Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

I.U.P Santiago MariñoMaracay. Edo-Aragua

Profesora: Alumno:Ysabel Flores Victor Herrera Ci: 21.312.275 Sección: SL

Maracay, Noviembre 2016.

OPTIMIZACIÓN

Al momento en que se toma la decisión relevante de aplicar la optimización en un proceso industrial, se ha de requerir tres componentes básicos para la formulación del problema en características matemáticas:

• El modelo matemático que rige el problema, además de una definición de las variables del proceso que pueden ser manipuladas o controladas.

• Un modelo factible para el proceso. Esto quiere decir una formula o ecuación que incluye las utilidades obtenidas con la venta del producto y los costos asociados al proceso productivo, es decir, materia prima, costos de operación, costos de administración, gastos generales, entre otros.

• Un procedimiento de optimización para la manipulación de las variables independientes del proceso, que maximice las utilidades o minimice los costos determinados por el modelo económico, restringido por el modelo del proceso.

Formulación de Problemas de Optimización

En el siguiente apartado simplificado de optimización y control en la industria, se desea mostrar la relación de las actividades del proceso controlado y los niveles de optimización.

Debido a la complejidad de las grandes empresas, los modelos del proceso se deben simplificar, usando ecuaciones de simulación para mantener los costos de programación y el uso del computador dentro de los límites razonables. Sin embargo, dentro de cada proceso en particular es posible crear modelos más detallados para especificar condiciones de operación óptimas, es decir, temperaturas, precisiones, mano de obra, energía, entre otros. Para asegurar una operación óptima en la unidad.

Existen diferentes técnicas de optimización, las cuales tienen

dos divisiones muy claras

Una es la programación matemática cuyo objetivo es

ubicar el mejor punto x(x1,.., xn) que optimice el modelo

económico.

La otra, muestra los métodos variaciones, cuyo objetivo es ubicar la mejor función y(x) que optimice el

modelo económico del proceso.

Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema.

Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.

La solución optima se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) ? b. Donde x1, x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.

Ejemplo de Función Objetivo

En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B ,antes antes de salir a la venta. El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:

Producto Maquina A Maquina B1 2 H 3 H2 4 H 2 H

Total disponible 48 H 36 H

Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables de decisión: Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a fabricar del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la siguiente manera:

MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas)S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A)3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B)X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)

Los Métodos de Optimización y el Procedimiento para Resolver un Problema de Optimización

Los métodos de optimización es un área de las matemáticas que consistente en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

De manera frecuente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.

Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos que transformar sus enunciados en formulas, funciones o ecuaciones.

Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones, sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de mucha utilidad.

Estrategia para Resolver Problemas Aplicados a la Optimización

1. Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar.

2. Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas.

3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre variables.

4. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y expresa esta variable como función de una de las otras variables.

5. Encontrar los valores críticos de la función obtenida.

6. Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos valores críticos son máximos o mínimos.

Ejemplo: De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:2 x + 2 y = 12x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero.