Optimización clásica

Esta técnica es útil para funciones continuas y diferenciales.Estos métodos son analíticos.Tiene un campo limitado de aplicación.Sin embargo, esto es la base para los demás métodos.

Optimización de una variable.

El problema es encontrar x = x* en el intervalo[a , b] de modo que x* minimice f(x).

A1

B1

A2

B2

A3

xa b

f (x)

Ai A3 Máximos localesA2 Máximo globalBi Mínimos localesB2 Mínimo global

Teoremas

Condición necesariaSi f(x) es definida en a ≤ x ≤ b, tiene un mínimo local en x = x*, si a < x* < b y

Condición suficienteSi fn (x*) ≠ 0 f (x*) es: un mínimo de f (x) si fn (x*) > 0, n par;

un máximo de f (x) si f n (x*) < 0, n par.

0)x('fdxdf *

x*==

EjemploDetermine valores máximos y mínimos de la función

Solución

Luego f ’(x) = 0 cuando x* = 0, x* = 1, x* = 2.La segunda derivada

f ’’(x) a x*= 0 → f ’’(x*) = 0 no es máximo ni mínimo,investigue la siguiente derivadaf ’’(x) a x*= 1 → f ’’(x*) = 12 → máximof ’’(x) a x*= 2 → f ’’(x*) = -11 → mínimo

5x40x45x12)x(f 345 ++−=

( )( )( )2x1x60x(x)f'

x2x3x60(x)f'2

234

−−=

+−=

( )x4x9x460)x(''f 23 +−=

Variable de operación

Capacidad

Eficiencia

f (x)

Tiempo de lixiviación en pilas

Capacidad (Toneladas de mineral)

Eficiencia(% de extracción)

f (x)

Flujo de alimentación al reactor

Eficiencia(% de conversión)

Material tratado

f (x)

Costo global

Costo 1

Costo 2

Variables de diseño

Costo

Costo total

Costos fijos(cañerías)

Costo Variables (bombeo)

Diámetro cañería

US $/año

Ф

Costo total

Perdidas de calor

Material

Espesor aislación

US $/año

Costos Totales

Costo de Equipos Evaporadores

Costos Vapor

Nº de efectos

US $

Evaporadores

Otros ejemplos ver Abdón Zamora, Diseño Optimo Economicote Equipos de Procesos

Costos Totales

Equipos

Soluto perdido

Variables de diseño

US $

Extracción por Solvente

Optimización multivariable

Condición necesariaf ( x ) es un punto extremo (máximo o mínimo) a x = x* , si

Condición suficienteLa matriz de las segundas derivadas parciales (matrizHessiana) de f( x ) evaluada en x* esi) Positivamente definida entonces x* es un punto

mínimo.ii) Negativamente definida entonces x* es un punto

máximo.

( ) ( ) ( ) 0xxf........

xxf

xxf

n

*

2

*

1

*

=∂∂

==∂∂

=∂∂

EjemploSea

Luego, derivando

resolviendo el sistema de ecuaciones

( ) 2221

2123

212 Pxxk

21xxk

21xk

21)x(f −+−+=

( )

( ) 0Pxkxxkxf

0xxkxkxf

211232

123121

=−+−=∂∂

=−−=∂∂

323121

32*2

323121

3*1

)(kkkkkk

kkPx

kkkkkkkPx

+++

=

++=

La matriz de Hessiana

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

313

332x,x

22

2

12

221

2

21

2

x,x

kkkkkk

J

xf

xxf

xxf

xf

J

*2

*1

*2

*1

Una matriz A es definida positivamente definida si susvalores propios (λ) son positivos. Los valores propios sedeterminan de

Otra forma es evaluando los determinantes de cada submatriz. Todas las determinantes deben ser positivas

Luego f (x1*, x2*) es un mínimo.

