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Raúl Manuel Falcón Ganfornina

EL ORDENADOR PORTÁTIL COMO HERRAMIENTA DE APOYO EN EL APRENDIZAJE ACTIVO DE

MATEMÁTICA APLICADA A LA EDIFICACIÓN

Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación, núm. 40, 2012, pp. 47-60,

Universidad de Sevilla

España

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Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación,

ISSN (Versión impresa): 1133-8482

revistapixelbit@us.es

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ISSN: 1133-8482 Píxel-Bit. Revista de Medios y Educación

EL ORDENADOR PORTÁTIL COMO HERRAMIENTA DE APOYOEN EL APRENDIZAJE ACTIVO DE MATEMÁTICA APLICADA A LA

EDIFICACIÓN

THE LAPTOP AS A SUPPORT TOOL ON THE ACTIVE LEARNING INAPPLIED MATHEMATICS FOR BUILDING CONSTRUCTION

Dr. Raúl Manuel Falcón Ganforninarafalgan@us.es

Universidad de Sevilla. Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación.Departamento de Matemática Aplicada I.

Avda. Reina Mercedes, 4 A. 41012, Sevilla (España)

La integración en el proceso de enseñanza-aprendizaje de herramientas informáticas que requieren unaparticipación activa del alumnado favorece la comprensión efectiva de conceptos y razonamientos.Cuando se realiza una distinción entre clases teórico-prácticas y prácticas de informática, esta integraciónsuele ser parcial, lo que produce en el alumnado una drástica ruptura cognitiva entre ambos tipos deactividades formativas. En el presente artículo se muestra la experiencia docente desarrollada en un parde asignaturas de Matemáticas impartidas en el Grado de Ingeniería de Edificación de la Universidad deSevilla en las que se realiza una inmersión total del ordenador portátil.Palabras claves: Uso didáctico del ordenador, aprendizaje visual, matemáticas aplicadas.

The integration in the teaching-learning process of computer tools which require an active participationof students facilitates the effective comprehension of concepts and reasoning. When there exists a distinctionbetween theoretical-practical and computer classes, this integration is usually partial, which produces onstudents a drastic cognitive rupture between both types of learning activities. In the current paper, it isshown a teaching experience in which a total laptop immersion is developed in the context of a pair ofMathematics subjects which are imparted in the Building Engineering Degree of the University of Seville.Keywords: Didactic use of computer, visual learning, applied mathematics.

Nº 40 Enero 2012 - pp.47-60

©2011 Píxel-Bit.

1. Introducción.

Todo proceso de aprendizaje activo debebasarse en la programación y realización en elaula de actividades en las que el alumnadodeja de ser un mero espectador individualpasivo y pasa a participar de forma dinámicay comprometida en el desarrollo de la clase(Prince, 2004). En Matemáticas, este

aprendizaje activo se alcanza insertandoejercicios entre las explicaciones teórico-prácticas, que obligan al alumnado acomprobar de forma inmediata su destreza. Sinembargo, el estudiante no suele disponer detiempo suficiente para, por una parte,encontrar similitudes entre el problema aresolver y algún ejemplo previo visto en clasey, por otra, realizar los cálculos aritméticos o

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simbólicos oportunos. Si bien la búsqueda eidentificación de analogías es un factorineludible en todo proceso formativo, larealización de complejos cálculos afines aniveles educativos anteriores no aporta nada,en general, a la asimilación del nuevoconcepto. Es por ello que estos cálculos nodeberían acaparar en tan gran medida ni laatención y el esfuerzo del alumnado, ni laevaluación minuciosa de los mismos llevadaa cabo por el profesorado.

