Oscilador armnico.Este sistema fsico constituye uno de los modelos esenciales y ms utilizados de la naturaleza y conlleva una

gran importancia ya que a travs de l es posible estudiar la conducta de algunos sistemas fsicos cuyos potenciales,en general muy complicados, pueden ser aproximados en la vecindad de un punto de equilibrio estable por unoscilador armnico. Esto es posible si se tiene en cuenta que las oscilaciones en torno a ese punto de equilibrio sonpequeas. Los resultados que se obtendrn aqu son aplicables, por ejemplo, a las vibraciones de los tomos de unamolcula alrededor de su posicin de equilibrio, las oscilaciones de tomos o iones de una red cristalina (fonones), enel estudio del campo electromagntico, etc..

Consideremos un potencial arbitrario Y +{, el cual tiene un mnimo en el punto { @ {3

como muestra la gura:

Figura 1.- Potencial arbitrario con un mnimo en { @ {3

. Aproximacin parablica.

En la vecindad de un mnimo cualquier potencial Y +{, puede ser aproximado por un potencial parablico(lnea discontinua).

Desarrollando la funcin Y +{, en una serie de Taylor en la vecindad de {3

, obtenemos

Y +{, @ Y +{

3

, . Y

3

+{

3

, +{ {

3

, .

4

5

Y

33

+{

3

, +{ {

3

,

5

. ===

Como {3

es un punto de equilibrio estable Y 3 +{3

, @ 3 y Y 33 +{3

, A 3.

Tomando el origen de coordenadas en { @ {3

y Y +{3

, @ 3 y despreciando los trminos de orden mayor que5, al considerar que las oscilaciones son pequeas, se obtiene:

Y +{, @

4

5

g

5

Y

g{

5

{@3

{

5

haciendop$

5

@

g

5

Y

g{

5

{@3

,

se obtiene la frecuencia angular

$ @

v

4

p

g

5

Y

g{

5

{@3

.

Entonces, el operador de Hamilton correspondiente a una partcula de masap que oscila con frecuencia $est dado pora

K @

|

5

5p

g

5

g{

5

.

p

5

$

5

{

5

,

y la ecuacin estacionaria de Schrdinger toma la forma

|

5

5p

g

5

g{

5

.

p

5

$

5

{

5

# +{, @ H# +{, . (1)Primeramente, est claro que todos los autovalores deben cumplir con H 3:H @

#>

a

K#

@

4

5p

#> as

5

#

.

p$

5

5

#> a{

5

#

@

4

5p

+as#> as#, .

p$

5

5

+a{#> a{#, .

Ambos productos escalares tienen la forma +*> *, 3, entonces, ya que los coe cientes son positivos,

H 3.

La solucin de la ecuacin (1) se encuentra en cualquier libro de Fsica Matemtica. El resultado tiene laforma#

q

+{, @

q

h

{

5

K

q

+{, ,

donde q

, , son constantes y Kq

+{, son los llamados polinomios de Hermite. Sin embargo, nosotros queremosemprender aqu otro camino para llegar a la solucin y obtener los autovalores y autofunciones solamente a partir derelaciones de conmutacin, sin necesidad de resolver explcitamente la ecuacin diferencial de segundo orden.

Para ello vamos a introducir los operadores

ad

.

@

l

+5p|$,

4

5

|

l

C

C{

. lp$a{

ad @

l

+5p|$,

4

5

|

l

C

C{

lp$a{

.

Como as @ |l

C

C{

y a{ son hermticos:

ad

.

.

@ ad y +ad,. @ ad..Para estos operadores se cumplek

a

K> ad

.

l

@ |$ad

. yk

a

K> ad

l

@ |$ad.

De aqu se concluye lo siguiente:Si # es un autoestado de aK, aK# @ H#, entonces usando los conmutadores anteriores:a

Kad

.

# @ ad

.

a

K# . |$ad

.

#

@ +H . |$, ad

.

