Organizadores de gráficos
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RESEÑA DE ORGANIZADORES GRÁFICOS El Aprendizaje Visual se define como un método de enseñanza/aprendizaje que utiliza un conjunto de Organizadores Gráficos (métodos visuales para ordenar información), con el objeto de ayudar a los estudiantes, mediante el trabajo con ideas y conceptos, a pensar y a aprender más efectivamente. Además, estos permiten identificar ideas erróneas y visualizar patrones e interrelaciones en la información, factores necesarios para la comprensión e interiorización profunda de conceptos. Ejemplos de estos Organizadores son: Mapas conceptuales, Diagramas Causa-Efecto y Líneas de tiempo, entre otros. Por otra parte, la elaboración de diagramas visuales ayuda a los estudiantes a procesar, organizar, priorizar, retener y recordar nueva información, de manera que puedan integrarla significativamente a su base de conocimientos previos. Sin embargo, para que la aplicación en el aula de estos Organizadores Gráficos sea realmente efectiva, es necesario de una parte, conocer las principales características de cada uno de ellos y de la otra, tener claridad respecto a los objetivos de aprendizaje que se desea que los estudiantes alcancen. Por ejemplo, si se quiere que estos ubiquen, dentro de un periodo de tiempo determinado, los sucesos relacionados con el descubrimiento de América, para que visualicen y comprendan la relación temporal entre estos, el método u organizador gráfico idóneo a utilizar, es una Línea de Tiempo. Por el contrario, si lo que se desea es que los estudiantes comprendan la relación entre los conceptos más importantes relacionados con el descubrimiento de América, tales como nuevo mundo, nuevas rutas
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RESEÑA DE ORGANIZADORES GRÁFICOS
El Aprendizaje Visual se define como un método de enseñanza/aprendizaje que utiliza
un conjunto de Organizadores Gráficos (métodos visuales para ordenar información),
con el objeto de ayudar a los estudiantes, mediante el trabajo con ideas y conceptos, a
pensar y a aprender más efectivamente. Además, estos permiten identificar ideas
erróneas y visualizar patrones e interrelaciones en la información, factores necesarios
para la comprensión e interiorización profunda de conceptos. Ejemplos de estos
Organizadores son: Mapas conceptuales, Diagramas Causa-Efecto y Líneas de
tiempo, entre otros.
Por otra parte, la elaboración de diagramas visuales ayuda a los estudiantes a
procesar, organizar, priorizar, retener y recordar nueva información, de manera que
puedan integrarla significativamente a su base de conocimientos previos.
Sin embargo, para que la aplicación en el aula de estos Organizadores Gráficos sea
realmente efectiva, es necesario de una parte, conocer las principales características
de cada uno de ellos y de la otra, tener claridad respecto a los objetivos de aprendizaje
que se desea que los estudiantes alcancen. Por ejemplo, si se quiere que estos
ubiquen, dentro de un periodo de tiempo determinado, los sucesos relacionados con el
descubrimiento de América, para que visualicen y comprendan la relación temporal
entre estos, el método u organizador gráfico idóneo a utilizar, es una Línea de Tiempo.
Por el contrario, si lo que se desea es que los estudiantes comprendan la relación
entre los conceptos más importantes relacionados con el descubrimiento de América,
tales como nuevo mundo, nuevas rutas de navegación, conquista de otras tierras,
ventajas económicas, etc. el organizador gráfico apropiado es un Mapa Conceptual.
Una tercera posibilidad se plantea cuando el objetivo de aprendizaje es que los
estudiantes descubran las causas de un problema o de un suceso (necesidad de
encontrar una ruta alterna hacia el “país de las especies” para comerciar
ventajosamente con estas), o las relaciones causales entre dos o más fenómenos
(lucha por el poderío naval entre España y Portugal y sus consecuencias económicas)
el organizador gráfico adecuado es un Diagrama Causa-Efecto.
Los Organizadores Gráficos toman formas físicas diferentes y cada una de ellas
resulta apropiada para representar un tipo particular de información. A continuación
describimos algunos de los Organizadores Gráficos (OG) más utilizados en procesos
educativos:
Mapas conceptuales
Mapas de ideas
Telarañas
Diagramas Causa-Efecto
Líneas de tiempo
Organigramas
Diagramas de flujo
Diagramas de Venn
MAPAS CONCEPTUALES
Técnica para organizar y representar información en forma visual que debe incluir
conceptos y relaciones que al enlazarse arman proposiciones. Cuando se construyen
pueden tomar una de estas formas: Lineales tipo Diagrama de Flujo; Sistémicos con
información ordenada de forma lineal con ingreso y salida de información; o
Jerárquicos cuando la información se organiza de la más a la menos importante o de
la más incluyente y general a la menos incluyente y específica.
Son valiosos para construir conocimiento y desarrollar habilidades de pensamiento de
orden superior, ya que permiten procesar, organizar y priorizar nueva información,
identificar ideas erróneas y visualizar patrones e interrelaciones entre diferentes
conceptos.
Mapa Conceptual jerárquico sobre las plantas.
MAPAS DE IDEA
Forma de organizar visualmente las ideas que permite establecer relaciones no
jerárquicas entre diferentes ideas. Son útiles para clarificar el pensamiento mediante
ejercicios breves de asociación de palabras, ideas o conceptos. Se diferencian de los
Mapas Conceptuales por que no incluyen palabras de enlace entre conceptos que
permitan armar proposiciones. Utilizan palabras clave, símbolos, colores y gráficas
para formar redes no lineales de ideas.
Generalmente, se utilizan para generar lluvias de ideas, elaborar planes y analizar
problemas.
Mapa de Ideas que representa ideas sobre el color amarillo.
TELARAÑAS
Organizador gráfico que muestra de qué manera unas categorías de información se
relacionan con sus subcategorías. Proporciona una estructura para ideas y/o hechos
elaborada de tal manera que ayuda a los estudiantes a aprender cómo organizar y
priorizar información. El concepto principal se ubica en el centro de la telaraña y los
enlaces hacia afuera vinculan otros conceptos que soportan los detalles relacionados
con ellos. Se diferencian de los Mapas Conceptuales por que no incluyen palabras de
enlace entre conceptos que permitan armar proposiciones. Y de los Mapas de Ideas
en que sus relaciones sí son jerárquicas.
Generalmente se utilizan para generar lluvias de ideas, organizar información y
analizar contenidos de un tema o de una historia.
Telaraña que plasma el análisis de una historia.
DIAGRAMAS CAUSA-EFECTO
El Diagrama Causa-Efecto que usualmente se llama Diagrama de “Ishikawa”, por el
apellido de su creador; también se conoce como “Diagrama Espina de Pescado” por
su forma similar al esqueleto de un pez. Está compuesto por un recuadro (cabeza),
una línea principal (columna vertebral) y 4 o más líneas que apuntan a la línea
principal formando un ángulo de aproximadamente 70º (espinas principales). Estas
últimas poseen a su vez dos o tres líneas inclinadas (espinas), y así sucesivamente
(espinas menores), según sea necesario de acuerdo a la complejidad de la
información que se va a tratar.
