Ordinales

September 21, 2015

1 Clasificación de Relaciones

Sea X un conjunto y sea R una relación sobre X, esto es, R ⊂ X ×X.

– Decimos que R es reflexiva si

∀x ∈ X(xRx).

O en otros símbolos, decimos que R es reflexiva si ∆ ⊂ R, donde ∆ =

{(x, y) ∈ X ×X : x = y} (la diagonal).

– Decimos que R es antireflexiva si

∀x ∈ X(¬(xRx)). (1)

En otras palabras, decimos que R es antireflexiva si ∆ ∩R = ∅.

– Decimos que R es simétrica si

∀x, y ∈ X(xRy ⇒ yRx). (2)

En otras palabras, R es simétrica si R = R−1.

– Decimos que R es antisimétrica si

∀x, y ∈ X(xRy ∧ yRx⇒ y = x). (3)

Equivalentemente, R es antisimétrica si

∀x, y ∈ X(xRy ∧ x 6= y ⇒ ¬(yRx)).

En otras palabras, R es antisimétrica si R ∩R−1 ⊂ ∆.

1

– Decimos que R es transitiva si

∀x, y, z ∈ X(xRy ∧ yRz ⇒ xRz). (4)

– Decimos que R es conectiva si

∀x, y ∈ X(x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx). (5)

– Decimos que R es tricotómica si R es antireflexiva, antisimétrica yconectiva, esto es,

R ∩∆ = ∅ y ∀x, y ∈ X(x 6= y ⇒ xRy Y yRx). (6)

Dicho de otra forma, R es tricotómica si, y sólo si, para todo x, y ∈ X,sucede una y solo una de las siguientes

x = y, xRy, yRx.

Ejemplo 1.1. La diagonal, ∆ = {(x, y) ∈ X × X : x = y} es una relaciónreflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Es antireflexiva si, y sólo si,X = ∅. Es conectiva si, y sólo si, X = ∅. La diagonal es tricotómica si y sólosi X = ∅. (Note que ∆ = ∅ si, y sólo si, X = ∅). N

Apuntamos en esta sección un par de resultados simples que tendrán ciertarelevancia en las secciones inmediatas.

Proposición 1.1. Supongamos que R es una relación antireflexiva. En-tonces R es antisimétrica si, y sólo si, no existen elementos x, y ∈ X tales quexRy y yRx. Esto es, la única forma en que antisimetría sea válida en unarelación antireflexiva, es por vacuidad. N

Demostración. Supongamos que R es antisimétrica. Si hay elementos x y y

en X tales que xRy y yRx, entonces x = y, lo que implica que xRx, lo cualcontradice la hipótesis de que R es antireflexiva.

Recíprocamente, supongamos que no hay elementos x y y en X tales quexRy y yRx. Es obvio entonces que para todo x, y ∈ X, si x 6= y, entonces(x, y) /∈ R o bien (y, x) /∈ R, esto es, E es antisimétrica. �

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Corolario 1.1. Si R es una relación antireflexiva y transitiva, entonces R

es antisimétrica. N

Demostración. Si suponemos que hay elementos x y y de X tales que xRy yyRx, entonces por transitividad, xRx. Lo cual es imposible, puesto que R esantireflexiva. Así que por vacuidad, R es antisimétrica. �

Corolario 1.2. Si R es una relación antireflexiva, transitiva y conectiva,entonces R es tricotómica. N

Ejemplo 1.2. Sean los conjuntos y las relaciones

1. X = {0, 1, 2} y R1 = {(0, 1), (1, 0)}.

2. X = {0, 1, 2} y R2 = {(0, 2), (2, 1)}.

3. X = {0, 1, 2} y R3 = {(0, 1)}.

4. X = {0, 1} y R4 = {(0, 1), (1, 0)}.

5. X = {0, 1, 2} y R5 = {(0, 1), (1, 2), (2, 0)}.

6. X = {0, 1, 2} y R6 = {(0, 0), (0, 2), (2, 1)}.

7. X = {0, 1} y R7 = {(0, 0)}.

8. X = {0, 1, 2} y R8 = {(0, 0), (1, 0), (0, 2), (2, 1)}.

9. X = {0, 1, 2} y R9 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 2)}.

10. X = {0, 1, 2} y R10 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.

11. X = {0, 1, 2} y R11 = {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.

12. X = {0, 1, 2} y R12 = {(0, 0), (0, 2), (2, 1), (2, 0)}.

En la siguiente tabla se resume las propiedades que cumple cada una deestas relaciones.