#

es decir, +ad.#, tambin es un autoestado de aK, al cual le corresponde la energa H . |$.Cuando se aplica reiteradamente ad. se obtiene un nmero in nito de autoestados:

Autoestado Autovalor# H

ad

.

# H . |$

+ad

.

,

5

# H . 5|$

+ad

.

,

6

H . 6|$

====== ======

Por esta razn al operador ad. se le llama operador de creacin (para autoestados del oscilador armnico).Trabajando de manera similar con la relacin de conmutacin entre aK y ad tenemos que:a

Kad# @ ad

a

K# |$ad#

@ +H |$, ad#.

ad# tambin es un autoestado de aK con energa H |$. De la misma formaAutoestado Autovalor# H

ad# H |$

+ad,

5

# H 5|$

+ad,

6

# H 6|$

====== ========

Por ello al operador ad se le llama operador de aniquilacin.Nosotros sabemos ya que si, H es un autovalor, tambin lo son H 5|$>H |$>H . |$>H .5|$> ===Esto es, los niveles energticos se encuentran separados por la misma distancia:H

q

@ H q|$.

Ahora bien, deben cumplir con Hq

3!Por lo tanto: Si # es autoestado de aK, aK# @ H#, entonces debe existir un nmero q tal que+ad,

q.4

# @ 3.

Esto es, debe existir un estado #3

tal quead#

3

@ 3.

Veamos: ad#3

@ 3 implica que|

l

g#

3

g{

@ lp${#

3

de donde#

3

3

#

3

@

p$

|

{

integrando,

oq#

3

@

p$

|

{

5

5

. oq d

3

luego,#

3

@ d

3

h

p$

5|

{

5

,

donde d3

se determina a partir de la condicin de normalizacin:]

4

4

#

3

#

3

g{ @ 4.

La energa H3

, que corresponde a #3

, se obtiene a partir dea

K#

3

@ H

3

#

3

se obtiene quea

K#

3

@

|$

5

#

3

,

luego,H

3

@

|$

5

.

As, los valores de energa son

H

q

@

q.

4

5

|$ q @ 3>4>5> ===

adems,#

3

@ d

3

h

p$

5|

{

5

#

4

@ F

3

ad

.

#

3

#

4

> #

5

> === se pueden calcular ahora explcitamente.No es para asombrarse que el estado base, el estado con la energa mnima, posea una energa diferente de

cero. Ya que {s{

|

5

, no puede estar una partcula con el impulso s @ 3, en el punto { @ 3.El operador aK se puede expresar a travs de los operadores ad. y ad ya que ellos son combinaciones lineales

de a{ y as. Veamos.Se cumple que

ad

.

ad @

4

5p|$

as

5

.p

5

$

5

a{

5

.

l

5|

^a{> as`

@

a

K

|$

4

5

,

de dondea

K @ |$

ad

.

ad .

4

5

.

De igual modo

adad

.

@

4

5p|$

as

5

.p

5

$

5

a{

5

l

5|

^a{> as`

@

a

K

|$

.

4

5

,

por lo quea

K @ |$

adad

.

4

5

.

De las expresiones anteriores se obtiene tambin:

ad> ad

.

@ 4.

Por otra partea

K#

q

@ |$

q.

4

5

#

q

por lo tanto, al comparar vemos quead

.

ad#

q

@

a

Q#

q

@ q#

q

q @ 3> 4>5> ===

El operador aQ @ ad.ad se llama operador numrico y sus autovalores sonq @ 3>4> 5> ===

Ahora vamos a normalizar las funciones de onda.De la condicin de normalizacin (15.19) se obtiene

d

5

3

@

|

p$

4

5

,

luego,

#

3

@

p$

|

4

7

h

p$

5|

{

5

.

Ahora, de la condicin de normalizacin para las #q

tenemos:4 @

#

q.4

> #

q.4

@

F

.

q

ad

.

#

q

> F

.

q

ad

.

#

q

@

F

.

q

5

#

q

> adad

.