El uso en el aula de este Organizador Gráfico (OG) resulta apropiado cuando el
objetivo de aprendizaje busca que los estudiantes piensen tanto en las causas reales o
potenciales de un suceso o problema, como en las relaciones causales entre dos o
más fenómenos. Mediante la elaboración de Diagramas Causa-Efecto es posible
generar dinámicas de clase que favorezcan el análisis, la discusión grupal y la
aplicación de conocimientos a diferentes situaciones o problemas, de manera que
cada equipo de trabajo pueda ampliar su comprensión del problema, visualizar
razones, motivos o factores principales y secundarios de este, identificar posibles
soluciones, tomar decisiones y, organizar planes de acción.
Diagrama Causa-Efecto sobre posibles causas del bajo rendimiento en Matemáticas
LÍNEAS DE TIEMPO
Esta herramienta del conjunto de Organizadores Gráficos (OG) permite ordenar una
secuencia de eventos o de hitos sobre un tema, de tal forma que se visualice con
claridad la relación temporal entre ellos. Para elaborar una Línea de Tiempo sobre un
tema particular, se deben identificar los eventos y las fechas (iniciales y finales) en que
estos ocurrieron; ubicar los eventos en orden cronológico; seleccionar los hitos más
relevantes del tema estudiado para poder establecer los intervalos de tiempo más
adecuados; agrupar los eventos similares; determinar la escala de visualización que se
va a usar y por último, organizar los eventos en forma de diagrama.
La elaboración de Líneas de Tiempo, como actividad de aula, demanda de los
estudiantes: identificar unidades de medida del tiempo (siglo, década, año, mes, etc.);
comprender cómo se establecen las divisiones del tiempo (eras, periodos, épocas,
etc.); utilizar convenciones temporales (ayer, hoy, mañana, antiguo, moderno, nuevo);
comprender la sucesión como categoría temporal que permite ubicar acontecimientos
en el orden cronológico en que se sucedieron (organizar y ordenar sucesos en el
tiempo) y entender cómo las Líneas de Tiempo permiten visualizar con facilidad la
duración de procesos y la densidad (cantidad) de acontecimientos.
Las Líneas de Tiempo son valiosas para organizar información en la que sea relevante
el (los) período(s) de tiempo en el (los) que se suceden acontecimientos o se realizan
procedimientos. Además, son útiles para construir conocimiento sobre un tema
particular cuando los estudiantes las elaboran a partir de lecturas o cuando analizan
Líneas de Tiempo producidas por expertos.
Línea de Tiempo que muestra los acontecimientos más importantes sucedidos en
Imperio Romano (49aC al 476dC).
Línea de Tempo del proceso necesario para tramitar en Colombia una Acción de
Tutela
ORGANIGRAMAS
Sinopsis o esquema de la organización de una entidad, de una empresa o de una
tarea. Cuando se usa para el Aprendizaje Visual se refiere a un organizador gráfico
que permite representar de manera visual la relación jerárquica (vertical y horizontal)
entre los diversos componentes de una estructura o de un tema.
Organigrama que muestra la relación jerárquica de la rama ejecutiva del Gobierno
colombiano
DIAGRAMAS DE FLUJO
Se conocen con este nombre las técnicas utilizadas para representar
esquemáticamente bien sea la secuencia de instrucciones de un algoritmo o los pasos
de un proceso. Esta última se refiere a la posibilidad de facilitar la representación de
cantidades considerables de información en un formato gráfico sencillo. Un algoritmo
está compuesto por operaciones, decisiones lógicas y ciclos repetitivos que se
representan gráficamente por medio de símbolos estandarizados por la ISO [1]: óvalos
para iniciar o finalizar el algoritmo; rombos para comparar datos y tomar decisiones;
rectángulos para indicar una acción o instrucción general; etc. Son Diagramas de Flujo
porque los símbolos utilizados se conectan en una secuencia de instrucciones o pasos
indicada por medio de flechas.
Utilizar algoritmos en el aula de clase, para representar soluciones de problemas,
implica que los estudiantes: se esfuercen para identificar todos los pasos de una
solución de forma clara y lógica (ordenada); se formen una visión amplia y objetiva de
esa solución; verifiquen si han tenido en cuenta todas las posibilidades de solución del
problema ; comprueben si hay procedimientos duplicados; lleguen a acuerdos con
base en la discusión de una solución planteada; piensen en posibles modificaciones o
mejoras (cuando se implementa el algoritmo en un lenguaje de programación, resulta
más fácil depurar un programa con el diagrama que con el listado del código).
Adicionalmente, los diagramas de flujo facilitan a otras personas la comprensión de la
secuencia lógica de la solución planteada y sirven como elemento de documentación
en la solución de problemas o en la representación de los pasos de un proceso.
Diagrama de Flujo que representa un algoritmo que lee tres notas para cada uno de
los 22
estudiantes de un curso, las promedia y determina si el estudiante aprobó la
asignatura
Diagrama de Flujo que representa el proceso que se sigue
al presentar una Acción de Tutela en Colombia
DIAGRAMAS DE VENN
Este es un tipo de Organizador Gráfico (OG) que permite entender las relaciones entre
conjuntos. Un típico Diagrama de Venn utiliza círculos que se sobreponen para
representar grupos de ítems o ideas que comparten o no propiedades comunes. Su
creador fue el matemático y filósofo británico John Venn quién quería representar
gráficamente la relación matemática o lógica existente entre diferentes grupos de
cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo, círculo o
rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores figuras geométricas, el área en
que confluyen indica la existencia de un subconjunto que tiene características que son
comunes a ellas; en el área restante, propia de cada figura, se ubican los elementos
que pertenecen únicamente a esta. En ejemplos comunes se comparan dos o tres
conjuntos; un diagrama de Venn de dos conjuntos tiene tres áreas claramente
diferenciadas: A, B y [A y B], en las cuales pueden darse 6 posibles combinaciones:
Diagrama de Venn que permite entender la relación entre dos conjuntos
(seres vivos bípedos y seres vivos que vuelan).
Un Diagrama de Venn de tres conjuntos tiene 7 áreas diferenciadas. En el siguiente
ejemplo se comparan tres conjuntos: aves, seres vivos que nadan y seres vivos que
vuelan; el diagrama permite visualizar fácilmente los elementos de cada conjunto que
comparten propiedades.
Diagrama de Venn que permite entender la relación entre tres conjuntos
(aves, seres vivos que nadan y seres vivos que vuelan).
Los diagramas de Venn tienen varios usos en educación. Ejemplos de los anterior son:
en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos; su uso como
herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o
tres conjuntos, uso este en el que como ya se dijo, se incluyen dentro de cada
componente, las características exclusivas y, en las intersecciones, las comunes.
