Optimizacin basada en redes de Petri

Grupo de Modelado, Simulacin y Optimizacin.Universidad de La Rioja.

Emilio Jimnez Juan Ignacio Latorre Abril 2006

https://belenus.unirioja.es/~emjimene/Optimizacion/Transparencias.pdf

Seminario sobre toma de decisiones en logstica y cadenas de suministro

Redes de PetriFamilia de formalismos:Paradigma

yNiveles- elemental- lugar/transicion- coloreadas- predicado/transicion

yInterpretaciones- temporizadas- estocsticas

evoluciones paralelas y concurrencia en Sistemas

Dinmicos de Eventos Discretos (SDED)

yExploracin del espacio de estadosyReduccin del modeloyTcnicas basadas en grafosyProgramacin lineal....

Tcnicas de anlisis formal

2

yModeladoySimulacinyAnlisisySntesisyImplementacin

Introduccin a las RdP

RdPGrafo bipartido directo

- lugares- transiciones- arcos- marcas

N = mo

Ecuacin de estado:m = mo + C

6

2 2 230

111

= + -1-21

1

Disparo

Introduccin a las RdP Tipos de sistemas

Son objeto de estudio: Sistemas dinmicos de eventos discretos

modelados por medio de Redes de Petri. Paralelismo. Concurrencia:

Competencia por recursos (conflictos toma de decisiones). Colaboracin (sincronizaciones).

Ejemplos: Sistemas de produccin industrial. Sistemas logsticos (redes de suministro).

Tipos de problemas

Obtencin del modelo ptimo de un sistema

Optimizacin del marcado

Toma de decisiones ptima: Asignacin de tareas a recursos productivos Secuencia de disparos de transiciones Control de un sistema de eventos discretos

Tipos de problemas: complejidad Casos sencillos/primera aproximacin:

Programacin lineal.

Casos complejos: Explosin de estados.

Problemas NP. Reduccin del rbol de cobertura:

Propiedades de las RdP. Branch and Bound (ramificar y acotar).

Exploracin parcial del rbol de cobertura. Heursticas: tcnicas aproximadas.

Obtencin del modelo ptimo Anlisis de propiedades cualitativas:

Vivacidad: Deteccin de interbloqueos.

Limitacin: Acotacin del marcado en los lugares. Redes binarias (mximo una marca por lugar).

Ciclicidad. Conflictos:

Deteccin de incertidumbres en el disparo de transiciones. Invariantes:

Componentes conservativas. Secuencias de disparo repetitivas (comportamiento cclico).

Bloqueos. Cerrojos y Trampas.

Obtencin del modelo ptimo Anlisis de propiedades cuantitativas:

Marcado medio. Tiempo medio. Throughput. ...

Tcnicas: Representacin del grafo de marcados alcanzables. lgebra lineal. Reduccin de la RdP conservando ciertas propiedades. Fluidificacin.

Optimizacin del marcado

Problema del marcado inicial/final. Determinar marcado inicial/final mnimo para cierto

vector caracterstico (secuencia de disparos). Problema de alcanzabilidad:

Determinar el vector caracterstico que permite la evolucin de un sistema entre dos marcados.

Solucin. Tcnicas deterministas. Tcnicas no deterministas.

Ejemplo de optimizacin modelo-marcado

32/609-10

30/607-8

28/606

27/604-5

24/601-3

Thr.t5Tim 2

Modelo ptimo (M1o=7)

0.405+2n

0.204+2n

0.353

0.152

0.201

Thr.t5M1o

0.505

0.484

0.536...

0.353

0.332

0.201

Thr.t5M1o

Marcado InicialControl del disparo

(toma de decisiones)

m1o

m1o2

2

t2t1

p4

p3p2

p1

t3

p5

2

2

t5

t4

m1o

m1o2

2

t2t1

p4

p3p2

p1

t3

p5

2

2

t5

t4

3 u.t.

10 u.t.

Ejemplo de optimizacin modelo-marcado

32/609-10

30/607-8

28/606

27/604-5

24/601-3

Thr.t5Tim 2

Modelo ptimo (M1o=7)

0.405+2n

0.204+2n

0.353

0.152

0.201

Thr.t5M1o

0.505

0.484

0.536...

