OPTICA GEOMÉTRICAFísica de 2º de Bachillerato

Optica geométrica 2

La óptica geométrica explica los fenómenosluminosos a partir del concepto de rayo.

El rayo es la trayectoria que sigue la luz ensu propagación.

La luz se propaga en el vacío a la velocidadde la luz, que es constante, nunca sedetiene. Da igual a qué velocidad persigamosun rayo de luz; siempre se alejará denosotros a la velocidad de la luz.

Optica geométrica 3

INDICE

1.Introducción.

2.Reflexión y refracción de la luz.

3.Conceptos previos y criterio de signos.

4.Dioptrio esférico y plano.

5.Espejos.

6.Lentes delgadas.

7.El ojo humano y sus defectos.

8.Instrumentos ópticos.

Optica geométrica 4

1. INTRODUCCIÓN

La luz se propaga en línea recta en un medio homegéneo e

isótropo.

Rayo es una línea imaginaria en la dirección de propagación

de la luz.

La óptica geométrica explica el comportamiento macroscópico

de la luz a partir del concepto de rayo.

La medida de la velocidad de la luz: Galileo, O. Roemer,

Bradley, Fizeau, Foucaul y Michelson.

Actualmente se acepta 82,99792456 10 /c m s

Optica geométrica 5

El índice de refracción siempre es mayor que 1.

En el vacío la velocidad de la luz es la misma para cualquier

longitud de onda.

En cualquier otro medio la velocidad depende de la longitud de

onda.

Cuando la luz se propaga en un medio material la frecuencia

no varía. La frecuencia depende de la fuente y no del medio, y

si cambia la velocidad es que cambia la longitud de onda.

0 0c f c

nv f v

Indice de refracción de un medio transparente es la relación

entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en dicho

medio v. cn

v

Optica geométrica 6

2. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ

• El rayo indicente, el reflejado y la normal están en el mismo

plano.

• El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

i r

N

O

AB

REFLEXIÓN DE LA LUZ

Optica geométrica 7

• El rayo indicente, el refractado y la normal están en el mismo

plano.

• El producto del índice de refracción del primer medio por el

seno del ángulo de incidencia es igual al índice de refracción

del segundo medio por el seno del ángulo de refracción.

REFRACCIÓN DE LA LUZ

i

r

N

O

A

B

n1

n2

1 2ˆ ˆsen senn i n r

- Invariante de refracción.

- Cuando un rayo pasa a un medio

más refringente se acerca a la normal.

Optica geométrica 8

Cuando un rayo pasa a un medio menos refringente se aleja

de la normal. Existirá un ángulo, ángulo límite, a partir del cual

no se produce refracción y solo se produce reflexión total.

REFLEXIÓN TOTAL

i

N

O

AB

n2

n1

1 2

2

1

ˆsen sen 90º

ˆ arcsen

n L n

nL

n90º

L

Optica geométrica 9

E1. Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un

cubo de vidrio de índice de refracción n’ = 1,5. El cubo está

sumergido en agua (n = 4/3) ¿Con qué ángulo debe incidir

para que en la cara superior del cubo haya reflexión total?

R: 31,33º

a) La velocidad de la luz en estos dos materiales.

b) El índice de refracción relativo de este vidrio respecto al

agua.

c) La longitud de onda de esa luz en ambos materiales

R: 2,25·108 m/s y 1,97·108 m/s; 1,14; 449 nm; 387,5 nm

E2. Los índices de refracción para el agua y

para el vidrio Crown con luz de 589 nm son

nagua = 1,333 y nvidrio = 1,52 respectivamente.

Calcular:

Optica geométrica 10

Se trata de dos refracciones sucesivas en láminas paralelas.

- El ángulo de emergencia es igual al ángulo de incidencia.

- Queda por determinar la desviación del rayo

LAMINAS PLANO PARALELAS

1 2

2 1

ˆ ˆsen sen

ˆ ˆˆ ˆ ' '

ˆˆsen '

n i n r

r r i i

n r n sen i

ˆsenˆ ˆsen ( )ˆ ˆ ˆˆcos

ˆcos

ABi r

i r er

eAB

r

i

N

A

B

n1

N’

n2

r r’

i’n1

e

Optica geométrica11

Son dos refracciones sucesivas en láminas no paralelas.

- Cálculo del ángulo de emergencia i’, desviación mínima min

- Determinación de n a partir de la desviación mínima.