Esta situación no es nueva y se repite enMatemáticas en todos y cada uno de losniveles educativos. Ya cuando aparecieron losprimeros programas informáticos de cálculosimbólico, Wilf (2002) planteaba la preguntade si los profesores de primaria deMatemáticas deberían apoyarse en las nuevastecnologías para centrarse más en losconceptos y menos en los cálculos mecánicos.Más aún, proponía estudiar si deberíapermitirse el uso de ordenadores de bolsilloen la resolución de ejercicios y problemastanto en clase como en exámenes. Másrecientemente, el propio Ministerio deEducación y Ciencia estableció (Real Decreto1467/2007), en referencia a la enseñanza deMatemáticas en Bachillerato, que:

las herramientas tecnológicas, en particularel uso de calculadoras y aplicacionesinformáticas como sistemas de álgebracomputacional o de geometría dinámica,pueden servir de ayuda tanto para la mejorcomprensión de conceptos y la resolución deproblemas complejos como para elprocesamiento de cálculos pesados, sin dejarde trabajar la fluidez y la precisión en el cálculomanual simple, donde los estudiantes suelencometer frecuentes errores que les puedenllevar a falsos resultados o inducir a confusiónen sus conclusiones.

Desde que Wilf plantease la cuestión hace

casi treinta años, se han suscitado numerososdebates acerca de la necesidad y convenienciade la utilización en el aula tanto de lacalculadora en general (Federación Españolade Sociedades de Profesores de Matemáticasy Sociedad Andaluza de EducaciónMatemática THALES, 2010), como de lossistemas de cálculo simbólico (CAS –Computer Algebra System) (Özgün-Koca,2010) y de geometría dinámica (DGS –DynamicGeometry System) (Ruthven, Hennessy &Deany, 2008) en particular. En este sentido, elpunto más polémico en todos los niveleseducativos sigue siendo el consenso paradeterminar hasta qué punto la habilidad derealizar cálculos mecánicos y repetitivos demenor o mayor dificultad debe ser un factorpredominante en el proceso de enseñanza/aprendizaje, en contraposición a lacomprensión de conceptos y al desarrollo deestrategias para resolver ejercicios yproblemas de una forma rápida y eficaz. Enconcreto, la asimilación de los conceptosimplicados en una determinada operación setorna fundamental, pues evita el carácter decaja negra (Buchberger, 1990; Drijvers, 1995)que envuelve este tipo de sistemas en los quese obtienen resultados a partir de una serie dedatos introducidos, sin detallar el procesointerno realizado para ello.

En el nivel universitario suele preferirse eluso de herramientas informáticas de tipo CASfrente a calculadoras que, si bien incorporaneste tipo de sistemas, su diversidad de formatopuede ser un problema a la hora de estableceruna metodología de trabajo en el aula. Se hacepues indispensable disponer de aulas deinformática, donde puedan llevarse a caboprácticas específicamente diseñadas paradesarrollar ciertos conceptos matemáticos.Este hecho conlleva algunos inconvenientescomo pueden ser la disponibilidad y capacidad

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del aula, la restauración periódica del servidorde donde toma la imagen los ordenadores o lanecesidad de dispositivos externos dealmacenamiento. Estas circunstanciascambian notablemente desde el momento enel que comienza a generalizarse el uso delordenador portátil entre el alumnado,promovido en muchos casos por las propiasUniversidades y centros universitarios.

2. Metodología.

A comienzos del curso académico 2009-2010se implementó el Grado de Ingeniería deEdificación en la Universidad de Sevilla.Durante los dos primeros cuatrimestres dedicha titulación se imparten dos asignaturasbásicas asociadas al área de conocimiento deMatemáticas, cuyos contenidos contemplancampos como estadística, cálculo numérico,transformaciones lineales y afines, cónicas ycuádricas, curvas y superficies, cálculodiferencial e integral. Este vasto temario se havenido desarrollando durante diez cursosacadémicos dentro de la titulación deArquitectura Técnica en una asignatura anualde 135 horas presenciales, de las queúnicamente un 25 por ciento corresponden aclases prácticas en aula de informática conordenadores de sobremesa, haciendo uso delsoftware Maple V Release 5.1 comoinstrumento de apoyo a la hora de resolverejercicios y problemas matemáticos. Laevaluación de estas prácticas se ha realizadoen los últimos cursos académicos haciendouso de la plataforma WebCT (ArriolaHernández, Barrena Algara, E., Chávez deDiego, M. J., Delgado Garrido, O., FalcónGanfornina, R. M., Fernández Pérez-Rendón,A., Garrido Vizuete, M. A., Marín Sánchez, J.M.,et al., 2010). Durante el resto de horaspresenciales la resolución de los problemas