#

q

@

F

.

q

5

+#

q

> +q. 4,#

q

,

@

F

.

q

5

+q.4, ,

esto es,

F

.

q

@

4

s

q. 4

por tanto,#

q.4

@

4

s

q.4

ad

.

#

q

.

De manera anloga se obtieneF

q

@

4

s

q

y#

q4

@

4

s

q

ad#

q

.

As, para obtener de #q4

, la funcin #q

, debemos aplicar el operador ad.sq

. Inversamente, el operador adsq

aplicado a #q

nos da la funcin #q4

.

Ya que se conoce #3

, se calcula fcilmente ad.#3

, +ad.

,

5

#

3

, etc.. y el resultado general es

#

q

@ +q$5

q

,

4

5

p$

|

4

7

h

5

5

K

q

+, q @ 3>4>5> ===

donde @ {

u

p$

|

y Kq

+, son los polinomios de Hermite, que se caracterizan por tener la paridad de q luego, las funciones de ondaque describen los estados del oscilador armnico tienen paridad de nida, lo cual es debido a que el potencialY +{, @ Y +{, .

Los autovaloresH

q

@

q.

4

5

|$ q @ 3>4>5> ===

son equidistantes y no degenerados, adems, constituyen un espectro discreto debido a que el movimiento tiene lugaren una regin limitada del espacio.

En la gura 13 algunas #q

son dibujadas junto con un diagrama de energa. Los niveles de energa estnrepresentados con lneas horizontales. Para cada una de las lneas hay una correspondiente autofuncin #q

+{, donde

se utiliza una escala arbitraria. Adems, la gura contiene la funcin de energa potencial

Y +{, @

4

5

p$

5

{

5

.

Figura 2.- Autovalores y autofunciones del oscilador armnico unidimensional. Se incluye la funcion de energapotencial.

Como podemos ver, la funcin de onda #3

que corresponde al estado base q @ 3 no se anula en ningnpunto, #4

se anula una vez, #5

se anula dos veces y as sucesivamente, es decir, el nmero de nodos de una funcinde onda es igual al correspondiente nmero cuntico q. Esto es vlido no slo para el oscilador sino que se cumple deforma general.

Reglasdeseleccin:Nosotros conocemos los niveles de energa posibles del oscilador armnico:

q.

4

5

|$=

Si observamos a la luz un oscilador armnico, digamos una molcula oscilante, resultan transiciones entrelos distintos niveles.

La energa cambia por la absorcin o la emisin de luz, siendo solamente posible la absorcin o emisin deluz de la frecuencia $ @ 4|

+H

q

H

p

, (Principio de conservacin de la energa!).La probabilidad de transicin (bajo in uencia de la luz) entre dos estados #q

y #p

es proporcional am+#

q

> a{#

p

,m

5 (ver epgrafe 30).Si +#q

> a{#

p

, @ 3, entonces est prohibida la transicin. Si +#q

> a{#

p

, 9@ 3, entonces la luz puede serabsorbida o emitida y est permitida la transicin #p

$ #

q

.

Las reglas, por las cuales es posible una transicin, se llaman reglas de seleccin. Vamos a calcularlas parael oscilador armnico.

Tenemos:

a{ @

u

|

5p$

ad. ad

.

es decir,

+#

q

> a{#

p

, @

u

|

5p$

+#

q

> ad#

p

, .

#

q

> ad

.

#

p

@

u

|

5p$

#

q

>

s

p#

p4

.

#

q

>

s

p. 4#

p.4

@

u

|

5p$

s

p

q>p4

.

s

p.4

q>p.4

.

Es decir, slo son posibles las transiciones entre niveles vecinos. Slo pueden ser absorbidos o emitidoscuantos de luz de frecuencia |$.

Una transicin entre #q

y #q.5

puede realizarse solamente con dos fotones de energa |$ (#q

$ #

q.4

$

#

q.5

, y no con un solo fotn de doble energa.La regla de seleccin es:q @ 4.