0.353

0.332

0.201

Thr.t5M1o

Marcado InicialControl del disparo

(toma de decisiones)

m1o

t2t1

p4

p3p2

p1

t32

2

t5

t4

m1o

t2t1

p4

p3p2

p1

t32

2

t5

t4

3 u.t.

10 u.t.

Toma de decisiones

Combinacin de tcnicas: Reduccin del rbol de cobertura:

Propiedades de las RdP. Bloqueos, invariantes, etc.

Branch and Bound.

Exploracin parcial del rbol de cobertura. Heursticas: tcnicas aproximadas.

Algoritmo A*. Recocido Simulado. Bsqueda Tab.

Inteligencia artificial: Algoritmos genticos.

Ejemplo de sistema de fabricacinCinta transportadora B

Cinta transportadora A

Piezas de tipo B

Piezas de tipo A

Manipulador

A A

A

B

BB

Maquina 1

Mquina 2

Piezas terminadas

de tipo 2

Piezas terminadas

de tipo 1

Ejemplo de sistema de fabricacin

2 2

2 2

Lugares Transiciones

Arcos Cinta de piezas de tipo A

Cinta de piezas de tipo B Manipulador

Mquina 1 Mquina 2

Piezas tipo A Piezas tipo B

Toma de decisiones

Conflicto: Un lugar tiene arcos de salida hacia dos (o

ms) transiciones diferentes. Las transiciones pueden estar sensibilizadas

simultneamente. Marcado insuficiente para disparar todas. Qu transicin disparar? Decisin

Cul es la mejor decisin? Buscar la solucin ptima.

Decisin 1: coger pieza A o B

Se decide coger pieza de tipo A

Se decide coger pieza de tipo B

Decisin 2: dejar pieza en M1 o M2

Se decide dejar la pieza A en M1

Se decide dejar la pieza A en M2

Planteamiento del problema Determinar la secuencia ptima de decisiones:

Cantidad y tipo de piezas fabricadas. Secuencia de fabricacin. Secuencia de disparo de transiciones (decisiones).

Objetivo: Maximizar la funcin de beneficio en n pasos.

Beneficio = 3 np1 + 4 np2 Siendo p1 = 2 pA + pB; p2 = pA + 2 pB

Restricciones: Un solo robot. Capacidad de almacenamiento limitada en cada mquina. No hay restriccin de costes de produccin.

1. Exploracin del rbol de cobertura

Tipo de algoritmo: Recursivo.

Tcnica de reduccin de la bsqueda: Poda de ramas:

Bloqueos (transiciones no sensibilizadas). Nodos que carecen de descendencia (marcado constante).

Resultado obtenido: ptimo.

Coste computacional: Elevado por la explosin de estados.

Resultados

Exploracin tras 26 pasos. Nodos explorados: 3,49 millones. Tiempo: 30 minutos. Resultado ptimo: 15

1 pieza terminada M1. 3 piezas terminadas M2.

Se obtiene una secuencia de decisiones.

2. Algoritmo de Branch and Bound

Tipo de algoritmo: Heurstico.

Tcnica de reduccin de la bsqueda: Se exploran j pasos completos. A partir del paso j se podan las ramas de menor beneficio.

Referencia: mejor mximo local encontrado.

Resultado obtenido: Bueno, en ciertos casos ptimo.

Coste computacional: Muy inferior.

Lmite computacional: Recursividad (500 anidamientos).

Resultados

Exploracin tras 26 pasos. Nodos explorados: 31. Tiempo: 0,03 segundos. Resultado obtenido: 12 (80% del ptimo)

3 piezas terminadas M2. Secuencia de decisiones obtenida.

3. Anlisis de la secuencia de disparos

Objetivo: Encontrar secuencias repetitivas en el vector

de disparos que conduzcan a ptimos. Encadenar dichas secuencias para obtener

ptimos en evoluciones largas de la RdP. Resultado obtenido:

Bueno, en algunos casos ptimo ( NGEN). Coste computacional:

Muy reducido.