PRISMA OPTICO

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ' ' 2r r i i r

ˆ ˆ1 sen sen

ˆ ˆ ˆ '

ˆˆsen ' 1 sen '

i n r

r r

n r i

min

min

min

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆˆ

2

ˆ ˆ1 sen sen

ˆ ˆ ˆsen sen

2 2

i

i

i n r

n

1

1

ir r’

i’

n

Desviación

mínima

minˆ ˆ

sen2ˆ

sen2

n

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ' '

ˆ ˆ ˆ ˆ'

i r i r

i i

Optica geométrica 12

E3. Sobre una lámina de vidrio de caras planoparalelas, de

espesor 2 cm y de índice de refracción n=3/2 situada en el aire,

incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30º con

respecto a la normal. Determina la distancia recorrida por el

rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo

emergente.

R: 2.12 cm; 0,387 cm

E4. Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral

de un prisma de vidrio, de índice de refracción n = √2 . El

ángulo del prisma es a = 60º. Determina:

a) El ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral

si el ángulo de incidencia es de 30º. (Efectuar un esquema

grafico de la marcha del rayo)

b) El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia

del rayo sea 90º.

R: 63,6º; 21,47º

Optica geométrica 13

3. CONCEPTOS PREVIOS Y CRITERIO DE SIGNOS

DIOPTRIO son dos medios transparentes, homogéneos e

isótropos, con índices de refracción distintos separados por

una superficie plana o esférica.

El centro de la superficie esférica se llama centro de curvatura

del dioptrio, C.

El conjunto de varios dioptrios es un sistema óptico.

El eje común de todos los dióptrios se denomina eje óptico.

El vértice o centro óptico del dioptrio es la intersección del

dioptrio esférico con el eje óptico, O.

Imágenes reales y virtuales.

Optica geométrica 14

Las imágenes se nombran igual que los objetos pero con el

signo «prima».

Los puntos se señalan con mayúscula, las distancias con

minúscula (excepción el radio R).

Los ángulos con letras griegas o en cursiva.

La luz se propaga de izquierda a derecha.

Para determinar el signo de las distancias se utiliza un

sistema cartesiano con el eje óptico de abscisas y origen en

el centro óptico.

El signo de los ángulos será positivo si es antihorario. Los

ángulos de incidencia, reflexión y refracción al contrario.

Optica geométrica 15

4. DIOPTRIO ESFÉRICO Y PLANO

Rayos paraxiales sen tg

ˆ ˆ ˆ ˆsen ' sen ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ' '' 'ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ''

'ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' '

n i n i n i n i n nn n n n

i i h h h hs s Rn n

R s R si i

DIOPTRIO ESFÉRICO

Optica geométrica 16

4. D

IOP

TR

IO E

SF

ÉR

ICO

Y P

LA

NO

DIO

PT

RIO

ES

FÉ

RIC

O

Optica geométrica 17

DISTANCIAS FOCALES

Foco imagen F’ es el punto donde se juntan los rayos que

proceden del infinito. Si s=- entonces s’=f’' ' '

'' '

n n n n nf R

f R n n

Dividiendo y sumando ambas expresiones' 'f n

f n'f f R

Si en la ecuación del dioptrio se dividen los dos miembros por

el segundo se obtiene la ecuación de Gauss '1

'

f f

s s

Foco objeto F es el punto donde donde deben pasar los rayos

para que salgan paralelos. Si s=f entonces s’=' '

'

n n n n nf R

f R n n

Optica geométrica 18

TAMAÑO DE LAS IMÁGENES

Aumento lateral, ML, es la relación entre el

tamaño de la imagen, y’, y el del objeto, y.

'L

yM

y

'M

'; '

' '

h h sM

s s s

' ' 'y n y n

Aumento angular, M , es la relación entre el ángulo ' que

forma el rayo emergente con el eje óptico y el ángulo que

forma el correspondiente rayo incidente con el eje óptico.

'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ;'

' ' 'ˆ ˆ' '' '

L

y yi seni tg i r sen r tg r

s s

y y y n sn i n r n n M

s s y n s

Invariante de Helmohltz

Optica geométrica 19

DIOPTRIO PLANO

Si en la ecuación del dioptrio

esférico hacemos el radio igual a

infinito se tiene la ecuación del

dioptrio plano

' ' '

' '

' '1 '

'L

n n n n n n

s s R s s

y n sy M y y

y n s

O’

O

s’

s

n‘

n

N

Optica geométrica 20

E5. En el centro de una esfera de ámbar de 2,5 cm de radio

hay un insecto fosilizado, si su tamaño aparente es de 5 mm y

el índice de refracción del ámbar es n=1,53 ¿Cuál es el tamaño

real del insecto? Calcula la distancia focal imagen y la distancia

focal objeto.