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R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12

Antireflexiva X X X X X

Antisimétrica X X X X X X X

Transitiva X X X X X

Conectiva X X X X X X

Tricotómica X

Note que se han agotado todas las posibles combinaciones entre las diversaspropiedades que puede tener una relación R. N

2 Orden parcial

Sea R una relación sobre X.

- Decimos que R es un orden parcial si R es antisimétrica y transitiva.

- Decimos que un orden parcial R es un orden parcial reflexivo, si R esademás una relación reflexiva.

- Decimos que la relación R es un orden parcial estricto si es transitiva yantireflexiva.

Observación 2.1. Según el corolario 1.1, un orden parcial estricto es unorden parcial (lo que justifica la nomenclatura). N

Observación 2.2. En todos los libros sobre teoría de conjuntos o temasafines, se usa alguna de las tres definiciones anteriores para un orden par-cial (“a secas”), por lo que el lector no debe confundirse cuando encuentre enla literatura diferencias con lo que aquí escribimos. N

Observación 2.3. Aunque evidentemente las tres definiciones anteriores noson equivalentes, podemos decir que son casi las mismas, como veremos unpoco más adelante, en el sentido de que a partir de cualquiera de ellas obten-emos las otras. N

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Ponemos en seguida algunos ejemplos simples.

Ejemplo 2.1. En R, o en cualquier subconjunto de R (como N o Z o Q), elorden habitual ≤ es un orden parcial reflexivo, y el orden habitual estricto <,es un orden parcial estricto. N

Ejemplo 2.2. La relación vacía ∅ es un orden parcial sobre cualquier con-junto X, dado que las propiedades de antisimetría y transitividad se siguenpor vacuidad. N

Ejemplo 2.3. La relación vacía ∅ es un orden parcial reflexivo si, y sólo si,X = ∅. En efecto, la única manera de que su cumpla reflexividad para ∅, esque X sea igualmente el vacío. N

Ejemplo 2.4. La relación vacía ∅ es de hecho un orden parcial estricto, pueses obvio que no existe elemento x de X tal que (x, x) ∈ ∅. N

Ejemplo 2.5. Si X es conjuntos, entonces las relaciones ⊂ y ⊃ son órdenesparciales sobre ℘(X) reflexivos; mientras que las relaciones y ! son órdenesparciales estrictos sobre ℘(X). N

Observación 2.4. Si R es un orden parcial sobre X, y Y ⊂ X, entonces larestricción RY = R ∩ Y × Y es un orden parcial sobre Y . N

Proposición 2.1. Sea R una relación sobre X (no necesariamente unorden). Definimos la relación ≤R sobre X como sigue:

x ≤R y ⇔ xRy ∨ x = y.

O en otros símbolos, ≤R = R ∪ ∆, donde ∆ = {(x, y) ∈ X × X : x = y}.Entonces

(i) La relación ≤R es reflexiva.

(ii) La relación R es antisimétrica si, y sólo si, ≤R es antisimétrica.

(iii) Si R es transitiva, entonces ≤R es transitiva.

(iv) Si ≤R es transitiva, entonces para todo x, y, z ∈ X tales que xRy y yRz,se tiene que x = z o bien xRz.

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N

Demostración. Como ∆ ⊂≤R, se sigue que ≤R es reflexiva.Ahora, para todo x, y ∈ X,

x ≤R y ∧ y ≤R x⇔ (xRy ∨ x = y) ∧ (yRx ∨ y = x)

⇔ (xRy ∧ yRx) ∨ (x = y).

