OPTIMIZACION DE PRECIOSModelos de OptimizacinBASE TERICAComo se dijo anteriormente, los modelos matemticos cuantitativos de los negocios tratan de ser una representacin de alguna situacin del mundo real. Esas representaciones permiten que el usuario saque conclusiones que tengan sentido cuando se implementen de nuevo al mundo real. Muchos de esos modelos matemticos tienen la flexibilidad suficiente para permitir que se ponga a prueba diferentes alternativas, ya sea en forma analtica o numricamente.Si el criterio consiste en escoger las actividades que produzcan las mayores ganancias netas es muy til tener un modelo que pueda decirnos cul es la ganancia que se obtendr segn la actividad a emprenderse. El mismo tipo de razn se aplica a aquellas situaciones en las que se desea fijar un precio ptimo de venta, o bien si se necesita minimizar el costo, teniendo en cuenta las restricciones que se puedan presentar.En este captulo se resuelven varios problemas de fijacin de precios y/o negocios que pueden optimizarse por medio de modelos matemticos, para Jo cual el usuario requiere de bases matemticas como: La ecuacin de la recta, Graficacin de funciones lineales Derivadas parciales Funciones de Ingresos, Costos y Ganancias.Para modelos ms complejos, se debe recurrir a la utilizacin de la diferenciacin, la integracin, el multiplicador de Lagrange, etc., los mismos que constituyen un ejemplo de os problemas que pueden resolverse empleando altas matemticas.2.1.1. Definiciones Bsicas:EGRESOS: corresponden a los gastos o sinnimo de Costos Totales (CT) que se realizan para la produccin de los artculos y es el resultado de la suma de los Costos Fijos ms Costos Variables.CT = CF + CVCT = CF + c*q COSTO FIJO = CF: son costos considerados como inversiones o como rubros incurridos para maquinaria y equipo, herramientas, costos que en forma de depreciacin pueden ser prorrateados anualmente al igual que los gastos generales de administracin. COSTO VARIABLE UNITARIO = c: en general se consideran en trminos de costos de manufactura (materiales directos, mano de obra directa y gastos variables de manufactura), as como los costos de distribucin y ventas, comisiones, transporte y otros por una unidad de produccin. COSTO VARIABLE (TOTAL) = CV: es el producto entre el costo variable unitario(Cv: $/unidad) por la cantidad de unidades a venderse o demandarse (D = q: unidades).CV=c*D=c*q INGRESOS: es el resultado o sinnimo de las Ventas Totales realizadas por la empresa. VENTAS (INGRESOS) TOTALES = IT: es el producto entre el precio unitario (Pv = p: $/unidad) por la cantidad de unidades a venderse o demandarse (D = q: unidades).IT=Pv*D=Pv*qGANANCIAS: G: sinnimo de Utilidades y Beneficios que toda empresa desea obtener en valores aceptables y legales por la produccin de los artculos, es el resultado de la diferencia entre los Ingresos Totales y los Costos Totales:GANANCIAS = INGRESOS - COSTOS TOTALESG=IT-CTEc-2.4G = Pv*D - (CF + c*D)G=Pv*q(CF+c*q)COSTO PROMEDIO: el costo promedio () por unidad producida no es ms que a relacin entre el costo total (CT) y las unidades a producir (q): = CT/qNOTA: en varios problemas se puede observar diferencias en la nomenclatura, e incluso cada usuario puede improvisar su propia nomenclatura, pero en todo caso la base conceptual no cambia, como:D= q: para definir cantidades Demandarse, a producirse o a venderse,Pv = p: para definir el precio de venta,CT = C: para el costo total.

MODELOS DE FIJACIN DE PRECIOS PTIMOS.Algunos problemas pueden parecer de difcil solucin para la empresa. Sin embargo, a menudo puede construirse un modelo matemtico poco complicado para resolverlos, por lo que la metodologa que se utiliza en este texto, es como lo plantean las fases de la Investigacin de Operaciones, es decir: Formulacin del problema: anlisis de los datos reales, que en este caso constituye un determinado problema. Construccin del modelo: que corresponde al procedimiento y planteamiento de las funciones lineales correspondientes. Resolucin del modelo: en la cual se indicar paso a paso el procedimiento para la solucin del problema y la bsqueda de respuestas a las diferentes preguntas del problema planteado, que en situaciones reales correspondera a las inquietudes de las empresas.

