TEMA 8 OPTIMITZACIO AMB RESTRICCIONS

Tenim , el plantejament del problema [P] és optimitzar una f(x) s.a. una

sèrie de restriccions que venen donades por una funció g(x).

Per exemple, amb connotació econòmica serveix per fer un pressupost o bé tenim una

quantitat de m/p i les hem de gastar totes i ens fan la pregunta de quina seria la

manera de gastar-les totes però tenint el menor possible de despeses.

Per aquest tipus de problemes començarem amb:

- f.o. Funció objectiu

- x=(x1, x2, ... xn) variables de decisió.

- Conjunt factible ={ | ( ) ( )

MÈTODE DE LAGRANGE

Es construeix una funció anomenada lagrangiana definida per les variables de la funció

objectiu. Té la següent forma:

( ) ( ) ( ( ) )

En el cas de que tinguéssim una funció de dues variables.

La lambda s’anomena multiplicador de Lagrange o preus ombra.

També és necessari definir què és un punt regular: un punt és regular si i només si el

vector gradient de les restriccions són linealment independents, és a dir, no és nul.

El multiplicador de Lagrange és una taxa de variació, la qual si és positiva (per

exemple: si produeixo una unitat més tindré benefici). Si es tractés d’una recta

pressupostària la qual diu que com a màxim em vull gastar 20 um i la diu que, si

augmento una unitat el preu pressupost, augmentarà o disminuirà la meva utilitat. Això

bé definit pel signe de la lambda.

TEOREMA DELS MULTIPLICADORS DE LAGRANGE (TML)

Condició necessària de primer ordre (CNPO)

i. Tenim f.o. que pertany a C²

ii. Restriccions que pertanyen a C¹

iii. X és regular

iv. X és un punt crític ja que el gradient de la funció lagrangiana s’anul·la.

Condició suficient de segon ordre (CSSO)

- La HA f(x,y, ) és definida positiva MÍNIM CONDICIONAT

- La HA f(x,y, ) és definida negativa MÀXIM CONDICIONAT

Per classificar si és definida positiva o negativa:

- Positiva: Els (n-m) últims menors principals diagonals tenen el mateix signe

donat per ( )

- Negativa: Els (n-m) últims menors principals diagonals tenen alternança de

signe començant per: ( )

De fet, tenim uns casos particulars que són els que nosaltres usarem:

- n= 2 m=1 D3

o Si D3<0 Mínim local.

o Si D3 >0 Màxim local.

- n=3 m=1 D3 i D4

o Si D3 >0 i D4 <0 Màxim local.

o Si D3 <0 i D4 <0Mínim local.

La Hessiana Ampliada és aquella que:

( ) (

( )

( )

)

EXEMPLE I

( )

1. Condicions TML:

a. És de classe ce-dos perquè és polinòmica i les parcials també

ho són. Per tant és contínua i diferenciable dues vegades. La restricció

és de classe ce-u pel mateix motiu. En aquest cas al derivar ens queda

dues constants.

b. Existeixen punts NO regulars? Amb una única restricció hem de mirar el

gradient d’aquesta:

( ) (

) (

)

2. CNPO i funció lagrangiana

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(4)+(5) ( ) ( )

( )

(6)+(3) y=0 (8)

(6)+(3)+(8) =0 (9)

(7)+(3) y=-2/3 (10)

(10)+(7)+(3) =0 (11)

Finalment trobem que:

(6)+(8)+(9) PC(0,0,0) Candidat a òptim (0,0)

(7)+(10)+(11) PC(2/3, -2/3 , 0) Candidat a òptim (2/3, -2/3)

3. CSSO

( ) (

) ( ) (

)

(

) (

)