Las bases para esta regla de seleccin se encuentran en la llamada paridad de los estados.Ms adelante veremos que para la paridad, igualmente que para el impulso, energa, etc.., se cumple un

principio de conservacin.La regla de seleccin (15.20) signi ca que los fotones irradiados o absorbidos tienen paridad negativa.

O bservacin:El hecho de que la probabilidad de transicin sea proporcional a m+#q

> a{#

p

,m

5

se cumple sloaproximadamente. Existen tambin fotones de paridad par que hacen posibles transiciones #q

$ #

q5

. Sinembargo, la probabilidad de tales transiciones es muy baja. Por lo tanto, las lneas correspondientes en el espectro deabsorcin y emisin son muy dbiles. Por ejemplo, la diferencia H4

H

3

para oscilaciones de la molcula de aguaest en el infrarrojo. Una transicin del tipo H5

$ H

3

es responsable por el color azul muy dbil del agua.Los operadores de creacin y aniquilacin juegan un gran papel en problemas con muchas partculas por

ejemplo, en la Fsica del Estado Slido, ya que los diferentes estados se distinguen por el nmero de partculas.Podemos hacer una comparacin con el oscilador armnico clsico, el cual oscila con una cierta amplitud

caracterizada por los puntos de retorno donde la energa cintica se anula. A partir de H @ W . Y , la regin dondetiene lugar el movimiento est limitada por los puntos de interseccin de la parbola Y +{, y la lnea recta de energatotal H=

Como muestra la gura, la funcin de onda se extiende ms all de la regin permitida desde el punto devista clsico.

La probabilidad de encontrar a la partcula en un intervalo g{ alrededor del punto { es igual az

q

+{, g{ @ m#

q

+{,m

5

g{.

Estas probabilidades se han representado en la gura para q @ 3 y q @ 4. Comparemos las expresionesobtenidas, con la probabilidad de hallar una partcula en un punto dado segn la Mecnica Clsica, probabilidad quese de ne como la razn del tiempo gw de permanencia en un entorno del punto en relacin al perodo del movimiento:

z

fo

+{, g{ @

gw

W

5

@

$

g{

g{

gw

.

Figura 3.- Probabilidades clsica y cuntica para los estados q @ 3 y q @ 4.

La probabilidad clsica resulta ser mxima cerca de los puntos de retroceso { @ {3

, en los que la velocidaddel movimiento se anula. Por el contrario, en un entorno del punto { @ 3 la partcula tiene su velocidad mxima y laprobabilidad de encontrarla all es mnima.

Del examen de estas curvas se concluye que la probabilidad de encontrar una partcula cuntica es tambindiferente de cero incluso en la regin no accesible clsicamente, esto es, ms all de los puntos de retroceso. Paranmeros cunticos grandes, y de acuerdo con el principio de correspondencia, la distribucin cuntica de probabilidadtiende a la clsica, como muestra la gura.

Figura 4.- Probabilidades clsica y cuntica para q @ 48.

Generalizando al caso tridimensional, supondremos que las frecuencias propias en estas tres direcciones sondiferentes e iguales a $4

, $5

, $6

, respectivamente entonces la energa potencial se expresa as:

Y +u, @

p$

5

4

5

{

5

.

p$

5

5

5

|

5

.

p$

5

6

5

}

5

.

La ecuacin de Schrdinger, segn lo anterior, tiene la forma

|

5

5p

u

5

# .

p

5

$

5

4

{

5

. $

5

5

|

5

. $

5

6

}

5

# @ H#.

Separando las variables, obtenemos como solucin

#

q

4

q

5

q

6

+{> |> }, @

p

6

$

4

$

5

$

6

|

6

6

4

7

5

+q

4

.q

5

.q

6

,

q

4

$q

5

$q

6

$

4

5

h

+

5

4

.

5

5

.

5

6

,

5

K

q

4

+

4

,K

q

5

+

5

,K

q

6

+

6

, ,

donde

4

@

u

p$

4

|

{, 5

@

u

p$

5

|

| y 6

@

u

p$

6

|

}.

