Optimizaci on y Programaci on Lineal · La regla del 100 % Optimizaci on y Programaci on Lineal 17...

Optimizacion y Programacion Lineal

La regla del 100 %

17 de febrero de 2011

La regla del 100 % () Optimizacion y Programacion Lineal 17 de febrero de 2011 1 / 21

Introduccion

Introduccion

Veamos ahora como utilizar la salida de LINDO para determinar si lasolucion encontrada continua siendo optima cuando se cambian dos o masparametros en la funcion objetivo o en los lados derechos


Dos o mas cambios en z: Caso 1

Dos o mas cambios en z : Caso 1

1 Los coeficientes que cambian son relativos a variables que tienen, todos,costo reducido diferentes de cero:

La solucion encontrada sigue siendo optima si y solo si el cambioen cada variable se encuentra dentro del intervalo permisible.


Dos o mas cambios en z: Caso 2

Dos o mas cambios en z : Caso 2

2 Hay al menos una variable cuyo coeficiente cambio y esta tiene costoreducido cero:

Se define:

cj = coeficiente de xj en z∆cj = cambio en cjIj = maximo incremento permisible para cjDj = maximo decremento permisible para cj

Para cada xj , definamos rj = ∆cj/Ij si ∆cj ≥ 0 y rj = −∆cj/Dj si∆cj < 0. Ası, siempre rj ≥ 0.

La solucion permanece optima si

n∑i=1

ri ≤ 1


Modelo 1

Modelo 1

Mi dieta requiere que toda la comida que yo como sea de uno de los 4 gruposbasicos. (Pastelillos de chocolate, nieve, refresco y pay de queso) Las cuatrocomidas estan disponibles en las presentaciones: brownies, nieve de chocolate,Cola y pay de queso con pina. Cada brownie cuesta 50 centavos de dolar, cadacucharada de nieve de chocolate cuesta 20 centavos, cada botella de Cola cuesta30 centavos de dolar y cada rebanada de pay de queso con pina cuesta 80centavos. Cada dıa yo debo ingerir al menos 500 calorias, 6 oz de chocolate, 10onzas de azucar y 8 onzas de grasa. La tabla con la informacion nutrimental se daa continuacion. Modele y resuelva el problema de encontrar un plan alimenticiode mınimo costo.

Tipo Calorias Chocolate(Onzas) Azucar(Onzas) Grasa(Onzas)

Brownie 400 3 2 2Nieve chocolate(1 cucharada) 200 2 2 4

Cola(1 botella) 150 0 4 1

Pay(1 rebanada) 500 0 4 5

Suponga que el precio de los brownies sube hasta los 60 centavos y que el precio

del pay disminuye hasta los 50 centavos, ¿seguira siendo optima su solucion?


Modelo 1

Modelo: La dieta se describe indicando la cantidad de productos a consumir, portanto las variables de decision son:

x1 = numero de brownies al dıa (x1 ≥ 0),

x2 = numero de cucharadas de nieve de chocolate al dıa (x2 ≥ 0),

x3 = numero de botellas de Cola al dıa (x3 ≥ 0), y

x4 = numero de rebanadas de pay de queso con pina al dıa (x4 ≥ 0).

Lo que se pretende es minimizar el costo de la dieta, por tanto el objetivo es:

Minimizar z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 + 80 x4 (en centavos)

Las restricciones se imponen por los requerimientos

Consumo Requerimiento400 x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 ≥ 500 Calorıas

3 x1 + 2 x2 ≥ 6 Chocolate onzas2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 ≥ 100 Azucar onzas2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 ≥ 8 Grasa onzas


Modelo 1

MIN 50 X1 + 20 X2 + 30 X3 + 80 X4SUBJECT TO

2) 400 X1 + 200 X2 + 150 X3 + 500 X4 >= 5003) 3 X1 + 2 X2 >= 64) 2 X1 + 2 X2 + 4 X3 + 4 X4 >= 105) 2 X1 + 4 X2 + X3 + 5 X4 >= 8

ENDLP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 90.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 0.000000 27.500000X2 3.000000 0.000000X3 1.000000 0.000000X4 0.000000 50.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 250.000000 0.0000003) 0.000000 -2.5000004) 0.000000 -7.5000005) 5.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE

X1 50.000000 INFINITY 27.500000X2 20.000000 18.333334 5.000000X3 30.000000 10.000000 30.000000X4 80.000000 INFINITY 50.000000

RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE2 500.000000 250.000000 INFINITY3 6.000000 4.000000 2.8571434 10.000000 INFINITY 4.0000005 8.000000 5.000000 INFINITY

Deducimos que el plan productivo que

minimiza el costo es X 1 = 0, X 2 = 3,

X 3 = 1 y X 4 = 0 y tal dieta tiene

un costo de 90 centavos. Suponga aho-

ra que el precio brownies (X 1) aumenta

hasta 60 centavos y que el precio de la

rebanada de pay disminuye (X 4) hasta

los 50 centavos. ¿El plan de dieta sigue

siendo optimo?