LA UVE HEURÍSTICA DE GOWIN
Que es una Uve Heurística
Es un recurso, una técnica de aprendizaje y un organizador gráfico. Es un
procedimiento heurístico que se utiliza como ayuda para resolver un problema
o para entender un procedimiento. La técnica de la uve heurística fue
desarrollada en principio para ayudar a estudiantes y profesores a clarificar la
naturaleza y los objetivos del trabajo en el laboratorio de ciencias. La uve fue el
resultado de 20 años de búsqueda por parte de Gowin de un método para
ayudar a los estudiantes a comprender la estructura del conocimiento y la
forma que tienen los seres humanos de producir este conocimiento. La uve se
deriva del método de las 5 preguntas:
¿Cuál es la pregunta determinante?
¿Cuáles son los conceptos claves?
¿Cuáles son los métodos de investigación que se utilizan?
¿Cuáles son las principales afirmaciones de conocimiento?
¿Cuáles son los juicios de valor?
Construcción de la Uve Heurística
¿Por qué una técnica heurística en forma de uve? No hay nada sagrado o
absoluto en ello, pero se ha encontrado que la forma en uve es valiosa por
varias razones. En primer lugar, la uve «apunta» hacia los acontecimientos y
objetos que están en la base de toda producción de conocimiento y es
fundamental que los estudiantes sean plenamente conscientes de los
acontecimientos y objetos con que están experimentando y en torno a los
cuales se construye el conocimiento. Muchas veces, los educandos no tienen
esa conciencia tan clara, ni en el trabajo de laboratorio ni en el trabajo en otras
áreas. Por ejemplo, ¿qué clase de acontecimientos estamos construyendo
cuando consideramos la ecuación:
¿2x + 6 = 10?.
¿Qué conceptos y procedimientos nos hacen afirmar que x = 2? En segundo
lugar, se ha hallado que la forma en uve ayuda a los estudiantes a reconocer la
tensión y la interacción que existe entre el conocimiento disciplinar que se ha
ido construyendo a lo largo del tiempo y el conocimiento que pueden elaborar
ellos en cada casó a partir de una investigación determinada. Aunque los
elementos conceptuales de la parte izquierda de la uve arrojan luz sobre las
indagaciones que se estén efectuando, son construcciones (concepciones) que
se han ido desarrollando a lo largo del tiempo, mientras que los elementos de
la parte derecha se construyen en función de la investigación que se lleva a
cabo en el momento. Aunque es cierto que nuevas afirmaciones a cerca del
conocimiento pueden dar lugar a la formación de conceptos nuevos y hasta de
nuevas teorías, éste es un proceso que tarda años o décadas en la mayor
parte de las disciplinas.
Dirigir el aprendizaje en el aula no es nunca tarea fácil. Cuando lo que se
intenta es que se aprenda sobre el conocimiento (adquirir metaconocimiento),
se debe hacer frente a diversos problemas. El principal problema afecta a la
gobernación: ¿cómo conseguimos que tanto profesores como estudiantes
concentren su atención en la adquisición de metaconocimiento? La uve puede
ayudar a resolver este problema de gobernación y también a diseñar el
currículum, estructurando la experiencia educativa de tal modo que el profesor
y el alumno tengan que prestar especial atención a los temas de
metaconocimiento, cualquiera que sea el contexto concreto del aprendizaje. .
(Novak, J & Gowin, B, 1984).
En el quehacer pedagógico se encuentra que la uve heurística de Gowin,
permite también aumentar el bajo nivel de análisis o análisis superficial de la
situación problemática planteada en el enunciado del problema, al disgregar el
conocimiento en partes se va analizando todos los componentes hasta poder
llegar a una solución en el problema planteado.
El objetivo de la uve de Gowin se concibe como una técnica heurística de tal
manera que en forma algorítmica y organizada ayuda a la solución de un
problema o para entender un procedimiento. El entender el procedimiento en el
desarrollo de un problema matemático garantiza que el estudiante comprenda
todos los procesos que se deben llevar para obtener la solución final del
problema matemático.
EL LADO IZQUIERDO: DOMINIO CONCEPTUAL
Ninguna interrogante es planteada, o un acontecimiento planeado, estudiado o
interpretado aisladamente. Toda investigación es influenciada por las
concepciones de los investigadores (conocimientos previos)(AUSUBEL; 1983).
La racionalidad de éstos (filosofías y teorías) orientan la formulación de las
preguntas centrales así como la planificación de las acciones que consideran
los conducirá al logro de las respuestas y a la interpretación de los datos que
se obtengan. El diagrama V, desafía a los investigadores a ser más precisos y
explícitos sobre el rol que le otorgan a sus visiones el mundo durante la
ejecución de la investigación; les obliga a pensar sobre las filosofías, teorías,
principios/leyes y conceptos que guían su trabajo. Los componentes de este
lado, por lo tanto demandan integración con los del lado derecho (MOREIRA;
1997).
EL LADO DERECHO: DOMINIO METODOLÓGICO
En las investigaciones que estamos acostumbrados a realizar, consideramos
como un punto importante la selección de nuestras fuentes de información así
como el tipo de datos que recogeremos para la solución o comprensión del
acontecimiento estudiado. El lado derecho denomina este aspecto registros
(recolectar datos en bruto). Estos datos al ser procesados (estadísticas,
gráficos, tablas, mapas conceptuales, etc.), se convierten en transformaciones,
que posteriormente posibilitarán el planteamiento de las afirmaciones. Las
afirmaciones son influenciadas por lo que el investigador ya conoce, es decir,
estas actividades están en estrecha relación con los componentes del lado
izquierdo.
NOTAS DEL EDITOR:
La estandarización de los símbolos para la elaboración de Diagramas de Flujo tardó
varios años. Con el fin de evitar la utilización de símbolos diferentes para representar
procesos iguales, la Organización Internacional para la Estandarización (ISO, por su
sigla en inglés) y el Instituto Nacional Americano de Estandarización (ANSI, por su
sigla en inglés), estandarizaron los símbolos que mayor aceptación tenían en 1985.
CRÉDITOS:
Documento elaborado por EDUTEKA con información proveniente de:
Organizadores Gráficos; Revista Magisterio;
Inspiration
Organizadores Gráficos NCREL
Organizadores gráficos gratuitos
Wikipedia – Flow Charts
Wikipedia – Diagramas de Flujo
Wikipedia – Diagramas de Venn
Eduteka, Matemática Interactiva
Wikipedia – Mapas Conceptuales
Wikipedia – Mapas Mentales
Wikipedia – Diagramas Causa-Efecto
Wikipedia – Organigramas
Fecha de publicación en EDUTEKA: Marzo 1 de 2007.
Fecha de la última actualización: Marzo 1 de 2007.