se lleva a cabo a mano o haciendo uso decalculadoras científicas básicas, con lo quelas sesiones prácticas de informática quedanasí aisladas del resto del proceso deaprendizaje, siendo su número losuficientemente reducido como para que lanecesidad de un adiestramiento previo en eltipo de software utilizado haga que no sepueda profundizar en gran medida en lasdistintas posibilidades que ofrece éste. Estoprovoca en ocasiones una drástica rupturacognitiva entre ambos tipos de actividades.

Cabe observar además que los programasde cálculo simbólico como Maple no sonsimilares a los programas de diseño asistido(CAD – Computer Aided Design) que sueleutilizar el alumnado de Ingeniería deEdificación en otras asignaturas de latitulación y en los que el entorno gráfico y elacabado visual adquieren una importanciavital. En este sentido, si bien Maple disponede un paquete de comandos específicos dedibujo, su efectividad se encuentra en lacomputación analítica y algebraica,careciendo del entorno gráfico e intuitivo quepueda tener un CAD, con la consecuentedificultad que este hecho conlleva en elproceso de aprendizaje.

Como consecuencia, para lograr una mayory mejor integración de herramientasinformáticas se precisaría de un contacto másprolongado con las mismas, junto a unaaproximación de éstas a un entorno gráficomás familiar. El primer requisito sólo se podríaalcanzar utilizando el ordenador en el aulafuera del ámbito de las clases prácticas deinformática. Esto permitiría por una parte poderdisponer del tiempo suficiente paraprofundizar en la herramienta informática encuestión y, por otra, se podría optar porcomplementar dicho software con algún otroprograma más acorde con el carácter

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geométrico de la titulación, abordando de estaforma el segundo de los requisitos a los quese ha hecho mención con anterioridad. Enparticular, al uso de un CAS se podría añadirla utilización de algún software DGS, comoCabri o Cinderella. Al estar basado enconstrucciones geométricas de regla ycompás, este tipo de herramienta informáticatiene un entorno gráfico similar al de unprograma de diseño asistido. Si bien nodispone de la variedad de efectos visuales deun CAD, permite trabajar en cambio sobre unconjunto más amplio de elementosgeométricos en el plano y en el espacio, loque evita la necesidad de definir polilíneas osplines mediante interpolación polinómica apartir de una serie de puntos base. Por suparte, el desarrollo en los últimos años desistemas de geometría dinámica queincorporan herramientas de cálculo simbólicoposibilita una interdependencia paramétricatal que, en caso de cambiar un determinadoparámetro, se reconstruya inmediatamentetodos los elementos que constituyan la hojade trabajo. Más aún, con este tipo de softwarees posible trabajar simultáneamente con lasecuaciones asociadas a las curvas dibujadas,hecho que puede resultar fundamental a lahora de motivar al alumnado en su utilización,pues, si bien a nivel interno es claro que lossistemas CAD hacen uso de un alto nivel deformulación matemática, es cierto que a nivelde usuario no se visualiza tal dependencia.Por esta razón, el uso de un sistema de tipocombinado CAS/DGS, como es el caso porejemplo del software libre GeoGebra,permitiría al alumnado entender elfuncionamiento interno del conjunto deprogramas informáticos de diseño asistidoque usa habitualmente, encontrando de estaforma una aplicación práctica cercana alconjunto de conceptos matemáticos