PANIFICADORA La Compaa panificadora est considerando la produccin, distribucin y ventas de un nuevo modelo de pan para el mercado de los hogares ecuatorianos. Su departamento de ventas y produccion ha hecho el siguiente pronstico de la demanda y de la relacin de precios:PRONOSTICO DE LA DEMANDA

PRONOSTICOPVP PRESUPUESTO ($/UND) Y2DEMANDA ESTIMADA 1 MES (UNIDADES)

A0.1516.500

B0.1712.000

C0.196.000

El departamento de costos de la empresa (contabilidad) juntamente con el de control de produccin (manufactura), han determinado que se necesitarn $800 en costos fijos, mientras que los costos variables sern de $0.07.

Planteamiento y Resolucin:Puede usarse el pronstico de mercado para derivar una relacin de demanda mercado para el nuevo producto. El pronstico de ventas describe la interrelacin entre el precio de venta (Pv) y las ventas unitarias esperadas o Demanda (D), se indica en el grfico siguiente, observndose que hay una relacin lineal entre demanda y el precio, la misma que puede expresarse como una ecuacin de recta de la forma: y = mx + b.Esta ecuacin puede determinarse mediante los conceptos matemticos bsicos funciones lineales, determinando el valor de la pendiente "m" y de la ordena origen "b", o directamente con las funciones de la hoja electrnica M.S. Excel medio del grfico respectivo.1.- MEDIANTE FUNCIONES LINEALES:

Esta herramienta matemtica se utiliza solamente cuando en los datos qi presentan, no existe una dispersin, es decir hay una variacin constante tienen la misma' pendiente entre los diferentes puntos o pares de datos (cuando datos son dispersos en una o las dos variables, se utilizar el mtodo de "mnimos cuadrados", que se explica ms adelante):

PRONOSTICO DE LA DEMANDA

PRONOSTICOPVP PRESUPUESTO ($/UND)DEMANDA ESTIMADA 1 MES (UNIDADES)X2Y2X.Y

A0,1516.5000,02252722500002475

B0,1712.0000,02891440000002040

C0,196.0000,0361360000001140

TOTAL0,51345000,08754522500005655

2. OBJETIVO DEL PROBLEMA:

GANANCIAS MAXIMAS = INGRESOS TOTALES COSTOS TOTALES

3. FUNCIN DE INGRESOS TOTALES:CONCEPTO:IT=Pv*qReemplazando la ecuacin de la Demanda obtenida de los datos, en el concepto (ecuacin) de Ventas o Ingresos Totales y reduciendo sus trminos, se tiene:IT = Pv * (-262,500Pv + 56,125)IT = -262,500(Pv)2+ 56,125Pv

4. FUNCIN DE COSTOS TOTALES:El siguiente paso consiste en determinar una ecuacin para e) costo del nuevc producto, una relacin entre Costos Fijos y variables:CONCEPTO:CT=CF+c*q Los costos fijos para el primer mes sern de $800, cifra que incluye depreciacin de las adquisiciones propuestas de nueva maquinaria y equipo Los costos variables son de $0,07 por unidad.Aplicando el criterio conceptual, la Funcin de costos totales se expresa de la siguiente manera:CT=800 + 0,07qEsto significa que si el Total de las Ventas (o demanda) es = 0, la empresa desembolsar $800 en Costos Fijos y adems que gastar $0,07 por unidad por concepto de Costos Variables.Reemplazando la ecuacin de la Demanda (D = q) calculada anteriormente, en la ecuacin de Costos Totales y reduciendo sus trminos, se tiene:CT = 800 + 0,07 * (-262,500Pv + 56,125)CT = -18.375Pv + 4.725,75Nota: Este paso se realiza, si es que todas las funciones se deben expresar en funcin del Precio de venta, caso contrario, se puede plantear las funciones del modelo en funcin de la cantidad de demanda "q" y luego despejar el Pv.