Así que si R es antisimétrica,

x ≤R y ∧ y ≤R x⇒ (x = y) ∨ (x = y)⇒ x = y.

Y recíprocamente, si ≤R es antisimétrica,

xRy ∧ yRx⇒ x ≤R y ∧ y ≤R x⇒ x = y.

Por otra parte, para todo x, y, z ∈ X,

x ≤ y ∧ y ≤ z ⇔ (xRy ∨ x = y) ∧ (yRz ∨ y = z)

⇔ (xRy ∧ yRz) ∨ (xRy ∧ y = z) ∨ (x = y ∧ yRz) ∨ (x = y ∧ y = z).

⇒ (xRy ∧ yRz) ∨ (xRz) ∨ (x = z).

Así que si R es transitiva,

x ≤R y ∧ y ≤R z ⇒ xRz ∨ xRz ∨ x = z

⇒ xRz ∨ x = z

⇒ x ≤R z.

Recíprocamente, si ≤R es transitiva,

xRy ∧ yRz ⇒ x ≤R y ∧ y ≤R z

⇒ x ≤R z.

Es decir, xRz o bien x = z. �

Corolario 2.1. Una relación R es un orden parcial sobre X si, y sólo si, ≤R

es un orden parcial reflexivo sobre X. En particular, R es un orden parcialreflexivo si, y sólo si, conicide con ≤R. N

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Demostración. Si R es un orden parcial, entonces R es antisimétrica y tran-sitiva, de modo que ≤R es antisimétrica y transitiva, y como ≤R es tambiénreflexiva (por definición), entonces ≤R es un orden parcial reflexivo.

Recíprocamente, supongamos que ≤R es un orden parcial (reflexivo, pordefinición), entonces ≤R es antisimétrica y por ende R es antisimétrica. Pero≤R es también transitiva, así que para todo x, y, z ∈ X, si xRy y yRz, se tieneque xRz o bien x = z. Cuando pasa xRz no hay nada más que hacer. Pero six = z, entonces, por antisimetría, x = y = z, en cuyo caso es obvio que xRz.Así que R es también transitiva. �

Ejemplo 2.6. Sea X = {0, 1} y sea la relación R = {(0, 1), (1, 0)}. EntoncesR no es transitiva, pero ≤R= X ×X sí lo es. N

Proposición 2.2. Sea R una relación sobre X (no necesariamente unorden). Definimos la relación <R como sigue:

x <R y ⇔ xRy ∧ x 6= y.

O en otros símbolos, <R= R\∆, donde ∆ = {(x, y) ∈ X × X : x = y}.Entonces

a) <R es antireflexiva.

b) La relación R es antisimétrica si, y sólo si, <R es antisimétrica.

c) Si R es transitiva, entonces para todo x, y, z ∈ X tal que x 6= z, six <R y y y <R z, entonces x <R z.

d) Si <R es transitiva, entonces R es transitiva. N

Demostración. Si x <R x, entonces x 6= x, lo cual es imposible, por lo que esclaro que <R es antireflexiva.

Ahora, supongamos que R es antisimétrica. Si x <R y, entonces y ≮R x,pues de lo contrario,

x <R y ∧ y <R x ⇒ (xRy ∧ x 6= y) ∧ (yRx ∧ y 6= x)

⇒ (xRy ∧ yRx) ∧ x 6= y

⇒ x = y ∧ x 6= y,

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lo cual es absurdo. Luego, <R es antisimétrica por vacuidad.Recíprocamente, supongamos que <R es antisimétrica. Si x 6= y, entonces

(x, y) /∈ R o bien (y, x) /∈ R, pues en caso contrario, i.e, xRy y yRx, se tendríax <R y y y <R x, lo cual es imposible. Así que R es antisimétrica.