desarrollados en clase.Teniendo presente todo lo anterior se

planteó la posibilidad de aprovechar elarranque de la nueva titulación de Grado deIngeniería de Edificación para desarrollar unaexperiencia de innovación docente quepermitiese integrar el uso de herramientasinformáticas como apoyo conceptual einstrumental en todas y cada una de lasactividades formativas vinculadas a lasasignaturas Matemática Aplicada a laEdificación I y II. En todo caso dichaintegración no podría realizarse de forma total,dadas las necesidades de atenciónpersonalizada que requiere el uso de recursosinformáticos y el alto número de alumnos(unos 90) existente en general en cada grupo.No obstante, se vio la posibilidad de utilizarcomo experimental el grupo reducido querecibe docencia en inglés, establecido en latitulación atendiendo a las directrices delProceso de Bolonia en el Espacio Europeo deEducación Superior y al Plan de PolíticaLingüística de la Universidad de Sevilla. Lacapacidad limitada a 30 alumnos de dichogrupo se establecía idónea a la hora dedesarrollar como experiencia docente laintegración de herramientas informáticasdurante todo el proceso de enseñanza/aprendizaje, incluida la evaluación decompetencias adquiridas.

Se establecieron las siguientes líneas deactuación, atendiendo a cada una de las tresactividades formativas en las que se basanlos programas de las dos asignaturas encuestión:

1. Clases prácticas de informática: partedel proceso de enseñanza debe ser mostrar alalumnado cómo elegir la herramienta másapropiada a utilizar en cada momento, así comoa elaborar dicha herramienta en caso de queno exista, mediante programación básica o

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definición de macro.2. Clases teóricas: el uso de recursos

informáticos interactivos debe permitir alalumnado centrarse en los conceptos yefectuar razonamientos que les lleven a unacomprensión efectiva de la materia.

3. Clases prácticas: la posibilidad de usarun sistema CAS/DGS que simule elcomportamiento de un CAD debe permitir elplanteamiento de problemas interdisciplinaresque busquen mejorar las competenciasgenerales y complementarias de la titulacióny que se salgan en cierta medida del ámbitomatemático.

La falta de disponibilidad de aulas deinformática en las horas presenciales novinculadas a las clases prácticas deinformática, conllevó la necesidad de usarordenadores portátiles en aulas tradicionales.En este sentido, la mayoría de los alumnosoptó por usar los equipos facilitados por laUniversidad de Sevilla a los estudiantes denuevo ingreso. Aquellos alumnos que no seencontraban en esta situación y no disponíande equipo propio solicitaban uno en préstamoal aula de informática del centro. Cabe observarque la posibilidad de usar sus propiosordenadores permitió agilizar la dinámica declase al trabajar cada alumno en el entornofamiliar aportado por la configuración personala la que estaba acostumbrado, sin dependerdel uso que hiciese del mismo otras personas,tal y como suele ocurrir en los equipos desobremesa de las aulas de informática.Además, el propio alumno era quien seresponsabilizaba de tener a comienzos de cadaclase en buen funcionamiento su equipo, loque evitaba los siempre molestos retrasosprovocados por tener que configurarordenadores de uso común con problemastécnicos de última hora.

La primera medida adoptada fue ampliar en

todas las horas presenciales tanto la formacióncomo el uso del CAS Maple como herramientade apoyo en todo el conjunto de operacionesmecánicas que el alumnado debía sabermanejar con soltura, atendiendo aladiestramiento que recibe de las mismas enniveles educativos anteriores. Sería porejemplo el caso del cálculo básico conmatrices, derivadas e integrales. En unproceso de aprendizaje activo, el hecho deque el alumnado no disponga de facilidad enestos cálculos provoca en el aula unaralentización a la hora de ser aplicados enproblemas más específicos, a pesar de quenormalmente los enunciados de los mismosse preparan previamente para que los cálculosno sean muy complejos. En general, el alumnotermina dedicando más tiempo a adiestrarseen técnicas supuestamente ya conocidas queal nuevo concepto a asimilar. Esta dificultadsuele darse también en los exámenes, de talforma que el estudiante gasta un tiempoexcesivo en operaciones mecánicas que leimpiden abordar de una forma eficaz laresolución del problema en cuestión ydemostrar por tanto sus nuevosconocimientos.

Como alternativa al cálculo mecánico amano se ofreció al grupo experimental laposibilidad de usar, tanto en clase como enexámenes, las herramientas que ofrece Mapleen relación al cálculo con matrices, derivadase integrales. El adiestramiento en estasherramientas se iba realizando en las clasesteórico-prácticas simultáneamente a laexplicación teórica de los nuevos conceptos.En concreto, cada vez que se ejemplificaba unnuevo resultado teórico a partir de undeterminado ejercicio o problema, se mostrabade forma esquemática la resolución tradicionaly se detallaba más pormenorizadamente laresolución realizada mediante CAS. Así, el

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tiempo que normalmente se dedicaba a realizarcálculos mecánicos pasó a ser aprovechadoen adiestramiento en el software y en suaplicación en la resolución de ejercicios yproblemas de una forma más rápida y eficaz.Una consecuencia derivada de estametodología fue el hecho de poder trabajarcon problemas de enunciados más realistas,al no tener porqué restringir sus condicionesde partida con vistas a cuadrar unasoperaciones aritméticas sencillas.

Finalmente, al disponer de un mayornúmero de horas de trabajo con ordenador, sepudo aumentar el conjunto de herramientasinformáticas utilizadas. En concreto,dependiendo del tema abordado en cadamomento, se complementó Maple conprogramas de libre difusión como GeoGebra oWinPlot, diseñados específicamente paradesarrollar conceptos geométricos.

3. Resultados.

Previamente a la exposición en clase de cadabloque temático, se fue desarrollando un

estudio que establecía qué actividades yejercicios, de los tradicionalmente resueltos amano, podrían adaptarse al uso de programasde tipo CAS y DGS, al mismo tiempo que seanalizaba la posibilidad de ampliar el campode aplicaciones prácticas en el campoprofesional de la edificación. En la presentesección se presentan algunos de los ejemplosmás significativos en cada uno de los bloquesy se recogen algunos de los trabajosrealizados de forma voluntaria por el propioalumnado, mostrando de esta forma el interéssuscitado por esta nueva metodología.

3.1 Estadística.

Tradicionalmente, este bloque temático estávinculado a las prácticas de informática conMaple V Release 5.1 y se establece comoprimera toma de contacto con el software.Específicamente, una vez introducidos losdatos de la muestra seleccionada, se hace usode los comandos del paquete stats quepermiten obtener de forma inmediata lossiguientes estadísticos de una variable

Figura 1: Análisis de una variable estadística continua en GeoGebra.

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aleatoria discreta o continua: media, mediana,moda, percentiles, rango, desviación media,desviación típica, coeficiente de variación,sesgo y curtosis. A nivel gráfico sólo esposible visualizar diagramas de barras ehistogramas, siendo complicado realizar unavinculación visual clara entre los estadísticosobtenidos y su influencia en dichas gráficas.Se trata por tanto de un ejemplo bastante clarodel carácter de caja negra asociado a unprograma de cálculo simbólico, pues si bieninternamente desarrolla la formulacióncorrespondiente al cálculo de los estadísticos,el alumnado no percibe de forma transparentela relación existente entre los datos queintroduce y los resultados que obtiene.

Este aspecto fue solventado en el grupoexperimental al complementar Maple con eluso de GeoGebra, que si bien no es unsoftware específicamente diseñado paraabordar problemas estadísticos, su caráctergráfico posibilita al alumnado visualizar en unamisma pantalla tanto los polígonos ehistogramas de frecuencias absolutas y

acumuladas como todo el conjunto deestadísticos asociados (Figura 1). Más aún,el uso de barras de desplazamiento odeslizadores, permite a cada estudianteasociar de forma dinámica a su histogramadistintos parámetros como pueden ser porejemplo el número de intervalos en los que sequiere dividir los datos de la muestra o lafrecuencia absoluta de algún determinadovalor. Al mover con el ratón cada deslizador,el carácter paramétrico de GeoGebra modificaautomáticamente en la hoja de trabajo todoslos valores vinculados, lo que otorga unavisualización dinámica de la dependencia entrelos distintos elementos que intervienen en lavariable estadística. Cabe destacar en estesentido el cálculo geométrico de lospercentiles, concepto ampliamente utilizadoen distintos campos de la carrera profesionalde Ingeniería de Edificación, como pueden serel estudio de las tablas antropométricas enErgonomía o los procesos de técnicas decontrol. En concreto, cada estudiante crea ensu hoja de trabajo un deslizador con valores

Figura 2: Aplicación del método del punto fijo en GeoGebra.

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de 0 a 100, que le permite obtener de formadinámica, tras una adecuada construccióngeométrica, la intersección entre el polígonode frecuencias acumuladas y la rectahorizontal que determina el correspondienteporcentaje del total de individuos de lamuestra. La construcción activa de estavisualización dinámica del concepto depercentil ha resultado mucho más eficaz en elproceso de enseñanza/aprendizaje que laresultante de aplicar únicamente elcorrespondiente comando en Maple.

3.2 Cálculo numérico.

Vinculado a las clases prácticas deinformática, este bloque temático trata lautilización de métodos numéricos en laresolución de ecuaciones no lineales y desistemas de ecuaciones lineales. Para ello sesiguen métodos iterativos que el alumnadodebe desarrollar algorítmicamente, definiendolas correspondientes etapas en Maple. En elcaso de resolución de sistemas se utiliza elpaquete linalg, que tiene integrado enparticular comandos asociados al método deeliminación de Gauss-Jordan y a la

descomposición LU y de Cholesky. Otrosmétodos como los de Jacobi y Gauss-Seidelson programados en procedimientosespecíficos. En cuanto a los métodos deresolución de ecuaciones no lineales(bisección, cuerda, punto fijo y tangente), sibien suelen desarrollarse de forma analíticano hay que olvidar que conceptualmente estánbasados en construcciones geométricas que,aunque son de difícil realización en Maple, síes factible su definición visual en un DGShaciendo uso de construcciones con regla ycompás. Ésta fue de hecho la opción llevada acabo en el grupo experimental, donde se optópor una metodología activa en la que elalumnado tuviese que desarrollar estosmétodos haciendo uso de GeoGebra. En laFigura 2 puede verse como ejemplo la hoja detrabajo que ha sido diseñada con laconstrucción asociada al método del puntofijo, donde el estudiante compruebavisualmente la aproximación en forma deespiral de la raíz de la función a estudiar. Lacomprensión de los conceptos utilizadosmejora a través de este proceso activo y visualque complementa el desarrollo analíticollevado a cabo habitualmente.

Figura 3: Estudio analítico y geométrico de rotaciones en GeoGebra.

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3.3 Transformaciones lineales y afines.

Este bloque temático está incluido en el áreade Geometría analítica y suele desarrollarseen las clases teórico-prácticas sin hacer usode herramientas informáticas. Sin embargo, suaspecto geométrico debería poder seraprovechado en este sentido, pues resultaríaun aliciente para un alumnado con interés enel diseño gráfico. Es así que en el grupoexperimental se ha utilizado el softwareGeoGebra como herramienta de apoyo en estebloque temático, pues permite incorporartanto su carácter geométrico como el analítico.Para ello se ha preparado previamente una hojade trabajo (Figura 3) donde se permiteintroducir la matriz asociada a unatransformación afín y ver el efecto queproduce esta última en una determinada figurageométrica. También es posible visualizar lacomposición de movimientos en el plano apartir del producto de matrices, lo que facilitaal alumnado la comprensión de estosconceptos.

3.4 Cónicas y cuádricas.

Se trata de nuevo de un bloque temáticoasociado al área de Geometría analítica quesin embargo no suele aprovecharse a nivelinformático. En el grupo experimental se haaprovechado nuevamente las característicastécnicas de GeoGebra para abordar el estudiodel mismo. Más aún, dado que este softwarepermite insertar imágenes en la pantalla detrabajo, se ha realizado una actividad con elalumnado que consiste en encontrar edificioscon un contorno que pueda aproximarse poruna cónica (Figura 4), de tal forma que puedananalizarse los elementos principales de la curvaasociada desde un punto de vista geométricoy analítico (Falcón, 2011).

3.5 Curvas y superficies.

El estudio de curvas y superficies suelehacerse a nivel analítico en las clases teórico-prácticas usando únicamente cálculodiferencial. Sin embargo, este bloque temático

Figura 4: Análisis de un contorno de edificio de forma parabólica.

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tiene un gran potencial a nivel de diseñográfico, pues su conocimiento permitiríaprofundizar por ejemplo en el modelado deestructuras arquitectónicas, que es tratado enotras asignaturas de la titulación haciendo usode herramientas informáticas de tipo CAD. Sibien estos programas están basadosinternamente en conceptos matemáticos, nopermiten al usuario trabajar directamente conel conjunto de fórmulas y ecuaciones queverdaderamente constituyen el fundamentodel entorno gráfico. En este sentido, elalumnado del grupo experimental realizó laconversión de GeoGebra, que actualmentesólo trabaja en el plano, en un entorno CADtridimensional. Para ello se definió unaproyección ortográfica basada en los ángulosde Euler que permitía representar las curvasparamétricas de una superficie a partir de susecuaciones. Más aún, la creación dedeslizadores asociados a los parámetros lespermitió modelar con facilidad construccionesbasadas en elementos geométricos básicos.

Dado que el motor actual de GeoGebra notiene la suficiente rapidez para trabajar coneste entorno tridimensional virtual, tambiénse hizo uso del software WinPlot, que, si bienno es de tipo DGS, sí permite representar

curvas y superficies a partir de susecuaciones. Como aplicación prácticavoluntaria, se solicitó el modelado de algunaestructura arquitectónica que en sucomposición estuviese constituida al menospor dos superficies elementales (Figura 5).

3.6 Resultados académicos.

La utilización diaria de herramientasinformáticas en el aula de Matemáticas logrócaptar el interés y motivación del alumnadode una forma tal que no llegó a producirseningún abandono a lo largo del cursoacadémico. Cabe indicar además, en relacióna la evaluación continua desarrollada, que éstafue superada por todo el grupo experimental,con el siguiente rendimiento académico porbloque temático (promedio de las notas sobre10 puntos): Estadística: 6,4. Ecuaciones nolineales: 8,1. Sistemas: 9,4. Transformacioneslineales y afines: 7. Cónicas y cuádricas: 7,8.Cálculo diferencial: 7,1. Cálculo integral: 7,4.Estos aspectos contrastan con los resultadosde años anteriores en los que la media dealumnos presentados a evaluación continuahabía venido rondando el cincuenta por cientodel total de matriculados, de los que sólo un

Figura 5: Museo de Arte Contemporáneo de Niteroi en Brasil (Miriam González Roca).

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Figura 6: Comparativa de resultados académicos en los cursos 2008-09 y 2009-10.

Figura 7: Registro Civil en el Campus de la Justicia de Madrid(José Enrique Pozo Sierra).

Figura 8: Análisis del cableado del puente Akashi Kaikyo Ohashi(Antonio García Palomo).

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sesenta por ciento de media superaba laasignatura (Arriola, Barrena y otros, 2010). Enconcreto, centrando la comparación conrespecto al curso académico anterior, puedeobservarse (Figura 6) que, a pesar de necesitarun mayor esfuerzo inicial (compárese las notasen el primer bloque de Estadística), la nuevametodología contribuyó a un aumento en elrendimiento académico global de la materia.