Un mapa mentales una representación de una cierta porción de territorio que
se plasma a través de un esquema o dibujo. Mental, por otra parte, es un
adjetivo que refiere a la mente (una dimensión del pensamiento o la capacidad
de raciocinio).
El concepto de mapa mental, por lo tanto, está vinculado
al diagrama o bosquejo que se desarrolla con la intención de reflejar
conceptos o actividades que se hallan vinculados a una idea principal o a
un término clave. Estos conceptos se disponen en los alrededores de la
palabra principal, creando una red de relaciones.
La finalidad de los mapas conceptuales es, por lo tanto, clasificar las ideas y
facilitar su observación en un documento. De este modo, se trata de una
herramienta útil para organizar datos y para estudiar un cierto tema.
Más exactamente podríamos decir que un mapa mental tiene como clara
misión el conseguir que una persona en cuestión no sólo extraiga información
de un determinado campo sino también que consiga memorizar aquella de una
forma muy sencilla al tiempo que eficazmente.
Para que aquel documento logre de esta manera el fin marcado es fundamental
el determinar que cuente con cinco elementos básicos. En concreto, se trata de
un conjunto de elementos que nunca deben faltar en cualquier mapa mental.
En este sentido, tendríamos que hablar que son: la idea principal que ejerce
como pilar central, los temas principales que son los que emanan de la anterior
a través de una serie de bifurcaciones, las imágenes o palabras clave que
acompañan a las citadas bifurcaciones, los temas menos importantes que
ejercen como ramas, y el que las bifurcaciones formen un entramado
conectado.
El inglés Tony Buzan suele ser señalado como el responsable del desarrollo
de esta técnica que contribuye al refuerzo de los vínculos sinápticos que se
establecen entre neuronas. De acuerdo a los expertos, el uso de los mapas
mentales ayuda a generar enlaces electroquímicos en el cerebro al
concentrar la capacidad cognitiva en un mismo elemento.
La disposición de las ideas en forma de radio, por otra parte, permite que
la persona se acerque de manera reflexiva a los datos, eliminado el primer
estímulo de generar un determinado marco propio para la tarea en cuestión.
Los componentes de un mapa mental se agregan intuitivamente de acuerdo a
su relevancia. Esta tarea contempla, de manera simultánea, la organización de
los conceptos en diversas áreas y sectores, constituyendo una representación
visual que favorece a la memoria.
A la hora de crear un mapa mental, lo mejor es emplear pocas palabras y
comenzar la tarea colocando el concepto central en el centro de una hoja.
Varios son los campos en los que se hace uso de los mapas mentales y entre
ellos destaca el empresarial. En este sector se apuesta por crearlos pues se
considera que son de gran utilidad para compartir ideas, mejorar la
comunicación y también la organización, aumentar la productividad, ahorrar
tiempo, optimizar la planificación de los distintos proyectos o aclarar los
pensamientos sobre una idea concreta.
No obstante, no podemos pasar por alto el hecho de que también se emplean
en el ámbito educativo. Así, en este caso concreto, los estudiantes hacen uso
de los mismos porque facilitan el aprendizaje ya que permiten destacar lo más
importante de una materia, sirven para establecer visualmente el orden de la
información y facilitan la comprensión y asimilación de las conexiones de las
diversas ideas.
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George Pólya
Nació: 13 Dec 1887 in Budapest, Hungary
Murió: 7 Sept 1985 in Palo Alto, California, USA
El Padre de las Estrategias para la Solución de Problemas
George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la
Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó
temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico
FederalenZurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A.
y pasó a la Universidad de Stanford en 1942.
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo
es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una
teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza
enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente
desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la
solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1.- Entender el problema.
2.- Configurar un plan
3.- Ejecutar el plan
4.- Probar el resultado.
Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y
tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de
estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro "Cómo Plantear y
Resolver Problemas”, Editorial Trillas. El cual se ha traducido a 15 idiomas,
introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias
específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de
Polya son Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y
Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II.
Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas
con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver
problemas. En suma, dejó los siguientes "Diez Mandamientos para los
Profesores de Matemáticas":
1. Interésese en su materia.
2. Conozca su materia.
3. Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y
dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.
4. Tome en cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo
por uno mismo.
5. Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo
hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
6. Permítales aprender a conjeturar.
7. Permítales aprender a comprobar.
8. Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles
en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que
yace bajo la presente situación concreta.
9. No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus
conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.
10. Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.
El Método de Cuatro Pasos de George Polya.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello
nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema".
Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a
la respuesta. Para resolver unproblema, uno hace una pausa, reflexiona y
hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes
para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo
en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un
problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción
no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que
se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un
problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados
de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños
de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema,
mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio
rutinario: "dividir ".
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos
ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras
cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de
resolver problemas.
Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la
enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver
problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de
ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de
este autor (está editado por Trillas).
Paso 1: Entender el Problema.
¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define
como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón
4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más simple.
6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama
8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto.
10. Usar las propiedades de los Números.
11. Resolver un problema equivalente.
12. Trabajar hacia atrás.
13. Usar casos
14. Resolver una ecuación
15. Buscar una fórmula.
16. Usar un modelo.
17. Usar análisis dimensional.
18. Identificar sub-metas.
19. Usar coordenadas.
20. Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente
el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito
solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede
que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco
o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el
problema?
¿Adviertes una solución más sencilla?
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Por lo común los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en
forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una
forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve
esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo
podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar
en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en
la solución de problemas:
1. Acepta el reto de resolver el problema.
2. Reescribe el problema en tus propias palabras.
3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. Habla contigo mismo. Formula cuantas preguntas creas necesarias.
5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes
frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-.
Después inténtalo de nuevo.
7. Analiza el problema desde varios ángulos.
8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a
empezar.
9. Muchos problemas los podemos resolver de distintas formas: solo se
necesita encontrar una para tener éxito.
10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con
montones de ellos, su confianza crecerá.
12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y
asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión
es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del
problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál
fue el paso clave en tu solución.
14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo
que puedas entenderla si la lees 10 años después.
15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es
una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos
con sugerencias significativas.
16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
RESUMEN
El presente trabajo aborda el método participativo de enseñanza de resolución
de problemas en el aprendizaje de la matemática, como vía adecuada ,
exclusiva, pertinente y eficaz para la ciencia de las matemáticas , a partir
del análisis e investigación de los principales conceptos desarrollados a lo largo
de la historia por los científicos matemáticos y uno en especial Miguel de
Guzmán en 1991, quien diseña el esquema e inicia, un método participativo
utilizando los pequeños grupos en la resolución de problemas matemáticos .
PALABRAS CALVES: Enseñanza, matemática, método participativo, trabajo
en grupo, problemas, aprendizaje.