Ahora supongamos que R es transitiva. Para todo x, y, z ∈ X,

x <R y ∧ y <R z ⇒ (xRy ∧ x 6= y) ∧ (yRz ∧ y 6= z)

⇒ (xRy ∧ yRz) ∧ (x 6= y ∧ y 6= z). (7)

Se sigue, xRz. Si además x 6= z, entonces x <R z.Finalmente, supongamos que <R es transitiva. Sean x, y, z ∈ X tales que

xRy y yRz. Si x = y o y = z, es obvio entonces que xRz. Luego, si x 6= y

y y 6= z, se sigue que x <R y y y <R z, por lo tanto x <R z, lo cual implicaxRz. �

Ejemplo 2.7. Sea X = {0, 1, 2} y sea

R = {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (2, 0)}.

Entonces R no es transitiva y no es antisimétrica. En este caso

<R = {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 0)}.

Entonces, <R no es antisimétrica y no es transitiva. N

Ejemplo 2.8. Sea X = {0, 1, 2} y sea

R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.

Entonces R es transitiva pero no es antisimétrica. En este caso,

<R = {(0, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 1)},

la cual no es antisimétrica y no es transitiva. N

Corolario 2.2. Una relación R es un orden parcial sobre X si, y sólo si,<R es un orden parcial estricto sobre X. En particular, R es un orden parcialestricto si, y sólo si, coincide con <R. N

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Demostración. Supongamos que R es un orden parcial. Entonces la relación<R es antireflexiva y antisimétrica. Ahora probaremos que <R es transitiva.Sean x, y, z ∈ X tales que x <R y y y <R z. Se sigue (xRy ∧ yRz) y(x 6= y∧y 6= z). De modo que si x = z, entonces, dado que R es antisimétrica,x = y = z, lo cual es una contradicción. Por lo tanto x 6= z y x <R z.

Por otra parte, si <R es un orden parcial (estricto por definición), entonceses claro que R es antisimétrica y transitiva, es decir, R es un orden parcial. �

Los corolarios 2.1 y 2.2, prueban que cualquiera de las definiciones de ordenparcial podría ocupar el sitial de definicón per sè. Pues de cualquiera de ellasobtenemos cualquier otra, según sea que agreguemos el conjunto diagonal ∆

o lo eliminemos.

Proposición 2.3. Sea R un orden parcial y consideremos los órdenes ≤R y<R como en las proposiciones anteriores. Si x <R y ≤ z ó bien x ≤R y <R z,entonces x <R z. N

Demostración. Tenemos,

x <R y ≤R z ⇒ (xRy ∧ x 6= y) ∧ (yRz ∨ y = z)

⇒ (xRy ∧ yRz ∧ x 6= y) ∨ (xRy ∧ x 6= y ∧ y = z)

⇒ (xRz ∧ x 6= z) ∨ (xRz ∧ x 6= z)

⇒ x <R z.

El caso x ≤R y <R z se prueba de forma análoga. �

Proposición 2.4. Sea R una ralación sobre X. Entonces R es tricotómicasi, y sólo si, <R es conectiva (y por tanto tricotómica); si, y sólo si, ≤R esconectiva. N

Convención. Usaremos el símbolo ≤ para un orden parcial reflexivo. Elsímbolo < para un orden parcial estricto.

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3 Orden lineal

Un orden lineal (o total) sobre X, es un orden parcial R, tal que para todox, y ∈ X, se tiene xRy o yRx o bien x = y (esto es R es conectiva).

Ejemplo 3.1. En R, lo órdenes usuales ≤, <, ≥ y >, son todos órdeneslineales. N

Decimos que un orden lineal es reflexivo si además es reflexiva. Es estrictosi es además antireflexivo.