Secuencias de disparos

NGEN=8, np1=0, np2=1[00001000]

NGEN=15, np1=0, np2=2[000010000001000]

NGEN=22, np1=0, np2=3[0000100000010000001000]

Secuencia repetida:[0000100]

Anlisis de la secuencia

Secuencia repetida: [0000100]0 Coger pieza B0 Dejar en mquina 20 Coger pieza B0 Dejar en mquina 21 Coger pieza A0 Dejar en mquina 20 Espera a M2 (posible ineficiencia)

Produccin de pieza de tipo 2 (requiere 2 piezas de tipo B y una de A)

Resultados

14 16 18 20 22 24 26 28 304

6

8

10

12

14

16

Pasos (disparos de transiciones)

F

u

n

c

i

o

n

d

e

b

e

n

e

f

i

c

i

o

Comparacion de resultados

HeuristicaSecuencia 1Optimos

4. Anlisis de la RdP

Objetivo: Encontrar secuencia de asignacin de tareas

que evite las esperas. Encadenar dichas secuencias para obtener

ptimos en evoluciones largas de la RdP. Resultado obtenido:

Excelente ( NGEN), en ciertos casos ptimo. Coste computacional:

Muy reducido.

Secuencia propuesta

Cargar A+B+B en M2. p2 Cargar A en M1. (se elimina la espera) Cargar A+B+B en M2. p2 Cargar A en M1. (se elimina la espera) Cargar A+B+B en M2. p2 Cargar B en M1. p1

Resultados

20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

Pasos (disparos de transiciones)

F

u

n

c

i

o

n

d

e

b

e

n

e

f

i

c

i

o

Comparacion de resultados

HeuristicaSecuencia 1Secuencia 2

Resultados

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

Pasos (disparos de transiciones)

F

u

n

c

i

o

n

d

e

b

e

n

e

f

i

c

i

o

Comparacion de resultados

HeuristicaSecuencia 1Secuencia 2

Optimizacin del modelo

Clculo de los P-invariantes: xi (componentes conservativas: P(xi)) Conjunto de lugares tales que la suma

ponderada de sus marcas es constante. Existen 7, asociados a:

Cintas transportadoras, 2 (presencia de pieza). Robot, 1 (recurso compartido). Mquinas, 4 (huecos para piezas)

Clculo de los P-invariantes

Todos los lugares pertenecen a algn P(xi).

La red de Petri es conservativa. El marcado en todos los lugares est

acotado. La red de Petri es 2-limitada para el

marcado inicial propuesto.

Clculo de los T-invariantes

Componentes repetitivas T(s). Secuencia de disparo de transiciones que

hace evolucionar al sistema entre dos marcados iguales.

Existen 2, asociadas a: Fabricacin de pieza de tipo 1. Fabricacin de pieza de tipo 2.

Todas las transiciones pertenecen a una de las dos T(s).

Clculo de los T-invariantes

La red de Petri es consistente. Estrategia de produccin:

La combinacin de fabricaciones de piezas de tipo 1 y 2 es una secuencia repetitiva.

Anlisis de la vivacidad

Red no viva. Situaciones de bloqueo:

Decisin de cargar una mquina con ms piezas de un tipo de las que puede admitir y sin suficientes del otro tipo para trabajar.

La mquina est bloqueada. El manipulador est bloqueado.

Analisis de vivacidad

Anlisis de vivacidad Anlisis de vivacidad

Anlisis de la vivacidad

Posibles soluciones: Modificar la instalacin fsica.

Aumentar capacidad de almacenamiento. Esta opcin no garantiza una estrategia productiva

adecuada. Establecer un control del disparo de

transiciones eficiente: Toma de decisiones. Toma de decisiones optimizada.

Lneas de investigacin

Optimizacin de modelos complejos de RdP Mejora de soluciones ptimas existentes.

Aplicacin de diferentes heursticas no deterministas y basadas en inteligencia artificial.

Integracin de tcnicas. Desarrollo de un sistema adaptativo.

Respuesta a perturbaciones (cambios en las condiciones del problema).

Optimizacin basada en redes de Petri

Grupo de Modelado, Simulacin y Optimizacin.Universidad de La Rioja.

Emilio Jimnez Juan Ignacio Latorre Abril 2006

https://belenus.unirioja.es/~emjimene/Optimizacion/Transparencias.pdf

Seminario sobre toma de decisiones en logstica y cadenas de suministro