R: -2,5 cm; 3,27 mm: 4,72 cm; -7,22 cm

E6. Un pescador situado en su barca se encuentra a 2,5 m de

altura sobre la superficie del agua, mientras un pez nada 1 m

por debajo de ella.

a) ¿A qué distancia sobre la superficie del agua ve el pez al

pescador?

b) ¿Y el pescador al pez?

Índice de refracción del agua 1,33

R: 3,325 m; 0,75 m;

Optica geométrica 21

Datos: R = -2,5 cm; n = 1,53; n' = 1; s = -2,5 cm

' ' 1 1,53 1 1,53Ecuación del dioptrío: ' 2,5

' ' 2,5 2,5

' ' 5 1,53 ( 2,53)3,27

' 1 ( 2,53)

Distancias focales:

1 1,53 1 1,53'

' 2,5

L

n n n ns cm

s s R s

y n sy M y cm

y n s y

ff

1 1,53 1 1,534,72 7,22

' 2,5cm y f cm

f

Optica geométrica 22

Datos: = 1,33; 2,5 cm; s = 1 cm

'Ecuación del dioptrío plano:

'

El pez al pescador:

' 1,33 1' 3,325

' ' 2,5

El pescador al pez:

' 1 1,33' 0,755

' ' 1

aguan s

n n

s s

n ns m

s s s

n ns m

s s s

Optica geométrica 23

5. ESPEJOS

En los espejos el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

ESPEJOS PLANOS

ˆ ˆ' ' 'n i n i n n

A partir de la ecuación del dioptrio plano.

''

'

' '1 '

'L

n ns s

s s

y n sM y y

y n s

Optica geométrica 24

A partir de la ecuación del dioptrio sustituyendo n’=-n.

ESPEJOS ESFÉRICOS

' ' 1 1 2

' ' '

n n n n n n n n

s s R s s R s s R

'2

Rf fDistancias focales. Si s=- , s’=f’ y si s=f, s’=+ .

1 1 1

'

' ' '

'L L

s s f

y n s sM M

y n s s

Optica geométrica 25

Construcción de imágenes con espejos esféricos

Optica geométrica 26

E7. Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de distancia focal,

y a 25 cm de él, se encuentra un objeto de 1 cm de altura

dispuesto perpendicularmente al eje de espejo. Hacer la

construcción gráfica y calcular la posición y el tamaño de la

imagen.

R: 50 cm; 2; virtual/derecha/mayor

E8. A 20 cm. delante de un espejo convexo de 0.5 m de

distancia focal se coloca un objeto de 1 cm. Calcula la

posición, tamaño y el tipo de imagen formada por reflexión en

el espejo.

R: 14,28 cm; 0,7 cm; virtual/derecha/menor

Optica geométrica 27

6. LENTES DELGADAS

Sistema óptico formado por dos dioptrios y al menos uno es

esférico.

Pueden ser convergentes, de bordes finos o divergentes, de

bordes gruesos.

Se aplica la ley del dioptrio dos veces.

1 2

1 1 1 1( 1)

'n

s s R R 1 1

1 2

1 1

'

1 1

' '

n n

s s R

n n

s s RA A1A’C1 C2

R2 R1

s s’

s’1

1 2

1 1 1 1( 1)

'n

s s R R

Optica geométrica 28

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) ( 1)

' ' '

' ' '

'L L

n y nf R R f R R s s f

y n s sM M

y n s s

Las distancias focales. Si s=- s’=f’ y si s=f s’=+

Potencia de una lente1

'( )P

f m

Distancias focales, aumento y potencia de una lente

Optica geométrica 29

- Rayo que incide paralelo al eje óptico sale por el

foco imagen F’.

- Rayo que incide pasando por el foco objeto sale

paralelo al eje.

- Rayo que incide pasando por el centro óptico no se

desvía.

Construcción de imágenes con lentes delgadas

- Las imágenes reales no se ven,

se pueden proyectar en una

pantalla. Se forman cuando los

rayos convergen y se juntan.

- Las imágenes virtuales se ven

pero no pueden recogerse en una

pantalla. Se forman cuando los

rayos divergen y son sus

prolongaciones las que se juntan.

Optica geométrica 30

E9. Situamos un objeto de 2,0 cm de altura a 15 cm de una

lente de 5 dioptrías.

a) Dibujar un esquema con la posición del objeto la lente y la

imagen.

b) Calcular la posición de la imagen

c) ¿Cuál es el aumento? ¿Qué tipo de imagen se forma?

R: -60 cm; 4; virtual/mayor/derecha

E10. Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de

-20 y +40 cm. Su índice de refracción es de 1,8 y se coloca un

objeto de 4 mm a 50 cm de la lente. Calcula:

a) La potencia óptica de la lente.

b) Dónde se forma la imagen.

c) El tamaño de la imagen.