La energa total del oscilador es

H

q

4

q

5

q

6

@ |$

4

q

4

.

4

5

. |$

5

q

5

.

4

5

. |$

6

q

6

.

4

5

.

En particular, para un oscilador isotrpico, para el cual $4

@ $

5

@ $

6

@ $, la energa total tiene la forma

H

q

@ |$

q.

6

5

,

donde q @ q4

. q

5

. q

6

.

Esto signi ca que un valor dado de la energa (un valor dado de q ) se puede obtener mediante diferentescombinaciones de q4

> q

5

> q

6

. De aqu se sigue que todos los niveles energticos con excepcin del estado base, sondegenerados.

Para calcular la multiplicidad de la degeneracin jaremos, adems de q, el nmero cuntico q4

. Entonces,el nmero de ternas posibles de nmeros q4

> q

5

> q

6

ser igual al nmero de valores posibles de q5

, es decir, igual aq q

4

. 4, ya que q5

puede variar desde cero hasta q q4

. Sumando las expresiones obtenidas respecto de todoslos valores posibles de q4

obtenemos el nmero total de combinaciones de los tres nmeros cunticos q4

> q

5

> q

6

quetienen como suma el nmero dado q es decir, la multiplicidad de la degeneracin del q-simo nivel de energa es:q

[

q

4

@3

+q q

4

.4, @

4

5

+q. 4, +q.5, .

Ejercicioresuelto:

Encuentre el cambio que sufre una funcin de onda que para w @ 3 est dada por

# +{>3, @ f h{s

%

ls

3

{

|

5

+{ {

3

,

5

5

&

> @

$

|

4@7

=

Respuesta.Para resolver este problema es necesario determinar la funcin de onda # +{> w,, la cual satisface la ecuacin

de Schrdingerl|

C#

Cw

@

a

K#, (2)y que tiene el valor de # +{>3, cuando w @ 3. Si aK no contiene explcitamente al tiempo, la ecuacin anterior tienelas soluciones#

q

+{> w, @ #

q

+{, h{s

l

H

q

|

w

, (3)donde #q

+{, es la autofuncin independiente del tiempo del operador aKa

K#

q

+{, @ H

q

#

q

+{, .

Si encontramos los coe cientes del desarrollo de # +{>3, en trminos del conjunto de funciones #q

+{,,

# +{>3, @

[

q

d

q

#

q

+{, > d

q

@

]

#

q

+{,# +{> 3, g{>

la funcinS

q

d

q

#

q

+{, h{s

l

H

q

|

w

satisfacer la ecuacin (2) y en w @ 3 es igual a # +{> 3,.Ahora, las autofunciones para la ecuacin de Schrdinger

|

5

5

#

33

q

.

$

5

5

{

5

#

q

@ H

q

#

q

son, como vimos anteriormente, de la forma siguiente

#

q

+{, @ f

q

h{s

5

{

5

5

K

q

+{, ,

donde @

$

|

4@7

> f

5

q

@

4

5

q

q$

s

> H

q

@ |$

q.

4

5

=

As, la funcin de onda requerida # +{> w, satisface, de acuerdo a la ecuacin (3), la relacin# +{> w, @

[

q

d

q

#

q

+{, h{s

l

H

q

|

w

>

donde

d

q

@ f

q

f

]

.4

4

K

q

+{, h{s

%

5

+{ {

3

,

5

5

.

ls

3

{

|

5

{

5

5

&

g{=

Para evaluar dq

utilizamos la expresin para la funcin generadora de los polinomios de Hermite

h{s

5

. 5

@

4

[

q@3

q

q$

K

q

+, = (4)

Se ve fcilmente que dq

@f

q

f es el coe ciente de q@q$ en el desarrollo en potencias de de la expresin]

.4

4

h{s

#

5

.5{

5

+{ {

3

,

5

5

.

ls

3

{

|

5

{

5

5

$

g{=

A partir de esto se sigue que

d

q

@ f

q

f

s

{

3

.

ls

3

|

q

h{s

%

5

{

5

3

5

.

