Ordenaciones y Permutaciones

por G3.

Octubre 2014

Resumen

Ordenar una muestra de n objetos tomados de un conjunto de mobjetos, es hacer corresponder los objetos de la muestra al segmentoinicial In. Aquı explicamos y desarrollamos esta idea.

Definicion 1. Sea A un conjunto finito y sea n ∈ N. Una ordenacion de nelementos de A, es una funcion f : In → A.

Tambien decimos que f es una ordenacion de tamano n de elementos deA. Usamos la notacion grafica

f =

(1 2 · · · na b · · · x

).

Ejemplo 1. Sea A = {a, e, i, o, u}.

1. Entonces

f =

(1 2 3a e i

)Es una ordenacion de tamano 3 de elementos de A. Tambien escribimos

(a, e, i).

O bien, simplemente,aei.

1

2. Definimos

f =

(1 2 3 4 5 6a a e u e i

)Esta es una ordenacion de tamano 6 de elementos de A. Podemosescribir

(a, a, e, u, e, i).

O tambienaaeuei.

Lo que sigue es contar cuantas ordenaciones de tamano n, es posible hacerde un conjunto de m elementos.

Teorema 1. Sea A un conjunto finito y sea m = |A|. Sea n ∈ N. El numerode ordenaciones de n elementos de A (con repeticion incluso), es mn. Usamosla notacion ORm

n = mn.

Demostracion. Podemos proceder con argumento combinatorio segun la si-guiente interpretacion: Debemos colocar n objetos en n lugares. Cada objetodebe ser elegido de un conjunto de m objetos. De modo que, segun el prin-cipio del producto, el numero de formas en que podemos llenar estos lugaresesta dado por

mm · · ·m︸ ︷︷ ︸n-veces

= mn.

Ahora procedemos de otra forma: Hay que tener claro que lo que estamoscontando es el numero de funciones de In en A. En otras palabras, queremoscalcular el cardinal del conjunto de todas las funciones de In en A, donde Aes un conjunto finito de cardinal m. Sea OR m

n este numero. Procedemos porinduccion sobre n para demostrar que OR m

n = mn.Empezamos con el caso n = 1. Como m = |A|, es claro entonces que el

numero de funciones que podemos definir de I1 = {1} en A, es justamentem (tantas como elementos tiene A). Ası que OR m

1 = m1.Sea n ∈ N, y supongamos que el numero de funciones de In en A es mn.

Es decir, OR mn = mn. Queremos probar que el numero de funciones de In+1

en A es mn+1. Esto es OR mn+1 = mn+1.

Note que si f es una funcion de In+1 en A y si g es la funcion de In enA, definida como la restriccion de f al segmento In (i.e. g = f |In), entoncesf = g ∪ {(n + 1, f(n + 1)}.

2

Y por otro lado, si g es una funcion de In en A, y si elegimos algun a ∈ A,entonces f = g ∪ {(n + 1, a)} es una funcion de In+1 en A.

Hemos mostrado entonces que el conjunto de todas las funciones de In+1

en A, es igual al conjunto de todas las uniones g ∪ {(n + 1, a)}, con g unafuncion de In en A, y a un elemento de A.

Ası que por hipotesis de induccion,

OR mn+1 = OR m

n · |{(n + 1, a) : a ∈ A}|

Pero,

|{(n + 1, a) : a ∈ A}| = |{n + 1} × A|= |{n + 1}||A|= 1m = m.

Por tanto,OR m

n+1 = mnm = mn+1,

como querıamos probar.

Por supuesto, podemos distinguir de entre todas las ordenaciones, aquellasque no contienen repeticiones.

Definicion 2. Sea A un conjunto finito y m = |A|. Sea 1 ≤ n ≤ m. Unaordenacion sin repeticion de n elementos de A es una funcion f : In → Ainyectiva (de aquı la necesidad de n ≤ m).

Ejemplo 2. Sea A = {a, e, i, o, u}.

1. Definimos

f =

(1 2 3a u i

).

