MULTIPLICACION DE LAGRANGE

AUTOR: MARTINEZ VARGAS MARGARITO

OPTIMIZACION

EJEMPLO:

VAMOS A TRABAJAR EN UN EJERCISIO DE OPTIMAZACION DE UN PRODUCTO PARA EL AHORRO DE MATERIAL.

1.- UNA CAJA DE CARTON SIN TAPA DEBE TENER 32 000 CM CUBICOS. CALCULA LAS DIMENSIONES QUE MINIMISEN LA CANTIDAD DEL USO DE CARTON.

2.- HALLAR UN PARALELEPIPEDO DE AREA TOTAL DADA (S) QUE TENGA EL VOLUMEN MAXIMO.

3.- DETERMINE LAS DIMENSIONES DE UNA CAJA RECTANGULAR DE VOLUMEN MAXIMO TAL QUE LA SUMA DEL LARGO DE LAS 12 ARISTAS ES UNA CONSTANTE C.

RESOLVIENDO EL PUNTO (1):

Y+ 2z= λ*yz

x+ 2z= λ*xz

2y + 2x=λ*xy

X*y*z= 32 000 = 0 LA CUARTA ECUACION QUE REALIZAREMOS ES LA QUE TIENE LA RESTRICCION

λ* = λ*= λ*V(x, y, z)=0

PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS

Los multiplicadores de LaGrange

Sacando las derivadas parciales correspondientes

ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2

Y+ 2z= λ*yz

x+ 2z= λ*xz

Y+ 2z= y

x+ 2z= x

Haciendo la multiplicación cruzada:

xy+2xz=xy+2yz

2xz=2yz x=y

ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)

Y+ 2z= λ*yz

2y +2x =λ*xy

Y+ 2z= z

2y +2x =x

Xy + 2xz= 2yz + 2xz

Haciendo la multiplicación cruzada

Xy = 2yz x= 2z z= x/2

x=y ; z= x/2

X*y*z= 32 000 = 0

X*x*x/2-32 000=0

X^3/2 = 32 000

X^3= 64 000

X=

X= 40

Entonces nos quedan los valores

X=40

Y=40

Z=20

Por lo tanto estos valores son los que minimizan el uso del cartón

AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)

Remplazamos los valores adquiridos en la ecuacion del área

A(x,y,z)= xy + 2yz + 2xz

A(40,40,20)= (40)(40) + 2(40)(20) + 2(40)(20)

A= 1600 + 1600 + 1600

A= 4800

Y aquí obtuvimos el mínimo

Cambiando los valores:

X=20 ;Y=40 ;Z=40

A= (20)(40) + 2(40)(40) + 2(40)(20)

A= 800 + 3200 + 1600

A= 5600

Con esto nos da el máximo

COMO SABER SI ESTOS VALORES SON MÍNIMOS

PARA LA PARTE NUMERO 2 TENEMOS

Y*z= λ(2y + 2z)

X*z= λ(2x + 2z)

X*y=λ(2y + 2x)

2xy + 2yz + 2xz - S = 0

λ* = λ*= λ*A(x, y, z)=0

PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS

Los multiplicadores de LaGrange

Sacando las derivadas parciales correspondientes

ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2

Y*z= λ(2y + 2z)

X*z= λ(2x + 2z)

Y=2 y + 2z

x= 2x + 2z

Haciendo la multiplicación cruzada:

2xy+2yz=2xy+2xz

2yz=2xz y=x

ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)

Y*z= λ(2y + 2z)

X*y=λ(2y + 2x)

z= 2y + 2z

x= 2y + 2x

Haciendo la multiplicación cruzada

2yz+ 2xz= 2xy + 2xz

2yz = 2xy z= x

AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)

Y=x ; z=x

2xy + 2yz + 2xz - S= 0

2xx + 2xx + 2xx - S=0

2x^2 + 2x^2 + 2x^2 –S=0

6x^2 – S =0

X^2= S/6

x= S/6

RESOLVIENDO EL PUNTO (3):

Y*z= λ*4

X*z= λ*4

X*y=λ*4

4x + 4y + 4z - C = 0

λ* = λ*= λ*S(x, y, z)=0

PARA REALIZAR ESTE PROBLEMA USAREMOS

Los multiplicadores de LaGrange

Sacando las derivadas parciales correspondientes

ECUACIÓN 1 ENTRE LA ECUACIÓN 2

Y*z= λ*4

X*z= λ*4

Y= 1

X

y=x

ECUACION (1) ENTRE ECUACION(3)

Y*z= λ*4

X*y=λ*4

Z =1 x

z= x

AHORA EVALUAMOS LOS 2 VALORES EN LA ECUACION (4)

Y=x ; z=x

S= 4x + 4y + 4z - C= 0

4x + 4x + 4x - C=0

12x –C=0

x=C/12

LAS MEDIDAS DE LAS ARISTAS PARA QUE LA CAJA ALCANZE SU MAXIMO VOLUMEN DEBE DE SER

X=C/12

GRACIAS