Estos cambios afectan solo a la funcion

objetivo. Como ambas variables (X 1 y

X 4) tienen costos reducidos diferentes

de cero, estamos en una situacion don-

de aplica el caso 1.


Modelo 1

Ejemplo 1 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dieta)

Suponga ahora que el precio brownies (X 1) aumenta hasta 60 centavos y que el

precio de la rebanada de pay disminuye (X 4) hasta los 50 centavos. ¿El plan de

dieta sigue siendo optimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 90.00000


.....................................................RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASEX1 50.000000 INFINITY 27.500000X2 20.000000 18.333334 5.000000X3 30.000000 10.000000 30.000000X4 80.000000 INFINITY 50.000000

.....................................................

b Parte del reporte de LINDO c

La solucion encontrada sigue siendo optima si y solo si el cambio encada variable se encuentra dentro del intervalo permisible.

Como el rango para el coeficientes de X1 es el intervalo

22.5 = 50− 27.5 ≤ x ≤ 50 +∞ =∞ y el rango para el coeficiente de X4 es en el

intervalo 30 = 80− 50 ≤ x ≤ 80 +∞ =∞, y como ambos cambios estan en

rango, el plan alimenticio sigue siendo optimo.


Modelo 1


Suponga ahora que el precio brownies (X 1) aumenta hasta 60 centavos y que el

precio de la rebanada de pay disminuye (X 4) hasta los 50 centavos. ¿El plan de

dieta sigue siendo optimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 90.00000





.....................................................


La solucion encontrada sigue siendo optima si y solo si el cambio encada variable se encuentra dentro del intervalo permisible.

Como el rango para el coeficientes de X1 es el intervalo

22.5 = 50− 27.5 ≤ x ≤ 50 +∞ =∞ y el rango para el coeficiente de X4 es en el

intervalo 30 = 80− 50 ≤ x ≤ 80 +∞ =∞, y como ambos cambios estan en

rango, el plan alimenticio sigue siendo optimo.La regla del 100 % () Optimizacion y Programacion Lineal 17 de febrero de 2011 8 / 21

Modelo 1


Suponga que el precio del brownie (X1) baja a 40 centavos y que el precio de la

rebanada de pay (X4) baja a los 25 centavos. ¿Sera optimo el plan?OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 90.00000





.....................................................


Como las variables cuyos coeficientes se modificaron tienen ambas costo reducido

diferente de cero, entonces el caso 1 se aplica. Los intervalos de variacion

calculados anteriormente son para el coeficiente de X1 el intervalo [22.5,∞] y el

coeficiente de X4 el intervalo [30,∞]. Apesar de que el coeficiente de X1 en z

este en el intervalo de variacion, al estar el coeficiente de X4 en z de 25 fuera de

su intervalo de variacion, estamos seguros que el optimo ha cambiado y que debe

resolverse el nuevo modelo.


Modelo 2

Modelo 2

Dakota Furniture fabrica escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada tipode mueble requiere madera y dos tipos de trabajo especializado: carpinterıa yacabado. La cantidad de recursos que requiere cada tipo de mueble se da en lasiguiente tabla.

Recurso Escritorio Mesa Silla Unidades

Madera 8 6 1 en piesCarpinterıa 4 2 1.5 en horas

Acabado 2 1.5 0.5 en horas

Se disponen de 48 pies de madera, de 8 horas de carpinterıa y de 20 horas para

acabado. Cada escritorio se vende en 60 dolares, cada mesa en 30 dolares y cada

silla en 20 dolares. La companıa cree que que la demanda de escritorios y sillas en

ilimitada pero que se pueden vender a lo mas 5 mesas. La companıa desea

maximizar el ingreso total porque se han comprado los recursos. Resuelva el

problema e indique si el plan productivo de la companıa se mantiene si el precio

de los escritorios sube hasta 70 dolares y el precio de las sillas baja hasta los 18

dolares.


Modelo 2

SolucionEl plan productivo se define indicando la cantidad de cada producto a producir.Por tanto, las variables de decision son:

E = el numero de escritorios a producir (E ≥ 0),

M = el numero de mesas a producir (M ≥ 0), y

S = el numero de sillas a producir (S ≥ 0)

La funcion a optimizar es la venta, es decir:

z = 60 E + 30 M + 20 S (en dolares)

Las restricciones son impuestas por los recursos y las demandas:

Utilizado/Producido Disponible/Lımite8 E + 6 M + S ≤ 48 (madera en pies)4 E + 2 M + 1.5 S ≤ 20 (horas de acabado)2 E + 1.5 M + 0.5 S ≤ 8 (horas de carpinterıa)

M ≤ 5 (lımite de demanda de mesas)


Modelo 2

MAX 60 E + 30 M + 20 SSUBJECT TO

2) 8 E + 6 M + S <= 483) 4 E + 2 M + 1.5 S <= 204) 2 E + 1.5 M + 0.5 S <= 85) M <= 5

ENDLP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 280.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTE 2.000000 0.000000M 0.000000 5.000000S 8.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 24.000000 0.0000003) 0.000000 10.0000004) 0.000000 10.0000005) 5.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:


COEF INCREASE DECREASEE 60.000000 20.000000 4.000000M 30.000000 5.000000 INFINITYS 20.000000 2.500000 5.000000

RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE2 48.000000 INFINITY 24.0000003 20.000000 4.000000 4.0000004 8.000000 2.000000 1.3333335 5.000000 INFINITY 5.000000

Deducimos que el plan productivo que

maximiza la ganancia es E = 2, M = 0,

y S = 8 y tal plan da una venta de 280

dolares. Suponga ahora que el precio de

los escritorios sube hasta los 70 dolares y

que las sillas bajan hasta los 18 dolares.

El plan productivo sigue siendo optimo?

Estos cambios afectan solo a la funcion

objetivo. Como al menos una de las va-

riables (E y S) tienen costos reducidos

cero, estamos en una situacion donde

aplica el caso 2.


Modelo 2

Ejemplo 3 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dakota)

Suponga ahora que el precio de los escritorios sube hasta los 70 dolares y que las

sillas bajan hasta los 18 dolares. El plan productivo sigue siendo optimo?OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 280.0000





.....................................................


Para aplicar la regla del 100 %, hagamos los calculos:

Para E : ∆C1 = 70− 60 = 10, I1 = 20 y por tanto r1 = 10/20 = 0.5.

Para S : ∆C3 = 18− 20 = −2, D3 = 5 y por tanto r3 = −(−2)/5 = 0.4.

Para M: ∆C2 = 0, y por tanto r2 = 0.

Como3∑

i=1

ri = r1 + r2 + r3 = 0.5 + 0.0 + 0.4 = 0.9 < 1

el plan productivo original sigue dando la maxima ventaja.


Modelo 2

Ejemplo 3 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dakota)

Suponga ahora que el precio de los escritorios sube hasta los 70 dolares y que las

sillas bajan hasta los 18 dolares. El plan productivo sigue siendo optimo?OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 280.0000





.....................................................

b Parte del reporte de LINDO cPara aplicar la regla del 100 %, hagamos los calculos:

Para E : ∆C1 = 70− 60 = 10, I1 = 20 y por tanto r1 = 10/20 = 0.5.

Para S : ∆C3 = 18− 20 = −2, D3 = 5 y por tanto r3 = −(−2)/5 = 0.4.

Para M: ∆C2 = 0, y por tanto r2 = 0.

Como3∑

i=1

ri = r1 + r2 + r3 = 0.5 + 0.0 + 0.4 = 0.9 < 1

el plan productivo original sigue dando la maxima ventaja.La regla del 100 % () Optimizacion y Programacion Lineal 17 de febrero de 2011 13 / 21

Dos o mas cambios en los lados derechos


Caso 1 Condicion: Ninguna de las restricciones de los lados derechos quecambia es obligatoria (se cumple con = equivalentemente precio dual cero).Regla:

La base (no la solucion) sigue siendo optima si y solo si el cambioen cada lado derecho se encuentra dentro del intervalo permisible.



Caso 2 Condicion: Hay al menos una restriccion obligada (precio dualdiferente de cero) cuyo lado derecho cambia. Se define:

bj = lado derecho de la restriccion j∆bj = cambio en bj

Ij = maximo incremento permisible para bj

Dj = maximo decremento permisible para bj

Para cada xj , definamos rj = ∆bj/Ij si ∆bj ≥ 0 y rj = −∆bj/Dj si∆bj < 0. Ası, siempre rj ≥ 0.Regla:

La base permanece optima sin∑

i=1

ri ≤ 1

No se sabe que puede pasar si se excede 1: habra casos donde la basesigue optima y habra otros donde deje de serlo.


Ejemplo 4

Ejemplo 4

Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se disminuye el requerimientode calorıas hasta 400 y que el requerimiento de grasa aumenta a 10 onzas. ¿Comose vera afectado el optimo?SolucionComo las restricciones afectadas no son obligadas pues sus variables de holgura yexceso son diferentes de cero entonces el caso 1 es aplicable. Determinemos losintervalos de variacion de los lados derechos para mantener la solucion:

para la restriccion 1: [250,∞) = [500− 250, 500 +∞).

para la restriccion 4: [3,∞) = 8− 5, 8 +∞]

como los nuevos valores estan en los intervalos de variacion, la base optima sepreserva. El impacto en z

znuevo = zanterior − (−100× 0 + 2× 0) = zanterior

No hay impacto en el costo.