0IA =λ−

321 kkJ +=

323121313

3322 kkkkkk

kkkkkk

J ++=+−

−+=

Positivo

Positivo

Optimización con restricciones

Minimice f(x1, x2)s.a. g(x1, x2)=0Las condiciones necesarias para la existencia de unpunto extremo en x =x* es

0xg*

xgx

f

xf

*2

*1 X,X

12

2

1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂−

∂∂ ó 0

xg*

xf

*2

*1 X,X11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

Donde multiplicador de Lagrange

( ) 0x,xg

0xg*

xf

*2

*1

*2

*1

X,X21

X,X22

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

*2

*1 X,X2

2

xgx

f

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

∂−=λ

Método de LagrangeMinimice f(x)s.a. g i (x)=0 j = 1,2,…,mSe define

y se aplican

se tiene m+n ecuaciones y n (x1, x2…xn)+ m (λ1, λ2,…,λm)variables.

( ) ( ) ( ) m2211 ...xgxgxfL λ++λ+λ+=

∑=

=∂∂

λ+∂∂

=∂∂ m

1j i

ij

ii

0xg

xf

xL

( ) 0xgLj

j

==λ∂∂

i = 1,2,…

j = 1,2,…,m

EjemploMinimice f (x, y) = k x-1 y-2

s.a. g (x, y) = x2 + y2 - a2 = 0Luego

Resolviendo (ec.1) y (ec.2)

( )22221 ayxykxgfL −+λ+=λ+= −−

(ec. 1)

0

022

02

222

31

22

=−+=∂∂

=+−=∂∂

=+−=∂∂

−−

−−

ayxL

yykxyL

xykxxL

λ

λ

λ

(ec. 2)

423 xyk2

yxk2 ==λ

(ec. 3)

Reemplazando en (ec.3)

Significado del multiplicador de LagrangeSea minimice f(x)

s.a. g (x) = bλ* denota la sensibilidad (o razón de cambio) de f con respecto a b, o el cambio marginal en f* con respecto a b en x*. En otras palabras λ* indica que tan ajustado esta la restricción en el punto optimo.

5

*

*

a3

49

3a2y

3ax

=λ

=

=

Ejemplo Ajuste de balance

a) Balance para calcular βA = B + C

A ai = B bi + C ciβ = B/A

ai = β bi + (1-β) ci

Aai

Bbi

Cci

7.65.291.74ci

5.81.960.33bi

7.74.121.23ai

150180212i

Si se calcula se tiene

Luego existe un error.¿cual es el mejor valor de β?

la función objetivo es minimizar

ii

ii

cbca

−−

=β

-0.0110.3510.362β

150180212i

( ) iiii c1b-a)i(error β−−β==∆2i∆

( )[ ]2i

iii c1ba)(f ∑ β−−β−=β

( )[ ][ ]∑ +−β−−β−=ββ

=β

iiiiii cbc1ba2

d)(df

0ddf

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2756.06114.165776.4

68.78.529.556.174.133.029.556.129.512.474.133.074.123.1

222

==β

−+−+−−−+−−

=β

b) Recalcular las ai, bi, ci

( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−+−i

2

iii

2

iii

2

ii ccbbaaMin

( )( ) iii

iiii

c1b-a0

c1b-a

β−−β=

β−−β=∆s.a.

( ) ( ) ( )( )iiiiiii cc1bbaa −β−−−β−−=∆−

2i

2i

2i cbaMin ∆+∆+∆∑

( ) iiii c1ba0 ∆β−−∆β−∆+∆=

ó

s.a.

Aplicando Lagrange

( )[ ]iiiii2i

2i

i

2i c1bacbaL ∆β−−∆β−∆+∆λ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∆+∆+∆= ∑

2a0a2

af i

iiii

λ−=∆⇒=λ+∆=

∆∂∂

βλ

=∆⇒=βλ−∆=∆∂∂

2b0b2

bf i

iiii

( ) ( )β−λ=∆⇒=β−λ−∆=

∆∂∂ 1

2c01c2

cf i

iiii

( ) 02

122

i2i2ii =

λβ−−

λβ−

λ−∆

( )[ ]

( )[ ]22i

i

22ii

112

112

β−+β+∆

=λ

β−+β+λ

=∆

( ) 0c1bafiiii

i

=∆β−−∆β−∆+∆=λ∂∂