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas que atraviesa actualmente el Perú, es la crisis en
la educación: enseñanza aprendizaje de las matemáticas. La mayoría de los
profesores en el nivel secundario enseñan la matemática de una forma
rutinaria, expositiva y tediosa; no aplican métodos, técnicas y estrategias de
aprendizaje y aún siguen en el modelo tradicionalista, no se preocupan por
su capacitación e innovación en sus formas de enseñar, todo esto repercute en
el aprendizaje de los alumnos porque se observa que, un alto porcentaje tienen
bajo nivel de aprendizaje en la asignatura de matemática.
Así también informa la UNESCO a través del Programa Internacional
de evaluación de estudiantes (PISA), los alumnos tienen resultados bajos en lo
que respecta al aprendizaje del área de matemática, han mostrado un bajo
nivel de desempeño en la resolución de problemas como tienen serias
dificultades para traducir y expresar matemáticamente las condiciones
propuestas en problemas, aplicar estrategias de solución para obtener las
respuesta y justificarla con argumentos matemáticos válidos, esto es la falta
de éxito que tienen los estudiantes en el abordaje y resolución de problemas.
Por tanto esta problemática ha llevado a dirigir la atención hacia el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas en matemática.
Este estudio es una alternativa de solución al problema mencionado en los
párrafos anteriores que es el método participativo de enseñanza por resolución
de problemas en el aprendizaje de la matemática, es de gran importancia pues
mediante el mismo los estudiantes experimentan las potencialidades y
la utilidad de la Matemática en el mundo que les rodea, así mismo pone énfasis
en los procesos del pensamiento , en los procesos de aprendizaje y toma los
contenidos matemáticos. Además sigue las siguientes etapas: Propuesta de la
situación problema de la que surge el tema, basada en la historia,
aplicaciones, modelos, juegos... y por ultimo toda esta tarea se realiza
eficazmente mediante la formación de pequeños grupos de trabajo.
Esperando que el respectivo trabajo sea de mucha utilidad para el desempeño
de vuestra labor como docentes del área de matemática.
2. ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.
La enseñanza- aprendizaje de la matemática ha resultado de gran importancia
a principios del siglo 60; a comienzos de ese siglo había tenido lugar
unmovimiento de renovación en educación matemática gracias
al interés inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemático
alemán Félix Klein, con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y
con sus famosas lecciones sobre matemática elemental desde el punto de vista
superior, desde ese entonces llamo la atención y se puso en alerta la
necesidad constante sobre la evolución del sistema educativo en matemáticas
en todos los niveles.
En los últimos 30 años han sido escenarios de cambios muy profundos en la
enseñanza de la matemática. Por los esfuerzos que la comunidadinternacional
de expertos en didáctica sigue realizando por encontrar moldes adecuados
está claro que vivimos aun actualmente una situación de experimentación
y cambio.
En los trabajos realizados por Freudenthal; (1991) y en sus palabras,
la Didáctica de cualquier materia significa, la organización de los procesos de
enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son
organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto,
profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio
aprendizaje individual o grupal.
Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de
enseñanza y aprendizaje, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser
comprendidas y que tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en
que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo
tanto, explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las
capacidades que permiten resolver problemas significativos.
Para Steiner 1985 en García cruz, Juan A. la complejidad de los problemas
planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones
extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la
matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y,
por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte.
En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la
existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los
problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso
especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de
la misma.
La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las
cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha
entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una
visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento
de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el
aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de
investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes
niveles educativos.
A principios del siglo XX, la preocupación pedagógica – matemática empieza a
entenderse ante el fracaso de los métodos tradicionales y también en textos de
matemática que hasta hoy están en ese paradigma.
García Cruz, Juan A.(2001) Menciona que los profesores ven su tarea como la
transmisión de un conocimiento acabado y abstracto tienden a adoptar un estilo
expositivo. Su enseñanza está plagada de definiciones, en abstracto y
de procedimientos algorítmicos ; solo al final en contados casos aparece un
problema contextualizado, como aplicación de lo que supuestamente se ha
aprendido en clase.
Otro aspecto a considerar es la calidad y no la cantidad en el desarrollo de la
curricula en matemática, los profesores ponen toda su preocupación en los
contenidos de tal forma que avanzan aceleradamente para el termino total de la
asignatura esto a exigencia del sistema educativo en el Perú, en consecuencia
subyuga una visión despreocupada del propio proceso de enseñanza,
entendiéndose que enseñar constituye una tarea sencilla que no requiere
especial preocupación.
Las secuelas que fueron dejando estos procesos de la enseñanza por parte de
los profesores, en los alumnos cortan la raíz del auto estímulo y sustento para
cultivar el razonamiento matemático, tienden a sentir rechazo, resistencia,
temor, miedo, incapacidad, inseguridad por eso los alumnos se limitan por
tradición de aprendizaje a tomar apuntes que después tratan de memorizar al
estudiar para sus exámenes; y a todo esto se suma algo más grave todavía
que es el trauma psicológico de discalculía, definida esta por H. Berger (1926)
como un trastorno parcial de la capacidad de manejar símbolosaritméticos y
hacer cálculos matemáticos.
Es por ello que el nivel de aprendizaje es cada vez más bajo y los alumnos de
hoy no saben nada como menciona Andradas, Carlos (1999)e hizo un
diagnostico a la mayoría de alumnos de todos los niveles educativos;
las matemáticas que transmiten los docentes son un conjunto de temas
misteriosos, desconectados de la realidad que no se entienden sin ninguna
aplicación práctica.
3. MÉTODOS PARTICIPATIVOS.
La preocupación por lograr una participación activa en los estudiantes,
ha estado presente en la pedagogía desde tiempo lejanos en muchos
pedagogos, en sus ideas ya se manifestaban planteamientos que indican la
importancia de formar al educando dentro de una posición transformadora y
participativa; uno de estos pedagogos es Roger Cousinet, quien era un
inspector escolar de una escuela rural de Francia en el año de 1920, observó
como una diferencia la "mortífera rigidez pedagógica" de la enseñanza
tradicional; frente a este hecho se propuso crear un método más flexible, que
permita desarrollarse a los alumnos libremente. Pensó que al dejar en libertad ,
los alumnos se agrupan, exteriorizan su actividad al asociarse con los demás
alumnos, para realizar un trabajo y estén plenamente ocupados, sintiendo
un interés constante en el aprendizaje; de tal manera que esté ensayose llevó a
la práctica y posteriormente se le concedió la jerarquía de método participativo.
Así mismo otro de los pensadores es Juan enrique Pestalozzi (1746-1827)
quien propugnó la organización de la instrucción de los niños en forma grupal,
como enseñanza mutua, en la que cada uno influye en la educación de los
demás. Insistió en la importancia de vincular la teoría y la práctica participativa
en grupos para desarrollar capacidades en los niños y lograr la asimilación de
conocimientos mediante la formación de hábitos y habilidades
En la década del 40 L.S. Rubinstein ya había sostenido que la personalidad se
expresa , se forma y se desarrolla en la actividad participativa , esté principio
subraya la estrecha relación entre el psiquismo y la actividad, después A.N.