5. FUNCIN DE GANANCIA:CONCEPTO:G=lT - CTAlgebraicamente, estos valores se calculan reemplazando en la Ecuacin de Ganancias, las ecuaciones de Ingresos o Ventas y de Costos Totales y reduciendo trminos semejantes, como se indica a continuacin:G = (-262,500Pv2+ 56,125Pv) - (-18.375Pv +4728,75)G = -262.500Pv2 + 74.500Pv 4728,75Resultados:Aplicando las ecuaciones descritas anteriormente, se tienen los resultados que se indican en cada una de las columnas de la siguiente tabla:PvPDemandaVentas TotalesCostos TotalesGananciasDecisin

0,14194452712,52156,25556,25Mximo

0,15167502512,51972,5540-

0,171158519551605350-

0,1962501187,51237,5-50-

Observando tanto los resultados de la tabla anterior, as como en los grficos siguientes se puede concluir que, al contrario, la Ganancia estar al mximo ($556,25) cuando el Precio de Venta sea de $0,14 por unidad y la Demanda (D) sea de 19.445 unidades.

Luego, aplicando diferenciales en esta ecuacin, e igualando a cero si derivada, se determina la Tasa de cambio de las Ganancias de la Empresa (G) asociada con un cambio unitario del Precio de Venta de la Empresa (Pv).

Sin embargo, si se hace que la Tasa de cambio (derivada) sea = 0, se precio de venta (Pv) con respecto a una poltica ptima de Fijacin de Pre Empresa.

Reemplazando este valor en la ecuacin de Ganancias, se obtiene la Ganancia Mxima que la empresa esperara tener:U = -262.500(0,14)2 + 74.500(0,14) - 4728,75U=$556,25Es decir que la Utilidad mxima de $556,25, se obtendr cuando el Precio de Venta (Pv) sea igual a $0,14 y para Precios de Venta mayores o menores de $0,14, las Ganancias Totales disminuyen.Del mismo modo y aprovechando este procedimiento algebraico y grfico, al reemplazar este precio ($0,14) en la ecuacin de la Demanda obtenida anteriormente, se obtiene el valor ptimo de la cantidad que se esperara vender o demandar:D = -262.500(0,14) + 56.125 D= 19.375 unidadesEs decir que la Utilidad mxima de $556,25 se obtendr tambin cuando la Demanda sea igual a 19.375 unidades y para cantidades de Demanda mayores o menores, las Ganancias disminuyen.NOTA: Todo este procedimiento puede realizarse planteando desde el principio todas las ecuaciones en funcin de la Demanda (D = q) y aplicando los mismos criterios y conceptos.

PUNTO DE EQUILIBRIOEs una herramienta gerencial eficaz cuando se analizan todos los factores que tienen influencia directa o indirecta sobre los precios de venta y/o los costos de un determinado producto con el fin de tomar decisiones adecuadas y oportunas y evitar prdidas o quiebras de una empresa. En general el clculo o determinacin de los Puntos de Equilibrio tiene siguientes aplicaciones: En la elaboracin de presupuestos para la fijacin de Ganancias. En la toma de decisiones sobre qu productos nuevos se pueden Lanzar mercado o cuales deben ser eliminados del mismo. Para realizar sensibilidades entre el precio y el volumen de ventas y aplicar forma correcta la "elasticidad" de la demanda. Para definir y aplicar estrategias de mercadotecnia. Para disear u optimizar canales o redes de distribucin. Para formular los modelos ptimos de control de inventarios, en especial materia prima, a fin de decidir si comprar o producir cierto componente productos. En la decisin de invertir o no en maquinarias y equipos, o mantener los existentes, con el fin de optimizar y minimizar los costos de produccin.

Punto de equilibrio Igualando a cero la ecuacin o funcin de Ganancias y resolviendo o despejando (variable que corresponda al precio de venta (Pv) o a la demanda (D) se tiene:a.) G = -262.500Pv2+ 74.500Pv - 4728,75 = 0De esta ecuacion se tienen dos races o dos valores de precios de venta, para cuales la ganancia es igual a cero:

Pv1, = 0,10 $unidad Pv2 = 0,19 $/unidad

CONCLUSIONES

Se puede conculir mediante este estudio que la panificadora tiene un alto potencial en la produccin y comercializacin de este nuevo producto

La panificadora deber tener un precio de venta de $0,14 por cada unidad para maximizar las utilidades mensuales

La panificadora deber vender por lo menos 19.375 unidades al mes con un precio de venta de $0,14 para maximizar las utilidades

La utilidad mxima que puede llegar a lograr es de $556,25

La panificadora no puede establecer un precio de venta inferior a $0,10 y superior a $0,19 ya que existira perdida en la empresa