Ejemplo 4

Las variables basicas son: Para calcular los valores de las variables basicas X 2, X 3y E 2 y E 5 y las restricciones quedan:

200 X2 + 150 X3 − E2 = 5002 X2 = 62 X2 + 4 X3 = 104 X2 + X3 − E5 = 8

Para encontrar los nuevos valores de las variables basicas, tomamos en cuenta elcambio en los lados derechos, formamos la aumentada y la reducimos:

200 150 −1 0 500− 100

2 0 0 0 6 + 02 4 0 0 10 + 04 1 0 −1 8 + 2

→

1 0 0 0 30 1 0 0 10 0 1 0 2500 0 0 1 5

Dando como nuevos valores X 2 = 3 y X 3 = 1. Los cuales coinciden con los

anteriores pues las variaciones en los lados derechos eran menores que los valores

de las variables de exceso en la solucion anterior.


Ejemplo 5

Ejemplo 5Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se aumenta la cantidadrequerida de calorıas en 50 unidades, se aumenta la cantidad requerida dechocolate en 1 onza, se reduce la de azucar en 1 onza y se reduce lacantidad requerida de grasa en 1 onza ¿Cual sera el valor del plan optimo?

OBJECTIVE FUNCTION VALUE1 90.00000


.....................................................RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE

CAL 500.000000 250.000000 INFINITYCHO 6.000000 4.000000 2.857143AZU 10.000000 INFINITY 4.000000GRA 8.000000 5.000000 INFINITY

Como al menos uno de los lados derechos modificados corresponde a unarestriccion obligada debemos utilizar la regla del 100 %.

∆cal = +50: r1 = 50/250 = 0.2

∆cho = +1: r1 = 1/4 = 0.25

∆azu = −1: r3 = +1/4 = 0.25

∆gra = −1: r4 = +1/∞ = 0

De donde r1 + r2 + r3 + r4 = 0.2 + 0.25 + 0.25 + 0 < 1. La base es optimay podemos medir el impacto en el valor de z optimo:


Ejemplo 5

Siendo optima la base podemos calcular el valor de z optimo:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 90.00000


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESCAL) 250.000000 0.000000CHO) 0.000000 -2.500000AZU) 0.000000 -7.500000GRA) 5.000000 0.000000

znuevo = zanterior−por minimizacion

((+50)=∆cal

× (0)=Dual Price de cal

+

(+1)=∆cho× (−2.500000)

=Dual Price de cho+

(−1)=∆azu× (−7.5000000)

=Dual Price de azu+

(−1)=∆gra× (0)

=Dual Price de gra

)= 85


Ejemplo 6

Ejemplo 6

Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se aumenta la cantidadrequerida de chocolate hasta 8 onzas y que se reduce la de azucar hasta 7 onzas.¿Cual sera el valor del plan optimo?SolucionComo al menos uno de los lados derechos modificados corresponde a unarestriccion obligada debemos utilizar la regla del 100 %. Para ello requerimos loscalculos:

∆b1 = ∆b4 = 0, por tanto r1 = r4 = 0.

∆b2 = 8− 6 = 2, I2 = 4 y ası r2 = 2/4 = 0.5.

∆b3 = 7− 10 = −3, D3 = 4 y ası r3 = −(−3)/4 = 0.75.

De donde4∑

i=1

ri = r1 + r2 + r3 + r4 = 0 + 0.5 + 0.75 + 0 = 1.25 > 1

como la regla no aplica no sabemos si la base sigue optima. No podemos medir el

impacto en z de los cambios; para determinar el impacto el modelo debe

ejecutarse de nuevo.La regla del 100 % () Optimizacion y Programacion Lineal 17 de febrero de 2011 20 / 21

Uso

Uso

Si lo que cambia son los coeficientes de las variables de decision en lafuncion objetivo, si la regla aplica, la solucion ya encontrada con losvalores de las variables de decision nos siguen dando la solucion optima . . .Pero en caso de que lo que cambie sean los lados derechos de lasrestricciones es casi seguro que cambiaran los valores de las variables dedecision de optimo, entonces ¿de que sirven la regla del 100 %? ¿deque sirve que la base sigua siendo optima?En caso de aplicar, la regla permite calcular el impacto en el valor de zoptimo de los cambios en las restricciones.


Optimizaci on y Programaci on Lineal · La regla del 100 % Optimizaci on y Programaci on Lineal 17...

Documents

Transcript of Optimizaci on y Programaci on Lineal · La regla del 100 % Optimizaci on y Programaci on Lineal 17...