Leontiev fundamenta en sus trabajos como el psíquico es realmente actividad
psíquica interna que surge a partir de una actividad material externa
transformadora (Colectivo de autores CEPES, 2004)
En las últimas décadas los métodos participativos han ido tomando una
posición importante para la enseñanza de las ciencias, sobre todo en
Norteamérica y Europa y másaún en los países socialistas, lo que no ocurre en
el nuestro en donde permanece casi desconocido hasta ahora .
Los métodos participativos en la enseñanza dan lugar a seguir todo un proceso
ordenado de toma de decisiones por parte de los profesores, para hacer que
los alumnos aprendan un contenido determinado, en forma activa y
participativa en la que su participación es directa y dinámica en su propio
proceso de aprendizaje. Dar oportunidad a que investiguen por sí mismos,
poniendo en juego sus aptitudes físicas y mentales.
Por lo tanto el método participativo implica participación del estudiante y el rol
activo que este debe desempeñar en su formación, tratando de encontrar un
proceso que desarrolle las potencialidades intelectuales y afectivas de los
educandos.
Otro de los autores acerca del tema y da una idea clara es Tanca, Freddy
(2000) ; es cuando genera en el alumno una acción que resulta del interés , la
necesidad o la curiosidad; el docente es quien debe crear esta curiosidad
ideando una situación de aprendizaje estimulante ; partir de ello , el alumno
realizará una serie de actividades y acciones.
Los método participativos dan una participación activa a los alumnos en la
elaboración misma de sus conocimientos a través de acciones o actividades
que pueden ser internas o externas y también puede que sea individual o
grupalmente, en la que requieran un esfuerzo personal de creación o búsqueda
son ellos los que actúan los q realizan las acciones y en esas realizaciones los
alumnos producen sus cocimientos, las organizan y las coordinan y
posteriormente las expresan.
Entonces en relación a todo lo ya afirmado , se deduce que permite el mejoro y
aumento del aprendizaje mediante el cual se da importancia a la acción del
alumno, reflexión, interpretación, interacción entre personas y a la
práctica laboral.
4. LA UTILIZACIÓN DEL TRABAJO GRUPAL DE APRENDIZAJE A TRAVÉS
DE LOS MÉTODOS PARTICIPATIVOS DE ENSEÑANZA.
El trabajo grupal o dinámica de grupos está basada en los principios del
Enfoque Histórico Cultural, representado por el psicólogo L.S. Vigotsky(1984)
porque aporto sus concepciones interesante para la génesis del aprendizaje
en grupo La ZONA DE DESARROLLO PROXIMO ; según este autor existe una
diferencia entre lo que el niño es capaz de realizar por si solo y lo que puede
efectuar con la ayuda de los adultos o de otros compañeros.
Los procesos psíquicos iniciales tienen un carácter ínter psicológico, se dan en
el plano del sistema de relaciones sociales , de comunicación que el niño
establece con otras personas en la relación de una actividad conjunta y
posteriormente estas funciones psíquicas se interiorizan , adquieren un
carácter intra psíquico y forman parte de la actividad individual del hombre.
Otros trabajos elaborados por J.Moreno , K. Lewin y C. Rogers hacen
referencia y aportan a la teoría de los grupos. J. Moreno en suinvestigación,
desarrolla una terapia social donde intenta reeducar la espontaneidad a partir
de la vinculación con la creatividad y el sentirse a gusto en el grupo y esto lo
desarrolla a través de psicodramas y sociodramas donde utiliza los grupos de
trabajo.
K. Lewin es el fundador de la "dinámica de grupos" en 1947, define al grupo
como un sistema de interdependencia entre sus miembros y los elementos del
campo (metas, normas, percepción del medio exterior, división de roles, status,
etc.). De esta forma el grupo es un conjunto dinámico, cuyanaturaleza se ve
afectada por los elementos que la componen y a la vez estos elementos son
afectos por el grupo.
Rogers que plantea los "grupos de encuentros" menciona que se dan
relaciones naturales, inmanentes a la naturaleza del hombre.
Los estudios de la escuela de Frankfurt coinciden en considerar el aprendizaje
grupal como relevante para la apropiación de nuevos conocimientos, a partir de
conocer las formas, normas, conductas y funcionamientos peculiares del
trabajo en grupos. En este proceso de adquisición de conocimientos, los
alumnos tienen libertad para expresar sus ideas y defender sus puntos de vista,
los que se discuten en el seno del grupo.
Con los aportes de la psicología social norteamericana y marxista en el estudio
de los grupos humanos y su dinámica de desarrollo, se populariza la utilización
del grupo en la enseñanza, dando lugar a la conceptualización de una forma de
aprendizaje, el aprendizaje grupal, de amplia repercusión en la práctica
educativa latinoamericana.
El trabajo en grupo constituye una forma didáctica de estudio cooperativo que
toma en cuenta la autoactividad y la formación de los sentimientos sociales,
reuniendo a los educandos en grupos reducidos para realizar las tareas
asignadas por el docente.
Según el autor Cueto Del A.M, en 1985, implica ubicar al docente y al
estudiante como seres sociales, integrantes de grupos, buscar el abordaje y la
transformación del conocimiento desde un perspectiva de grupo, valorar la
importancia de aprender a interaccionar en grupo y a vincularse con los otros,
aceptar que aprender es elaborar el conocimiento, ya que esto no está dado ni
acabado ; implica, igualmente, considerar que la interacción y el grupo son
medio y fuente de experiencias para el sujeto, que posibilitan el aprendizaje,
reconocer la importancia de la comunicación y de la dialéctica en las
modificaciones sujeto grupo.
El trabajo en grupo se plantea como objetivo el logro de modificaciones
complejas, en la conducta y en la personalidad de los miembros; no se limita a
aprendizajes cognitivos, sino que implican todos los aspectos de su
personalidad.
En el proceso de un trabajo de aprendizaje participativo en pequeños grupos
de personas, comparten conocimientos, ideas, opiniones, material, recursos,
trabajo, etc todo para llegar a un acuerdo común y llegar a decisiones
compartidas para dar solución a problemas.
La actitud del aprendizaje en grupo es fortalecida reconociendo las
experiencias de los que lo integran así como los conocimientos de su propio
contexto y circunstancia de vida, esto es importante porque ofrece
contribuciones al proceso de aprendizaje en grupo y su punto de vista puede
complementar el de los otros aunque puede parecer poco útil a primera vista,
otro aspecto que se considera es la transparencia por parte de todos los
integrantes ya que requieren tomar decisiones participativas esto es la base
para el compromiso y la cooperación constructiva; así como la flexibilidad debe
estar abierta a todos para que expresen sus ideas y opiniones.