4

7

{

3

.

ls

3

|

5

&

=

Despus de sustituir esta expresin en la expresin (15.23) es posible efectuar la suma sobre q, utilizando de nuevo laecuacin (4). Si utilizamos la notacin{

3

.

ls

3

|

5

@ T h{s +l, >

obtenemos

# +{> w, @ f h{s

5

5

^{T frv +$w. ,`

5

l{T

5

vlq +$w. ,

l$w

5

.

5

T

5

7

l ^vlq 5 +$w . , vlq 5`

=

Problem asPropuestos

1.- Si #q

es el autoestado q-simo del oscilador armnico, calcular:a) k#q

mad

.v

m#

q

l, k#q

mad

v

m#

q

l

b) k#q

m{m#

q

l,

#

q

{

5

#

q

,

#

q

{

7

#

q

c) k#q

masm#

q

l,

#

q

as

5

#

q

,

#

q

as

7

#

q

d) k#p

md

.v

m#

q

l, k#p

md

v

m#

q

l

e) k#p

m{m#

q

l,

#

p

{

5

#

q

f) k#p

masm#

q

l,

#

p

as

5

#

q

2.- Un oscilador armnico se encuentra en el estado# +{> w, @

4

s

5

^#

3

+{> w, . #

4

+{> w,` ,

donde #3

y #4

son estados normalizados del oscilador armnico correspondiente al estado base y al primer estadoexcitado. Calcular kHl, k{l y ksl y discutir la dependencia en el tiempo para cada uno.

3.- Tomar # +{> w, como una funcin de estado arbitraria correspondiente al oscilador armnico dependientedel tiempo. Demostrar que,

k{l

w

@ k{l

3

frv$w.

kasl

3

p$

sen$w

kasl

w

@ kasl

3

frv$wp$ k{l

3

sen$w,

en correspondencia completa con las ecuaciones clsicas.Hacerlo en las dos formas siguientes:a) Encontrando expresiones para gkaslgw

y gk{lgw

e integrando las ecuaciones acopladas que resultan.b) Por clculo directo de k{lw

y kaslw

, usando el propagador de oscilador armnico para expresar # +{> w, entrminos de # +{>3,.

4.- a) Sea # +{> w, una funcin de estado arbitraria correspondiente a un oscilador armnico dependiente deltiempo. Demostrar que,kadl

w

@ kadl

3

h

l$w

,

ad

.

w

@

ad

.

3

h

l$w

.

Hacerlo en las tres formas siguientes:i) Encontrando expresiones para gkadlgw

y gkad.

l

gw

e integrando las ecuaciones que resulten.ii) Calculando directamente kadlw

y kad.lw

, usando la ecuacin

N +{

3

> {> , @

u

p$

| 5l sen$h{s

%

lp$

|

{

5

. {

35

frv$ 5{{

3

5sen$

&

para expresar # +{> w, en trminos de # +{>3, de la forma siguiente:

# +{> w, @

]

4

4

# +{

3

>3,N +{

3

> {> w 3, g{

3

.

iii) Por clculo directo usando la ecuacinN +{

3

> { = , @

[

q

#

q

+{

3

,#

q

+{, h

l

+

q.4

5

,

$

.

5.- Demuestre paso a paso que las desigualdades de Heisenberg implican que para un oscilador armnico,H

p~q

@

4

5

|$.

6.- Calcule la variancia de a{ y de as para un oscilador armnico en el estado q demuestre que se cumple queG

+a{,

5

HG

+as,

5

H

@

4

7

|

5

+5q. 4,

5

.

7.- Resuelva el problema del oscilador armnico tridimensional en coordenadas cartesianas. Discuta ladegeneracin para el caso de un oscilador isotrpico.

8.- Determine los eigenvalores del siguiente hamiltoniano:a

K @ k

3

ad

.

ad. k

4

ad. ad

.

.

(Sugerencia: introduzca una nueva pareja de operadores de creacin y aniquilacin que diagonalice aK.)