se adquiere un determinado artículo para su

TANTO POR CIENTO


PROBLEMAS RESUELTOS

posterior uso. Así por ejemplo, si compramos un costal de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir,S/1,20porcada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de costo por que ese fue el precio establecido para poder adquirir dicho producto.

3. Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista (PL): es el precio determinado en una lista o catálogodediversascompañíasoestablecimientoscomerciales. Ejemplo: Los precios de una determinada marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa.

4. Ganancia, Beneficio, Renta o Utilidad (G): es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que costo originalmente.Ejemplo:Siuntelevisorsecompraa200dólaresyluegosevendea300dólares,hablamosde una utilidad de 100 dólares.

5. Pérdida (P): es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio menor que lo quecostooriginalmente.Ejemplo:Sisecomprauntelevisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares, hablamos de una pérdida de 50 dólares.

6. Descuento (dscto; D): Reducción sobre el precio deventadeunartículo,otorgadaalcomprador.

Obs.:

1. Se determina al precio de venta como la suma del precio decostoylaganancia.

Pv=Pc+G ;dondePv>Pc

2. Se determina al precio de costo como la suma del precio de venta y la pérdida.

Pc=Pv+P ;dondePv<Pc

3. Sedefinealpreciodelistacomolasumadelpreciodeventa y el descuento.

PL=Pv+D ;dondePv<PL

• GeneralmentelaGyPsonenfuncióndePcydescuentodelPL

G=f(Pc);P=f(Pc);D=f(PL)

Problema 1

Se disminuye el ancho de un aficherectangular en 10% y el largo, en30%.¿Quéporcentajedeláreaoriginalrepresentaeláreadelaficherestante?

NIVEL INTERMEDIO

UNMSM 2011-II

A) 45% B) 63% C) 77%D) 70% E) 56%

Resolución:Ancho: ALargo:BÁrea inicial: 100%a.bNuevoancho:90%aNuevolargo:70%bNuevaárea:90%a.70%b=63%a.b

Respuesta: 63%

Problema 2

Unaempresainformáticaempleaa800

personas. De ellos, 42% son varones y el

50% de los varones no tiene más de 30

años. ¿Cuántos varones de esta manera

sonmayoresde30años?

NIVEL FÁCIL

UNMSM 2007-I

A) 168 B) 173 C) 183

D) 156 E) 178

Resolución:

Varones 42%.800 =36

50%.336=168varones≤ 30 años

Varones mayores de 30 años:

336–168=168

Respuesta: 168

Problema 3

Alvenderunobjetoganandoel45%

delpreciodecostoseganó210soles

másquesisehubieravendidoganando

solo el 15% del precio de costo.

¿Cuántocostóelobjeto?

NIVEL FÁCIL

UNMSM 2007-II

A) S/.1400 B) S/.700

C) S/.560 D) S/.1050

E) S/.840

Resolución:15%Pc+ 210 =45%Pcentonces 201 =30%PcPc= 700 soles

Respuesta: 700


ARITMÉTICATEMA 16

REGLA DE INTERÉS

DESARROLLO DEL TEMA

I. INTERÉS Llamamosinterésalbeneficioogananciageneradoporun

bien o capital, que ha sido prestado o depositado durante unperiododetiempoaunaciertacondiciónfinanciera(tasas).

Elementos que intervienen en el Cálculo del Interés

A. CapitalLo denotaremos con la letra “C” y es el dinero invertido o el bien prestado.

B. TiempoEs el período durante el cual se presta el capital y lo denotamos con la letra “t”.Tomaremos en consideración:

* 1 mes comercial <> 30 días

* 1añocomercial <>360días

* 1añocomún <>365días

* 1añobisiesto<>366días

C. Tasa de interésO llamado también rédito, la denotamos con el símbolo “r%”, quiere decir r partes de cada 100 unidades prestadas en una unidad de tiempo.Ejemplo:

• 6%mensual<> Cadames se recibe 6 partes de cada 100 partes del capital prestado.

• 12%trimestral<>Cadatresmesesserecibe12partes de cada 100 partes del capital prestado.

• 35%semestral<>Cada 6meses se recibe 35partes de cada 100 partes del capital prestado.

Tasas Equivalentes:

Diremos que:

8% Bimestral12% Trimestral16%Cuatrimestral24% Semestral48% Anual

4% mensual

Fórmulas del interés• Silatasayeltiempoestánenunmismoperiodo:

I=Cxr%t

• Silatasaestáenañosyeltiempoenmeses:

Cxr%t

12I =

• Silatasaestáenañosyeltiempoendías:

I = C ×r%xt

360

D. Monto

Lodenotamosconlaletra“M”yesigualalacantidadfinal de cada periodo o la suma del capital y losinteresesgeneradosoproducidosporelmismo.

M = C(1 + r % t)

Dondeporlogenerallatasaseencuentraenaños.

REGLA DE INTERÉS


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1UnapersonatieneS/16000queprestaal5%trimestralyotratieneS/20000que en presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serániguales?A) 10 añosB) 11 añosC) 14 añosD) 18 añosE) 20 años

Resolución:C=160005% trimestral <> 20 % anualM1 C2 = 200005 % cuatrimestral <> 15 % anual.M2

Pordato:

C1 1+ 20

100 × t = C2

1+ 15100

× t

4 1+ 4

20 t = 5

1+ 320

t

4 + 45

t = 5 + 34

t

t20

t = 1; t = 20 años

Respuesta: 20 años

Problema 2Carlos depositó $8000 a una tasa de interés del 0,5.% mensual. ¿Cuánto ganaráen3años?A) $ 1400B) $ 1800C) $ 1440D) $ 2000E) $ 3000

Resolución:Como la tasa es mensual y el tiempo está en años, debemos convertir cualquiera de las dos a las unidades de la otra.Convertiremos la tasa de interés:0,5%mensual<>12×0,5=6%anualLuego:C = $8 000r=0,5%mensual=6%anualmismas

unidadest = 3 años

I=??→ I =C. r. t100

= 8000 × 6×3

100

= $1440

Respuesta: $1440

Problema 3Luis se prestó S/.9 000 del Banco deCrédito a una tasa del 14 % anual, pactando devolverlo en 5 meses. ¿Qué

suma tendrá que devolver al banco al vencerseelplazo?A) 9000B) 7000C) 6582D) 3562E) 9525

Resolución:C=S/9000

r = 14% anual

t=5meses=5/12añoM=??

I = C. r. t100

= 9000× 14 ×

100

512 =S/.525

Como nos piden la suma que debe devolver al banco, se suma el capital más los intereses, denominándose esto el monto (M).

M = C + I

M=9000+525=9525

Respuesta: 9525

jhsf

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