La inclusión del grupo y su dinámica en la educación , la utilización del trabajo
grupal a través de métodos activos o participativos de enseñanza, tiene un
determinado valor para el éxito del proceso docente siempre y cuando que el
aprendizaje grupal requiera la transformación radical del proceso de enseñanza
aprendizaje y de las funciones que convencionalmente se asignan a profesores
y estudiantes.
5. MÉTODO PARTICIPATIVO DE ENSEÑANZA POR RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS "LA HEURÍSTICA PROBLEM SOLVING"
La nationalcouncil of teachers of mathematic (NCTM), propuso para la década
de los 80 la resolución de problemas como eslogan educativo de lamatemática
escolar; en la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el
enfoque en la resolución de problemas.
La enseñanza por resolución de problemas tenía por objeto el estudio de las
reglas y de los métodos de descubrimiento y de la invención. La heurística
moderna, inaugurada por George Polya con la publicación de su obra
"Howtosolveit", trata de comprender el método que conduce a la solución de
problemas, en particular las operaciones típicamente útiles en este proceso.
Miguel de Guzmán partiendo de la ideas de George Polya, (Mason, Burton y
Stacey en 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelopara
la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas
y de control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo es que
la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma
sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos
mentales eficaces, en otras palabras lo que Polya denomino como
pensamiento productivo.
En la resolución de problemas hay operaciones mentales típicamente útiles
como es la heurística que es como reglas o modos de comportamiento que
favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que
ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer
progresos hacia su solución.
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de
pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos
matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo
de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con forma de
pensamientos eficaces.
La enseñanza para resolver problemas tiene al menos tres interpretaciones
según (García cruz, Juan A., 2001) proponer a los alumnos más problemas;
emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias, y no
proponer solo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la
búsqueda ,la investigación por los alumnos.
Lo que se persigue en el fondo con este método es transmitir en lo posible de
una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución
de verdaderos problemas.
Ha existido una cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio y
un auténtico problema. Lo que para algunos es un problema por falta de
conocimientos específicos sobre el dominio de métodos o algoritmos de
solución, para los que si los tienen es un ejercicio. Según el planteamiento de
R. Borasi (1986) en uno de sus primeros intentos en clarificar la noción de
problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de
problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de
problemas:
El contexto del problema, la situación en la cual se enmarca el problema
mismo.
La formulación del problema, definición explicita de la tarea a realizar.
El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para
el problema.
El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.
6. ¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada
para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma
inmediata.(Polya, en García Cruz, Juan A. 2001)
Otra definición parecida a la de Polya es la de (Krulik y Rudnik, 1980)un
problema es una situación, cuantitativa o de otra clase , a la que se enfrenta un
individuo o un grupo, que requiere solución y para la cual no se vislumbra un
medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma.
Según (García Cruz, Juan) de ambas definiciones anteriores un problema debe
satisfacer los tres requisitos siguientes:
1. Aceptación: El individuo o grupo debe aceptar el problema, debe existir
un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto
externas como internas.
2. Bloqueo: Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de
abordar el problema no funcionan.
3. Exploración: El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración
de nuevos métodos para atacar el problema.
Según EL ministerio de educación: resolver problemas implica encontrar un
camino que no se conoce de antemano, es decir una estrategia para encontrar
una solución. Para ello se requiere de conocimientos previos y capacidades. a
través de ello muchas veces se construyen nuevos conocimientos
matemáticos.
A través de la resolución de problemas, se crean ambientes de aprendizaje que
permiten la formación de sujetos autónomos, críticos además adquieren formas
de pensar, hábitos de perseverancia, curiosidad y confianza en situaciones no
familiares que les sirvan fuera de la clase.
El concepto que plantea (De Guzmán, Miguel. 1991)es sobre los verdaderos
problemas en matemática; es cuando me encuentro en una situación desde la
que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto
confusamente perfiladas, y no conozco el camino que me puede llevar de una a
otra situación.
LA ENSEÑANZA POR RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PONE ÉNFASIS
EN CONSIDERAR COMO LO MÁS IMPORTANTE LO SIGUIENTES:
Que el alumno manipule los objetos matemáticos.
Que active su propia capacidad mental.
Que ejercite su creatividad.
Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo
conscientemente.
Que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros
aspectos de su trabajo mental.
Que adquiera confianza en sí mismo.
Que se divierta con su propia actividad mental.
Que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de
su vida cotidiana.
Que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
LAS VENTAJAS DE ESTE TIPO DE ENSEÑANZA.
Por qué es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes:
capacidad autónoma para resolver sus propios problemas.
Porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de
adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se
hacen obsoletos.
Por qué el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio,
autorrealizador y creativo.
Porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor
universal, no limitado al mundo de las matemáticas.
Porque es aplicable a todas las edades.
SU NOVEDAD
Está en la forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu
de la resolución de problemas.
Procedimiento que debe seguirse en este método: Propuesta de la situación
problema de la que surge el tema (basada en la historia,
aplicaciones,modelos, juegos...)
Manipulación autónoma del problema de matemática por los estudiantes
Familiarización con la situación y sus dificultades
Elaboración de estrategias posibles para la resolución del problema
matemático.
Ensayos diversos para la resolución de problemas matemático por los
estudiantes
Herramientas elaborados a lo largo de la historia ( contenidos del tema
matemático, motivados)
Elección de estrategias
Ataque y resolución de los problemas
Recorrido critico de lo resuelto del problema matemático ( reflexión sobre el
proceso)
Afianzamiento formalizado ( si conviene)
Generalización
Nuevos problemas
Posibles transferencias de resultados, de métodos , de ideas...
En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con el
tino por el profesor , colocando al alumno en situación de participar, sin
aniquilar el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes
matemáticos han logrado con tanto esfuerzo.
Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran; la
componente heurística es decir la atención a los procesos de pensamiento, y
los contenidos específicos del pensamiento matemático.
De Guzmán, Miguel; enuncia algunas líneas de trabajo sobre la preparación
necesaria para la enseñanza de la matemática a través de la resolución de
problemas:
Primeramente requiere de una inmersión personal, seria y profunda para
adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente.
El método de enseñanza por resolución de problemas, se realiza más
efectivamente mediante la formación de pequeños grupos de trabajo.
EL TRABAJO EN GRUPO EN ESTE TEMA TIENE UNA SERIE DE
VENTAJAS IMPORTANTES:
Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento al permitirnos percibir
las distintas formas de afrontar una misma situación – problema.
Se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el
papel de moderador del grupo y otras en el de observador de su dinámica.
El grupo proporciona apoyo y estimulo en una labor, que de otra manera
puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere.
El trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el
método es capaz de producir en uno mismo y en otros.
El trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para
ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante con mayor
conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y
personas.
Algunos de los aspectos que son preciso atender en la práctica inicial
adecuada de este método es el siguiente:
Exploración de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros
los profesores , a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la
tarea de resolución de problemas,
Practica de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo.