Proposición 3.1. Si un orden parcial estricto < es lineal, entonces < estricotómica. Esto es, si < es una relación antireflexiva, transitiva y conectiva,entonces para todo x, y ∈ X, se cumple una, y sólo una, de las siguientes

x < y, y < x, x = y. N

Demostración. Sean x, y ∈ X. Si x = y, es claro entonces que x ≮ y. Six 6= y, entonces x < y o bien y < x, pues < es conectiva por hipótesis. Siambas relaciones suceden al mismo tiempo, entonces por transitividad, x < x,lo cual es imposible. Por tanto, sólo una de x < y o y < x se cumple. �

Ejemplo 3.2. La relación vacía ∅ es un orden lineal si, y sólo si, X = ∅ obien |X| = 1, en cuyo último caso es un orden lineal estricto. N

Proposición 3.2. Sea R una relación sobre X. Entonces R es un ordenlineal si, y sólo si, ≤R es un orden lineal reflexivo, si y sólo si, <R es un ordenlineal estricto. N

Demostración. Supongamos que R es un orden lineal. Sean x, y ∈ X. Six 6= y, entonces xRy, en cuyo caso x <R y, o bien yRx, en cuyo caso y <R x.Recíprocamente, es claro que si <R es un orden lineal, este debe ser estricto,y si x, y ∈ X, tal que x 6= y, entonces xRy o bien yRx, pero no ambos. Porúltimo, es claro que R es lineal si y sólo si ≤R es lineal. �

En la siguiente figura se muestra las implicaciones entre cada una de laspropiedades descritas en las secciones precedentes.

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4 Cotas. Máximos y mínimos

Si R es un orden parcial sobre X y Y ⊂ X, entonces decimos que Y estáacotado inferiormente si existe x ∈ X tal que para todo y ∈ Y ,

xRy o bien x = y.

Decimos en este caso que x es una cota inferior de Y .Decimos que Y está acotado superiormente si existe x ∈ X tal que para

todo y ∈ Y ,yRx o bien x = y.

Decimos en este caso que x es una cota superior de Y .

Proposición 4.1. Sea R un orden parcial en X y consideremos las relaciones≤R y <R definidas como antes. Sea Y ⊂ X. Entonces x ∈ X es una cotainferior (superior) respecto al orden R de Y si, y sólo si, x es una cota inferior(superior) respecto al orden parcial reflexivo ≤R, si y sólo si, x es una cotainferior (superior) respecto al orden parcial estricto <R. N

Demostración. El enunciado es obvio para el orden ≤R. Para el orden <R, elenunciado se sigue de las siguientes tautologías. Para todo x, y ∈ X,

xRy ∨ x = y ⇔ [(xRy ∧ x 6= y) ∨ (xRy ∧ x = y)] ∨ (x = y)

⇔ [(xRy ∧ x 6= y) ∨ (x = y)] ∨ (x = y)]

⇔ x <R y ∨ x = y. �

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Si R es un orden parcial y Y ⊂ X, entonces decimos que Y tiene mínimo(respecto al orden parcial R) si existe y∗ ∈ X tal que

y∗ es cota inferior de Y y y∗ ∈ Y .

En este caso decimos que y∗ es el mínimo de Y .Decimos que Y tiene máximo (respecto al orden parcial R) si existe y∗ ∈

X tal quey∗ es cota superior de Y y y∗ ∈ Y .

En este caso decimos que y∗ es el máximo de Y .

Proposición 4.2. Sea R un orden parcial sobre X y sea Y ⊂ X. Entoncesy ∈ Y es un mínimo (máximo) de Y respecto del orden parcial R si, y sólosi es un mínimo (máximo) de Y respecto del orden parcial reflexivo ≤R, si ysólo si, es un mínimo (máximo) respecto del orden parcial estricto <R. N

Proposición 4.3. Si P es un orden parcial sobre X y Y ⊂ X tiene mínimo(máximo), entonces éste es único. N

Demostración. Supongamos que y y y′ son dos mínimos de Y . Como y ∈ Y

y y′ ∈ Y , entonces en particular y = y′, o bien yPy′ y y′Py, pero como P esantisimétrica, y = y′. Algo análogo puede hacerse para el caso de máximos. �

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