Parte del interés mostrado por el alumnadose vio respaldado por la posibilidad de realizartrabajos complementarios voluntarios, en losque la única condición planteada era buscarun edificio concreto en el que se pudierandistinguir curvas y superficies estudiadas enclase y analizar éstas de forma rigurosahaciendo uso para ello de herramientasinformáticas de tipo CAD y CAS. En estesentido, cabe destacar el modelado de edificioscon al menos dos superficies claramentereconocibles, cuyas ecuaciones paramétricaspudiesen ser obtenidas a partir de losconocimientos teóricos adquiridos (Figuras 5y 7). El estudio de contornos cónicos deedificios y construcciones civiles también

suscitó interés, desarrollando de formacompletamente autónoma sus propiosmodelos matemáticos que mejor se adecuabana la estructura en cuestión (Figuras 8 y 9).

4. Discusión.

La metodología docente planteada en elpresente artículo favorece el hecho de que elCAS/CAD utilizado ejerza verdaderamente supapel de instrumento de apoyo en laresolución de problemas, al igual que puedehacerlo una calculadora en operacionesaritméticas básicas. La integración completade herramientas informáticas impide unaruptura cognitiva entre los distintos tipos deactividades formativas realizadas en el aula,al mismo tiempo que posibilita desarrollarconceptos de una forma más visual e intuitiva.La resolución de problemas deja de centrar suatención en las operaciones mecánicas ypermite abordar problemas reales cuyaresolución requiere cálculos no inmediatos.Se consigue de esta forma mejorar lamotivación del alumnado que comprende la

Figura 9: Análisis de fachada de centro comercial de París(Sandra Rodríguez Rubiano).

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utilidad práctica de los conceptos matemáticosdentro de su ámbito académico y profesional.

Analizados los resultados obtenidos en elgrupo experimental, durante el primercuatrimestre del curso académico 2010-2011se está procediendo a desarrollar unaexperiencia docente similar en algunos de losgrupos restantes. En concreto, al grupo deinmersión total en el uso de recursosinformáticos se han añadido tres nuevosgrupos donde se desarrolla una inmersiónparcial en al menos uno de los tres bloquestemáticos asociados a las clases teórico-prácticas: Cálculo matricial, transformacionesy cónicas y cuádricas. En el sistema deevaluación continua contemplado en losproyectos docentes de los cuatro gruposexperimentales aparece la posibilidad desuperar la correspondiente parte de laasignatura mediante, al menos, una de lassiguientes dos opciones:

a) Presentación individual o en grupo deun problema o proyecto que fomente lainterdisciplinariedad y la incorporación deescenarios reales y para cuya resolución seutilicen los recursos informáticos mostradosen clase. Dichos problemas o proyectospodrán ser diseñados tanto por el equipodocente que integra el proyecto como por elpropio alumnado.

b) Resolución de una prueba escrita enla que se permitirá, como instrumento deapoyo, el uso de las herramientas informáticasvistas en clase.

5. Fuentes de financiación.

La experiencia docente llevada a cabodurante el pasado curso académico 2009-2010se enmarcó como línea de actuación dentrodel proyecto Innovación metodológica parala mejora del aprendizaje de las Matemáticas

aplicadas a la Edificación, vinculado a laLínea de Acción 6, Investigación docente, delI Plan Propio de Docencia de la Universidadde Sevilla. Por su parte, la experiencia docenteque se está llevando a cabo durante el cursoacadémico 2010-2011 se enmarca dentro delproyecto El uso de portátiles como motordocente en la asignatura MatemáticaAplicada a la Edificación I, vinculado a laLínea de Acción 9, Innovación y mejoradocente 2010-2011, del I Plan Propio deDocencia de la Universidad de Sevilla. Comonovedad con respecto al curso anterior, deforma simultánea a la docencia se estánelaborando un boletín de problemasespecialmente diseñado para su resolucióncon ordenador y una guía especializada conlas herramientas necesarias en cada programainformático utilizado, que pueda servir desoporte didáctico y práctico al alumnado.

6. Referencias bibliográficas.

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Fecha de recepción: 2010-11-09Fecha de evaluación: 2010-01-12Fecha de aceptación: 2010-01-23Fecha de publicación: 2012-01-01