Explorar las aptitudes y defectos propios más característicos, con la
elaboración de una especie de autorretrato heurístico.
Ejercicios de diferentes métodos y alternativas.
Practica sometida de resolución de problemas con la elaboración de
sus protocolos y su análisis en profundidad.
De Guzmán Miguel (1991) , enuncia que es útil en este punto, el diseño para
una reunión de trabajo en grupo, según el esquema que el mismo practico:
7. DISEÑO DE UNA REUNIÓN DE TRABAJO EN GRUPOS SEGÚN EL
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Un grupo puede constar de cinco o seis personas, se podrían reunir una vez
por semana , una sesión típica puede durar una hora y media. La sesión tiene
dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente
importante. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de
conocimientos teórico-prácticos del grupo.
Primera parte (media hora). Uno de los miembros del grupo ha preparado,
mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto de la naturaleza teórico-
práctica, lo expone en 20 min. Y se establece un periodo de discusión,
comentarios, preguntas, aclaraciones en 10 min.
Segunda parte (una hora) Una de las personas del grupo va actuar en esta
segunda parte como secretario, observador y seleccionador de problemas. Otra
de ellas actuara como moderador. Los papeles de los componentes del grupo
serán desempeñados por turnos en diferentes reuniones.
El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos 4 a 5
problemas que propone al resto. Es conveniente que sean verdaderos
problemas pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de
resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo secretario se
haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues aunque
durante el proceso tenga que actuar meramente como observador , al final
deberá él mismo iluminar y completar los resultados alcanzados por el grupo.
Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el grupo va a
realizar puede quedar perfectamente cumplida, aunque los problemas no se
resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde el punto de vista de
la motivación, que los problemas elegidos, por una parte, constituyan un
verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de solución por el
grupo.
La misión del secretario – observador, aparte de la elección de los problemas,
consiste en observar e ir anotando los puntos más importantes del camino que
sigue el resto del grupo en busca de la solución del problema. Él es el
encargado de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas han
de ayudar muy sustancialmente para la reflexión final que ha de seguir a esta
etapa de trabajo.
Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cinco componentes del
grupo uno actúa como moderador para esta reunión de trabajo. Los papeles de
ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión. La forma de
proceder del grupo hacia la resolución del problema puede ser muy variada y
sería conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija
el que mejor se le adapte.
Aporta también, que lo verdaderamente importante es que se cree
una atmósfera en el grupo libre de inhibiciones, libre de competitividad, en que
cada uno esté deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que
a primera vista pueda parecer más estrafalario, colaborando gustosamente
para mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con gusto cómo los otros
van perfeccionando las ideas propuestas por él. La tarea esencial del
moderador es precisamente mantener permanentemente este clima,
estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a callar demasiado e
inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando
cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas vías
cuando todo parece cerrado...
El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases
que pueden servir como marco muy general:
- El grupo se familiariza con el problema.
- En busca de estrategias posibles.
- El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más
adecuadas.
- El grupo reflexiona sobre el proceso que ha seguido.
Anteriormente se señaló que el Procedimiento que debe seguirse en este
método, es la propuesta de la situación problema de la que surge el tema
( basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...) entonces el papel de
la historia juega un rol importante para la formación del matemático porque la
historia proporciona una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la
matemática, el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas para
comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad en
la evolución de las ideas matemáticas y a través de ellos las de sus propios
alumnos; entender mejor la ilación de la ideas, de los motivos y variaciones de
la sinfonía matemática; la historia se debe y se puede utilizar por ejemplo para
entender y hacer comprender una ideas difícil de modo más adecuado poner
se en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los
conceptos matemáticos que se quiere explorar con los alumnos.
Sus aplicaciones de la matemática a la vida cotidiana explica a los alumnos
para que sirve cada tema y cómo les va servir en la vida futura de cada uno de
ellos en consecuencia aplicaran dichos conocimientos matemáticos y darán
solución a sus problemas, esto se encuentra inmerso en la teoría de la historia
de la matemática y la biografía de los científicos matemáticos.
El papel del juego en matemática es también importante ya que la matemática
desde siempre ha tenido una componente lúdica que ha sido la que ha dado
lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han
surgido. El juego y la matemática tienen tantos rasgos comunes no es menos
cierto que participan de las mismas características en lo que respecta a su
propia práctica.
El ministerio de educación define el juego a toda actividad lúdica en la que los
participantes quieren lograr un mismo objetivo, cumpliendo reglas previamente
aceptadas por ellos. También define los juegos matemáticos, son los juegos
que permiten dinamizar el pensamiento, coadyuvando al logro de aprendizaje
en el área de matemática.
El juego comienza con la introducción de una serie de reglas , un cierto número
de objetivos o piezas , cuya función en el juego viene definido por tales reglas
exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el
establecimiento de una teoría matemática por definición implícita. (Hilbert,
Grundlagen der geometrie)
Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta
familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo
como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros
elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de
un juego o de una teoría matemática.
Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas
técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo,
conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se
hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas
sencillos del campo.
8. CONCLUSIONES.
EL método participativo de enseñanza de Resolución de Problemas en el
aprendizaje de las matemáticas promueve un aprendizaje desarrollador,
elevado y eficaz, porque permite que el alumno estando en grupo se desarrolle
naturalmente y espontáneamente a partir de la vinculación con la creatividad,
da la oportunidad a que los alumnos investiguen por si mismos con la ayuda de
los otros compañeros que conforman el grupo y esto hace que se sientan a
gusto en el aprendizaje del grupo.
Por lo tanto este método lleva a que la persona o el alumno examinen y
remodele sus propios procedimientos de pensamiento de forma sistemática, a
fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces y
creativos mediante la resolución de verdaderos problemas.
Así también es importante porque permite a que los estudiantes manipulen
autónomamente el problema de matemática, se familiaricen cuando están en
grupos con la situación problema y sus dificultades, elaboran estrategias de
resolución al problema y los ensayen, utilicen contenidos del tema matemático,
eligen una estrategia y lo resuelven el problema , hacen un recorrido critico de
lo resuelto del problema matemático (reflexión sobre el proceso), finalmente el
docente hace un afianzamiento formalizado ( si conviene) para luego pasar a la
generalización, poner nuevos problemas y se transfiere métodos , resultados e
ideas.
El método es participativo y por lo tanto proporciona la posibilidad de un gran
enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una
misma situación – problema, se puede aplicar el método desde diferentes
perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo y otras en el de
observador de su dinámica, el grupo proporciona apoyo y estimulo en una
labor, que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la
constancia que requiere, el trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar
los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en otros, el
trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a
nuestros estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los
resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas.
A sí mismo, este método no se limita a aprendizajes cognitivos, sino que
implican todos los aspectos de la personalidad de los estudiantes.
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Maestría en Educación Superior Universitaria de la Universidad La Habana de
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