Esta es una ordenacion sin repeticion de 3 elementos de A.

2. Definimos

f =

(1 2 3 4 5u o i e a

).

Esta es una ordenacion sin repeticion de 5 elementos de A. En estecaso decimos que f es una permutacion de los elementos de A.

3

Teorema 2. Sea A un conjunto finito y m = |A|. Sea 1 ≤ n ≤ m. El numerode ordenaciones sin repeticion de n elementos de A, es igual a

m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 1) =m!

(m− n)!.

Usamos la notacion O mn = m!

(m−n)!.

Demostracion. Podemos proceder con un argumento combitario segun la si-guiente interpretacion: Debemos ocupar n cajas con unicamente m objetos,con m ≥ n. La primera caja puede ser ocuapada por cualquiera de los mobjetos. Ası que tenemos m posibilidades para llenar este lugar. Una vezcolocado el primer objeto, tenemos m − 1 objetos posibles para ocupar lasegunda caja. Continuando de esta forma, segun el principio del producto, elnumero de formas en que podemos ocupar n cajas con unicamente m objetos,con m ≥ n, es igual a

m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n + 2)(m− n + 1) =m!

(m− n)!.

Ahora procedemos de otra forma. Lo que estamos contando es el numerode funciones inyectivas de In en A. O sea, queremos calcular el cardinal delconjunto de todas las funciones inyectivas de In en A. Sea O m

n este numero.Procedemos por induccion sobre n para demostrar que si m ≥ n, entoncesO m

n = m!(m−n)!

.Empezamos con el caso n = 1. Sea A un conjunto finito de cardinal m. Es

claro que toda funcion de I1 en A es inyectiva. Por lo tanto, segun el teoremaanterior,

O m1 = OR m

1 = m =m!

(m− 1)!.

Sea n ∈ N, y supongamos que el numero de funciones inyectivas de In enun cualquier conjunto finito de cardinal m ≥ n, es m!

(m−n)!. Esto es, suponga-

mos que O mn = m!

(m−n)!.

Sea A un conjunto finito de cardinal m ≥ n + 1. Queremos probar que elnumero de funciones inyectivas de In+1 en A es m!

(m−n−1)!.

Note que si f es una funcion inyectiva de In+1 en A, entonces la funcion gdefinida como la restriccion de f al segmento In (i.e. g = f |In), es una funcioninyectiva de In en A. Y obviamente f = g ∪ {(n+ 1, f(n+ 1))}. Observe quef(n + 1) /∈ g(In) = f(In)

4

Recıprocamente, si g es una funcion inyectiva de In en A, y si a ∈ A\g(In),entonces f = g ∪ {(n + 1, a)} es una funcion inyectiva de In+1 en A.

Hemos demostrado ası, que el conjunto de todas las funciones inyectivasde In+1 en A, es exactamente el conjunto de todas las funciones de la formag ∪ {(n+ 1, a)}, con g una funcion inyectiva de In en A, y a ∈ A\g(In). Perobserve que para toda funcion inyectiva g de In en A,

|{(n + 1, a) : a ∈ A\g(In)}| = |{n + 1} × A\g(In)| = 1 · |A\g(In)| = m− n.

Por lo tanto, de la hipotesis de induccion,

O mn+1 = O m

n · (m− n) =m!

(m− n)!(m− n) =

m!

(m− n− 1)!,

como querıamos probar.

Ejemplo 3. ¿De cuantas formas podemos ocupar 3 lugares de una estanterıasi tenemos 5 libros? Solucion:

O 53 =

5!

2!= 5 · 4 · 3 = 60 formas.

Definicion 3. Sea A un conjunto finito de cardinal n. Una permutacionde A es una ordenacion de n elementos de A. Dicho de otra forma, unapermutacion es una funcion biyectiva de In en A.

Teorema 3. Sea A un conjunto finito de cardinal n. El numero de permu-taciones de A es n!.

Demostracion. O nn = n!

(n−n)!= n!.

5