R: -12,5 cm y 1 mm

Optica geométrica 31

Geométricas:

- Esférica: no coincide el foco marginal y el foco paraxial.

- Coma: análogo a la aberración esférica para puntos que no están en el eje.

- Astigmatismo: cuando pierde la simetría la onda esférica.

- Curvatura de campo: es el efecto total o integral del astigmatismo.

- Distorsión: cuando el aumento lateral no es el mismo en todas las direcciones.

Aberraciones ópticas

Cromática: igual que la esférica pero debida a las diferentes longitudes de onda.

Optica geométrica 32

7. EL OJO HUMANO Y SUS DEFECTOS

El cristalino enfoca delante de la retina. El cristalino tiene

demasiada curvatura o el ojo es mayor de lo normal. Un

miope ve los objetos lejanos borrosos.

Se usan lentes divergentes para corregirla.

Miopía

El cristalino enfoca detrás de la retina. El cristalino tiene poca

curvatura o el ojo es menor de lo normal. Un hipermetrope ve

los objetos próximos borrosos.

Se corrige con lentes convergentes.

Hipermetropía

Optica geométrica 33

La cornea no es perfectamente esférica y el ojo no enfoca simultáneamente las líneas

horizontales y verticales, también puede ser debido a la falta de esfericidad del cristalino.

Se corrige con lentes cilíndricas.

Astigmatismo

Es vista cansada. Pierde acomodación el cristalino. Los músculos ciliares se debilitan y

disminuye la flexibilidad del cristalino. Los objetos próximos se ven con dificultad. Se corrige

con lentes convergentes

Presbicia

Es una patología. El cristalino pierde transparencia debido a la edad.

Se corrige sustituyendo el cristalino por una lente artificial mediante intervención quirúrgica.

Cataratas

Optica geométrica 34

E11. El ojo normal puede acomodar desde el infinito hasta 25

cm de él. Calcula el poder de acomodación, es decir la

convergencia de una lente que, colocada delante del ojo,

permita ver el punto próximo sin necesidad de acomodación.

R: 4 D

E12. Un ojo miope tiene un punto remoto en 0,5 m y un punto

próximo en 15 cm. Calcula las dioptrías de una lente

divergente que se debe coloca delante del ojo para corregir su

miopía, es decir, para que vea los objetos situados en el infinito

sin necesidad de acomodación.

R: -2 D

Optica geométrica 35

8. INSTRUMENTOS ÓPTICOS

Lupa o microscopio simple

y’

y

F F’

- Formada por una lente convergente. El objeto debe colocarse entre el foco y la

lente.

- La imagen se forma a 25 cm delante de la lente y es virtual, derecha y mayor.

- El aumento lateral es: ' 0,25

' 4L L

s PM M

s f

Optica geométrica 36

Microscopio

y’

y

y’’

F2F1

F ’2F ’1

1 2

1 2

1 2

25

' '

25

dM M M

f f

dM

f f

- El objeto se coloca delante del foco del objetivo y forma una imagen real después de la

distancia focal del ocular, que a su vez forma una imagen virtual, invertida y mayor a 25 cm.

y las dos distancia focales son mucho menores que d, la distancia entre lentes.1 2' 'f f

- El aumento del microscopio es:

Optica geométrica 37

Anteojo astronómico

F ’=F1 2

- El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes

- El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular.

- Produce una imagen: virtual, invertida y mayor.

- El aumento angular

1 2' 'f f

1

2

'

'

ftgM

tg f

Optica geométrica

38

Catalejo

F ’1F2

- El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes, pero se intercalan dos lentes

acromática, una en la distancia focal de la otra, que invierten la imagen

- Produce una imagen: virtual, derecha y mayor.

- El aumento angular es el mismo, que en el anteojo astronómico, pero positivo.

Optica geométrica 39

Prismáticos

- Acorta la longitud del catalejo don dos prismas en reflexión total.

Optica geométrica 40

Anteojo de Galileo

- El objetivo es una lente convergente y el ocular es divergente, para invertir la imagen

- El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular.

- Produce una imagen: virtual, derecha y mayor.

F1 2’=F

Optica geométrica 41

E13. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes

delgadas convergentes de igual distancia focal (f = 10 cm)

separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca

delante de la primera lente a una distancia de 15 cm.

Determine:

a) La posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada

por la primera lente.

b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su

construcción geométrica.

R: 30 cm; -2 cm; real/invertida/mayor; infinito